Matanalīze ir funkcijas robeža. Robežu teorija

Tipa un sugu nenoteiktība ir visizplatītākā nenoteiktība, kas jāatklāj, risinot robežas.

Lielākajai daļai uzdevumu, ar kādiem nākas saskarties studentiem, ir tikai šādas neskaidrības. Lai tos atklātu vai, precīzāk, izvairītos no neskaidrībām, ir vairākas mākslīgas metodes, kā pārveidot izteiksmes veidu zem robežas zīmes. Šīs metodes ir šādas: skaitītāja un saucēja dalīšana ar mainīgā lieluma pakāpi, reizināšana ar konjugācijas izteiksmi un faktorizācija sekojošai reducēšanai, izmantojot kvadrātisko vienādojumu risinājumus un saīsinātās reizināšanas formulas.

Sugas nenoteiktība

1. piemērs

n  ir vienāds ar 2. Tāpēc dalītāju un saucēju daliet ar:

.

Komentārs izteiksmes labajā pusē. Bultas un cipari norāda, ko frakcija meklē pēc aizstāšanas, nevis n  bezgalības vērtības. Šeit, tāpat kā 2. piemērā, grāds n  saucējā ir vairāk nekā skaitītājā, kā rezultātā visai daļai ir tendence uz bezgalīgu vērtību vai "super mazu skaitli".

Mēs saņemam atbildi: šīs funkcijas robeža mainīgajam, kas sliecas uz bezgalību, ir vienāda.

2. piemērs .

Risinājums. Šeit ir mainīgā augstākā pakāpe x  ir vienāds ar 1. Tāpēc skaitītāju un saucēju izbeidzam ar galu x:

Komentārs par lēmuma gaitu. Skaitītājā mēs braucam ar “X” zem trešās pakāpes saknes un tā, lai tā sākotnējā pakāpe (1) paliktu nemainīga, piešķiriet tai tādu pašu pakāpi kā saknei, tas ir 3. Šāvēja un papildu skaitļu šajā ierakstā vairs nav, tāpēc mēģiniet garīgi, bet pēc analoģijas ar iepriekšējo piemēru, lai noteiktu, kādām izteiksmēm skaitītājā un saucējā ir tendence pēc bezgalības aizstāšanas ar "x".

Mēs saņēmām atbildi: šīs funkcijas robeža mainīgajam, kas sliecas uz bezgalību, ir nulle.

Sugas nenoteiktība

3. piemērsAtklājiet nenoteiktību un atrodiet robežu.

Risinājums. Skaitītājā ir kubu starpība. Mēs to sadalām faktoros, izmantojot saīsinātu reizināšanas formulu no skolas matemātikas kursa:

Saucējā ir kvadrātiskā trinomija, kuru mēs faktorējam, atrisinot kvadrātisko vienādojumu (atkal atsauce uz kvadrātvienādojumu risinājumu):

Mēs pierakstām pārvērtību rezultātā iegūto izteiksmi un atrodam funkcijas robežu:

4. piemērs  Atklājiet nenoteiktību un atrodiet robežu

Risinājums. Kopš robežas teorēma šeit nav piemērojama, jo

Tāpēc mēs frakciju pārveidojam identiski: reizinot skaitītāju un saucēju ar binomālo konjugātu ar saucēju, un reducējam ar x  +1 Atbilstoši 1. teorēmas secinājumam mēs iegūstam izteiksmi, to atrisinot, mēs atrodam vēlamo robežu:

5. piemērs  Atklājiet nenoteiktību un atrodiet robežu

Risinājums. Tieša aizstāšana x  \u003d 0 noteiktā funkcijā rada formas 0/0 nenoteiktību. Lai to atklātu, mēs veicam identiskas pārvērtības un rezultātā iegūstam vēlamo robežu:

6. piemērs  Aprēķināt

Risinājums:  mēs izmantojam limitu teorēmas

Atbilde ir: 11

7. piemērs  Aprēķināt

Risinājums:  šajā piemērā skaitītāja un saucēja robežas ir 0:

;   . Tāpēc iegūto teorēmu uz koeficienta robežu nevar piemērot.

Mēs sadalām skaitītāju un saucēju faktoros, lai frakciju samazinātu par kopējo koeficientu, kas sliecas uz nulli, un tāpēc dod iespēju piemērot 3. teorēmu.

Mēs sadalām kvadrātveida trinomu skaitītājā pēc formulas, kur x 1 un x 2 ir trinomāla saknes. Faktorizējot un saucēju, mēs samazinām frakciju par (x-2), pēc tam pielietojam 3. teorēmu.

Atbilde ir:

8. piemērs  Aprēķināt

Risinājums:  Ja skaitītājam un saucējam ir tendence uz bezgalību, tāpēc, tieši piemērojot 3. teorēmu, mēs iegūstam izteiksmi, kas attēlo nenoteiktību. Lai atbrīvotos no šāda veida nenoteiktības, skaitītājs un saucējs jāsadala argumentācijas augstākajā pakāpē. Šajā piemērā jums jāsadala ar x:

Atbilde ir:

9. piemērs  Aprēķināt

Risinājums: x 3:

Atbilde ir: 2

10. piemērs  Aprēķināt

Risinājums:  Kad skaitītājam un saucējam ir tendence uz bezgalību. Sadaliet skaitītāju un saucēju ar argumenta augstāko pakāpi, t.i. x 5:

=

frakcijas skaitītājam ir tendence uz 1, saucējs uz 0, tāpēc frakcijai ir tendence uz bezgalību.

Atbilde ir:

11. piemērs  Aprēķināt

Risinājums:  Kad skaitītājam un saucējam ir tendence uz bezgalību. Sadaliet skaitītāju un saucēju ar argumenta augstāko pakāpi, t.i. x 7:

Atbilde ir: 0

Atvasināts.

Funkcijas y \u003d f (x) atvasinājums attiecībā uz argumentu xtā pieauguma y un robežas x pieauguma x robežu sauc tad, kad argumenta pieaugumam ir tendence uz nulli:. Ja šī robeža ir ierobežota, tad funkcija y \u003d f (x)tiek saukts par diferencējamu punktā x. Ja šī robeža pastāv, viņi saka, ka funkcija y \u003d f (x)  ir bezgalīgs atvasinājums pie x.

Pamatfunkciju atvasinājumi:

1. (const) \u003d 09.

3. 11.

4. 12.

Diferencēšanas noteikumi:

a)

1. piemērs  Atrodiet atvasināto funkciju

Risinājums:  Ja mēs atrodam otrā termina atvasinājumu pēc frakcijas diferenciācijas likuma, tad pirmais termins ir sarežģīta funkcija, kuras atvasinājumu var atrast pēc formulas:

Kur   tad

Risinot, tika izmantotas formulas: 1,2,10, a, c, d.

Atbilde ir:

21. piemērs  Atrodiet atvasināto funkciju

Risinājums:  abi termini ir sarežģītas funkcijas, kur pirmajam ,, un otrajam ,, tad

Atbilde ir:

Atvasinātie lietojumi.

1. Ātrums un paātrinājums

Ļaujiet funkcijai s (t) aprakstīt pozīcija  objekts kādā koordinātu sistēmā laikā t. Tad pirmais funkcijas s (t) atvasinājums ir tūlītējs ātrums  objekts:
  v \u003d s ′ \u003d f ′ (t)
  Funkcijas s (t) otrais atvasinājums ir momentānais paātrinājums  objekts:
  w \u003d v ′ \u003d s ′ ′ \u003d f ′ ′ (t)

2. Pieskares vienādojums
  y - y0 \u003d f ′ (x0) (x - x0),
  kur (x0, y0) ir pieskares punkta koordinātas, f ′ (x0) ir funkcijas f (x) atvasinājuma vērtība tangences punktā.

3. Normāls vienādojums
  y - y0 \u003d −1f ′ (x0) (x - x0),

kur (x0, y0) ir tā punkta koordinātas, kurā norobežo normu, f ′ (x0) ir funkcijas f (x) atvasinājuma vērtība dotajā punktā.

4. Funkciju palielināšana un samazināšana
  Ja f (x0)\u003e 0, tad funkcija palielinās punktā x0. Zemāk redzamajā attēlā funkcija palielinās pie x x2.
  Ja f (x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1  Ja f (x0) \u003d 0 vai atvasinājums neeksistē, tad šī īpašība neļauj mums noteikt funkcijas monotoniskuma raksturu punktā x0.

5. Vietējās funkcijas galējības
  Funkcijai f (x) ir vietējais maksimums  pie x1, ja eksistē x1 apkaime tāda, ka f (x1) ≥f (x) visiem x no šīs apkaimes.
  Līdzīgi funkcijai f (x) ir vietējais minimums  pie x2, ja eksistē x2 apkaime tāda, ka f (x2) ≤f (x) visiem x no šīs apkaimes.

6. Kritiskie punkti
  Punkts x0 ir kritiskais punkts  funkcija f (x), ja atvasinājums f ′ (x0) tajā ir vienāds ar nulli vai nepastāv.

7. Pirmā pietiekamā pazīme par ekstremitātes esamību
  Ja funkcija f (x) palielinās (f ′ (x)\u003e 0) visiem x noteiktā intervālā (a, x1] un samazinās (f ′ (x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) visiem x no intervāla $

3. piemērs

Atrisiniet $ \\ lim \\ limits_ (x \\ līdz -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) $

Risinājums

Kā vienmēr, sākumā mēs aizstājam vērtību x x $ izteiksmē zem robežas zīmes. $$ \\ lim \\ limits_ (x \\ līdz -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ frac ((- 1) ^ 2-1) (- 1 + 1) \u003d \\ frac ( 0) (0) $$ Kas nākamais nākamais? Kādam jābūt rezultātam? Tā kā šī ir nenoteiktība, tā nav atbilde un turpiniet aprēķinu. Tā kā skaitītājos ir polinoms, mēs to sadalām faktoros, izmantojot pazīstamo formulu no skolas stenda $$ a ^ 2-b ^ 2 \u003d (a-b) (a + b) $$. Atcerējās? Lieliski! Tagad ejiet uz priekšu un pielieciet to ar dziesmu :) Mēs iegūstam, ka skaitītājs $ x ^ 2-1 \u003d (x-1) (x + 1) $ Mēs turpinām risināt, ņemot vērā iepriekš minēto pārveidi: $ $ \\ lim \\ limits_ (x \\ līdz -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ lim \\ limits_ (x \\ to -1) \\ frac ((x-1) (x + 1)) (x + 1) \u003d $$ $$ \u003d \\ lim \\ limits_ (x \\ līdz -1) (x-1) \u003d - 1-1 \u003d -2 $$

Atbilde

$ $ \\ lim \\ limits_ (x \\ līdz -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d -2 $$

Ierobežosim ierobežojumu pēdējos divos piemēros līdz bezgalībai un ņemsim vērā nenoteiktību: $ \\ bigg [\\ frac (\\ infty) (\\ infty) \\ bigg] $

5. piemērs

Aprēķiniet $ \\ lim \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) $

Risinājums

$ \\ lim \\ limits_ (x \\ uz \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ frac (\\ infty) (\\ infty) $ Ko darīt? Kā būt Nelieciet panikā, jo neiespējami ir iespējami. Ir nepieciešams izlikt iekavas x skaitītājā un saucējā un pēc tam to samazināt. Pēc tam mēģiniet aprēķināt limitu. Mēs cenšamies ... $ $ \\ lim \\ limits_ (x \\ uz \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ lim \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (x ^ 2 (1- \\ frac) (1) (x ^ 2))) (x (1+ \\ frac (1) (x))) \u003d $$ $$ \u003d \\ lim \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (x (1- \\ frac (1) (x ^ 2))) ((1+ \\ frac (1) (x))) \u003d $$ Izmantojot definīciju no 2. piemēra un aizstājot bezgalību ar x, iegūstam: $$ \u003d \\ frac (\\ infty (1- \\ frac (1) (\\ infty))) ((1+ \\ frac (1) (\\ infty))) \u003d \\ frac (\\ infty \\ cdot 1) (1+ 0) \u003d \\ frac (\\ infty) (1) \u003d \\ infty $$

Atbilde

$ $ \\ lim \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ infty $$

Robežu aprēķināšanas algoritms

Tātad, īsumā apkoposim analizētos piemērus un sastādīsim algoritmu robežu risināšanai:

1. Aizstājiet punktu x izteiksmē, kas seko aiz robežas zīmes. Ja tiek iegūts noteikts skaitlis vai bezgalība, tad robeža ir pilnībā atrisināta. Pretējā gadījumā mums ir nenoteiktība: “dalīt nulli ar nulli” vai “bezgalību dalīt ar bezgalību” un pāriet uz nākamajām instrukcijas rindkopām.
2. Lai novērstu nenoteiktību "dalīt ar nulli ar nulli", jums jāaprēķina skaitītājs un saucējs. Samazināt tāpat. Aizstāt punktu x izteiksmē zem robežas zīmes.
3. Ja nenoteiktība "bezgalība tiek dalīta ar bezgalību", tad mēs varam visvairāk izmantot gan skaitītājā, gan saucējā x. Izgrieziet X. Mēs aizvietojam x vērtību no zem robežas atlikušajā izteiksmē.

Šajā rakstā jūs esat iemācījušies matemātiskās analīzes laikā bieži izmantoto robežu risināšanas pamatus. Protams, tie nav visi eksaminētāju piedāvātie uzdevumu veidi, bet tikai vienkāršākie ierobežojumi. Turpmākajos rakstos mēs runāsim par cita veida uzdevumiem, taču vispirms ir jāapgūst šī nodarbība, lai varētu turpināt darbu. Mēs apspriedīsim, ko darīt, ja ir saknes, grādi, mēs pētām bezgalīgas līdzvērtīgas funkcijas, ievērojamas robežas, L'Hotel noteikumu.

Ja jūs pats nevarat atrisināt ierobežojumus, tad neliecieties. Mēs vienmēr priecājamies palīdzēt!

Aprēķinot robežas, ņem vērā ievērojot pamatnoteikumus:

1. Funkciju summas (starpības) robeža ir vienāda ar nosacījumu limitu summu (starpību):

2. Funkciju reizinājuma robeža ir vienāda ar koeficientu reizinājumu:

3. Divu funkciju attiecības robeža ir vienāda ar šo funkciju robežu attiecību:

.

4. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no robežzīmes:

.

5. Pastāvīgā robeža ir vienāda ar pašu konstanti:

6. Nepārtrauktām funkcijām ierobežojošos simbolus un funkcijas var aizstāt:

.

Funkcijas ierobežojuma atrašana jāsāk ar funkcijas izteiksmes vērtības aizstāšanu. Turklāt, ja tiek iegūta skaitliska vērtība 0 vai ¥, tad tiek atrasta vēlamā robeža.

2.1. PiemērsAprēķiniet robežu.

Risinājums.

.

Tiek izsaukti formas,,,, izteicieni neskaidrības.

Ja tiek iegūta tipa nenoteiktība, tad, lai atrastu robežu, ir jāpārveido funkcija, lai atklātu šo nenoteiktību.

Tipa nenoteiktību parasti iegūst, kad tiek dota divu polinomu attiecības robeža. Šajā gadījumā, lai aprēķinātu robežu, ieteicams faktorēt polinomus un samazināt ar kopējo koeficientu. Pie robežvērtības šis koeficients ir nulle. x .

Piemērs 2.2Aprēķiniet robežu.

Risinājums.

Aizstājot, mēs iegūstam nenoteiktību:

.

Faktors skaitītājs un saucējs:

;

Samaziniet par kopējo koeficientu un iegūstiet

Formas nenoteiktību iegūst, kad tiek dota divu polinomu attiecības robeža. Šajā gadījumā abus polinomus ieteicams dalīt ar x   līdz paaugstinātam līmenim.

2.3. Piemērs  Aprēķiniet robežu.

Risinājums.Aizstājot ∞, mēs iegūstam formas nenoteiktību, tāpēc visus izteiksmes nosacījumus dalam uz x 3.

.

Tas tiek ņemts vērā.

Aprēķinot funkcijas, kas satur saknes, robežas, ieteicams reizināt un dalīt funkciju konjugētā izteiksmē.

2.4. PiemērsAprēķiniet robežu

Risinājums.

Aprēķinot robežas formas vai (1) rtainty nenoteiktības atklāšanai, bieži izmanto pirmo un otro ievērojamo robežu:

Otrais ievērojamais ierobežojums ir daudzu problēmu rezultāts, kas saistītas ar nepārtrauktu daudzuma pieaugumu.

Apsveriet Ya. I. Perelman piemēru, kas sniedz skaitļa interpretāciju e  salikto procentu problēmā. Sberbanks procentiem katru gadu tiek pievienoti pamatlīdzekļi. Ja savienojums tiek veikts biežāk, tad kapitāls aug ātrāk, jo interešu veidošanā tiek iesaistīts liels daudzums. Veikt tīri teorētisku, ļoti vienkāršotu piemēru.

Ļaujiet bankai ievietot 100 den. vienības ar likmi 100% gadā. Ja procentu nauda tiks piesaistīta pamatkapitālam tikai pēc gada beigām, tad līdz šim datumam 100 den. vienības pārvērtīsies par 200 den.ed.

Tagad redzēsim, par ko pārvērtīsies 100 den. vienības, ja procentu nauda tiek piesaistīta pamatkapitālam ik pēc sešiem mēnešiem. Pēc sešiem mēnešiem 100 den. vienības aug 100 × 1,5 \u003d 150, bet vēl pēc sešiem mēnešiem - 150 × 1,5 \u003d 225 (denomētās vienības). Ja savienojums tiek veikts ik pēc 1/3 gada, tad pēc gada 100 den. vienības pārvērtīsies 100 × (1 +1/3) 3 »237 (denom. vienības).

Mēs palielināsim procentu naudas pievienošanās laiku līdz 0,1 gadam, līdz 0,01 gadam, līdz 0,001 gadam utt. Tad no 100 den. vienības gadu vēlāk izrādīsies:

100 × (1 +1/10) 10 »259 (denominētās vienības),

100 × (1 + 1/100) 100 ”270 (denominētās vienības),

100 × (1 + 1/1000) 1000 »271 (denom. Vienības).

Ar neierobežotu laika samazināšanu, lai pievienotos procentiem, uzkrātais kapitāls nepalielinās bezgalīgi, bet tuvojas noteiktai robežai, kas vienāda ar aptuveni 271. Vairāk nekā 2,71 reizes lielāks kapitāls, uzliekot 100% gadā, nevar palielināties, pat ja uzkrātie procenti pievienojas kapitālam katram. otrais, jo

Piemērs 2.5Aprēķiniet funkcijas robežu

Risinājums.

2.6. Piemērs.Aprēķiniet funkcijas robežu .

Risinājums.Aizstājot, mēs iegūstam nenoteiktību:

.

Izmantojot trigonometrisko formulu, mēs pārveidojam skaitītāju produktā:

Rezultātā mēs iegūstam

Šeit tiek ņemts vērā otrais ievērojamais ierobežojums.

2.7. PiemērsAprēķiniet funkcijas robežu

Risinājums.

.

Lai atklātu veida nenoteiktību, varat izmantot L'Hospital kārtulu, kuras pamatā ir šī teorēma.

TeorēmaDivu bezgalīgi mazu vai bezgala lielu funkciju attiecības robeža ir vienāda ar to atvasinājumu attiecības robežu

Ņemiet vērā, ka šo noteikumu var piemērot vairākas reizes pēc kārtas.

2.8 piemērs.  Lai atrastu

Risinājums.Aizstājot, mums ir tipa nenoteiktība. Izmantojot Lital likumu, mēs iegūstam

Funkcijas nepārtrauktība

Svarīgs funkcijas īpašums ir nepārtrauktība.

DefinīcijaTiek apsvērta funkcija nepārtrauktsja nelielas argumenta vērtības izmaiņas rada nelielas funkcijas vērtības izmaiņas.

Matemātiski to raksta šādi: kad

Ar un tiek saprasts mainīgo lielumu pieaugums, tas ir, starpība starp nākamajām un iepriekšējām vērtībām:, (2.3. Attēls)

2.3. Attēls - mainīgs solis

No vienā vietā nepārtrauktas funkcijas definīcijas izriet, ka   . Šī vienlīdzība nozīmē trīs nosacījumu izpildi:

Risinājums.Funkcijai   punkts ir aizdomīgs par pārtraukumu, pārbaudiet šo, atrodiet vienvirziena robežas

Tāpēc   nozīmē lūzuma punkts

Atvasinātā funkcija