Ko nozīmē aritmētika? Zinātniskā un tehniskā enciklopēdiskā vārdnīca Kas ir aritmētika, ko tas nozīmē un kā to uzrakstīt

Aritmētika

Aritmētika g.
1.

Matemātikas nozare, kas pēta skaitļu vienkāršākās īpašības, to rakstīšanas metodes un darbības ar tām.

2.

Priekšmets, kas satur šīs matemātikas sadaļas pamatus.

3. atlaist

Mācību grāmata, kurā aprakstīts šī mācību priekšmeta saturs.

Efraima skaidrojošā vārdnīca. T. F. Efremova. 2000. gads.

Sinonīmi:

Uzziniet, kas ir "aritmētika" citās vārdnīcās:

  - (no grieķu valodas. aritmosa un toche art). Zinātne, kuras priekšmets ir skaitļi. Krievu valodā iekļauto svešvārdu vārdnīca. Čudinovs AN, 1910. gads. Aritmētika no grieķu valodas. aritmos, skaitļos un tehnē, māksla. Ciparu zinātne ... Krievu valodas svešvārdu vārdnīca

Sieviete, grieķis uzskatu doktrīna, numerācijas zinātne; visas matemātikas pamats (zinātne par lielumiem, no izmērāmām); · Vecs skaitīšana vai digitālā gudrība; konts, rēķināšana, digitālā tāme, aprēķins. Aritmētiskais, aritmētiskais, kas attiecas uz to. Aritmētika, ... Dahla skaidrojošā vārdnīca

Digitālais bizness, digitālā zinātne, digitālā, skaitot krievu sinonīmu vārdnīcu. aritmētiskais tsifir (novecojis.) Krievu valodas sinonīmu vārdnīca. Praktisks ceļvedis. M .: Krievu valoda. Z. E. Aleksandrova. 2011. gads ... Sinonīmu vārdnīca

  - (no grieķu vārdiem ariJmoV skaitlis un tecnh art) matemātikas daļa, kas nodarbojas ar noteiktu specifisku lielumu īpašību izpēti; tuvākā izpratnē A. ir skaitļu zinātne, kas izteikta skaitļos, un nodarbojas ar skaitļiem. A. jūs varat ... Brockhaus un Efrona enciklopēdija

Mūsdienu enciklopēdija

  - (no grieķu valodas. aritmosa skaitlis) matemātikas daļa; skaitļu vienkāršāko īpašību, galvenokārt dabisko (skaitlis pozitīvs) un dalīto, un darbību ar tām izpēte. Aritmētikas attīstība noveda pie algebras un teorijas numuru atdalīšanas no tā ... Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

Aritmētika, aprēķina metode, izmantojot saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu. Džuzepe Peano 19. gadsimta beigās ienesa oficiālu aksiomātisko bāzi šīm operācijām. Piemēram, pamatojoties uz dažiem postulātiem, ka ir tikai viens ... Zinātniskā un tehniskā enciklopēdiskā vārdnīca

Aritmētika, aritmētika, pl. nav sievu (Grieķu aritmētika). Ciparu doktrīna, kas izteikta skaitļos, un darbības ar tām. Paskaidrojošā vārdnīca Ušakovs. D.N. Ušakovs. 1935. gads 1940 ... Ušakova skaidrojošā vārdnīca

ARĪMĒTIKA, un, sievas. 1. Matemātikas nozare, kurā tiek pētītas skaitļu izteiktās vienkāršākās skaitļu īpašības un darbības ar tām. 2. trans. Tas pats, kas skaitīšana (2 cipari) (atvērta). Pārbaudot izmaksas, kas rada vilšanos, izrādījās a. | adj. aritmētika, ak, ... Paskaidrojošā vārdnīca Ožegova

aritmētika   - - [A.S. Goldbergs. Angļu-krievu enerģijas vārdnīca. 2006] Tēmas par enerģiju kopumā EN aritmētika ... Tehniskā tulka atsauce

Aritmētika   - (no grieķu aritmosa skaitļa), matemātikas daļa, kas pēta vienkāršāko skaitļu un frakcionēto skaitļu īpašības un darbības uz tiem. Senatnē radās skaitīšanas, attāluma, laika utt. Mērīšanas praktiskās vajadzības. Uzlabošana ... Ilustrētā enciklopēdiskā vārdnīca

Grāmatas

• Aritmētika, Kiseļevs Andrejs Petrovičs. 2017. gadā tiek svinēta A. P. Kiseļeva dzimšanas 165. gadadiena. Viņa pirmā skolas mācību grāmata par aritmētiku tika publicēta 1884. gadā. 1938. gadā viņš tika apstiprināts par aritmētikas mācību grāmatu 5-6 ...

Aritmētika ir matemātikas visvienkāršākā, pamatnodaļa. Tas ir saistīts ar kontā esošo cilvēku vajadzībām.

Garīgā aritmētika

Ko sauc par garīgo aritmētiku? Garīgā aritmētika ir metode, kā iemācīt ātru skaitīšanu, kas nākusi no senatnes.

Pašlaik atšķirībā no iepriekšējā skolotāji mēģina ne tikai iemācīt bērniem skaitīt ātrumu, bet arī cenšas attīstīt domāšanu.

Pats mācību process ir balstīts uz abu smadzeņu pusložu izmantošanu un attīstību. Galvenais ir spēt tos izmantot kopā, jo tie viens otru papildina.

Patiešām, kreisā puslode ir atbildīga par loģiku, runu un racionalitāti, bet labā puslode ir par iztēli.

Apmācības programma ietver darba apmācību un tādu rīku kā abacus.

Abakss ir galvenais garīgās aritmētikas pētīšanas līdzeklis, jo studenti iemācās ar viņiem strādāt, kārtot nūjas un izprast skaitīšanas būtību. Laika gaitā abats kļūst par jūsu iztēli, un praktikanti viņus pārstāv, paļaujas uz šīm zināšanām un risina piemērus.

Atsauksmes par šīm mācību metodēm ir ļoti pozitīvas. Ir viens mīnuss - apmācība ir apmaksāta, bet ne visi to var atļauties. Tāpēc ģenialitātes ceļš ir atkarīgs no finansiālā stāvokļa.

Matemātika un aritmētika

Matemātika un aritmētika ir cieši saistīti jēdzieni, vai drīzāk, aritmētika ir matemātikas nozare, kas darbojas ar skaitļiem un aprēķiniem (darbības ar skaitļiem).

Aritmētika ir galvenā sadaļa, līdz ar to arī matemātikas pamats. Matemātikas pamats ir vissvarīgākie jēdzieni un operācijas, kas veido bāzi, uz kuras balstās visas nākamās zināšanas. Galvenās operācijas ir: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana.

Aritmētiku parasti mācās skolā no paša apmācības sākuma, tas ir. no pirmās klases. Bērni apgūst matemātikas pamatus.

Papildinājums   - šī ir aritmētiska operācija, kuras procesā tiek pievienoti divi skaitļi, un to rezultāts būs jauns - trešais.

a + b \u003d c.

Atņemšana   - šī ir aritmētiska operācija, kurā otrais skaitlis tiek atņemts no pirmā skaitļa, un rezultāts būs trešais.

Papildināšanas formula tiek izteikta šādi: a - b \u003d c.

Reizināšana   - šī ir darbība, kuras rezultātā tiek atrasta identisku nosacījumu summa.

Šīs darbības formula ir: a1 + a2 + ... + an \u003d n * a.

Nodaļa- Tas ir sadalījums jebkura skaitļa vai mainīgā lieluma vienādās daļās.

Reģistrējieties kursam “Mutvārdu skaita paātrināšana, NAV garīgās aritmētikas”, lai iemācītos ātri, pareizi saskaitīt, atņemt, reizināt, dalīt, sadalīt kvadrātā un pat sakņot. 30 dienu laikā jūs uzzināsit, kā izmantot vieglus trikus, lai vienkāršotu aritmētiskās operācijas. Katrā nodarbībā ir jauni triki, skaidri piemēri un noderīgi vingrinājumi.

Aritmētiskā apmācība

Aritmētiskās mācības tiek veiktas skolas iekšienē. Sākot no pirmās klases, bērni sāk mācīties matemātikas pamatjautājumus un aritmētiku.

Ciparu pievienošana

5. aritmētiskā pakāpe

Piektajā klasē students sāk studēt tādas tēmas kā: dalītie skaitļi, jauktie skaitļi. Informāciju par operācijām ar šiem numuriem varat atrast mūsu rakstos par attiecīgajām operācijām.

Frakcijas skaitlis   - šī ir divu skaitļu attiecība pret otru vai skaitītāja un saucēja attiecība. Frakcionēto skaitli var aizstāt ar dalīšanas darbību. Piemēram, ¼ \u003d 1: 4.

Jaukts numurs   Ir frakcija, tikai ar visu daļu izceltu. Visa daļa tiek izdalīta ar nosacījumu, ka skaitītājs ir lielāks par saucēju. Piemēram, bija frakcija: 5/4, to var pārveidot, izceļot veselās skaitļa daļu: 1 vesels skaitlis un ¼.

Apmācības piemēri:

1. uzdevums:

2. uzdevums:

6. aritmētiskā pakāpe

6. klasē parādās tēma par frakciju konvertēšanu uz mazajiem burtiem. Ko tas nozīmē? Piemēram, ņemot vērā frakciju ½, tas būs vienāds ar 0,5. ¼ \u003d 0,25.

Šajā stilā var minēt piemērus: 0,25 + 0,73 + 12/31.

Apmācības piemēri:

1. uzdevums:

2. uzdevums:

Spēles mutvārdu skaitīšanas un skaitīšanas ātruma attīstīšanai

Ir brīnišķīgas spēles, kas veicina skaitīšanas attīstību, palīdz attīstīt matemātiskās spējas un matemātisko domāšanu, mutisko skaitīšanu un skaitīšanas ātrumu! Jūs varat spēlēt un augt! Vai esat ziņkārīgs? Lasiet īsus rakstus par spēlēm un noteikti izmēģiniet sevi.

Spēle "Ātrais rādītājs"

Ātra rezultātu spēle palīdzēs paātrināt mutisko skaitīšanu. Spēles būtība ir tāda, ka jums parādītajā attēlā jums būs jāizvēlas jā vai nē atbilde uz jautājumu “vai ir 5 no tiem pašiem augļiem?”. Sekojiet savam mērķim, un šī spēle jums to palīdzēs.

Spēle "Matemātiskie salīdzinājumi"

Spēlei “Matemātiskie salīdzinājumi” būs jāsalīdzina divi skaitļi vienlaikus. Tas ir, jums pēc iespējas ātrāk jāizvēlas viens no diviem numuriem. Atcerieties, ka laiks ir ierobežots, un jo vairāk atbildēsit pareizi, jo labāk attīstīsies matemātiskās spējas! Vai mēģināsim?

Ātrās pievienošanas spēle

Spēle "Ātrais papildinājums" ir lielisks ātras skaitīšanas simulators. Spēles būtība: ņemot vērā 4x4 lauku, tas ir. 16 cipari un septiņpadsmitais cipars virs lauka. Jūsu mērķis: veikt 17, izmantojot sešpadsmit numurus, izmantojot pievienošanas darbību. Piemēram, skaitlis 28 ir uzrakstīts virs lauka, tad laukā jāatrod 2 šādi skaitļi, kas kopumā dos skaitli 28. Vai esat gatavs izmēģināt savu roku? Tad ej uz priekšu, trenējies!

Fenomenālā mutes skaitīšanas attīstība

Mēs pārbaudījām tikai aisberga galu, lai labāk izprastu matemātiku - reģistrējieties mūsu kursam: Mutvārdu skaita paātrināšana - NAV mentālā aritmētika.

No kursa jūs ne tikai iemācīsities desmitiem triku, lai vienkāršotu un ātri reizinātu, pievienotu, reizinātu, dalītu, aprēķinātu procentus, bet arī tos izstrādāsiet īpašos uzdevumos un izglītojošās spēlēs! Skaitīšana mutvārdos prasa arī daudz uzmanības un koncentrēšanās, kas tiek aktīvi apmācīti interesantu problēmu risināšanā.

Ātrlasīšana 30 dienās

Palieliniet lasīšanas ātrumu 2-3 reizes 30 dienu laikā. No 150-200 līdz 300-600 vārdiem minūtē vai no 400 līdz 800-1200 vārdiem minūtē. Kursā tiek izmantoti tradicionālie vingrinājumi ātrlasīšanas attīstīšanai, smadzeņu darbu paātrinošie paņēmieni, lasīšanas ātruma pakāpeniskas palielināšanas paņēmieni, ātrlasīšanas psiholoģija un kursa dalībnieku jautājumi. Piemērots bērniem un pieaugušajiem, lasot līdz 5000 vārdiem minūtē.

Atmiņas un uzmanības attīstība bērnam 5-10 gadu vecumā

Kursa mērķis: attīstīt bērnā atmiņu un uzmanību, lai viņam būtu vieglāk mācīties skolā, lai viņš labāk atcerētos.

Ar aritmētiku, skaitļu zinātni sākas mūsu iepazīšanās ar matemātiku. Viena no pirmajām krievu aritmētikas mācību grāmatām, ko L. F. Magņitskis sarakstīja 1703. gadā, sākās ar vārdiem: “Aritmētika vai skaitītājs ir godīga, neizsakāma un viegli saprotama, daudznoderīga un daudzslāņaina māksla, sākot no vecākās un jaunākās, dzīvojot dažādos laikos. izgudrots un izteikts labi aritmētisks. " Ar aritmētiku mēs ieejam, kā teica M. V. Lomonosovs, “mācīšanās vārtos” un sākam savu garo un grūto, bet aizraujošo pasaules izpratnes ceļu.

Vārds "aritmētika" nāk no grieķu valodas aritmos, kas nozīmē "skaitlis". Šī zinātne pēta darbības ar skaitļiem, dažādus noteikumus, kā rīkoties ar tiem, māca mums, kā atrisināt problēmas, kas ir skaitļu saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana. Bieži vien viņi aritmētiku iedomājas kā kaut kādu pirmo matemātikas posmu, uz kura pamata ir iespējams izpētīt tās sarežģītākās sadaļas - algebru, matemātisko analīzi utt. Pat veseliem skaitļiem - galvenajam aritmētikas objektam -, ņemot vērā to vispārējās īpašības un likumus, tiek norādīts uz augstāku aritmētisko vai skaitļu teoriju. Šim aritmētikas viedoklim, protams, ir iemesls - tas patiešām paliek “konta ABC”, bet “daudznoderīga” un “viegli saprotams” ABC.

Aritmētika un ģeometrija ir cilvēka ilgstoši pavadoņi. Šīs zinātnes parādījās, kad kļuva nepieciešams uzskaitīt objektus, izmērīt zemi, sadalīt ražošanu un sekot līdzi laikam.

Aritmētika radās Seno Austrumu valstīs: Babilonā, Ķīnā, Indijā, Ēģiptē. Piemēram, Ēģiptes papiruss Rinda (nosaukts tā īpašnieka G. Rinda vārdā) attiecas uz 20. gs. BC Cita informācija satur frakcijas sadalīšanos frakciju summā ar skaitītāju, kas vienāds ar vienu, piemēram:

Seno Austrumu valstīs uzkrāto matemātisko zināšanu bagātības izstrādāja un turpināja Senās Grieķijas zinātnieki. Anaksagoras un Zeno, Eiklida (skat. Eiklīdu un viņa pirmsākumus), Arhimēda, Eratostēnes un Diophantus vēsture ir saglabājusi daudzus zinātnieku vārdus, kuri senajā pasaulē pētīja aritmētiku. Pitagora nosaukums (VI gadsimts pirms mūsu ēras) šeit dzirkstī ar spilgtu zvaigzni. Pitagorieši (Pitagora mācekļi un sekotāji) pielūdza skaitļus, uzskatot, ka tie satur visu pasaules harmoniju. Atsevišķiem numuriem un skaitļu pāriem tika piešķirtas īpašas īpašības. Skaitļi 7 un 36 tika turēti augstu, vienlaikus pievēršot uzmanību tā saucamajiem perfektajiem numuriem, draudzīgajiem numuriem utt.

Viduslaikos aritmētikas attīstība ir saistīta arī ar Austrumiem: Indiju, arābu pasaules valstīm un Centrālāziju. No indiešiem pie mums nāca skaitļi, kurus mēs izmantojam, nulles un pozicionālo skaitļu sistēma; no al-Kashi (XV gadsimts), kurš strādāja Samarkandas Ulugbeka observatorijā, - decimāldaļas.

Sakarā ar tirdzniecības attīstību un austrumu kultūras ietekmi kopš XIII gs. Eiropā pieaug interese par aritmētiku. Ir vērts atcerēties itāļu zinātnieka Leonardo Pisansky (Fibonacci) vārdu, kura kompozīcija The Abacus Book iepazīstināja eiropiešus ar Austrumu matemātikas galvenajiem sasniegumiem un bija daudzu aritmētikas un algebras pētījumu sākums.

Kopā ar poligrāfijas izgudrošanu (15. gadsimta vidus) parādījās pirmās iespiestas matemātiskās grāmatas. Pirmā drukātā grāmata par aritmētiku tika izdota Itālijā 1478. gadā. Vācu matemātiķa M. Štifela (16. gadsimta sākums) pilnā aritmētika jau satur negatīvus skaitļus un pat logaritmu ideju.

Ap XVI gadsimtu. tīri aritmētisko jautājumu izstrāde ir apvienojusies algebras pamatvirzienā - būtisks pavērsiens ir zinātnieka no Francijas F. Vjetnama darbu parādīšanās, kuros skaitļi norādīti ar burtiem. Sākot ar šo laiku, no algebras viedokļa beidzot tiek atzīti aritmētikas pamatnoteikumi.

Aritmētikas galvenais objekts ir cipars. Dabiskie skaitļi, t.i. cipari 1, 2, 3, 4, ... utt., radās no konkrētiem posteņiem. Pagāja daudzas tūkstošgades, pirms cilvēks uzzināja, ka divi fazani, divas rokas, divi cilvēki utt. var saukt par vienu un to pašu vārdu "divi". Svarīgs aritmētikas uzdevums ir iemācīties pārvarēt saskaitīto priekšmetu vārdu specifisko nozīmi, atrauties no to formas, lieluma, krāsas utt. Fibonači jau ir uzdevums: “Septiņas vecas sievietes dodas uz Romu. Katrā no tām ir 7 mūļi, katrā mūlis ir 7 maisi, katrā maisā ir 7 klaipi, katrā maizē ir 7 naži, katrā nažā ir 7 apvalki. Cik no visiem? ”Lai atrisinātu problēmu, jums būs jāsaliek vecas sievietes un mūļi, un somas, un maize.

Skaitļa jēdziena attīstība - nulles un negatīvā skaitļa parādīšanās, parastā un decimālā daļa, skaitļu rakstīšanas veidi (cipari, apzīmējumi, skaitļu sistēmas) - tam visam ir bagāta un interesanta vēsture.

“Skaitļu zinātne attiecas uz divām zinātnēm: praktisko un teorētisko. Praktiskajā tiek pētīti skaitļi, ciktāl tas ir jautājums par skaitītajiem skaitļiem. Šo zinātni izmanto tirgus un civillietās. Skaitļu teorētiskā zinātne pēta numurus absolūtā nozīmē, ko prāts atņem no ķermeņiem un visa, kas tajos var tikt ieskaitīts. ” al-farabi

Aritmētikā skaitļi tiek saskaitīti, atņemti, reizināti un dalīti. Māksla ātri un precīzi veikt šīs darbības ar jebkuru numuru jau sen tiek uzskatīta par vissvarīgāko aritmētikas uzdevumu. Tagad prātā vai uz papīra lapas mēs veicam tikai vienkāršākos aprēķinus, arvien biežāk uzticot sarežģītāku aprēķinu darbu mikrokalkulatoriem, kuri pakāpeniski nonāk, lai aizstātu tādas ierīces kā abacus, aritmometru (sk. Computing tehniku) un slīdēšanas noteikumu. Tomēr visu datoru darbs - vienkāršs un sarežģīts - ir visvienkāršākā darbība - dabisko skaitļu pievienošana. Izrādās, ka vissarežģītākos aprēķinus var samazināt līdz pievienošanai, tikai šī operācija jāveic daudzus miljonus reižu. Bet šeit mēs iebrūkam vēl vienā matemātikas jomā, kuras izcelsme ir aritmētikā - skaitļošanas matemātikā.

Ciparu aritmētiskajām operācijām ir dažādas īpašības. Šīs īpašības var aprakstīt vārdos, piemēram: “Summa nemainās no terminu vietu maiņas”, to var rakstīt ar burtiem:,, var izteikt ar īpašiem noteikumiem.

Piemēram, šo pievienošanas īpašību sauc par tulkošanas vai komutācijas likumu. Mēs bieži piemērojam aritmētikas likumus, neievērojot to. Bieži skolēni skolā jautā: “Kāpēc jāiemācās visi šie mainīgie un apvienojošie likumi, jo ir tik skaidrs, kā skaitļus pievienot un reizināt?” 19. gadsimtā. matemātika spēra svarīgu soli - tā sāka sistemātiski pievienot un reizināt ne tikai skaitļus, bet arī vektorus, funkcijas, pārvietojumus, skaitļu tabulas, matricas un daudz ko citu, un pat tikai burtus, simbolus, īsti nerūpējoties par to specifisko nozīmi. Un šeit izrādījās, ka vissvarīgākais ir tas, kādi likumi ievēro šīs operācijas. Ar patvaļīgiem objektiem (ne vienmēr uz skaitļiem) saistītu operāciju izpēte jau ir algebras lauks, lai gan šī uzdevuma pamatā ir aritmētika un tās likumi.

Aritmētika satur daudz problēmu risināšanas noteikumu. Vecās grāmatās var atrast uzdevumus par "trīskāršo likumu", "proporcionālo dalījumu", "svara metodi", "viltus likumu" utt. Lielākā daļa šo noteikumu tagad ir novecojuši, lai gan uzdevumus, kas tika atrisināti ar viņu palīdzību, nevar uzskatīt par novecojušiem. Slavenais uzdevums par baseinu, kas ir piepildīts ar vairākām caurulēm, ir vismaz divus tūkstošus gadu vecs, un tomēr skolniekiem tas nav viegli. Bet, ja agrāk, lai atrisinātu šo problēmu, bija jāzina īpašs noteikums, mūsdienās jaunākiem studentiem tiek mācīts risināt šādu problēmu, ieviešot vēlamās vērtības burtu apzīmējumu. Tādējādi aritmētiskās problēmas noveda pie nepieciešamības risināt vienādojumus, un tas atkal ir algebras uzdevums.

PIFAGORS   (c. 570–500 p.m.ē.) Par Samos Pitagorsu nav rakstisku dokumentu, un saskaņā ar vēlākiem pierādījumiem ir grūti atjaunot patieso priekšstatu par viņa dzīvi un sasniegumiem. Ir zināms, ka Pitagors pameta savu dzimto Samosas salu Egejas jūrā pie Mazās Āzijas krastiem, lai protestētu pret valdnieka tirāniju un jau pieaugušā vecumā (saskaņā ar leģendu 40 gadu vecumā) parādījās Grieķijas pilsētā Krotonā Itālijas dienvidos. Pitagors un viņa sekotāji - pitagorieši - izveidoja slepenu aliansi, kurai bija nozīmīga loma Grieķijas koloniju dzīvē Itālijā. Pitagorieši viens otru atpazina pēc sava zvaigžņu piecstūra - pentagrammas. Pitagora mācības lielā mērā ietekmēja Austrumu filozofija un reliģija. Viņš daudz ceļoja pa Austrumu valstīm: viņš bija Ēģiptē un Babilonā. Tur Pitagors iepazinās ar austrumu matemātiku. Matemātika kļuva par viņa mācību sastāvdaļu un nozīmīgu daļu. Pitagorieši uzskatīja, ka pasaules noslēpums ir paslēpts skaitliskos likumos. Skaitļu pasaule pitagoriešiem dzīvoja īpašu dzīvi, skaitļiem dzīvē bija sava īpaša nozīme. Skaitļi, kas vienādi ar dalītāju summu, tika uztverti kā perfekti (6, 28, 496, 8128); draudzīgi sauc ciparu pārus, no kuriem katrs bija vienāds ar otra dalītāju summu (piemēram, 220 un 284). Pitagors pirmo reizi sadalīja skaitļus pāra un nepāra, vienkāršā un saliktā veidā, ieviesa figurēta skaitļa jēdzienu. Viņa skolā tika sīki apskatīti dabisko skaitļu Pitagora trīskāršie elementi, kuros viena kvadrāts bija vienāds ar pārējo divu kvadrātu summu (skat. Fermata lielo teorēmu). Pitagoram tiek piedēvēts teiciens: "Viss ir cipars." Pēc skaitļiem (un viņam bija prātā tikai dabiskie skaitļi) viņš gribēja samazināt visu pasauli un jo īpaši matemātiku. Bet Pitagoras skolā tika izdarīts atklājums, kas pārkāpa šo harmoniju. Ir pierādīts, ka tas nav racionāls skaitlis, t.i. nav izteikts caur naturāliem skaitļiem. Protams, Pitagora ģeometrija bija pakārtota aritmētikai, tas skaidri izpaudās teorēmā ar viņa vārdu un vēlāk kļuva par pamatu skaitlisko metožu izmantošanai ģeometrijā. (Vēlāk Eiklida atkal izvirzīja ģeometriju priekšplānā, pakārtojot tai algebru.) Acīmredzot pitagorieši zināja pareizos ķermeņus: tetraedru, kubu un dodekaedru. Pitagors tiek kreditēts ar sistemātisku pierādījumu ieviešanu ģeometrijā, taisnu figūru planimetrijas izveidošanu, līdzības doktrīnu. Aritmētisko, ģeometrisko un harmonisko proporciju, līdzekļu doktrīna ir saistīta ar Pitagora vārdu. Jāatzīmē, ka Pitagors uzskatīja Zemi par sfēru, kas pārvietojas ap Sauli. Kad XVI gadsimtā. baznīca sāka nikni ievērot Kopernika mācības, šo mācību neatlaidīgi sauca par Pitagora.

ARHIMĒDES (c. 287–212 BC) Par Arhimēdu ir zināms vairāk - lieliska matemātika un mehānika nekā par citiem senatnes zinātniekiem. Pirmkārt, ticams ir viņa nāves gads - Sirakūzas krišanas gads, kad zinātnieks nomira uz Romas karavīra rokām. Tomēr senatnes vēsturnieki Polībijs, Līvijs, Plutarhs maz runāja par viņa matemātiskajiem nopelniem, no viņiem līdz mūsdienām ir saņemta informācija par zinātnieka brīnumainajiem izgudrojumiem, kas veikti karaļa Hierona II kalpošanas laikā. Ir zināms stāsts par karaļa zelta vainagu. Arhimēds pārbaudīja tā kompozīcijas tīrību ar viņa atrastās peldspējas likuma un izsaukuma “Eureka!” Palīdzību. "Atraduši!". Cita leģenda vēsta, ka Arhimēds uzbūvēja bloku sistēmu, ar kuras palīdzību viens cilvēks spēja palaist milzīgo kuģi "Syracosia". Pēc tam Arhimēda izteiktie vārdi kļuva spārnoti: "Dodiet man pēdu, un es pagriezīšu Zemi." Arhimēda inženieru ģēnijs ar īpašu spēku izpaudās Sirakūzas - turīgas tirdzniecības pilsētas Sicīlijas salā - aplenkšanas laikā. Romas konsula Marcellus karavīri ilgu laiku tika turēti apcietinājumā pie pilsētas sienām ar nepieredzētiem transporta līdzekļiem: jaudīgas katapultas izšāva mērķtiecīgus akmens ķieģeļus, izmestās raķešu palaišanas mašīnas tika izmestas nepilnībās, piekrastes celtņi apgāzās pāri sienām un meta ienaidnieka kuģus ar akmeni un svina blokiem, āķi paņēma kuģus un viņi tos izmeta no liela augstuma, ieliektu spoguļu sistēmas (dažos stāstos - vairogi) aizdedzināja kuģus. Marcellus vēsturē Plutarhs apraksta šausmas, kas valdīja romiešu karotāju rindās: “Tiklīdz viņi pamanīja, ka no aiz cietokšņa sienas tiek parādīta virve vai baļķis, viņi aizbēga ar saucienu, ka Arhimēds viņu nāvei joprojām ir izgudrojis jaunu mašīnu”. . Arhimēda ieguldījums matemātikas attīstībā ir milzīgs. Arhimēda spirāle (sk. Spirāles), ko apzīmē ar punktu, kas pārvietojas rotējošā aplī, nostājās starp daudzām līknēm, kuras bija zināmas viņa laikabiedriem. Nākamā kinemātiski noteiktā līkne - cikloīds - parādījās tikai 17. gadsimtā. Arhimēds iemācījās atrast pieskaņu viņa spirālei (un viņas priekšgājēji zināja, kā pievērst pieskares tikai koniskajām sekcijām), atrada tās pagrieziena laukumu, kā arī elipses laukumu, konusa un bumbas virsmu, bumbas tilpumus un sfērisko segmentu. Viņš īpaši lepojās ar atklāto bumbiņas un cilindra tilpuma attiecību, kas aprakstīta ap to, kas ir 2: 3 (sk. Attēlus, kas aprakstīti un aprakstīti). Arhimīds daudz risināja arī apļa sašaurināšanas problēmu (sk. Slavenie senatnes uzdevumi). Zinātnieks aprēķināja apkārtmēra un diametra (skaita) attiecību un secināja, ka tas ir noslēgts starp un. Viņa radītā metode figūras apkārtmēra un laukuma aprēķināšanai bija būtisks solis diferenciālo un integrālo kalkuļu veidošanā, kas parādījās tikai 2000 gadus vēlāk. Arhimēds arī atrada bezgalīgas ģeometriskās progresijas summu ar saucēju. Matemātikā tas bija pirmais bezgalīgās sērijas piemērs. Liela loma matemātikas attīstībā bija viņa esejai “Psammit” - “Par smilšu graudu skaitu”, kurā viņš parāda, kā, izmantojot esošo skaitļu sistēmu, var izteikt patvaļīgi lielus skaitļus. Kā iemeslu savai argumentācijai viņš izmanto problēmu saskaitīt smilšu graudu skaitu redzamajā Visumā. Tādējādi toreizējais viedoklis par noslēpumaino "lielāko skaitļu" klātbūtni tika atspēkots.

Starp svarīgiem jēdzieniem, ko ieviesa aritmētika, jāatzīmē proporcijas un procenti. Lielākā daļa aritmētikas jēdzienu un metožu balstās uz dažādu skaitļu atkarību salīdzināšanu. Matemātikas vēsturē aritmētikas un ģeometrijas apvienošanas process notiek daudzus gadsimtus.

Ir iespējams skaidri izsekot aritmētikas “ģeometrizācijai”: sarežģīti noteikumi un paraugi, kas izteikti ar formulām, kļūst saprotamāki, ja ir iespējams tos attēlot ģeometriski. Lielu lomu matemātikā un tās lietojumos spēlē apgrieztais process - vizuālās, ģeometriskās informācijas tulkošana ciparu valodā (skatīt grafisko skaitļošanu). Šī tulkojuma pamatā ir franču filozofa un matemātiķa R. Dekarta ideja par punktu noteikšanu plaknē pēc koordinātām. Protams, pirms šī ideja jau tika izmantota, piemēram, jūrniecības nozarē, kad bija jānosaka kuģa atrašanās vieta, kā arī astronomijā, ģeodēzijā. Bet tieši no Dekarta un viņa studentiem nāk konsekventa koordinātu valodas lietošana matemātikā. Mūsdienās, pārvaldot sarežģītus procesus (piemēram, kosmosa kuģa lidojumus), viņi dod priekšroku tam, lai visa informācija būtu ciparu veidā, ko dators apstrādā. Ja nepieciešams, mašīna palīdz cilvēkam iztulkot uzkrāto skaitlisko informāciju zīmēšanas valodā.

Jūs redzat, ka, runājot par aritmētiku, mēs vienmēr pārsniedzam tās robežas - algebrā, ģeometrijā un citās matemātikas nozarēs.

Kā ieskicēt pašas aritmētikas robežas?

Kādā nozīmē vārdu lieto?

Vārdu "aritmētika" var saprast:

priekšmets, kas galvenokārt nodarbojas ar racionālajiem skaitļiem (veseliem skaitļiem un frakcijām), darbībām ar tiem un ar šīm darbībām atrisinātajām problēmām;

matemātikas vēsturiskās ēkas daļa, kurā ir uzkrāta dažāda informācija par aprēķiniem;

“Teorētiskā aritmētika” - mūsdienu matemātikas daļa, kas iesaistīta dažādu skaitlisko sistēmu (dabisko, veselo, racionālo, reālo, komplekso skaitļu un to vispārinājumu) konstruēšanā;

“Formāla aritmētika” ir matemātiskās loģikas daļa (sk. Matemātiskā loģika), kas analizē aritmētikas aksiomatisko teoriju;

“Augstāka aritmētika” jeb skaitļu teorija, patstāvīgi attīstīta matemātikas daļa.

Kas ir aritmētika? Kā pareizi uzrakstīt šo vārdu. Jēdziens un interpretācija.

aritmētika skaitļošanas māksla ar pozitīvajiem reālajiem skaitļiem. Īsa aritmētikas vēsture. Kopš seniem laikiem darbs ar skaitļiem tika sadalīts divās dažādās jomās: viena bija tieši saistīta ar skaitļu īpašībām, otra bija saistīta ar skaitīšanas tehniku. Ar "aritmētiku" daudzās valstīs parasti tiek domāta šī pēdējā joma, kas neapšaubāmi ir vecākā matemātikas nozare. Acīmredzot lielākās grūtības seno kalkulatoru starpā sagādāja darbs ar frakcijām. To var spriest pēc Ahmes papirusa (saukta arī par Rind papirusu), senās ēģiptiešu esejas par matemātiku, kas datēta aptuveni no 1650. gada pirms mūsu ēras. Visām papirosā minētajām frakcijām, izņemot 2/3, ir dalītāji ar vienādu 1. Frakciju apstrādes grūtības ir pamanāmas arī, pētot senās Babilonijas zilās formas tabletes. Gan senie ēģiptieši, gan babilonieši acīmredzot veica aprēķinus, izmantojot kaut kādu abaku. Sākot no Pitagoras, apmēram 530. gadā pirms mūsu ēras, seno skaitļu zinātne ieguva ievērojamu attīstību. Runājot par pašu aprēķinu tehniku, grieķi šajā jomā ir paveikuši daudz mazāk. Romieši, kas dzīvoja vēlāk, tieši pretēji, praktiski nedeva ieguldījumu skaitļu zinātnē, bet, ņemot vērā strauji augošās ražošanas un tirdzniecības vajadzības, viņi uzlaboja abaku kā skaitīšanas ierīci. Ļoti maz ir zināms par Indijas aritmētikas dzimšanu. Tikai dažus jaunākus operāciju ar skaitļiem teorijas un prakses darbus, kas uzrakstīti pēc tam, kad Indijas pozicionālā sistēma tika uzlabota, iekļaujot tajā nulli, ir sasnieguši mūs. Kad tieši tas notika, mēs droši nezinām, bet tieši tad tika likti pamati mūsu visizplatītākajiem aritmētiskajiem algoritmiem (sk. Arī NUMURI UN NUMURI). Indijas skaitļu sistēmu un pirmos aritmētiskos algoritmus aizņēmās arābi. Agrāko aritmētikas mācību grāmatu arābu valodā, kas pie mums nonāca, sarakstīja al-Khwarizmi ap 825. gadu. Indijas skaitļi tajā tiek plaši izmantoti un izskaidroti. Vēlāk šī mācību grāmata tika tulkota latīņu valodā un ievērojami ietekmēja Rietumeiropu. Izkropļotā nosaukuma al-Khwarizmi versija nonāca pie mums ar vārdu "algoritms", kas, vēl vairāk sajaucoties ar grieķu vārdu aritmos, pārvērtās par terminu "algoritms". Indo-arābu aritmētika Rietumeiropā kļuva pazīstama galvenokārt pateicoties L. Fibonačici abaka grāmatas (Liber abaci, 1202) darbam. Abacist metode piedāvāja vienkāršojumus, līdzīgus mūsu pozicionālās sistēmas izmantošanai, vismaz saskaitīšanai un reizināšanai. Abakistus aizvietoja ar algoritmiem, kas izmantoja nulles un arābu metodi kvadrātsaknes dalīšanai un iegūšanai. Viena no pirmajām aritmētisko mācību grāmatām, kuras autors mums nav zināms, tika publicēta Treviso (Itālija) 1478. gadā. Tajā tika apskatīti aprēķini, veicot tirdzniecības darījumus. Šī mācību grāmata kļuva par daudzu vēlāko aritmētisko mācību grāmatu priekšteci. Līdz 17. gadsimta sākumam Eiropā ir izdoti vairāk nekā trīs simti šādu mācību grāmatu. Šajā laikā tika ievērojami uzlaboti aritmētiskie algoritmi. 16-17 gadsimtos. parādījās aritmētisko operāciju simboli, piemēram, \u003d, +, -, *, "sakne" un /. Tiek uzskatīts, ka decimāldaļas 1585. gadā izgudroja S. Stevins, logaritmi bija J. Nepers 1614. gadā, logaritmiskais lineāls bija W. Izsvītrots 1622. gadā. Mūsdienu analogās un digitālās skaitļošanas ierīces tika izgudrotas 20. gadsimta vidū. Skatīt arī MATH; MATEMĀTIKAS VĒSTURE; NUMURU TEORIJA; SĒRIJA. Aritmētisko aprēķinu mehanizācija. Attīstoties sabiedrībai, auga nepieciešamība pēc ātrākiem un precīzākiem aprēķiniem. Šī vajadzība radīja četrus ievērojamus izgudrojumus: indoarābu cipari, decimāldaļas, logaritmi un mūsdienu datori. Faktiski visvienkāršākās skaitīšanas ierīces pastāvēja pirms mūsdienu aritmētikas parādīšanās, jo senatnē elementāras aritmētiskas operācijas tika veiktas ar abatu (Krievijā šim mērķim tika izmantoti rādītāji). Vienkāršāko mūsdienu skaitļošanas ierīci var uzskatīt par slīdēšanas noteikumu, kas ir divas bīdāmas logaritmiskās skalas viena otrai blakus, kas ļauj reizināt un dalīt, summēt un atņemt skalas segmentus. Pirmās mehāniskās summēšanas mašīnas izgudrotājs tiek uzskatīts par B. Paskālu (1642). Vēlāk tajā pašā gadsimtā G. Leibnizs (1671) Vācijā un S. Moreland (1673) Anglijā izgudroja mašīnas pavairošanas veikšanai. Šīs mašīnas kļuva par 20. gadsimta galddatoru (aritmometru) priekštečiem, kas ļāva ātri un precīzi veikt saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas operācijas. 1812. gadā angļu matemātiķis C. Babbage sāka projektēt matemātisko tabulu aprēķināšanas mašīnu. Lai arī darbs pie projekta turpinājās daudzus gadus, tas palika nepabeigts. Neskatoties uz to, Babbage projekts stimulēja modernu elektronisko datoru izveidi, kuru pirmie modeļi parādījās ap 1944. gadu. Šo mašīnu ātrums bija pārsteidzošs: tās varēja atrisināt problēmas, kuru izpildīšana prasīja vairākas minūtes vai stundas, kurām iepriekš bija nepieciešami daudzu gadu nepārtraukta skaitļošana, pat izmantojot aritmometrus. Jautājuma būtību var izskaidrot ar īpašas aritmētiskās problēmas piemēru, piemēram, aprēķinot skaitli p (apļa apkārtmēra attiecība pret tā diametru). Pirmie sistemātiskie p aprēķināšanas mēģinājumi ir atrodami Arhimēdā (apmēram 240. g. P.m.ē.). Izmantojot ļoti nepilnīgu skaitļu sistēmu, pēc liela darba viņš spēja aprēķināt p ar precizitāti, kas līdzvērtīga divām zīmēm aiz komata mūsu mūsdienu skaitļu sistēmā. Izmantojot Arhimēda metodi, L. van Zeilens (1540-1610), veltījis tam ievērojamu savas dzīves daļu, spēja aprēķināt p ar precizitāti līdz 35 zīmēm aiz komata. 1873. gadā pēc piecpadsmit gadu darba W. Shanks saņēma p vērtību ar 707 rakstzīmēm, bet vēlāk izrādījās, ka, sākot ar 528. rakstzīmi, viņa aprēķinos bija parādījušās kļūdas. 1958. gadā IBM dators 70 sekundēs aprēķināja 707 skaitļa p rakstzīmes un, turpinot turpmākos aprēķinus, 100 minūtēs saņēma 10 000 rakstzīmes. Skatīt arī DATORU; PI SKAITS. Pozitīvi veseli skaitļi. Mūsu ideju par skaitļiem pamatā ir intuitīvie komplektu jēdzieni, kopa atbilstība un bezgalīga atšķiramu zīmju vai skaņu secība. Pazīstamā rakstzīmju secība 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... ir nekas vairāk kā bezgalīga atšķiramu zīmju secība un bezgalīga atšķiramu skaņu (vai vārdu) secība. ) "viens", "divi", "trīs", "četri", "pieci", "seši", "septiņi", "astoņi", "deviņi", "desmit", "vienpadsmit", "divpadsmit",. .. kas atbilst noteiktām rakstzīmēm. Jebkuru kopu, kuras visus elementus var salikt viens pret otru ar mūsu bezgalīgās rakstzīmju secības dažu sākotnējo segmentu elementiem, sauc par ierobežotu kopu. Šajā gadījumā segmenta pēdējais burts norāda elementu skaitu komplektā. Piemēram, to objektu kopa, kurus var ievietot viens pret vienu ar sākotnējo 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8. segmentu, ir ierobežota kopa, kurā ir 8 (“astoņi”) elementi. 8. simbols norāda objektu skaitu "sākotnējā komplektā". Šis numurs ir simbols vai etiķete, kas tiek attiecināts uz šo komplektu. Tāda pati etiķete tiek attiecināta uz visiem tiem un tikai tiem komplektiem, kurus var attiecināt uz vienu pret vienu ar šo komplektu. Viennozīmīgu etiķetes definīciju jebkurai ierobežotajai kopai sauc par dotās kopas elementu "pārskaitīšanu", un pašas etiķetes tiek sauktas par pozitīviem vai veseliem skaitļiem pozitīviem skaitļiem (sk. Arī NUMURS; KOMPLEKTU TEORIJA). Ļaujiet A un B būt divām ierobežotām kopām, kurām nav kopīgu elementu, un ļaujiet A saturēt n elementus un B satur m elementus. Tad kopa S, kas sastāv no visiem kopas A un B elementiem kopā, ir ierobežota kopa, kas satur, teiksim, s elementus. Piemēram, ja A sastāv no elementiem (a, b, c), kopa B sastāv no elementiem (x, y), tad kopa S \u003d A + B un sastāv no elementiem (a, b, c, x, y). Skaitli s sauc par skaitļu n un m summu, un mēs to uzrakstām šādi: s \u003d n + m. Šajā ierakstā ciparus n un m sauc par terminiem, summas atrašanas operāciju sauc par saskaitīšanu. Operācijas simbolu "+" lasa kā "plus". Komplekts P, kas sastāv no visiem sakārtotajiem pāriem, kuros pirmais elements ir izvēlēts no kopas A un otrais no kopas B, ir ierobežots komplekts, kas satur, teiksim, p elementus. Piemēram, ja, tāpat kā iepriekš, A \u003d (a, b, c), B \u003d (x, y), tad P \u003d AґB \u003d ((a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)). Skaitli p sauc par skaitļu a un b reizinājumu, un mēs to uzrakstām šādi: p \u003d a * b vai p \u003d a * b. Skaitļus a un b produktā sauc par faktoriem, produkta atrašanas operāciju sauc par reizināšanu. Operācijas simbols ґ ir "reizināts ar". Var parādīt, ka no šīm definīcijām izriet šādi veselu skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas pamatlikumi: - papildināšanas komutējamības likums: a + b \u003d b + a; - pievienošanas asociācijas likums: a + (b + c) \u003d (a + b) + c; - reizināšanas komutācijas likums: a * b \u003d b * a; - reizināšanas asociācijas likums: a * (b * c) \u003d (a * b) * c; - sadalījuma likums: aґ (b + c) \u003d (a * b) + (a * c). Ja a un b ir divi pozitīvi veseli skaitļi un ja ir tāds pozitīvs vesels skaitlis c, ka a \u003d b + c, tad mēs sakām, ka a ir lielāks par b (tas ir uzrakstīts šādi: a\u003e b) vai ka b ir mazāks par a ( tas ir uzrakstīts šādi: bb vai a

• Aritmētika (dr. Grieķu ἀριθμητική; no ἀριθμός - skaitlis) ir matemātikas nozare, kas pēta skaitļus, to attiecības un īpašības. Aritmētikas priekšmets ir skaitļa jēdziens, attīstot idejas par to (dabiskais, vesels skaitlis un racionālais, reālais, kompleksais skaitlis) un tā īpašībām. Aritmētikā tiek ņemti vērā mērījumi, skaitļošanas operācijas (saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana) un aprēķina metodes. Atsevišķu skaitļu īpašību izpēte ir saistīta ar augstāku aritmētisko jeb skaitļu teoriju. Teorētiskā aritmētika pievērš uzmanību skaitļa jēdziena definēšanai un analīzei, savukārt formālā aritmētika darbojas ar predikātu un aksiomu loģiskajām konstrukcijām. Aritmētika ir vecākā un viena no matemātikas pamatzinātnēm; tas ir cieši saistīts ar algebru, ģeometriju un skaitļu teoriju.

  Aritmētikas iemesls bija konta praktiskā nepieciešamība un aprēķini, kas saistīti ar grāmatvedības uzdevumiem lauksaimniecības centralizācijā. Zinātne ir attīstījusies līdz ar risināmo uzdevumu sarežģītību. Lielu ieguldījumu aritmētikas attīstībā deva grieķu matemātiķi, īpaši Pitagora filozofi, kuri mēģināja izmantot ciparus, lai saprastu un aprakstītu visus pasaules likumus.

  Viduslaikos aritmētiku pēc neoplatonistiem klasificēja tā dēvēto septiņu brīvo mākslu vidū. Aritmētikas praktiskās pielietošanas galvenās jomas toreiz bija tirdzniecība, navigācija, būvniecība. Šajā sakarā īpašu nozīmi ir ieguvuši aptuvenie neracionālo skaitļu aprēķini, kas galvenokārt nepieciešami ģeometriskām konstrukcijām. Īpaši strauji aritmētika attīstījās Indijā un islāma valstīs, no kurienes matemātiskās domas jaunākie sasniegumi iekļuva Rietumeiropā; Krievija iepazinās ar matemātikas zināšanām “gan no grieķiem, gan latīniem”.

  Ar jauno laiku parādīšanos navigācijas astronomija, mehānika un sarežģīti komerciālie aprēķini izvirzīja jaunas prasības skaitļošanas tehnikai un deva impulsu aritmētikas tālākai attīstībai. 17. gadsimta sākumā Napiers izgudroja logaritmus, un pēc tam Fermāts izdalīja skaitļu teoriju kā neatkarīgu aritmētikas sadaļu. Līdz gadsimta beigām radās ideja par neracionālu skaitli kā racionālu tuvinājumu secību, un nākamā gadsimta laikā, pateicoties Lamberta, Eulera, Gausa darbiem, aritmētika ietvēra operācijas ar sarežģītiem lielumiem, iegūstot modernu izskatu.

  Turpmāko aritmētikas vēsturi iezīmēja kritisks tās pamatu pārskats, tās deduktīvās attaisnošanas mēģinājumi. Skaitļa jēdziena teorētiskais pamats galvenokārt ir saistīts ar stingru dabiskā skaitļa un Peano aksiomu definīciju, kas formulēta 1889. gadā. Aritmētikas formālās uzbūves konsekvenci parādīja Genzens 1936. gadā.

  Aritmētikas pamati jau sen ir bijuši un vienmēr ir pievērsuši lielu uzmanību pamatskolas izglītībā.