Matanaliza je meja funkcije. Teorija mej

Vrsta in vrste negotovosti so najpogostejše negotovosti, ki jih je treba razkriti pri reševanju omejitev.

Večina nalog do meja, ki jih naletijo študentje, ravno te negotovosti. Za njihovo razkritje ali natančneje izogibanje negotovosti obstaja več umetnih tehnik preoblikovanja vrste izražanja pod mejo. Te metode so naslednje: delitev števca in imenovalca na najvišjo stopnjo spremenljivke, množenje s konjugiranim izražanjem in faktorizacija za nadaljnje zmanjšanje z uporabo rešitev kvadratnih enačb in formul skrajšanega množenja.

Vrste negotovosti

Primer 1

n   je enako 2. Zato števec in imenovalec razdelite na:

.

Komentirajte na desni strani izraza. Puščice in številke kažejo, kaj ulomek išče po zamenjavi namesto po n   neskončne vrednosti. Tu je, kot v primeru 2, stopnja n   v imenovalcu je več kot v števcu, zaradi česar se celoten ulomek nagiba na neskončno majhno vrednost ali "super majhno število".

Dobimo odgovor: meja te funkcije za spremenljivko, ki teži k neskončnosti, je enaka.

Primer 2 .

Rešitev. Tu je najvišja stopnja spremenljivke x   enako 1. Zato števnik in imenovalec končno delimo s števcem x:

Komentar napredka odločitve. V števitelju zapeljemo »X« pod koren tretje stopnje in tako njegova začetna stopnja (1) ostane nespremenjena, dodelimo ji enako stopnjo kot koren, torej 3. Strelec in dodatne številke niso več v tem zapisu, zato poskusite mentalno, vendar po analogiji s prejšnjim primerom, da določimo, do katerih izrazov v števitelju in imenovalcu teži, potem ko nadomestimo neskončnost namesto "x".

Dobili smo odgovor: meja te funkcije za spremenljivko, ki teži do neskončnosti, je nič.

Vrste negotovosti

Primer 3Odkrijte negotovost in poiščite mejo.

Rešitev. V števcu je razlika kock. Razdelimo ga na faktorje po formuli skrajšanega množenja iz predmeta šolske matematike:

V imenovalcu je kvadratni trinom, ki ga izračunamo z reševanjem kvadratne enačbe (še enkrat, sklic na rešitev kvadratnih enačb):

Zapišemo izraz, ki ga dobimo kot rezultat preobrazb, in najdemo mejo funkcije:

Primer 4   Odkrijte negotovost in poiščite mejo

Rešitev. Teorem mejnega količnika tukaj ni uporaben, saj

Torej ulomek pretvorimo identično: pomnožimo števec in imenovalec z binomnim konjugatom v imenovalec in zmanjšamo za x   +1 V skladu s teoremom 1 dobimo izraz, s pomočjo katerega najdemo želeno mejo:

Primer 5   Odkrijte negotovost in poiščite mejo

Rešitev. Neposredna zamenjava x   \u003d 0 v dani funkciji vodi v negotovost oblike 0/0. Da ga razkrijemo, izvedemo identične transformacije in dobimo želeno mejo kot rezultat:

Primer 6   Izračunaj

Rešitev:   uporabljamo mejne teoreme

Odgovor je: 11

Primer 7   Izračunaj

Rešitev:   v tem primeru so meje števca in imenovalca za 0:

;   . Zato smo dobili, da izrek o meji količnika ni mogoče uporabiti.

Števnik in imenovalec razdelimo na faktorje, da ulomek zmanjšamo s skupnim faktorjem, ki se nagiba na nič, in zato omogočimo uporabo teorema 3.

V števitelju razdelimo kvadratni trinomal po formuli, kjer sta x 1 in x 2 korenine trinoma. S faktoringom in imenovalcem ulomke zmanjšamo za (x-2), nato uporabimo teorem 3.

Odgovor je:

Primer 8   Izračunaj

Rešitev:   Kadar sta števec in imenovalec nagnjena k neskončnosti, torej pri neposredni uporabi teorema 3 dobimo izraz, ki predstavlja negotovost. Da bi se znebili te vrste negotovosti, je treba števec in imenovalec razdeliti na najvišjo stopnjo argumenta. V tem primeru morate deliti s x:

Odgovor je:

Primer 9   Izračunaj

Rešitev: x 3:

Odgovor je: 2

Primer 10   Izračunaj

Rešitev:   Ko sta števec in imenovalec nagnjena k neskončnosti. Števec in imenovalec razdelite na najvišjo stopnjo argumenta, tj. x 5:

=

števec ulomka se nagiba na 1, imenovalec na 0, zato se ulomek nagiba v neskončnost.

Odgovor je:

Primer 11   Izračunaj

Rešitev:   Ko sta števec in imenovalec nagnjena k neskončnosti. Števec in imenovalec razdelite na najvišjo stopnjo argumenta, tj. x 7:

Odgovor je: 0

Izvedeni finančni instrumenti

Izpeljanka funkcije y \u003d f (x) glede na argument xmeja razmerja njegovega prirasta y do prirasta x argumenta x se imenuje, kadar prirastek argumenta teži nič:. Če je ta meja končna, potem funkcija y \u003d f (x)se v točki x imenuje diferencibilna. Če ta meja obstaja, potem pravijo, da je funkcija y \u003d f (x)   ima neskončno izpeljanko na x.

Izpeljanke osnovnih elementarnih funkcij:

1. (const) \u003d 09.

3. 11.

4. 12.

Pravila diferenciacije:

a)

Primer 1   Poiščite izpeljanko funkcije

Rešitev:   Če najdemo izpeljanko drugega pojma po pravilu razlikovanja frakcij, potem je prvi izraz kompleksna funkcija, katere izpeljanko najdemo s formulo:

Kje   torej

Pri reševanju smo uporabili formule: 1,2,10, a, c, d.

Odgovor je:

Primer 21   Poiščite izpeljanko funkcije

Rešitev:   oba izraza sta zapleteni funkciji, pri čemer je za prvi ,, torej za drugi ,, torej

Odgovor je:

Izvedeni derivati.

1. Hitrost in pospešek

Naj opiše funkcijo s (t) položaj   objekt v nekem koordinatnem sistemu v času t. Potem je prvi izpeljanka funkcije s (t) trenutna hitrost   predmet:
  v \u003d s ′ \u003d f ′ (t)
  Drugi izvod funkcije s (t) je trenutni pospešek   predmet:
  w \u003d v ′ \u003d s ′ ′ \u003d f ′ ′ (t)

2. Tangenta enačba
  y - y0 \u003d f '(x0) (x - x0),
  kjer so (x0, y0) koordinate tangentne točke, f '(x0) vrednost izpeljane funkcije f (x) v tangentni točki.

3. Normalna enačba
  y - y0 \u003d −1f ′ (x0) (x - x0),

kjer so (x0, y0) koordinate točke, na kateri se vleče normala, f '(x0) vrednost izpeljane funkcije f (x) v dani točki.

4. Funkcije se povečujejo in zmanjšujejo
  Če je f (x0)\u003e 0, se funkcija poveča v točki x0. Na spodnji sliki se funkcija povečuje pri x x2.
  Če f (x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1   Če f (x0) \u003d 0 ali izpeljanka ne obstaja, potem ta lastnost ne omogoča določitve narave monotonosti funkcije v točki x0.

5. Lokalne funkcijske skrajnosti
  Funkcijo f (x) ima lokalni maksimum   pri x1, če obstaja soseska x1, tako da je f (x1) ≥f (x) za vse x iz te soseske.
  Podobno ima funkcijo f (x) lokalni minimum   pri x2, če obstaja soseska x2, tako da je f (x2) ≤f (x) za vse x iz te soseske.

6. Kritične točke
  Točka x0 je kritična točka   funkcijo f (x), če je izvod f '(x0) v njej enak nič ali ne obstaja.

7. Prvi zadosten znak obstoja ekstremuma
  Če se funkcija f (x) poveča (f '(x)\u003e 0) za vse x v določenem intervalu (a, x1] in se zmanjša (f' (x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) za vse x iz intervala $

Primer 3

Rešite $ \\ lim \\ limit_ (x \\ do -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) $

Rešitev

Kot vedno začnemo z nadomeščanjem vrednosti $ x $ v izraz pod mejo. $$ \\ lim \\ limit_ (x \\ do -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ frac ((- 1) ^ 2-1) (- 1 + 1) \u003d \\ frac ( 0) (0) $$ Kaj je naslednje? Kakšen bi moral biti rezultat? Ker je to negotovost, to ni odgovor in nadaljujte z izračunom. Ker imamo v števnikih polinom, ga razdelimo na faktorje s pomočjo znane formule iz šolske klopi $$ a ^ 2-b ^ 2 \u003d (a-b) (a + b) $$. Se spomniš? Super! Zdaj pa pojdi naprej in jo uporabi s pesmijo :) Dobimo, da je števec $ x ^ 2-1 \u003d (x-1) (x + 1) $ Nadaljujemo z reševanjem ob upoštevanju zgornje preobrazbe: $$ \\ lim \\ omejitve_ (x \\ do -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ lim \\ omejitve_ (x \\ do -1) \\ frac ((x-1) (x + 1)) (x + 1) \u003d $$ $$ \u003d \\ lim \\ limit_ (x \\ do -1) (x-1) \u003d - 1-1 \u003d -2 $$

Odgovor

$$ \\ lim \\ omejitve_ (x \\ do -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d -2 $$

Omejimo v zadnjih dveh primerih omejitev na neskončnost in razmislimo o negotovosti: $ \\ bigg [\\ frac (\\ infty) (\\ infty) \\ bigg] $

Primer 5

Izračunajte $ \\ lim \\ limit_ (x \\ do \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) $

Rešitev

$ \\ lim \\ limit_ (x \\ do \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ frac (\\ infty) (\\ infty) $ Kaj storiti? Kako biti Ne paničarite, saj je nemogoče mogoče. Omeniti morate oklepaje v števcu in imenovalcu x in ga nato zmanjšati. Po tem poskusite izračunati mejo. Poskušamo ... $$ \\ lim \\ omejitve_ (x \\ do \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ lim \\ omejitve_ (x \\ do \\ infty) \\ frac (x ^ 2 (1- \\ frac (1) (x ^ 2))) (x (1+ \\ frac (1) (x))) \u003d $$ $$ \u003d \\ lim \\ limit_ (x \\ do \\ infty) \\ frac (x (1- \\ frac (1) (x ^ 2))) ((1+ \\ frac (1) (x))) \u003d $$ Z definicijo iz primera 2 in nadomeščanjem neskončnosti v x dobimo: $$ \u003d \\ frac (\\ infty (1- \\ frac (1) (\\ infty))) ((1+ \\ frac (1) (\\ infty))) \u003d \\ frac (\\ infty \\ cdot 1) (1+ 0) \u003d \\ frac (\\ infty) (1) \u003d \\ infty $$

Odgovor

$$ \\ lim \\ limit_ (x \\ do \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ infty $$

Algoritem za izračun meja

Torej, na kratko povzemimo analizirane primere in sestavimo algoritem za reševanje omejitev:

1. Točko x vstavite v izraz po mejnem znaku. Če dobimo določeno število ali neskončnost, je meja popolnoma rešena. V nasprotnem primeru imamo negotovost: "razdelite nič na nič" ali "delite neskončnost z neskončnostjo" in pojdite na naslednje odstavke navodila.
2. Če želite odpraviti negotovost "deliti z nič na nič", morate izračunati števec in imenovalec. Takšen posek. Točko x v stavku zamenjajte pod mejo.
3. Če negotovost »neskončnosti delimo z neskončnostjo«, potem lahko največ naredimo tako v števcu kot v imenovalcu x. Izrežite X-je. Vrednost x izpod omejitve nadomestimo s preostalim izrazom.

V tem članku ste spoznali osnove reševanja omejitev, ki se pogosto uporabljajo pri matematični analizi. Seveda to niso vse vrste nalog, ki jih ponujajo izpraševalci, ampak le najpreprostejše omejitve. V naslednjih člankih bomo govorili o drugih vrstah nalog, vendar se morate najprej naučiti te lekcije, če želite nadaljevati. Pogovarjali se bomo, kaj storiti, če obstajajo korenine, stopnje, preučevali smo neskončno majhne ekvivalentne funkcije, izjemne meje, pravilo L'Hotel.

Če omejitev ne morete rešiti sami, potem ne paničite. Vedno z veseljem pomagamo!

Pri izračunu omejitev upoštevajte po osnovnih pravilih:

1. Omejitev vsote (razlike) funkcij je enaka vsoti (razliki) meja izrazov:

2. Meja produkta funkcij je enaka proizvodu mej dejavnikov:

3. Meja razmerja dveh funkcij je enaka razmerju meja teh funkcij:

.

4. Stalni faktor se lahko vzame iz mejnega znaka:

.

5. Stalna meja je enaka sami konstanti:

6. Za neprekinjene funkcije lahko mejne simbole in funkcije zamenjate:

.

Iskanje meje funkcije se mora začeti z zamenjavo vrednosti v izrazu za funkcijo. Poleg tega, če dobimo številčno vrednost 0 ali,, potem najdemo želeno mejo.

Primer 2.1Izračunajte omejitev.

Rešitev.

.

Izrazi oblike ,,,,, se imenujejo negotovosti.

Če dobimo negotovost tipa, potem je za iskanje meje potrebno funkcijo preoblikovati tako, da razkrije to negotovost.

Tipna negotovost se običajno dobi, če je navedena meja razmerja dveh polinoma. V tem primeru je za izračun meje priporočljivo faktoriti polinom in zmanjšati s skupnim faktorjem. Ta faktor je nič pri mejni vrednosti. x .

Primer 2.2Izračunajte omejitev.

Rešitev.

Nadomeščanje dobimo negotovost:

.

Faktor števec in imenovalec:

;

Zmanjšajte s skupnim faktorjem in dobite

Negotovost oblike dobimo, če je podana meja razmerja dveh polinoma. V tem primeru je priporočljivo razdeliti oba polinoma po x   do višje stopnje.

Primer 2.3   Izračunajte omejitev.

Rešitev.Namesto ∞ dobimo negotovost oblike, zato delimo vse izraze na x 3.

.

To upošteva.

Pri izračunu omejitev funkcije, ki vsebuje korenine, je priporočljivo pomnožiti in razdeliti funkcijo na konjugiran izraz.

Primer 2.4Izračunajte omejitev

Rešitev.

Pri izračunu omejitev za razkrivanje negotovosti obrazca ali (1) ∞ se pogosto uporabljata prva in druga izjemna meja:

Druga izjemna meja je posledica številnih težav, povezanih z nenehno rastjo količine.

Razmislite o primeru I. I. Perelmana, ki daje razlago števila e   v težavi s sestavljenimi obrestmi. V Sberbanksu se osnovna sredstva letno dodajo obresti. Če se povezava vzpostavi pogosteje, potem kapital raste hitreje, saj pri nastajanju obresti sodeluje velik znesek. Vzemimo čisto teoretičen, zelo poenostavljen primer.

Naj banka položi 100 den. enot po stopnji 100% letno. Če bo obrestni denar pritrjen na osnovni kapital šele po koncu leta, potem do tega datuma 100 den. enot se bo spremenil v 200 den.ed.

Zdaj pa poglejmo, v kaj se bo spremenilo 100 den. enot, če je denar obresti pritrjen na osnovni kapital vsakih šest mesecev. Po šestih mesecih 100 den. enot zrastejo v 100 × 1,5 \u003d 150, po nadaljnjih šestih mesecih pa - v 150 × 1,5 \u003d 225 (den enotah). Če se povezava opravi vsake 1/3 leta, potem po enem letu 100 den. enot se bo spremenil v 100 × (1 +1/3) 3 »237 (den. enot).

Čas za združevanje denarja za obresti bomo povečali na 0,1 leta, na 0,01 leta, na 0,001 leta itd. Potem iz 100 den. enot leto kasneje se bo izkazalo:

100 × (1 +1/10) 10 »259 (den. Enote),

100 × (1 + 1/100) 100 ”270 (enote enote),

100 × (1 + 1/1000) 1000 »271 (den. Enot).

Ob neskončnem zmanjšanju časa za vključitev obresti nakopičeni kapital ne raste v nedogled, ampak se približa določeni meji, približno 271. Kapital, postavljen na 100% letno, se ne more povečati več kot 2,71 krat, tudi če se obresti pripišejo vsakemu kapitalu drugič zato, ker

Primer 2.5Izračunajte omejitev funkcije

Rešitev.

Primer 2.6.Izračunajte omejitev funkcije .

Rešitev.Z nadomeščanjem dobimo negotovost:

.

S trigonometrično formulo števec pretvorimo v izdelek:

Kot rezultat, dobimo

Tu je upoštevana druga izjemna meja.

Primer 2.7Izračunajte omejitev funkcije

Rešitev.

.

Če želite odkriti negotovost tipa, lahko uporabite pravilo L'Hospital, ki temelji na naslednjem izrekanju.

IzrekMeja razmerja dveh neskončno majhnih ali neskončno velikih funkcij je enaka meji razmerja njihovih derivatov

Upoštevajte, da se to pravilo lahko uporablja večkrat zapored.

Primer 2.8.   Da bi našli

Rešitev.Pri zamenjavi imamo vrsto negotovosti. Z uporabo pravila Litala dobimo

Neprekinjenost delovanja

Pomembna lastnost funkcije je kontinuiteta.

OpredelitevFunkcija je upoštevana neprekinjenoče majhna sprememba vrednosti argumenta pomeni majhno spremembo vrednosti funkcije.

Matematično je to zapisano takole: kdaj

Pod in se razume prirastek spremenljivk, to je razlika med naslednjimi in prejšnjimi vrednostmi:, (slika 2.3)

Slika 2.3 - Spremenljiv prirast

Iz definicije funkcije, neprekinjene v točki, izhaja, da   . Ta enakost pomeni izpolnjevanje treh pogojev:

Rešitev.Za funkcijo   točka je sumljiva za odmor, to preverite, poiščite enosmerne omejitve

Zato   pomeni prelomna točka

Izvedbena funkcija