Atrodiet funkciju nepilnības. "palielināšanas un samazināšanas funkcija"

Funkcija izsaukta palielinoties intervālā
ja par kādiem punktiem

nevienlīdzība tur
(lielāka argumenta vērtība atbilst lielākai funkcijas vērtībai).

Līdzīgi arī funkcija
sauca intervālā samazinās
ja par kādiem punktiem
no šī intervāla ar nosacījumu
nevienlīdzība tur
(lielāka argumenta vērtība atbilst zemākai funkcijas vērtībai).

Palielinoties intervālam
un intervālā samazinās
funkcijas tiek sauktas monotoniski intervālā
.

Zinot diferencējamas funkcijas atvasinājumu, jūs varat atrast tās monotoniskuma intervālus.

Teorēma (pietiekams nosacījums funkcijas palielināšanai).
funkcijas
pozitīvs intervālā
tad funkcija
monotoni palielinās šajā intervālā.

Teorēma (pietiekams nosacījums funkcijas samazinājumam).  Ja atvasinājums ir atšķirams intervālā
funkcijas
negatīvs intervālā
tad funkcija
šajā intervālā monotonīgi samazinās.

Ģeometriskā nozīme   no šīm teorēmām sastāv no tā, ka funkciju samazināšanas intervālos funkcijas formas grafam pieskaras ar asi
lieki leņķi, un ar palielināšanas intervālu - asi (sk. 1. att.).

Teorēma (nepieciešams nosacījums funkcijas monotoniskumam).Ja funkcija
diferencējama un
(
) uz intervālu
, tad šajā intervālā tas nemazinās (nepalielinās).

Funkcijas monotoniskuma intervālu atrašanas algoritms
:

Piemērs.  Atrodiet funkcijas monotoniskuma intervālus
.

Punkts sauca funkcijas maksimālais punkts

tā, ka visiem nosacījuma apmierināšana
, nevienlīdzība
.

Maksimālā funkcija   Vai funkcijas vērtība ir maksimālajā punktā.

2. attēlā parādīts grafika piemērs funkcijai ar maksimumiem punktos
.

Punkts sauca funkcijas minimālais punkts
ja kāds skaitlis pastāv
tā, ka visiem nosacījuma apmierināšana
, nevienlīdzība
. Naris. Funkcijai 2 vienā punktā ir minimums .

Augstumiem un kritumiem ir vispārpieņemts nosaukums - galējie punkti . Attiecīgi tiek izsaukti maksimālie un minimālie punkti ekstremitāšu punkti .

Funkcijai, kas definēta segmentā, var būt maksimālā un minimālā tikai punktos šī segmenta iekšpusē. Nevar arī sajaukt funkcijas maksimālo un minimālo lielumu ar tā lielāko un mazāko vērtību segmentā - tie ir principiāli atšķirīgi jēdzieni.

Ekstremitāšu punktos atvasinājumam ir īpašas īpašības.

Teorēma (nepieciešams ekstremitātes nosacījums).  Ļaujiet brīdī funkcija
ir ekstremitāte. Tad nu
neeksistē arī
.

Tie punkti no funkcijas jomas, kurā
neeksistē vai kurā
tiek saukti kritisko punktu funkcija .

Tādējādi ekstremitāšu punkti atrodas starp kritiskajiem punktiem. Kopumā kritiskajam punktam nav jābūt ekstremitātes punktam. Ja funkcijas atvasinājums kādā brīdī ir vienāds ar nulli, tas nenozīmē, ka šajā brīdī funkcijai ir ekstremitāte.

Piemērs.  Apsveriet
. Mums ir
bet jēga
nav ekstremitātes punkts (sk. 3. att.).

Teorēma (pirmais pietiekams nosacījums ekstremitātei).  Ļaujiet brīdī funkcija
nepārtraukts un atvasināts
šķērsojot punktu maina zīmi. Tad - ekstremitātes punkts: maksimālais, ja zīme mainās no "+" uz "-", un minimālā, ja zīme no "-" uz "+".

Ja, šķērsojot punktu atvasinājums nemaina zīmi, tad plkst nav ekstremitāšu.

Teorēma (otrais pietiekošais ekstremitātes nosacījums).  Ļaujiet brīdī divreiz diferencētas funkcijas atvasinājums
vienāds ar nulli (
), un otrais tā atvasinājums šajā brīdī nav nulle (
) un ir nepārtraukta dažās punkta apkaimēs . Tad - ekstremitātes punkts
; plkst
tas ir minimālais punkts, un kad
tas ir maksimālais punkts.

Algoritms funkcijas galējības atrašanai, izmantojot pirmo pietiekamo ekstremitātes nosacījumu:

Atrodiet atvasinājumu.

Atrodiet funkcijas kritiskos punktus.

Pārbaudiet atvasinājuma zīmi pa kreisi un pa labi no katra kritiskā punkta un seciniet, ka pastāv ekstrēma.

Atrodiet funkcijas galējās vērtības.

Algoritms funkcijas galējības atrašanai, izmantojot otro pietiekamo ekstremitātes nosacījumu:

Piemērs.  Atrodiet funkciju galējību
.

1. Atrodiet funkcijas tvērumu

2. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

3. Atvasinājumu iestatiet uz nulli un atrodiet funkcijas kritiskos punktus

4. Atzīmējiet kritiskos punktus definīcijas apgabalā

5. Katrā no iegūtajiem intervāliem aprēķiniet atvasinājuma zīmi

6. Uzziniet funkcijas uzvedību katrā intervālā.

Piemērs: atrodiet funkciju palielināšanas un samazināšanas intervālusf(x) = un šīs funkcijas nulles skaitu intervālā.

Risinājums:

1. D ( f) \u003d R

2. f"(x) =

D ( f") \u003d D ( f) \u003d R

3. Atrodiet funkcijas kritiskos punktus, atrisinot vienādojumu f"(x) = 0.

x(x – 10) = 0

kritiskie funkciju punkti x  \u003d 0 un x = 10.

4. Definējiet atvasinājuma zīmi.

f"(x) + – +

f(x) 0 10  x

intervālos (-∞; 0) un (10; + ∞) funkcijas atvasinājums punktos ir pozitīvs x  \u003d 0 un x \u003d 10 funkcija f(x) ir nepārtraukta, tāpēc šī funkcija palielinās ar intervālu: (-∞; 0] ;.

Mēs definējam funkcijas vērtību zīmi segmenta galos.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10) < 0.

Tā kā funkcija samazinās uz intervālu un mainās funkcijas vērtību zīme, tad šajā intervālā funkcija ir viena nulle.

Atbilde: funkcija f (x) palielinās ar intervālu: (-∞; 0] ;;

intervālā funkcijai ir viena funkcija nulle.

2. Funkcijas ekstremitāšu punkti: maksimālie un minimālie punkti. Nepieciešami un pietiekami apstākļi funkcijas ekstremitātes pastāvēšanai. Ekstremitāšu funkcijas noteikšanas noteikums .

1. definīcija:Punktus, kuros atvasinājums ir vienāds ar nulli, sauc par kritiskiem vai nekustīgiem.

2. definīcija.   Punktu sauc par funkcijas minimālo (maksimālo) punktu, ja funkcijas vērtība šajā brīdī ir mazāka par (lielāka) nekā tuvākās funkcijas vērtības.

Jāpatur prātā, ka maksimālais un minimālais šajā gadījumā ir vietējs.

Att. 1. parādīti vietējie maksimumi un minimumi.

Maksimālo un minimālo funkciju apvieno parastais nosaukums: funkcijas galējība.

1. teorēma  (nepieciešama funkcijas ekstremitātes esamības pazīme). Ja funkcijai, kas diferencējama vienā punktā, šajā brīdī ir maksimums vai minimums, tad tās atvasinājums pazūd,.

2. teorēma  (pietiekama pazīme, ka pastāv funkcijas ekstremitāte). Ja nepārtrauktai funkcijai visos noteiktā intervāla punktos ir atvasinājums, kas satur kritisko punktu (izņemot pašu šo punktu), un ja atvasinājums maina zīmi no plusa līdz mīnusam, pārejot argumentu no kreisās uz labo caur kritisko punktu, tad funkcijai šajā brīdī ir maksimums, un, pārejot zīmi no mīnus uz plus, tai ir minimums.

Ļoti svarīgu informāciju par funkcijas izturēšanos sniedz palielināšanas un samazināšanas intervāli. Viņu atrašana ir daļa no funkcijas izpētes un attēlošanas procesa. Turklāt galējiem punktiem, kuros notiek pārmaiņas no pieaugoša uz samazinošu vai no samazinoša uz pieaugošu, īpaša uzmanība tiek pievērsta, atrodot lielākās un mazākās funkcijas vērtības noteiktā intervālā.

Šajā rakstā mēs sniedzam nepieciešamās definīcijas, noformulējam pietiekamu funkcijas pieauguma un samazinājuma pazīmi intervālā un pietiekamus nosacījumus ekstremitātes pastāvēšanai, un visu šo teoriju izmantojam piemēru un problēmu risināšanā.

Lapas navigācija.

Funkcijas palielināšana un samazināšana intervālā.

Pieaugošās funkcijas definīcija.

Funkcija y \u003d f (x) palielinās ar intervālu X, ja, jebkuram un   nevienlīdzība tur. Citiem vārdiem sakot, lielāka argumenta vērtība atbilst lielākai funkcijas vērtībai.

Samazinošās funkcijas definīcija.

Funkcija y \u003d f (x) samazinās intervālā X, ja, jebkuram un   nevienlīdzība tur . Citiem vārdiem sakot, lielāka argumenta vērtība atbilst zemākai funkcijas vērtībai.

PIEZĪME: ja funkcija ir noteikta un nepārtraukta palielināšanas vai samazināšanas intervāla galos (a; b), tas ir, ar x \u003d a un x \u003d b, tad šie punkti tiek iekļauti palielināšanas vai samazināšanas intervālā. Tas nav pretrunā ar intervāla X funkciju palielināšanas un samazināšanas definīcijām.

Piemēram, no pamata elementāro funkciju īpašībām mēs zinām, ka y \u003d sinx ir noteikts un nepārtraukts visām argumenta reālajām vērtībām. Tāpēc no sinusa funkcijas palielināšanās intervālā mēs varam pateikt par intervāla palielināšanos.

Ekstremitāšu punkti, funkcijas galējība.

Punkts sauca maksimālais punkts  funkcija y \u003d f (x), ja visiem x no apkārtnes ir nevienlīdzība. Tiek izsaukta funkcijas vērtība maksimālajā punktā maksimālā funkcija  un apzīmē.

Punkts sauca minimālais punkts  funkcija y \u003d f (x), ja visiem x no apkārtnes ir nevienlīdzība. Tiek izsaukta funkcijas vērtība minimālajā punktā minimālā funkcija  un apzīmē.

Apkārtnē punkti nozīmē intervālu , kur ir pietiekami mazs pozitīvs skaitlis.

Tiek izsaukti minimālie un maksimālie punkti ekstremitāšu punkti, un tiek izsauktas funkcijas vērtības, kas atbilst ekstremitātes punktiem galējības funkcijas.

Nejauciet funkcijas galējību ar lielāko un mazāko funkcijas vērtību.

Pirmajā attēlā lielākā funkcijas vērtība intervālā tiek sasniegta maksimālajā punktā un ir vienāda ar funkcijas maksimumu, bet otrajā attēlā funkcijas lielākā vērtība tiek sasniegta punktā x \u003d b, kas nav maksimālais punkts.

Pietiekami apstākļi funkciju palielināšanai un samazināšanai.

Balstoties uz pietiekamiem funkcijas palielināšanās un samazināšanās nosacījumiem (pazīmēm), tiek atrasti funkcijas palielināšanās un samazināšanās intervāli.

Šeit ir izteikti funkciju pieauguma un samazināšanas funkciju pazīmju intervāli:

• ja funkcijas y \u003d f (x) atvasinājums ir pozitīvs jebkuram x no intervāla X, tad funkcija palielinās uz X;
• ja funkcijas y \u003d f (x) atvasinājums ir negatīvs jebkuram x no intervāla X, tad funkcija samazinās uz X.

Tādējādi, lai noteiktu funkcijas palielināšanas un samazināšanas intervālus, ir nepieciešams:

Apsveriet piemēru, kā atrast palielināšanas un samazināšanas funkciju intervālus, lai precizētu algoritmu.

Piemērs.

Atrodiet funkciju palielināšanas un samazināšanas intervālus.

Risinājums.

Pirmajā solī jums jāatrod funkcijas tvērums. Tādēļ mūsu piemērā izteiksmei saucējā nevajadzētu pazust.

Mēs turpinām atrast atvasinājuma funkciju:

Lai ar pietiekamu kritēriju noteiktu funkciju palielināšanas un samazināšanas intervālus, tiek atrisinātas nevienādības definīcijas jomā. Mēs izmantojam intervāla metodes vispārinājumu. Vienīgā derīgā skaitītāja sakne ir x \u003d 2, un saucējs pazūd pie x \u003d 0. Šie punkti sadala domēnu intervālos, kuros funkcijas atvasinājums saglabā savu zīmi. Mēs atzīmējam šos punktus uz ciparu līnijas. Plusi un mīnusi patvaļīgi apzīmē intervālus, kuros atvasinājums ir pozitīvs vai negatīvs. Zemāk redzamās bultiņas shematiski parāda funkcijas palielinājumu vai samazinājumu attiecīgajā intervālā.

Tādā veidā   un .

Tajā brīdī x \u003d 2, funkcija ir noteikta un nepārtraukta, tāpēc tā jāpievieno gan palielināšanai, gan samazināšanai. Punktā x \u003d 0 funkcija nav definēta, tāpēc šis punkts nav iekļauts vēlamajos intervālos.

Mēs sniedzam funkcijas grafiku iegūto rezultātu salīdzināšanai ar to.

Atbilde ir:

Funkcija palielinās, kad , samazinās par intervālu (0; 2].

Pietiekami apstākļi funkcijas ekstremitātei.

Lai atrastu funkcijas maksimumus un minimumus, protams, varat izmantot jebkuru no trim ekstremitātes pazīmēm, ja funkcija atbilst to nosacījumiem. Visizplatītākais un ērtākais ir pirmais no tiem.

Pirmais pietiekamais ekstremitātes nosacījums.

Ļaujiet funkcijai y \u003d f (x) būt diferencētai punkta apkārtnē un nepārtrauktai pašā punktā.

Citiem vārdiem sakot:

Algoritms ekstremitāšu punktu atrašanai pēc funkcijas ekstremitātes pirmās pazīmes.

• Mēs atrodam funkcijas definīcijas domēnu.
• Mēs atrodam funkcijas atvasinājumu definīcijas jomā.
• Mēs nosakām skaitītāja nulles, atvasinājuma saucēja nulles un domēna punktus, kurā atvasinājums nepastāv (visi uzskaitītie punkti tiek saukti iespējamās galējības punkticauri šiem punktiem atvasinājums var vienkārši mainīt savu zīmi).
• Šie punkti funkcijas domēnu sadala intervālos, kuros atvasinājums saglabā zīmi. Mēs nosaka atvasinājuma pazīmes katrā intervālā (piemēram, aprēķinot funkcijas atvasinājuma vērtību jebkurā noteiktā intervāla punktā).
• Mēs izvēlamies punktus, kuros funkcija ir nepārtraukta, un, šķērsojot tos, atvasinājums maina zīmi - tie ir ekstremitātes punkti.

Pārāk daudz vārdu, mēs labāk apsvērsim dažus piemērus funkcijas ekstremitāšu un galējību atrašanai, izmantojot pirmo pietiekamo nosacījumu funkcijas ekstremitātam.

Piemērs.

Atrodiet funkcijas galējību.

Risinājums.

Funkcijas domēns ir viss reālo skaitļu komplekts, izņemot x \u003d 2.

Mēs atrodam atvasinājumu:

Skaitītāja nulles ir punkti x \u003d -1 un x \u003d 5, saucējs pazūd pie x \u003d 2. Atzīmējiet šos punktus uz ciparu ass.

Katrā intervālā mēs nosakām atvasinājuma pazīmes, šim nolūkam mēs aprēķinām atvasinājuma vērtību katrā no katra intervāla punktiem, piemēram, punktos x \u003d -2, x \u003d 0, x \u003d 3 un x \u003d 6.

Tāpēc atvasinājums ir pozitīvs intervālā (attēlā virs šī intervāla mēs ievietojam plus zīmi). Līdzīgi

Tāpēc otrajā intervālā mēs ieliekam mīnusu, mīnusu virs trešā un plus ceturto.

Atliek izvēlēties punktus, kuros funkcija ir nepārtraukta un tās atvasinātās izmaiņas apzīmē. Tie ir galējie punkti.

Tajā brīdī x \u003d -1 funkcija ir nepārtraukta un atvasinājums maina zīmi no plusa uz mīnusu, tāpēc saskaņā ar pirmo ekstremitātes zīmi x \u003d -1 ir maksimālais punkts, funkcijas maksimums tam atbilst .

Tajā brīdī x \u003d 5 funkcija ir nepārtraukta un atvasinājums maina zīmi no mīnus uz plus, tāpēc x \u003d -1 ir minimālais punkts, funkcijas minimums tam atbilst .

Grafiska ilustrācija.

Atbilde ir:

MAKSĀJIET UZMANĪBU: pirmajai pietiekošajai ekstremitātes pazīmei nav nepieciešama funkcijas atšķirība pašā punktā.

Piemērs.

Atrodiet funkcijas ekstremālos punktus un galējības .

Risinājums.

Funkcijas domēns ir viss reālo skaitļu kopums. Pati funkcija var tikt uzrakstīta šādi:

Atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Tajā brīdī x \u003d 0, atvasinājums neeksistē, jo vienpusējo robežu vērtības nesakrīt, kad argumentam ir tendence uz nulli:

Tajā pašā laikā sākotnējā funkcija ir nepārtraukta pie x \u003d 0 (skatīt nepārtrauktības funkcijas pārbaudi):

Atrodiet argumenta vērtību, kurā atvasinājums pazūd:

Mēs atzīmējam visus punktus, kas iegūti uz skaitļu līnijas, un katrā intervālā nosaka atvasinājuma zīmi. Šim nolūkam mēs aprēķinām atvasinājuma vērtības katra intervāla patvaļīgos punktos, piemēram, x \u003d -6, x \u003d -4, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 4, x \u003d 6.

Tas ir,

Tādējādi saskaņā ar pirmo ekstremitātes pazīmi minimālie punkti ir , maksimālais punktu skaits ir .

Mēs aprēķinām atbilstošos funkciju minimumus

Mēs aprēķinām atbilstošās funkcijas maksimumus

Grafiska ilustrācija.

Atbilde ir:

.

Funkcijas ekstremitātes otrā pazīme.

Kā redzat, šī funkcijas ekstremitātes pazīme prasa atvasinājuma esamību vismaz līdz otrajai kārtībai vienā punktā.

Funkciju palielināšana un samazināšana

funkcija y = f(x) tiek saukts par pieaugošu segmentā [ a, b], ja par jebkuru punktu pāri x  un x ", un ≤ x nevienādība f(x) ≤ f (x "), un stingri palielinot - ja nevienlīdzība f (x) f(x ") Funkcijas samazināšana un stingra samazināšana tiek definētas līdzīgi. Piemēram, funkcija plkst = x 2 (att. a) stingri palielinās segmentā, un

(att. , b) stingri samazinās šajā segmentā. Pieaugošās funkcijas tiek apzīmētas ar f (x), un samazinās f (x) ↓. Lai atšķirtu funkciju f (x) palielinājās segmentā [ bet, b], ir nepieciešams un pietiekams, ka tā atvasinājums f"(x) nebija negatīvs vietnē [ bet, b].

Vienlaicīgi ar funkcijas palielināšanos un samazināšanos segmentā tiek ņemta vērā funkcijas palielināšanās un samazināšanās punktā. Funkcija plkst = f (x) sauc par pieaugošu brīdī x  0, ja ir šāds intervāls (α, β), kas satur punktu x  0, ka jebkuram punktam x  no (α, β), x\u003e x  0, nevienlīdzība f (x 0) ≤ f (x) un jebkuram punktam x  no (α, β), x 0, nevienlīdzība f (x) ≤ f (x  0). Tāpat arī stingrs funkcijas palielinājums brīdī x  0 Ja f"(x 0) >   0, tad funkcija f(x) stingri palielinās brīdī x  0 Ja f (x) palielinās katrā intervāla punktā ( a, b), tad šajā intervālā tas palielinās.

  S. B. Stechkin.

Lielā padomju enciklopēdija. - M .: Padomju enciklopēdija. 1969-1978 .

Skatiet sadaļu “Funkcijas palielināšana un samazināšana” citās vārdnīcās:

Matemātiskās analīzes jēdzieni. Funkciju f (x) sauc par populācijas dažādu vecuma grupu skaita attiecību, kas pieaug segmentā VECUMA IEDZĪVOTĀJU STRUKTŪRA. Atkarīgs no auglības un mirstības līmeņa, cilvēku dzīves ilguma ... Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

Matemātiskās analīzes jēdzieni. Funkciju f (x) segmentā sauc par pieaugošu, ja jebkuram punktu x1 un x2 pārim a≤x1 ... Enciklopēdiskā vārdnīca

Matemātikas jēdzieni. analīze. Tiek izsaukta funkcija f (x) palielinot uz segmenta [a, b], ja jebkuram punktu pārim x1 un x2, un<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Dabas vēsture. Enciklopēdiskā vārdnīca

Matemātikas nozare, kas pēta funkciju atvasinājumus un diferenciāļus un to pielietojumu funkciju izpētē. Dizains un. uz neatkarīgu matemātisko disciplīnu, kas saistīta ar I. Ņūtona un G. Leibnica vārdiem (17 ... Lielā padomju enciklopēdija

Matemātikas sekcija, kurā tiek pētīti atvasinājuma un diferenciācijas jēdzieni, un to pielietošanas metodes funkciju izpētē. D. attīstība un. cieši saistīta ar integrālo aprēķinu attīstību. Neatņemami un to saturs. Kopā tie veido pamatu ... Matemātiskā enciklopēdija

Šim terminam ir citas nozīmes, sk. Funkciju. Pieprasījums “Displejs” tiek novirzīts šeit; skatīt arī citas nozīmes ... Wikipedia

Aristotelis un peripetiķi  - Aristoteļa jautājums Aristoteļa Aristoteļa dzīve ir dzimusi 384./383. gadā. BC e. Stagira, uz robežas ar Maķedoniju. Viņa tēvs Nikomausks bija ārsts Maķedonijas karaļa Amyntos kalpošanā, Filipa tēvs. Kopā ar ģimeni, jauno Aristoteli ... Rietumu filozofija no tās pirmsākumiem līdz mūsdienām

  - (QCD), kvantu lauka teorija par kvarku un gluonu spēcīgo iedarbību, kas konstruēta kvanta attēlā. elektrodinamika (QED), kuras pamatā ir “krāsu” gabarīta simetrija. Atšķirībā no QED, fermioniem QCD ir papildinājums. kvanta brīvības pakāpe. numurs, ... ... Fiziskā enciklopēdija

I Sirds Sirds (lat. Cor, grieķu kardija) ir dobs fibro-muskuļu orgāns, kas, darbojoties kā pumpis, nodrošina asiņu kustību asinsrites sistēmā. Anatomija Sirds atrodas priekšējā videnes vidusdaļā (Mediastinum) perikardā starp ... Medicīnas enciklopēdija

Auga, tāpat kā jebkura cita dzīva organisma, dzīve ir sarežģīts savstarpēji saistītu procesu kopums; visnozīmīgākie no tiem ir zināmi metabolisms ar vidi. Vide ir avots, no kurienes ... Bioloģiskā enciklopēdija

Ārkārtas funkcijas

2. definīcija

Punktu $ x_0 $ sauc par funkcijas $ f (x) $ maksimālo punktu, ja pastāv šī punkta apkaime, piemēram, ka visiem $ x $ no šīs apkaimes pastāv nevienlīdzība $ f (x) \\ le f (x_0) $.

3. definīcija

Punktu $ x_0 $ sauc par funkcijas $ f (x) $ maksimālo punktu, ja šī punkta apkārtne ir tāda, ka visiem $ x $ no šīs apkaimes pastāv nevienlīdzība $ f (x) \\ ge f (x_0) $.

Funkcijas ekstremitātes jēdziens ir cieši saistīts ar funkcijas kritiskā punkta jēdzienu. Mēs iepazīstinām ar tā definīciju.

4. definīcija

$ x_0 $ tiek saukts par funkcijas $ f (x) $ kritisko punktu, ja:

1) $ x_0 $ ir definīcijas domēna iekšējais punkts;

2) $ f "\\ pa kreisi (x_0 \\ pa labi) \u003d 0 $ vai neeksistē.

Ekstremitātes jēdzienam var formulēt teorēmas par pietiekamiem un nepieciešamiem nosacījumiem tās pastāvēšanai.

2. teorēma

Pietiekams nosacījums ekstremitātei

Ļaujiet punktam $ x_0 $ būt kritiskam funkcijai $ y \u003d f (x) $ un atrasties intervālā $ (a, b) $. Pieņemsim, ka katrā intervālā $ \\ left (a, x_0 \\ right) \\ un \\ (x_0, b) $ atvasinājums $ f "(x) $ pastāv un saglabā nemainīgu zīmi. Tad:

1) Ja intervālā $ (a, x_0) $ atvasinājums ir $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $, un ar intervālu $ (x_0, b) $ atvasinājums ir $ f" \\ left (x \\ Right)

2) Ja intervālā $ (a, x_0) $ atvasinājums ir $ f "\\ left (x \\ right) 0 $, tad punkts $ x_0 $ ir šīs funkcijas minimālais punkts.

3) Ja gan intervāls $ (a, x_0) $, gan intervāls $ (x_0, b) $, atvasinājums $ f "\\ pa kreisi (x \\ pa labi)\u003e 0 $ vai atvasinājums $ f" \\ pa kreisi (x \\ pa labi)

Šī teorēma ir parādīta 1. attēlā.

1. attēls. Pietiekams ekstrēmas pastāvēšanas nosacījums

Galējību piemēri (2. att.).

2. attēls. Galējo punktu piemēri

  Ekstremitāšu funkcijas noteikšanas noteikums

2) Atrodi atvasinājumu no $ f "(x) $;

7) Izdariet secinājumus par maksimumu un minimumu klātbūtni katrā intervālā, izmantojot 2. teorēmu.

  Funkciju palielināšana un samazināšana

Iesācējiem mēs piedāvājam pieaugošo un samazinošo funkciju definīciju.

5. definīcija

Funkciju $ y \u003d f (x) $, kas definēta intervālā $ X $, sauc par pieaugošu, ja kādiem punktiem $ x_1, x_2 \\ in X $ par $ x_1

6. definīcija

Funkcija $ y \u003d f (x) $, kas definēta intervālā $ X $, tiek saukta par samazinājumu, ja kādiem punktiem $ x_1, x_2 \\ in X $ ir $ x_1f (x_2) $.

  Palielināšanas un samazināšanas funkcijas izpēte

Izmantojot atvasinājumu, varat izpētīt palielināšanas un samazināšanas funkcijas.

Lai izpētītu pieauguma un samazināšanas intervālu funkciju, ir jādara šādi:

1) Atrodiet funkcijas $ f (x) $ domēnu;

2) Atrodi atvasinājumu no $ f "(x) $;

3) Atrodiet punktus, pie kuriem pieder vienlīdzība $ f "\\ pa kreisi (x \\ pa labi) \u003d 0 $;

4) Atrodiet punktus, kuros $ f "(x) $ neeksistē;

5) uz koordinātu līnijas atzīmējiet visus atrastos punktus un šīs funkcijas domēnu;

6) nosakiet atvasinājuma $ f "(x) $ zīmi katrā iegūtajā intervālā;

7) Secinājums: ar intervāliem, kur $ f "\\ pa kreisi (x \\ pa labi) 0 $, funkcija palielinās.

  Uzdevumu piemēri palielināšanas, samazināšanas un galējo punktu klātbūtnes funkciju izpētei

1. piemērs

Izpētiet palielināšanas un samazināšanas funkciju, kā arī maksimālo un minimālo punktu klātbūtni: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

Tā kā pirmie 6 punkti ir vienādi, sāksim ar tiem.

1) Darbības joma - visi reālie skaitļi;

2) $ f "\\ pa kreisi (x \\ pa labi) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;

3) $ f "\\ pa kreisi (x \\ pa labi) \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ f "(x) $ pastāv visos definīcijas domēna punktos;

5) Koordinātu līnija:

3. attēls

6) katrā intervālā nosakiet atvasinājuma $ f "(x) $ zīmi:

\ \}