Die Matanalyse ist die Funktionsgrenze. Limit-Theorie

Typ- und Artenunsicherheiten sind die häufigsten Unsicherheiten, die bei der Lösung von Grenzwerten offengelegt werden müssen.

Die meisten Aufgaben, die an die Grenzen der Schüler stoßen, sind mit solchen Unsicherheiten behaftet. Für ihre Offenlegung oder genauer gesagt zur Vermeidung von Unsicherheiten gibt es verschiedene künstliche Techniken, um die Art des Ausdrucks unter das Grenzwertzeichen zu transformieren. Diese Methoden lauten wie folgt: Division des Zählers und Nenners durch den höchsten Grad der Variablen, Multiplikation mit dem konjugierten Ausdruck und Faktorisierung zur anschließenden Reduktion unter Verwendung von Lösungen quadratischer Gleichungen und Formeln der abgekürzten Multiplikation.

Artenunsicherheit

Beispiel 1

n  ist gleich 2. Teilen Sie daher Zähler und Nenner durch:

.

Kommentar auf der rechten Seite des Ausdrucks. Pfeile und Zahlen geben an, was die Fraktion nach der Substitution sucht n  Unendlichkeitswerte. Hier wie in Beispiel 2 der Grad n  es gibt mehr im Nenner als im Zähler, wodurch der ganze Bruch zu einem infinitesimalen Wert oder einer "superkleinen Zahl" tendiert.

Wir bekommen die Antwort: Die Grenze dieser Funktion für eine Variable, die gegen unendlich tendiert, ist gleich.

Beispiel 2 .

Lösung. Hier ist der höchste Grad der Variablen x  ist gleich 1. Deshalb teilen wir Zähler und Nenner terminativ durch x:

Kommentar zum Verlauf der Entscheidung. Im Zähler treiben wir das „X“ unter die Wurzel des dritten Grades und weisen ihm den gleichen Grad wie der Wurzel zu, d. H. 3. Der Schütze und die zusätzlichen Zahlen sind in diesem Eintrag nicht mehr enthalten. Versuchen Sie es also mental, aber in Analogie zum vorherigen Beispiel, um zu bestimmen, zu welchen Ausdrücken im Zähler und Nenner nach dem Ersetzen von Unendlich anstelle von "x" tendiert.

Wir haben die Antwort: Die Grenze dieser Funktion für eine Variable, die gegen unendlich tendiert, ist Null.

Artenunsicherheit

Beispiel 3Decken Sie Unsicherheit auf und finden Sie die Grenze.

Lösung. Im Zähler steht die Differenz der Würfel. Wir zerlegen es in Faktoren mit der Formel der abgekürzten Multiplikation aus dem Kurs der Schulmathematik:

Im Nenner steht das quadratische Trinom, das wir durch Lösen der quadratischen Gleichung ausrechnen (noch einmal Bezug auf die Lösung quadratischer Gleichungen):

Wir schreiben den Ausdruck auf, der sich aus den Transformationen ergibt, und finden die Grenze der Funktion:

Beispiel 4  Decken Sie Unsicherheit auf und finden Sie die Grenze

Lösung. Der Quotientenbegrenzungssatz ist hier nicht anwendbar, da

Daher transformieren wir den Bruch identisch: Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem binomischen Konjugat zum Nenner und reduzieren Sie um x  +1 Nach der Folgerung aus Satz 1 erhalten wir einen Ausdruck, der löst, wobei wir die gewünschte Grenze finden:

Beispiel 5  Decken Sie Unsicherheit auf und finden Sie die Grenze

Lösung. Direkte Substitution x  \u003d 0 in eine gegebene Funktion führt zu einer Unsicherheit der Form 0/0. Um dies zu verdeutlichen, führen wir die identischen Transformationen durch und erhalten das gewünschte Limit als Ergebnis:

Beispiel 6  Berechnen

Lösung:  Wir verwenden die Grenzwertsätze

Die Antwort lautet: 11

Beispiel 7  Berechnen

Lösung:  In diesem Beispiel sind die Grenzen des Zählers und Nenners für 0:

;   . Daher haben wir den Satz über die Grenze des Quotienten erhalten, der nicht angewendet werden kann.

Wir zerlegen den Zähler und den Nenner in Faktoren, um den Bruch um einen gemeinsamen Faktor zu verringern, der gegen Null tendiert, und ermöglichen daher die Anwendung von Satz 3.

Wir zerlegen das quadratische Trinom im Zähler nach der Formel, wobei x 1 und x 2 die Wurzeln des Trinoms sind. Durch Faktorisierung und Nenner reduzieren wir den Bruch um (x-2), dann wenden wir Satz 3 an.

Die Antwort lautet:

Beispiel 8  Berechnen

Lösung:  Wenn der Zähler und der Nenner gegen Unendlich tendieren, erhalten wir daher bei direkter Anwendung von Satz 3 einen Ausdruck, der Unsicherheit darstellt. Um die Unsicherheiten dieser Art zu beseitigen, sollten Zähler und Nenner in den höchsten Grad des Arguments unterteilt werden. In diesem Beispiel müssen Sie durch teilen x:

Die Antwort lautet:

Beispiel 9  Berechnen

Lösung: x 3:

Die Antwort lautet: 2

Beispiel 10  Berechnen

Lösung:  Wenn Zähler und Nenner gegen unendlich tendieren. Teilen Sie den Zähler und den Nenner durch den höchsten Grad des Arguments, d. H. x 5:

=

der Zähler des Bruchs tendiert zu 1, der Nenner zu 0, also tendiert der Bruch zur Unendlichkeit.

Die Antwort lautet:

Beispiel 11  Berechnen

Lösung:  Wenn Zähler und Nenner gegen unendlich tendieren. Teilen Sie den Zähler und den Nenner durch den höchsten Grad des Arguments, d. H. x 7:

Die Antwort lautet: 0

Derivat.

Die Ableitung der Funktion y \u003d f (x) in Bezug auf das Argument xdie Grenze des Verhältnisses seines Inkrements y zum Inkrement x des Arguments x wird aufgerufen, wenn das Inkrement des Arguments gegen Null geht. Wenn diese Grenze endlich ist, dann ist die Funktion y \u003d f (x)wird am Punkt x differenzierbar genannt. Wenn diese Grenze existiert, dann sagen sie, dass die Funktion y \u003d f (x)  hat eine unendliche Ableitung bei x.

Ableitungen von elementaren Grundfunktionen:

1. (const) \u003d 09.

3. 11.

4. 12.

Differenzierungsregeln:

a)

Beispiel 1  Finden Sie die abgeleitete Funktion

Lösung:  Finden wir die Ableitung des zweiten Terms nach der Bruchdifferenzierungsregel, so ist der erste Term eine komplexe Funktion, deren Ableitung sich nach der Formel ergibt:

Wo   dann

Beim Lösen wurden die Formeln verwendet: 1,2,10, a, c, d.

Die Antwort lautet:

Beispiel 21  Finden Sie die abgeleitete Funktion

Lösung:  beide begriffe sind komplexe funktionen, wobei für die erste ,, und für die zweite ,, dann

Die Antwort lautet:

Derivative Anwendungen.

1. Geschwindigkeit und Beschleunigung

Lassen Sie die Funktion s (t) beschreiben position  Objekt in einem Koordinatensystem zum Zeitpunkt t. Dann ist die erste Ableitung der Funktion s (t) augenblicklich geschwindigkeit  Objekt:
  v \u003d s '\u003d f' (t)
  Die zweite Ableitung der Funktion s (t) ist das Momentan beschleunigung  Objekt:
  w \u003d v '\u003d s' '\u003d f' '(t)

2. Tangentialgleichung
  y - y0 \u003d f '(x0) (x - x0),
  wobei (x0, y0) die Koordinaten des Tangentenpunkts sind, f '(x0) der Wert der Ableitung der Funktion f (x) am Tangentenpunkt ist.

3. Normale Gleichung
  y - y0 \u003d –1f '(x0) (x - x0),

wo (x0, y0) die Koordinaten des Punktes sind, an dem die Normale gezeichnet wird, ist f '(x0) der Wert der Ableitung der Funktion f (x) an einem gegebenen Punkt.

4. Funktion erhöhen und verringern
  Ist f (x0)\u003e 0, so erhöht sich die Funktion am Punkt x0. In der folgenden Abbildung nimmt die Funktion bei x zu x2.
  Wenn f (x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1  Wenn f (x0) \u003d 0 ist oder die Ableitung nicht existiert, erlaubt uns dieses Merkmal nicht, die Art der Monotonie der Funktion am Punkt x0 zu bestimmen.

5. Lokale Funktionsextreme
  Die Funktion f (x) hat lokales Maximum  bei x1, wenn es eine Nachbarschaft von x1 gibt, so dass f (x1) ≥ f (x) für alle x aus dieser Nachbarschaft ist.
  Ebenso hat die Funktion f (x) lokales Minimum  bei x2, wenn es eine Nachbarschaft von x2 gibt, so dass f (x2) ≤ f (x) für alle x aus dieser Nachbarschaft ist.

6. Kritische Punkte
  Punkt x0 ist kritischer Punkt  Funktion f (x), wenn die Ableitung f '(x0) darin gleich Null ist oder nicht existiert.

7. Das erste ausreichende Zeichen für die Existenz eines Extremums
  Wenn die Funktion f (x) für alle x in einem bestimmten Intervall (a, x1] zunimmt (f ′ (x)\u003e 0) und abnimmt (f ′ (x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) für alle x aus dem Intervall $

Beispiel 3

Löse $ \\ lim \\ limits_ (x \\ bis -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) $

Lösung

Wie immer beginnen wir damit, den Wert von $ x $ in den Ausdruck unter dem Grenzwertzeichen zu setzen. $$ \\ lim \\ limits_ (x \\ bis -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ frac ((- 1) ^ 2-1) (- 1 + 1) \u003d \\ frac ( 0) (0) $$ Was kommt als nächstes? Was soll das Ergebnis sein? Da dies eine Unsicherheit ist, ist dies nicht die Antwort und setzt die Berechnung fort. Da wir ein Polynom in den Zählern haben, zerlegen wir es in Faktoren, indem wir die aus der Schulbank bekannte Formel $$ a ^ 2-b ^ 2 \u003d (a-b) (a + b) $$ verwenden. Erinnert? Großartig! Jetzt mach weiter und benutze es mit dem Lied :) Wir erhalten den Zähler $ x ^ 2-1 \u003d (x-1) (x + 1) $ Wir lösen weiterhin unter Berücksichtigung der obigen Transformation: $$ \\ lim \\ limits_ (x \\ bis -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ lim \\ limits_ (x \\ bis -1) \\ frac ((x-1) (x +) 1)) (x + 1) \u003d $$ $$ \u003d \\ lim \\ limits_ (x \\ bis -1) (x-1) \u003d - 1-1 \u003d -2 $$

Die antwort

$$ \\ lim \\ limits_ (x \\ bis -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d -2 $$

Beschränken wir die Grenze in den letzten beiden Beispielen auf unendlich und betrachten wir die Unsicherheit: $ \\ bigg [\\ frac (\\ infty) (\\ infty) \\ bigg] $

Beispiel 5

Berechnen Sie $ \\ lim \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) $

Lösung

$ \\ lim \\ limits_ (x \\ bis \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ frac (\\ infty) (\\ infty) $ Was zu tun Wie zu sein Keine Panik, denn das Unmögliche ist möglich. Es ist notwendig, die Klammern im Zähler und Nenner des x zu setzen und dann zu reduzieren. Versuchen Sie anschließend, das Limit zu berechnen. Wir versuchen ... $$ \\ lim \\ limits_ (x \\ bis \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ lim \\ limits_ (x \\ bis \\ infty) \\ frac (x ^ 2 (1- \\ frac (1) (x ^ 2)) (x (1+ \\ frac (1) (x))) \u003d $$ $$ \u003d \\ lim \\ limits_ (x \\ bis \\ infty) \\ frac (x (1 \\ frac (1) (x ^ 2))) ((1+ \\ frac (1) (x))) \u003d $$ Unter Verwendung der Definition aus Beispiel 2 und Ersetzen von Unendlich in x erhalten wir: $$ \u003d \\ frac (\\ infty (1 \\ frac (1) (\\ infty)) ((1+ \\ frac (1) (\\ infty))) \u003d \\ frac (\\ infty \\ cdot 1) (1+ 0) \u003d \\ frac (\\ infty) (1) \u003d \\ infty $$

Die antwort

$$ \\ lim \\ limits_ (x \\ bis \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ infty $$

Berechnungsalgorithmus für Grenzwerte

Lassen Sie uns die analysierten Beispiele kurz zusammenfassen und einen Algorithmus zum Lösen der Grenzen aufstellen:

1. Ersetzen Sie den Punkt x im Ausdruck nach dem Grenzwertzeichen. Wenn eine bestimmte Zahl oder Unendlich erreicht wird, ist die Grenze vollständig gelöst. Ansonsten haben wir die Unsicherheit: "Teilen Sie Null durch Null" oder "Unendlich Teilen durch Unendlich" und gehen Sie zu den folgenden Abschnitten der Anweisung.
2. Um die Unsicherheit der "Division durch Null durch Null" zu beseitigen, müssen Sie den Zähler und den Nenner faktorisieren. Schneiden Sie so. Ersetzen Sie den Punkt x im Ausdruck unter dem Grenzwertzeichen.
3. Wenn die Unbestimmtheit von "Unendlichkeit durch Unendlichkeit geteilt wird", können wir sowohl im Zähler als auch im Nenner x das Beste machen. Schneide X ab. Wir setzen den x-Wert von unterhalb des Limits in den verbleibenden Ausdruck ein.

In diesem Artikel haben Sie die Grundlagen zum Lösen der im Verlauf der mathematischen Analyse häufig verwendeten Grenzen erlernt. Dies sind natürlich nicht alle Arten von Aufgaben, die von Prüfern angeboten werden, sondern nur die einfachsten Grenzen. In den folgenden Artikeln werden wir über andere Arten von Aufgaben sprechen, aber zuerst müssen Sie diese Lektion lernen, um fortzufahren. Wir werden diskutieren, was zu tun ist, wenn es Wurzeln und Grade gibt. Wir untersuchen infinitesimale äquivalente Funktionen, bemerkenswerte Grenzen und die L'Hotel-Regel.

Wenn Sie die Grenzen nicht selbst lösen können, geraten Sie nicht in Panik. Wir helfen Ihnen gerne weiter!

Berücksichtigen Sie bei der Berechnung der Grenzwerte folgenden Grundregeln:

1. Die Grenze der Summe (Differenz) von Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) der Grenzen der Terme:

2. Die Grenze des Produkts der Funktionen ist gleich dem Produkt der Grenzen der Faktoren:

3. Die Grenze des Verhältnisses zweier Funktionen ist gleich dem Verhältnis der Grenzen dieser Funktionen:

.

4. Der konstante Faktor kann aus dem Grenzwertzeichen entnommen werden:

.

5. Die Konstantengrenze ist gleich der Konstanten selbst:

6. Bei stetigen Funktionen können die Grenzwertsymbole und -funktionen ausgetauscht werden:

.

Das Ermitteln einer Funktionsgrenze sollte mit dem Ersetzen der Funktion durch einen Wert im Ausdruck beginnen. Darüber hinaus wird die gewünschte Grenze gefunden, wenn ein numerischer Wert von 0 oder ¥ erhalten wird.

Beispiel 2.1Berechnen Sie die Grenze.

Lösung.

.

Ausdrücke der Form ,,,,, werden aufgerufen unsicherheiten.

Wenn eine Typunsicherheit erhalten wird, ist es notwendig, die Funktion zu transformieren, um die Grenze zu finden, um diese Unsicherheit aufzudecken.

Die Typunsicherheit wird normalerweise erhalten, wenn die Grenze des Verhältnisses von zwei Polynomen gegeben ist. In diesem Fall wird zur Berechnung des Grenzwerts empfohlen, die Polynome zu faktorisieren und um einen gemeinsamen Faktor zu reduzieren. Dieser Faktor ist am Grenzwert Null. x .

Beispiel 2.2Berechnen Sie die Grenze.

Lösung.

Durch Ersetzen erhalten wir die Unsicherheit:

.

Faktor der Zähler und Nenner:

;

Reduzieren Sie um einen gemeinsamen Faktor und erhalten Sie

Die Unsicherheit der Form ergibt sich, wenn die Grenze des Verhältnisses zweier Polynome für gegeben ist. In diesem Fall wird empfohlen, beide Polynome durch zu teilen x   zu einem fortgeschrittenen Grad.

Beispiel 2.3  Berechnen Sie die Grenze.

Lösung.Wenn wir ∞ einsetzen, erhalten wir eine Unsicherheit der Form, deshalb unterteilen wir alle Ausdrücke in x 3.

.

Dies wird berücksichtigt.

Bei der Berechnung der Grenzen einer Funktion mit Wurzeln wird empfohlen, die Funktion zu multiplizieren und in einen konjugierten Ausdruck zu unterteilen.

Beispiel 2.4Limit berechnen

Lösung.

Bei der Berechnung der Grenzwerte für die Aufdeckung der Unsicherheit der Form oder (1) ∞ werden häufig die ersten und zweiten bemerkenswerten Grenzwerte verwendet:

Die zweite bemerkenswerte Grenze ist das Ergebnis vieler Probleme, die mit dem kontinuierlichen Wachstum einer Menge verbunden sind.

Betrachten Sie das Beispiel von Ya I. Perelman, das eine Interpretation der Zahl liefert e  im Zinseszinsproblem. In Sberbanks wird das Anlagevermögen jährlich mit Zinsgeldern aufgestockt. Wenn die Verbindung öfter hergestellt wird, wächst das Kapital schneller, da eine große Menge an der Bildung von Zinsen beteiligt ist. Nehmen Sie ein rein theoretisches, stark vereinfachtes Beispiel.

Lassen Sie die Bank 100 den setzen. Einheiten mit einem Satz von 100% pro Jahr. Wenn Zinsgelder erst nach Jahresende an das Anlagekapital gebunden werden, dann bis zu diesem Datum 100 Den. Einheiten wird in 200 den.ed verwandeln.

Nun wollen wir sehen, was aus 100 Höhlen wird. Anteile, wenn alle sechs Monate Zinsgelder an das Anlagekapital gebunden werden. Nach sechs Monaten 100 den. Einheiten wachsen in 100 × 1,5 \u003d 150 und nach weiteren sechs Monaten - in 150 × 1,5 \u003d 225 (den. Einheiten). Wenn die Verbindung alle 1/3 des Jahres hergestellt wird, dann nach einem Jahr 100 den. Einheiten wird zu 100 × (1 +1/3) 3 »237 (den. Einheiten).

Wir verlängern die Zeit für den Beitritt von Zinsgeldern auf 0,1 Jahre, auf 0,01 Jahre, auf 0,001 Jahre usw. Dann aus 100 Höhle. Einheiten ein Jahr später wird sich herausstellen:

100 × (1 +1/10) 10 »259 (den. Einheiten),

100 × (1 + 1/100) 100 ”270 (den. Einheiten),

100 × (1 + 1/1000) 1000 & mgr; 271 (den. Einheiten).

Mit einer unbegrenzten Verkürzung der Zeit für die Einbeziehung von Zinsen wächst das angesammelte Kapital nicht auf unbestimmte Zeit, sondern nähert sich einer bestimmten Grenze von ungefähr 271. Mehr als das 2,71-fache des Kapitals, das auf 100% pa festgelegt ist, kann nicht erhöht werden, selbst wenn die aufgelaufenen Zinsen sich jeweils dem Kapital anschließen zweitens weil

Beispiel 2.5Funktionsgrenze berechnen

Lösung.

Beispiel 2.6.Funktionsgrenze berechnen .

Lösung.Wenn wir ersetzen, bekommen wir die Unsicherheit:

.

Mit der trigonometrischen Formel wandeln wir den Zähler in ein Produkt um:

Als Ergebnis bekommen wir

Die zweite bemerkenswerte Grenze wird hier berücksichtigt.

Beispiel 2.7Funktionsgrenze berechnen

Lösung.

.

Um die Unsicherheit des Typs aufzudecken, können Sie die L'Hospital-Regel verwenden, die auf dem folgenden Theorem basiert.

TheoremDie Grenze des Verhältnisses zweier infinitesimaler oder unendlich großer Funktionen ist gleich der Grenze des Verhältnisses ihrer Ableitungen

Beachten Sie, dass diese Regel mehrmals hintereinander angewendet werden kann.

Beispiel 2.8.  Zu finden

Lösung.Beim Ersetzen haben wir eine Typunsicherheit. Nach der Regel von Lital erhalten wir

Funktionskontinuität

Eine wichtige Eigenschaft einer Funktion ist die Kontinuität.

DefinitionFunktion wird berücksichtigt kontinuierlichWenn sich der Wert des Arguments geringfügig ändert, ändert sich auch der Wert der Funktion geringfügig.

Mathematisch ist dies wie folgt geschrieben: wenn

Unter und versteht man das Inkrement von Variablen, dh die Differenz zwischen den folgenden und vorherigen Werten :, (Abbildung 2.3)

Abbildung 2.3 - Variables Inkrement

Aus der Definition einer an einem Punkt stetigen Funktion folgt das   . Diese Gleichheit bedeutet die Erfüllung von drei Bedingungen:

Lösung.Für die Funktion   Der Punkt ist verdächtig für eine Pause, überprüfen Sie dies, finden Sie die Einbahnstraßen

Deshalb   bedeutet haltepunkt

Ableitungsfunktion