Die wichtigsten Arten von Grenzen. Online-Rechner

Schauen wir uns anschauliche Beispiele an.

Sei x eine numerische Variable, X der Bereich ihrer Variation. Wenn jeder Nummer x, die zu X gehört, eine bestimmte Nummer y zugeordnet ist, wird gesagt, dass eine Funktion für die Menge X definiert ist, und y \u003d f (x) geschrieben.
  Die Menge X ist in diesem Fall eine Ebene, die aus zwei Koordinatenachsen besteht - 0X und 0Y. Zum Beispiel zeigen wir die Funktion y \u003d x 2. Die Achsen 0X und 0Y bilden X - den Bereich ihrer Änderung. Die Abbildung zeigt deutlich, wie sich die Funktion verhält. In diesem Fall heißt es, dass auf der Menge X die Funktion y \u003d x 2 definiert ist.

Die Menge Y aller Teilwerte einer Funktion wird als Wertemenge f (x) bezeichnet. Mit anderen Worten ist der Wertesatz die Lücke entlang der 0Y-Achse, in der die Funktion definiert ist. Die abgebildete Parabel zeigt deutlich, dass f (x)\u003e 0 ist, weil x2\u003e 0. Daher ist der Wertebereich. Wir betrachten viele Werte von 0Y.

Die Sammlung aller x heißt Definitionsdomäne von f (x). Wir betrachten viele Definitionen in Bezug auf 0X, und in unserem Fall ist der Bereich der zulässigen Werte [-; +].

Ein Punkt a (a gehört zu oder X) wird als Grenzpunkt der Menge X bezeichnet, wenn es in einer Umgebung von a andere Punkte der Menge X als a gibt.

Es ist Zeit zu verstehen - was ist die Grenze einer Funktion?

Es wird nur b gerufen, zu dem die Funktion tendiert, wenn sich x der Zahl a nähert funktionsgrenze. Es ist wie folgt geschrieben:

Zum Beispiel ist f (x) \u003d x 2. Wir müssen herausfinden, wozu die Funktion bei x 2 neigt (nicht gleich ist). Zuerst schreiben wir das Limit:

Schauen wir uns das Diagramm an.

Zeichnen Sie eine Linie parallel zur 0Y-Achse durch Punkt 2 auf der 0X-Achse. Sie wird unseren Graphen am Punkt (2; 4) überqueren. Wir lassen die Senkrechte von diesem Punkt auf die 0Y-Achse fallen und gelangen zu Punkt 4. Dies ist das Ziel unserer Funktion für x 2. Wenn wir den Wert 2 in die Funktion f (x) einsetzen, ist die Antwort dieselbe.

Nun bevor wir weitergehen zu berechnung der GrenzenWir stellen die grundlegenden Definitionen vor.

Eingeführt vom französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy im 19. Jahrhundert.

Angenommen, die Funktion f (x) ist in einem bestimmten Intervall definiert, in dem der Punkt x \u003d A enthalten ist, aber der Wert f (A) muss nicht bestimmt werden.

Dann, nach Cauchys Definition, funktionsgrenze  f (x) wird eine bestimmte Zahl B für x sein, die zu A tendiert, wenn es für jedes C\u003e 0 eine Zahl D\u003e 0 gibt, für die

Das heißt wenn die Funktion f (x) bei x A durch die Grenze B begrenzt ist, wird dies geschrieben als

Sequenzlimit  Eine bestimmte Zahl A wird aufgerufen, wenn für eine beliebige kleine positive Zahl B\u003e 0 eine Zahl N existiert, so dass alle Werte im Fall n\u003e N die Ungleichung erfüllen

Eine solche Grenze hat die Form.

Eine Sequenz mit einer Begrenzung wird als konvergent bezeichnet, wenn nicht divergent.

Wie Sie bereits bemerkt haben, werden Grenzen durch das lim-Symbol angezeigt, unter dem eine Bedingung für die Variable geschrieben wird, und dann ist die Funktion selbst bereits geschrieben. Ein solcher Satz wird als "die Grenze der bereitgestellten Funktion ..." gelesen. Zum Beispiel:

  ist die Grenze der Funktion, da x zu 1 tendiert.

Der Ausdruck "gegen 1 tendieren" bedeutet, dass x sequentiell Werte annimmt, die unendlich nahe bei 1 liegen.

Nun wird klar, dass es zur Berechnung dieser Grenze ausreicht, den Wert 1 anstelle von x einzusetzen:

Zusätzlich zu einem bestimmten numerischen Wert kann x gegen unendlich tendieren. Zum Beispiel:

Der Ausdruck x bedeutet, dass x stetig zunimmt und unendlich nahe an der Unendlichkeit liegt. Wenn Sie also anstelle von x die Unendlichkeit einsetzen, wird deutlich, dass die 1-x-Funktion dazu tendiert, jedoch mit dem entgegengesetzten Vorzeichen:

Auf diese Weise, limitberechnung  Es kommt darauf an, seinen spezifischen Wert oder einen spezifischen Bereich zu finden, in den die Funktion fällt, begrenzt durch die Grenze.

Aus dem Vorstehenden folgt, dass es bei der Berechnung der Grenzwerte wichtig ist, mehrere Regeln zu verwenden:

Realisieren das Wesen der Grenze  und Grundregeln grenzwertberechnungenerhalten Sie einen wichtigen Einblick, wie Sie diese Probleme lösen können. Wenn Ihnen welches Limit Schwierigkeiten bereiten wird, dann schreiben Sie in die Kommentare und wir werden Ihnen sicherlich weiterhelfen.

Hinweis: Die Rechtswissenschaft ist eine Wissenschaft der Gesetze, die bei Konflikten und anderen Lebensproblemen hilft.

Die Grenzwerttheorie ist einer der Zweige der mathematischen Analyse. Die Frage des Lösens von Grenzen ist sehr umfangreich, da es Dutzende von Methoden zum Lösen von Grenzen verschiedener Art gibt. Es gibt Dutzende von Nuancen und Tricks, um dieses oder jenes Limit zu lösen. Trotzdem versuchen wir immer noch, die grundlegenden Arten von Grenzwerten zu verstehen, die in der Praxis am häufigsten anzutreffen sind.

Beginnen wir mit dem Begriff Limit. Aber zuerst ein kurzer historischer Hintergrund. Es war einmal im 19. Jahrhundert der Franzose Augustin Louis Cauchy, der den Grundstein für die mathematische Analyse legte und strenge Definitionen gab, insbesondere die Definition der Grenze. Ich muss sagen, dass dieserselbe Cauchy in Albträumen aller Studenten der Fachbereiche Physik und Mathematik geträumt, geträumt und geträumt hat, da er eine Vielzahl von Theoremen der mathematischen Analyse bewiesen hat und ein Theorem widerlicher ist als das andere. In diesem Zusammenhang werden wir keine strenge Definition des Grenzwerts in Betracht ziehen, sondern versuchen, zwei Dinge zu tun:

1. Verstehe, was die Grenze ist.
2. Lernen Sie, die wichtigsten Arten von Grenzen zu lösen.

Ich entschuldige mich für einige unwissenschaftliche Erklärungen, es ist wichtig, dass das Material auch für die Teekanne verständlich ist, was in der Tat die Aufgabe des Projekts ist.

Was ist die Grenze?

Und gleich ein Beispiel dafür, was eine Großmutter zerfetzt ...

Jedes Limit besteht aus drei Teilen.:

1) Jeder kennt das Limitsymbol.
   2) In diesem Fall Einträge unter dem Limit-Symbol. Der Datensatz lautet "X strebt nach Einheit". Meistens ist dies der Fall, obwohl es in der Praxis anstelle des „X“ andere Variablen gibt. In praktischen Aufgaben kann anstelle einer Einheit absolut jede Zahl sowie unendlich () stehen.
   3) Funktioniert in diesem Fall unter dem Grenzwertzeichen.

Notieren Sie sich   lautet wie folgt: "die Funktionsgrenze mit x zur Einheit tendierend."

Untersuchen wir die folgende wichtige Frage: Was bedeutet der Ausdruck "X"? sucht  zur Einheit? Und wonach strebt man?
   Der Begriff der Grenze ist sozusagen ein Begriff, dynamisch. Erstellen Sie die Sequenz: zuerst, dann ,, ..., , ….
   Das heißt, der Ausdruck "x sucht  zur Einheit "sollte wie folgt verstanden werden -" x "nimmt sequentiell Werte an, die der Einheit unendlich nahe sind und praktisch mit ihr zusammenfallen.

Wie löse ich das obige Beispiel? Auf der Grundlage des Vorstehenden müssen Sie nur die Einheit in der Funktion unter dem Grenzwertzeichen ersetzen:

Also, die erste Regel:   Wenn ein Limit angegeben ist, versuchen wir zunächst, eine Zahl in der Funktion zu ersetzen.

Wir haben die einfachste Grenze in Betracht gezogen, aber solche sind in der Praxis im Übrigen nicht so selten anzutreffen!

Beispiel mit unendlich:

Wir verstehen was ist? Dies ist der Fall, wenn es unbegrenzt wächst, dh zuerst, dann, dann und so weiter bis ins Unendliche.

Und was passiert mit der Funktion zu diesem Zeitpunkt?
, , , …

Also: wenn ja, dann geht die Funktion gegen unendlich:

Grob gesagt ersetzen wir nach unserer ersten Regel die Funktion „x“ durch unendlich und erhalten die Antwort.

Ein weiteres Beispiel mit unendlich:

Wieder beginnen wir, bis ins Unendliche zu wachsen und betrachten das Verhalten der Funktion:

Fazit: Wenn die Funktion unbegrenzt zunimmt:

Und eine Reihe von Beispielen:

Bitte versuchen Sie, Folgendes unabhängig zu analysieren und die einfachsten Arten von Grenzwerten zu berücksichtigen:

, , , , , , , , ,
   Wenn es irgendwo Zweifel gibt, können Sie einen Taschenrechner nehmen und ein wenig üben.
   Versuchen Sie in diesem Fall, eine Sequenz zu erstellen ,,. Wenn ja, dann ,,.

Hinweis: Genau genommen ist ein solcher Ansatz zum Aufbau von Folgen mehrerer Zahlen nicht korrekt, eignet sich jedoch zum Verständnis der einfachsten Beispiele.

Achten Sie auch auf Folgendes. Selbst wenn ein Limit mit einer großen Zahl an der Spitze und sogar mit einer Million: gegeben ist, dann trotzdem , denn früher oder später wird "X" solch gigantische Werte annehmen, dass eine Million im Vergleich dazu eine echte Mikrobe sein wird.

Woran müssen Sie sich erinnern und was müssen Sie von oben verstehen?

1) Wenn ein Limit angegeben ist, versuchen wir zunächst, eine Zahl in der Funktion zu ersetzen.

2) Sie müssen die einfachsten Grenzen verstehen und sofort festlegen, wie z , , usw.

Wir betrachten nun die Grenzwertgruppe, bei der es sich bei der Funktion um einen Bruch handelt, bei dem Zähler und Nenner Polynome sind

Ein Beispiel:

Limit berechnen

Gemäß unserer Regel werden wir versuchen, eine Funktion durch eine Unendlichkeit zu ersetzen. Was bekommen wir oben? Unendlichkeit. Und was passiert unten? Auch die Unendlichkeit. Wir haben also die sogenannte Artenunsicherheit. Man würde denken, dass die Antwort fertig ist, aber im allgemeinen Fall ist dies überhaupt nicht der Fall, und es muss eine Lösung angewendet werden, die wir jetzt betrachten werden.

Wie löst man die Grenzen dieses Typs?

Zuerst schauen wir uns den Zähler an und stellen in höherem Maße fest:

   Der höchste Grad im Zähler ist zwei.

Nun schauen wir auf den Nenner und finden auch im höchsten Maße:

   Der höchste Grad des Nenners ist zwei.

Dann wählen wir den ältesten Grad des Zählers und Nenners: In diesem Beispiel stimmen sie überein und sind gleich zwei.

Die Lösungsmethode lautet also wie folgt: Um die Unsicherheit aufzudecken, ist es notwendig, den Zähler und den Nenner durch den höchsten Grad zu teilen.

Hier ist es die Antwort und überhaupt nicht die Unendlichkeit.

Was ist beim Entwerfen einer Lösung von grundlegender Bedeutung?

Geben Sie zunächst an, ob eine Unsicherheit vorliegt.

Zweitens ist es ratsam, die Entscheidung für Zwischenerklärungen zu unterbrechen. Ich benutze normalerweise ein Zeichen, es hat keine mathematische Bedeutung, sondern bedeutet, dass die Entscheidung für eine Zwischenerklärung unterbrochen wird.

Drittens ist es im Grenzfall wünschenswert zu markieren, was und wo gesucht wird. Wenn die Arbeit von Hand erledigt ist, ist es bequemer, dies zu tun:

   Für Notizen ist es besser, einen einfachen Stift zu verwenden.

Natürlich können Sie nichts dagegen tun, aber dann bemerkt der Lehrer möglicherweise die Fehler in der Entscheidung oder fängt an, zusätzliche Fragen zur Aufgabe zu stellen. Brauchst du es

Beispiel 2

Finden Sie die Grenze
   Auch hier finden wir in Zähler und Nenner in höherem Maße:

   Der maximale Grad im Zähler: 3
   Der maximale Grad im Nenner: 4
   Wählen Sie das größte  Wert, in diesem Fall vier.
   Um die Unsicherheit aufzudecken, dividieren wir gemäß unserem Algorithmus den Zähler und den Nenner durch.
   Das vollständige Design der Aufgabe könnte folgendermaßen aussehen:

Teilen Sie Zähler und Nenner durch

Beispiel 3

Finden Sie die Grenze
   Der maximale Grad von "X" im Zähler: 2
   Der maximale Grad von "x" im Nenner: 1 (kann geschrieben werden als)
   Um Unsicherheiten aufzudecken, müssen Zähler und Nenner durch geteilt werden. Eine saubere Lösung könnte folgendermaßen aussehen:

Teilen Sie Zähler und Nenner durch

Ein Datensatz bedeutet nicht Division durch Null (Sie können nicht durch Null teilen), sondern Division durch eine unendlich kleine Zahl.

Wenn wir also die Unsicherheit der Spezies offenlegen, können wir bekommen endliche ZahlNull oder unendlich.

Grenzen mit Typunsicherheit und Methode zu deren Lösung

Die folgende Gruppe von Grenzwerten ähnelt in gewisser Weise den gerade betrachteten Grenzwerten: Polynome stehen im Zähler und Nenner, aber das „X“ tendiert nicht mehr zur Unendlichkeit, sondern zu endgültige Nummer.

Beispiel 4

Bestimmen Sie das Limit
   Versuchen Sie zunächst, -1 in der Fraktion zu ersetzen:

   In diesem Fall wird die sogenannte Unsicherheit erhalten.

Allgemeine Regel: Wenn der Zähler und der Nenner Polynome enthalten und es Unsicherheiten in der Form gibt, dann für die Offenlegung sie müssen den Zähler und Nenner faktorisieren.

Dazu müssen Sie meistens die quadratische Gleichung lösen und (oder) die Formeln der abgekürzten Multiplikation verwenden. Wenn diese Dinge vergessen sind, dann besuchen Sie die Seite Mathematische Formeln und Tabellen  und lesen Sie das Lehrmaterial Heiße Mathekursformeln. Übrigens ist es am besten, es zu drucken, es wird sehr oft benötigt und Informationen aus Papier werden besser absorbiert.

Also entscheiden wir unser Limit

Faktor der Zähler und Nenner

Um den Zähler zu faktorisieren, müssen Sie die quadratische Gleichung lösen:

   Zuerst finden wir die Diskriminante:

   Und die Quadratwurzel davon:

Wenn die Diskriminante groß ist, zum Beispiel 361, verwenden wir einen Taschenrechner, die Quadratwurzel-Extraktionsfunktion befindet sich auf dem einfachsten Taschenrechner.

! Wenn die Wurzel nicht vollständig extrahiert wird (es ergibt sich eine gebrochene Zahl mit einem Komma), ist es sehr wahrscheinlich, dass die Diskriminante falsch oder in der Tippfehleraufgabe berechnet wurde.

Als nächstes finden wir die Wurzeln:

Auf diese Weise:

Das ist alles. Der Zähler wird faktorisiert.

Nenner. Der Nenner ist bereits der einfachste Faktor und kann in keiner Weise vereinfacht werden.

Offensichtlich kann dies reduziert werden durch:

Jetzt setzen wir -1 in den Ausdruck ein, der unter dem Begrenzungszeichen bleibt:

Natürlich wird im Test, im Test, in der Prüfung die Entscheidung niemals so detailliert beschrieben. In der endgültigen Version sollte das Design ungefähr so \u200b\u200baussehen:

Faktor der Zähler.

Beispiel 5

Limit berechnen

Erstens, die "Finish" -Lösung

Faktor der Zähler und Nenner.

Zähler:
   Nenner:



,

Was ist in diesem Beispiel wichtig?
   Zuallererst sollten Sie ein gutes Verständnis dafür haben, wie der Zähler angegeben wird. Zuerst setzen wir 2 aus der Klammer und verwenden dann die Formel der Differenz der Quadrate. Diese Formel muss bekannt und gesehen werden.

Typ- und Artenunsicherheiten sind die häufigsten Unsicherheiten, die bei der Lösung von Grenzwerten offengelegt werden müssen.

Die meisten Aufgaben, die an die Grenzen der Schüler stoßen, sind mit solchen Unsicherheiten behaftet. Für ihre Offenlegung oder genauer gesagt zur Vermeidung von Unsicherheiten gibt es verschiedene künstliche Techniken, um die Art des Ausdrucks unter das Grenzwertzeichen zu transformieren. Diese Methoden lauten wie folgt: Division des Zählers und Nenners durch den höchsten Grad der Variablen, Multiplikation mit dem konjugierten Ausdruck und Faktorisierung zur anschließenden Reduktion unter Verwendung von Lösungen quadratischer Gleichungen und Formeln der abgekürzten Multiplikation.

Artenunsicherheit

Beispiel 1

n  ist gleich 2. Teilen Sie daher Zähler und Nenner durch:

.

Kommentar auf der rechten Seite des Ausdrucks. Pfeile und Zahlen geben an, was die Fraktion nach der Substitution sucht n  Unendlichkeitswerte. Hier wie in Beispiel 2 der Grad n  es gibt mehr im Nenner als im Zähler, wodurch der ganze Bruch zu einem infinitesimalen Wert oder einer "superkleinen Zahl" tendiert.

Wir bekommen die Antwort: Die Grenze dieser Funktion für eine Variable, die gegen unendlich tendiert, ist gleich.

Beispiel 2 .

Lösung. Hier ist der höchste Grad der Variablen x  ist gleich 1. Deshalb teilen wir Zähler und Nenner terminativ durch x:

Kommentar zum Verlauf der Entscheidung. Im Zähler treiben wir das „X“ unter die Wurzel des dritten Grades und weisen ihm den gleichen Grad wie der Wurzel zu, dh 3. Der Schütze und die zusätzlichen Zahlen sind in diesem Eintrag nicht mehr enthalten, also versuchen Sie es mental, aber in Analogie zum vorherigen Beispiel, um zu bestimmen, zu welchen Ausdrücken im Zähler und Nenner nach dem Ersetzen von Unendlich anstelle von "x" tendiert.

Wir haben die Antwort: Die Grenze dieser Funktion für eine Variable, die gegen unendlich tendiert, ist Null.

Artenunsicherheit

Beispiel 3Decken Sie Unsicherheit auf und finden Sie die Grenze.

Lösung. Im Zähler steht die Differenz der Würfel. Wir zerlegen es in Faktoren mit der Formel der abgekürzten Multiplikation aus dem Kurs der Schulmathematik:

Im Nenner steht das quadratische Trinom, das wir durch Lösen der quadratischen Gleichung ausrechnen (noch einmal Bezug auf die Lösung quadratischer Gleichungen):

Wir schreiben den Ausdruck auf, der sich aus den Transformationen ergibt, und finden die Grenze der Funktion:

Beispiel 4  Decken Sie Unsicherheit auf und finden Sie die Grenze

Lösung. Der Quotientenbegrenzungssatz ist hier nicht anwendbar, da

Daher transformieren wir den Bruch identisch: Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem binomischen Konjugat zum Nenner und reduzieren Sie um x  +1 Nach der Folgerung aus Satz 1 erhalten wir einen Ausdruck, der löst, wobei wir die gewünschte Grenze finden:

Beispiel 5  Decken Sie Unsicherheit auf und finden Sie die Grenze

Lösung. Direkte Substitution x  \u003d 0 in eine gegebene Funktion führt zu einer Unsicherheit der Form 0/0. Um dies zu verdeutlichen, führen wir die identischen Transformationen durch und erhalten das gewünschte Limit als Ergebnis:

Beispiel 6  Berechnen

Lösung:  Wir verwenden die Grenzwertsätze

Die Antwort lautet: 11

Beispiel 7  Berechnen

Lösung:  In diesem Beispiel sind die Grenzen des Zählers und Nenners für 0:

;   . Daher haben wir den Satz über die Grenze des Quotienten erhalten, der nicht angewendet werden kann.

Wir faktorisieren den Zähler und den Nenner, um den Bruch um einen gemeinsamen Faktor zu verringern, der gegen Null tendiert, und ermöglichen daher die Anwendung von Satz 3.

Wir zerlegen das quadratische Trinom im Zähler nach der Formel, wobei x 1 und x 2 die Wurzeln des Trinoms sind. Durch Faktorisierung und Nenner reduzieren wir den Bruch um (x-2), dann wenden wir Satz 3 an.

Die Antwort lautet:

Beispiel 8  Berechnen

Lösung:  Wenn der Zähler und der Nenner gegen Unendlich tendieren, erhalten wir daher bei direkter Anwendung von Satz 3 einen Ausdruck, der Unsicherheit darstellt. Um die Unsicherheiten dieser Art zu beseitigen, sollten Zähler und Nenner in den höchsten Grad des Arguments unterteilt werden. In diesem Beispiel müssen Sie durch teilen x:

Die Antwort lautet:

Beispiel 9  Berechnen

Lösung: x 3:

Die Antwort lautet: 2

Beispiel 10  Berechnen

Lösung: Wenn Zähler und Nenner gegen unendlich tendieren. Teilen Sie den Zähler und den Nenner durch den höchsten Grad des Arguments, d. H. x 5:

=

der Zähler des Bruchs tendiert zu 1, der Nenner zu 0, also tendiert der Bruch zur Unendlichkeit.

Die Antwort lautet:

Beispiel 11  Berechnen

Lösung: Wenn Zähler und Nenner gegen unendlich tendieren. Teilen Sie den Zähler und den Nenner durch den höchsten Grad des Arguments, d. H. x 7:

Die Antwort lautet: 0

Derivat.

Die Ableitung der Funktion y \u003d f (x) in Bezug auf das Argument xdie Grenze des Verhältnisses seines Inkrements y zum Inkrement x des Arguments x wird aufgerufen, wenn das Inkrement des Arguments gegen Null geht. Wenn diese Grenze endlich ist, dann ist die Funktion y \u003d f (x)wird am Punkt x differenzierbar genannt. Wenn diese Grenze existiert, dann sagen sie, dass die Funktion y \u003d f (x)  hat eine unendliche Ableitung bei x.

Ableitungen von elementaren Grundfunktionen:

1. (const) \u003d 09.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Differenzierungsregeln:

a)

c)

Beispiel 1  Finden Sie die abgeleitete Funktion

Lösung:  Finden wir die Ableitung des zweiten Terms nach der Bruchdifferenzierungsregel, so ist der erste Term eine komplexe Funktion, deren Ableitung sich nach der Formel ergibt:

Wo denn?

Beim Lösen wurden die Formeln verwendet: 1,2,10, a, c, d.

Die Antwort lautet:

Beispiel 21  Finden Sie die abgeleitete Funktion

Lösung:  beide begriffe sind komplexe funktionen, wobei für die erste ,, und für die zweite ,, dann

Die Antwort lautet:

Derivative Anwendungen.

1. Geschwindigkeit und Beschleunigung

Lassen Sie die Funktion s (t) beschreiben position  Objekt in einem Koordinatensystem zum Zeitpunkt t. Dann ist die erste Ableitung der Funktion s (t) augenblicklich geschwindigkeit  Objekt:
  v \u003d s '\u003d f' (t)
  Die zweite Ableitung der Funktion s (t) ist das Momentan beschleunigung  Objekt:
  w \u003d v '\u003d s' '\u003d f' '(t)

2. Tangentialgleichung
  y - y0 \u003d f '(x0) (x - x0),
  wobei (x0, y0) die Koordinaten des Tangentenpunktes sind, f '(x0) der Wert der Ableitung der Funktion f (x) am Tangentenpunkt ist.

3. Normale Gleichung
  y - y0 \u003d –1f '(x0) (x - x0),

wo (x0, y0) die Koordinaten des Punktes sind, an dem die Normale gezeichnet wird, ist f '(x0) der Wert der Ableitung der Funktion f (x) an einem gegebenen Punkt.

4. Funktion erhöhen und verringern
  Ist f (x0)\u003e 0, so erhöht sich die Funktion am Punkt x0. In der folgenden Abbildung nimmt die Funktion bei x zu x2.
  Wenn f (x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1  Wenn f (x0) \u003d 0 ist oder die Ableitung nicht existiert, erlaubt uns dieses Merkmal nicht, die Art der Monotonie der Funktion am Punkt x0 zu bestimmen.

5. Lokale Funktionsextreme
  Die Funktion f (x) hat lokales Maximum  bei x1, wenn es eine Nachbarschaft von x1 gibt, so dass f (x1) ≥ f (x) für alle x aus dieser Nachbarschaft ist.
  Ebenso hat die Funktion f (x) lokales Minimum  bei x2, wenn es eine Nachbarschaft von x2 gibt, so dass f (x2) ≤ f (x) für alle x aus dieser Nachbarschaft ist.

6. Kritische Punkte
  Punkt x0 ist kritischer Punkt  Funktion f (x), wenn die Ableitung f '(x0) darin gleich Null ist oder nicht existiert.

7. Das erste ausreichende Zeichen für die Existenz eines Extremums
  Wenn die Funktion f (x) für alle x in einem bestimmten Intervall (a, x1] zunimmt (f ′ (x)\u003e 0) und abnimmt (f ′ (x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) für alle x aus dem Intervall)