Vienādojumu tiešais tiešsaistes kalkulators. Taisnas līnijas vispārīgais vienādojums: apraksts, piemēri, problēmu risināšana

Apsveriet taisnes, kas iet caur punktu un normālu vektoru, vienādojumu. Ļaujiet koordinātu sistēmā dot punktu un nulles vektoru (1. attēls).

Definīcija

Kā redzat, ir viena taisna līnija, kas iet caur punktu, kas ir perpendikulārs vektora virzienam (šajā gadījumā to sauc normāls vektors taisni).

Attēls: 1

Pierādīsim, ka lineārais vienādojums

tas ir taisnas vienādojums, tas ir, katra taisnes punkta koordinātas apmierina vienādojumu (1), bet punkta koordinātas, kas neatrodas, (1) vienādojums nē.

Lai to pierādītu, pievērsīsim uzmanību tam, ka vektoru un \u003d skalārais rezultāts koordinātu formā sakrīt ar (1) vienādojuma kreiso pusi.

Tad mēs izmantojam acīmredzamo taisnes līnijas īpašību: vektorus un perpendikulāri tikai tad, ja punkts atrodas. Ar nosacījumu, ka abi vektori ir perpendikulāri, to skalārais rezultāts (2) pārvēršas par visiem punktiem, kas atrodas, un tikai uz tiem. Tādējādi (1) ir taisnās līnijas vienādojums.

Definīcija

Tiek izsaukts (1) vienādojums taisnās līnijas vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu ar normālu vektoru \u003d.

Pārveidosim vienādojumu (1)

Atzīmējot \u003d, mēs saņemam

Tādējādi taisne atbilst formas (3) lineārajam vienādojumam. Gluži pretēji, dotajam formas (3) vienādojumam, kur vismaz viens no koeficientiem nav vienāds ar nulli, var konstruēt taisnu līniju.

Patiešām, ļaujiet skaitļu pārim apmierināt vienādojumu (3), tas ir,

Atņemot pēdējo no (3), iegūstam relāciju, kas nosaka līniju aiz vektora un punkta.

Līnijas vispārīgā vienādojuma izpēte

Ir lietderīgi zināt taisnās līnijas izvietojuma īpatnības atsevišķos gadījumos, kad viens vai divi skaitļi ir vienādi ar nulli.

1. Vispārējais vienādojums izskatās šādi:. Punkts to apmierina, kas nozīmē, ka taisnā līnija iet caur sākumu. To var rakstīt: \u003d - x (skat. 2. attēlu).

Attēls: 2

Mēs uzskatām, ka:

Ja mēs ieliekam, tad mēs iegūstam vēl vienu punktu (sk. 2. attēlu).

2., tad vienādojums izskatās šādi, kur \u003d -. Normālais vektors atrodas uz ass, taisnas līnijas. Tādējādi taisne ir perpendikulāra punktā vai paralēla asij (sk. 3. attēlu). Jo īpaši, ja un, tad vienādojums ir ordinātu ass vienādojums.

Attēls: 3

3. Līdzīgi vienādojumam ir rakstīts, kur. Vektors pieder pie ass. Taisna līnija punktā (4. attēls).

Ja, tad ass vienādojums.

Pētījumu var formulēt šādā formā: taisne ir paralēla koordinātu asij, kuras maiņa nav taisnas līnijas vispārīgajā vienādojumā.

Piemēram:

Konstruēsim taisnu līniju pēc vispārīgā vienādojuma, ja vien - nav vienādi ar nulli. Lai to izdarītu, pietiek atrast divus punktus, kas atrodas uz šīs taisnes. Dažreiz ērtāk ir atrast šādus punktus koordinātu asīs.

Tad mēs ieliekam \u003d -.

Par, tad \u003d -.

Mēs apzīmējam - \u003d, - \u003d. Punkti un tiek atrasti. Atstājiet cirvjus malā un caur tiem velciet taisnu līniju (skat. 5. attēlu).

Attēls: pieci

No vispārīgā jūs varat doties uz vienādojumu, kurā būs skaitļi un:

Un tad izrādās:

Vai arī saskaņā ar apzīmējumu mēs iegūstam vienādojumu

Kas tiek saukts līnijas vienādojums segmentos... Skaitļi un ar precizitāti līdz zīmei ir vienādi ar segmentiem, kurus koordinātu asīs nogriež taisna līnija.

Taisnas līnijas vienādojums ar slīpumu

Lai uzzinātu, kāds ir taisnas un slīpuma vienādojums, apsveriet vienādojumu (1):

Atzīmējot - \u003d, mēs saņemam

taisnas līnijas vienādojums, kas iet caur punktu noteiktā virzienā. Koeficienta ģeometriskais saturs ir skaidrs no att. 6.

B \u003d \u003d, kur ir mazākais leņķis, par kuru jums jāapgriež ass pozitīvais virziens ap kopīgu punktu, līdz tas ir izlīdzināts ar taisnu līniju. Acīmredzot, ja leņķis ir ass, tad nosaukums \u003d "(! LANG: renderējis QuickLaTeX.com" height="17" width="97" style="vertical-align: -4px;">; если же – тупой угол, тогда .!}

Paplašināsim iekavās (5) un vienkāršojiet to:

kur. Saistība (6) - vienādojums slīpums taisns... Kad, ir segments, kas nogriež taisnu līniju uz asi (skat. 6. attēlu).

Piezīme!

Lai pārietu no taisnās līnijas vispārējā vienādojuma uz vienādojumu ar slīpumu, vispirms ir jāatrisina.

Attēls: 6

\u003d - x + - \u003d

kur \u003d -, \u003d - ir apzīmēts. Ja, tad no vispārējā vienādojuma pētījuma jau ir zināms, ka šāda taisne ir perpendikulāra asij.

Apsveriet līnijas kanonisko vienādojumu, izmantojot piemēru.

Ļaujiet koordinātu sistēmā dot punktu un nulles vektoru (7. attēls).

Attēls: 7

Ir jāveido līnijas vienādojums, kas iet caur punktu, kas ir paralēls vektoram, ko sauc par virziena vektoru. Patvaļīgs punkts pieder šai līnijai tikai un vienīgi tad. Tā kā tiek dots vektors un vektors, pēc paralelitātes stāvokļa šo vektoru koordinātas ir proporcionālas, tas ir:

Definīcija

Relāciju (7) sauc par taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur noteiktu punktu noteiktā virzienā, vai par taisnas līnijas kanonisko vienādojumu.

Ņemiet vērā, ka var pāriet uz formas (7) vienādojumu, piemēram, no taisnu līniju zīmuļa vienādojuma (4)

vai no taisnās līnijas vienādojuma caur punktu un normālu vektoru (1):

Iepriekš tika pieņemts, ka virziena vektors nav nulle, bet var gadīties, ka, piemēram, kāda no tā koordinātēm. Tad izteiciens (7) tiks oficiāli uzrakstīts:

kam vispār nav jēgas. Tomēr taisnās līnijas vienādojums, kas ir perpendikulārs asij, ir pieņemts un iegūts. Patiešām, no vienādojuma var redzēt, ka taisni nosaka punkts un virziena vektors, kas ir perpendikulārs asij. Ja mēs atbrīvojamies no saucēja šajā vienādojumā, mēs iegūstam:

Vai arī - taisnei, kas perpendikulāra asij, ir vienādojums. Tas pats tiktu iegūts attiecībā uz vektoru.

Taisnas līnijas parametriskais vienādojums

Lai saprastu, kas ir taisnas līnijas parametriskais vienādojums, ir jāatgriežas pie vienādojuma (7) un jāpielīdzina katra frakcija (7) parametram. Tā kā vismaz viens no saucējiem (7) nav vienāds ar nulli un atbilstošais skaitītājs var iegūt patvaļīgas vērtības, tad parametru maiņas diapazons ir visa skaitļa ass.

Definīcija

Vienādojumu (8) sauc par līnijas parametrisko vienādojumu.

Uzdevumu piemēri taisnā līnijā

Protams, ir grūti kaut ko atrisināt tikai ar definīcijām, jo \u200b\u200bjums pašiem jāatrisina vismaz daži piemēri vai uzdevumi, kas palīdzēs konsolidēt aptverto materiālu. Tāpēc analizēsim galvenos uzdevumus taisnā līnijā, jo līdzīgi uzdevumi bieži sastopami eksāmenos un testos.

Kanoniskais un parametriskais vienādojums

1. piemērs

Vienādojuma dotajā taisnā līnijā atrodiet punktu, kas atrodas 10 vienības no šīs taisnes punkta.

Lēmums:

Ļaujiet būt meklēja taisnas līnijas punktu, tad mēs pierakstām attālumu. Atsaucoties uz . Tā kā punkts pieder taisnai līnijai, kurai ir normāls vektors, tad taisnās līnijas vienādojumu var uzrakstīt: \u003d \u003d un tad izrādās:

Tad attālums. Ar nosacījumu, vai. No parametru vienādojuma:

2. piemērs

Uzdevums

Punkts vienmērīgi pārvietojas ar ātrumu vektora virzienā no sākuma punkta. Atrodiet punkta koordinātas līdz kustības sākumam.

Lēmums

Vispirms jums jāatrod vienības vektors. Tās koordinātas ir virziena kosinusi:

Tad ātruma vektors:

X \u003d x \u003d.

Tagad tiks uzrakstīts taisnās līnijas kanoniskais vienādojums:

\u003d \u003d, \u003d Vai parametriskais vienādojums. Pēc tam jums jāizmanto līnijas parametriskais vienādojums.

Lēmums:

Taisnās līnijas vienādojums, kas iet caur punktu, tiek atrasts pēc taisnu līniju zīmuļa formulas, kur slīpums taisnai līnijai un \u003d taisnei.

Ņemot vērā skaitli, kur redzams, ka starp taisnām līnijām un ir divi leņķi: viens ir ass, bet otrs - neass. Saskaņā ar formulu (9) tas ir leņķis starp taisnām līnijām un ar kuru jums jāpagriež taisnā līnija pretēji pulksteņrādītāja kustības virzienam attiecībā pret to krustošanās punktu, līdz tā ir izlīdzināta ar taisni.

Tātad, mēs atcerējāmies formulu, sakārtojām leņķus, un tagad mēs varam atgriezties pie sava piemēra. Tādējādi, ņemot vērā formulu (9), vispirms mēs atrodam kājas vienādojumus.

Tā kā taisnas līnijas pagriešana ar leņķi pretēji pulksteņrādītāja kustības virzienam attiecībā pret punktu noved pie izlīdzināšanas ar taisnu līniju, tad formulā (9) a. No vienādojuma:

Pēc vienādojuma zīmuļa formulas tiek uzrakstīta taisna līnija:

Līdzīgi mēs atrodam un

Taisnas līnijas vienādojums:

Taisnas līnijas vienādojums - taisnas vienādojuma veidi: iet caur punktu, vispārīgi, kanoniski, parametri utt. atjaunināts: autors: 2019. gada 22. novembris: Zinātniskie raksti.Ru

Definīcija.Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā vektors ar komponentiem (A, B) ir perpendikulārs taisnei, ko dod vienādojums Ax + Vy + C \u003d 0.

Piemērs... Atrodiet taisnās līnijas vienādojumu, kas iet caur punktu A (1, 2) perpendikulāri vektoram (3, -1).

Lēmums... Pie A \u003d 3 un B \u003d -1 mēs sastādām taisnes vienādojumu: 3x - y + C \u003d 0. Lai atrastu koeficientu C, mēs aizstājam norādītā punkta A koordinātas. Kopā: nepieciešamais vienādojums: 3x - y - 1 \u003d 0.

Taisnas līnijas, kas šķērso divus punktus, vienādojums

Ļaujiet telpā dot divus punktus M 1 (x 1, y 1, z 1) un M 2 (x 2, y 2, z 2), pēc tam caur šiem punktiem šķērsojošās taisnes vienādojumu:

Ja kāds no saucējiem ir nulle, atbilstošais skaitītājs jāpielīdzina nullei. Plaknē vienkāršots iepriekš uzrakstītās taisnes vienādojums:

ja x 1 ≠ x 2 un x \u003d x 1, ja x 1 \u003d x 2.

Tiek saukta frakcija \u003d k slīpumstaisni.

Piemērs... Atrodiet taisnes, kas šķērso punktus A (1, 2) un B (3, 4), vienādojumu.

Lēmums. Piemērojot iepriekš minēto formulu, mēs iegūstam:

Taisnas līnijas vienādojums pēc punkta un slīpuma

Ja taisnās līnijas Ax + Vy + C \u003d 0 vispārējais vienādojums tiek samazināts līdz formai:

un izraugās , tad iegūto vienādojumu sauc taisnas līnijas vienādojums ar slīpumuk.

Taisnas līnijas vienādojums gar punktu un virziena vektoru

Pēc analoģijas ar rindkopu, ņemot vērā taisnas līnijas vienādojumu caur parasto vektoru, jūs varat ievadīt taisnas līnijas specifikāciju caur taisnas līnijas punktu un virziena vektoru.

Definīcija.Katru nulles vektoru (α 1, α 2), kura komponenti atbilst nosacījumam А α 1 + В α 2 \u003d 0, sauc par līnijas virzošo vektoru

Cirvis + Wu + C \u003d 0.

Piemērs. Atrodiet taisnas līnijas vienādojumu ar virziena vektoru (1, -1) un iet caur punktu A (1, 2).

Lēmums. Vēlamās taisnes vienādojums tiks meklēts formā: Ax + By + C \u003d 0. Saskaņā ar definīciju koeficientiem jāatbilst nosacījumiem:

1 * A + (-1) * B \u003d 0, t.i. A \u003d B.

Tad taisnes vienādojumam ir forma: Ax + Ay + C \u003d 0, vai x + y + C / A \u003d 0. ja x \u003d 1, y \u003d 2, mēs iegūstam C / A \u003d -3, t.i. nepieciešamais vienādojums:

Taisnas līnijas vienādojums segmentos

Ja taisnās līnijas Ax + Vu + C \u003d 0 C ≠ 0 vispārīgajā vienādojumā, dalot ar –C, iegūstam: vai

Koeficientu ģeometriskā nozīme ir tāda, ka koeficients un ir taisnes un Ox ass krustošanās punkta koordinātas, un b - taisnes un Oy ass krustošanās punkta koordinātas.

Piemērs. Dots vispārējs taisnes x - y + 1 \u003d 0 vienādojums. Atrodiet šīs taisnes vienādojumu segmentos.

C \u003d 1, a \u003d -1, b \u003d 1.

Normāls līnijas vienādojums

Ja abas vienādojuma Ax + Vy + C \u003d 0 puses dalītas ar skaitli ko sauc normalizējošais faktors, tad mēs iegūstam

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -

normāls taisnes vienādojums. Normalizējošā faktora ± zīme jāizvēlas tā, lai μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Piemērs... Tiešās līnijas vispārīgajam vienādojumam ir dots 12x - 5y - 65 \u003d 0. Nepieciešams rakstīt dažāda veida šīs taisnes vienādojumus.

šīs taisnes vienādojums segmentos:

šīs līnijas vienādojums ar slīpumu: (dalīt ar 5)

normāls līnijas vienādojums:

; cos φ \u003d 12/13; grēks φ \u003d -5/13; p \u003d 5.

Jāatzīmē, ka ne katru līniju segmentos var attēlot ar vienādojumu, piemēram, līnijām, kas paralēlas asīm vai iet caur sākumu.

Piemērs... Taisnā līnija nogriež vienādus pozitīvus segmentus uz koordinātu asīm. Izveidojiet taisnas līnijas vienādojumu, ja trijstūra laukums, ko veido šie segmenti, ir 8 cm 2.

Lēmums. Taisnās līnijas vienādojums ir šāds: ab / 2 \u003d 8; a \u003d 4; -4. a \u003d -4 neatbilst problēmas apgalvojumam. Kopā: vai x + y - 4 \u003d 0.

Piemērs... Sastādiet taisnes, kas iet caur punktu A (-2, -3), un vienādojuma vienādojumu.

Lēmums. Taisnās līnijas vienādojums ir šāds: kur x1 \u003d y1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Apsvērsim, kā, izmantojot piemērus, sastādīt vienādas līnijas, kas iet caur diviem punktiem.

1. piemērs.

Izveidojiet taisnes, kas šķērso punktus A (-3; 9) un B (2; -1), vienādojumu.

1. metode - sastādiet taisnes ar slīpumu vienādojumu.

Taisnas līnijas vienādojumam ar slīpumu ir forma. Aizvietojot punktu A un B koordinātas līnijas vienādojumā (x \u003d -3 un y \u003d 9 - pirmajā gadījumā x \u003d 2 un y \u003d -1 - otrajā), iegūstam vienādojumu sistēmu, no kuras mēs atrodam k un b vērtības:

Pievienojot 1. un 2. vienādojumu pēc termina, iegūstam: -10 \u003d 5k, no kurienes k \u003d -2. Aizstājot k \u003d -2 otrajā vienādojumā, mēs atrodam b: -1 \u003d 2 · (-2) + b, b \u003d 3.

Tādējādi y \u003d -2x + 3 ir vēlamais vienādojums.

2. metode - sastādiet taisnās līnijas vispārīgo vienādojumu.

Taisnās līnijas vispārīgais vienādojums ir. Aizstājot vienādojumā punktu A un B koordinātas, iegūstam sistēmu:

Tā kā nezināmo skaits ir lielāks nekā vienādojumu skaits, sistēma nav atrisināma. Bet jūs varat izteikt visus mainīgos caur vienu. Piemēram, caur b.

Reizinot sistēmas pirmo vienādojumu ar -1 un pievienojot terminu pēc termiņa ar otro:

mēs iegūstam: 5a-10b \u003d 0. Tādējādi a \u003d 2b.

Iegūto izteiksmi aizstāj ar otro vienādojumu: 2,2b -b + c \u003d 0; 3b + c \u003d 0; c \u003d -3b.
Aizstāj a \u003d 2b, c \u003d -3b vienādojumā ax + ar + c \u003d 0:

2bx + ar-3b \u003d 0. Atliek abas daļas sadalīt pa b:

Tiešās līnijas vispārīgo vienādojumu var viegli samazināt līdz taisnas līnijas vienādojumam ar slīpumu:

3. metode - sastādiet taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur 2 punktiem.

Taisnas līnijas, kas šķērso divus punktus, vienādojumam ir:

Šajā vienādojumā aizstājiet punktu A (-3; 9) un B (2; -1) koordinātas

(tas ir, x 1 \u003d -3, y 1 \u003d 9, x 2 \u003d 2, y 2 \u003d -1):

un vienkāršojiet:

no kurienes 2x + y-3 \u003d 0.

Skolas kursā visbiežāk tiek izmantots taisnes un slīpuma vienādojums. Bet vienkāršākais veids ir atvasināt un izmantot formulu taisnas līnijas vienādojumam, kas iet caur diviem punktiem.

Komentēt.

Ja, aizstājot doto punktu koordinātas, kāds no vienādojuma saucējiem

izrādās vienāds ar nulli, tad vēlamo vienādojumu iegūst, pielīdzinot nulli no attiecīgā skaitītāja.

2. piemērs.

Veiciet taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur diviem punktiem C (5; -2) un D (7; -2).

Taisnās līnijas, kas iet caur 2 punktiem, aizstāj punktu C un D koordinātas.

Šis raksts ir saņemts taisnās līnijas vienādojums, kas iet caur diviem dotajiem punktiem taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmā plaknē, kā arī atvasināja taisnas līnijas vienādojumus, kas iet caur diviem norādītiem punktiem taisnstūra koordinātu sistēmā trīsdimensiju telpā. Pēc teorijas izklāsta tiek parādīti tipisku piemēru un problēmu risinājumi, kuros nepieciešams sastādīt dažāda veida taisnas līnijas vienādojumus, kad ir zināmas šīs taisnes divu punktu koordinātas.

Lapas navigācija.

Taisnas līnijas vienādojums, kas iet caur diviem dotajiem plaknes punktiem.

Pirms iegūstam taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur diviem dotajiem punktiem taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē, atcerēsimies dažus faktus.

Viena no ģeometrijas aksiomām saka, ka caur taisni, kas nesakrīt plaknes punktos, var novilkt vienu taisnu līniju. Citiem vārdiem sakot, norādot divus plaknes punktus, mēs unikāli definējam taisnu līniju, kas iet cauri šiem diviem punktiem (ja nepieciešams, skatiet sadaļu par taisnas līnijas definēšanu plaknē).

Ļaujiet Osijam piestiprināties plaknē. Šajā koordinātu sistēmā jebkura taisne atbilst kādam taisnes vienādojumam plaknē. Taisnās līnijas virzošais vektors ir nesaraujami saistīts ar šo līniju. Šīs zināšanas ir pilnīgi pietiekamas, lai sastādītu taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur diviem dotajiem punktiem.

Formulēsim problēmas nosacījumu: uzrakstiet taisnes a vienādojumu, kas taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmā Oxy iziet cauri diviem nesakritīgiem punktiem un.

Parādīsim vienkāršāko un universālāko šīs problēmas risinājumu.

Mēs zinām, ka līnijas kanoniskais vienādojums formas plaknē taisnstūra Oxy koordinātu sistēmā norāda taisnu līniju, kas iet caur punktu un kurai ir virziena vektors.

Uzrakstīsim līnijas kanonisko vienādojumu, kas iet caur diviem dotajiem punktiem un.

Acīmredzot taisnes a virziena vektors, kas iet caur punktiem M 1 un M 2, ir vektors, tam ir koordinātas (ja nepieciešams, skat. rakstu). Tādējādi mums ir visi nepieciešamie dati, lai uzrakstītu taisnes a kanonisko vienādojumu - tā virziena vektora koordinātas un uz tā gulošā (-o) punkta (-u) koordinātas. Tam ir forma (vai ).

Mēs varam arī uzrakstīt parametru vienādojumus taisnei uz plaknes, kas iet caur diviem punktiem un. Viņi izskatās vai .

Apskatīsim risinājuma piemēru.

Piemērs.

Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur diviem dotajiem punktiem .

Lēmums.

Mēs uzzinājām, ka kanoniskais taisnas līnijas vienādojums, kas iet caur diviem punktiem ar koordinātām, un tam ir forma .

No problēmas stāvokļa, kas mums ir ... Mēs aizstājam šos datus vienādojumā ... Mēs saņemam .

Atbilde:

.

Ja mums nav vajadzīgs taisnās līnijas kanoniskais vienādojums un nevis taisnas līnijas parametriskie vienādojumi, kas iet caur diviem dotajiem punktiem, bet gan cita veida taisnas vienādojums, tad pie tā vienmēr varam nonākt no taisnas līnijas kanoniskā vienādojuma.

Piemērs.

Uzrakstiet taisnās līnijas vispārīgo vienādojumu, kas taisnstūra koordinātu sistēmā Oxy uz plaknes šķērso divus punktus un.

Lēmums.

Pirmkārt, mēs uzrakstām taisnas līnijas kanonisko vienādojumu, kas iet caur diviem dotajiem punktiem. Tas izskatās. Tagad pieņemsim iegūto vienādojumu vajadzīgajā formā:

Atbilde:

.

Šeit mēs varam pabeigt ar taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur diviem dotajiem punktiem taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē. Bet es gribētu atgādināt, kā mēs vidusskolā atrisinājām šādu problēmu algebras stundās.

Skolā mēs zinājām tikai taisnas līnijas vienādojumu ar formas slīpumu. Atrodīsim slīpuma k vērtību un skaitli b, pie kura vienādojums nosaka taisnstūra koordinātu sistēmu Oxy plaknē taisni, kas iet caur punktiem un pie. (Ja x 1 \u003d x 2, tad taisnes slīpums ir bezgalīgs, un taisni М 1 М 2 nosaka formas x-x 1 \u003d 0 formas taisnes vispārējais nepilnīgais vienādojums).

Tā kā punkti М 1 un М 2 atrodas uz taisnas līnijas, šo punktu koordinātas apmierina taisnas vienādojumu, tas ir, vienādības un ir patiesas. Formas vienādojumu sistēmas risināšana attiecībā uz nezināmiem mainīgajiem lielumiem k un b mēs atrodam vai ... Šīm k un b vērtībām taisnās līnijas vienādojums, kas iet caur diviem punktiem un iegūst formu vai .

Nav jēgas iegaumēt šīs formulas, risinot piemērus, ir vieglāk atkārtot norādītās darbības.

Piemērs.

Uzrakstiet taisnes vienādojumu ar slīpumu, ja šī līnija iet caur punktiem un.

Lēmums.

Parasti taisnās līnijas vienādojumam ar slīpumu ir forma. Atrodīsim k un b, kuriem vienādojums atbilst taisnei, kas iet caur diviem punktiem un.

Tā kā punkti М 1 un М 2 atrodas uz taisnas līnijas, to koordinātas apmierina taisnas vienādojumu, tas ir, vienādības ir patiesas un. K un b vērtības tiek atrastas kā vienādojumu sistēmas risinājums (ja nepieciešams, skatiet rakstu):

Atliek atrastās vērtības aizstāt ar vienādojumu. Tādējādi vajadzīgais taisnās līnijas vienādojums, kas iet caur diviem punktiem, un tam ir forma.

Kolosāls darbs, vai ne?

Ir daudz vieglāk pierakstīt taisnas līnijas kanonisko vienādojumu, kas iet caur diviem punktiem, un tam ir forma , un no tā dodieties uz taisnes un slīpuma vienādojumu:.

Atbilde:

Taisnas līnijas vienādojums, kas iet caur diviem dotajiem punktiem trīsdimensiju telpā.

Ļaujiet taisnstūrveida koordinātu sistēmu Oxyz fiksēt trīsdimensiju telpā un divus nesakritīgus punktus un caur kuru iet līnija M 1 M 2. Iegūsim šīs taisnes vienādojumus.

Mēs zinām, ka taisnās līnijas kanoniskie vienādojumi formas telpā un taisnās līnijas parametriskie vienādojumi formas telpā taisnstūra koordinātu sistēmā Oxyz iestatiet taisnu līniju, kas iet caur punktu ar koordinātām un kurai ir virziena vektors .

Taisnes M 1 M 2 virziena vektors ir vektors, un šī līnija iet caur punktu (un ), tad šīs līnijas kanoniskajiem vienādojumiem ir forma (vai ) un parametru vienādojumi - (vai ).

.

Ja jums jāiestata taisna līnija M 1 M 2, izmantojot divu krustojošo plakņu vienādojumus, vispirms jāsastāda kanoniskie taisnes, kas šķērso divus punktus, vienādojumi. un , un no šiem vienādojumiem iegūst nepieciešamos plakņu vienādojumus.

Atsauces saraksts.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Judina I.I. Ģeometrija. 7. - 9. klases: mācību grāmata izglītības iestādēm.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Ģeometrija. Mācību grāmata vidusskolas 10.-11.klasei.
• Pogorelovs A.V., Ģeometrija. Mācību grāmata izglītības iestāžu 7. - 11. klasei.
• Bugrovs Y.S., Nikolsky S.M. Augstākā matemātika. Pirmais sējums: lineārās algebras un analītiskās ģeometrijas elementi.
• Iļjins V.A., Pozņaks E.G. Analītiskā ģeometrija.

Šis raksts turpina taisnas līnijas vienādojuma tēmu plaknē: uzskatiet šāda veida vienādojumu par taisnas līnijas vispārīgo vienādojumu. Definēsim teorēmu un sniegsim tās pierādījumu; Izdomāsim, kas ir nepilnīgs taisnas līnijas vispārīgais vienādojums un kā veikt pārejas no vispārējā vienādojuma uz cita veida taisnas līnijas vienādojumiem. Mēs konsolidēsim visu teoriju ar ilustrācijām un praktisku problēmu risināšanu.

Ļaujiet plaknē norādīt taisnstūra koordinātu sistēmu O x y.

1. teorēma

Jebkurš pirmās pakāpes vienādojums, kura forma A x + B y + C \u003d 0, kur A, B, C ir daži reālie skaitļi (A un B vienlaikus nav vienādi ar nulli), nosaka taisnu līniju taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē. Savukārt jebkuru taisni taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē nosaka ar vienādojumu, kura forma A x + B y + C \u003d 0 noteiktai vērtību kopai A, B, C.

Pierādījumi

šī teorēma sastāv no diviem punktiem, mēs pierādīsim katru no tiem.

1. Pierādīsim, ka vienādojums A x + B y + C \u003d 0 nosaka taisni uz plaknes.

Lai pastāv kāds punkts М 0 (x 0, y 0), kura koordinātas atbilst vienādojumam A x + B y + C \u003d 0. Tādējādi: A x 0 + B y 0 + C \u003d 0. Atņemot vienādojuma A x + B y + C \u003d 0 kreiso un labo pusi no vienādojuma A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 kreisās un labās puses, iegūstam jaunu vienādojumu, kura forma A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0. Tas ir ekvivalents A x + B y + C \u003d 0.

Rezultātā iegūtais vienādojums A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ir nepieciešams un pietiekams nosacījums vektoriem n → \u003d (A, B) un M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0 ). Tādējādi punktu kopa M (x, y) nosaka taisni taisnstūra koordinātu sistēmā, kas ir perpendikulāra vektora n → \u003d (A, B) virzienam. Var pieņemt, ka tas tā nav, bet tad vektori n → \u003d (A, B) un M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) nebūtu perpendikulāri, un vienādība A (x - x 0 ) + B (y - y 0) \u003d 0 nebūtu taisnība.

Tāpēc vienādojums A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 definē kādu taisni taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē, un līdz ar to ekvivalents vienādojums A x + B y + C \u003d 0 definē to pašu taisni. Tā mēs pierādījām teorēmas pirmo daļu.

1. Dosim pierādījumu tam, ka jebkuru taisni taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē var definēt ar pirmās pakāpes A x + B y + C \u003d 0 vienādojumu.

Uzstādīsim taisni taisnā taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē; punkts M 0 (x 0, y 0), caur kuru iet šī līnija, kā arī šīs līnijas normālais vektors n → \u003d (A, B).

Lai pastāv arī kāds punkts M (x, y) - taisnas līnijas peldošais punkts. Šajā gadījumā vektori n → \u003d (A, B) un M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) ir perpendikulāri viens otram, un to skalārais reizinājums ir nulle:

n →, M 0 M → \u003d A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0

Pārrakstiet vienādojumu A x + B y - A x 0 - B y 0 \u003d 0, definējiet C: C \u003d - A x 0 - B y 0 un beigās iegūstam vienādojumu A x + B y + C \u003d 0.

Tādējādi mēs esam pierādījuši teorēmas otro daļu un pierādījuši visu teorēmu kopumā.

1. definīcija

Formas vienādojums A x + B y + C \u003d 0 - tas ir līnijas vispārīgais vienādojums plaknē taisnstūra koordinātu sistēmā O x y.

Pamatojoties uz pierādīto teorēmu, mēs varam secināt, ka taisne un tās vispārējais vienādojums, kas dots plaknē fiksētā taisnstūra koordinātu sistēmā, ir nesaraujami saistīti. Citiem vārdiem sakot, sākotnējā taisne atbilst tās vispārīgajam vienādojumam; taisnes vispārējais vienādojums atbilst dotajai taisnei.

No teorēmas pierādījuma izriet arī tas, ka koeficienti A un B mainīgajiem lielumiem x un y ir taisnas līnijas normālā vektora koordinātas, ko dod taisnes A x + B y + C \u003d 0 vispārējais vienādojums.

Apsveriet konkrētu taisnās līnijas vispārīgā vienādojuma piemēru.

Ļaujiet dot vienādojumu 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, kas atbilst taisnei taisnā taisnstūra koordinātu sistēmā. Šīs līnijas normālais vektors ir vektors n → \u003d (2, 3). Zīmējiet norādīto taisno līniju zīmējumā.

Jūs varat teikt arī šādi: taisni, kuru redzam zīmējumā, nosaka vispārējais vienādojums 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, jo visu dotās taisnes līniju punktu koordinātas atbilst šim vienādojumam.

Vienādojumu λ · A x + λ · B y + λ · C \u003d 0 mēs varam iegūt, reizinot līnijas vispārējā vienādojuma abas puses ar skaitli λ, kas nav vienāds ar nulli. Rezultātā iegūtais vienādojums ir līdzvērtīgs sākotnējam vispārīgajam vienādojumam, tāpēc tas aprakstīs to pašu taisni uz plaknes.

2. definīcija

Pilnīgs līnijas vienādojums - šāds taisnes A x + B y + C \u003d 0 vispārīgs vienādojums, kurā skaitļi A, B, C nav nulle. Pretējā gadījumā vienādojums ir nepilnīgs.

Apsvērsim visas nepilnīgās līnijas vispārīgā vienādojuma variācijas.

1. Kad A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, vispārējais vienādojums kļūst par B y + C \u003d 0. Šāds nepilnīgs vispārējais vienādojums definē taisnstūri taisnstūra koordinātu sistēmā O x y, kas ir paralēla O x asij, jo jebkurai reālai x vērtībai mainīgais y ņems vērtību - C B. Citiem vārdiem sakot, taisnās līnijas A x + B y + C \u003d 0 vispārīgais vienādojums, kad A \u003d 0, B ≠ 0, norāda punktu (x, y) lokusu, kuru koordinātas ir vienādas ar to pašu skaitli - C B.
2. Ja A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, vispārīgais vienādojums iegūst formu y \u003d 0. Šis nepilnīgais vienādojums nosaka abscesa asi O x.
3. Kad A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, mēs iegūstam nepilnīgu vispārējo vienādojumu A x + C \u003d 0, nosakot taisnu līniju, kas paralēla ordinātu asij.
4. Ļaujiet A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, tad nepilnīgais vispārējais vienādojums iegūs formu x \u003d 0, un tas ir koordinātu līnijas O y vienādojums.
5. Visbeidzot, attiecībā uz A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, nepilnīgais vispārējais vienādojums iegūst formu A x + B y \u003d 0. Un šis vienādojums apraksta taisnu līniju, kas iet caur izcelsmi. Patiešām, skaitļu pāris (0, 0) atbilst vienādībai A x + B y \u003d 0, jo A · 0 + B · 0 \u003d 0.

Grafiski ilustrēsim visus iepriekš minētos taisnas līnijas nepilnīgā vispārējā vienādojuma veidus.

1. piemērs

Ir zināms, ka noteiktā taisne ir paralēla ordinātu asij un iet caur punktu 2 7, - 11. Nepieciešams pierakstīt dotās taisnes vispārējo vienādojumu.

Lēmums

Taisnu līniju, kas ir paralēla ordinātu asij, dod formulas A x + C \u003d 0 vienādojums, kurā A ≠ 0. Arī nosacījums nosaka tā punkta koordinātas, caur kuru līnija iet, un šī punkta koordinātas atbilst nepilnīgā vispārējā vienādojuma A x + C \u003d 0 nosacījumiem, t.i. taisnība ir taisnība:

A · 2 7 + C \u003d 0

No tā ir iespējams noteikt C, piešķirot A kādu vērtību, kas nav nulle, piemēram, A \u003d 7. Šajā gadījumā mēs iegūstam: 7 · 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Mēs zinām abus koeficientus A un C, aizstājam tos ar vienādojumu A x + C \u003d 0 un iegūstam nepieciešamo taisnes vienādojumu: 7 x - 2 \u003d 0

Atbilde: 7 x - 2 \u003d 0

2. piemērs

Zīmējumā parādīta taisna līnija, nepieciešams pierakstīt tās vienādojumu.

Lēmums

Šis zīmējums ļauj mums viegli ņemt sākotnējos datus problēmas risināšanai. Mēs zīmējumā redzam, ka dotā līnija ir paralēla O x asij un iet caur punktu (0, 3).

Taisnā līnija, kas ir paralēla abscisu acīm, nosaka nepilnīgu vispārējo vienādojumu B y + C \u003d 0. Atrodīsim B un C vērtības. Punkta (0, 3) koordinātas, tā kā caur to iet noteikta taisne, apmierinās taisnes B y + C \u003d 0 vienādojumu, tad vienādība ir spēkā: B · 3 + C \u003d 0. Uzstādīsim B kādai vērtībai, kas nav nulle. Pieņemsim, ka B \u003d 1, šajā gadījumā no vienādības B 3 + C \u003d 0 mēs varam atrast C: C \u003d - 3. Mēs izmantojam zināmās B un C vērtības, iegūstam nepieciešamo taisnes vienādojumu: y - 3 \u003d 0.

Atbilde: y - 3 \u003d 0.

Tiešās līnijas, kas šķērso noteiktu plaknes punktu, vispārējais vienādojums

Ļaujiet dotajai taisnei iziet cauri punktam М 0 (x 0, y 0), tad tās koordinātas atbilst taisnes vispārējam vienādojumam, t.i. vienādība ir taisnība: A x 0 + B y 0 + C \u003d 0. Mēs atņemam šī vienādojuma kreiso un labo pusi no kreisās un labās puses no līnijas vispārējā pilnīgā vienādojuma. Iegūstam: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, šis vienādojums ir ekvivalents sākotnējam vispārējam, iet caur punktu М 0 (x 0, y 0) un tam ir normāls vektors n → \u003d (A, B).

Iegūtais rezultāts ļauj pierakstīt taisnās līnijas vispārējo vienādojumu ar zināmām taisnes normālā vektora koordinātām un šīs taisnes noteikta punkta koordinātām.

3. piemērs

Dots punkts М 0 (- 3, 4), caur kuru iet taisne, un šīs taisnes normāls vektors n → \u003d (1, - 2). Nepieciešams pierakstīt dotās taisnes vienādojumu.

Lēmums

Sākotnējie apstākļi ļauj iegūt vienādojuma sastādīšanai nepieciešamos datus: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Tad:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) \u003d 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 \u003d 0

Problēmu varēja atrisināt citādi. Tiesas vispārējais vienādojums ir A x + B y + C \u003d 0. Norādītais parastais vektors ļauj iegūt koeficientu A un B vērtības, pēc tam:

A x + B y + C \u003d 0 ⇔ 1 x - 2 y + C \u003d 0 ⇔ x - 2 y + C \u003d 0

Tagad mēs atrodam C vērtību, izmantojot punktu M 0 (- 3, 4), ko nosaka problēmas nosacījums, caur kuru iet taisnā līnija. Šī punkta koordinātas atbilst vienādojumam x - 2 y + C \u003d 0, t.i. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Tādējādi C \u003d 11. Nepieciešamais taisnes vienādojums ir šāds: x - 2 y + 11 \u003d 0.

Atbilde: x - 2 y + 11 \u003d 0.

4. piemērs

Tiek dota taisna līnija 2 3 x - y - 1 2 \u003d 0 un punkts М 0, kas atrodas uz šīs taisnes. Zināma tikai šī punkta abscisa, un tā ir vienāda ar - 3. Nepieciešams noteikt dotā punkta ordinātu.

Lēmums

Uzstādīsim punkta М 0 koordinātu apzīmējumu kā x 0 un y 0. Sākotnējie dati norāda, ka x 0 \u003d - 3. Tā kā punkts pieder noteiktai taisnei, tad tā koordinātas atbilst šīs taisnes vispārējam vienādojumam. Tad vienlīdzība būs patiesa:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 \u003d 0

Nosakiet y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 \u003d 0 ⇔ - 5 2 - y 0 \u003d 0 ⇔ y 0 \u003d - 5 2

Atbilde: - 5 2

Pāreja no taisnās līnijas vispārējā vienādojuma uz cita veida taisnes vienādojumiem un otrādi

Kā mēs zinām, plaknei ir vairāku veidu vienādojumi vienai un tai pašai taisnei. Vienādojuma veida izvēle ir atkarīga no problēmas apstākļiem; ir iespējams izvēlēties to, kas ir ērtāk tā risināšanai. Šeit noder prasme pārvērst viena veida vienādojumu par cita veida vienādojumu.

Vispirms apsveriet pāreju no formas A x + B y + C \u003d 0 vispārējā vienādojuma uz kanonisko vienādojumu x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y.

Ja А ≠ 0, tad terminu B y pārnesam uz vispārējā vienādojuma labo pusi. Kreisajā pusē novietojiet A ārpus iekavām. Rezultātā iegūstam: A x + C A \u003d - B y.

Šo vienādību var ierakstīt proporcijā: x + C A - B \u003d y A.

Ja В ≠ 0, vispārējā vienādojuma kreisajā pusē atstājam tikai terminu A x, pārējos pārnesam uz labo pusi, iegūstam: A x \u003d - B y - C. Izņemam - B ārpus iekavām, tad: A x \u003d - B y + C B.

Pārrakstīsim vienlīdzību kā proporciju: x - B \u003d y + C B A.

Protams, nav nepieciešams iegaumēt iegūtās formulas. Pietiek zināt darbību algoritmu pārejā no vispārējā vienādojuma uz kanonisko.

5. piemērs

Tiek dots taisnās līnijas vispārīgais vienādojums: 3 y - 4 \u003d 0. Tas ir jāpārveido par kanonisko vienādojumu.

Lēmums

Pārrakstiet sākotnējo vienādojumu kā 3 y - 4 \u003d 0. Tālāk mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu: kreisajā pusē paliek termins 0 x; un labajā pusē mēs ievietojam - 3 ārpus iekavām; iegūstam: 0 x \u003d - 3 y - 4 3.

Uzrakstīsim iegūto vienādību proporcijā: x - 3 \u003d y - 4 3 0. Tātad, mēs saņēmām kanoniskās formas vienādojumu.

Atbilde: x - 3 \u003d y - 4 3 0.

Lai pārveidotu taisnās līnijas vispārīgo vienādojumu parametros, vispirms tiek veikta pāreja uz kanonisko formu un pēc tam pāreja no taisnās līnijas kanoniskā vienādojuma uz parametru vienādojumiem.

6. piemērs

Taisno līniju dod vienādojums 2 x - 5 y - 1 \u003d 0. Pierakstiet šīs taisnes parametru vienādojumus.

Lēmums

Veiksim pāreju no vispārējā vienādojuma uz kanonisko:

2 x - 5 y - 1 \u003d 0 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 5 ⇔ x 5 \u003d y + 1 5 2

Tagad mēs ņemam iegūtā kanoniskā vienādojuma abas puses, kas vienādas ar λ, tad:

x 5 \u003d λ y + 1 5 2 \u003d λ ⇔ x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Atbilde: x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Vispārīgo vienādojumu var pārveidot par taisnas vienādojumu ar slīpumu y \u003d k x + b, bet tikai tad, ja B ≠ 0. Pārejai pa kreisi mēs atstājam terminu B y, pārējie tiek pārvietoti pa labi. Mēs iegūstam: B y \u003d - A x - C. Sadaliet iegūtās vienādības abas puses ar B, kas atšķiras no nulles: y \u003d - A B x - C B.

7. piemērs

Tiek dots taisnās līnijas vispārīgais vienādojums: 2 x + 7 y \u003d 0. Šis vienādojums jāpārvērš par slīpuma vienādojumu.

Lēmums

Veiksim nepieciešamās darbības saskaņā ar algoritmu:

2 x + 7 y \u003d 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y \u003d - 2 7 x

Atbilde: y \u003d - 2 7 x.

No taisnās līnijas vispārējā vienādojuma pietiek vienkārši iegūt vienādojumu formas x a + y b \u003d 1 segmentos. Lai veiktu šādu pāreju, skaitli C pārnesam uz vienādības labo pusi, izdalītās iegūtās vienādības abas puses dalām ar - С un, visbeidzot, mainīgajiem x un y koeficientus pārskaitām saucējos:

A x + B y + C \u003d 0 ⇔ A x + B y \u003d - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y \u003d 1 ⇔ x - C A + y - C B \u003d 1

8. piemērs

Ir nepieciešams pārveidot taisnes x - 7 y + 1 2 \u003d 0 vispārīgo vienādojumu līnijas vienādojumā segmentos.

Lēmums

Pārvietojiet 1 2 uz labo pusi: x - 7 y + 1 2 \u003d 0 ⇔ x - 7 y \u003d - 1 2.

Sadaliet abas vienādības puses ar -1/2: x - 7 y \u003d - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y \u003d 1.

Atbilde: x - 1 2 + y 1 14 \u003d 1.

Kopumā arī reversā pāreja ir vienkārša: no cita veida vienādojumiem uz vispārējiem.

Taisnās līnijas vienādojumu segmentos un vienādojumu ar slīpuma koeficientu var viegli pārveidot par vispārēju, vienkārši apkopojot visus vienādības kreisajā pusē esošos nosacījumus:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0 y \u003d k x + b ⇔ y - k x - b \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0

Kanoniskais vienādojums tiek pārveidots par vispārējo šādi:

x - x 1 cirvis \u003d y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) \u003d cirvis (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - axx 1 + axy 1 \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0

Lai pārietu no parametra, vispirms tiek veikta pāreja uz kanonisko un pēc tam uz vispārējo:

x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C \u003d 0

9. piemērs

Tiek doti taisnās līnijas x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4 parametru vienādojumi. Nepieciešams pierakstīt šīs taisnes vispārējo vienādojumu.

Lēmums

Veiksim pāreju no parametru vienādojumiem uz kanoniskiem:

x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 ⇔ x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 + 0 λ ⇔ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 4 0 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 4 0

Pārejam no kanoniskā uz vispārīgo:

x + 1 2 \u003d y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) \u003d 2 (y - 4) ⇔ y - 4 \u003d 0

Atbilde: y - 4 \u003d 0

10. piemērs

Tiek dots taisnās līnijas vienādojums segmentos x 3 + y 1 2 \u003d 1. Ir nepieciešams veikt pāreju uz vienādojuma vispārējo formu.

Lēmums:

Vienkārši pārrakstīsim vienādojumu pēc nepieciešamības:

x 3 + y 1 2 \u003d 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0

Atbilde: 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0.

Taisnas līnijas vispārīgā vienādojuma sastādīšana

Iepriekš mēs teicām, ka vispārējo vienādojumu var uzrakstīt ar zināmām normālā vektora koordinātām un punkta koordinātām, caur kuru iet taisne. Šādu taisnu līniju nosaka vienādojums A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0. Tur analizējām arī atbilstošo piemēru.

Tagad mēs apsvērsim sarežģītākus piemērus, kuros vispirms ir jānosaka normālā vektora koordinātas.

11. piemērs

Tiek dota taisna līnija, kas paralēla taisnei 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Pazīstams ir arī punkts M 0 (4, 1), caur kuru iet noteiktā līnija. Nepieciešams pierakstīt dotās taisnes vienādojumu.

Lēmums

Sākotnējie apstākļi mums saka, ka taisnes ir paralēlas, tad kā taisnas līnijas normālais vektors, kuras vienādojums ir jāraksta, mēs ņemam taisnes virziena vektoru n → \u003d (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Tagad mēs zinām visus nepieciešamos datus, lai izveidotu līnijas vispārīgo vienādojumu:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) \u003d 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 \u003d 0

Atbilde: 2 x - 3 y - 5 \u003d 0.

12. piemērs

Norādītā līnija iet caur sākumu perpendikulāri taisnei x - 2 3 \u003d y + 4 5. Nepieciešams sastādīt vispārēju vienādojumu dotajai taisnei.

Lēmums

Dotās līnijas normālais vektors būs līnijas x - 2 3 \u003d y + 4 5 virziena vektors.

Tad n → \u003d (3, 5). Taisnā līnija iet caur izcelsmi, t.i. caur punktu O (0, 0). Sastādīsim noteiktās taisnes vispārējo vienādojumu:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) \u003d 0 ⇔ 3 x + 5 y \u003d 0

Atbilde: 3 x + 5 y \u003d 0.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter