Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость и угловое ускорение

Вращением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором две точки тела остаются неподвижными в течение всего времени движения. При этом также остаются неподвижными все точки тела, расположенные на прямой, проходящей через его неподвижные точки. Эта прямая называется осью вращения тела .

Пусть точки A и B неподвижны. Вдоль оси вращения направим ось . Через ось вращения проведём неподвижную плоскость и подвижную , скреплённую с вращающимся телом (при ).

Положение плоскости и самого тела определяется двугранным углом между плоскостями и . Обозначим его . Угол называется углом поворота тела .

Положение тела относительно выбранной системы отсчета однозначно определяется в любой момент времени, если задано уравнение , где - любая дважды дифференцируемая функция времени. Это уравнение называется уравнением вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси .

У тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, одна степень свободы, так как его положение определяется заданием только одного параметра - угла .

Угол считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, и отрицательным - в противоположном направлении. Траектории точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружностями, расположенными в плоскостях перпендикулярных оси вращения.

Для характеристики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси введём понятия угловой скорости и углового ускорения.

Алгебраической угловой скоростью тела в какой-либо момент времени называется первая производная по времени от угла поворота в этот момент, то есть .

Угловая скорость является положительной величиной при вращении тела против часовой стрелки, так как угол поворота возрастает с течением времени, и отрицательной - при вращении тела по часовой стрелке, потому что угол поворота при этом убывает.

Размерность угловой скорости по определению:

В технике угловая скорость - это частота вращения, выраженная в оборотах в минуту. За одну минуту тело повернётся на угол , где n - число оборотов в минуту. Разделив этот угол на число секунд в минуте, получим

Алгебраическим угловым ускорением тела называется первая производная по времени от угловой скорости, то есть вторая производная от угла поворота т.е.

Размерность углового ускорения по определению:

Введем понятия векторов угловой скорости и углового ускорения тела.

И , где - единичный вектор оси вращения. Векторы и можно изображать в любых точках оси вращения, они являются скользящими векторами.

Алгебраическая угловая скорость это проекция вектора угловой скорости на ось вращения. Алгебраическое угловое ускорение это проекция вектора углового ускорения скорости на ось вращения.

Если при , то алгебраическая угловая скорость возрастает с течением времени и, следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в положительную сторону. Направление векторов и совпадают, оба они направлены в положительную сторону оси вращения .

При и тело вращается ускоренно в отрицательную сторону. Направление векторов и совпадают, оба они направлены в отрицательную сторону оси вращения .

Вращательным называют такое движение, при котором две точки, связанные с телом, следовательно, и прямая, проходящая через эти точки, остаются неподвижными во время движения (рис. 2.16). Неподвижную прямую А В называют осью вращения.

Рис. 2.1В. К определению вращательного движения тела

Положение тела при вращательном движении определяет угол поворота ф, рад (см. рис. 2.16). При движении угол поворота меняется со временем, т.е. закон вращательного движения тела определяется как закон изменения во времени величины двугранного угла Ф = ф(/) между неподвижной полуплоскостью К () , проходящей через ось вращения, и подвижной п 1 полуплоскостью, связанной с телом и также проходящей через ось вращения.

Траектории всех точек тела при вращательном движении представляют собой концентрические окружности, расположенные в параллельных плоскостях с центрами на оси вращения.

Кинематические характеристики вращательного движения тела. Аналогично тому, как были введены кинематические характеристики для точки вводят кинематическое понятие, характеризующее быстроту изменения функции ф(с), которая определяет положение тела при вращательном движении, т.е. угловую скорость со = ф = с/ф/с//, размерность угловой скорости [со] = рад/с.

В технических расчетах часто используют выражение угловой скорости другой размерностью - через число оборотов в минуту: [я] = об/мин, а связь между п и со можно представить в виде: со = 27ш/60 = 7ш/30.

В общем случае угловая скорость изменяется во времени. Мерой быстроты изменения угловой скорости является угловое ускорение е = с/со/с//= со = ф, размерность углового ускорения [е] = рад/с 2 .

Введенные угловые кинематические характеристики полностью определяются заданием одной функции - угла поворота от времени.

Кинематические характеристики точек тела при вращательном движении. Рассмотрим точку М тела, находящуюся на расстоянии р от оси вращения. Эта точка движется по окружности радиуса р (рис. 2.17).

Рис. 2.17.

точек тела при его вращении

Длина дуги M Q M окружности радиуса р определяется как s = ptp, где ф - угол поворота, рад. В случае, если закон движения тела задан как ф = ф(г), то закон движения точки М по траектории определяет формула S = рф(7).

Пользуясь выражениями кинематических характеристик при естественном способе задания движения точки, получим кинематические характеристики для точек, вращающегося тела: скорость по формуле (2.6)

V = 5 = рф = рсо; (2.22)

касательное ускорение согласно выражению (2.12)

я т = К = сор = ер; (2.23)

нормальное ускорение по формуле (2.13)

а„ = И 2 /р = со 2 р 2 /р = огр; (2.24)

полное ускорение с использованием выражения (2.15)

а = -]а + а] = рх/е 2 + со 4 . (2.25)

За характеристику направления полного ускорения принимают р - угол отклонения вектора полного ускорения от радиуса окружности, описываемой точкой (рис. 2.18).

Из рис. 2.18 получаем

tgjLi = aja n =ре/рсо 2 =г/(о 2 . (2.26)

Рис. 2.18.

Отметим, что все кинематические характеристики точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям до оси вращения. Ве-

личины их определяют через производные одной и той же функции - угла поворота.

Векторные выражения для угловых и линейных кинематических характеристик. Для аналитического описания угловых кинематических характеристик вращающегося тела вместе с осью вращения вводят понятие вектора угла поворота (рис. 2.19): ф = ф(/)А:, где к - еди

ничный вектор оси вращения

1; к =соп51 .

Направлен вектор ф по этой оси так, чтобы с «конца» его видеть

поворот, происходящим против хода часовой стрелки.

Рис. 2.19.

характеристик в векторной форме

Если известен вектор ф(/), то все остальные угловые характеристики вращательного движения можно представить в векторной форме:

• вектор угловой скорости со = ф = ф к. Направление вектора угловой скорости определяет знак производной угла поворота;
• вектор углового ускорения є = со = ф к. Направление этого вектора определяет знак производной угловой скорости.

Введенные векторы со и є позволяют получить векторные выражения для кинематических характеристик точек (см. рис. 2.19).

Заметим, что модуль вектора скорости точки совпадает с модулем векторного произведения вектора угловой скорости и радиуса-вектора: |сох г = согвіпа = сор. Учитывая направления векторов со и г и правило направления векторного произведения, можно записать выражение для вектора скорости:

V = со хг.

Аналогично легко показать, что

• ? X Ґ
• - егБіпа = єр = а т и

Сосор = со р = я.

(роме этого векторы этих кинематических характеристик совпадают по направлению с соответствующими векторными произведениями.

Следовательно, векторы касательного и нормального ускорений можно представить в виде векторных произведений:

• (2.28)
• (2.29)

а х = г х г

а = со х V.

Абсолютно твердое тело – тело взаимное расположение частей которого во время движения не меняется.

Поступательное движение твёрдого тела - это такое его движение, при котором любая прямая, жёстко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной своему первоначальному направлению.

При поступательном движении твёрдого тела все его точки движутся одинаково за малое время dt, радиус-вектор этих точек изменяется на одну и ту же величину. Соответственно в каждый момент времени скорости всех его точек одинаковы и равны. Поэтому кинематика рассматриваемого поступательного движения твёрдого тела сводится к изучению движения любого из его точек. Обычно рассматривают движение центра инерции твёрдого тела, свободно двигающегося в пространстве.

Вращательное движение твёрдого тела - это такое движение, при котором все его точки движущиеся по окружностям, центры которых находятся вне пределов тела. Прямая называется осью вращения тела.

Угловая скорость – векторная величина, характеризующая быстроту вращения тела; отношение угла поворота ко времени, за которое этот поворот произошёл; вектор, определяемый первой производной угла поворота тела по времени. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта. ω=φ/t=2π/T=2πn, где T – период вращения, n – частота вращения. ω=lim Δt → 0 Δφ/Δt=dφ/dt.

Угловое ускорение – вектор, определяемый первой производной угловой скорости по времени. При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. Вторая производная угла поворота по времени. При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор ε сонаправлен вектору φ, при замедленном – противонаправлен ему. ε=dω/dt.

Если dω/dt> 0, то εω

Если dω/dt< 0, то ε ↓ω

4. Принцип инерции (первый закон Ньютона). Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности.

Первый закон Ньютона (закон инерции) : всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит её изменить это состояние

Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью . Поэтому первый закон Ньютона называют законом инерции.

Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчёта.

Инерциальная система отсчёта – это система отсчёта, относительно которой свободная материальная точка неподверженная воздействию других тел, движется равномерно прямолинейно; это такая система, которая либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой-то другой инерциальной системы.

Принцип относительности - фундаментальный физический закон, согласно которому любой процесс протекает одинаково в изолированной материальной системе, находящейся в состоянии покоя, и в такой же системе в состоянии равномерного прямолинейного движения. Состояния движения или покоя определяются по отношению к произвольно выбранной инерциальной системе отсчета. Принцип относительности лежит в основе специальной теории относительности Эйнштейна.

5. Преобразования Галилея.

Принцип относительности (Галилея) : никакие опыты (механические, электрические, оптические), проведённые внутри данной инерциальной системы отсчёта, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчёта к другой.

Рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему К (с координатами x,y,z), которую условно будем считать неподвижной и систему К’ (с координатами x’,y’,z’), движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно со скоростью U (U = const). Найдем связь между координатами произвольной точки А в обеих системах. r = r’+r0=r’+Ut. (1.)

Уравнение (1.) можно записать в проекциях на оси координат:

y=y’+Uyt; (2.)

z=z’+Uzt; Уравнение (1.) и (2.) носят название преобразований координат Галилея.

Связь между потенциальной энергией и силой

Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы , действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии . Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.

Для установления этой связи вычислим элементарную работу , совершаемую силами поля при малом перемещении тела, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое обозначим буквой . Эта работа равна

где - проекция силы на направление .

Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии , она равна убыли потенциальной энергии на отрезке оси :

Из двух последних выражений получаем

Эта формула определяет проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы:

в математике вектор ,

где а - скалярная функция х, у, z, называется градиентом этого скаляра обозначается символом . Следовательно сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком

В этой статье описывается важный раздел физики - "Кинематика и динамика вращательного движения".

Основные понятия кинематики вращательного движения

Вращательным движением материальной точки вокруг неподвижной оси называют такое движение, траекторией которого является окружность, находящаяся в плоскости перпендикулярной к оси, а центр ее лежит на оси вращения.

Вращательное движение твердого тела - это движение, при котором по концентрическим (центры которых лежат на одной оси) окружностям движутся все точки тела в соответствии с правилом для вращательного движения материальной точки.

Пусть произвольное твердое тело T совершает вращения вокруг оси O, которая перпендикулярна плоскости рисунка. Выберем на данном теле точку M. При вращении эта точка будет описывать вокруг оси O круг радиусом r .

Через некоторое время радиус повернется относительно исходного положения на угол Δφ.

За положительное направление поворота принято направление правого винта (по часовой стрелке). Изменение угла поворота со временем называется уравнением вращательного движения твердого тела:

φ = φ(t).

Если φ измерять в радианах (1 рад - это угол, соответствующий дуге, длиной равной ее радиусу), то длина дуги окружности ΔS, которую пройдет материальная точка M за время Δt, равна:

ΔS = Δφr.

Основные элементы кинематики равномерного вращательного движения

Мерой перемещения материальной точки за небольшой промежуток времени dt служит вектор элементарного поворота dφ .

Угловая скорость материальной точки или тела - это физическая величина, которая определяется отношением вектора элементарного поворота к продолжительности этого поворота. Направление вектора можно определить правилом правого винта вдоль оси О. В скалярном виде:

ω = dφ/dt.

Если ω = dφ/dt = const, то такое движение называется равномерное вращательное движение. При нем угловую скорость определяют по формуле

ω = φ/t.

Согласно предварительной формуле размерность угловой скорости

[ω] = 1 рад/с.

Равномерное вращательное движение тела можно описать периодом вращения. Период вращения T - физическая величина, определяющая время, за которое тело вокруг оси вращения выполняет один полный оборот ([T] = 1 с). Если в формуле для угловой скорости принять t = T, φ = 2 π (полный один оборот радиуса r), то

ω = 2π/T,

поэтому период вращения определим следующим образом:

T = 2π/ω.

Число оборотов, которое за единицу времени совершает тело, называется частотой вращения ν, которая равна:

ν = 1/T.

Единицы измерения частоты: [ν]= 1/c = 1 c -1 = 1 Гц.

Сравнивая формулы для угловой скорости и частоты вращения, получим выражение, связывающее эти величины:

ω = 2πν.

Основные элементы кинематики неравномерного вращательного движения

Неравномерное вращательное движение твердого тела или материальной точки вокруг неподвижной оси характеризует его угловая скорость, которая изменяется со временем.

Вектор ε , характеризующий скорость изменения угловой скорости, называется вектором углового ускорения:

ε = dω/dt.

Если тело вращается, ускоряясь, то есть dω/dt > 0 , вектор имеет направление вдоль оси в ту же сторону, что и ω.

Если вращательное движение замедлено - dω/dt < 0 , то векторы ε и ω противоположно направлены.

Замечание . Когда происходит неравномерное вращательное движение, вектор ω может меняться не только по величине, но и по направлению (при повороте оси вращения).

Связь величин, характеризующих поступательное и вращательное движение

Известно, что длина дуги с углом поворота радиуса и его величиной связана соотношением

ΔS = Δφ r.

Тогда линейная скорость материальной точки, выполняющей вращательное движение

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Нормальное ускорение материальной точки, что выполняет вращательно поступательное движение, определим следующим образом:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Итак, в скалярном виде

a = ω 2 r.

Тангенциальное ускоренной материальной точки, которая выполняет вращательное движение

a = ε r.

Момент импульса материальной точки

Векторное произведение радиуса-вектора траектории материальной точки массой m i на ее импульс называется моментом импульса этой точки касательно оси вращения. Направление вектора можно определить, воспользовавшись правилом правого винта.

Момент импульса материальной точки (L i ) направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через r i и υ i , и образует с ними правую тройку векторов (то есть при движении с конца вектора r i к υ i правый винт покажет направление вектора L i).

В скалярной форме

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

Учитывая, что при движении по кругу радиус-вектор и вектор линейной скорости для i-й материальной точки взаимно перпендикулярные,

sin(υ i , r i) = 1.

Так что момент импульса материальной точки для вращательного движения примет вид

L = m i υ i r i .

Момент силы, которая действует на i-ю материальную точку

Векторное произведение радиуса-вектора, который проведен в точку приложения силы, на эту силу называется моментом силы, действующей на i-ю материальную точку относительно оси вращения.

В скалярной форме

M i = r i F i sin(r i , F i).

Считая, что r i sinα = l i , M i = l i F i .

Величина l i , равная длине перпендикуляра, опущенного из точки вращения на направление действия силы, называется плечом силы F i .

Динамика вращательного движения

Уравнение динамики вращательного движения записывается так:

M = dL/dt.

Формулировка закона следующая: скорость изменения момента импульса тела, которое совершает вращение вокруг неподвижной оси, равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, приложенных к телу.

Момент импульса и момент инерции

Известно, что для i-й материальной точки момент импульса в скалярной форме задается формулой

L i = m i υ i r i .

Если вместо линейной скорости подставить ее выражение через угловую:

υ i = ωr i ,

то выражение для момента импульса примет вид

L i = m i r i 2 ω.

Величина I i = m i r i 2 называется моментом инерции относительно оси i-й материальной точки абсолютно твердого тела, проходящей через его центр масс. Тогда момент импульса материальной точки запишем:

L i = I i ω.

Момент импульса абсолютно твердого тела запишем как сумму моментов импульса материальных точек, составляющих данное тело:

L = Iω.

Момент силы и момент инерции

Закон вращательного движения гласит:

M = dL/dt.

Известно, что представить момент импульса тела можно через момент инерции:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Учитывая, что угловое ускорение определяется выражением

ε = dω/dt,

получим формулу для момента силы, представленного через момент инерции:

M = Iε.

Замечание. Момент силы считается положительным, если угловое ускорение, которым он вызван, больше нуля, и наоборот.

Теорема Штейнера. Закон сложения моментов инерции

Если ось вращения тела через центр масс его не проходит, то относительно этой оси можно найти его момент инерции по теореме Штейнера:
I = I 0 + ma 2 ,

где I 0 - начальный момент инерции тела; m - масса тела; a - расстояние между осями.

Если система, которая совершает обороты округ неподвижной оси, состоит из n тел, то суммарный момент инерции такого типа системы будет равен сумме моментов, ее составляющих (закон сложения моментов инерции).

Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называ­ется такое его движение, при котором две точки тела остаются неподвижными в течение всего времени движения. При этом также остаются неподвижными все точки тела, расположенные на прямой, проходящей через его неподвижные точки. Эта прямая называется осью вращения тела.

Если А и В - неподвижные точки тела (рис. 15), то осью вращения является ось Oz, которая может иметь в пространстве любое направление, не обязательно вертикальное. Одно на­правление оси Oz принимается за положительное.

Через ось вращения проведем неподвижную плоскость П о и подвижную П, скрепленную с вращающимся телом. Пусть в начальный момент времени обе плоскости совпадают. Тогда в момент времени t положение подвижной плоскости и самого вращающегося тела можно определить двугран­ным углом между плоскостями и соответствующим линейным углом φ между прямыми, расположенными в этих плоскостях и перпендикулярными оси вращения. Угол φ называется углом поворота тела.

Положение тела относительно выбранной системы отсчета полностью определяется в любой

момент времени, если задано уравнение φ = f(t) (5)

где f(t) - любая, дважды дифференцируемая функция времени. Это уравнение называют уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

У тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, одна степень свободы, так как его положение определяется заданием только одного параметра - угла φ .

Угол φ считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, и отрицательным - в противополож­ном направлении, если смотреть с положительного направления оси Oz. Траектории точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружностями, расположенными в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Для характеристики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси введем понятия угловой скорости и углового ускорения. Алгебраической угловой скоростью тела в какой-либо момент времени называют первую производную по времени от угла поворота в этот момент, т. е. dφ/dt = φ. Она является величиной положительной при вращении тела против часовой стрелки, так как угол поворота возрастает с течением времени, и отрицательной - при вращении тела по часовой стрелке, потому что угол поворота при этом убывает.

Модуль угловой скорости обозначают ω. Тогда ω= ׀dφ/dt ׀= ׀φ ׀ (6)

Размерность угловой скорости устанавливаем в соответствии с (6)

[ω] = угол/время = рад/с = с -1 .

Втехнике угловая скорость - это частота вращения, выражен­ная в оборотах в минуту. За 1 мин тело повернется на угол 2πп, если п - число оборотов в минуту. Разделив этот угол на число секунд в минуте, получим: (7)

Алгебраическим угловым ускорением тела называют первую производную по времени от алгебраической скорости, т.е. вторую производную от угла поворота d 2 φ/dt 2 = ω . Модуль углового ускорения обозначим ε , тогда ε=|φ| (8)

Размерность углового ускорения получаем из (8):

[ε ] = угловая скорость/время = рад/с 2 = с -2

Если φ’’>0 при φ’>0 , то алгебраическая угловая скорость возрастает с течением времени и, следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в положительную сторону (против часовой стрелки). При φ’’<0 и φ’<0 тело вращается ускоренно в отрицательную сторону. Если φ’’<0 при φ’>0 , то имеем замедленное вращение в положительную сторону. При φ’’>0 и φ’<0 , т.е. замедленное вращении совершается в отрицательную сторону. Угловую скорость и угловое ускорение на рисунках изображают дуговыми стрелками вокруг оси вращения. Дуговая стрелка для угловой скорости указывает направление вращения тел;

Для ускоренного вращения дуговые стрелки для угловой скорости и углового ускорения имеют одинаковые направления для замедленного - их направления противоположны.

Частные случаи вращения твердого тела

Вращение называют равномерным, если ω=const, φ= φ’t

Вращение будет равнопеременным, если ε=const. φ’= φ’ 0 + φ’’t и

В общем случае, если φ’’ не постоянно,

Скорости и ускорения точек тела

Известно уравнение вращения твердого тела вокруг непо­движной оси φ= f(t) (рис.16). Расстояние s точки М в по­движной плоскости П по дуге окружности (траектории точки), отсчитываемое от точки М о, расположенной в неподвижной плоскости, выражается через угол φ зависимостью s=hφ , где h -радиус окружности, по которой перемещается точка. Он является кратчайшим расстоянием от точки М до оси враще­ния. Его иногда называют радиусом вращения точки. У каждой точки тела радиус вращения остается неизменным при враще­нии тела вокруг неподвижной оси.

Алгебраическую скорость точки М определяем по формуле v τ =s’=hφ Модуль скорости точки: v=hω (9)

Скорости точек тела при вращении вокруг неподвижной оси пропорциональ­ны их кратчайшим расстояниям до этой оси. Коэффициентом пропорци­ональности является угловая ско­рость. Скорости точек направлены по касательным к траекториям и, сле­довательно, перпендикулярны радиу­сам вращения. Скорости точек тела, расположен­ных на отрезке прямой ОМ, в соот­ветствии с (9) распределены по линей­ному закону. Они взаимно параллельны, и их концы располагаются на одной прямой, проходящей через ось вращения. Ускорение точки разлагаем на ка­сательную и нормальную составля­ющие, т. е. a=a τ +a nτ Касательное и нормальное ускорения вычисляются по формулам (10)

так как для окружности радиус кривизны р=h (рис. 17). Таким образом,

Касательные, нормальные и полные ускорения точек, как и скорости, распределены тоже по линейному закону. Они линейно зависят от расстояний точек до оси вращения. Нормальное ускорение направлено по радиусу окружности к оси вращения. Направление касательного ускорения зависит от знака алгебраического углового ускорения. При φ’>0 и φ’’>0 или φ’<0 и φ’<0 имеем ускоренное вращение тела и направле­ния векторов a τ и v совпадают. Если φ’ и φ’" имеют разные знаки (замедленное вращение), то a τ и v направлены проти­воположно друг другу.

Обозначив α угол между полным ускорением точки и ее радиусом вращения, имеем

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

так как нормальное ускорение а п всегда положительно. Угол а для всех точек тела один и тот же. Откладывать его следует от ускорения к радиусу вращения в направлении дуговой стрелки углового ускорения независимо от направления вращения твердого тела.

Векторы угловой скорости и углового ускорения

Введем понятия векторов угловой скорости и углового ускорения тела. Если К - единичный вектор оси вращения, направленный в ее положительную сторону, то векторы угловой скорости ώ и углового ускорения ε определяют выражениями (12)

Так как k -постоянный по мо­дулю и направлению вектор, то из (12) следует, что

ε=dώ/dt (13)

При φ’>0 и φ’’>0 направления векторов ώ и ε совпадают. Они оба направлены в положительную сторону оси вращения Oz (Рис. 18.а)Если φ’>0 и φ’’<0 , то они направлены в противополож­ные стороны (рис.18.б). Вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором угловой скорости при ускоренном вращении и противоположен ему при замедленном. Векторы ώ и ε можно изображать в любых точках оси вращения. Они являются векторами скользящими. Это их свойство следует из векторных формул для скоростей и ускоре­ний точек тела.

Сложное движение точки

Основные понятия

Для изучения некоторых, более сложных видов движений твердого тела целесообразно рассмотреть простейшее сложное движение точки. Во многих задачах движение точки приходится рассматривать относительно двух (и более) систем отсчета, движущихся друг относительно друга. Так, движение космичес­кого корабля, движущегося к Луне, требуется рассматривать одновременно и относительно Земли и относительно Луны, которая движется относительно Земли. Любое движение точки можно считать сложным, состоящим из нескольких движений. Например, движение корабля по реке относительно Земли можно считать сложным, состоящим из движения по воде и вместе с текущей водой.

В простейшем случае сложное движение точки состоит из относительного и переносного движений. Определим эти дви­жения. Пусть имеем две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга. Если одну из этих систем O l x 1 y 1 z 1 (рис. 19) принять за основную или неподвижную (ее движение относительно других систем отсчета не рассматривается), то вторая система отсчета Oxyz будет двигаться относительно первой. Движение точки относительно подвижной системы отсчета Oxyz называется относительным. Характеристики этого движения, такие, как траектория, скорость и ускорение, назы­ваются относительными. Их обозначают индексом r; для скорости и ускорения v r , a r . Движение точки относительно основной или неподвижной системны системы отсчета O 1 x 1 y 1 z 1 называется абсолютным (или сложным). Его также иногда называют составным движением. Траектория, скорость и ускорение этого движения называются абсолютными. Скорость и ускорение абсолютного движения обозначают буквами v, a без индексов.

Переносным движением точки называют движение, которое она совершает вместе с подвижной системой отсчета, как точка, жестко скрепленная с этой системой в рассматриваемый момент времени. Вслед­ствие относительного движения движущаяся точка в различные моменты времени совпадает с различными точками тела S, с которым скреплена подвижная система отсчета. Переносной скоростью и переносным ускорением являются скорость и уско­рение той точки тела S, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка. Переносные скорость и ускорение обознача­ют v e , а е.

Если траектории всех точек тела S, скрепленного с подвиж­ной системой отсчета, изобразить на рисунке (рис. 20), то получим семейство линий - семейство траекторий переносного движения точки М. Вследствие относительного движения точки М в каждый момент времени она находится на одной из траекторий переносного движения. Точка М может совпадать только с одной точкой каждой из траекторий этого семейства переносных траекторий. В связи с этим иногда считают, что траекторий переносного движения нет, так как приходится считать траекториями переносного движения линии, у которых только одна точка фактически является точкой траектории.

В кинематике точки изучалось движение точки относительно какой-либо системы отсчета независимо от того, движется эта система отсчета относительно других систем или нет. Дополним это изучение рассмотрением сложного движения, в простейшем случае состоящего из относительного и перенос­ного. Одно и то же абсолютное движение, выбирая различные подвижные системы отсчета, можно считать состоящим из разных переносных и соответственно относительных движений.

Сложение скоростей

Определим скорость абсолютного движения точки, если известны скорости относительного и переносного движений этой точки. Пусть точка со­вершает только одно, относи­ тельное движение по отношению к подвижной системе отсчета Oxyz и в момент времени t за­нимает на траектории относи­ тельного движения положение М (рис 20). В момент времени t+ t вследствие относительного Движения точка окажется в по­ложении М 1 , совершив пере­мещение ММ 1 по траектории относительного движения. Пред­положим, что точка участвует Oxyz и относительной траекторией она переместится по некоторой кривой на ММ 2. Если точка участвует одновременно и в относительном и в переносном движениях, то за время А; она переместится на ММ" по траектории абсолютного движения и в момент времени t+At займет положение М". Если время At мало и в дальнейшем переходят к пределу при At, стремящемся к нулю, то малые перемещения по кривым можно заменить отрезками хорд и принять их за векторы перемещений. Складывая векторные пе­ремещения, получаем

В этом отношении отброшены малые величины более высокого порядка, стремящиеся к нулю при At, стремящемся к нулю. Переходя к пределу, имеем (14)

Следовательно, (14) примет форму (15)

Получена так называемая теорема сложения скоростей: скорость абсолютного движения точки равна векторной сумме скоростей переносного и относительного движений этой точки. Так как в общем случае скорости переносного и относительного движений не перпендикулярны, то (15’)

Похожая информация.