Kako najti lim primere. Kako rešiti omejitve za lutke

Teorija mej - en odsek matematične analize, ki ga lahko obvladajo, drugi težko izračunajo meje. Vprašanje iskanja mej je precej splošno, saj obstaja na desetine tehnik omejitve rešitev različnih vrst. Enake meje lahko najdemo tako po L'Hôpitalovem pravilu kot brez njega. Dogaja se, da vam razpored v nizu neskončno majhnih funkcij omogoča hitro doseganje želenega rezultata. Obstajajo številne tehnike in triki za iskanje meje funkcije katere koli kompleksnosti. V tem članku bomo poskušali razumeti glavne vrste omejitev, s katerimi se v praksi najpogosteje srečujemo. Tukaj ne bomo dali teorije in opredelitve meje, na internetu je veliko virov, kjer se to žveči. Zato se prepustimo praktičnim izračunom, tukaj je "ne vem! Ne vem, kako! Nismo bili poučeni!"

Omejitve računanja s pomočjo nadomestitve

Primer 1. Poiščite mejo funkcije
Lim ((x ^ 2-3 * x) / (2 * x + 5), x \u003d 3).
Rešitev: Primeri te vrste v teoriji se izračunajo z navadno substitucijo

Omejitev je 18/11.
V teh mejah ni nič zapletenega in pametnega - vrednost so nadomestili, izračunali, mejo zapisali v odgovor. Vendar pa se na podlagi takih omejitev vsi naučijo, da je treba najprej nadomestiti vrednost v funkcijo. Nadalje so meje zapletene, uveden je koncept neskončnosti, negotovosti in podobno.

Mejo delite z nedoločenostjo, kot je neskončnost, z neskončnostjo. Tehnike razkrivanja negotovosti

Primer 2 Poiščite mejo funkcije
Lim ((x ^ 2 + 2x) / (4x ^ 2 + 3x-4), x \u003d neskončnost).
Rešitev: Omejitev oblike polinoma je nastavljena, deljena z polinomom in spremenljivka teži do neskončnosti

Preprosta zamenjava vrednosti, za katero bi bilo treba spremenljivko poiskati, ne bo pomagala, dobimo negotovost oblike neskončnost, deljeno s neskončnostjo.
Teorija meja potenja Algoritem za izračun meje je najti največjo stopnjo "x" v števcu ali imenovalcu. Nadalje sta števec in imenovalec poenostavljena in najdemo mejo funkcije

Ker se vrednost nagiba k nič s spremenljivko v neskončnost, jih zanemarimo ali v končnem izrazu zapišemo v obliki ničle

Takoj iz prakse lahko dobite dva zaključka, ki sta namig v izračunih. Če spremenljivka teži k neskončnosti in je stopnja števca večja od stopnje imenovalca, je meja enaka neskončnosti. V nasprotnem primeru, če je polinom v imenovalcu višjega reda kot v števcu, je meja enaka nič.
Omejitev lahko zapišemo po enačbah

Če imamo funkcijo oblike navadnega dnevnika brez ulomkov, je njegova meja enaka neskončnosti

Naslednja vrsta omejitev se nanaša na obnašanje funkcij blizu nič.

Primer 3. Poiščite mejo funkcije
Lim ((x ^ 2 + 3x-5) / (x ^ 2 + x + 2), x \u003d 0).
Rešitev: Tu ni treba vzeti najvišjega faktorja polinoma. Ravno obratno, najti je treba najmanjšo stopnjo števca in imenovalca ter izračunati mejo

Vrednost X ^ 2; x se nagibajo k nič, ko se spremenljivka nagiba k nič, zato jih zanemarimo, tako dobimo

da je meja 2,5.

Zdaj veš kako najti mejo funkcije oblike polinom, deljeno z polinomom, če se spremenljivka teži v neskončnost ali 0. Toda to je le majhen in enostaven del primerov. Iz naslednjega gradiva se boste naučili kako razkriti negotovosti meja funkcije.

Omejitev z negotovostjo tipa 0/0 in metode njenega izračuna

Vsi se takoj spomnijo pravila, po katerem ne morete razdeliti na nič. Vendar teorija omejitev v tem smislu pomeni neskončno majhne funkcije.
Oglejmo si nekaj primerov za jasnost.

Primer 4 Poiščite mejo funkcije
Lim ((3x ^ 2 + 10x + 7) / (x + 1), x \u003d -1).
Rešitev: Ko nadomestimo vrednost spremenljivke x \u003d -1 v imenovalec, dobimo nič, enako dobimo v števcu. Tako imamo negotovost obrazca 0/0.
Obravnavanje takšne negotovosti je preprosto: treba je izločiti polinom ali bolje rečeno izbrati faktor, ki funkcijo pretvori v nič.

Po razpadu lahko mejo funkcije zapišemo kot

To je celotna tehnika za izračun meje funkcije. Enako storimo, če obstaja meja oblike polinoma, deljena s polinomom.

Primer 5 Poiščite mejo funkcije
Lim ((2x ^ 2-7x + 6) / (3x ^ 2-x-10), x \u003d 2).
Rešitev: Pokaže naprej nadomeščanje
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
kar imamo vrsta negotovosti 0/0.
Polinomi delimo s faktorjem, ki vnaša singularnost


Obstajajo učitelji, ki poučujejo, da je treba polinomele 2. reda, to je oblike "kvadratnih enačb", rešiti s pomočjo diskriminatorne. Toda resnična praksa kaže, da je daljša in bolj zmedena, zato se znebite funkcij znotraj navedenega algoritma. Tako napišemo funkcijo v obliki pravih faktorjev in jih naštejemo v omejitev

Kot vidite, pri izračunu takšnih omejitev ni nič težko. V času preučevanja omejitev veste, kako deliti polinomele, vsaj glede na program, ki bi ga že morali opraviti.
Med nalogami za vrsta negotovosti 0/0obstajajo tisti, pri katerih morate uporabiti skrajšane formule za množenje. Če pa jih ne poznate, potem z delitvijo polinoma na monom lahko dobite zahtevano formulo.

Primer 6. Poiščite mejo funkcije
Lim ((x ^ 2-9) / (x-3), x \u003d 3).
Rešitev: Imamo negotovost tipa 0/0. V števcu uporabimo formulo za pomnoženo množenje

in izračunajte zahtevano mejo

Metoda razkrivanja negotovosti z množenjem v konjugatu

Metoda se uporablja za meje, v katerih negotovosti ustvarjajo iracionalne funkcije. Števec ali imenovalec postane nič na mestu izračuna in ni znano, kako najti mejo.

Primer 7 Poiščite mejo funkcije
Lim ((sqrt (x + 2) -sqrt (7x-10)) / (3x-6), x \u003d 2).
Odločba:Spremenljivko predstavljamo v mejni formuli

Namestitev daje negotovost tipa 0/0.
V skladu s teorijo omejitev je shema za izogibanje tej značilnosti pomnoževanje iracionalnega izraza s konjugatom. Da se izraz ne spremeni, mora biti imenovalec razdeljen z isto vrednostjo

S pravilom razlike kvadratov poenostavimo števec in izračunamo mejo funkcije

Poenostavimo izraze, ki ustvarjajo singularnost v meji in izvajajo zamenjavo

Primer 8 Poiščite mejo funkcije
Lim ((sqrt (x-2) -sqrt (2x-5)) / (3-x), x \u003d 3).
Rešitev: Nadomestitev naprej kaže, da ima omejitev značilnost obrazca 0/0.

Za razširitev množimo in delimo s konjugativom na števnik

Pisanje razlike kvadratov

Poenostavimo izraze, ki uvajajo singularnost in najdemo mejo funkcije

Primer 9 Poiščite mejo funkcije
Lim ((x ^ 2 + x-6) / (sqrt (3x-2) -2), x \u003d 2).
Rešitev: Namestitev 2 v formuli

Dobimo negotovost 0/0.
Imenovalnik je treba pomnožiti s konjugiranim izrazom, v števitelju pa morate rešiti kvadratno enačbo ali ga razdeliti na faktorje, pri čemer upoštevate singularnost. Ker je znano, da je 2 koren, najdemo drugi koren po Vietaovem teoremu

Tako v obrazec zapišemo števec

in nadomestiti v omejitvi

Z zmanjšanjem razlike v kvadratih se znebimo singularnosti v števcu in imenovalcu

Na ta način se lahko singularnosti znebite v številnih primerih, pri čemer je treba upoštevati aplikacijo, kadar koli se navedena korenska razlika ob zamenjavi spremeni v nič. Druge vrste omejitev zadevajo eksponentne funkcije, neskončno majhne funkcije, logaritme, posebne omejitve in druge tehnike. Toda o tem lahko preberete v spodnjih člankih o mejah.

prijava

Spletne omejitve spletnega mesta za popolno utrjevanje posredovanega gradiva s strani učencev in šolarjev. Kako najti omejitev v spletu s pomočjo našega vira? To je zelo enostavno, preprosto morate napisati prvotno funkcijo s spremenljivko x, izbirnik izbrati želeno neskončnost in pritisniti gumb "Rešitev". V primeru, ko je treba na neki točki x izračunati mejo funkcije, morate določiti številčno vrednost te same točke. Odgovor na rešitev meje boste prejeli v nekaj sekundah, z drugimi besedami, takoj. Če pa navedete napačne podatke, vas bo storitev samodejno obvestila o napaki. Popravite predhodno vneseno funkcijo in dobite pravilno rešitev do meje. Za reševanje omejitev se uporabljajo vsi možni triki, zlasti metoda L'Hôpital, saj je univerzalna in vodi do hitrejšega odgovora kot pri drugih metodah izračunavanja omejitve funkcije. Zanimivo je razmisliti o primerih, v katerih je modul prisoten. Mimogrede, po pravilih našega vira je modul označen z navpično črto "|" ali Abs (f (x)) iz latinske absolutne. Pogosto je potrebna rešitev omejitve za izračun vsote zaporedja števil. Kot vsi vedo, morate pravilno izraziti delni seštevek zaporedja, ki se preučuje, in potem je po naši brezplačni spletni strani vse veliko preprostejše, saj je izračun omejitve od delne vsote končni seštevek numeričnega zaporedja. Na splošno je teorija prehoda do meje osnovni koncept vseh matematičnih analiz. Vse temelji natančno na prehodu do meje, torej je rešitev omejitev postavljena v temelj znanosti matematične analize. Pri integraciji se uporablja tudi prehod do meje, ko je integral po teoriji predstavljen kot vsota neomejenega števila področij. Kjer obstaja neomejeno število nečesa, torej težnja števila predmetov do neskončnosti, potem teorija mejnih prehodov vedno stopi v veljavo in v splošno sprejeti obliki je to rešitev že znanih omejitev. Spletna rešitev omejitev na spletnem mestu Spletno mesto je edinstvena storitev za sprejemanje natančnega in takojšnjega odziva v realnem času. Omejitev funkcije (omejevalna vrednost funkcije) v določeni točki, ki omejuje domeno funkcije, je takšna vrednost, do katere se nagiba vrednost obravnavane funkcije, kadar njen argument teži k določeni točki. Ni redko in celo pogosto bi rekli, da imajo študentje pri reševanju matematične analize vprašanje reševanja spletnih omejitev. Ko se sprašujete o rešitvi omejitve preko spleta s podrobno rešitvijo samo v posebnih primerih, postane jasno, da je nemogoče obvladati zapleteno nalogo brez uporabe kalkulatorja za izračun omejitev. Rešitev omejitev s pomočjo naše storitve je zagotovilo natančnosti in enostavnosti. Meja funkcije je posploševanje pojma meja zaporedja: sprva je mejo funkcije na neki točki razumel kot mejo zaporedja elementov obsega vrednosti funkcije, sestavljeno iz slik točk točk zaporedja elementov domene definicije funkcije, ki se zbližajo z dano točko (omejitev pri ki se obravnava); če takšna omejitev obstaja, naj bi funkcija konvergirala v določeno vrednost; če takšna meja ne obstaja, naj bi se funkcija razšla. Reševanje omejitev v spletu za uporabnike postane preprost odgovor, če vedo, kako rešiti omejitev prek spleta s pomočjo spletnega mesta. Bodimo osredotočeni in ne dovolimo, da nas napake spravljajo v težave v obliki nezadovoljivih ocen. Kot vsaka spletna rešitev omejitev bo tudi vaš problem predstavljen v priročni in razumljivi obliki, s podrobno rešitvijo, v skladu z vsemi pravili in predpisi za pridobitev rešitve. Najpogosteje je definicija meje funkcije formulirana v jeziku sosesk. Tu so meje funkcije obravnavane le na točkah, ki omejujejo domeno definiranja funkcije, kar pomeni, da so v vsaki soseski dane točke točke iz domene te same funkcije. To nam omogoča, da govorimo o nagnjenosti argumenta funkcije do dane točke. Toda mejni točki domene definicije ni treba pripadati sami domeni definicije, in to se dokaže z reševanjem omejitve: na primer lahko nekdo pretehta mejo funkcije na koncu odprtega intervala, na katerem je določena funkcija. V tem primeru meje intervala same niso vključene v definicijsko območje. V tem smislu je sistem preluknjanih sosesk določene točke poseben primer takšne baze nizov. Reševanje omejitev prek spleta s podrobno rešitvijo se izvede v realnem času in z uporabo formul v izrecno določeni obliki .. Prihranite lahko čas in najpomembneje denar, saj ne zahtevamo pristojbine. Če v nekem trenutku v domeni funkcije obstaja omejitev in je rešitev te omejitve enaka vrednosti funkcije na tej točki, potem se funkcija izkaže, da je na tej točki neprekinjena. Na naši spletni strani je rešitev omejitev na voljo v spletu štiriindvajset ur na dan, vsak dan in vsako minuto. Zelo pomembno je uporabljati kalkulator omejitev, glavna stvar pa je, da jo uporabljate vsakič, ko morate preveriti svoje znanje. Študenti imajo koristi od vse te funkcionalnosti. Izračun meje z uporabo in uporabo samo teorije ne bo vedno tako enostaven, kot pravijo izkušeni študenti matematičnih fakultet v državi. Dejstvo ostaja dejstvo s ciljem. Najdena rešitev omejitev lokalno ni uporabna za oblikovanje težav. Študent se bo razveselil, ko bo na spletu in v prostem dostopu odkril kalkulator omejitev, in to ne samo zase, ampak za vse. Imenovanje bi moralo na splošno veljati za matematiko in njegovo razumevanje. Če v internetu vprašate, kako podrobno najti omejitev v spletu, potem masa spletnih mest, ki se pojavijo kot zahteva, ne bo pomagala tako, kot bomo to storili. Razlika v straneh se pomnoži z enakovrednostjo incidenta. Primarno zakonsko mejo funkcije je treba določiti z njihovo navedbo matematičnega problema. Hamilton je imel prav, vendar je treba razmišljati tudi o sodobnikih. Izračun omejitev v spletu nikakor ni tako težka naloga, kot se komu morda zdi na prvi pogled. Da ne bi prekinili resnice o nepotrdivih teorijah. Če se vrnemo na začetne razmere, je treba omejitev izračunati hitro, učinkovito in v lepo oblikovani obliki. Kako je bilo mogoče drugače? Ta pristop je očiten in upravičen. Kalkulator omejitev je zasnovan za povečanje znanja, izboljšanje kakovosti pisanja domača naloga in dvignili splošno razpoloženje med študenti, jim bo prav. Preprosto morate razmišljati čim hitreje in um bo zmagal. Izrecno povedati o mejah spletnih interpolacijskih pogojev je za strokovnjake v svoji obrti zelo prefinjen poklic. Napovedujemo razmerje sistema nenačrtovanih razlik v točkah v prostoru. In spet se težava zmanjša na negotovost, izhaja iz dejstva, da meja funkcije obstaja v neskončnosti in v določenem sosedstvu lokalne točke na dani osi abscis po afinirani transformaciji začetnega izraza. Lažje bo analizirati vzpon točk na ravnini in na vrhu prostora. IN splošni položaj stvari niso povedane o izpeljavi matematične formule, tako v naravi kot v teoriji, tako da se spletni kalkulator omejitev v tem smislu uporablja za predvideni namen. Brez določanja meje na spletu težko nadaljujem s proračunom na področju krivočrtnih vesoljskih raziskav. Ne bi bilo lažje v iskanju resničnega pravilnega odgovora. Ali ni mogoče izračunati omejitve, če je določena točka v prostoru vnaprej določena? Ovrzimo razpoložljivost odgovorov za študijsko področje. Rešitev omejitev je z vidika matematične analize mogoče obravnavati kot začetek preučevanja zaporedja točk na osi. Samo dejstvo, da je izračun v veljavi, morda ni primerno. Številke so predstavljive kot neskončno zaporedje in jih identificiramo z začetnim zapisom, potem ko smo mejo na spletu podrobno rešili v skladu s teorijo. Ravno upravičeno v prid najboljše vrednosti. Rezultat omejitve funkcije kot očitna napaka napačno postavljenega problema lahko izkrivlja idejo o resničnem mehanskem procesu nestabilnega sistema. Sposobnost izražanja pomena neposredno v vidno polje. Če primerjate spletno omejitev s podobnim zapisom enosmerne mejne vrednosti, se je bolje izogniti izrecnemu izražanju z uporabo formul za igranje. Poleg tega, da začnemo s sorazmernim izvajanjem nalog Polinom razširimo, ko nam uspe izračunati enostransko mejo in jo zapišemo v neskončnost. Preproste misli vodijo k pravemu rezultatu pri matematični analizi. Preprosta odločitev mej je pogosto reducirana na drugačno stopnjo enakosti izvedenih nasprotnih matematičnih ilustracij. Fibonaccijeve črte in številke dešifrirajo spletni kalkulator omejitev, odvisno od tega lahko naročite neomejen izračun in morda se bo zapletenost umaknila v ozadje. Poteka postopek grafanja na ravnini v rezini tridimenzionalnega prostora. To je privedlo do potrebe po različnih pogledih na zapleten matematični problem. Vendar rezultat ne bo dolgo v prihodnosti. Vendar pa nenehni postopek realizacije naraščajočega dela izkrivlja prostor vrstic in beleži spletno mejo za seznanjanje s formulacijo problema. Naravni potek procesa kopičenja problemov določa potrebo po znanju na vseh področjih matematičnih disciplin. Odličen kalkulator omejitev bo postal nepogrešljivo orodje v rokah usposobljenih študentov in cenili bodo vse njegove prednosti pred analognimi digitalnimi napredki. V šolah nekaj spleta omejitve imenujejo drugače kot v zavodih. Vrednost funkcije bo rasla s spreminjanjem argumenta. L'Hospital je dejal, da je iskanje meje funkcije le polovica bitke, nalogo je treba spraviti do njenega logičnega zaključka in odgovor predstaviti v razširjeni obliki. Resničnost ustreza prisotnosti dejstev v zadevi. Zgodovinsko pomembni vidiki matematičnih disciplin so povezani s spletno omejitvijo in so osnova za preučevanje teorije števil. Kodiranje strani v matematičnih formulah je na voljo v jeziku odjemalca v brskalniku. Kako izračunati mejo po sprejemljivi zakonski metodi, ne da bi prisilili, da se funkcija spreminja vzdolž osi absces. Realnost prostora na splošno ni odvisna samo od izbočenosti funkcije ali njene konkavnosti. Izločite vse neznanke iz problema in reševanje omejitev bo zmanjšalo na najmanjše stroške matematičnih virov, ki jih imate. Rešitev formulirane težave bo stoodstotno popravila funkcionalnost. Zgodi se pričakovana vrednost bo podrobno razkril spletno mejo glede odstopanja od najmanj pomembnega razmerja. Minili so trije dnevi po sprejeti matematični odločitvi v prid znanosti. To je resnično koristna dejavnost. Brez razloga, da ne bi bilo omejitve, bi na spletu pomenilo razhajanje v splošnem pristopu k reševanju situacijskih težav. Najboljše ime za enostransko mejo z negotovostjo 0/0 bo povpraševanje v prihodnosti. Vir je lahko ne le lep in dober, ampak tudi uporaben, kadar lahko izračuna omejitev za vas. Veliki znanstvenik je že kot študent raziskal funkcije pisanja znanstveno delo... Deset let je minilo. Pred različnimi odtenki je vredno nedvoumno komentirati matematično pričakovanje v prid dejstvu, da meja funkcije zadolžuje različnost glavnic. Po naročilu test se je odzval. Pri matematiki je izjemen položaj pri poučevanju nenavadno preučevanje spletne meje z vzajemnimi zunanjimi odnosi. Kot v običajnih primerih se zgodi. Ne moreš igrati nič. Ko bomo analizirali pristope preučevanja študentov do matematičnih teorij, bomo temeljito prepustili odločitev o mejah za zaključno stopnjo. To je smisel naslednjega, preučite besedilo. Prelomitev matematični izraz enolično določa kot bistvo prejetih informacij. spletna omejitev je bistvo definicije resničen položaj matematični sistem relativnosti večsmernih vektorjev. V tem smislu želim izraziti svoje mnenje. Kot v prejšnji težavi. Spletna razpoznavna meja podrobno razširi svoj vpliv na matematični pogled zaporedne študije programske analize na področju raziskovanja. V kontekstu teorije je matematika nekaj višjega kot le znanost. Zvestoba je potrjena z dejanjem. Ni mogoče namerno prekiniti verige zaporednih številk, ki začnejo premikati navzgor, če je meja napačno izračunana. Dvostranska površina je v naravni obliki izražena v polni velikosti. Omejitev funkcije zajema možnost raziskovanja matematične analize, ki vključuje zaporedje funkcionalne serije kot sosesko epsilona v dani točki. V nasprotju s teorijo funkcij napake v izračunih niso izključene, vendar to predvideva situacija. Če ločite od omejitve spletnega problema, lahko za hiter izdelek nelinearnega sistema tridimenzionalnega prostora narišete funkcijo spremenljive divergence. Trivialni primer je jedro operacije. Za analizo tega primera vam ni treba biti študent. Nabor trenutkov tekočega izračuna, sprva je rešitev omejitev opredeljen kot delovanje celotnega celovitega sistema napredka vzdolž osi ordinate na več vrednostih števil. Kot osnovno vrednost vzamemo najmanjšo matematično vrednost. Zaključek je očiten. Razdalja med ravninama bo teoretično pripomogla k razširitvi omejitve na spletu, ker uporaba metode divergentnega izračuna krožnopolarnega vidika pomena ne nosi prirojenega pomena. Odlična izbira, če se kalkulator omejitve nahaja na strežniku, je to mogoče sprejeti, saj je brez izkrivljanja pomena spremembe površine na območjih, sicer bo težava z linearnostjo večja. Popolna matematična analiza je razkrila nestabilnost sistema in njegov opis na območju najmanjše soseske točke. Kakor koli omejitev funkcije vzdolž osi preseka ordinat in absces, je mogoče številčne vrednosti predmetov obdati v določeni minimalni soseščini porazdelitve funkcionalnosti raziskovalnega procesa. Nalogo zapišemo točko za točko. Obstaja delitev na stopnje pisanja. Akademske trditve, da je res težko ali sploh ni enostavno izračunati meje, so podprte z analizo matematičnih pogledov vseh študentov dodiplomskega in podiplomskega študija. Možno vmesni rezultati ne bodo dolgo čakali. Zgornja meja podrobno preučuje na spletu absolutni minimum sistemske razlike predmetov, zunaj katerih je izkrivljena linearnost matematičnega prostora. Segmentacija velikega območja študentje ne uporabljajo za izračun več kvot po pisanju spletnega kalkulatorja omejitve odštevanja. Po začetku bomo študentom prepovedali, da bi ponovno raziskovali težave pri preučevanju prostorskega okolja iz matematike. Ker smo že ugotovili mejo funkcije, zgradimo graf njene študije na ravnini. Izberite ordinatne osi s posebno barvo in pokažite smer črt. Obstaja stabilnost. Med pisanjem odgovora je že dolgo prisotna negotovost. Omejitev funkcije na točki izračunajte tako, da analizirate razliko med mejami v neskončnosti za začetni pogoji... Ta metoda ni znana vsem uporabnikom. Potrebujemo matematično analizo. Odločitev o mejah nabira izkušnje generacij v mnogih prihodnjih letih. Nemogoče je, da se postopek ne zaplete. Za njen zaključek so odgovorni učenci vseh generacij. Vse zgoraj se lahko začne spreminjati, če ni trditvenega argumenta za položaj funkcij blizu neke točke, ki zaostaja za mejnimi kalkulatorji glede razlike v moči izračuna. Raziščimo funkcijo, da dobimo odgovor. Sklep ni očiten. Če izključimo implicitno določene funkcije iz skupnega števila po preoblikovanju matematičnih izrazov, ostane še zadnji korak, da v spletu pravilno in z visoko natančnostjo najdemo omejitve. Postavljeno je bilo v preverjanje dopustnosti izdane odločbe. Postopek se nadaljuje. Zaporedje zaklepa izolirano od funkcij in matematiki morajo ob uporabi svojih kolosalnih izkušenj izračunati mejo, ki upravičuje pravilno smer v študiji. Takšen rezultat ne potrebuje teoretičnega vzpona. Pod pisnim problemom matematike spremenite delež števil v neki sosednji točki, ki ni nič na osi absces, v smeri kalkulatorja omejitev spletnega spremenljivega prostorskega kota nagiba. Povežemo dva območja v vesolju. Nesoglasja razreševalcev o tem, kako meja funkcije pridobi lastnosti enostranskih vrednosti v prostoru, ne morejo prezreti intenzivne kontrolirane predstave učencev. Spletna omejitev matematike je zasedala eno najmanj oporekanih stališč glede negotovosti pri izračunu teh omejitev. Spletni kalkulator omejitve višine enakotničnih trikotnikov in kock s stranskimi tri polmeri kroga bo študentu pomagal, da se nauči na pamet v zgodnji fazi znanosti. Pustimo na vesti študentov rešitev mej pri preučevanju delujočega matematično oslabljenega sistema s strani ravnine študija. Glede teorije števil je študentov pogled dvoumen. Vsak ima svoje mnenje. Prava smer pri preučevanju matematike bo pomagala izračunati mejo v pravem pomenu, kot je to običaj na univerzah naprednih držav. Kotangens v matematiki se izračuna kot mejni kalkulator in je razmerje med dvema osnovnima trigonometrične funkcijein sicer argument kosinusa in sinusa. To je rešitev za razpolovitev segmentov. Drugi pristop verjetno ne bo rešil situacije v prid preteklega trenutka. Dolgo se lahko pogovarjamo, kako zelo težko in neuporabno je spletno omejitev podrobno reševati brez razmišljanja, vendar ta pristop teži k temu, da bi se študentska notranja disciplina razvila na bolje.

Še naprej analiziramo pripravljene odgovore na teorijo omejitev in danes se bomo osredotočili le na primeru, ko se spremenljivka v funkciji ali številka v zaporedju teži v neskončnost. Navodila za izračun meje s spremenljivko, ki teži k neskončnosti, smo podali že prej, tu se bomo podrobneje osredotočili na posamezne primere, ki vsem niso očitni in preprosti.

Primer 35. Imamo zaporedje v obliki ulomka, kjer sta števec in imenovalec korenski funkciji.
Najti je treba mejo, ko se število teži k neskončnosti.
Pri številčniku tukaj ni treba razkriti iracionalnosti, ampak le skrbno analizirati korenine in ugotoviti, kje je višja stopnja števila.
V prvem primeru imajo korenine števca faktor n ^ 4, torej lahko n ^ 2 vzamemo iz oklepajev.
Enako storimo z imenovalcem.
Nato ocenimo vrednost radikalnih izrazov v prehodu do meje.

Dobiva delitev na nič, kar je napačno šolski tečaj, vendar je to dopustno pri prehodu do meje.
Samo s predlogom spremembe "za presojo, kam ta funkcija cilja".
Zato si vsi učitelji ne morejo razlagati danega zapisa kot pravilnega, čeprav razumejo, da se nastali zapis od tega ne bo spremenil.
Poglejmo odgovor, sestavljen glede na zahteve učiteljev po teoriji.
Zaradi preprostosti bomo pod korenino ocenili samo glavne dodanke

Nadalje je v števcu stopnja 2, v imenovalcu 2/3 torej števec hitreje raste, kar pomeni, da se meja nagiba v neskončnost.
Njen znak je odvisen od dejavnikov za n ^ 2, n ^ (2/3), zato je pozitiven.

Primer 36. Razmislite primer meje delitve eksponentnih funkcij. Takšnih praktičnih primerov je malo, zato si vsi učenci ne morejo zlahka ogledati, kako razkriti negotovosti, ki se pojavljajo.
Največji faktor števca in imenovalca je 8 ^ n in ga poenostavimo

Nato ocenimo prispevek vsakega termina
Izrazi 3/8 se nagibajo k nič, spremenljivka pa gre v neskončnost, od 3/8<1 (свойство степенно-показательной функции).

Primer 37. Omejitev zaporedja s faktorji se razširi z dodelitvijo faktorja največjemu skupnemu faktorju števca in imenovalca.
Nato ga zmanjšamo in ocenimo mejo glede na vrednost kazalcev števil v števcu in imenovalcu.
V našem primeru imenovalec raste hitreje, zato je meja enaka nič.


Tukaj je uporabljeno naslednje

faktografska lastnina.

Primer 38. Brez uporabe L'Hôpitalskih pravil primerjamo največje kazalnike spremenljivke v števitelju in imenovalcu ulomka.
Ker imenovalec vsebuje najvišji kazalnik spremenljivke 4\u003e 2, raste hitreje.
Zato sklepamo, da se meja funkcije teži nič.

Primer 39. Razkrijemo singularnost oblike neskončnost, deljeno z neskončnostjo, s postopkom prenosa x ^ 4 iz števitelja in imenovalca ulomka.
Kot rezultat prehoda do meje dobimo neskončnost.

Primer 40. Imamo delitev polinomov, treba je določiti mejo, saj se spremenljivka nagiba v neskončnost.
Največja moč spremenljivke v števcu in imenovalcu je 3, kar pomeni, da meja obstaja in je enaka jeklu.
Izvlecite x ^ 3 in izvedite prehod do meje

Primer 41. Imamo posebnost tipa ena do stopnje neskončnosti.
In to pomeni, da je treba izraz v oklepajih in sam kazalnik zmanjšati pod drugo pomembno mejo.
Številko zapišimo, da izberemo izraz, enak imenovalcu v njem.
Nato se obrnemo na izraz, ki vsebuje en plus izraz.
Stopnjo je treba razlikovati s faktorjem 1 / (izraz).
Tako dobimo eksponent v moči meje frakcijske funkcije.

Druga omejitev je bila uporabljena za odpiranje funkcij:

Primer 42. Imamo posebnost tipa ena do stopnje neskončnosti.
Za njegovo razkritje je treba funkcijo zmanjšati na drugo izjemno mejo.
Kako to storiti, je podrobno prikazano v spodnji formuli.


Najdete lahko veliko podobnih nalog. Njihovo bistvo je, da v eksponentu pridobijo želeno stopnjo in je enaka vzajemnosti izraza v oklepajih v enotnosti.
S to metodo dobimo eksponent. Nadaljnji izračun se zmanjša na izračun meje stopnje eksponenta.
Tu se eksponentna funkcija nagiba v neskončnost, saj je vrednost večja od ene e \u003d 2,72\u003e 1.

Primer 43 V imenovalcu ulomka imamo negotovost tipa neskončnost minus neskončnost enaka delitev na nič.
Da se znebimo korena, pomnožimo s konjugiranim izrazom in nato ponovno napišemo imenovalec z uporabo formule za razliko kvadratov.
Dobimo neskončnost negotovosti, deljeno z neskončnostjo, zato v največji meri vzamemo spremenljivko in jo znižamo.
Nato ocenimo prispevek vsakega pojma in v neskončnosti najdemo mejo funkcije

Stalna številka in klical omejitev sekvence(x n) če za poljubno majhno pozitivno številoε > 0 obstaja število N, ki ga vse vrednosti x n , pri katerih n\u003e N izpolnjujejo neenakost

| x n - a |< ε. (6.1)

Zapišejo ga tako: ali x n → a.

Neenakost (6.1) je enakovredna dvojni neenakosti

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

kar pomeni, da točke x n, izhajajoč iz nekega števila n\u003e N, ležite znotraj intervala (a-ε, a + ε ), tj. padejo v vsako majhnoε -sosedina točka in.

Imenuje se zaporedje z omejitvijo zbliževanje, drugače - razhajanje.

Koncept meje funkcije je posploševanje koncepta omejitve zaporedja, saj lahko mejo zaporedja štejemo kot mejo funkcije x n \u003d f (n) celega argumenta n.

Naj bo dana funkcija f (x) in naj bo a - mejna točka domena te funkcije D (f), tj. točka, katere vsaka soseska vsebuje točke niza D (f), ki se razlikuje od a... Točka a lahko ali ne pripada skupini D (f).

Opredelitev 1. Kliče se stalno število A omejitev funkcijo f (x) obx →a če za katero koli zaporedje (x n) vrednosti argumentov, ki težijo k in, ustrezne sekvence (f (x n)) imajo isto mejo A.

Ta definicija se imenuje opredelitev meje Heine funkcije, ali " v jeziku zaporedja”.

Opredelitev 2... Kliče se stalno število A omejitev funkcijo f (x) ob x →a če z nastavitvijo poljubno poljubno majhne pozitivno število ε , takšen δ lahko najdemo \u003e 0 (odvisno od ε), ki za vse xleži noterε-soseske števila in, tj. za xzadovoljevanju neenakosti
0 < x-a< ε , bodo vrednosti funkcije f (x) ležaleε-soseska števila A, tj.| f (x) -A |< ε.

Ta definicija se imenuje opredelitev meje Cauchija funkcije,ali „V jeziku ε - δ “.

Opredelitvi 1 in 2 sta enakovredni. Če je funkcija f (x) kot x → a ima omejitevenako A, je zapisano kot

. (6.3)

V primeru, da se zaporedje (f (x n)) za nedoločen čas poveča (ali zmanjša) za katero koli metodo približevanja x do vaše meje in, potem rečemo, da ima funkcijo f (x) neskončna meja, in zapišite kot:

Imenuje se spremenljivka (tj. Zaporedje ali funkcija), katere omejitev je nič neskončno majhna vrednost.

Imenuje se spremenljivka, katere omejitev je neskončna neskončno veliko.

Če želite najti mejo v praksi, uporabite naslednje teoreme.

Izrek 1 ... Če obstaja vsaka omejitev

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentar... Izrazi kot 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - negotovo je, na primer razmerje med dvema neskončno majhnima ali neskončno velikima količinama, in iskanje tovrstne meje se imenuje "razkritje negotovosti."

Izrek 2. (6.7)

tistih. lahko presežete mejo na dnu stopnje s konstantnim kazalnikom, zlasti ;

(6.8)

(6.9)

Izrek 3.

(6.10)

(6.11)

kje e » 2.7 je osnova naravnega logaritma. Formuli (6.10) in (6.11) se imenujeta prvi čudovita mejain druga izjemna meja.

Posledice formule (6.11) se uporabljajo tudi v praksi:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

zlasti mejo

Če x → a in hkrati x\u003e a, potem napišejo x → a + 0. Če je zlasti a \u003d 0, potem namesto simbola 0 + 0 napišite +0. Podobno je, če je x →a in še več, x a-0. Številke in so v skladu s tem poklicani desna meja in leva meja funkcijo f (x) na točki in... Za omejitev funkcije f (x) kot x →a je potrebna in zadostna za ... Pokliče se funkcija f (x) neprekinjeno na točkix 0, če je omejitev

. (6.15)

Pogoj (6.15) lahko zapišemo kot:

,

torej je prehod na mejo pod znakom funkcije mogoč, če je na določeni točki neprekinjen.

Če je kršena enakost (6.15), potem je rečeno, da ob x \u003d x o funkcijo f (x) ima zlom.Upoštevaj funkcijo y \u003d 1 / x. Domena te funkcije je množica R, razen x \u003d 0. Točka x \u003d 0 je mejna točka množice D (f), saj v kateri koli njeni soseščini, tj. vsak odprti interval, ki vsebuje točko 0, vsebuje točke iz točke D (f), vendar sam ne spada v ta niz. Vrednost f (x o) \u003d f (0) je nedefinirana, zato ima funkcija v točki x o \u003d 0 prekinitev.

Pokliče se funkcija f (x) neprekinjeno na desni na točki x o, če je meja

,

in levo neprekinjeno na točki x o, če je meja

.

Neprekinjenost funkcije v točki x o je na tej točki enakovredna kontinuiteti tako na desni kot na levi strani.

Da je funkcija neprekinjena v točki x ona primer na desni strani je potrebno, prvič, da obstaja omejena meja, in drugič, da je ta meja enaka f (x o). Če vsaj eden od teh dveh pogojev ni izpolnjen, bo imela funkcija vrzel.

1. Če meja obstaja in ni enaka f (x o), pravijo to funkcijo f (x) na točki x o ima zlom prve vrste, ali preskok.

2. Če je meja + ∞ ali -∞ ali ne obstaja, potem pravijo, da v točka x o funkcija ima vrzel druga vrsta.

Na primer, funkcija y \u003d ctg x za x→ +0 ima mejo, ki je enaka + ∞, torej ima točka x \u003d 0 diskontinuiteta druge vrste. Funkcija y \u003d E (x) (celi del x) na točkah s celimi abscesami ima prekinitve prve vrste ali skoke.

Pokliče se funkcija, ki je neprekinjena v vsaki točki intervala neprekinjeno v. Nenehna funkcija je prikazana kot trdna krivulja.

Številne težave, povezane s stalno rastjo katere koli količine, vodijo do druge izjemne meje. Takšne naloge na primer vključujejo: naraščanje prispevka po zakonu sestavljenih interesov, rast prebivalstva države, razpad radioaktivnih snovi, razmnoževanje bakterij itd.

Razmislite primer Ya.I. Perelmanapoda razlago števila e pri problemu sestavljenih obresti. Številka eobstaja omejitev ... V hranilnicah se obrestni denar letno doda v osnovni kapital. Če se povezava vzpostavi pogosteje, potem kapital raste hitreje, saj pri nastajanju obresti sodeluje velik znesek. Vzemimo čisto teoretičen, zelo poenostavljen primer. Naj banka položi 100 den. enot s stopnjo 100% na leto. Če se bo obrestni denar v osnovni kapital dodal šele po enem letu, potem do tega datuma 100 den. enot se bo spremenil v 200 denarnih enot. Zdaj pa poglejmo, kaj se bo spremenilo v 100 den. enot, če se obrestni denar doda v osnovni kapital vsakih šest mesecev. Po pol leta 100 den. enot zrastejo na 100× 1,5 \u003d 150, šest mesecev pozneje pa 150× 1,5 \u003d 225 (denarne enote). Če se povezava izvede vsake 1/3 leta, potem po letu 100 den. enot zavijte v 100× (1 +1/3) 3 " 237 (denarne enote). Pogoje za združevanje obrestovanega denarja bomo pospešili na 0,1 let, na 0,01 leta, na 0,001 leta itd. Potem od 100 den. enot čez leto dni se bo izkazalo:

100 × (1 +1/10) 10 "259 (denarne enote),

100 × (1 + 1/100) 100 * 270 (denarne enote),

100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (denarne enote).

Ob neomejenem zmanjšanju pogojev za obresti nakopičeni kapital ne raste neskončno, temveč se približa določeni meji, približno 271. Kapital, dodeljen s 100% letno, se ne more povečati za več kot 2,71 krat, tudi če bi se pripisane obresti dodale vsakemu kapitalu drugič zato, ker je meja

Primer 3.1. Z definicijo meje številskega zaporedja dokažite, da ima zaporedje x n \u003d (n-1) / n mejo, ki je enaka 1.

Odločba.Dokazati moramo karkoliε Nismo vzeli\u003e 0, ker je naravno število N takšno, da je za vse n N neenakost | x n -1 |< ε.

Vzemite katero koli e\u003e 0. Ker; x n -1 \u003d (n + 1) / n - 1 \u003d 1 / n, potem je za iskanje N dovolj, da rešimo neenakost 1 / n< e. Od tod n\u003e 1 / e in zato lahko N štejemo kot celoten del 1 /e, N \u003d E (1 / e) ). Tako smo dokazali, da je meja.

Primer 3.2 ... Poiščite mejo zaporedja, ki ga poda skupni izraz .

Odločba.Uporabimo teorem meje vsote in najdemo mejo vsakega pojma. Za n→ ∞, števec in imenovalec vsakega pojma teži v neskončnost, zato ne moremo neposredno uporabiti teorema mejnega količnika. Zato najprej preoblikujemo x nz deljenjem števca in imenovalca prvega izraza s n 2, drugi pa naprej n... Nato uporabimo teorem meje količnika in meje vsote:

.

Primer 3.3. ... Najti .

Odločba. .

Tu smo uporabili izrek mejne stopnje: stopnja meja je enaka stopnji osnovne meje.

Primer 3.4 ... Najti ( ).

Odločba.Teorema o mejnih razlikah ni mogoče uporabiti, saj imamo negotovost oblike ∞-∞ ... Preoblikujemo formulo za skupnega člana:

.

Primer 3.5 ... Podana je funkcija f (x) \u003d 2 1 / x. Dokažite, da meja ni.

Odločba.Uporabite definicijo 1 meje funkcije skozi zaporedje. Vzemite zaporedje (x n), ki se konvergira na 0, tj. Pokažimo, da se vrednost f (x n) \u003d za različne sekvence obnaša različno. Naj bo x n \u003d 1 / n. Očitno je potem meja Zdaj izberemo kot x n zaporedje s skupnim izrazom x n \u003d -1 / n, ki se nagiba tudi na nič. Zato meja ni.

Primer 3.6 ... Dokažite, da meja ni.

Odločba.Naj bodo x 1, x 2, ..., x n, ... zaporedje, za katero
... Kako se zaporedje (f (x n)) \u003d (sin x n) obnaša za različne x n → ∞

Če je x n \u003d p n, potem je sin x n \u003d sin p n \u003d 0 za vse n in meja If
x n \u003d 2p n + p / 2, potem je sin x n \u003d sin (2 p n + p / 2) \u003d sin p / 2 \u003d 1 za vse n in s tem tudi meja. Torej ne obstaja.

Gradnik za izračun omejitev na spletu

V zgornje okno namesto sin (x) / x vnesite funkcijo, katere omejitev želite najti. V spodnje okno vnesite številko, do katere se nagiba x in kliknite gumb Calcular, in pridobite želeno mejo. In če v oknu z rezultati kliknete Pokaži korake v zgornjem desnem kotu, boste dobili podrobno rešitev.

Pravila vnosa funkcij: sqrt (x) - kvadratni koren, cbrt (x) - kocka kocke, exp (x) - eksponent, ln (x) - naravni logaritem, sin (x) - sine, cos (x) - kosinus, tan (x) - tangenta, otroška posteljica (x) - cotangent, arcsin (x) - arcsin, arccos (x) - arkozin, arctan (x) - arktangent. Znaki: * množenje, / delitev, ^ eksponentacija, namesto neskončnost Neskončnost. Primer: funkcija je vnesena kot ta sqrt (tan (x / 2)).

Omejitve povzročajo vsem učencem matematike veliko težav. Če želite rešiti omejitev, morate včasih uporabiti veliko trikov in med različnimi metodami rešitve izbrati točno tisto, ki je primerna za določen primer.

V tem članku vam ne bomo pomagali razumeti meja svojih zmožnosti ali razumeti meje nadzora, temveč bomo poskušali odgovoriti na vprašanje: kako razumeti meje v višji matematiki? Razumevanje prihaja z izkušnjami, zato bomo hkrati dali več podrobnih primerov reševanja meja z razlagami.

Končni koncept matematike

Prvo vprašanje: kaj je ta meja in kaj je meja? Lahko govorimo o mejah številskih zaporedij in funkcij. Zanima nas koncept meje funkcije, saj se z njimi najpogosteje srečujejo učenci. Najprej pa najbolj splošna definicija omejitve:

Recimo, da obstaja nekaj spremenljivk. Če se ta vrednost v procesu sprememb neomejeno približa določenemu številu a torej a Ali je meja te vrednosti.

Za funkcijo, definirano v določenem intervalu f (x) \u003d y omejitev je takšna številka A , na katero se nagiba funkcija x teži do določene točke in ... Točka in pripada intervalu, na katerem je funkcija definirana.

Sliši se okorno, vendar je zelo enostavno napisati:

Lim - iz angleščine omejitev je meja.

Za definicijo meje obstaja tudi geometrijska razlaga, vendar tu ne bomo šli v teorijo, saj nas bolj zanima praktična kot teoretična plat vprašanja. Ko to rečemo x nagiba k neki vrednosti, to pomeni, da spremenljivka ne sprejme vrednosti števila, ampak ji je neskončno blizu.

Navedimo konkreten primer. Izziv je najti mejo.

Če želite rešiti ta primer, nadomestite vrednost x \u003d 3 v funkcijo. Dobimo:

Mimogrede, če vas zanima, preberite ločen članek na to temo.

V primerih x lahko stremi k kateri koli vrednosti. Lahko je poljubno število ali neskončnost. Tu je primer, kdaj x teži do neskončnosti:

Intuitivno je jasno, da čim večja je številka v imenovalcu, tem manjša bo vrednost funkcije. Torej, z neomejeno rastjo x vrednost 1 / x se bo zmanjšal in se približal ničli.

Kot vidite, morate za reševanje omejitve preprosto nadomestiti vrednost, da si prizadevate za funkcijo x ... Vendar je to najpreprostejši primer. Najdba meje pogosto ni tako očitna. Negotovosti, kot so 0/0 ali neskončnost / neskončnost ... Kaj storiti v takih primerih? Da se zateče k trikom!

Negotovosti znotraj

Negotovost oblike neskončnost / neskončnost

Naj bo omejitev:

Če skušamo neskončnost nadomestiti v funkcijo, dobimo neskončnost tako v števcu kot v imenovalcu. Na splošno velja povedati, da je pri reševanju takšnih negotovosti določen element umetnosti: treba je opozoriti, kako se funkcija lahko preoblikuje tako, da negotovost izgine. V našem primeru števnik in imenovalec delimo s x v višji stopnji. Kar se zgodi?

Iz že obravnavanega primera vemo, da bodo izrazi, ki vsebujejo x v imenovalcu, nagnjeni k nič. Potem je rešitev do omejitve:

Razkriti negotovosti, kot so neskončnost / neskončnost števec in imenovalec delite s x do najvišje stopnje.

Mimogrede! Za naše bralce je zdaj 10% popust na

Druga vrsta negotovosti: 0/0

Kot vedno, substitucija v funkciji vrednosti x \u003d -1 daje 0 v števcu in imenovalcu. Poglejte malo natančneje in opazili boste, da imamo v števcu kvadratno enačbo. Poiščite korenine in napišite:

Skrajšamo in dobimo:

Torej, če se srečujete z negotovostjo, kot je 0/0 - izločiti števec in imenovalec.

Da bi lažje rešili primere, podajamo tabelo z omejitvami nekaterih funkcij:

Vlada L'Hôpitala znotraj

Druga močna tehnika za odpravo obeh vrst negotovosti. Kaj je bistvo metode?

Če je v meji negotovost, vzamemo izpeljanko števca in imenovalca, dokler negotovost ne izgine.

Lopitalovo pravilo izgleda tako:

Pomembna točka : mora obstajati meja, v kateri sta namesto števca in imenovalca izpeljanki števca in imenovalca.

In zdaj za pravi primer:

Značilna negotovost 0/0 ... Vzemimo izpeljanke števca in imenovalca:

Voila, dvoumnost se rešuje hitro in elegantno.

Upamo, da boste te informacije lahko koristno uporabili v praksi in našli odgovor na vprašanje "kako rešiti meje v višji matematiki". Če morate izračunati omejitev zaporedja ali omejitev funkcije na neki točki in za besedo "sploh" ni časa za to delo, se za hitro in podrobno rešitev obrnite na strokovno študentsko službo.