Glavne vrste omejitev. Spletni kalkulator, reševanje meja
Poglejmo ilustrativne primere.
Naj bo x numerična spremenljivka, X območje njene variacije. Če je vsakemu številu x, ki pripada X, dodeljeno določeno število y, potem pravijo, da je funkcija določena na množici X in zapiše y \u003d f (x).
Množica X v tem primeru je ravnina, sestavljena iz dveh koordinatnih osi - 0X in 0Y. Na primer prikazujemo funkcijo y \u003d x 2. Osi 0X in 0Y tvorita X - območje njegove spremembe. Na sliki je jasno razvidno, kako se funkcija obnaša. V tem primeru pravijo, da je na množici X določena funkcija y \u003d x 2.
Nabor Y vseh delnih vrednosti funkcije imenujemo množica vrednosti f (x). Z drugimi besedami, nabor vrednosti je vrzel vzdolž osi 0Y, kjer je definirana funkcija. Prikazana parabola jasno kaže, da je f (x)\u003e 0, ker x2\u003e 0. Torej bo območje vrednosti. Veliko vrednosti gledamo z 0Y.
Zbirka vseh x se imenuje domena definicije f (x). Glede na 0X gledamo veliko definicij, v našem primeru pa je razpon dopustnih vrednosti [-; +].
Točka a (pripada ali X) se imenuje mejna točka množice X, če v kateri koli soseski a obstajajo točke množice X, ki niso a.
Čas je, da razumemo - kaj je meja funkcije?
Pokliče se čisto b, h kateremu se funkcija nagiba, ko se x približa številu a omejitev funkcije. Napisano je tako:
Na primer, f (x) \u003d x 2. Ugotoviti moramo, na kaj teži funkcija (ni enaka) pri x 2. Najprej napišemo mejo:
Poglejmo grafikon.
Narišite črto, vzporedno z osjo 0Y, skozi točko 2 na osi 0X. Na grafu bo prečkala točko (2; 4). Spustimo pravokotno s te točke na os 0Y in pridemo do točke 4. To je tisto, kar naša funkcija teži pri x 2. Če v funkcijo f (x) nadomestimo vrednost 2, bo odgovor enak.
Zdaj preden gremo naprej izračun omejitev, uvajamo osnovne definicije.
Predstavil ga je francoski matematik Augustin Louis Cauchy v 19. stoletju.
Predpostavimo, da je funkcija f (x) določena v določenem intervalu, v katerem je točka x \u003d A, vendar ni nujno, da se določi vrednost f (A).
Potem, po Cauchyjevi definiciji, omejitev funkcije f (x) bo določeno število B za x, ki se nagiba k A, če je za vsak C\u003e 0 število D\u003e 0, za katero
I.e. če je funkcija f (x) pri x A omejena z mejo B, se zapiše kot
Omejitev zaporedja kliče se določeno število A, če za poljubno poljubno majhno pozitivno število B\u003e 0 obstaja število N tako, da vse vrednosti v primeru n\u003e N izpolnjujejo neenakost
Takšen limit ima obliko.
Zaporedje, ki ima mejo, se bo imenovalo konvergentno, če ne, divergentno.
Kot ste že opazili, so omejitve označene z ikono lim, pod katero je napisan nek pogoj spremenljivke, nato pa je že napisana tudi sama funkcija. Takšen sklop se bere kot "meja zagotovljene funkcije ...". Na primer:
je meja funkcije, kot x teži na 1.
Izraz "teži na 1" pomeni, da x zaporedno prevzema vrednosti, ki so neskončno blizu 1.
Zdaj je jasno, da je za izračun te omejitve dovolj, da vrednost 1 nadomestimo namesto x:
Poleg posebne številčne vrednosti se lahko x nagiba v neskončnost. Na primer:
Izraz x pomeni, da se x nenehno povečuje in neskončno blizu neskončnosti. Zato bo nadomeščanje neskončnosti namesto x postalo očitno, da bo funkcija 1-x nagnjena k temu, vendar z nasprotnim znakom:
Na ta način izračun meje Določi se, da poišče svojo specifično vrednost ali določeno območje, na katero funkcija pade, omejena z omejitvijo.
Na podlagi zgoraj navedenega sledi, da je pri izračunu omejitev pomembno uporabiti več pravil:
Uresničevanje bistvo omejitve in osnovna pravila mejni izračuni, boste dobili ključni vpogled v to, kako jih rešiti. Če vam bo kakšna omejitev povzročala težave, potem zapišite v komentarje in zagotovo vam bomo pomagali.
Opomba: Pristojnost je veda o zakonih, ki pomaga pri konfliktih in drugih življenjskih težavah.
Mejna teorija je ena izmed vej matematične analize. Vprašanje reševanja omejitev je precej obsežno, saj obstaja na desetine načinov za reševanje meja različnih vrst. Obstaja na desetine odtenkov in trikov za rešitev te ali one meje. Kljub temu še vedno poskušamo razumeti osnovne vrste omejitev, s katerimi se v praksi najpogosteje srečujemo.
Začnimo s samim konceptom omejitve. Toda najprej kratko zgodovinsko ozadje. Nekoč je v 19. stoletju tam živel Francoz Augustin Louis Cauchy, ki je postavil temelje matematične analize in dal natančne opredelitve, zlasti opredelitev meje. Moram reči, da je ta isti Cauchy sanjal, sanjal in bo sanjal v nočnih morah vseh študentov fizikalnih in matematičnih oddelkov, saj je dokazal ogromno število teoremov matematične analize in en izrek je bolj odvraten od drugega. V zvezi s tem ne bomo upoštevali stroge opredelitve meje, ampak poskusimo narediti dve stvari:
1. Razumeti, kaj je meja.
2. Naučite se reševati glavne vrste omejitev.
Se opravičujem za nekaj nenaučnih razlag, pomembno je, da je gradivo razumljivo tudi do čajnika, kar je pravzaprav naloga projekta.
Torej, kakšna je meja?
In takoj primer, kaj babica strga….
Vsaka omejitev ima tri dele.:
1) Vsi poznajo ikono meje.
2) Vnosi pod omejitvijo ikone, v tem primeru. Zapis se glasi "X si prizadeva za enotnost." Najpogosteje - res je, čeprav namesto "X" v praksi obstajajo druge spremenljivke. V praktičnih nalogah lahko namesto enote obstaja absolutno poljubno število, pa tudi neskončnost ().
3) V tem primeru deluje pod omejitvenim znakom.
Snemite se 
se glasi: "meja funkcije s x teži k enotnosti."
Preučimo naslednje pomembno vprašanje - kaj pomeni izraz "X"? išče do enotnosti? In čemu je "prizadevanje"?
Koncept meje je pojem, tako rekoč dinamičen. Zgradite zaporedje: najprej, nato, ..., 
, ….
Se pravi izraz "x išče do enotnosti "je treba razumeti tako:" x "zaporedno prevzema vrednosti, ki so neskončno blizu enotnosti in se praktično sovpadajo z njo.
Kako rešiti zgornji primer? Glede na zgoraj navedeno morate enoto v funkciji nadomestiti pod mejnim znakom:
Prvo pravilo: Ko je katera koli omejitev dana, najprej poskusimo nadomestiti številko v funkciji.
Menili smo za najpreprostejšo mejo, vendar take najdemo v praksi, poleg tega pa ne tako redko!
Primer z neskončnostjo:
Razumemo, kaj je? Tako je, ko neomejeno raste, torej: najprej, potem, potem, potem in tako naprej do neskončnosti.
In kaj se s funkcijo dogaja v tem trenutku?
, , 
, …
Torej: če, potem se funkcija nagiba k minusu neskončnosti:
V grobem po našem prvem pravilu zamenjamo neskončnost s funkcijo "x" in dobimo odgovor.
Še en primer z neskončnostjo:
Spet se začnemo povečevati v neskončnost in gledamo na vedenje funkcije: 
Zaključek: ko se funkcija neomejeno poveča:
In vrsta primerov:
Poskusite neodvisno analizirati naslednje in si zapomnite najpreprostejše vrste omejitev:
, , , , 
, , , , 
,
Če je nekje kakšen dvom, potem lahko dvignete kalkulator in malo vadite.
V tem primeru poskusite sestaviti zaporedje ,,. Če bi torej,.
Opomba: strogo gledano je takšen pristop pri konstruiranju zaporedij več števil napačen, vendar je povsem primeren za razumevanje najpreprostejših primerov.
Bodite pozorni tudi na naslednjo stvar. Tudi če je omejitev določena z velikim številom na vrhu in celo z milijonom:, vseeno 
, saj bo slej ko prej "X" vzel tako velikanske vrednosti, da bo milijon v primerjavi z njimi pravi mikroba.
Kaj se morate spomniti in razumeti od zgoraj?
1) Ko je dana katera koli omejitev, najprej poskusimo nadomestiti število v funkciji.
2) Morate razumeti in se takoj odločiti za najpreprostejše meje, kot so 
,, itd.
Zdaj razmislimo o skupini omejitev, kadar in funkcija je ulomek, katerega števec in imenovalec sta polinoma
Primer:
Izračunajte omejitev 
Po našem pravilu bomo poskušali neskončnost nadomestiti v funkcijo. Kaj dobimo zgoraj? Neskončnost. In kaj se zgodi spodaj? Tudi neskončnost. Tako imamo tako imenovano vrsto negotovosti. Človek bi si mislil, da je odgovor pripravljen, vendar na splošno to sploh ni tako, zato je treba uporabiti neko rešitev, ki jo bomo zdaj razmislili.
Kako rešiti meje te vrste?
Najprej pogledamo števec in v večji meri ugotovimo: 
Najvišja stopnja v števcu je dve.
Zdaj pogledamo v imenovalec in ugotovimo tudi v največji meri: 
Najvišja stopnja imenovalca je dve.
Nato izberemo najstarejšo stopnjo števca in imenovalca: v tem primeru se ujemata in sta enaki dvema.
Torej, metoda rešitve je naslednja: da bi razkrili negotovost, je potrebno števec in imenovalec razdeliti na najvišjo stopnjo.
Tu je odgovor, sploh pa ne neskončnost.
Kaj je bistvenega pomena pri oblikovanju rešitve?
Najprej navedite negotovost, če obstaja.
Drugič, priporočljivo je, da se odločitev za vmesna pojasnila prekine. Običajno uporabljam znak, nima matematičnega pomena, pomeni pa, da je odločitev prekinjena zaradi vmesne razlage.
Tretjič, v meji je zaželeno označiti, kaj in kje išče. Ko je delo končano ročno, je to bolj priročno: 
Za opombe je bolje uporabiti preprost svinčnik.
Seveda ne morete storiti ničesar od tega, potem pa bo morda učitelj opazil pomanjkljivosti v odločitvi ali začel postavljati dodatna vprašanja o nalogi. Ga potrebujete?
Primer 2
Poišči omejitev 
Spet pri števcu in imenovalcu v višji stopnji najdemo: 
Najvišja stopnja v števcu: 3
Najvišja stopnja v imenovalcu: 4
Izberite največji vrednost, v tem primeru štiri.
Glede na naš algoritem razkrijemo negotovost, če števec in imenovalec delimo s.
Celotna zasnova naloge lahko izgleda tako:
Števnik in imenovalec delite s
Primer 3
Poišči omejitev 
Največja stopnja "X" v števcu: 2
Najvišja stopnja "x" v imenovalcu: 1 (lahko zapišemo kot)
Za razkritje negotovosti je potrebno števec in imenovalec razdeliti s. Čista rešitev lahko izgleda tako:
Števnik in imenovalec delite s
Zapis pomeni ne delitev na nič (ne morete deliti na nič), temveč delitev z neskončno majhnim številom.
Tako lahko pri razkritju negotovosti vrste dobimo končno število, nič ali neskončnost.
Omeji s tipno negotovostjo in metodo za njihovo reševanje
Naslednja skupina omejitev je nekoliko podobna pravkar obravnavanim omejitvam: polinomi so v števcu in imenovalcu, toda „X“ se ne teži več k neskončnosti, temveč k končna številka.
Primer 4
Odločite se za omejitev 
Najprej poskusite nadomestiti -1 v ulomku: 
V tem primeru dobimo tako imenovano negotovost.
Splošno pravilo: če števec in imenovalec vsebujeta polinom in obstaja oblika negotovosti, potem za njegovo razkritje morate šteti števec in imenovalec.
Če želite to narediti, morate najpogosteje rešiti kvadratno enačbo in (ali) uporabiti formule skrajšanega množenja. Če so te stvari pozabljene, obiščite stran Matematične formule in tabele in preberite učno gradivo Formule tečaja matematične šole. Mimogrede, najbolje je tiskati, zahteva se zelo pogosto, informacije iz papirja pa se bolje absorbirajo.
Tako se odločimo za svojo mejo 
Faktor števec in imenovalec
Če želite izračunati števec, morate rešiti kvadratno enačbo: 
Najprej ugotovimo diskriminatorno:
In njegov kvadratni koren:.
Če je diskriminator velik, na primer 361, uporabimo kalkulator, funkcija ekstrakcije kvadratnega korena je na najpreprostejšem kalkulatorju.
! Če korenine ne izvlečemo v celoti (izkaže se delno število z vejico), je zelo verjetno, da je bil diskriminator izračunan napačno ali v nalogi za tisk.
Nato najdemo korenine: 
Na ta način:
To je vse. Števec je faktoriciran.
Imenovalec Imenovalec je že najpreprostejši dejavnik in ga nikakor ne moremo poenostaviti.
Očitno se to lahko zmanjša za:
Zdaj nadomestimo -1 v izraz, ki ostane pod mejnim znakom:
Seveda se v testu, v testu, na izpitu odločitev nikoli ne opisuje tako podrobno. V končni različici mora biti zasnova videti nekako takole:
Faktor števec. 
Primer 5
Izračunajte omejitev 
Najprej rešitev za zaključek
Faktor števec in imenovalec.
Številka:
Imenovalec: 
, 
Kaj je v tem primeru pomembno?
Najprej bi morali dobro razumeti, kako se razkrije števec, najprej smo iz oklepaja postavili 2, nato pa uporabili formulo razlike kvadratov. To formulo je treba poznati in videti.
Vrsta in vrste negotovosti so najpogostejše negotovosti, ki jih je treba razkriti pri reševanju omejitev.
Večina nalog do meja, ki jih naletijo študentje, ravno te negotovosti. Za njihovo razkritje ali natančneje izogibanje negotovosti obstaja več umetnih tehnik preoblikovanja vrste izražanja pod mejo. Te metode so naslednje: delitev števca in imenovalca na najvišjo stopnjo spremenljivke, množenje s konjugiranim izražanjem in faktorizacija za nadaljnje zmanjšanje z uporabo rešitev kvadratnih enačb in formul skrajšanega množenja.
Vrste negotovosti
Primer 1
n je enako 2. Zato števec in imenovalec razdelite na:
.
Komentirajte na desni strani izraza. Puščice in številke kažejo, kaj ulomek išče po zamenjavi namesto po n vrednosti neskončnosti. Tu je, kot v primeru 2, stopnja n v imenovalcu je več kot v števcu, zaradi česar se celoten ulomek nagiba na neskončno majhno vrednost ali "super majhno število".
Dobimo odgovor: meja te funkcije za spremenljivko, ki teži k neskončnosti, je enaka.
Primer 2 .
Rešitev. Tu je najvišja stopnja spremenljivke x enako 1. Zato števnik in imenovalec končno delimo s števcem x:
Komentar potek odločitve. V števitelju zapeljemo »X« pod koren tretje stopnje in tako njegova začetna stopnja (1) ostane nespremenjena, dodelimo ji enako stopnjo kot koren, torej 3. Strelec in dodatne številke v tem vnosu niso več, zato poskusite miselno, vendar po analogiji s prejšnjim primerom, da določimo, do katerih izrazov v števitelju in imenovalcu teži po zamenjavi neskončnosti namesto z "x".
Dobili smo odgovor: meja te funkcije za spremenljivko, ki teži do neskončnosti, je nič.
Vrste negotovosti
Primer 3Odkrijte negotovost in poiščite mejo.
Rešitev. V števcu je razlika kock. Razdelimo ga na faktorje po formuli skrajšanega množenja iz predmeta šolske matematike:
V imenovalcu je kvadratni trinomal, ki ga izračunamo z reševanjem kvadratne enačbe (še enkrat, sklic na rešitev kvadratnih enačb):
Zapišemo izraz, ki ga dobimo kot rezultat preobrazb, in najdemo mejo funkcije:
Primer 4 Odkrijte negotovost in poiščite mejo
Rešitev. Teorem mejnega količnika tukaj ni uporaben, saj
Zato ulomek preoblikujemo identično: pomnožimo števec in imenovalec z binomnim veznikom na imenovalec in zmanjšamo za x +1 V skladu s teoremom 1 dobimo izraz, s pomočjo katerega najdemo želeno mejo:
Primer 5 Odkrijte negotovost in poiščite mejo
Rešitev. Neposredna zamenjava x \u003d 0 v dani funkciji vodi v negotovost oblike 0/0. Da ga razkrijemo, izvedemo identične transformacije in dobimo želeno mejo kot rezultat: 
Primer 6 Izračunaj 
Rešitev: uporabljamo mejne teoreme
Odgovor je: 11
Primer 7 Izračunaj 
Rešitev: v tem primeru so meje števca in imenovalca za 0:
; 
. Zato smo dobili, da izrek o meji količnika ni mogoče uporabiti.
Števnik in imenovalec razdelimo na faktorje, da ulomek zmanjšamo s skupnim faktorjem, ki se nagiba na nič, in zato omogočimo uporabo teorema 3.
V števitelju razdelimo kvadratni trinomal po formuli, kjer sta x 1 in x 2 korenine trinoma. S faktoringom in imenovalcem ulomke zmanjšamo za (x-2), nato uporabimo teorem 3.
Odgovor je:
Primer 8 Izračunaj
Rešitev: Kadar sta števec in imenovalec nagnjena k neskončnosti, torej pri neposredni uporabi teorema 3 dobimo izraz, ki predstavlja negotovost. Da bi se znebili tovrstnih negotovosti, je treba števec in imenovalec razdeliti na najvišjo stopnjo argumenta. V tem primeru morate deliti s x:
Odgovor je:
Primer 9 Izračunaj 
Rešitev: x 3:
Odgovor je: 2
Primer 10 Izračunaj 
Rešitev: Kadar se števec in imenovalec nagibata v neskončnost. Števec in imenovalec razdelite na najvišjo stopnjo argumenta, tj. x 5:
= 
števec ulomka se nagiba na 1, imenovalec na 0, zato se ulomek nagiba v neskončnost.
Odgovor je:
Primer 11 Izračunaj
Rešitev: Kadar se števec in imenovalec nagibata v neskončnost. Števec in imenovalec razdelite na najvišjo stopnjo argumenta, tj. x 7:
Odgovor je: 0
Izvedeni finančni instrumenti
Izpeljanka funkcije y \u003d f (x) glede na argument xmeja razmerja njegovega prirasta y do prirasta x argumenta x se imenuje, kadar prirastek argumenta teži nič:. Če je ta meja končna, potem funkcija y \u003d f (x)se v točki x imenuje diferencibilna. Če ta meja obstaja, potem pravijo, da je funkcija y \u003d f (x) ima neskončno izpeljanko na x.
Izpeljanke osnovnih elementarnih funkcij:
1. (const) \u003d 09.
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Pravila diferenciacije:
a) 
c) 
Primer 1 Poiščite izpeljano funkcijo 
Rešitev: Če najdemo izpeljanko drugega izraza po pravilu razlikovanja frakcij, potem je prvi izraz kompleksna funkcija, katere izpeljanko najdemo po formuli:
Kje torej
Pri reševanju smo uporabili formule: 1,2,10, a, c, d.
Odgovor je:
Primer 21 Poiščite izpeljano funkcijo 
Rešitev: oba izraza sta zapleteni funkciji, pri čemer je za prvi ,, torej za drugi ,, torej
Odgovor je: 
Izvedeni derivati.
1. Hitrost in pospešek
Naj opiše funkcijo s (t) položaj objekt v nekem koordinatnem sistemu v času t. Potem je prvi izpeljanka funkcije s (t) trenutna hitrost predmet:
v \u003d s ′ \u003d f ′ (t)
Drugi izvod funkcije s (t) je trenutni pospešek predmet:
w \u003d v ′ \u003d s ′ ′ \u003d f ′ ′ (t)
2. Tangenta enačba
y - y0 \u003d f '(x0) (x - x0),
kjer so (x0, y0) koordinate tangentne točke, f '(x0) vrednost izpeljane funkcije f (x) v tangentni točki.
3. Normalna enačba
y - y0 \u003d −1f ′ (x0) (x - x0),
kjer so (x0, y0) koordinate točke, na kateri se vleče normala, f '(x0) vrednost izpeljane funkcije f (x) v dani točki.
4. Funkcije se povečujejo in zmanjšujejo
Če je f (x0)\u003e 0, se funkcija poveča v točki x0. Na spodnji sliki se funkcija povečuje pri x
Če f (x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Lokalni ekstrem funkcije
Funkcijo f (x) ima lokalni maksimum pri x1, če obstaja soseska x1, tako da je f (x1) ≥f (x) za vse x iz te soseske.
Podobno ima funkcijo f (x) lokalni minimum pri x2, če obstaja soseska x2, tako da je f (x2) ≤f (x) za vse x iz te soseske.
6. Kritične točke
Točka x0 je kritična točka funkcijo f (x), če je izvod f '(x0) v njej enak nič ali ne obstaja.
7. Prvi zadosten znak obstoja ekstremuma
Če se funkcija f (x) poveča (f '(x)\u003e 0) za vse x v določenem intervalu (a, x1] in se zmanjša (f' (x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) za vse x iz intervala)
