Kraadide lisamine sama eksponendiga. Kraadide korrutamise reeglid erinevate alustega
Tuletame meelde, et sellest õppetunnist saab aru võimsuse omadused looduslike indikaatoritega ja null. Ratsionaalsete näitajatega kraadi ja selle omadusi arutatakse 8. klassi tundides.
Looduslikul eksponendil on mitu olulist omadust, mis muudavad eksponentide näidetes arvutamise hõlpsamaks.
Kinnistu number 1
Kraadide korrutis
Pidage meeles!
Kui korrutada kraadi samade alustega, jääb alus muutumatuks ja eksponendid lisatakse.
a m · a n \u003d a m + n, kus "a" on suvaline arv ja "m", "n" on suvalised arvud.
See kraadide omadus mõjutab ka kolme või enama kraadi korrutist.
- Lihtsustage väljendit.
b b 2 b 3 b 4 b 5 \u003d b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d b 15 - Esitage kraadina.
6 15 36 \u003d 6 15 6 2 \u003d 6 15 6 2 \u003d 6 17 - Esitage kraadina.
(0,8) 3 (0,8) 12 \u003d (0,8) 3 + 12 \u003d (0,8) 15
Tähtis!
Pange tähele, et täpsustatud atribuudis oli tegemist ainult võimu korrutamisega samadel alustel ... See ei kehti nende lisamise kohta.
Summat (3 3 + 3 2) ei saa asendada summaga 3 5. See on mõistetav, kui
arv (3 3 + 3 2) \u003d (27 + 9) \u003d 36 ja 3 5 \u003d 243
Kinnistu number 2
Erakraadid
Pidage meeles!
Kraadide jagamisel samade alustega jääb alus muutumatuks ja jagaja eksponent lahutatakse dividendi eksponendist.
\u003d 11 3 - 2 4 2 - 1 \u003d 11 4 \u003d 443 8: t \u003d 3,4
T \u003d 3 8 - 4
Vastus: t \u003d 3 4 \u003d 81Kasutades atribuute nr 1 ja 2, saate avaldisi hõlpsalt lihtsustada ja arvutusi teha.
- Näide. Lihtsustage väljendit.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 6m + 8 - 4m - 3 \u003d 4 2m + 5 - Näide. Leidke avaldise väärtus kraadi omaduste abil.
= = =
=2 9 + 2 2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 642 11 2 5 Tähtis!
Pange tähele, et 2. omadus seisnes ainult kraadide jagamises samade alustega.
Erinevust (4 3 −4 2) ei saa asendada numbriga 4 1. See on arusaadav, kui arvestada (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ja 4 \u003d 4
Ole ettevaatlik!
Kinnistu number 3
EkspansioonPidage meeles!
Kraadi võimule tõstmisel jääb kraadi alus muutumatuks ja eksponendid korrutatakse.
(a n) m \u003d a n · m, kus "a" on suvaline arv ja "m", "n" on suvalised arvud.
Omadused 4
TööastePidage meeles!
Toote võimsuse suurendamisel tõstetakse kõiki tegureid võimsuseks. Seejärel korrutatakse tulemused.
(a · b) n \u003d a n · b n, kus „a”, „b” on mis tahes ratsionaalsed numbrid; "N" on ükskõik milline naturaalarv.
- Näide 1.
(6 a 2 b 3 s) 2 \u003d 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 \u003d 36 a 4 b 6 s 2 - Näide 2.
(−x 2 a) 6 \u003d ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) \u003d x 12 y 6
Tähtis!
Pange tähele, et atribuuti nr 4, nagu ka muid kraadiomadusi, rakendatakse vastupidises järjekorras.
(a n b n) \u003d (a b) nSee tähendab, et võimude korrutamiseks samade näitajatega saate korrutada aluseid ja eksponendi võib jätta muutmata.
- Näide. Arvutama.
2 4 5 4 \u003d (2 5) 4 \u003d 10 4 \u003d 10 000 - Näide. Arvutama.
0,5 16 2 16 \u003d (0,5 2) 16 \u003d 1
Komplitseeritumate näidete puhul võib esineda juhtumeid, kus korrutamine ja jagamine tuleb läbi viia kraadide kaupa erinevate aluste ja erinevate eksponentidega. Sel juhul soovitame teil toimida järgmiselt.
Näiteks, 4 5 3 2 \u003d 4 3 4 2 3 2 \u003d 4 3 (4 3) 2 \u003d 64 12 2 \u003d 64 144 \u003d 9216
Näide kümnendarvuks tõstmisest.
4 21 (−0,25) 20 \u003d 4 4 20 (−0,25) 20 \u003d 4 (4 (−0,25)) 20 \u003d 4 (−1) 20 \u003d 4 1 \u003d 4Omadused 5
Jaotise aste (murdosa)Pidage meeles!
Jaotise suurendamiseks võimsusele saate dividendi ja jagaja selle võimsuse jaoks eraldi tõsta ning esimese tulemuse teisega jagada.
(a: b) n \u003d a n: b n, kus “a”, “b” on mis tahes ratsionaalsed numbrid, b b 0, n on ükskõik milline naturaalarv.
- Näide. Esitage väljend erakraadide kujul.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Tuletame meelde, et jagatis võib olla murdosa. Seetõttu peatume järgmisel lehel üksikasjalikumalt murdosa võimule tõstmise teema peal.
- Näide 1.
Peale kaheksanda kraadi, mida me siin näeme? Meenutame 7. klassi programmi. Nii, mäletad? See on lühendatud korrutamise valem, nimelt ruutude erinevus! Saame:
Vaatame tähelepanelikult nimetajat. See on väga sarnane ühele lugejategurile, kuid mis on valesti? Vale tingimuste järjekord. Kui neid peaks tühistama, saaks reeglit kohaldada.
Aga kuidas seda teha? See osutub väga lihtsaks: nimetaja ühtlane aste aitab meid siin.
Mõisted on võluväel vastupidised. See "nähtus" on rakendatav mis tahes väljendi korral ühtlaselt: sulgudes olevaid märke saame vabalt muuta.
Kuid on oluline meeles pidada: kõik märgid muutuvad samal ajal!
Läheme tagasi näite juurde:
Ja jällegi valem:
Terve kutsume nende vastas olevaid naturaalarvu (see tähendab, mis on võetud märgiga "") ja numbrit.
positiivne täisarv, ja see ei erine looduslikust, siis näeb kõik välja täpselt nagu eelmises jaotises.
Vaatame nüüd mõnda uut juhtumit. Alustame indikaatoriga, mis on võrdne.
Iga nullkraadil olev arv on võrdne ühega:
Nagu alati, küsigem endalt: miks see nii on?
Mõelge kraadile, millel on alus. Võtame näiteks ja korrutame:
Niisiis, me korrutasime arvu arvuga ja saime sama, mis ta oli -. Ja mis arvu peaksite korrutama, et midagi ei muutuks? Täpselt nii, edasi. Tähendab.
Sama saame teha suvalise numbriga:
Kordame reeglit:
Iga nullkraadil olev arv on võrdne ühega.
Kuid paljudest reeglitest on erandeid. Ja siin on see ka seal - see on number (alusena).
Ühelt poolt peaks see olema võrdne mis tahes kraadiga - ükskõik kui palju te ise korrutate, saate ikkagi nulli, see on selge. Kuid teisest küljest, nagu iga nullkraadil olev arv, peab see võrduma. Milline see on tõsi? Matemaatikud otsustasid mitte kaasa lüüa ja keeldusid nulli tõstmast. See tähendab, et nüüd ei saa me mitte ainult nulliga jagada, vaid ka tõsta seda nullini.
Läheme kaugemale. Lisaks naturaalarvudele ja arvudele kuuluvad negatiivsed numbrid täisarvudele. Negatiivse kraadi mõistmiseks toimime samamoodi nagu eelmisel korral: korruta mõni normaalarv sama negatiivse astmega:
Siit on juba lihtne väljendada, mida otsite:
Laiendame saadud reeglit suvalisel määral:
Nii et sõnastame reegli:
Negatiivse võimsusega arv on positiivse võimsusega sama arvuga pöördvõrdeline. Kuid samal ajal alus ei saa olla null: (kuna te ei saa jagada).
Teeme kokkuvõtte:
I. Väljendit ei täpsustata. Kui siis.
II. Mis tahes arv nullkraadini on võrdne ühega:.
III. Arv, mis ei ole , on negatiivse võimsusega, positiivse võimsusega sama numbriga pöördvõrdeline:.
Iseseisva lahenduse ülesanded:
Noh, ja nagu tavaliselt, näited iseseisvast lahendusest:
Ülesannete analüüs iseseisva lahenduse jaoks:
Ma tean, ma tean, numbrid on kohutavad, kuid eksamil peate olema ükskõik milleks valmis! Lahendage need näited või analüüsige nende lahendust, kui te ei suutnud lahendada ja saate teada, kuidas eksamil nendega hõlpsalt toime tulla!
Jätkame eksponendina "sobivate" numbrite vahemiku laiendamist.
Nüüd kaaluge ratsionaalsed numbrid. Milliseid numbreid nimetatakse ratsionaalseteks?
Vastus: kõik, mida saab esitada murdarvuna, kus ja lisaks on täisarvud.
Et aru saada, mis on Murdkraad, arvestage murdosaga:
Tõstame võrrandi mõlemad pooled võimsusele:
Nüüd meenutagem reeglit umbes "Kraad kraadini":
Millist arvu tuleb võimu saamiseks tõsta?
See sõnastus on juure määratlus.
Lubage mul teile meelde tuletada: arvu () kümnenda võimsuse juur on arv, mis võimsuseks tõstetud on võrdne.
See tähendab, et juur on laienemise pöördvõrdelisus:.
Selgub, et. Ilmselt saab seda konkreetset juhtumit laiendada:.
Nüüd lisame lugeja: mis see on? Vastus on hõlpsasti leitav kraad-kraad-reegli abil:
Kuid kas alus võib olla ükskõik milline arv? Lõppude lõpuks ei saa juurt kõigist numbritest eraldada.
Ühtegi!
Pidage meeles reeglit: iga arv, mis tõstetakse võrdsesse võimsusesse, on positiivne arv. See tähendab, et sa ei saa negatiivsetest arvudest juurutada võrdset kraadi!
See tähendab, et selliseid numbreid ei saa tõsta paarisnimetajaga murdarvuks, see tähendab, et avaldis ei oma tähendust.
Aga väljend?
Kuid siin on probleem.
Numbrit saab tähistada näiteks muude tühistatavate murdarvudega või.
Ja selgub, et see on olemas, kuid seda pole olemas, vaid need on lihtsalt kaks erinevat sama numbri kirjet.
Või teine \u200b\u200bnäide: üks kord, siis saate kirjutada. Kuid kui kirjutame indikaatori teistmoodi üles ja saame jällegi ebameeldivuse: (see tähendab, et saime hoopis teistsuguse tulemuse!).
Selliste paradokside vältimiseks kaaluge ainult fraktsionaalse eksponendiga positiivne raadius.
Nii et kui:
- - naturaalarv;
- - täisarv;
Näited:
Ratsionaalsed eksponendid on väga kasulikud juurdunud avaldiste teisendamisel, näiteks:
5 näidet treenimiseks
5 näite analüüs koolitusel
1. Ärge unustage kraadide tavalisi omadusi:
2 .. Siinkohal meenub, et unustasime kraadide tabeli ära õppida:
lõppude lõpuks - on või. Lahendus leitakse automaatselt:.
Ja nüüd kõige raskem osa. Nüüd analüüsime irratsionaalne kraad.
Kõik siin kehtivad kraadide reeglid ja omadused on täpselt samad kui ratsionaalse eksponendiga kraadi puhul, välja arvatud
Tegelikult on irratsionaalsed numbrid definitsiooni järgi numbrid, mida ei saa esitada murdarvuna, kus ja on täisarvud (see tähendab, et irratsionaalarvud on kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalsed numbrid).
Kui uuriti kraadi loodusliku, tervikliku ja ratsionaalse indikaatoriga, koostasime iga kord omamoodi "pildi", "analoogia" või kirjelduse tuttavamates terminites.
Näiteks looduslik eksponent on arv, mis korrutatakse iseenesest mitu korda;
...null võimsus - see on justkui arv, mis korrutatakse iseenesest ühe korra, see tähendab, et seda ei ole veel hakatud korrutama, mis tähendab, et number ise pole isegi ilmunud - seetõttu on tulemuseks vaid omamoodi "tühi number", nimelt number;
...negatiivne täisarv - see oli justkui mingi "pöördprotsess" aset leidnud, see tähendab, et arvu ei korrutatud iseenesest, vaid jagati.
Muide, teaduses kasutatakse sageli keeruka indikaatoriga kraadi, see tähendab, et indikaator ei ole isegi reaalarv.
Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on instituudis võimalus neist uutest mõistetest aru saada.
KUST KINDLAD, MIDA KINDLASTI SAAD! (kui saate teada, kuidas selliseid näiteid lahendada :))
Näiteks:
Otsustage ise:
Lahenduste analüüs:
1. Alustame juba tavalise reegliga võimu suurendamiseks võimule:
Vaata nüüd indikaatorit. Kas ta meenutab sulle midagi? Tuletame meelde vähendatud korrutamise valemit, ruutude erinevust:
Sel juhul,
Selgub, et:
Vastus: .
2. Toome eksponentide murdarvud samale kujule: kas komakohaga või mõlemad tavalised. Võtame näiteks:
Vastus: 16
3. Pole midagi erilist, rakendame kraadide tavalisi omadusi:
EDASIJÕUDNUTE TASE
Kraadi määramine
Kraad on vormi avaldus:, kus:
- — kraadi alus;
- - eksponent.
Kraad loodusliku eksponendiga (n \u003d 1, 2, 3, ...)
Arvu tõstmine naturaalvõimsuseks n tähendab arvu korrutamist iseenesest:
Täisarv (0, ± 1, ± 2, ...)
Kui eksponent on kogu positiivne arv:
Erektsioon nullini:
See väljend on määramatu, sest ühelt poolt - igal juhul - ja teiselt poolt - igal arvul - see.
Kui eksponent on kogu negatiivne arv:
(kuna te ei saa jagada).
Veel kord nullide kohta: ekspressioon on igatahes määratlemata. Kui siis.
Näited:
Ratsionaalne hinne
- - naturaalarv;
- - täisarv;
Näited:
Võimsuse omadused
Probleemide lahendamise lihtsustamiseks proovime mõista: kust need omadused tulid? Tõestame neid.
Vaatame: mis on ja?
A-eelrühm:
Selle väljendi paremal küljel saame järgmise toote:
Kuid definitsiooni järgi on see eksponendiga numbri jõud, see on:
Q.E.D.
Näide : Lihtsustage väljendit.
Otsus : .
Näide : Lihtsustage väljendit.
Otsus : Meie reeglis on oluline seda tähele panna tingimatapeavad olema samad alused. Seetõttu ühendame kraadid alusega, kuid see jääb eraldi teguriks:
Veel üks oluline märkus: see reegel on - ainult kraadide korrutise jaoks!
Mitte mingil juhul ei tohiks ma seda kirjutada.
Sarnaselt eelmisele omadusele pöördugem kraadi määratluse poole:
Korrastame selle tüki ümber nii:
Selgub, et avaldis korrutatakse iseenesest ühe korra, see tähendab definitsiooni järgi, et see on numbri kolmas jõud:
Põhimõtteliselt võib seda nimetada "indikaatori kahratustamiseks". Kuid te ei tohiks seda kunagi teha:
Pidagem meeles lühendatud korrutamisvalemeid: mitu korda tahtsime kirjutada? Kuid see pole ju tõsi.
Negatiivse alusega kraad.
Selle hetkeni oleme vaid arutanud, kuidas see peaks olema indeks kraadi. Kuid mis peaks olema alus? Kraadides koos loomulik indikaator alus võib olla suvaline arv .
Tõepoolest, me võime suvalisi numbreid korrutada üksteisega, olgu need positiivsed, negatiivsed või isegi. Mõelgem, millistel märkidel ("" või "") on positiivsete ja negatiivsete numbrite jõud?
Näiteks kas arv on positiivne või negatiivne? JA? ?
Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid numbreid üksteisega korrutame, on tulemus positiivne.
Kuid negatiivne on natuke huvitavam. Peame ju meeles 6. klassi lihtsat reeglit: “miinus miinus annab plussi”. See tähendab, või. Kui aga korrutame () -ga, saame -.
Ja nii edasi lõpmatuseni: iga järgneva korrutamisega märk muutub. Saate sõnastada sellised lihtsad reeglid:
- isegi kraad, - arv positiivne.
- Negatiivne arv tõstetud väärtuseni kummaline kraad, - arv negatiivne.
- Positiivne arv mingil määral on positiivne arv.
- Null suvalise võimsuse korral on null.
Otsustage ise, millisel allkirjal on järgmised väljendid:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Kas sa said hakkama? Siin on vastused:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Nelja esimese näite puhul loodan, et kõik on selge? Me lihtsalt vaatame alust ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.
Näites 5) pole kõik ka nii hirmutav, kui tundub: pole vahet, mis alus on võrdne - kraad on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne. Noh, välja arvatud siis, kui alus on null. Vundament pole võrdne, kas on? Ilmselt mitte, kuna (sest).
Näide 6) pole enam nii lihtne. Siin peate välja selgitama, kumb on vähem: või? Kui seda mäletate, saab selgeks, mis tähendab, et alus on väiksem kui null. See tähendab, et rakendame reeglit 2: tulemus on negatiivne.
Ja jälle kasutame kraadi määratlust:
Kõik on nagu tavaliselt - kirjutame kraadide määratluse üles ja jagame need omavahel, jagame paaridesse ja saame:
Enne viimase reegli uurimist lahendame mõned näited.
Arvutage avaldiste väärtused:
Lahendused :
Peale kaheksanda kraadi, mida me siin näeme? Meenutame 7. klassi programmi. Nii, mäletad? See on lühendatud korrutamise valem, nimelt ruutude erinevus!
Saame:
Vaatame tähelepanelikult nimetajat. See on väga sarnane ühele lugejategurile, kuid mis on valesti? Vale tingimuste järjekord. Nende vahetamise korral võiks kohaldada reeglit 3. Kuid kuidas seda teha? See osutub väga lihtsaks: nimetaja ühtlane aste aitab meid siin.
Kui seda korrutada, siis midagi ei muutu, eks? Kuid nüüd selgub järgmine:
Mõisted on võluväel vastupidised. See "nähtus" on rakendatav mis tahes väljendi korral ühtlaselt: sulgudes olevaid märke saame vabalt muuta. Kuid on oluline meeles pidada: kõik märgid muutuvad samaaegselt!Seda ei saa asendada vaid ühe puuduse muutmisega, mida me ei soovi!
Läheme tagasi näite juurde:
Ja jällegi valem:
Nüüd viimane reegel:
Kuidas me seda tõestame? Muidugi, nagu tavaliselt: laiendame kraadi mõistet ja lihtsustagem:
Nüüd avame sulgud. Mitu kirja tuleb? kord kordajate kaupa - kuidas see välja näeb? See pole midagi muud kui operatsiooni määratlus korrutamine: olid ainult kordajad. See tähendab, et see on definitsiooni järgi eksponendiga arvu number:
Näide:
Irratsionaalne hinne
Lisaks kesktaseme kraadide teabele analüüsime kraadi ka irratsionaalse eksponendiga. Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse eksponendiga kraadi puhul, erandiga - lõppude lõpuks on irratsionaalsed numbrid arvud, mida ei saa esitada murdosana, kus ja on täisarvud (see tähendab, irratsionaalsed numbrid on kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalsed).
Kui uuriti kraadi loodusliku, tervikliku ja ratsionaalse indikaatoriga, koostasime iga kord omamoodi "pildi", "analoogia" või kirjelduse tuttavamates terminites. Näiteks looduslik eksponent on arv, mis korrutatakse iseenesest mitu korda; arv nullini kraadini on justkui arv, mis korrutatakse iseenesest ühe korra, see tähendab, et seda pole veel hakanud korrutama, mis tähendab, et number ise pole isegi ilmunud - seetõttu on tulemuseks vaid omamoodi "tühi number", nimelt arv; aste täisarvuga negatiivse eksponendiga astub justkui teatud "pöördprotsessis", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseenesest, vaid jagati.
Irratsionaalse eksponendiga kraadi on äärmiselt keeruline ette kujutada (samamoodi nagu 4-mõõtmelist ruumi on keeruline ette kujutada). Pigem on tegemist puhtalt matemaatilise objektiga, mille matemaatikud lõid, et laiendada kraadi mõistet kogu numbriruumile.
Muide, teaduses kasutatakse sageli keeruka indikaatoriga kraadi, see tähendab, et indikaator ei ole isegi reaalarv. Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on instituudis võimalus neist uutest mõistetest aru saada.
Mida me siis teeme, kui näeme irratsionaalset eksponenti? Püüame kõigist võimalustest lahti saada! :)
Näiteks:
Otsustage ise:
| 1) | 2) | 3) |
Vastused:
- Tuletame meelde ruutude erinevuse valemit. Vastus:.
- Fraktsioonid toome samasse vormi: kas mõlemad kümnendkoha täpsusega või mõlemad tavalised. Saame näiteks:.
- Pole midagi erilist, rakendame tavalisi võimsuse omadusi:
OSA KOKKUVÕTE JA PÕHIVORMAD
Kraad mida nimetatakse vormi avaldiseks:, kus:
Täisarv
aste, mille eksponent on naturaalarv (see tähendab täisarv ja positiivne).
Ratsionaalne hinne
kraad, mille eksponent on negatiivne ja murdarv.
Irratsionaalne hinne
kraad, mille eksponendiks on lõpmatu kümnendmurr või juur.
Võimsuse omadused
Kraadide omadused.
- Negatiivne arv tõstetud väärtuseni isegi kraad, - arv positiivne.
- Negatiivne arv tõstetud väärtuseni kummaline kraad, - arv negatiivne.
- Positiivne arv mingil määral on positiivne arv.
- Null on võrdne mis tahes kraadiga.
- Iga arv nullkraadini on võrdne.
KOHE SÕNA ...
Kuidas teile artikkel meeldib? Kirjutage kommentaaridesse, kas teile meeldis või mitte.
Rääkige meile oma kogemusest kraadiomaduste osas.
Võib-olla on teil küsimusi. Või soovitusi.
Kirjutage kommentaaridesse.
Ja palju edu teie eksamitel!
Teaduse ja matemaatika artiklid
Kraadide omadused sama alusega
Kraadidel on kolm omadust, millel on samad alused ja looduslikud väärtused. seda
Ole ettevaatlik! Reeglid seoses liitmine ja lahutamine kraadi samade alustega ei eksisteeri.
Kirjutame need omadused-reeglid valemite kujul:
Nüüd kaalume neid konkreetsete näidetega ja proovime neid tõestada.
5 2 × 5 3 \u003d 5 5 - siin rakendasime reeglit; Kujutame nüüd ette, kuidas me selle näite lahendaksime, kui me reegleid ei teaks:
5 2 × 5 3 \u003d 5 × 5 × 5 × 5 × 5 \u003d 5 5 - viis ruutu on viis korda viis ja kuubitud on kolme viiekordne korrutis. Tulemuseks on viie viie korrutis, kuid see on midagi muud kui viis kuni viies jõud: 5 5.
3 9 ÷ 3 5 \u003d 3 9–5 \u003d 3 4. Kirjutame jaotuse murdosaks:
Seda saab lühendada: 
Selle tulemusel saame: 
Seega tõestasime, et jagades kaks kraadi samade alustega, tuleb nende näitajad lahutada.
Jagamisel ei saa aga jagaja nulliga võrdne olla (kuna nulliga jagada ei saa). Lisaks, kuna arvestame kraadi ainult looduslike eksponentidega, ei saa eksponentide lahutamise tulemusel saada arvu, mis on väiksem kui 1. Seetõttu on valemiga a m ÷ a n \u003d a m - n: a ≠ 0 ja m\u003e n seatud piirangud.
Liigume edasi kolmandasse kinnisvarasse:
(2 2) 4 \u003d 2 2 × 4 \u003d 2 8
Kirjutame laiendatud kujul:
(2 2) 4 \u003d (2 × 2) 4 \u003d (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) \u003d 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 \u003d 2 8
Sellele järeldusele ja põhjendustele võite jõuda loogiliselt. Peate korrutama kaks ruutu neli korda. Kuid igas ruudus on kaks kaksikut, mis tähendab, et neid on kokku kaheksa.
scienceland.info
Kraadi omadused
Tuletame meelde, et sellest õppetunnist saab aru võimsuse omadused looduslike indikaatoritega ja null. Ratsionaalsete näitajatega kraadi ja selle omadusi arutatakse 8. klassi tundides.
Looduslikul eksponendil on mitu olulist omadust, mis muudavad eksponentide näidetes arvutamise hõlpsamaks.
Kinnistu number 1
Kraadide korrutis
Kui korrutada kraadi samade alustega, jääb alus muutumatuks ja eksponendid lisatakse.
a m · a n \u003d a m + n, kus "a" on suvaline arv ja "m", "n" on suvalised arvud.
See kraadide omadus mõjutab ka kolme või enama kraadi korrutist.
b b 2 b 3 b 4 b 5 \u003d b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d b 15
6 15 36 \u003d 6 15 6 2 \u003d 6 15 6 2 \u003d 6 17
(0,8) 3 (0,8) 12 \u003d (0,8) 3 + 12 \u003d (0,8) 15
Pange tähele, et täpsustatud atribuudis oli asi ainult võimude korrutamises samade alustega ... See ei kehti nende lisamise kohta.
Summat (3 3 + 3 2) ei saa asendada summaga 3 5. See on mõistetav, kui
arv (3 3 + 3 2) \u003d (27 + 9) \u003d 36 ja 3 5 \u003d 243
Kinnistu number 2
Erakraadid
Kraadide jagamisel samade alustega jääb alus muutumatuks ja dividendi eksponendist lahutatakse jagaja eksponent.
(2b) 5: (2b) 3 \u003d (2b) 5 - 3 \u003d (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 \u003d 11 4 \u003d 44
Näide. Lahendage võrrand. Me kasutame erakraadide kinnisvara.
3 8: t \u003d 3,4
Vastus: t \u003d 3 4 \u003d 81
Kasutades atribuute nr 1 ja 2, saate avaldisi hõlpsalt lihtsustada ja arvutusi teha.
- Näide. Lihtsustage väljendit.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 6m + 8 - 4m - 3 \u003d 4 2m + 5
Näide. Leidke avaldise väärtus kraadi omaduste abil.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Pange tähele, et 2. omadus seisnes ainult kraadide jagamises samade alustega.
Erinevust (4 3 −4 2) ei saa asendada numbriga 4 1. See on arusaadav, kui loendate (4 3 −4 2) \u003d (64-16) \u003d 48 ja 4 1 \u003d 4
Kinnistu number 3
Ekspansioon
Kraadi võimule tõstmisel jääb kraadi alus muutumatuks ja eksponendid korrutatakse.
(a n) m \u003d a n · m, kus "a" on suvaline arv ja "m", "n" on suvalised arvud.
Pange tähele, et atribuuti nr 4, nagu ka muid kraadiomadusi, rakendatakse vastupidises järjekorras.
(a n b n) \u003d (a b) n
See tähendab, et võimude korrutamiseks samade näitajatega saate korrutada aluseid ja eksponendi võib jätta muutmata.
2 4 5 4 \u003d (2 5) 4 \u003d 10 4 \u003d 10 000
0,5 16 2 16 \u003d (0,5 2) 16 \u003d 1
Komplitseeritumate näidete puhul võib esineda juhtumeid, kus korrutamine ja jagamine tuleb läbi viia kraadide kaupa erinevate aluste ja erinevate eksponentidega. Sel juhul soovitame teil toimida järgmiselt.
Näiteks 4 5 3 2 \u003d 4 3 4 2 3 2 \u003d 4 3 (4 3) 2 \u003d 64 12 2 \u003d 64 144 \u003d 9216
Näide kümnendarvuks tõstmisest.
4 21 (−0,25) 20 \u003d 4 4 20 (−0,25) 20 \u003d 4 (4 (−0,25)) 20 \u003d 4 (−1) 20 \u003d 4 1 \u003d 4
Omadused 5
Jaotise aste (murdosa)
Jaotise suurendamiseks võimsusele saate dividendi ja jagaja selle võimsuse jaoks eraldi tõsta ja esimese tulemuse teisega jagada.
(a: b) n \u003d a n: b n, kus “a”, “b” on suvalised ratsionaalarvud, b ≠ 0, n on suvaline arv.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Tuletame meelde, et jagatis võib olla murdosa. Seetõttu peatume järgmisel lehel üksikasjalikumalt murdosa võimule tõstmise teema peal.
Numbrite korrutamine ja jagamine jõududega
Kui teil on vaja konkreetset arvu võimule tõsta, võite kasutada naturaalarvude võimsuste tabelit vahemikus 2 kuni 25 algebras. Ja nüüd hakkame edasi elama kraadide omadused.
Eksponentsiaalsed numbrid need avavad suurepäraseid võimalusi, nad võimaldavad meil muuta korrutamise liitmiseks ja liitmine on palju lihtsam kui korrutamine. 
Näiteks peame 16 korrutama 64-ga. Nende kahe arvu korrutise korrutis on 1024. Kuid 16 on 4x4 ja 64 on 4x4x4. See tähendab, et 16 x 64 \u003d 4x4x4x4x4, mis on samuti 1024.
Arv 16 võib olla esindatud ka kui 2x2x2x2 ja 64 kui 2x2x2x2x2x2 ja kui korrutame, saame jälle 1024.
Nüüd kasutame reeglit numbri võimule tõstmiseks. 16 \u003d 4 2 või 2 4, 64 \u003d 4 3 või 2 6, samal ajal 1024 \u003d 6 4 \u003d 4 5 või 2 10.
Seetõttu saab meie probleemi kirjutada teisel viisil: 4 2 x4 3 \u003d 4 5 või 2 4 x2 6 \u003d 2 10 ja iga kord saame 1024.
Saame lahendada mõned sarnased näited ja näeme, et arvude korrutamine võimsustega väheneb väärtuseks eksponentide lisaminevõi muidugi eksponentsiaalne, eeldusel et tegurite alused on võrdsed.
Seega võime ilma korrutamata kohe öelda, et 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
See reegel kehtib ka numbrite jagamisel jõududega, kuid sel juhul e dividendi eksponendist lahutatakse jagaja eksponent... Seega 2 5: 2 3 \u003d 2 2, mis tavaarvudes on 32: 8 \u003d 4, see tähendab 2 2. Teeme kokkuvõtte:
a m х a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kus m ja n on täisarvud.
Esmapilgul võib tunduda, mis on arvude korrutamine ja jagamine võimudega pole eriti mugav, sest esmalt peate numbri esindama eksponentsiaalsel kujul. Selles vormis, st 2 3 ja 2 4, ei ole keeruline esindada numbreid 8 ja 16, kuid kuidas seda teha numbritega 7 ja 17? Või mida teha, kui arvu saab esitada eksponentsiaalsel kujul, kuid arvude eksponentsiaalsete avaldiste alused on väga erinevad. Näiteks 8 x 9 on 2 3 x 3 2, sel juhul ei saa me eksponente kokku liita. Ei 2 5 ega 3 5 pole vastus ega ka vastus nende kahe numbri vahel.
Siis kas tasub seda meetodit üldse vaevata? Kindlasti seda väärt. See pakub tohutult eeliseid, eriti keerukate ja aeganõudvate arvutuste jaoks.
Siiani oleme eeldanud, et eksponent on identsete tegurite arv. Sel juhul on eksponendi minimaalne väärtus 2. Kui aga teostame jagavate numbrite või lahutatavate eksponentide toimingu, võime saada ka arvu, mis on väiksem kui 2, mis tähendab, et vana määratlus ei saa meile enam sobida. Loe lähemalt järgmisest artiklist.
Võimude liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine
Liita ja lahutada jõud
Ilmselt saab sarnaselt muudele kogustele lisada ka võimsustega numbreid , lisades need ükshaaval oma märkidega.
Niisiis, summa 3 ja b 2 on 3 + b 2.
3 - b n ja h 5 -d 4 summa on 3 - b n + h 5 - d 4.
Koefitsiendid identsete muutujate võrdsed astmed saab liita või lahutada.
Niisiis on 2a 2 ja 3a 2 summa 5a 2.
Samuti on ilmne, et kui võtta kaks ruutu a või kolm ruutu a või viis ruutu a.
Aga kraadi erinevad muutujad ja erineval määral identsed muutujad, tuleb lisada nende märkidega lisamisega.
Niisiis, 2 ja 3 summa on 2 + a 3 summa.
On ilmne, et ruut a ja kuup a ei ole võrdsed kahekordse ruuduga a, vaid kaks korda a kuubiga.
3 b n ja 3a 5 b 6 summa on 3 b n + 3a 5 b 6.
Lahutamine kraadid viiakse läbi samamoodi nagu liitmine, välja arvatud see, et lahutatud märke tuleb vastavalt muuta.
Või:
2a4 - (-6a4) \u003d 8a4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 \u003d 3 (a - h) 6
Kraadide korrutamine
Võimetega numbreid saab korrutada, nagu ka muid suurusi, kirjutades need üksteise järel, kas nende vahelise korrumismärgiga või ilma.
Niisiis, 3 korrutamisel b 2-ga saadakse 3 b 2 või aaabb.
Või:
x -3 ⋅ a m \u003d a m x -3
3a6 y2 ⋅ (-2x) \u003d -6a 6 xy2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y \u003d a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Viimase näite tulemuse saab tellida samade muutujate lisamisega.
Lause vorm on järgmine: a 5 b 5 y 3.
Kui võrrelda mitut arvu (muutujat) jõududega, näeme, et kui mõni neist kahest korrutatakse, on tulemuseks arv (muutuja), mille võimsus on võrdne summa terminite kraadid.
Niisiis, 2aa \u003d \u003d aa.aaa \u003d aaaaa \u003d a 5.
Siin 5 on korrutamise tulemuse jõud, mis võrdub 2 + 3, mis on tingimuste jõudude summa.
Niisiis, a n .a m \u003d a m + n.
N jaoks võetakse a tegurina mitu korda, kui n võimsus on võrdne;
Ja a m võetakse teguriks nii mitu korda, kui m võimsus on;
Seetõttu kraadi samade vartega saab korrutada eksponentide lisamisega.
Niisiis, 2 .a 6 \u003d a 2 + 6 \u003d a 8. Ja x 3 .x 2 .x \u003d x 3 + 2 + 1 \u003d x 6.
Või:
4a n ⋅ 2a n \u003d 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y \u003d b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) \u003d (b + h - y) n + 1
Korrutage (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastus: x 4 - y 4.
Korrutage (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
See reegel kehtib ka numbrite kohta, mille eksponendid on - negatiivne.
1. Niisiis, -2 .a -3 \u003d a -5. Selle võib kirjutada järgmiselt: (1 / aa). (1 / aaa) \u003d 1 / aaaaa.
2.y-n .y -m \u003d y -n-m.
3.a-n .a m \u003d a m-n.
Kui a + b korrutatakse a-b-ga, on tulemuseks 2 - b 2: see on
Kahe arvu summa või erinevuse korrutamise tulemus võrdub nende ruutude summaga või erinevusega.
Kui kahe numbri summa ja erinevus tõstetakse väärtuseni ruut, võrdub tulemus nende arvude summaga või erinevusega neljas kraadi.
Niisiis, (a - y). (A + y) \u003d a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) \u003d a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) \u003d a 8 - y 8.
Kraadide jaotus
Võimsuse numbreid saab jagada nagu teisi numbreid, lahutades jagaja või pannes need murdarvu.
Niisiis võrdub a 3 b 2 jagatuna b 2 -ga.
5 jagatud 3-ga näeb välja nagu $ \\ frac $. Kuid see võrdub kahega. Numbriseeriana
a +4, +3, +2, a +1, 0, -1, -2, -3, a -4.
suvalise arvu saab jagada teisega ja eksponent saab erinevus jagatavate arvude eksponendid.
Kraadide jagamisel sama alusega lahutatakse nende indikaatorid..
Niisiis, y 3: y 2 \u003d y 3-2 \u003d y 1. See tähendab, et $ \\ frac \u003d y $.
Ja a n + 1: a \u003d a n + 1-1 \u003d a n. See tähendab, et $ \\ frac \u003d a ^ n $.
Või:
y 2m: y m \u003d y m
8a n + m: 4a m \u003d 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 \u003d 4 (b + y) n-3
Reegel kehtib ka numbritega, millel on negatiivne kraadide väärtused.
A -5 jagamisel -3-ga jagatakse tulemus -2.
Samuti $ \\ frac: \\ frac \u003d \\ frac. \\ Frac \u003d \\ frac \u003d \\ frac $.
h 2: h -1 \u003d h 2 + 1 \u003d h 3 või $ h ^ 2: \\ frac \u003d h ^ 2. \\ frac \u003d h ^ 3 $
Korrutamine ja võimu jagamine on vajalik väga hästi, kuna selliseid toiminguid kasutatakse algebras väga laialdaselt.
Näidete lahendamise näited murdarvudega, millel on võimsused
1. Vähendage eksponentide kategoorias $ \\ frac $ Vastus: $ \\ frac $.
2. Vähendage eksponentide väärtust $ \\ frac $. Vastus: $ \\ frac $ või 2x.
3. Vähendage eksponente a / a 3 ja -3 / a -4 ning viige need ühisesse nimetajasse.
a 2 .a -4 on -2 esimene lugeja.
a 3 .a -3 on 0 \u003d 1, teine \u200b\u200blugeja.
a 3 .a -4 on -1, tavaline lugeja.
Pärast lihtsustamist: -2 / a -1 ja 1 / a -1.
4. Vähendage eksponente 2a 4 / 5a 3 ja 2 / a 4 ning viige need ühisesse nimetajasse.
Vastus: 2a 3 / 5a 7 ja 5a 5 / 5a 7 või 2a 3 / 5a 2 ja 5 / 5a 2.
5. Korrutage (a 3 + b) / b 4 (a - b) / 3-ga.
6. Korrutage (a 5 + 1) / x 2 arvuga (b 2 - 1) / (x + a).
7. Korrutage b 4 / a -2 h -3 / x ja a n / y -3-ga.
8. Jagage 4 / y 3 arvuga 3 / y 2. Vastus: a / a.
Kraad ja selle omadused. Keskmine tase.
Kas soovite proovida oma jõudu ja teada saada tulemuse, kui valmis olete ühtse riigieksami või OGE jaoks?
Kraad mida nimetatakse vormi avaldiseks:, kus:
Täisarv
kraad, mille eksponent on naturaalarv (s.t täisarv ja positiivne).
Ratsionaalne hinne
kraad, mille eksponent on negatiivne ja murdarv.
Irratsionaalne hinne
kraad, mille eksponendiks on lõpmatu kümnendmurr või juur.
Võimsuse omadused
Kraadide omadused.
Mis on arvu aste?
Laiendamine on sama matemaatiline toiming nagu liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine.
Nüüd selgitan kõike inimkeeles, kasutades väga lihtsaid näiteid. Pane tähele. Näited on elementaarsed, kuid need selgitavad olulisi asju.
Alustame lisamisega.
Pole midagi seletada. Te teate juba kõike: meid on kaheksa. Mõlemal on kaks pudelit koola. Kui palju kola seal on? Täpselt nii - 16 pudelit.
Nüüd korrutamine.
Sama kola näite võib kirjutada erinevalt:. Matemaatikud on kavalad ja laisad inimesed. Esmalt märkavad nad mõnda mustrit ja siis tulevad välja mooduse, kuidas neid kiiresti “arvestada”. Meie puhul märkasid nad, et kõigil kaheksal inimesel oli sama arv koolapudeleid ja nad tulid välja tehnikaga, mida nimetatakse korrutamiseks. Nõus, seda peetakse lihtsamaks ja kiiremaks kui.
Nii et kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta loendamiseks peate lihtsalt meeles pidama korrutustabel... Muidugi saate teha kõike aeglasemalt, raskemalt ja vigadeta! Aga…
Siin on korrutustabel. Korda.
Ja veel üks, ilusam:
Milliste muude nutikate loendamistrikkidega on laiskad matemaatikud välja tulnud? Õige - numbri tõstmine võimule.
Numbri tõstmine võimule.
Kui teil on vaja arv iseenesest viis korda korrutada, siis matemaatikute sõnul peate selle arvu viiendaks võimsuseks tõstma. Näiteks, . Matemaatikud mäletavad, et kaks kuni viiendat kraadi on. Ja nad lahendavad sellised probleemid peas - kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta.
Kõik, mida peate tegema, on pidage meeles, mida on esile toodud numbrite võimsuste tabelis... Uskuge mind, see teeb teie elu palju lihtsamaks.
Muide, miks nimetatakse teist kraadi ruut numbrid ja kolmas - kuup? Mida see tähendab? See on väga hea küsimus. Nüüd on teil nii ruudud kui ka kuubikud.
Näide elust nr 1.
Alustame ruudu või numbri teise jõuga.
Kujutage ette, et bassein on ruutmeeter meetri kohta. Bassein asub teie maamajas. Palav on ja ma tahan tõesti ujuda. Aga ... põhjata bassein! Peate katma basseini põhja plaatidega. Mitu plaati vajate? Selle kindlakstegemiseks peate teadma basseini põhja pindala.
Võite lihtsalt sõrmega koputades arvestada, et basseini põhja moodustavad meetrised kuubikud. Kui teil on plaadimeeter meetri kaupa, vajate tükke. See on lihtne ... Aga kus sa selliseid plaate näinud oled? Plaatide suurus on tõenäolisem sentimeetrites. Ja siis piinab teid "sõrmede arv". Siis peate korrutama. Niisiis, ühele poole basseini põhja paigaldame plaadid (tükid) ja teisele ka plaadid. Korrutades saad plaadid ().
Kas olete märganud, et korrutasime basseini põhja pindala sama arvu iseenesest? Mida see tähendab? Kui sama arv on korrutatud, võime kasutada "eksponentseerimise" tehnikat. (Muidugi, kui teil on ainult kaks numbrit, korrutate need ikkagi või tõstate need võimule. Kuid kui neid on palju, siis on võimule tõstmine palju lihtsam ja arvutustes on ka vähem vigu. Eksami jaoks on see väga oluline).
Niisiis, teises astmes on kolmkümmend (). Või võite öelda, et kolmkümmend ruutu on. Teisisõnu, numbri teist võimsust saab alati esitada ruuduna. Ja vastupidi, kui näete ruutu, on see ALATI numbri teine \u200b\u200bjõud. Ruut on numbri teise jõu pilt.
Näide reaalsest elust nr 2.
Siin on teie ülesanne, loendage numbri ruudu abil, mitu ruutu on malelaual. Lahtrite ühel küljel ja teisel ka. Nende arvu lugemiseks peate kaheksa korrutama kaheksaga või ... kui märkate, et malelaud on küljega ruut, saate ruudu kaheksa. Te saate rakke. () Niisiis?
Elunäide nr 3.
Nüüd kuup või numbri kolmas võimsus. Sama bassein. Kuid nüüd peate välja selgitama, kui palju vett tuleb sellesse basseini valada. Peate arvutama helitugevuse. (Mahud ja vedelikud, muide, on mõõdetud kuupmeetrites. Üllataval kombel, eks?) Joonistage bassein: põhi on meetri suurune ja meetri sügav ning proovige arvutada, mitu kuupmeetrit meetri kohta läheb teie basseini.
Näidake sõrmega ja loendage! Üks, kaks, kolm, neli ... kakskümmend kaks, kakskümmend kolm ... Kui palju see selgus? Pole kadunud? Kas sõrmega on keeruline loendada? Nii et! Võtke näide matemaatikutest. Nad on laisad, nii et nad märkasid, et basseini mahu arvutamiseks peate korrutama selle pikkuse, laiuse ja kõrguse üksteisega. Meie puhul võrdub basseini maht kuubikutega ... Lihtsam, eks?
Kujutage nüüd ette, kui laisad ja kavalad matemaatikud on, kui nad seda ka lihtsustavad. Nad taandasid kõik üheks toiminguks. Nad märkasid, et pikkus, laius ja kõrgus on võrdsed ja sama arv korrutatakse iseenesest ... Mida see tähendab? See tähendab, et saate kraadi kasutada. Niisiis, mida olete kord sõrmega loendanud, teevad nad ühe toiminguga: kolm kuubis on võrdsed. See on kirjutatud nii:.
Ainult jääb pidage meeles kraadide tabelit... Kui te muidugi olete sama laisad ja kavalad kui matemaatikud. Kui teile meeldib kõvasti tööd teha ja vigu teha, võite jätkata sõrmega loendamist.
Noh, selleks, et teid lõpuks veenda, et kraadid leiutasid tühikäigulised ja kavalad, et lahendada oma eluprobleeme ja mitte teile probleeme tekitada, on siin veel paar näidet elust.
Elunäide nr 4.
Teil on miljon rubla. Iga aasta alguses teenite iga miljoni pealt veel ühe miljoni. See tähendab, et teie iga miljon iga aasta alguses kahekordistub. Kui palju teil aastatega raha on? Kui sa praegu istud ja “sõrmega loendad”, siis oled väga töökas inimene ja .. loll. Kuid kõige tõenäolisemalt annate vastuse paari sekundiga, sest olete nutikas! Nii et esimesel aastal - kaks korda kaks ... teisel aastal - juhtus veel kaks aastat, kolmandal aastal ... Lõpeta! Märkasite, et arv korrutatakse iseenesest üks kord. Nii et kaks kuni viiendat jõudu on miljon! Kujutage nüüd ette, et teil on konkurss ja need miljonid võtab vastu see, kes arvutab kiiremini ... Kas tasub numbrite kraadi meelde jätta, mida arvate?
Päriselu näide # 5.
Teil on miljon. Iga aasta alguses teenite iga miljoni pealt veel kaks. Tore, kas pole? Iga miljon kolmekordistub. Kui palju teil aastatega raha on? Loeme. Esimene aasta - korruta, siis tulemus teisega ... See on juba igav, sest sa oled juba kõigest aru saanud: kolm korda korrutatakse iseenesest. Nii et neljas jõud võrdub miljoniga. Peate lihtsalt meeles pidama, et kolm kuni neljas jõud on või.
Nüüd teate, et arvu suurendamisega võimule kergendate oma elu oluliselt. Vaatame lähemalt, mida saate kraadidega teha ja mida peate nende kohta teadma.
Mõisted ja mõisted.
Kõigepealt määratlegem mõisted. Mida sa arvad, mis on eksponent? See on väga lihtne - see on number, mis on numbri võimsus "ülaosas". Pole teaduslik, kuid arusaadav ja kergesti meeldejääv ...
Noh, samal ajal sellise kraadi alusel? Veelgi lihtsam on number, mis on allosas, põhjas.
Siin on joonis, milles kindel olla.
Noh, üldistades, et paremini üldistada ja paremini meelde jätta, loetakse kraad, mille alus on "" ja indikaator "", kui "kraad", ja see kirjutatakse järgmiselt:
"Arvu aste loodusliku eksponendiga"
Tõenäoliselt arvasite juba: kuna eksponent on naturaalarv. Jah, aga mis on naturaalarv? Elementaarsed! Naturaalarvud on numbrid, mida loendamisel kasutatakse üksuste loetlemisel: üks, kaks, kolm ... Kui loendame üksusi, siis me ei ütle: "miinus viis", "miinus kuus", "miinus seitse". Me ei ütle ka: "üks kolmandik" või "null punkt, viis kümnendikku". Need ei ole naturaalarvud. Mis numbrid te arvate?
Numbrid nagu “miinus viis”, “miinus kuus”, “miinus seitse” viitavad täisarvud. Üldiselt hõlmavad täisarvud kõiki naturaalarvu, naturaalarvudele vastavaid numbreid (st võetakse miinusmärgiga) ja arvu. Null on hõlpsasti mõistetav - see on siis, kui midagi pole. Ja mida tähendavad negatiivsed ("miinus") numbrid? Kuid need leiutati peamiselt võlgade märkimiseks: kui teil on telefonis rublasid, tähendab see, et võlgnete operaatori rublad.
Kõik murdarvud on ratsionaalsed numbrid. Mis te arvate, kuidas need tekkisid? Väga lihtne. Mitu tuhat aastat tagasi avastasid meie esivanemad, et neil puuduvad pikkuse, kaalu, pindala jne mõõtmiseks naturaalsed numbrid. Ja nad tulid välja ratsionaalsed numbrid... Huvitav, eks?
On ka irratsionaalseid numbreid. Mis need numbrid on? Lühidalt, lõpmatu kümnendmurr. Näiteks kui jagate ringi ümbermõõdu selle läbimõõduga, saate irratsionaalse arvu.
Kraad loodusliku indikaatoriga
Määratlegem kraadi mõiste, mille eksponent on naturaalarv (see tähendab täisarv ja positiivne).
- Iga esimese võimsuse arv võrdub iseendaga:
- Arvu ümardamiseks tuleb see korrutada iseenesest:
- Arvu kuupimiseks tuleb see korrutada kolm korda iseenesest:
Definitsioon. Numbri loomulikule võimsusele tõstmine tähendab arvu korrutamist korrutatuna järgmiselt:
Kui teil on vaja konkreetne number võimsusele tõsta, saate seda kasutada. Ja nüüd hakkame edasi elama kraadide omadused.
Eksponentsiaalsed numbrid need avavad suurepäraseid võimalusi, nad võimaldavad meil muuta korrutamise liitmiseks ja liitmine on palju lihtsam kui korrutamine.
Näiteks peame 16 korrutama 64-ga. Nende kahe arvu korrutise korrutis on 1024. Kuid 16 on 4x4 ja 64 on 4x4x4. See tähendab, et 16 x 64 \u003d 4x4x4x4x4, mis on samuti 1024.
Arv 16 võib olla esindatud ka kui 2x2x2x2 ja 64 kui 2x2x2x2x2x2 ja kui korrutame, saame jälle 1024.
Kasutagem nüüd reeglit. 16 \u003d 4 2 või 2 4, 64 \u003d 4 3 või 2 6, samal ajal 1024 \u003d 6 4 \u003d 4 5 või 2 10.
Seetõttu saab meie probleemi kirjutada teisel viisil: 4 2 x4 3 \u003d 4 5 või 2 4 x2 6 \u003d 2 10 ja iga kord saame 1024.
Saame lahendada mõned sarnased näited ja näeme, et arvude korrutamine võimsustega väheneb väärtuseks eksponentide lisaminevõi muidugi eksponentsiaalne, eeldusel et tegurite alused on võrdsed.
Seega võime ilma korrutamata kohe öelda, et 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
See reegel kehtib ka numbrite jagamisel jõududega, kuid sel juhul e dividendi eksponendist lahutatakse jagaja eksponent... Seega 2 5: 2 3 \u003d 2 2, mis tavaarvudes on 32: 8 \u003d 4, see tähendab 2 2. Teeme kokkuvõtte:
a m х a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kus m ja n on täisarvud.
Esmapilgul võib tunduda, mis on arvude korrutamine ja jagamine võimudega pole eriti mugav, sest esmalt peate numbri esindama eksponentsiaalsel kujul. Selles vormis, st 2 3 ja 2 4, ei ole keeruline esindada numbreid 8 ja 16, kuid kuidas seda teha numbritega 7 ja 17? Või mida teha, kui arvu saab esitada eksponentsiaalsel kujul, kuid arvude eksponentsiaalsete avaldiste alused on väga erinevad. Näiteks 8 x 9 on 2 3 x 3 2, sel juhul ei saa me eksponente kokku liita. Ei 2 5 ega 3 5 pole vastus ega ka vastus nende kahe numbri vahel.
Siis kas tasub seda meetodit üldse vaevata? Kindlasti seda väärt. See pakub tohutult eeliseid, eriti keerukate ja aeganõudvate arvutuste jaoks.
Ilmselt saab sarnaselt muudele kogustele lisada ka võimsustega numbreid , lisades need ükshaaval oma märkidega.
Niisiis, summa 3 ja b 2 on 3 + b 2.
3 - b n ja h 5 -d 4 summa on 3 - b n + h 5 - d 4.
Koefitsiendid identsete muutujate võrdsed astmed saab liita või lahutada.
Niisiis on 2a 2 ja 3a 2 summa 5a 2.
Samuti on ilmne, et kui võtta kaks ruutu a või kolm ruutu a või viis ruutu a.
Aga kraadi erinevad muutujad ja erineval määral identsed muutujad, tuleb lisada nende märkidega lisamisega.
Niisiis, 2 ja 3 summa on 2 + a 3 summa.
On ilmne, et ruut a ja kuup a ei ole võrdsed kahekordse ruuduga a, vaid kaks korda a kuubiga.
3 b n ja 3a 5 b 6 summa on 3 b n + 3a 5 b 6.
Lahutamine kraadid viiakse läbi samamoodi nagu liitmine, välja arvatud see, et lahutatud märke tuleb vastavalt muuta.
Või:
2a4 - (-6a4) \u003d 8a4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 \u003d 3 (a - h) 6
Kraadide korrutamine
Võimetega numbreid saab korrutada, nagu ka muid suurusi, kirjutades need üksteise järel, kas nende vahelise korrumismärgiga või ilma.
Niisiis, 3 korrutamisel b 2-ga saadakse 3 b 2 või aaabb.
Või:
x -3 ⋅ a m \u003d a m x -3
3a6 y2 ⋅ (-2x) \u003d -6a 6 xy2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y \u003d a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Viimase näite tulemuse saab tellida samade muutujate lisamisega.
Lause vorm on järgmine: a 5 b 5 y 3.
Kui võrrelda mitut arvu (muutujat) jõududega, näeme, et kui mõni neist kahest korrutatakse, on tulemuseks arv (muutuja), mille võimsus on võrdne summa terminite kraadid.
Niisiis, 2aa \u003d \u003d aa.aaa \u003d aaaaa \u003d a 5.
Siin 5 on korrutamise tulemuse jõud, mis võrdub 2 + 3, mis on tingimuste jõudude summa.
Niisiis, a n .a m \u003d a m + n.
N jaoks võetakse a tegurina mitu korda, kui n võimsus on võrdne;
Ja a m võetakse teguriks nii mitu korda, kui m võimsus on;
Seetõttu kraadi samade vartega saab korrutada eksponentide lisamisega.
Niisiis, 2 .a 6 \u003d a 2 + 6 \u003d a 8. Ja x 3 .x 2 .x \u003d x 3 + 2 + 1 \u003d x 6.
Või:
4a n ⋅ 2a n \u003d 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y \u003d b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) \u003d (b + h - y) n + 1
Korrutage (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastus: x 4 - y 4.
Korrutage (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
See reegel kehtib ka numbrite kohta, mille eksponendid on - negatiivne.
1. Niisiis, -2 .a -3 \u003d a -5. Selle võib kirjutada järgmiselt: (1 / aa). (1 / aaa) \u003d 1 / aaaaa.
2.y-n .y -m \u003d y -n-m.
3.a-n .a m \u003d a m-n.
Kui a + b korrutatakse a-b-ga, on tulemuseks 2 - b 2: see on
Kahe arvu summa või erinevuse korrutamise tulemus võrdub nende ruutude summaga või erinevusega.
Kui kahe numbri summa ja erinevus tõstetakse väärtuseni ruut, võrdub tulemus nende arvude summaga või erinevusega neljas kraadi.
Niisiis, (a - y). (A + y) \u003d a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) \u003d a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) \u003d a 8 - y 8.
Kraadide jaotus
Võimsuse numbreid saab jagada nagu teisi numbreid, lahutades jagaja või pannes need murdarvu.
Niisiis võrdub a 3 b 2 jagatuna b 2 -ga.
Või:
$ \\ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) \u003d -3y ^ 4 $
$ \\ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) \u003d \\ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) \u003d b + 3 $
$ \\ frac (d \\ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) \u003d d $
5-ga jagatud 3 näeb välja nagu $ \\ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. Kuid see võrdub kahega. Numbriseeriana
a +4, +3, +2, a +1, 0, -1, -2, -3, a -4.
suvalise arvu saab jagada teisega ja eksponent saab erinevus jagatavate arvude eksponendid.
Kraadide jagamisel sama alusega lahutatakse nende indikaatorid..
Niisiis, y 3: y 2 \u003d y 3-2 \u003d y 1. See tähendab, et $ \\ frac (ayy) (aaa) \u003d y $.
Ja a n + 1: a \u003d a n + 1-1 \u003d a n. See tähendab, et $ \\ frac (aa ^ n) (a) \u003d a ^ n $.
Või:
y 2m: y m \u003d y m
8a n + m: 4a m \u003d 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 \u003d 4 (b + y) n-3
Reegel kehtib ka numbritega, millel on negatiivne kraadide väärtused.
A -5 jagamisel -3-ga jagatakse tulemus -2.
Samuti $ \\ frac (1) (aaaaa): \\ frac (1) (aaa) \u003d \\ frac (1) (aaaaa). \\ Frac (aaa) (1) \u003d \\ frac (aaa) (aaaaa) \u003d \\ frac (1) (aa) $.
h 2: h -1 \u003d h 2 + 1 \u003d h 3 või $ h ^ 2: \\ frac (1) (h) \u003d h ^ 2. \\ frac (h) (1) \u003d h ^ 3 $
Korrutamine ja võimu jagamine on vajalik väga hästi, kuna selliseid toiminguid kasutatakse algebras väga laialdaselt.
Näidete lahendamise näited murdarvudega, millel on võimsused
1. Vähendage eksponentide väärtust $ \\ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Vastus: $ \\ frac (5a ^ 2) (3) $.
2. Vähendage eksponente dollaris $ \\ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. Vastus: $ \\ frac (2x) (1) $ või 2x.
3. Vähendage eksponente a / a 3 ja -3 / a -4 ning viige need ühisesse nimetajasse.
a 2 .a -4 on -2 esimene lugeja.
a 3 .a -3 on 0 \u003d 1, teine \u200b\u200blugeja.
a 3 .a -4 on -1, tavaline lugeja.
Pärast lihtsustamist: -2 / a -1 ja 1 / a -1.
4. Vähendage eksponente 2a 4 / 5a 3 ja 2 / a 4 ning viige need ühisesse nimetajasse.
Vastus: 2a 3 / 5a 7 ja 5a 5 / 5a 7 või 2a 3 / 5a 2 ja 5 / 5a 2.
5. Korrutage (a 3 + b) / b 4 (a - b) / 3-ga.
6. Korrutage (a 5 + 1) / x 2 arvuga (b 2 - 1) / (x + a).
7. Korrutage b 4 / a -2 h -3 / x ja a n / y -3-ga.
8. Jagage 4 / y 3 arvuga 3 / y 2. Vastus: a / a.
9. Jagage (h 3 - 1) / d 4 (d n + 1) / h.
