Funkciju ierobežojums un prezentācijas funkcijas nepārtrauktība. Prezentācija algebras stundai par tēmu: Prezentācija praktiskai matemātikas stundai par tēmu: Funkciju robežu aprēķināšana

Nodarbības mērķi:

• Izglītības:
  • ieviest skaita, funkcijas robežas jēdzienu;
  • sniegt neskaidrību veidu koncepcijas;
  • iemācīties aprēķināt funkcijas robežas;
  • sistematizēt iegūtās zināšanas, pastiprināt paškontroli, savstarpēju kontroli.
• Attīstīt:
  • jāprot iegūtās zināšanas izmantot, lai aprēķinātu robežas.
  • attīstīt matemātisko domāšanu.
• Izglītības: radīt interesi par matemātiku un garīgā darba disciplīnām.

Nodarbības tips:pirmā nodarbība

Studentu darba formas:frontāls, individuāls

Nepieciešamais aprīkojums: interaktīvā tāfele, multimediju projektors, kartītes ar mutvārdu un sagatavošanās vingrinājumiem.

Nodarbības plāns

1. Organizatoriskais brīdis (3 min.)
2. Iepazīšanās ar funkciju robežu teoriju. Sagatavošanas vingrinājumi. (12 minūtes)
3. Funkcijas robežu aprēķināšana (10 minūtes)
4. Patstāvīgi vingrinājumi (15 min.)
5. Nodarbības apkopojums (2 min.)
6. Mājas darbs (3 min.)

KLASES LAIKĀ

1. Organizatoriskais brīdis

Skolotāju sveicieni, piezīme nav klāt, pārbaudiet stundas sagatavošanu. Ziņojiet par stundas tēmu un mērķi. Turpmāk visi uzdevumi tiek parādīti interaktīvajā tāfelē.

2. Iepazīšanās ar funkciju robežu teoriju. Sagatavošanas vingrinājumi.

Funkcijas ierobežojums (funkcijas robežvērtība) noteiktā punktā, kas ierobežo funkcijas definēšanas sfēru, ir daudzums, uz kādu attiecināmā funkcija ir tendence, kad tās argumentam ir tendence uz noteiktu punktu.
Robeža ir uzrakstīta šādi.

Mēs aprēķinām limitu:
Mēs aizstājam, nevis x - 3.
Ņemiet vērā, ka skaitļa ierobežojums ir vienāds ar pašu numuru.

Piemēri: aprēķiniet robežas

Ja kādā brīdī funkcijas definēšanas jomā ir noteikts ierobežojums un šī robeža ir vienāda ar funkcijas vērtību noteiktā punktā, tad funkciju sauc par nepārtrauktu (šajā brīdī).

Mēs aprēķinām funkcijas vērtību punktā x 0 \u003d 3 un tās robežas vērtību šajā brīdī.

Robežvērtība un funkcijas vērtība šajā brīdī sakrīt, tāpēc funkcija ir nepārtraukta punktā x 0 \u003d 3.

Bet, aprēķinot robežas, bieži parādās izteicieni, kuru nozīme nav definēta. Tādus izteicienus sauc neskaidrības.

Galvenie nenoteiktības veidi:

Nenoteiktības atklāšana

Lai atklātu neskaidrības, izmantojiet šādus veidus:

• vienkāršot funkcijas izteiksmi: faktorizēt to, pārveidot funkciju, izmantojot saīsinātu reizināšanas formulas, trigonometriskās formulas, reizināt ar konjugātu, kas ļauj mums vēl vairāk samazināt utt., utt .;
• ja nenoteiktību atklāšanā ir noteikts ierobežojums, viņi saka, ka funkcija saplūst ar norādīto vērtību, ja šāda robeža neeksistē, tad viņi saka, ka funkcija novirzās.

Piemērs: aprēķiniet robežu.
Faktors skaitītājs

3. Funkciju robežu aprēķināšana

1. piemērs. Aprēķiniet funkcijas robežu:

Ar tiešu aizstāšanu rezultāts ir nenoteiktība:

4. Patstāvīgi vingrinājumi

Aprēķiniet robežas:

5. Nodarbības apkopojums

Šī nodarbība ir pirmā

Temats:

Attīstība un izglītība nevienam nevar dot vai paziņot. Ikvienam, kurš vēlas pievienoties, tas ir obligāts lai to panāktu ar savu darbību, ar saviem spēkiem, paša spriedzi. No ārpuses viņš var saņemt tikai satraukumu. A. Dysterweg

Stundas mērķu un uzdevumu noteikšana:

mācīties bezgalības definīcija;

• Funkcijas robežas noteikšana bezgalībā;
• Funkcijas robežas noteikšana līdz plus bezgalībai;
• Funkcijas robežas noteikšana pie mīnus bezgalības;
• Nepārtraukto funkciju īpašības;

iemācīties aprēķiniet vienkāršās funkciju robežas bezgalībā.

B. Bolcāno

Bolzano (Bernzano) Bernard (1781-1848), čehu matemātiķis un filozofs. Loģikā viņš iebilda pret psiholoģismu; attiecina uz loģikas ideālas objektīvās eksistences patiesībām. Bija ietekme uz

E . Husserls . Iepazīstināja ar vairākiem svarīgiem jēdzieniem matemātiskā analīze bija priekštecis G. Cantora pētījumā par bezgalīgo komplekti .

Augustīns Luiss Kaučija (Fr. Augustins Luiss Kauksijs; 1789. gada 21. augusts, Parīze - 1857. gada 23. maijs, Ko, Francija) - lielisks franču matemātiķis un mehāniķis, Parīzes Zinātņu akadēmijas loceklis, Londonas Karaliskā biedrība

y \u003d 1 / x m

Esamība

lim f (x) \u003d b

x → ∞

ekvivalents kam

horizontālie asimptoti

funkcijas y \u003d f (x) grafiks

lim f (x) \u003d b x →+∞

lim f (x) \u003d b un lim f (x) \u003d b x → + ∞ x → -∞ lim f (x) \u003d b x → ∞

Ko mēs pētīsim:

Kas ir bezgalība?

Ierobežot funkciju bezgalībā

Funkcijas ierobežojums pie mīnus bezgalības .

Īpašības .

Piemēri.

Funkcijas robeža ir bezgalībā.

Bezgalība - tiek izmantots, lai raksturotu bezgalīgus, bezgalīgus, neizsmeļamus objektus un parādības, mūsu gadījumā skaitļu raksturlielumus.

Bezgalība - patvaļīgi liels (mazs), neierobežots skaits.

Ja mēs uzskatām koordinātu plakni, tad abscisas (ordinātu) ass iet uz bezgalību, ja to bezgalīgi turpina pa kreisi vai pa labi (uz augšu vai uz leju).

Funkcijas robeža ir bezgalībā.

Funkcijas robeža ir plus bezgalība.

Tagad pāriesim pie funkcijas robežas bezgalībā:

Pieņemsim, ka mums ir funkcija y \u003d f (x), mūsu funkcijas domēnā ir stars, un lai līnija y \u003d b būtu funkcijas y \u003d f (x) grafika horizontālais asimptots, to visu mēs uzrakstīsim matemātiskā valodā:

funkcijas y \u003d f (x) robeža ar x, kas sliecas uz mīnus bezgalību, ir vienāda ar b

Funkcijas robeža ir bezgalībā.

Funkcijas robeža ir bezgalībā.

Arī mūsu attiecības var veikt vienlaicīgi:

Tad ir ierasts rakstīt šādi:

vai

funkcijas y \u003d f (x) robeža x, kas sliecas uz bezgalību, ir vienāda ar b

Funkcijas robeža ir bezgalībā.

Piemērs.

Piemērs. Veidojiet funkcijas y \u003d f (x) grafiku tā, lai:

• Darbības joma ir reālu skaitļu kopums.
• f (x) ir nepārtraukta funkcija

Lēmums:

Mums jāveido nepārtraukta funkcija uz (-on; + ∞). Mēs parādām dažus mūsu funkcijas piemērus.

Funkcijas robeža ir bezgalībā.

Pamatīpašības.

Lai aprēķinātu robežu bezgalībā, tiek izmantoti vairāki apgalvojumi:

1) Jebkuram pozitīvam skaitlim m ir šāda saistība:

2) Ja

tad:

a) summas limits ir vienāds ar limitu summu:

b) produkta robeža ir vienāda ar robežu rezultātu:

c) koeficienta robeža ir vienāda ar robežu koeficientu:

d) pastāvīgo koeficientu var izņemt no robežzīmes:

Funkcijas robeža ir bezgalībā.

1. piemērs

Atrast

2. piemērs

.

3. piemērs

Atrodiet funkcijas y \u003d f (x) robežu, jo x ir tendence uz bezgalību .

Funkcijas robeža ir bezgalībā.

1. piemērs

Atbilde:

2. piemērs

Atbilde:

3. piemērs

Atbilde:

Funkcijas robeža ir bezgalībā.

.

• Veidojiet nepārtrauktas funkcijas y \u003d f (x) grafiku. Tāds, ka x robeža ar plus bezgalību ir 7, bet x robeža ar mīnus 3 bezgalība.
• Veidojiet nepārtrauktas funkcijas y \u003d f (x) grafiku. Tā, ka robeža kā x ir tendence uz plus bezgalību, ir 5 un funkcija palielinās.
• Atrodi ierobežojumus:

• Atrodi ierobežojumus:

Funkcijas robeža ir bezgalībā.

Neatkarīga risinājuma uzdevumi .

Atbildes:

• Ko nozīmē funkcijas robežas esamība?

bezgalībā?

• Kādam asimptotim ir funkcijas y \u003d 1 / x grafiks 4 ?
• Ko jūs zināt limitu aprēķināšanas noteikumus?

funkcijas bezgalībā?

• Kādas formulas limitu aprēķināšanai

vai tu satiki bezgalībā?

• Kā atrast lim (5-3x3) / (6x3 +2)?

• Ko tu iemācījies stundā?
• Kādu mērķi mēs uzstādījām stundas sākumā?
• Vai mūsu mērķis ir sasniegts?
• Kas mums palīdzēja tikt galā ar grūtībām?
• Kādas zināšanas noderēja, kad

pabeigt uzdevumus stundā?

• Kā jūs varat novērtēt savu darbu?

Posmi

Teorētiskie jautājumi

Punktu skaits

Darbs priekšā

Maks

Darbs pie tāfeles

punkti

Sam darbs

Apbalvošanas punkti

6 punkti

Sākot ar 20 punktiem un vairāk, vērtējums ir “5”

No 15 līdz 19 punktiem vērtējums ir “4”

No 10 līdz 14 punktiem vērtējums ir “3”

Mājasdarbs

31.§, 1.lpp., 150-151.lpp - mācību grāmata;

№ 669 (c), 670 (c), 671 (c), 672 (c),

673 (c), 674 (c), 676 (c), 700 (g) - problem book.

Nodarbība notiek šodien

Jūs nevarat atrast draugus.

Bet visiem vajadzētu zināt:

Izziņa, neatlaidība, darbs

Tie novedīs pie progresa dzīvē.

Šis projekts tika izskatīts kopā ar teorētisko materiālu un praktisko. Praksē tika apskatīti dažādi limitu aprēķināšanas veidi. Augstākās matemātikas otrās sadaļas izpēte jau rada lielu interesi, jo pagājušajā gadā tika apskatīta tēma “Matricas. Matricas īpašību pielietošana vienādojumu sistēmu risināšanā ”, kas bija vienkārša, tikai tāpēc, ka rezultāts bija kontrolējams. Šādas kontroles nav. Augstākās matemātikas nozaru izpēte dod pozitīvu rezultātu. Šī kursa klases atnesa savus rezultātus: - tika izpētīts liels daudzums teorētiskā un praktiskā materiāla; - attīstīja spēju izvēlēties limita aprēķināšanas metodi; - izstrādāja katras aprēķina metodes kompetentu izmantošanu; - ir fiksēta spēja noformēt uzdevuma algoritmu. Mēs turpināsim studēt augstākās matemātikas nozares. Tās pētījuma mērķis ir tāds, ka mēs būsim labi sagatavojušies, lai atkārtoti studētu augstākās matemātikas kursu.

Robežu aprēķināšanas noteikumi Ja lim f (x) \u003d b un lim g (x) \u003d c, tad x 1) Summas robeža ir vienāda ar robežu summu: lim (f (x) + g (x)) \u003d lim f (x) + lim g (x) \u003d b + cxxx 2) Produkta robeža ir vienāda ar robežu reizinājumu: lim f (x) g (x) \u003d lim f (x) * lim g (x) \u003d b cxxx 3) koeficienta robeža ir vienāda ar robežu koeficientu: lim f (x): g (x) \u003d lim f (x): lim g (x) \u003d b: cxxx 4) Pastāvīgo koeficientu var izņemt no robežzīmes: lim k · f (x) \u003d k · lim f (x) \u003d kbxx

Kopsavilkuma izklāsts Funkciju diagrammas y \u003d 1 / x un y \u003d 1 / x 2. Funkciju diagrammas y \u003d 1 / x m, pāra un nepāra. Horizontālo asimptotu jēdziens. Funkcijas robežas jēdzieni uz +, -,. Funkcijas robežas ģeometriskā nozīme uz +, -,. Funkciju ierobežojumu aprēķināšanas noteikumi. Formulas funkcijas limita aprēķināšanai. Funkcijas robežu aprēķināšanas paņēmieni.

Nodarbības kopsavilkums Ko nozīmē funkcijas robežas esamība bezgalībā? Kāds asimptots ir funkcijai y \u003d 1 / x 4? Kādus noteikumus jūs zināt, lai aprēķinātu funkciju robežas bezgalībā? Ar kādām formulām robežu aprēķināšanai bezgalībā jūs esat saskārušies? Kā atrast lim (5-3x 3) / (6x 3 +2)? x

Izmantotā literatūra: - A. G. Mordkovičs. Algebra un matemātiskās analīzes nodarbību sākums. Mnemozins. M A. G. Mordkovičs., P. V. Semenovs. Metodiskā rokasgrāmata skolotājam. Algebra un matemātiskās klases analīzes sākums. Pamatlīmenis. M. Mnemozins. 2010. gads

Prezentācija “Funkcijas robeža” ir uzskates līdzeklis, kas palīdz studēt materiālus par šo tēmu algebrā. Rokasgrāmatā ir detalizēts, saprotams teorētiskā materiāla apraksts, kas atklāj funkcijas robežas jēdzienu, tās grafisko attēlojumu, funkcijas robežas aprēķināšanas noteikumus, funkcijas īpašību saistību ar tās robežu. Visi prezentācijā sniegtie teorētiskie pamati demonstrācijas laikā ir atbalstīti ar atbilstošo uzdevumu risinājuma aprakstu.

Materiāla noformējums prezentācijas veidā ļauj ērtāk prezentēt pētāmās koncepcijas izpratnei. Materiāla iegaumēšanai izmantojiet efektīvus rīkus.

Prezentācija sākas ar atgādinājumu par funkcionālās atkarības veidu y \u003d f (n), nϵN. Uzzīmējot šo funkciju, tiek atklāta funkcijas robežas nozīme. Jāatzīmē, ka vienādības robeža (n) \u003d b kā n → ∞ nozīmē, ka taisnā līnija y \u003d b, kas novilkta uz koordinātu plaknes, attēlo horizontālo asimptotu, pie kura funkcijas grafiks ir n → ∞. Otrajā slaidā koordinātu plaknē ir parādīts funkcijas y \u003d f (x) grafiks, kura definīcijas joma atrodas intervālā D (f) \u003d. Ja definīcijas jomā ir horizontāls asimptots y \u003d b, funkcija tiecas uz robežvērtību limf (x) \u003d b kā x → -∞. Funkcijas tuvinājums asimptotam ir parādīts attiecīgajā attēlā, kas parādīts uz slaida.

4. slaids apraksta gadījumu, kad funkcijas grafiks tuvojas horizontālajam asimptotam, kad tā argumentam ir tendence uz + ∞ un -∞. Tas nozīmē nosacījumu limf (x) \u003d b kā x → −∞ un limf (x) \u003d b vienlaicīgu izpildi kā x → + ∞. Pretējā gadījumā mēs varam rakstīt limf (x) \u003d b kā x → ∞. Attēlā parādīts šādas funkcijas piemērs un tās grafika uzvedība uz koordinātu plaknes.

Tālāk ir aprakstīti funkcijas ierobežojuma aprēķināšanas noteikumi. 1. īpašībā tiek atzīmēts, ka funkcijai k / x m ar dabisko m taisnība ir vienādības lim (k / x m) \u003d 0 kā x → ∞. Otrajā rindkopā norādīts, ka divu funkciju robežām limf (x) \u003d b un limg (x) \u003d c ir spēkā tās pašas secību robežu īpašības. Tas ir, summas robežu nosaka ar limitu lim (f (x) + g (x)) \u003d b + c kopsummu, reizinājuma robeža ir vienāda ar robežu limf (x) g (x) \u003d bc reizinājumu, koeficienta robeža ir vienāda ar limf limit (x) / g koeficientu. (x) \u003d b / s g (x) ≠ 0 un c ≠ 0, kā arī konstantu koeficientu var izņemt no robežzīmes limkf (x) \u003d kb.

Iegūtās zināšanas ir iespējams apvienot, aprakstot 1. piemēra risinājumu, kurā jānosaka lim (√3 · x 5 -17) / (x 5 +9). Lai iegūtu risinājumu, frakcijas skaitītājs un saucējs tiek dalīts ar mainīgo augstāko pakāpi, tas ir, x 5. Pēc aprēķināšanas mēs iegūstam lim (√3-17 / x 5) / (1 + 9 / x 5).

Novērtējot robežas un izmantojot koeficienta robežu īpašību, mēs nosakām, ka lim (√3 · x 5 -17) / (x 5 +9) \u003d √3 / 1 \u003d √3. Šajā piemērā tiek veikts svarīgs novērojums, ka funkcijas robežu aprēķināšana ir līdzīga sekvenču robežu aprēķināšanai, taču šajā gadījumā jāņem vērā, ka x nevar ņemt vērtību - 5 √ 9, kas saucēju padara par nulli.

Nākamais slaids apskatīs gadījumu, kad x → a. Attēlā skaidri redzams, ka dažai funkcijai f (x), mainīgajam tuvojoties punktam a, funkcijas vērtība tuvojas grafika attiecīgā punkta ordinācijai, tas ir, limf (x) \u003d b kā x → a.

9., 10., 11. slaidā ir definīcijas, kas noteiktā intervālā atklāj funkcijas nepārtrauktības, nepārtrauktas funkcijas, jēdzienus. Šajā gadījumā ņemiet vērā nepārtrauktu funkciju, kurai limf (x) \u003d f (a) ir x → a. Pie punkta a funkcija būs nepārtraukta, ja sakarības robeža (x) \u003d f (a) ir patiesa kā x → a, un funkcija, kas nepārtraukta jebkurā intervāla X punktā, būs nepārtraukta intervālā X.

Doti funkciju nepārtrauktības novērtēšanas piemēri. Jāatzīmē, ka funkcijas y \u003d C, y \u003d kx + m, y \u003d ax 2 + bx + c, y \u003d | x |, y \u003d xn dabiskajam n ir nepārtrauktas visā skaitļu rindā, funkcija y \u003d √ x ir nepārtraukta pozitīvā virzienā. pusass, un funkcija y \u003d xn ir nepārtraukta uz pozitīvās pusass un negatīvās pusass ar pārtraukumu pie 0, trigonometriskās funkcijas y \u003d sinx, y \u003d cosx uz visas līnijas un y \u003d tgx, y \u003d ctgx visā domēnā ir nepārtrauktas. Arī funkcija, kas sastāv no racionālas vai neracionālas trigonometriskas izteiksmes, tā ir nepārtraukta visos punktos, kur funkcija ir definēta.

2. piemērā mums jāaprēķina robeža lim (x 3 + 3x 2 -11x-8) kā x → -1. Risinājuma sākumā tiek atzīmēts, ka šī funkcija, kas sastāv no racionālām izteiksmēm, ir definēta uz visas skaitliskās ass un punktā x \u003d -1. Tāpēc funkcija ir nepārtraukta punktā x \u003d -1, un, kad tai ir tendence uz to, robeža iegūst funkcijas vērtību, tas ir, lim (x 3 + 3x 2 -11x-8) \u003d 5 kā x → -1.

3. piemērs parāda robežvērtības (cosπx / √x + 6) aprēķinu kā x → 1. Jāatzīmē, ka funkcija tiek definēta uz visas skaitliskās ass, tāpēc tā ir nepārtraukta punktā x \u003d 1, tāpēc lim (cosπx / √x + 6) \u003d - 1/7 kā x → 1.

4. piemērā mums jāaprēķina lim ((x 2 -25) / (x-5)) kā x → 5. Šis piemērs ir īpašs ar to, ka x \u003d 5 funkcijas saucējs izzūd, kas ir nepieņemami. Pārveidojot izteiksmi, varat definēt ierobežojumu. Pēc reducēšanas mēs iegūstam f (x) \u003d x + 5. Jāņem vērā tikai meklējot risinājumus, tad x ≠ 5. Turklāt lim ((x 2 -25) / (x-5)) \u003d lim (x + 5) \u003d 10 kā x → 5.

17. slaids apraksta piezīmi, kas demonstrē svarīgās robežas (sint / t) \u003d 1 iegūšanu kā t → 0, izmantojot ciparu apli.

18. slaids apzīmē argumenta un funkcijas pieauguma definīciju. Argumenta pieaugumu attēlo ar mainīgo lielumu x 1 -x 0 starpību funkcijai, kas definēta punktos x 0 un x 1. Funkcijas f (x 1) - f (x 0) vērtības izmaiņas tiek sauktas par funkcijas pieaugumu. Ievadīts argumenta Δx un funkcijas Δ f (x) pieauguma apzīmējums.

5. piemērā funkcijas y \u003d x 2 pieaugumu nosaka pēc punkta x 0 \u003d 2 pārejas uz x \u003d 2,1 un x \u003d 1,98. Piemēra risinājums ir saistīts ar vērtību atrašanu sākuma un beigu punktos un to atšķirību. Tātad, pirmajā gadījumā Δy \u003d 4,41-4 \u003d 0,41, bet otrajā gadījumā Δy \u003d 3,9204-4 \u003d -0,0796.

Uz 21. slaida tiek atzīmēts, ka kā x → a ieraksts (x-a) → 0 ir derīgs, kas nozīmē Δx → 0. Arī ar tendenci f (x) → f (a), kas izmantota nepārtrauktības definīcijā, apzīmējums f (x) -f (a) → 0 ir derīgs, tas ir, Δy → 0. Izmantojot šo apzīmējumu, tiek piešķirta jauna nepārtrauktības definīcija pie x \u003d a, ja nosacījums f ir derīgs funkcijai f (x): ja Δx → 0, tad Δy → 0.

Materiāla apvienošanai ir aprakstīts 6. un 7. piemēra risinājums, kurā jāatrod funkcijas palielinājums un funkcijas pieauguma attiecības pret argumenta pieaugumu robeža. 6. piemērā tas jādara funkcijai y \u003d kx + m. Funkcijas palielinājums tiek parādīts, kad punkts pāriet no x uz (x + Δx), parādot izmaiņas diagrammā. Tas dod Δy \u003d kΔx, un lim (Δy / Δx) \u003d k ir Δx → 0. Līdzīgi tiek analizēta funkcijas y \u003d x 3 uzvedība. Šīs funkcijas palielināšanās, pārejot no punkta uz x uz (x + Δx), ir vienāda ar Δу \u003d (3х 2 + 3х Δх + (Δх) 2) Δх, un funkcijas robeža (Δу / Δх) \u003d 3х 2.

Prezentāciju “Funkcijas robeža” var izmantot tradicionālās nodarbības vadīšanai. Prezentācija ir ieteicama kā tālmācības līdzeklis. Ja studentam pašam jāpēta šī tēma, rokasgrāmata ir ieteicama patstāvīgam darbam.