Правильный пятиугольник циркулем. Деление окружности на равные части и вписывание правильных многоугольников

Уровень сложности: Несложно

1 шаг

Сначала, выбирайте, где разместить центр окружности. Там нужно поставить начальную точку, пусть она называется О. С помощью циркуля вычерчиваем вокруг нее окружность заданного диаметра или радиуса.

2 шаг

Затем проводим две оси через точку О, центр окружности, одна горизонтальная, другая под 90 градусов по отношению к ней – вертикальная. Точки пересечения по горизонтали назовем слева на право А и В, по вертикали, сверху вниз – М и Н. Радиус, который лежит на любой оси, например, на горизонтальной в правой части, делим пополам. Это можно сделать так: циркуль с радиусом известной нам окружности устанавливаем острием в точку пересечения горизонтальной оси и окружности – В, отчеркиваем пересечения с окружностью, полученные точки называем, соответственно сверху вниз – С и Р, соединяем их отрезком, который будет пересекать ось ОВ, точку пересечения называем К.

3 шаг

Соединяем точки К и М и получаем отрезок КМ, устанавливаем циркуль в точку М, задаем на нем расстояние до точки К и очерчиваем метки на радиусе ОА, эту точку называем Е, далее ведем циркуль до пересечения с левой верхней частью окружности ОМ. Эту точку пересечения называем F. Расстояние равное отрезку МЕ является искомой стороной равностороннего пятиугольника. При этом точка М будет являться одной вершиной встраиваемого в окружность пятиугольника, а точка F – другой.

4 шаг

Далее из полученных точек по всей окружности отчерчиваем циркулем расстояния, равные отрезку МЕ, всего точек должно получиться 5. Соединяем все точки отрезками – получаем пятиугольник, вписанный в окружность.

• При черчении будьте аккуратны в измерениях расстояний, не допускайте погрешностей, чтобы пятиугольник действительно полчился равносторонним

Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника.

Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой.

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4, строим стороны 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 и 7 - 2, после чего проводим стороны 5 - 6 и 3 - 2.

Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля. Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, проведённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0 - 1 - 2 равен 30°, то для нахождения стороны 1 - 2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0 - 1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1 - 2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2 - 3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника намечаем на диаметре вершину точку 1 и проводим диаметральную линию 1 - 4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.

Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4 - 1 и 3 -2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1 - 2 и 4 - 3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра. Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диаметров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до взаимного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные прямые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересечения с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник, производим следующие построения. Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вершины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую. Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB. Получим точку 1 -вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, проводим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересечение которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / - // - /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно производить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэффициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

Длины сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй - коэффициенты. Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

8 июня 2011

Первый способ — по данной стороне S с помощью транспортира.

Проводим прямую и откладываем на ней AB = S; принимаем эту линию за радиус и этим радиусом из точек A и В описываем дуги: далее с помощью транспортира строим в этих точках углы в 108°, стороны которых пересекутся с дугами в точках С и D; из этих точек радиусом АВ = 5 описываем дуги, которые пересекутся в Е, и прямыми линиями соединяем точки Л, С, Е, D, В.

Полученный пятиугольник — искомый.

Второй способ. Проведем окружность радиусом r. Из точки А циркулем проводим дугу радиуса AM до пересечения в точках В и С с окружностью. Соединяем В и С линией, которая пересечет горизонтальную ось в точке Е.

Затем из точки Е проводим дугу, которая пересечет горизонтальную линию в точке О. Описываем, наконец, из точки F дугу, которая пересечет окружность в точках Н и К. Отложив по окружности расстояние FO = FH = FK пять раз и соединив точки деления линиями, получим правильный пятиугольник.

Третий способ. В данный круг вписать правильный пятиугольник. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и МС. Делим радиус АО точкой Е пополам. Из точки Е, как из центра, проводим дугу окружности радиуса ЕМ и засекаем ею диаметр АВ в точке F. Отрезок MF равен стороне искомого правильного пятиугольника. Раствором циркуля, равным MF, делаем засечки N 1 , Р 1 , Q 1 , К 1 и соединяем их прямыми.

На рисунке построен шестиугольник по данной стороне.

Прямой АВ = 5, как радиусом, из точек А и В описываем дуги, которые пересекутся в С; из этой точки тем же радиусом описываем окружность, на которой сторона А В отложится 6 раз.

Шестиугольник ADEFGB — искомый. 

«Отделка комнат при ремонте»,
Н.П.Краснов

Первый способ построения. Проводим горизонтальную (АВ) и вертикальную (CD) оси и из точки их пересечения М откладываем в соответствующем масштабе полуоси. Наносим малую полуось от точки М на большой оси до точки Е. Эллипс, первый способ построения Делим BE на 2 части и одну наносим от точки М на большой оси (до F или H)…

Основанием для нанесения росписи служат полностью законченные окраской поверхности стен, потолков и других конструкций; роспись делается по высококачественным клеевым и масляным окраскам, сделанным под торцовку или флейц. Приступая к разработке эскиза отделки, мастер должен ясно представить себе всю композицию в бытовой обстановке и отчетливо осознать творческий замысел. Только при соблюдении этого основного условия можно правильно…

Обмер выполненных работ, за исключением особо оговоренных случаев, производится по площади действительно обработанной поверхности с учетом ее рельефа и за вычетом необработанных мест. Для определения действительно обработанных поверхностей при малярных работах следует пользоваться переводными коэффициентами, приведенными в таблицах. А. Деревянные оконные устройства (обмер производится по площади проемов по наружному обводу коробок) Наименование устройств Коэффициент при…

Правильный пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру, которая образовывается пересечением пяти прямых, создающих пять одинаковых углов. Такая фигура носит название - пентагон. С пятиугольником тесно связана работа художников - их рисунки строятся на основе правильных геометрических фигур. Для этого необходимо знать то, как быстро построить пентагон.

Чем интересна эта фигура? Форму пентагона имеет здание Министерства обороны Соединенных Штатов Америки . Это можно увидеть на фото, сделанных с высоты полета. В природе не существует кристаллов и камней, форма которых напоминала бы пентагон. Только в этой фигуре количество граней совпадает с числом диагоналей.

Параметры правильного пятиугольника

Прямоугольный пятиугольник, как и каждая фигура в геометрии, имеет свои параметры. Зная необходимые формулы, можно рассчитать эти параметры, что облегчит процесс построения пентагона. Способы и формулы расчетов:

• сумма всех углов в многоугольниках равна 360 градусам. В правильном пятиугольнике все углы равны, соответственно, центральный угол находится таким способом: 360/5 = 72 градуса;
• внутренний угол находится таким образом: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 градусов. Сумма всех внутренних углов: 108*5 = 540 градусов.

Сторона пентагона находится с помощью параметров, которые уже даны в условии задачи:

• если вокруг пятиугольника описана окружность и известен ее радиус, сторона находится по такой формуле: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1,1756*R.
• Если известен радиус вписанной в пентагон окружности, то формула расчета стороны многоугольника: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r.
• При известной величине диагонали пентагона его сторона рассчитывается таким образом: а = D/1,618.

Площадь пентагона так же , как и его сторона, зависит от уже найденных параметров:

• с помощью известного радиуса вписанной окружности площадь находится так: S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r.
• описанная вокруг пятиугольника окружность позволяет найти площадь по такой формуле: S = (n*R2*sin α)/2 = 2,3776*R2.
• в зависимости от стороны пентагона: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Построение пентагона

Построить правильный пятиугольник можно с помощью линейки и циркуля, на основе вписанной в него окружности или одной из сторон.

Как начертить пятиугольник на основе вписанной окружности? Для этого необходимо запастись циркулем и линейкой и сделать такие шаги:

1. Сначала необходимо начертить окружность с центром О, после чего на ней выбрать точку, А - вершину пентагона. От центра к вершине проводится отрезок.
2. Затем строится перпендикулярная прямой ОА отрезок, который также проходит через О - центр окружности. Его пересечение с окружностью обозначается точкой В. Отрезок О. В. делится пополам точкой С.
3. Точка С станет центром новой окружности, проходящей через А. Точка D - это ее пересечение с прямой ОВ в границах первой фигуры.
4. После этого проводится третья окружность через D, центром которой является точка А. Она пересекается с первой фигурой в двух точках, их необходимо обозначить буквами Е и F.
5. Следующая окружность имеет центр в точке Е и проходит через А, а ее пересечение с первоначальной находится в новой точке G.
6. Последняя окружность в этом рисунке проводится через точку, А с центром F. На ее пересечении с начальной ставится точка Н.
7. На первой окружности после всех проделанных шагов появились пять точек, которые необходимо соединить отрезками. Таким образом получился правильный пятиугольник АЕ G Н F.

Как построить правильный пятиугольник иным способом? С помощью линейки и циркуля пентагон можно построить немного быстрее. Для этого необходимо:

1. Cначала необходимо с помощью циркуля нарисовать окружность, центр которой - точка О.
2. Чертится радиус ОА - отрезок, который откладывается на окружность. Его делят пополам точкой В.
3. Перпендикулярно радиусу ОА начерчивается отрезок ОС, точки В и С соединяются прямой.
4. Следующим шагом является отложение длины отрезка ВС с помощью циркуля на диаметральной линии. Перпендикулярно отрезку ОА появляется точка D. Точки В и D соединяются, образуя новый отрезок.
5. Для того, чтобы получить величину стороны пентагона, необходимо соединить точки С и D.
6. D с помощью циркуля переносится на окружность и обозначается точкой Е. Соединив Е и С, можно получить первую сторону правильного пятиугольника. Следуя этой инструкции можно узнать о том, как быстро построить пятиугольник с равными сторонами, продолжая построение остальных его сторон подобно первой.

В пятиугольнике с одинаковыми сторонами диагонали равны и образуют пятиконечную звезду, которая называется пентаграммой. Золотое сечение - это отношение величины диагонали к стороне пентагона.

Пентагон непригоден для полного заполнения плоскости. Использование любого материала в этой форме оставляет промежутки или образует наложения. Хотя природных кристаллов этой формы не существует в природе, но при образовании льда на поверхности гладких медных изделий возникают молекулы в виде пентагона, которые соединены в цепочки.

Наиболее простой способ получить правильный пятиугольник из полоски бумаги - завязать ее узлом и немного придавить. Этот способ полезен для родителей детей-дошкольников, которые хотят научить своих малышей распознавать геометрические фигуры.

Видео

Посмотрите, как можно быстро начертить пятиугольник.

5.3. Золотой пятиугольник; построение Евклида.

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый (рис. 5).

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник.

Пусть О - центр окружности, А - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Есть и золотой кубоид- это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

Теперь рассмотрим доказательство, предложенное Евклидом в «Началах».

Посмотрим теперь, как Евклид использует золотое сечение для того, чтобы построить угол в 72 градуса – именно под таким углом видна сторона правильного пятиугольника

из центра описанной окружности. Начнем с

отрезка АВЕ, разделенного в среднем и

Итак, пусть АС=АЕ. Обозначим через a равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ, то угол АСЕ также равен a. Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, позволяет найти угол ВСЕ: он равен 180-2a, а угол ЕАС - 3a - 180. Но тогда угол АВС равен 180-a. Суммируя углы треугольника АВС получаем,

180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)

Откуда 5a=360, значит a=72.

Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕС вдвое больше угла при вершине, равного 36 градусов. Следовательно, чтобы построить правильный пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность с центром в точке Е, пересекающую ЕС в точке Х и сторону ЕВ в точке Y: отрезок XY служит одной из сторон вписанного в окружность правильного пятиугольника; Обойдя вокруг всей окружности, можно найти и все остальные стороны.

Докажем теперь, что АС=АЕ. Предположим, что вершина С соединена отрезком прямой с серединой N отрезка ВЕ. Заметим, что поскольку СВ=СЕ, то угол СNЕ прямой. По теореме Пифагора:

CN 2 = а 2 – (а/2j) 2 = а 2 (1-4j 2)

Отсюда имеем (АС/а) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Итак, АС = jа = jАВ = АЕ, что и требовалось доказать

5.4.Спираль Архимеда.

Последовательно отсекая от золотых прямоугольников квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью окружности, мы получим довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали.

В настоящее время спираль Архимеда широко используется в технике.

6.Числа Фибоначчи.

С золотым сечением косвенно связано имя итальянского математика Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищу Фибоначчи (Fibonacci - сокращенное filius Bonacci, то есть сын Боначчи)

В 1202г. им была написана книга "Liber abacci", то есть "Книга об абаке" . "Liber abacci" представляет собой объемистый труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший заметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими ("арабскими") цифрами.

Сообщаемый в книге материал поясняется на большом числе задач, составляющих значительную часть этого трактата.

Рассмотрим одну такую задачу:

"Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, дабы узнать, сколько пар кроликов родится в течение этого года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов воспроизведет другую, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения"

Месяцы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Пары кроликов	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377

Перейдем теперь от кроликов к числам и рассмотрим следующую числовую последовательность:

u 1 , u 2 … u n

в которой каждый член равен сумме двух предыдущих, т.е. при всяком n>2

u n =u n -1 +u n -2 .

Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.

Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875... и через раз то превосходящая, то не достигающая его.

Асимптотическое поведение последовательности, затухающие колебания ее соотношения около иррационального числа Ф могут стать более понятными, если показать отношения нескольких пеpвых членов последовательности. В этом примере приведены отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее:

1:1 = 1.0000, что меньше фи на 0.6180

2:1 = 2.0000, что больше фи на 0.3820

3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180

5:3 = 1.6667, что больше фи на 0.0486

8:5 = 1.6000, что меньше фи на 0.0180

По мере продвижения по суммационной последовательности Фибоначчи каждый новый член будет делить следующий со все большим и большим приближением к недостижимому Ф.

Человек подсознательно ищет Божественную пропорцию: она нужна для удовлетворения его потребности в комфорте.

Пpи делении любого члена последовательности Фибоначчи на следующий за ним получается просто обратная к 1.618 величина (1: 1.618=0.618). Hо это тоже весьма необычное, даже замечательное явление. Поскольку пеpвоначальное соотношение – бесконечная дpобь, у этого соотношения также не должно быть конца.

При делении каждого числа на следующее за ним через одно, получаем число 0.382

Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор коэффициентов Фибоначчи: 4.235 ,2.618 ,1.618,0.618,0.382,0.236.Упомянем также 0.5.Все они играют особую роль в природе и в частности в техническом анализе.

Тут необходимо отметить, что Фибоначчи лишь напомнил свою последовательность человечеству, так как она была известна еще в древнейшие времена под названием Золотое сечение.

Золотое сечение, как мы видели, возникает в связи с правильным пятиугольником, поэтому и числа Фибоначчи играют роль во всем, что имеет отношение к правильным пятиугольникам - выпуклым и звездчатым.

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления. Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта (о решении Диофантовых уравнений). Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений. Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд чисел 1, 2, 4, 8, 16...(то есть ряд чисел до n , где любое натуральное число, меньшее n можно представить суммой некоторых чисел этого ряда) на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором – это сумма двух предыдущих чисел 2 =1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи?

Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через S (n), то получим общую формулу S (n) = S (n – 1) + S (n – S – 1).

Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 –ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.

В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения x S+1 – x S – 1 = 0.

Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 – знакомое классическое золотое сечение.

Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! То есть золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

7.Золотое сечение в искусстве.

7.1. Золотое сечение в живописи.

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете».

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника..

Также пропорция золотого сечения проявляется в картине Шишкина. На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали.

В картине Рафаэля "Избиение младенцев" просматривается другой элемент золотой пропорции - золотая спираль. На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль золотую спираль или чувствовал её.

Т.Кук использовал при анализе картины Сандро Боттичелли «рождение Венеры» золотое сеченеие.

7.2. Пирамиды золотого сечения.

Широко известны медицинские свойства пирамид, особенно золотого сечения. По некоторым наиболее распространенным мнениям, комната, в которой находится такая пирамида, кажется больше, а воздух - прозрачнее. Сны начинают запоминаться лучше. Также известно, что золотое сечение широко применялась в архитектуре и скульптуре. Примером тому стали: Пантеон и Парфенон в Греции, здания архитекторов Баженова и Малевича

8. Заключение.

Необходимо сказать, что золотое сечение имеет большое применение в нашей жизни.

Было доказано, что человеческое тело делится в пропорции золотого сечения линией пояса.

Раковина наутилуса закручена подобно золотой спирали.

Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидов между Марсом и Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета.

Возбуждение струны в точке, делящей её в отношении золотого деления, не вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации.

На летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения.

Джоконда построена на золотых треугольниках, золотая спираль присутствует на картине Рафаэля «Избиение младенцев».

Пропорция обнаружена в картине Сандро Боттичелли «Рождение Венеры»

Известно много памятников архитектуры, построенных с использованием золотой пропорции, в том числе Пантеон и Парфенон в Афинах, здания архитекторов Баженова и Малевича.

Иоанну Кеплеру, жившему пять веков назад, принадлежит высказывание: "Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора, второе - деления отрезка в крайнем и среднем отношении"

Список литературы

1. Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979.

2. Журнал "Наука и техника"

3. Журнал «Квант», 1973, № 8.

4. Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.

5. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989.

6. Стахов А. Коды золотой пропорции.

7.Воробьев Н.Н. "Числа Фибоначчи" - М.: Наука 1964

8. "Математика - Энциклопедия для детей" М.: Аванта +, 1998

9. Информация из интернета.

Матриц Фибоначчи и так называемых «золотых» матриц, новые компьютерные арифметики, новая теорию кодирования и новая теория криптографии. Суть новой науки, в пересмотре с точки зрения золотого сечения всей математики, начиная с Пифагора, что, естественно, повлечет в теории новые и наверняка очень интересные математические результаты. В практическом отношении – «золотую» компьютеризацию. А поскольку...

Не повлияют на этот результат. Основание золотой пропорции является инвариантом рекурсивных соотношений 4 и 6. В этом проявляется «устойчивость» золотого сечения, одного из принципов организации живой материи. Так же, основание золотой пропорции является решением двух экзотических рекурсивных последовательностей (рис 4.) Рис. 4 Рекурсивных последовательности Фибоначчи так...

Уха - j5, а расстояние от уха до макушки - j6 . Таким образом, в этой статуе мы видим геометрическую прогрессию со знаменателем j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (рис.9). Таким образом, золотое сечение – один из основополагающих принципов в искусстве античной Греции. Ритмы сердца и мозга. Равномерно бьется сердце человека – около 60 ударов в минуту в состоянии покоя. Сердце как поршень сжимает...