Kāds skaitlis var būt vienāds ar matricas rangu. Matricas ranga atrašana

Apsveriet taisnstūra matricu. Ja šajā matricā mēs izvēlamies patvaļīgi k līnijas un k kolonnas, tad elementi atlasīto rindu un kolonnu krustpunktā veido k-tās kārtas kvadrātmatricu. Šīs matricas determinants tiek saukts k-tās kārtas nepilngadīgais matrica A. Acīmredzot matricai A ir jebkuras kārtas minori no 1 līdz mazākajam no skaitļiem m un n. Starp visiem matricas A nepilngadīgajiem, kas nav nulle, ir vismaz viens nepilngadīgais, kura secība ir vislielākā. Tiek izsaukta lielākā no dotās matricas nepilngadīgo kārtas vērtībām, kas nav nulles rangs matricas. Ja matricas A rangs ir r, tad tas nozīmē, ka matricai A ir mazākā kārta, kas nav nulle r, bet katrs nepilngadīgais pasūtījums lielāks par r, ir vienāds ar nulli. Matricas A rangu apzīmē ar r(A). Ir skaidrs, ka attiecības

Matricas ranga aprēķināšana, izmantojot nepilngadīgos

Matricas rangs tiek noteikts vai nu ar nepilngadīgo robežām, vai ar elementāru pārveidojumu metodi. Aprēķinot matricas rangu pirmajā veidā, no zemākas kārtas nepilngadīgajiem jāpāriet uz augstākas kārtas nepilngadīgajiem. Ja jau ir atrasts matricas A k-tās kārtas nepilngadīgais D, kas nav nulle, tad jāaprēķina tikai (k + 1) kārtas nepilngadīgie, kas robežojas ar mazo D, t.i. satur to kā nepilngadīgo. Ja tie visi ir nulle, tad matricas rangs ir k.

1. piemērsAtrodiet matricas rangu pēc nepilngadīgo robežu metodes

Risinājums.Sākam ar 1. kārtas nepilngadīgajiem, t.i. no matricas A elementiem. Izvēlēsimies, piemēram, mazo (elementu) М 1 = 1, kas atrodas pirmajā rindā un pirmajā kolonnā. Robežojoties ar otrās rindas un trešās kolonnas palīdzību, iegūstam minoru M 2 = , kas atšķiras no nulles. Tagad mēs pievēršamies 3. kārtas nepilngadīgajiem, kas robežojas ar M 2 . Ir tikai divi no tiem (varat pievienot otro vai ceturto kolonnu). Mēs tos aprēķinām: = 0. Tādējādi visi trešās kārtas pierobežas nepilngadīgie izrādījās vienādi ar nulli. Matricas A rangs ir divi.

Matricas ranga aprēķināšana, izmantojot elementāras transformācijas

ElementāriTiek sauktas šādas matricas transformācijas:

1) jebkuru divu rindu (vai kolonnu) permutācija,

2) rindu (vai kolonnu) reizinot ar skaitli, kas nav nulle,

3) vienai rindai (vai kolonnai) pievienojot citu rindu (vai kolonnu), kas reizināta ar kādu skaitli.

Abas matricas sauc ekvivalents, ja vienu no tiem iegūst no otra ar ierobežotas elementāru pārveidojumu kopas palīdzību.

Ekvivalentās matricas, vispārīgi runājot, nav vienādas, bet to kārtas ir vienādas. Ja matricas A un B ir līdzvērtīgas, tad to raksta šādi: A~b.

Kanonisksmatrica ir matrica, kuras galvenās diagonāles sākumā pēc kārtas ir vairāki 1 (kuru skaits var būt nulle), un visi pārējie elementi ir vienādi ar nulli, piemēram,

Ar elementāru rindu un kolonnu transformāciju palīdzību jebkuru matricu var reducēt uz kanonisku. Kanoniskās matricas rangs ir vienāds ar matricu skaitu tās galvenajā diagonālē.

2. piemērsAtrodiet matricas rangu

un izveidojiet to kanoniskā formā.

Risinājums. Atņemiet pirmo rindu no otrās rindas un pārkārtojiet šīs rindas:

Tagad no otrās un trešās rindas atņemiet pirmo, attiecīgi reizinātu ar 2 un 5:

;

atņemiet pirmo no trešās rindas; mēs iegūstam matricu

kas ir ekvivalents matricai A, jo to iegūst no tās, izmantojot ierobežotu elementāru pārveidojumu kopu. Acīmredzot matricas B rangs ir 2, un līdz ar to r(A)=2. Matricu B var viegli reducēt uz kanonisko. Atņemot pirmo kolonnu, kas reizināta ar piemērotiem skaitļiem, no visiem nākamajiem, mēs visus pirmās rindas elementus, izņemot pirmo, pārvēršam uz nulli, un atlikušo rindu elementi nemainās. Pēc tam, no visiem nākamajiem atņemot otro kolonnu, kas reizināta ar atbilstošajiem skaitļiem, visus otrās rindas elementus, izņemot otro, pagriežam uz nulli un iegūstam kanonisko matricu:

Jebkura matrica A pasūtījums m × n var aplūkot kā kolekciju m rindu vektori vai n kolonnu vektori .

rangs matricas A pasūtījums m × n ir maksimālais lineāri neatkarīgo kolonnu vektoru vai rindu vektoru skaits.

Ja matricas rangs A vienāds r, tad ir rakstīts:

Matricas ranga atrašana

Ļaujiet A patvaļīgas secības matrica m× n. Lai atrastu matricas rangu A piemērot tai Gausa eliminācijas metodi.

Ņemiet vērā: ja kādā izslēgšanas posmā vadošais elements izrādās vienāds ar nulli, tad doto virkni apmainām ar virkni, kurā vadošais elements atšķiras no nulles. Ja izrādās, ka tādas rindas nav, tad pārejam uz nākamo kolonnu utt.

Pēc Gausa eliminācijas kustības uz priekšu iegūstam matricu, kuras elementi zem galvenās diagonāles ir vienādi ar nulli. Turklāt var būt nulles rindu vektori.

Nenulles rindu vektoru skaits būs matricas rangs A.

Apskatīsim to visu ar vienkāršiem piemēriem.

1. piemērs

Reizinot pirmo rindu ar 4 un pievienojot otrajai rindai un reizinot pirmo rindu ar 2 un pievienojot trešajai rindai, mēs iegūstam:

Reiziniet otro rindu ar -1 un pievienojiet to trešajai rindai:

Mēs saņēmām divas rindas, kas nav nulles, un tāpēc matricas rangs ir 2.

2. piemērs

Atrodiet šādas matricas rangu:

Reiziniet pirmo rindu ar -2 un pievienojiet otrajai rindai. Līdzīgi iestatiet pirmās kolonnas trešās un ceturtās rindas elementus uz nulli:

Atiestatīsim otrās kolonnas trešās un ceturtās rindas elementus, pievienojot atbilstošās rindas otrajai rindai, kas reizināta ar skaitli -1.

Definīcija. Matricas rangs ir maksimālais lineāri neatkarīgo rindu skaits, ko uzskata par vektoriem.

1. teorēma par matricas rangu. Matricas rangs ir matricas mazākā, kas nav nulle, maksimālā secība.

Mēs jau esam apsprieduši nepilngadīgā jēdzienu nodarbībā par noteicošajiem faktoriem, un tagad mēs to vispārināsim. Ņemsim dažas rindas un dažas kolonnas matricā, un šim "kaut kam" jābūt mazākam par matricas rindu un kolonnu skaitu, un rindām un kolonnām šim "kaut kam" jābūt vienādam skaitlim. Tad krustpunktā, cik rindu un cik kolonnu būs mazākas kārtas matrica nekā mūsu sākotnējā matrica. Šīs matricas determinants būs k-tās kārtas minors, ja minēto "kaut ko" (rindu un kolonnu skaitu) apzīmē ar k.

Definīcija. Nepilngadīga ( r+1)-tā kārtība, kurā atrodas izvēlētais nepilngadīgais r-th order, tiek saukts par robežojas dotajam nepilngadīgajam.

Divas visbiežāk izmantotās metodes matricas ranga atrašana. to nepilngadīgo maldināšanas veids un elementāru pārveidojumu metode(pēc Gausa metodes).

Nepilngadīgo robežu metode izmanto šādu teorēmu.

2. teorēma par matricas rangu. Ja no matricas elementiem iespējams salikt minoru r kārtu, kas nav vienāda ar nulli, tad matricas rangs ir vienāds ar r.

Izmantojot elementāro pārveidojumu metodi, tiek izmantota šāda īpašība:

Ja ar elementārpārveidojumiem iegūst trapecveida matricu, kas līdzvērtīga oriģinālajai, tad šīs matricas rangs ir rindu skaits tajā, izņemot rindas, kas sastāv tikai no nullēm.

Matricas ranga noteikšana pēc nepilngadīgo robežu metodes

Pierobežas nepilngadīgais ir augstākas kārtas nepilngadīgais attiecībā pret doto, ja šajā augstākas pakāpes nepilngadīgais satur doto nepilngadīgo.

Piemēram, ņemot vērā matricu

Ņemsim nepilngadīgo

apmales būs šādi nepilngadīgie:

Algoritms matricas ranga atrašanai Nākamais.

1. Mēs atrodam otrās kārtas nepilngadīgos, kas nav vienādi ar nulli. Ja visi otrās kārtas nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, tad matricas rangs būs vienāds ar vienu ( r =1 ).

2. Ja eksistē vismaz viens otrās kārtas nepilngadīgais, kas nav vienāds ar nulli, tad sastādam robežojošos trešās kārtas nepilngadīgos. Ja visi trešās kārtas nepilngadīgie ir nulle, tad matricas rangs ir divi ( r =2 ).

3. Ja vismaz viens no blakus esošajiem trešās kārtas nepilngadīgajiem nav vienāds ar nulli, tad mēs sastādam nepilngadīgos, kas robežojas ar to. Ja visi blakus esošie ceturtās kārtas nepilngadīgie ir nulle, tad matricas rangs ir trīs ( r =2 ).

4. Turpiniet tik ilgi, kamēr to atļauj matricas izmērs.

1. piemērs Atrodiet matricas rangu

Risinājums. Otrās kārtas nepilngadīgais .

Mēs to ierāmējam. Būs četri blakus nepilngadīgie:

Tādējādi visi blakus esošās trešās kārtas nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, tāpēc šīs matricas rangs ir divi ( r =2 ).

2. piemērs Atrodiet matricas rangu

Risinājums. Šīs matricas rangs ir 1, jo visi šīs matricas otrās kārtas nepilngadīgie ir vienādi ar nulli (šajā, tāpat kā blakus esošo nepilngadīgo gadījumos nākamajos divos piemēros, dārgie studenti tiek aicināti paši pārliecināties, iespējams izmantojot determinantu aprēķināšanas noteikumus), un starp pirmās kārtas nepilngadīgajiem , tas ir, starp matricas elementiem, nav vienādi ar nulli.

3. piemērs Atrodiet matricas rangu

Risinājums. Šīs matricas otrās kārtas minors ir, un visas šīs matricas trešās kārtas minorās ir nulle. Tāpēc šīs matricas rangs ir divi.

4. piemērs Atrodiet matricas rangu

Risinājums. Šīs matricas rangs ir 3, jo vienīgais šīs matricas trešās kārtas minors ir 3.

Matricas ranga atrašana ar elementāru pārveidojumu metodi (pēc Gausa metodes)

Jau 1. piemērā redzams, ka matricas ranga noteikšanas problēma ar nepilngadīgo robežu metodi prasa lielu determinantu aprēķinu. Tomēr ir veids, kā samazināt aprēķinu apjomu līdz minimumam. Šī metode ir balstīta uz elementāru matricu pārveidojumu izmantošanu un tiek saukta arī par Gausa metodi.

Matricas elementārās transformācijas nozīmē šādas darbības:

1) jebkuras matricas rindas vai kolonnas reizināšana ar skaitli, kas nav nulle;

2) jebkuras matricas rindas vai kolonnas elementiem pievienojot citas rindas vai kolonnas atbilstošos elementus, kas reizināti ar to pašu skaitli;

3) matricas divu rindu vai kolonnu apmaiņa;

4) "nulles" rindu, tas ir, to, kuru visi elementi ir vienādi ar nulli, noņemšana;

5) visu proporcionālo rindu svītrošana, izņemot vienu.

Teorēma. Elementārā transformācija nemaina matricas rangu. Citiem vārdiem sakot, ja mēs izmantojam elementāras transformācijas no matricas A dodieties uz matricu B, tad.

Skaitli r sauc par matricas A rangu, ja:
1) matrica A satur r kārtas minoru, kas nav nulle;
2) visas nepilngadīgās kārtas (r + 1) un augstākas, ja tādas ir, ir vienādas ar nulli.
Pretējā gadījumā matricas rangs ir augstākās pakāpes nepilngadīgais, kas nav nulle.
Apzīmējumi: rangA , r A vai r .
No definīcijas izriet, ka r ir pozitīvs vesels skaitlis. Nulles matricai rangs tiek uzskatīts par nulli.

Pakalpojuma uzdevums. Tiešsaistes kalkulators ir paredzēts, lai atrastu matricas rangs. Risinājums tiek saglabāts Word un Excel formātā. skatiet risinājuma piemēru.

Instrukcija. Izvēlieties matricas izmēru, noklikšķiniet uz Tālāk.

Definīcija . Dota r ranga matrica. Jebkuru mazo matricu, kas nav nulle un kuras secība ir r, sauc par pamata, un tās komponentu rindas un kolonnas sauc par pamata rindām un kolonnām.
Saskaņā ar šo definīciju matricai A var būt vairāki pamata minori.

Identitātes matricas E rangs ir n (rindu skaits).

1. piemērs. Dotas divas matricas, un viņu nepilngadīgajiem , . Kuru no tiem var ņemt par pamatu?
Risinājums. Minorais M 1 =0, tāpēc tas nevar būt par pamatu nevienai no matricām. Minor M 2 =-9≠0 un ir 2. secība, tāpēc to var uzskatīt par A vai/un B bāzes matricām, ja tām ir 2 . Tā kā detB=0 (kā determinants ar divām proporcionālām kolonnām), tad par matricas B bāzes minoru var ņemt rangB=2 un M 2. Matricas A rangs ir 3, jo detA=-27≠ 0 un līdz ar to šīs matricas bāzes minora secībai ir jābūt 3, tas ir, M 2 nav matricas A pamats. Ņemiet vērā, ka matricai A ir unikāla pamata minora, kas vienāda ar matricas A determinantu.

Teorēma (par pamata minoru). Jebkura matricas rinda (kolonna) ir tās pamata rindu (kolonnu) lineāra kombinācija.
Sekas no teorēmas.

Jebkuras (r+1) kolonnas (rindas) matricā ar rangu r ir lineāri atkarīgas.
Ja matricas rangs ir mazāks par tās rindu (kolonnu) skaitu, tad tās rindas (kolonnas) ir lineāri atkarīgas. Ja rangA ir vienāds ar tā rindu (kolonnu) skaitu, tad rindas (kolonnas) ir lineāri neatkarīgas.
Matricas A determinants ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja tās rindas (kolonnas) ir lineāri atkarīgas.
Ja matricas rindai (kolonnai) tiek pievienota cita rinda (kolonna), kas reizināta ar jebkuru skaitli, kas nav nulles, tad matricas rangs nemainīsies.
Ja matricā izsvītrosiet rindu (kolonnu), kas ir citu rindu (kolonnu) lineāra kombinācija, tad matricas rangs nemainīsies.
Matricas rangs ir vienāds ar maksimālo tās lineāri neatkarīgo rindu (kolonnu) skaitu.
Maksimālais lineāri neatkarīgo rindu skaits ir tāds pats kā maksimālais lineāri neatkarīgo kolonnu skaits.

2. piemērs. Atrodiet matricas rangu .
Risinājums. Pamatojoties uz matricas ranga definīciju, mēs meklēsim augstākās kārtas minoru, kas atšķiras no nulles. Pirmkārt, mēs pārveidojam matricu uz vienkāršāku formu. Lai to izdarītu, reiziniet matricas pirmo rindu ar (-2) un pievienojiet otrajai, pēc tam reiziiniet to ar (-1) un pievienojiet trešajai.

Iepriekš kvadrātveida matricai rīkojumā tika ieviests nepilngadīgā jēdziens
elements . Atgādiniet, ka tas bija pasūtījuma noteicēja vārds
, kas iegūts no determinanta
izsvītrot -th līnija un -tā kolonna.

Tagad iepazīstināsim ar vispārējo nepilngadīgā jēdzienu. Apsvērsim dažus ne vienmēr kvadrātveida matrica . Izvēlēsimies dažus rindu numuri
un kolonnu numuri
.

Definīcija. Neliels pasūtījums matricas (atbilst atlasītajām rindām un kolonnām) sauc par secības noteicēju , ko veido elementi, kas stāv atlasīto rindu un kolonnu krustpunktā, t.i. numuru

Katrā matricā ir tik daudz noteiktas kārtas nepilngadīgo Cik dažādos veidos var izvēlēties rindu numurus?
un kolonnas
.

Definīcija. Matricā izmēriem
pasūtīt nepilngadīgo sauca pamata, ja tas atšķiras no nulles, un visas nepilngadīgās kārtas
ir nulle vai nepilngadīgas kārtas
pie matricas noteikti nē.

Ir skaidrs, ka matricā var būt vairāki dažādi pamata nepilngadīgie, taču visiem pamata nepilngadīgajiem ir vienāda secība. Patiešām, ja visi nepilngadīgie kārtībā
ir vienādi ar nulli, tad tie ir vienādi ar nulli un visas kārtas nepilngadīgās
, un līdz ar to arī no visām augstākajām kārtām.

Definīcija. Matricas rangs tiek saukta par pamatnepilngadīgo secību jeb, citiem vārdiem sakot, par lielāko secību, kurai pastāv nepilngadīgie, kas nav nulle. Ja visi matricas elementi ir vienādi ar nulli, tad šādas matricas rangs pēc definīcijas tiek uzskatīts par nulli.

Matricas rangs tiks apzīmēts ar simbolu
. No ranga definīcijas izriet, ka matricai izmēriem
godīga attiecība.

Divi veidi, kā aprēķināt matricas rangu

a) Fringing Minor metode

Lai matricā atrod nepilngadīgo
kārtu, kas atšķiras no nulles. Apsveriet tikai tos nepilngadīgos
-th order, kas satur (surround) minor
: ja tie visi ir nulle, tad matricas rangs ir . Citādi starp blakus esošajiem nepilngadīgajiem ir nepilngadīgais, kas nav nulle
kārtībā, un visa procedūra tiek atkārtota.

9. piemērs . Atrodiet matricas rangu izmantojot robežšķērsojošo nepilngadīgo metodi.

Izvēlamies otrās kārtas nepilngadīgo
. Ir tikai viens trešās kārtas nepilngadīgais, kas robežojas ar izvēlēto nepilngadīgo
. Aprēķināsim.

Tik maznozīmīgs
pamata, un matricas rangs ir vienāds ar tās secību, t.i.

Skaidrs, ka šādā veidā nepilngadīgo šķirošana, meklējot pamatu, ir uzdevums, kas saistīts ar lieliem aprēķiniem, ja matricas izmēri nav ļoti mazi. Tomēr ir vienkāršāks veids, kā atrast matricas rangu - izmantojot elementāras transformācijas.

b) Elementāro pārveidojumu metode

Definīcija. Elementārās matricas transformācijas sauc par šādām transformācijām:

virknes reizināšana ar skaitli, kas nav nulle;

vienai rindai pievienojot vēl vienu rindiņu;

līnijas permutācija;

tās pašas kolonnas transformācijas.

1. un 2. transformācijas tiek veiktas pa elementam.

Apvienojot pirmā un otrā veida transformācijas, jebkurai rindai varam pievienot atlikušo līniju lineāru kombināciju.

Teorēma. Elementāras transformācijas nemaina matricas rangu.

(nav pierādījumu)

Ideja par praktisku metodi matricas ranga aprēķināšanai

slēpjas tajā, ka ar elementāru pārveidojumu palīdzību dotā matrica ved uz skatu

, (5)

kurā "diagonālie" elementi
atšķiras no nulles, un elementi, kas atrodas zem "diagonāles", ir vienādi ar nulli. Sauksim matricu šāda veida trīsstūrveida (citādi to sauc par diagonāli, trapecveida vai kāpnēm). Pēc matricas atnešanas uz trīsstūrveida formu, mēs to varam uzreiz uzrakstīt
.

Patiešām,
(jo elementāras pārvērtības rangu nemaina). Bet matrica ir kārtībā, kas nav nulle minora :

un jebkurš ordeņa nepilngadīgais
satur nulles virkni, un tāpēc tā ir nulle.

Tagad formulēsim praktisku ranga aprēķināšanas noteikums matricas izmantojot elementārās transformācijas: lai atrastu matricas rangu ar elementāru pārveidojumu palīdzību tas jāveido trīsstūrveida formā . Tad matricas rangs būs vienāds ar nulles rindu skaitu iegūtajā matricā .

10. piemērs Atrodiet matricas rangu elementāru pārveidojumu metode

Risinājums.

Apmainīsim pirmo un otro rindu (jo otrās rindas pirmais elements ir −1 un ar to būs ērti veikt transformācijas). Rezultātā mēs iegūstam matricu, kas ir ekvivalenta dotajai.

Apzīmē - matricas rinda - . Sākotnējā matrica ir jāpārveido trīsstūrveida formā. Pirmo rindu uzskatīsim par vadošo, tā piedalīsies visās pārvērtībās, bet pati paliek nemainīga.

Pirmajā posmā mēs veicam transformācijas, kas ļauj iegūt nulles pirmajā kolonnā, izņemot pirmo elementu. Lai to izdarītu, no otrās rindas atņemiet pirmo, reizinot ar 2
, pievienojiet pirmo rindiņu trešajai rindai
, un no trešā mēs atņemam pirmo, reizinot ar 3
Iegūstam matricu, kuras rangs sakrīt ar dotās matricas rangu. Apzīmēsim to ar to pašu burtu :