Wie man lim Beispiele findet. So lösen Sie Grenzen für Dummies

Grenzwerttheorie - Einer der Abschnitte der mathematischen Analyse, den man beherrschen kann, andere berechnen kaum die Grenzen. Die Frage, die Grenzen zu finden, ist ziemlich allgemein, da es Dutzende von Techniken gibt lösungsgrenzen von verschiedenen Arten. Die gleichen Grenzen können sowohl nach der Regel von L'Hôpital als auch ohne diese gefunden werden. Es kommt vor, dass Sie mit einem Zeitplan in einer Reihe von unendlich kleinen Funktionen schnell das gewünschte Ergebnis erzielen können. Es gibt eine Reihe von Techniken und Tricks, um die Grenze einer Funktion beliebiger Komplexität zu finden. In diesem Artikel werden wir versuchen, die wichtigsten Arten von Grenzwerten zu verstehen, die in der Praxis am häufigsten auftreten. Wir werden hier nicht die Theorie und Definition der Grenze geben, es gibt viele Ressourcen im Internet, in denen dies gekaut wird. Kommen wir also zu den praktischen Berechnungen. Hier heißt es: "Ich weiß es nicht! Ich weiß nicht wie! Wir wurden nicht unterrichtet!"

Berechnen von Grenzen durch Substitution

Beispiel 1. Finden Sie die Grenze einer Funktion
Lim ((x ^ 2-3 * x) / (2 * x + 5), x \u003d 3).
Lösung: Beispiele dieser Art werden theoretisch durch gewöhnliche Substitution berechnet

Das Limit ist 18/11.
Innerhalb solcher Grenzen gibt es nichts Kompliziertes und Kluges - sie haben den berechneten Wert ersetzt und die Grenze als Antwort aufgeschrieben. Auf der Grundlage solcher Grenzen wird jedoch jedem beigebracht, dass das erste, was zu tun ist, darin besteht, einen Wert in eine Funktion einzusetzen. Ferner sind die Grenzen kompliziert, das Konzept der Unendlichkeit, Unsicherheit und dergleichen wird eingeführt.

Teilen Sie die Grenze mit Unbestimmtheit wie Unendlichkeit durch Unendlichkeit. Techniken zur Offenlegung von Unsicherheiten

Beispiel 2. Finden Sie die Grenze einer Funktion
Lim ((x ^ 2 + 2x) / (4x ^ 2 + 3x-4), x \u003d unendlich).
Lösung: Eine Grenze für die Form eines Polynoms wird festgelegt, durch ein Polynom geteilt, und die Variable tendiert gegen unendlich

Eine einfache Ersetzung des Wertes, bis zu dem die Variable gefunden werden sollte, um die Grenzen zu finden, hilft nicht, wir erhalten eine Unsicherheit der Form unendlich geteilt durch unendlich.
Schweißgrenzwerttheorie Der Algorithmus zur Berechnung des Grenzwerts besteht darin, den größten Grad "x" im Zähler oder Nenner zu finden. Ferner werden der Zähler und der Nenner dadurch vereinfacht und die Grenze der Funktion gefunden

Da der Wert mit einer Variablen bis unendlich gegen Null tendiert, werden sie vernachlässigt oder im endgültigen Ausdruck in Form von Nullen geschrieben

Unmittelbar aus der Praxis können Sie zwei Schlussfolgerungen ziehen, die einen Hinweis in den Berechnungen darstellen. Wenn die Variable gegen unendlich tendiert und der Grad des Zählers größer als der Grad des Nenners ist, ist die Grenze gleich unendlich. Andernfalls ist die Grenze Null, wenn das Polynom im Nenner von höherer Ordnung ist als im Zähler.
Die Grenze kann durch folgende Formeln geschrieben werden

Wenn wir eine Funktion der Form eines gewöhnlichen Protokolls ohne Brüche haben, ist seine Grenze gleich unendlich

Die nächste Art der Begrenzung betrifft das Verhalten von Funktionen nahe Null.

Beispiel 3. Finden Sie die Grenze einer Funktion
Lim ((x ^ 2 + 3x-5) / (x ^ 2 + x + 2), x \u003d 0).
Lösung: Hier muss nicht der höchste Faktor des Polynoms herausgenommen werden. Im Gegenteil, Sie müssen den kleinsten Grad des Zählers und Nenners finden und den Grenzwert berechnen

X-Wert ^ 2; x tendiert gegen Null, wenn die Variable gegen Null tendiert. Daher werden sie vernachlässigt, also erhalten wir

dass die Grenze 2,5 ist.

Jetzt wissen Sie wie man die Grenze einer Funktion findet der Form Polynom geteilt durch ein Polynom, wenn die Variable gegen unendlich oder 0 tendiert. Dies ist jedoch nur ein kleiner und einfacher Teil der Beispiele. Aus dem folgenden Material lernen Sie wie man die Unsicherheiten der Grenzen einer Funktion offenlegt.

Limit mit Unsicherheit vom Typ 0/0 und Berechnungsmethoden

Jeder erinnert sich sofort an die Regel, nach der man nicht durch Null teilen kann. Die Grenzwerttheorie bedeutet in diesem Zusammenhang jedoch infinitesimale Funktionen.
Schauen wir uns zur Verdeutlichung einige Beispiele an.

Beispiel 4. Finden Sie die Grenze einer Funktion
Lim ((3x ^ 2 + 10x + 7) / (x + 1), x \u003d -1).
Lösung: Wenn Sie den Wert der Variablen x \u003d -1 in den Nenner einsetzen, erhalten Sie Null, genau wie im Zähler. Also haben wir unsicherheit der Form 0/0.
Der Umgang mit dieser Unsicherheit ist einfach: Sie müssen das Polynom herausrechnen oder vielmehr den Faktor auswählen, der die Funktion auf Null setzt.

Nach der Zerlegung kann die Grenze der Funktion wie folgt geschrieben werden

Das ist die ganze Technik zur Berechnung der Grenze einer Funktion. Wir tun dasselbe, wenn es eine Grenze für die Form eines Polynoms gibt, die durch ein Polynom geteilt wird.

Beispiel 5. Finden Sie die Grenze einer Funktion
Lim ((2x ^ 2-7x + 6) / (3x ^ 2-x-10), x \u003d 2).
Lösung: Vorwärtssubstitution zeigt
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
was wir haben unsicherheitstyp 0/0.
Teilen Sie die Polynome durch einen Faktor, der die Singularität einführt


Es gibt Lehrer, die lehren, dass Polynome 2. Ordnung, dh der Form "quadratische Gleichungen", durch die Diskriminante gelöst werden sollten. Die Praxis zeigt jedoch, dass es länger und verwirrender ist. Entfernen Sie daher die Funktionen innerhalb des angegebenen Algorithmus. Wir schreiben also die Funktion in Form von Primfaktoren und zählen sie im Limit auf

Wie Sie sehen, ist die Berechnung solcher Grenzwerte nicht schwierig. Zum Zeitpunkt des Studiums der Grenzen wissen Sie, wie man Polynome teilt, zumindest entsprechend dem Programm, das Sie bereits bestanden haben sollten.
Unter den Aufgaben für unsicherheitstyp 0/0es gibt solche, in denen Sie die abgekürzten Multiplikationsformeln anwenden müssen. Wenn Sie sie jedoch nicht kennen, können Sie durch Teilen eines Polynoms durch ein Monom die erforderliche Formel erhalten.

Beispiel 6. Finden Sie die Grenze einer Funktion
Lim ((x ^ 2-9) / (x-3), x \u003d 3).
Lösung: Wir haben eine Unsicherheit vom Typ 0/0. Im Zähler wenden wir die Formel für die reduzierte Multiplikation an

und berechnen Sie die erforderliche Grenze

Verfahren zur Offenlegung von Unsicherheit durch Multiplikation mit dem Konjugat

Die Methode wird auf die Grenzen angewendet, in denen die Unsicherheiten irrationale Funktionen erzeugen. Der Zähler oder Nenner wird am Berechnungspunkt Null und es ist nicht bekannt, wie der Rand zu finden ist.

Beispiel 7. Finden Sie die Grenze einer Funktion
Lim ((sqrt (x + 2) -sqrt (7x-10)) / (3x-6), x \u003d 2).
Entscheidung:Wir repräsentieren die Variable in der Grenzwertformel

Die Substitution ergibt eine Unsicherheit vom Typ 0/0.
Nach der Grenzwerttheorie besteht das Schema zur Umgehung dieses Merkmals darin, den irrationalen Ausdruck mit dem Konjugat zu multiplizieren. Damit sich der Ausdruck nicht ändert, muss der Nenner durch denselben Wert geteilt werden

Durch die Regel der Differenz der Quadrate vereinfachen wir den Zähler und berechnen die Grenze der Funktion

Wir vereinfachen die Begriffe, die eine Singularität im Limit erzeugen, und führen die Substitution durch

Beispiel 8. Finden Sie die Grenze einer Funktion
Lim ((sqrt (x-2) -sqrt (2x-5)) / (3-x), x \u003d 3).
Lösung: Die Vorwärtssubstitution zeigt, dass das Limit ein Merkmal der Form 0/0 hat.

Um zu erweitern, multiplizieren und dividieren wir durch das Konjugat zum Zähler

Den Unterschied der Quadrate schreiben

Wir vereinfachen die Begriffe, die die Singularität einführen, und finden die Grenze der Funktion

Beispiel 9. Finden Sie die Grenze einer Funktion
Lim ((x ^ 2 + x-6) / (sqrt (3x-2) -2), x \u003d 2).
Lösung: Ersetzen Sie 2 in der Formel

Wir bekommen unsicherheit 0/0.
Der Nenner muss mit dem konjugierten Ausdruck multipliziert werden, und im Zähler müssen Sie die quadratische Gleichung lösen oder unter Berücksichtigung der Singularität in Faktoren zerlegen. Da bekannt ist, dass 2 eine Wurzel ist, finden wir die zweite Wurzel nach Vietas Theorem

Also schreiben wir den Zähler in die Form

und im Limit ersetzen

Indem wir den Unterschied in den Quadraten verringern, werden die Singularitäten im Zähler und Nenner beseitigt

Auf diese Weise können Sie die Singularität in vielen Beispielen beseitigen, und die Anwendung sollte überall dort notiert werden, wo die angegebene Wurzeldifferenz beim Ersetzen zu Null wird. Andere Arten von Grenzwerten betreffen Exponentialfunktionen, Infinitesimalfunktionen, Logarithmen, spezielle Grenzwerte und andere Techniken. Sie können dies jedoch in den unten aufgeführten Artikeln zu den Grenzwerten nachlesen.

Anwendung

Online-Beschränkungen der Website für die vollständige Konsolidierung des übergebenen Materials durch Schüler und Schüler. Wie finde ich das Limit online mithilfe unserer Ressource? Dies ist sehr einfach. Sie müssen lediglich die ursprüngliche Funktion mit der Variablen x korrekt schreiben, die gewünschte Unendlichkeit aus dem Selektor auswählen und die Taste "Lösung" drücken. Wenn die Grenze einer Funktion an einem Punkt x berechnet werden muss, müssen Sie den numerischen Wert dieses Punkts angeben. Sie erhalten die Antwort auf die Lösung des Limits in Sekundenschnelle, mit anderen Worten, sofort. Wenn Sie jedoch falsche Daten angeben, werden Sie vom Dienst automatisch über einen Fehler informiert. Korrigieren Sie die zuvor eingegebene Funktion und erhalten Sie die richtige Lösung bis zum Limit. Um die Grenzen zu lösen, werden alle möglichen Tricks verwendet, insbesondere die Methode des L'Hôpital, da sie universell ist und schneller zu einer Antwort führt als andere Methoden zur Berechnung der Grenze einer Funktion. Es ist interessant, Beispiele zu betrachten, in denen das Modul vorhanden ist. Übrigens wird das Modul gemäß den Regeln unserer Ressource durch die vertikale Linie "|" gekennzeichnet. oder Abs (f (x)) aus dem lateinischen Absolut. Oft ist eine Lösung des Grenzwerts erforderlich, um die Summe einer Zahlenfolge zu berechnen. Wie jeder weiß, müssen Sie nur die Teilsumme der untersuchten Sequenz korrekt ausdrücken, und dann ist dank unseres kostenlosen Website-Service alles viel einfacher, da die Berechnung des Grenzwerts aus der Teilsumme die Endsumme der numerischen Sequenz ist. Im Allgemeinen ist die Theorie des Übergangs an die Grenze das Grundkonzept aller mathematischen Analysen. Alles basiert genau auf dem Übergang zur Grenze, dh die Lösung der Grenzen wird in die Grundlage der Wissenschaft der mathematischen Analyse gelegt. Bei der Integration wird der Übergang zur Grenze auch verwendet, wenn das Integral gemäß der Theorie als die Summe einer unbegrenzten Anzahl von Bereichen dargestellt wird. Wo es eine unbegrenzte Anzahl von etwas gibt, dh die Tendenz der Anzahl von Objekten zur Unendlichkeit, dann tritt immer die Theorie der Grenzübergänge in Kraft, und in der allgemein akzeptierten Form ist dies eine Lösung für die bekannten Grenzen. Online-Lösung von Beschränkungen auf der Website Die Website ist ein einzigartiger Dienst, um eine genaue und sofortige Antwort in Echtzeit zu erhalten. Die Grenze einer Funktion (Grenzwert einer Funktion) an einem bestimmten Punkt, die für den Bereich der Funktion begrenzt ist, ist ein solcher Wert, zu dem der Wert der betrachteten Funktion tendiert, wenn ihr Argument zu einem bestimmten Punkt tendiert. Es ist nicht ungewöhnlich, und wir würden sogar sehr oft sagen, dass Studenten die Frage haben, Online-Grenzen zu lösen, wenn sie mathematische Analysen studieren. Wenn Sie sich fragen, ob Sie ein Limit online nur in besonderen Fällen mit einer detaillierten Lösung lösen möchten, wird deutlich, dass es unmöglich ist, eine komplexe Aufgabe ohne Verwendung eines berechnenden Limit-Rechners zu bewältigen. Die Lösung der Grenzen durch unseren Service ist eine Garantie für Genauigkeit und Einfachheit. Die Grenze einer Funktion ist eine Verallgemeinerung des Begriffs einer Grenze einer Sequenz: Zunächst wurde die Grenze einer Funktion an einem Punkt als die Grenze einer Folge von Elementen des Wertebereichs einer Funktion verstanden, die sich aus Bildern von Punkten einer Folge von Elementen des Bereichs der Definition einer Funktion zusammensetzt, die gegen einen bestimmten Punkt konvergieren (die Grenze bei was in Betracht gezogen wird); Wenn eine solche Grenze besteht, konvergiert die Funktion gegen den angegebenen Wert. Wenn eine solche Grenze nicht existiert, wird die Funktion als divergierend bezeichnet. Das Lösen der Limits online für Benutzer wird zu einer einfachen Antwort, vorausgesetzt, sie wissen, wie das Limit online über eine Website gelöst werden kann. Bleiben wir konzentriert und lassen Sie sich nicht durch Fehler in Form unbefriedigender Bewertungen in Schwierigkeiten bringen. Wie bei jeder Online-Lösung für Grenzen wird Ihr Problem in einer bequemen und verständlichen Form mit einer detaillierten Lösung unter Einhaltung aller Regeln und Vorschriften für die Erlangung einer Lösung dargestellt. Am häufigsten wird die Definition der Grenze einer Funktion in der Sprache der Nachbarschaften formuliert. Hier werden die Grenzen einer Funktion nur an den Punkten berücksichtigt, die für den Definitionsbereich der Funktion einschränkend sind, was bedeutet, dass es in jeder Nachbarschaft eines bestimmten Punktes Punkte aus dem Bereich dieser Funktion gibt. Dies ermöglicht es uns, über die Tendenz des Funktionsarguments zu einem bestimmten Punkt zu sprechen. Der Grenzpunkt der Definitionsdomäne muss jedoch nicht zur Definitionsdomäne selbst gehören, und dies wird durch Lösen der Grenze bewiesen: Beispielsweise kann man die Grenze einer Funktion an den Enden eines offenen Intervalls betrachten, in dem die Funktion definiert ist. In diesem Fall sind die Grenzen des Intervalls selbst nicht im Definitionsbereich enthalten. In diesem Sinne ist das System der durchstochenen Nachbarschaften eines bestimmten Punktes ein Sonderfall einer solchen Menge von Mengen. Das Lösen der Grenzen online mit einer detaillierten Lösung erfolgt in Echtzeit und unter Verwendung von Formeln in expliziter Form. Sie können Zeit und vor allem Geld sparen, da wir keine Gebühr verlangen. Wenn es irgendwann im Bereich der Funktion eine Grenze gibt und die Lösung dieser Grenze gleich dem Wert der Funktion an diesem Punkt ist, stellt sich heraus, dass die Funktion an diesem Punkt stetig ist. Auf unserer Website ist die Lösung von Limits rund um die Uhr, jeden Tag und jede Minute online verfügbar. Es ist sehr wichtig, den Limit-Rechner zu verwenden, und die Hauptsache ist, ihn jedes Mal zu verwenden, wenn Sie Ihr Wissen testen müssen. Die Schüler profitieren von all diesen Funktionen. Die Berechnung des Grenzwerts unter Verwendung und Anwendung nur der Theorie wird nicht immer so einfach sein, wie erfahrene Studenten der mathematischen Fakultäten der Universitäten des Landes sagen. Die Tatsache bleibt die Tatsache mit einem Ziel. Normalerweise ist die Lösung der gefundenen Grenzen lokal für die Formulierung von Problemen nicht anwendbar. Der Schüler wird sich freuen, sobald er einen Online-Limit-Rechner im Internet und mit freiem Zugang entdeckt, und zwar nicht nur für sich selbst, sondern für alle. Die Ernennung sollte als Mathematik im Allgemeinen als ihr Verständnis angesehen werden. Wenn Sie im Internet fragen, wie Sie das Limit online im Detail finden können, hilft die Masse der Websites, die als Ergebnis der Anfrage angezeigt werden, nicht so, wie wir es tun. Der Unterschied in den Seiten wird mit der Äquivalenz des Vorfalls multipliziert. Die ursprünglich gesetzliche Grenze einer Funktion muss durch ihre Aussage über das mathematische Problem selbst bestimmt werden. Hamilton hatte recht, aber auch Zeitgenossen sollten berücksichtigt werden. Das Online-Berechnen von Limits ist keineswegs so schwierig, wie es jemandem auf den ersten Blick erscheinen mag. Um die Wahrheit unerschütterlicher Theorien nicht zu brechen. Zurück zur Ausgangssituation ist es notwendig, den Grenzwert schnell, effizient und in einer sauberen Form zu berechnen. Wie hätte es anders gemacht werden können? Dieser Ansatz ist offensichtlich und gerechtfertigt. Der Limit-Rechner soll das Wissen erweitern und die Schreibqualität verbessern hausaufgaben und die allgemeine Stimmung unter den Schülern zu erhöhen, wird für sie richtig sein. Sie müssen nur so schnell wie möglich denken und der Geist wird triumphieren. Über die Grenzen der Begriffe der Online-Interpolation explizit zu sprechen, ist eine sehr anspruchsvolle Beschäftigung für Fachleute in ihrem Handwerk. Wir sagen das Verhältnis des Systems ungeplanter Unterschiede an Punkten im Raum voraus. Und wieder wird das Problem auf Unsicherheit reduziert, da die Grenze einer Funktion nach einer affinen Transformation des Anfangsausdrucks im Unendlichen und in einer bestimmten Nachbarschaft eines lokalen Punktes auf einer gegebenen Abszissenachse existiert. Es wird einfacher sein, den Aufstieg von Punkten in der Ebene und oben im Raum zu analysieren. IM allgemeine Position Über die Ableitung der mathematischen Formel wird sowohl in der Natur als auch in der Theorie nichts gesagt, so dass der Online-Grenzwertrechner in diesem Sinne für den beabsichtigten Zweck verwendet wird. Ohne die Grenze online zu bestimmen, fällt es mir schwer, im Bereich der krummlinigen Weltraumforschung weiter zu rechnen. Es wäre nicht einfacher, die richtige Antwort zu finden. Ist es nicht möglich, die Grenze zu berechnen, wenn ein bestimmter Punkt im Raum im Voraus nicht definiert ist? Lassen Sie uns die Verfügbarkeit von Antworten für den Studienbereich widerlegen. Die Lösung der Grenzen kann aus Sicht der mathematischen Analyse als Beginn der Untersuchung der Folge von Punkten auf der Achse betrachtet werden. Die Tatsache, dass die Berechnung tatsächlich durchgeführt wird, kann irrelevant sein. Die Zahlen sind als unendliche Folge darstellbar und werden durch die Anfangsnotation identifiziert, nachdem wir die Grenze online gemäß der Theorie im Detail gelöst haben. Nur zu Gunsten des besten Wertes gerechtfertigt. Das Ergebnis der Funktionsbegrenzung als offensichtlicher Fehler eines falsch gestellten Problems kann die Vorstellung vom tatsächlichen mechanischen Prozess eines instabilen Systems verzerren. Die Fähigkeit, Bedeutung direkt in das Sichtfeld auszudrücken. Wenn Sie das Online-Limit mit einer ähnlichen Einweg-Limitwertnotation vergleichen, sollten Sie vermeiden, es explizit mit Cast-Formeln auszudrücken. Zusätzlich zum Starten der proportionalen Taskausführung Wir erweitern das Polynom, nachdem wir es geschafft haben, die einseitige Grenze zu berechnen und im Unendlichen aufzuschreiben. Einfache Reflexionen führen in der mathematischen Analyse zum wahren Ergebnis. Die einfache Entscheidung der Grenzen wird oft auf einen anderen Grad der Gleichheit der durchgeführten entgegengesetzten mathematischen Darstellungen reduziert. Fibonacci-Linien und -Zahlen haben den Online-Grenzwertrechner entschlüsselt. Abhängig davon können Sie eine Nicht-Grenzwertberechnung bestellen, und möglicherweise tritt die Komplexität in den Hintergrund. Der Prozess des Entfaltens des Graphen auf einer Ebene in einem dreidimensionalen Raum ist im Gange. Dies führte dazu, dass unterschiedliche Ansichten zu einem komplexen mathematischen Problem erforderlich waren. Das Ergebnis wird jedoch nicht lange auf sich warten lassen. Der fortlaufende Prozess der Realisierung der aufsteigenden Arbeit verzerrt jedoch den Linienraum und zeichnet die Online-Grenze für die Einarbeitung in die Formulierung des Problems auf. Der natürliche Verlauf des Prozesses der Problemakkumulation bestimmt den Wissensbedarf in allen Bereichen der mathematischen Disziplinen. Ein ausgezeichneter Grenzwertrechner wird in den Händen qualifizierter Studenten zu einem unverzichtbaren Werkzeug und sie werden alle seine Vorteile gegenüber Analoga des digitalen Fortschritts zu schätzen wissen. In Schulen für etwas Online-Limits werden anders genannt als in Instituten. Der Wert der Funktion wächst durch Ändern des Arguments. L'Hospital sagte, dass das Finden der Grenze der Funktion nur die halbe Miete ist. Es ist notwendig, die Aufgabe zu ihrem logischen Abschluss zu bringen und die Antwort in erweiterter Form zu präsentieren. Die Realität ist dem Vorhandensein von Tatsachen im Fall angemessen. Historisch wichtige Aspekte mathematischer Disziplinen sind mit dem Online-Limit verbunden und bilden die Grundlage für das Studium der Zahlentheorie. Die Seitencodierung in mathematischen Formeln ist in der Client-Sprache im Browser verfügbar. Wie man den Grenzwert mit einer akzeptablen legalen Methode berechnet, ohne die Funktion zu zwingen, sich entlang der Abszissenachse zu ändern. Im Allgemeinen hängt die Realität des Raums nicht nur von der Konvexität einer Funktion oder ihrer Konkavität ab. Wenn Sie alle Unbekannten aus dem Problem entfernen und die Grenzwerte lösen, werden die mathematischen Ressourcen, über die Sie verfügen, auf die geringsten Kosten reduziert. Die Lösung des formulierten Problems behebt die Funktionalität hundertprozentig. Ereignis erwarteter Wert wird das Online-Limit im Detail in Bezug auf die Abweichung von der am wenigsten signifikanten Beziehung offenlegen. Drei Tage vergingen nach der angenommenen mathematischen Entscheidung zugunsten der Wissenschaft. Dies ist eine wirklich lohnende Aktivität. Ohne einen Grund dafür, kein Limit zu haben, würde Online eine Abweichung im allgemeinen Ansatz zur Lösung von Situationsproblemen bedeuten. Der beste Name für ein einseitiges Limit mit einer Unsicherheit von 0/0 wird in Zukunft gefragt sein. Die Ressource kann nicht nur schön und gut sein, sondern auch nützlich, wenn sie das Limit für Sie berechnen kann. Der große Wissenschaftler erforschte als Student Funktionen zum Schreiben wissenschaftliche Arbeit... Zehn Jahre sind vergangen. Vor verschiedenen Nuancen lohnt es sich, die mathematische Erwartung eindeutig zugunsten der Tatsache zu kommentieren, dass die Funktionsgrenze die Divergenz der Prinzipien übernimmt. Auf Bestellung prüfung antwortete. In der Mathematik ist eine außergewöhnliche Position im Unterricht seltsamerweise das Studium der Online-Grenze mit wechselseitigen externen Beziehungen. Wie in normalen Fällen passiert es. Du kannst nichts spielen. Nachdem wir die Ansätze des Studiums von Studenten zu mathematischen Theorien analysiert haben, werden wir die Entscheidung über die Grenzen für die Post-Final-Phase gründlich überlassen. Dies ist die Bedeutung der folgenden, überprüfen Sie den Text. Die Brechung definiert einen mathematischen Ausdruck eindeutig als die Essenz der empfangenen Informationen. Online-Limit ist das Wesentliche der Definition wahre Position mathematisches Relativitätssystem multidirektionaler Vektoren. In diesem Sinne möchte ich meine eigene Meinung äußern. Wie im vorherigen Problem. Die Online-Unterscheidungsgrenze erweitert detailliert ihren Einfluss auf die mathematische Sichtweise der sequentiellen Untersuchung der Programmanalyse im Bereich der Forschung. Im Kontext der Theorie ist Mathematik etwas Höheres als nur eine Wissenschaft. Loyalität wird durch Handeln bestätigt. Es bleibt unmöglich, die Kette aufeinanderfolgender Zahlen, die ihre Aufwärtsbewegung beginnen, absichtlich zu unterbrechen, wenn der Grenzwert falsch berechnet wird. Die doppelseitige Oberfläche wird in natürlicher Form in voller Größe ausgedrückt. Um die mathematische Analyse untersuchen zu können, schließt die Grenze einer Funktion die Folge einer Funktionsreihe als Epsilon-Nachbarschaft an einem bestimmten Punkt ein. Im Gegensatz zur Funktionstheorie sind Berechnungsfehler nicht ausgeschlossen, dies ist jedoch durch die Situation vorgesehen. Durch die Grenze eines Online-Problems dividiert, können Sie eine variable Divergenzfunktion für ein schnelles Produkt eines nichtlinearen Systems des dreidimensionalen Raums zeichnen. Der triviale Fall ist der Kern der Operation. Sie müssen kein Student sein, um diesen Fall zu analysieren. Die Menge der Momente der laufenden Berechnung, zunächst die Lösung der Grenzen, ist definiert als die Funktion des gesamten integralen Fortschrittssystems entlang der Ordinatenachse auf mehreren Zahlenwerten. Wir nehmen den kleinsten mathematischen Wert als Basiswert. Die Schlussfolgerung ist offensichtlich. Der Abstand zwischen den Ebenen wird theoretisch zur Erweiterung beitragen online-Limits, da die Anwendung der Methode der divergenten Berechnung des zirkumpolaren Aspekts der Signifikanz nicht die inhärente Bedeutung hat. Eine ausgezeichnete Wahl, wenn sich der Grenzwertrechner auf dem Server befindet. Dies kann so erfolgen, wie es ist, ohne die Bedeutung der Oberflächenänderung in Bereichen zu verzerren, da sonst das Linearitätsproblem höher wird. Eine vollständige mathematische Analyse ergab die Instabilität des Systems zusammen mit seiner Beschreibung im Bereich der kleinsten Nachbarschaft des Punktes. Als jede Grenze einer Funktion entlang der Schnittachse von Ordinaten und Abszissen ist es möglich, die numerischen Werte von Objekten in einer bestimmten minimalen Nachbarschaft der Verteilung der Funktionalität des Forschungsprozesses einzuschließen. Schreiben wir die Aufgabe Punkt für Punkt auf. Es gibt eine Unterteilung in Schreibstufen. Akademische Behauptungen, dass es wirklich schwierig oder gar nicht einfach ist, die Grenze zu berechnen, werden durch eine Analyse der mathematischen Ansichten aller Studenten und Doktoranden ohne Ausnahme gestützt. Möglich zwischenergebnisse wird sich nicht lange warten lassen. Die obige Grenze wird online im Detail untersucht, das absolute Minimum der Systemdifferenz von Objekten, ab dem die Linearität des Raums der Mathematik verzerrt ist. Die großflächige Segmentierung der Fläche wird von den Schülern nicht verwendet, um mehrere Quoten nach dem Schreiben des Online-Subtraktionslimit-Rechners zu berechnen. Nach dem Beginn werden wir den Studenten verbieten, die Aufgaben für das Studium der räumlichen Umgebung in Mathematik zu überarbeiten. Da wir die Grenze der Funktion bereits gefunden haben, erstellen wir ein Diagramm ihrer Studie auf einer Ebene. Wählen Sie die Ordinatenachsen mit einer speziellen Farbe aus und zeigen Sie die Richtung der Linien an. Es gibt Stabilität. Während des Schreibens der Antwort besteht seit langem Unsicherheit. Berechnen Sie die Grenze einer Funktion an einem Punkt, indem Sie einfach die Differenz zwischen den Grenzen im Unendlichen für analysieren anfangsbedingungen... Diese Methode ist nicht jedem Benutzer bekannt. Wir brauchen eine mathematische Analyse. Die Entscheidung über Grenzen sammelt über viele Jahre hinweg Erfahrungen in den Köpfen von Generationen. Es ist unmöglich, den Prozess nicht zu komplizieren. Studenten aller Generationen sind für den Abschluss verantwortlich. All dies kann sich ändern, wenn kein Fixierungsargument für die Position der Funktionen in der Nähe eines Punktes vorliegt, der hinsichtlich des Unterschieds in der Rechenleistung hinter den Grenzwertrechnern zurückbleibt. Lassen Sie uns die Funktion untersuchen, um die resultierende Antwort zu erhalten. Die Schlussfolgerung ist nicht offensichtlich. Der Ausschluss implizit definierter Funktionen von der Gesamtzahl nach der Transformation mathematischer Ausdrücke bleibt der letzte Schritt, um die Grenzen online korrekt und mit hoher Genauigkeit zu finden. Es wurde auf die Überprüfung der Zulässigkeit der erlassenen Entscheidung gestellt. Der Prozess geht weiter. Sperren Sie die Sequenz isoliert von Funktionen, und unter Berücksichtigung ihrer kolossalen Erfahrung müssen Mathematiker die Grenze berechnen, die hinter der Rechtfertigung der richtigen Richtung in der Studie steht. Ein solches Ergebnis erfordert keinen theoretischen Anstieg. Ändern Sie den Anteil der Zahlen in einer Nachbarschaft eines Nicht-Nullpunkts auf der Abszissenachse in Richtung des Grenzrechners für den online variablen räumlichen Neigungswinkel unter dem schriftlichen Problem in der Mathematik. Verbinden wir zwei Bereiche im Raum. Die Meinungsverschiedenheiten von Resolvern darüber, wie die Grenze einer Funktion die Eigenschaften einseitiger Werte im Raum gewinnt, können von den intensivierten kontrollierten Leistungen der Schüler nicht ignoriert werden. Die Online-Grenze der Mathematik hat eine der am wenigsten umstrittenen Positionen bezüglich der Unsicherheit bei der Berechnung dieser Grenzen eingenommen. Ein Online-Grenzwertrechner für die Höhe gleichschenkliger Dreiecke und Würfel mit drei Seitenradien eines Kreises hilft einem Schüler, in einem frühen Stadium der Wissenschaft auswendig zu lernen. Lassen wir das Gewissen der Schüler die Lösung der Grenzen beim Studium eines funktionierenden mathematisch geschwächten Systems von der Seite der Studienebene aus. In Bezug auf die Zahlentheorie ist die Ansicht des Schülers nicht eindeutig. Jeder hat seine eigene Meinung. Die richtige Richtung beim Studium der Mathematik wird dazu beitragen, die Grenze im wahrsten Sinne des Wortes zu berechnen, wie es an den Universitäten fortgeschrittener Länder üblich ist. Der Kotangens in der Mathematik wird als Grenzwertrechner berechnet und ist das Verhältnis zweier anderer Elementare trigonometrische Funktionen, nämlich der Kosinus und der Sinus des Arguments. Dies ist die Lösung zur Halbierung der Segmente. Ein anderer Ansatz wird die Situation wahrscheinlich nicht zugunsten des vergangenen Moments lösen. Wir können lange darüber sprechen, wie schwierig und nutzlos es ist, das Online-Limit ohne nachzudenken im Detail zu lösen, aber dieser Ansatz tendiert dazu, die interne Disziplin der Schüler zum Besseren aufzubauen.

Wir analysieren weiterhin vorgefertigte Antworten auf die Grenzwerttheorie und werden uns heute nur mit dem Fall befassen, in dem eine Variable in einer Funktion oder eine Zahl in einer Sequenz gegen unendlich tendiert. Die Anweisung zur Berechnung des Grenzwerts mit einer zur Unendlichkeit tendierenden Variablen wurde bereits früher gegeben. Hier werden wir uns nur mit Einzelfällen befassen, die nicht für alle offensichtlich und einfach sind.

Beispiel 35. Wir haben eine Sequenz in Form eines Bruchs, wobei Zähler und Nenner Wurzelfunktionen sind.
Es ist notwendig, eine Grenze zu finden, wenn die Zahl gegen unendlich tendiert.
Es ist hier nicht notwendig, Irrationalität im Zähler aufzudecken, sondern nur die Wurzeln sorgfältig zu analysieren und herauszufinden, wo der höhere Grad der Zahl liegt.
Im ersten Fall haben die Wurzeln des Zählers einen Faktor von n ^ 4, dh n ^ 2 kann aus den Klammern genommen werden.
Machen wir dasselbe mit dem Nenner.
Als nächstes schätzen wir den Wert der radikalen Ausdrücke im Übergang zur Grenze.

Division durch Null, was falsch ist schulkurs, aber dies ist im Übergang zur Grenze zulässig.
Nur mit dem Änderungsantrag "zu beurteilen, wohin die Funktion zielt".
Daher können nicht alle Lehrer den angegebenen Datensatz als korrekt interpretieren, obwohl sie verstehen, dass sich der resultierende Datensatz hiervon nicht ändern wird.
Schauen wir uns die Antwort an, die nach den Anforderungen der Lehrer nach der Theorie zusammengestellt wurde.
Der Einfachheit halber werden wir nur die Hauptdodankas unter der Wurzel bewerten

Ferner ist im Zähler der Grad 2, im Nenner 2/3, daher wächst der Zähler schneller, was bedeutet, dass die Grenze gegen unendlich tendiert.
Sein Vorzeichen hängt von den Faktoren für n ^ 2, n ^ (2/3) ab, ist also positiv.

Beispiel 36. Betrachten Sie ein Beispiel für die Teilungsgrenze von Exponentialfunktionen. Nur wenige solcher praktischen Beispiele werden berücksichtigt, so dass nicht alle Schüler leicht erkennen können, wie sie die auftretenden Unsicherheiten aufdecken können.
Der maximale Faktor für Zähler und Nenner ist 8 ^ n, und wir vereinfachen dies

Als nächstes schätzen wir den Beitrag jedes Begriffs
Die Terme 3/8 tendieren gegen Null, wobei die Variable seit 3/8 gegen unendlich geht<1 (свойство степенно-показательной функции).

Beispiel 37. Die Grenze einer Sequenz mit Fakultäten wird erweitert, indem die Fakultät dem größten gemeinsamen Faktor für Zähler und Nenner zugewiesen wird.
Dann reduzieren wir es und bewerten den Grenzwert anhand des Werts der Zahlenindikatoren im Zähler und Nenner.
In unserem Beispiel wächst der Nenner schneller, sodass die Grenze Null ist.


Folgendes wird hier verwendet

faktorielle Eigenschaft.

Beispiel 38. Ohne die Regeln von L'Hôpital anzuwenden, vergleichen wir die maximalen Indikatoren einer Variablen im Zähler und Nenner des Bruchs.
Da der Nenner den höchsten Indikator der Variablen 4\u003e 2 enthält, wächst er schneller.
Wir schließen daraus, dass die Grenze der Funktion gegen Null geht.

Beispiel 39. Wir zeigen eine Singularität der Form unendlich geteilt durch unendlich durch die Methode der Übertragung von x ^ 4 vom Zähler und Nenner der Fraktion.
Durch den Übergang an die Grenze erhalten wir Unendlichkeit.

Beispiel 40. Wir haben eine Unterteilung von Polynomen. Es ist notwendig, die Grenze zu bestimmen, da die Variable gegen unendlich tendiert.
Die höchste Potenz der Variablen im Zähler und Nenner ist 3, was bedeutet, dass der Rand existiert und gleich dem Stahl ist.
Nehmen Sie x ^ 3 heraus und führen Sie den Durchgang bis zur Grenze durch

Beispiel 41. Wir haben eine Singularität vom Typ eins bis zum Unendlichkeitsgrad.
Dies bedeutet, dass der Ausdruck in Klammern und der Indikator selbst unter der zweiten wichtigen Grenze reduziert werden müssen.
Schreiben wir den Zähler auf, um einen Ausdruck auszuwählen, der mit dem Nenner darin identisch ist.
Als nächstes wenden wir uns einem Ausdruck zu, der eins plus einen Begriff enthält.
Der Abschluss muss durch einen Faktor von 1 / (Begriff) unterschieden werden.
Somit erhalten wir einen Exponenten in der Potenz der Grenze der Bruchfunktion.

Die zweite Grenze wurde verwendet, um die Funktionen zu öffnen:

Beispiel 42. Wir haben eine Singularität vom Typ eins bis zum Unendlichkeitsgrad.
Für seine Offenbarung sollte die Funktion auf die zweite bemerkenswerte Grenze reduziert werden.
Wie das geht, erfahren Sie in der folgenden Formel.


Sie können viele ähnliche Aufgaben finden. Ihre Essenz besteht darin, den gewünschten Grad im Exponenten zu erhalten, und er ist gleich dem Kehrwert des Ausdrucks in Klammern bei Einheit.
Mit dieser Methode erhalten wir einen Exponenten. Die weitere Berechnung reduziert sich auf die Berechnung der Grenze des Exponentengrades.
Hier tendiert die Exponentialfunktion gegen unendlich, da der Wert größer als eins ist e \u003d 2,72\u003e 1.

Beispiel 43 Im Nenner der Fraktion haben wir tatsächlich eine Unsicherheit vom Typ unendlich minus unendlich gleiche Teilung bis Null.
Um die Wurzel loszuwerden, multiplizieren wir mit dem konjugierten Ausdruck und schreiben dann den Nenner unter Verwendung der Formel für die Differenz der Quadrate neu.
Wir erhalten die Unsicherheit unendlich geteilt durch unendlich, also nehmen wir die Variable größtenteils heraus und reduzieren sie dadurch.
Als nächstes schätzen wir den Beitrag jedes Terms und finden die Grenze der Funktion im Unendlichen

Konstante Zahl und namens grenze sequenzen(x n) wenn für eine beliebig kleine positive Zahlε > 0 Es gibt eine Zahl N, die alle Werte enthält x n , für die n\u003e N ist, erfüllen die Ungleichung

| x n - a |< ε. (6.1)

Sie schreiben es wie folgt: oder x n → ein.

Die Ungleichung (6.1) entspricht der doppelten Ungleichung

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

was bedeutet, dass die Punkte x n, beginnend mit einer Zahl n\u003e N, innerhalb des Intervalls liegen (a-ε, a + ε ), d.h. in irgendein kleines fallenε -die Nachbarschaft des Punktes und.

Eine Sequenz mit einem Limit wird aufgerufen konvergieren, sonst - divergierend.

Das Konzept einer Grenze einer Funktion ist eine Verallgemeinerung des Konzepts einer Grenze einer Sequenz, da die Grenze einer Sequenz als die Grenze einer Funktion x n \u003d f (n) eines ganzzahligen Arguments betrachtet werden kann n.

Sei eine Funktion f (x) gegeben und sei ein - grenzpunkt die Domäne dieser Funktion D (f), d.h. ein Punkt, dessen Nachbarschaft Punkte der Menge D (f) enthält, die sich von unterscheiden ein... Punkt ein kann zur Menge D (f) gehören oder nicht.

Definition 1. Die konstante Zahl A heißt Grenze funktion f (x) beimx →a if für eine beliebige Folge (x n) von Argumentwerten, die dazu neigen undhaben die entsprechenden Sequenzen (f (x n)) die gleiche Grenze A.

Diese Definition heißt die Definition der Heine-Grenze einer Funktion, oder " in Sequenzsprache”.

Definition 2... Die konstante Zahl A heißt grenze funktion f (x) beim x →a if, indem ein beliebig klein eingestellt wird positive Zahl ε kann man ein solches δ finden \u003e 0 (abhängig von ε), was für alle xliegt inε-Nachbarschaften der Nummer undd.h. zum xBefriedigung der Ungleichung
0 < x-a< ε liegen die Werte der Funktion f (x) inε-Nachbarschaft der Zahl A, d.h.| f (x) -A |< ε.

Diese Definition heißt die Definition der Cauchy-Grenze einer Funktion,oder „In der Sprache ε - δ “.

Die Definitionen 1 und 2 sind äquivalent. Wenn die Funktion f (x) als x → a hat grenzegleich A wird dies geschrieben als

. (6.3)

Für den Fall, dass die Sequenz (f (x n)) für jede Approximationsmethode auf unbestimmte Zeit zunimmt (oder abnimmt) x an Ihre Grenzen und, dann sagen wir, dass die Funktion f (x) hat endlose Grenze, und schreibe es auf als:

Eine Variable (d. H. Eine Sequenz oder Funktion), deren Grenze Null ist, wird aufgerufen unendlich kleiner Wert.

Eine Variable, deren Grenze gleich unendlich ist, wird aufgerufen unendlich groß.

Verwenden Sie die folgenden Sätze, um die Grenze in der Praxis zu finden.

Satz 1 ... Wenn es jede Grenze gibt

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Kommentar... Ausdrücke wie 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - unsicher sind, zum Beispiel das Verhältnis zweier infinitesimaler oder unendlich großer Mengen, und das Finden einer solchen Grenze wird als "Offenlegung von Unsicherheiten" bezeichnet.

Satz 2. (6.7)

jene. Sie können mit einem konstanten Exponenten an die Grenze an der Basis des Grades gehen, insbesondere ;

(6.8)

(6.9)

Satz 3.

(6.10)

(6.11)

wo e » 2.7 ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Die Formeln (6.10) und (6.11) werden als erste bezeichnet wunderbare Grenzeund die zweite bemerkenswerte Grenze.

Die Konsequenzen der Formel (6.11) werden auch in der Praxis angewendet:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

insbesondere die Grenze

Wenn x → a und gleichzeitig x\u003e a, dann schreiben sie x → a + 0. Wenn insbesondere a \u003d 0 ist, schreiben Sie anstelle des Symbols 0 + 0 +0. Ebenso, wenn x →a und außerdem x a-0. Zahlen und werden entsprechend aufgerufen rechte Grenze und linke Grenze funktion f (x) am Punkt und... Damit die Funktion f (x) eine Grenze als x → hata ist notwendig und ausreichend, um ... Die Funktion f (x) wird aufgerufen kontinuierlich am Punktx 0 wenn limit

. (6.15)

Bedingung (6.15) kann wie folgt umgeschrieben werden:

,

das heißt, der Übergang zur Grenze unter dem Vorzeichen der Funktion ist möglich, wenn er an einem bestimmten Punkt kontinuierlich ist.

Wenn die Gleichheit (6.15) verletzt wird, heißt es das beim x \u003d x o funktion f (x) es hat brechen.Betrachten Sie die Funktion y \u003d 1 / x. Die Domäne dieser Funktion ist die Menge R.mit Ausnahme von x \u003d 0. Der Punkt x \u003d 0 ist ein Grenzpunkt der Menge D (f), da in jeder seiner Nachbarschaften, d. h. Jedes offene Intervall, das Punkt 0 enthält, enthält Punkte aus D (f), gehört jedoch selbst nicht zu dieser Menge. Der Wert f (x o) \u003d f (0) ist undefiniert, so dass die Funktion am Punkt x o \u003d 0 eine Diskontinuität aufweist.

Die Funktion f (x) wird aufgerufen kontinuierlich genau an der Stelle x o, wenn die Grenze

,

und an der Stelle durchgehend gelassen x o, wenn die Grenze

.

Kontinuität einer Funktion an einem Punkt x o ist gleichbedeutend mit seiner Kontinuität an dieser Stelle sowohl rechts als auch links.

Damit die Funktion am Punkt stetig ist x oZum Beispiel ist es zum einen notwendig, dass es zum einen eine endliche Grenze gibt und zum anderen, dass diese Grenze gleich f (x o) ist. Wenn daher mindestens eine dieser beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, weist die Funktion eine Lücke auf.

1. Wenn die Grenze existiert und nicht gleich f (x o) ist, dann sagen sie das funktion f (x) am Punkt x o hat Pause der ersten Art, oder sprung.

2. Wenn das Limit ist + ∞ oder -∞ oder existiert nicht, dann sagen sie das in punkt x o Funktion hat eine Lücke zweite Art.

Zum Beispiel ist die Funktion y \u003d ctg x für x→ +0 hat eine Grenze von + ∞daher hat es am Punkt x \u003d 0 eine Diskontinuität der zweiten Art. Funktion y \u003d E (x) (ganzzahliger Teil von x) hat an Punkten mit ganzzahligen Abszissen Diskontinuitäten der ersten Art oder Sprünge.

Eine Funktion, die an jedem Punkt des Intervalls kontinuierlich ist, wird aufgerufen kontinuierlich im . Eine kontinuierliche Funktion wird als durchgezogene Kurve angezeigt.

Viele Probleme, die mit dem kontinuierlichen Wachstum einer beliebigen Menge verbunden sind, führen zu der zweiten bemerkenswerten Grenze. Zu diesen Aufgaben gehören beispielsweise: das Wachstum des Beitrags nach dem Zinseszinsgesetz, das Bevölkerungswachstum des Landes, der Zerfall radioaktiver Substanzen, die Vermehrung von Bakterien usw.

Erwägen beispiel von Ya.I. Perelmaneine Interpretation der Zahl geben e im Problem des Zinseszinses. Nummer ees gibt eine Grenze ... In Sparkassen wird dem Anlagekapital jährlich Zinsgeld hinzugefügt. Wenn die Verbindung häufiger hergestellt wird, wächst das Kapital schneller, da ein großer Teil an der Bildung von Zinsen beteiligt ist. Nehmen wir ein rein theoretisches, stark vereinfachtes Beispiel. Lassen Sie die Bank 100 den setzen. Einheiten mit einer Rate von 100% pro Jahr. Wenn dem Anlagekapital erst nach einem Jahr Zinsgelder hinzugefügt werden, dann bis zu diesem Datum 100 den. Einheiten wird in 200 Währungseinheiten umgewandelt. Nun wollen wir sehen, was sich in 100 Den verwandeln wird. Einheiten, wenn alle sechs Monate Zinsgelder zum Anlagekapital hinzugefügt werden. Nach einem halben Jahr 100 den. Einheiten auf 100 wachsen× 1,5 \u003d 150 und sechs Monate später - 150× 1,5 \u003d 225 (Währungseinheiten). Wenn die Verbindung alle 1/3 des Jahres hergestellt wird, dann nach dem Jahr 100 den. Einheiten in 100 verwandeln× (1 +1/3) 3 237 (Währungseinheiten). Wir werden die Bedingungen für den Beitritt zu verzinslichen Geldern auf 0,1 Jahre, 0,01 Jahre, 0,001 Jahre usw. verkürzen. Dann aus 100 den. Einheiten nach einem Jahr wird sich herausstellen:

100 × (1 +1/10) 10 259 (Währungseinheiten),

100 × (1 + 1/100) 100 * 270 (Währungseinheiten),

100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (Währungseinheiten).

Mit einer unbegrenzten Reduzierung der Bedingungen für die Zinsbindung wächst das aufgelaufene Kapital nicht unendlich, sondern nähert sich einer bestimmten Grenze von ungefähr 271. Das zu 100% pro Jahr zugewiesene Kapital kann sich nicht mehr als das 2,71-fache erhöhen, selbst wenn die aufgelaufenen Zinsen jeweils zum Kapital addiert wurden zweitens weil die Grenze

Beispiel 3.1. Beweisen Sie anhand der Definition der Grenze einer numerischen Folge, dass die Folge x n \u003d (n-1) / n eine Grenze von 1 hat.

Entscheidung.Wir müssen das beweisen, was auch immerε Wir haben nicht\u003e 0 genommen, dafür gibt es eine natürliche Zahl N, so dass für alle n N die Ungleichung gilt | x n -1 |< ε.

Nimm ein beliebiges e\u003e 0. Seit; x n -1 \u003d (n + 1) / n - 1 \u003d 1 / n, um N zu finden, reicht es aus, die Ungleichung 1 / n zu lösen< e. Daher ist n\u003e 1 / e und daher kann N als ganzzahliger Teil von 1 / genommen werdene, N \u003d E (1 / e ). Wir haben damit bewiesen, dass die Grenze.

Beispiel 3.2 ... Finden Sie die Grenze einer Sequenz, die durch einen gemeinsamen Begriff gegeben ist .

Entscheidung.Wir wenden den Summenbegrenzungssatz an und finden die Grenze jedes Terms. Für n→ ∞, der Zähler und der Nenner jedes Terms tendieren zur Unendlichkeit, und wir können den Satz der Quotientengrenze nicht direkt anwenden. Deshalb transformieren wir zuerst x ndurch Teilen des Zählers und Nenners des ersten Terms durch n 2und der zweite auf n... Unter Anwendung des Quotientenlimits und des Summenlimitsatzes finden wir dann:

.

Beispiel 3.3. ... Finden .

Entscheidung. .

Hier haben wir den Gradbegrenzungssatz verwendet: Die Gradgrenze ist gleich dem Grad der Basisgrenze.

Beispiel 3.4 ... Finden ( ).

Entscheidung.Der Grenzdifferenzsatz kann nicht angewendet werden, da wir eine Unsicherheit der Form haben ∞-∞ ... Wir transformieren die Formel für das gemeinsame Mitglied:

.

Beispiel 3.5 ... Eine Funktion f (x) \u003d 2 1 / x ist gegeben. Beweisen Sie, dass es keine Grenzen gibt.

Entscheidung.Verwenden wir die Definition 1 der Grenze einer Funktion durch eine Sequenz. Nehmen Sie eine Sequenz (x n), die gegen 0 konvergiert, d. H. Lassen Sie uns zeigen, dass sich der Wert f (x n) \u003d für verschiedene Sequenzen unterschiedlich verhält. Sei x n \u003d 1 / n. Offensichtlich dann die Grenze Wir wählen jetzt als x n eine Sequenz mit einem gemeinsamen Term x n \u003d -1 / n, die ebenfalls gegen Null tendiert. Daher gibt es keine Begrenzung.

Beispiel 3.6 ... Beweisen Sie, dass es keine Grenzen gibt.

Entscheidung.Sei x 1, x 2, ..., x n, ... eine Folge, für die
... Wie sich die Folge (f (x n)) \u003d (sin x n) für verschiedene x n → ∞ verhält

Wenn x n \u003d p n, dann ist sin x n \u003d sin p n \u003d 0 für alle n und die Grenze If
x n \u003d 2p n + p / 2, dann ist sin x n \u003d sin (2 p n + p / 2) \u003d sin p / 2 \u003d 1 für alle n und damit die Grenze. Es existiert also nicht.

Widget zur Online-Berechnung von Grenzwerten

Geben Sie im oberen Fenster anstelle von sin (x) / x die Funktion ein, deren Grenze Sie suchen möchten. Geben Sie im unteren Fenster die Zahl ein, zu der x tendiert, und klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen, um die gewünschte Grenze zu erhalten. Wenn Sie im Ergebnisfenster oben rechts auf Schritte anzeigen klicken, erhalten Sie eine detaillierte Lösung.

Funktionseintragsregeln: sqrt (x) - Quadratwurzel, cbrt (x) - Kubikwurzel, exp (x) - Exponent, ln (x) - natürlicher Logarithmus, sin (x) - Sinus, cos (x) - Cosinus, tan (x) - Tangente, Cot (x) - Cotangens, Arcsin (x) - Arcsine, Arccos (x) - Arccosin, Arctan (x) - Arcustangens. Vorzeichen: * Multiplikation, / Division, ^ Exponentiation anstelle von unendlichkeit Unendlichkeit. Beispiel: Die Funktion wird wie folgt eingegeben: tan (x / 2)).

Grenzen machen allen Mathematikstudenten viel Ärger. Um das Limit zu lösen, müssen Sie manchmal viele Tricks anwenden und aus einer Vielzahl von Lösungen genau die auswählen, die für ein bestimmtes Beispiel geeignet ist.

In diesem Artikel helfen wir Ihnen nicht, die Grenzen Ihrer Fähigkeiten zu verstehen oder die Grenzen der Kontrolle zu verstehen, aber wir werden versuchen, die Frage zu beantworten: Wie können Sie die Grenzen der höheren Mathematik verstehen? Verständnis kommt mit Erfahrung, daher werden wir gleichzeitig einige detaillierte Beispiele für die Lösung der Grenzen mit Erklärungen geben.

Grenzkonzept in der Mathematik

Die erste Frage: Was ist diese Grenze und was ist die Grenze? Wir können über die Grenzen numerischer Sequenzen und Funktionen sprechen. Wir interessieren uns für das Konzept der Grenze einer Funktion, da die Schüler bei ihnen am häufigsten begegnen. Aber zuerst die allgemeinste Definition eines Grenzwerts:

Nehmen wir an, es gibt eine Variable. Wenn sich dieser Wert im Änderungsprozess einer bestimmten Zahl unbegrenzt nähert ein dann ein Ist die Grenze dieses Wertes.

Für eine in einem bestimmten Intervall definierte Funktion f (x) \u003d y Die Grenze ist eine solche Zahl EIN , zu dem die Funktion tendiert x zu einem bestimmten Punkt neigen und ... Punkt und gehört zu dem Intervall, in dem die Funktion definiert ist.

Es klingt umständlich, ist aber sehr einfach zu schreiben:

Lim - aus dem Englischen grenze ist die Grenze.

Es gibt auch eine geometrische Erklärung für die Definition der Grenze, aber hier werden wir nicht auf die Theorie eingehen, da wir uns mehr für die praktische als für die theoretische Seite des Themas interessieren. Wenn wir das sagen x tendiert zu einem bestimmten Wert, dies bedeutet, dass die Variable nicht den Wert der Zahl annimmt, sondern unendlich nahe daran liegt.

Geben wir ein konkretes Beispiel. Die Herausforderung besteht darin, die Grenze zu finden.

Ersetzen Sie den Wert, um dieses Beispiel zu lösen x \u003d 3 in eine Funktion. Wir bekommen:

Übrigens, wenn Sie interessiert sind, lesen Sie einen separaten Artikel zu diesem Thema.

In Beispielen x kann nach jedem Wert streben. Es kann eine beliebige Anzahl oder Unendlichkeit sein. Hier ist ein Beispiel, wenn x neigt zur Unendlichkeit:

Es ist intuitiv klar, dass der Wert der Funktion umso niedriger ist, je größer die Zahl im Nenner ist. Also mit unbegrenztem Wachstum x Wert 1 / x wird abnehmen und sich Null nähern.

Wie Sie sehen können, müssen Sie zum Lösen des Grenzwerts nur den anzustrebenden Wert in die Funktion einsetzen x ... Dies ist jedoch der einfachste Fall. Das Finden der Grenze ist oft nicht so offensichtlich. Unsicherheiten wie 0/0 oder unendlich / unendlich ... Was ist in solchen Fällen zu tun? Auf Tricks zurückgreifen!

Unsicherheiten innerhalb

Unsicherheit der Form unendlich / unendlich

Lass es eine Grenze geben:

Wenn wir versuchen, die Funktion durch Unendlichkeit zu ersetzen, erhalten wir sowohl im Zähler als auch im Nenner Unendlichkeit. Im Allgemeinen sollte gesagt werden, dass es ein bestimmtes Element der Kunst gibt, solche Unsicherheiten zu lösen: Es muss beachtet werden, wie Sie eine Funktion so transformieren können, dass die Unsicherheit verschwindet. In unserem Fall teilen wir Zähler und Nenner durch x im höheren Grad. Was geschieht?

Aus dem oben bereits betrachteten Beispiel wissen wir, dass die Terme, die x im Nenner enthalten, gegen Null tendieren. Dann ist die Lösung bis zum Limit:

Unsicherheiten wie offen zu legen unendlich / unendlich Teilen Sie den Zähler und den Nenner durch x in höchstem Maße.

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Eine andere Art von Unsicherheit: 0/0

Substitution in der Wertfunktion wie immer x \u003d -1 gibt 0 im Zähler und Nenner. Wenn Sie etwas genauer hinschauen, werden Sie feststellen, dass der Zähler eine quadratische Gleichung enthält. Finde die Wurzeln und schreibe:

Lassen Sie uns verkürzen und erhalten:

Also, wenn Sie mit einer Unsicherheit wie konfrontiert sind 0/0 - Zähler und Nenner herausrechnen.

Um Ihnen das Lösen von Beispielen zu erleichtern, geben wir eine Tabelle mit den Grenzen einiger Funktionen an:

L'Hôpitals Regel innerhalb

Eine weitere leistungsstarke Technik zur Beseitigung beider Arten von Unsicherheiten. Was ist das Wesentliche der Methode?

Wenn das Limit unsicher ist, nehmen wir die Ableitung von Zähler und Nenner, bis die Unsicherheit verschwindet.

Die Regel von Lopital sieht folgendermaßen aus:

Ein wichtiger Punkt : Die Grenze, in der anstelle von Zähler und Nenner Ableitungen von Zähler und Nenner sind, muss existieren.

Und nun zu einem echten Beispiel:

Typische Unsicherheit 0/0 ... Nehmen wir die Ableitungen von Zähler und Nenner:

Voila, die Mehrdeutigkeit wird schnell und elegant gelöst.

Wir hoffen, dass Sie diese Informationen in der Praxis sinnvoll anwenden und eine Antwort auf die Frage "Wie lösen Sie Grenzen in der höheren Mathematik?" Finden können. Wenn Sie das Limit einer Sequenz oder das Limit einer Funktion an einem Punkt berechnen müssen und für diese Arbeit keine Zeit für das Wort "überhaupt" bleibt, wenden Sie sich an einen professionellen Studentendienst, um eine schnelle und detaillierte Lösung zu erhalten.