Виды равноускоренного движения. Скорость, ускорение, равномерное и равноускоренное прямолинейное движение

Равноускоренное движение - движение, при котором ускорение постоянно по модулю и направлению .

Примером такого движения является движение тела, брошенного под углом α {\displaystyle \alpha } к горизонту в однородном поле силы тяжести - тело движется с постоянным ускорением a → = g → {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {g}}} , направленным вертикально вниз.

При равноускоренном движении по прямой скорость тела определяется формулой:

Зная, что v (t) = d d t x (t) {\displaystyle v(t)={\frac {d}{dt}}x(t)} , найдём формулу для определения координаты x:

Примечание . Равнозамедленным можно назвать движение, при котором модуль скорости равномерно уменьшается со временем (если вектора v → {\displaystyle {\vec {v}}} и a → {\displaystyle {\vec {a}}} противонаправлены). Равнозамедленное движение также является равноускоренным.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  В случае одномерного равноускоренного движения вдоль координаты x имеет место формула:

  Δ x = v x 2 − v 0 x 2 2 a x {\displaystyle \Delta x={\frac {v_{x}^{2}-v_{0x}^{2}}{2a_{x}}}} ,

  Криволинейное равноускоренное (равнопеременное) движение также можно рассматривать как одномерное. В этом случае используется обобщённая координата S , часто называемая путём . Эта координата соответствует длине пройденной траектории (длине дуги кривой). Таким образом, формула приобретает вид:

  Δ S = v 2 − v 0 2 2 a τ {\displaystyle \Delta S={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a_{\tau }}}} ,

  где a τ {\displaystyle a_{\tau }} - тангенциальное ускорение , которое «отвечает» за изменение модуля скорости тела.

  Из вышеприведенных формул можно получить выражения для определения конечной скорости тела, при известных начальной скорости, ускорении и перемещении:

  v x = ± v 0 x 2 + 2 a x Δ x {\displaystyle v_{x}=\pm {\sqrt {v_{0x}^{2}+2a_{x}\Delta x}}}

  В случае криволинейного равноускоренного движения имеем:

  v = ± v 0 2 + 2 a τ Δ S {\displaystyle v=\pm {\sqrt {v_{0}^{2}+2a_{\tau }\Delta S}}}

  Аналогичные соотношения можно записать для выражений:

  v y = ± v 0 y 2 + 2 a y Δ y {\displaystyle v_{y}=\pm {\sqrt {v_{0y}^{2}+2a_{y}\Delta y}}} ; v z = ± v 0 z 2 + 2 a z Δ z {\displaystyle v_{z}=\pm {\sqrt {v_{0z}^{2}+2a_{z}\Delta z}}} .

  И найти конечную скорость по теореме Пифагора

  | v → | = v x 2 + v y 2 + v z 2 {\displaystyle |{\vec {v}}|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}} .

  Теорема о кинетической энергии точки

  Формула перемещения при равноускоренном движении используется при доказательстве теоремы о кинетической энергии . Для этого необходимо перенести ускорение в левую часть и домножить обе части на массу тела:

  m a x Δ x = m v x 2 2 − m v 0 x 2 2 {\displaystyle ma_{x}\Delta x={\frac {mv_{x}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{0x}^{2}}{2}}} .

  Записав аналогичные соотношения для координат y и z и просуммировав все три равенства получим соотношение:

  F → ⋅ Δ r → = m v 2 2 − m v 0 2 2 {\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\vec {\Delta r}}={\frac {mv^{2}}{2}}-{\frac {mv_{0}^{2}}{2}}} .

  Слева стоит работа постоянной равнодействующей силы F → {\displaystyle {\vec {F}}} , а справа - разность кинетических энергий в конечный и начальный момент движения. Полученная формула представляет собой математическое выражение теоремы о кинетической энергии точки для случая равноускоренного движения .

  В этой теме мы рассмотрим очень особенный вид неравномерного движения. Исходя из противопоставления равномерному движению , неравномерное движение - это движение с неодинаковой скоростью, по любой траектории . В чем особенность равноускоренного движения? Это неравномерное движение, но которое "равно ускоряется" . Ускорение у нас ассоциируется с увеличением скорости. Вспомним про слово "равно", получим равное увеличение скорости. А как понимать "равное увеличение скорости", как оценить скорость равно увеличивается или нет? Для этого нам потребуется засечь время, оценить скорость через один и тот же интервал времени. Например, машина начинает двигаться, за первые две секунды она развивает скорость до 10 м/с, за следующие две секунды 20 м/с, еще через две секунды она уже двигается со скоростью 30 м/с. Каждые две секунды скорость увеличивается и каждый раз на 10 м/с. Это и есть равноускоренное движение.

  
  

  Физическая величина, характеризующая то, на сколько каждый раз увеличивается скорость называется ускорением.

  Можно ли движение велосипедиста считать равноускоренным, если после остановки в первую минуту его скорость 7км/ч, во вторую - 9км/ч, в третью 12км/ч? Нельзя! Велосипедист ускоряется, но не одинаково, сначала ускорился на 7км/ч (7-0), потом на 2 км/ч (9-7), затем на 3 км/ч (12-9).

  Обычно движение с возрастающей по модулю скоростью называют ускоренным движением. Движение же с убывающей скоростью - замедленным движением. Но физики любое движение с изменяющейся скоростью называют ускоренным движением. Трогается ли автомобиль с места (скорость растет!), или тормозит (скорость уменьшается!), в любом случае он движется с ускорением.

  

  Равноускоренное движение - это такое движение тела, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется (может увеличиваться или уменьшаться) одинаково

  Ускорение тела

  Ускорение характеризует быстроту изменения скорости. Это число, на которое изменяется скорость за каждую секунду. Если ускорение тела по модулю велико, это значит, что тело быстро набирает скорость (когда оно разгоняется) или быстро теряет ее (при торможении). Ускорение - это физическая векторная величина , численно равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.

  Определим ускорение в следующей задаче. В начальный момент времени скорость теплохода была 3 м/с, в конце первой секунды скорость теплохода стала 5 м/с, в конце второй - 7м/с, в конце третьей 9 м/с и т.д. Очевидно, . Но как мы определили? Мы рассматриваем разницу скоростей за одну секунду. В первую секунду 5-3=2, во вторую секунду 7-5=2, в третью 9-7=2. А как быть, если скорости даны не за каждую секунду? Такая задача: начальная скорость теплохода 3 м/с, в конце второй секунды - 7 м/с, в конце четвертой 11 м/с.В этом случае необходимо 11-7= 4, затем 4/2=2. Разницу скоростей мы делим на промежуток времени.
  
  
  

  Эту формулу чаще всего при решении задач применяют в видоизмененном виде:

  

  Формула записана не в векторном виде, поэтому знак "+" пишем, когда тело ускоряется, знак "-" - когда замедляется.

  Направление вектора ускорения

  Направление вектора ускорения изображено на рисунках

  
  

  На этом рисунке машина движется в положительном направлении вдоль оси Ox, вектор скорости всегда совпадает с направлением движения (направлен вправо). Когда вектор ускорение совпадает с направлением скорости, это означает, что машина разгоняется. Ускорение положительное.

  При разгоне направление ускорения совпадает с направлением скорости. Ускорение положительное.

  
  

  На этом рисунке машина движется в положительном направлении по оси Ox, вектор скорости совпадает с направлением движения (направлен вправо), ускорение НЕ совпадает с направлением скорости, это означает, что машина тормозит. Ускорение отрицательное.

  При торможении направление ускорения противоположно направлению скорости. Ускорение отрицательное.

  Разберемся, почему при торможении ускорение отрицательное. Например, теплоход за первую секунду сбросил скорость с 9м/с до 7м/с, за вторую секунду до 5м/с, за третью до 3м/с. Скорость изменяется на "-2м/с". 3-5=-2; 5-7=-2; 7-9=-2м/с. Вот откуда появляется отрицательное значение ускорения.

  При решении задач, если тело замедляется, ускорение в формулы подставляется со знаком "минус"!!!

  Перемещение при равноускоренном движении

  

  Дополнительная формула, которую называют безвременной

  

  Формула в координатах

  
  

  Связь со средней скоростью

  При равноускоренном движении среднюю скорость можно рассчитывать как среднеарифметическое начальной и конечной скорости

  

  Из этого правила следует формула, которую очень удобно использовать при решении многих задач

  

  Соотношение путей

  Если тело движется равноускоренно, начальная скорость нулевая, то пути, проходимые в последовательные равные промежутки времени, относятся как последовательный ряд нечетных чисел.

  Главное запомнить

  1) Что такое равноускоренное движение;
  2) Что характеризует ускорение;
  3) Ускорение - вектор. Если тело разгоняется ускорение положительное, если замедляется - ускорение отрицательное;
  3) Направление вектора ускорения;
  4) Формулы, единицы измерения в СИ

  Упражнения

  Два поезда идут навстречу друг другу: один - ускоренно на север, другой - замедленно на юг. Как направлены ускорения поездов?

  Одинаково на север. Потому что у первого поезда ускорение совпадает по направлению с движением, а у второго - противоположное движению (он замедляется).

  Механика

  
  

  Формулы кинематики:

  Кинематика

  Механическое движение

  Механическим движением называется изменение положения тела (в пространстве) относительно других тел (с течением времени).

  Относительность движения. Система отсчета

  Чтобы описать механическое движение тела (точки), нужно знать его координаты в любой момент времени. Для определения координат следует выбрать ­тело отсчета и связать с ним систему координат . Часто телом отсчета служит Земля, с которой связывается прямоугольная декартова система координат. Для определения положения точки в любой момент времени необходимо также задать начало отсчета времени.

  Система координат, тело отсчета, с которым она связана, и прибор для измерения времени образуют систему отсчета , относительно которой рассматривается движение тела.

  Материальная точка

  Тело, размерами которого в данных условиях движения можно пренебречь, называют материальной точкой .

  Тело можно рассматривать как материальную точку, если его размеры малы по сравнению с расстоянием, которое оно проходит, или по сравнению с расстояниями от него до других тел.

  Траектория, путь, перемещение

  Траекторией движения называется линия, вдоль которой движется тело. Длина траектории называется пройденным путем . Путь – скалярная физическая величина, может быть только положительным.

  Перемещением называется вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории.

  Движение тела, при котором все его точки в данный момент времени движутся одинаково, называется поступательным движением . Для описания поступательного движения тела достаточно выбрать одну точку и описать ее движение.

  Движение, при котором траектории всех точек тела являются окружностями с центрами на одной прямой и все плоскости окружностей перпендикулярны этой прямой, называется вращательным движением.

  Метр и секунда

  Чтобы определить координаты тела, необходимо уметь измерять расстояние на прямой между двумя точками. Любой процесс измерения физической величины заключается в сравнении измеряемой величины с единицей измерения этой величины.

  Единицей измерения длины в Международной системе единиц (СИ) является метр . Метр равен примерно 1/40 000 000 части земного меридиана. По современному представлению метр – это расстояние, которое свет проходит в пустоте за 1/299 792 458 долю секунды.

  Для измерения времени выбирается какой-нибудь периодически повторяющийся процесс. Единицей измерения времени в СИ принята секунда . Секунда равна 9 192 631 770 периодам излучения атома цезия при переходе между двумя уровнями сверхтонкой структуры основного состояния.

  В СИ длина и время приняты за независимые от других величины. Подобные величины называются основными .

  Мгновенная скорость

  Для количественной характеристики процесса движения тела вводится понятие скорости движения.

  Мгновенной скоростью поступательного движения тела в момент времени t называется отношение очень малого перемещения Ds к малому промежутку времени Dt, за который произошло это перемещение:

  Мгновенная скорость – векторная величина. Мгновенная скорость перемещения всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения тела.

  Единицей скорости является 1 м/с. Метр в секунду равен скорости прямолинейно и равномерно движущейся точки, при которой точка за время 1 с перемещается на расстояние 1 м.

  Ускорение

  Ускорением называется векторная физическая величина, равная отношению очень малого изменения вектора скорости к малому промежутку времени, за которое произошло это изменение, т.е. это мера быстроты изменения скорости:

  Метр в секунду за секунду – это такое ускорение, при котором скорость тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, за время 1 с изменяется на 1 м/с.

  Направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости () при очень малых значениях промежутка времени, за который происходит изменение скорости.

  Если тело движется по прямой и его скорость возрастает, то направл­ение вектора ускорения совпадает с направлением вектора скорости; при убывании скорости – противоположно направлению вектора скорости.

  При движении по криволинейной траектории направление вектора скорости изменяется в процессе движения, вектор ускорения при этом может оказаться направлен под любым углом к вектору скорости.

  Равномерное, равноускоренное прямолинейное движение

  Движение с постоянной скоростью называется равномерным прямолинейным движением . При равномерном прямолинейном движении тело движется по прямой и за любые равные промежутки времени проходит одинаковые пути.

  Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномерным движением . При таком движении скорость тела изменяется с течением времени.

  Равнопеременным называется такое движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется на одинаковую величину, т.е. движение с постоянным ускорением.

  Равноускоренным называется равнопеременное движение, при котором величина скорости возрастает. Равнозамедленным – равнопеременное движение, при котором величина скорости уменьшается.

  Задачи по физике - это просто!

  Не забываем , что решать задачи надо всегда в системе СИ!

  А теперь к задачам!

  Элементарные задачи из курса школьной физики по кинематике.

  Решение задач на прямолинейное равноускоренное движение. При решении задачи обязательно делаем чертеж, на котором показываем все вектора, о которых идет речь в задаче. В условии задачи, если не оговорено иное, даются модули величин. В ответе задачи также должен стоять модуль найденной величины.

  Задача 1

  Автомобиль, двигавшийся со скоростью 30 м/с, начал тормозить. Чему будет равна его скорость через 1 минуту, если ускорение при торможении равно 0,3 м/с 2 ?

  Обратите внимание! Проекция вектора ускорения на ось t отрицательна.

  
  
  

  Задача 2

  Санки начинают двигаться с горы с ускорением 2 м/с 2 . Какое расстояние они пройдут за 2 секунды?

  
  
  

  Не забудьте в ответе перейти от проекции к модулю вектора ускорения!

  Задача 3

  Каково ускорение велосипедиста, если его скорость за 5 секунд изменилась от 7 до 2 м/с?
  
  

  Из условия задачи видно, что в процессе движения скорость тела уменьшается. Исходя из этого, определяем направление вектора ускорения на чертеже. В результате расчета должно получиться отрицательное значение вектора ускорения.

  Задача 4

  Санки начинают двигаться с горы из состояния покоя с ускорением 0,1 м/с 2 . Какую скорость будут они иметь через 5 секунд после начала движения?
  
  

  Задача 5

  Поезд, двигавшийся с ускорением 0,4 м/с 2 , через 20 секунд торможения остановился. Чему равен тормозной путь, если начальная скорость поезда 20 м/с?

  Внимание! В задаче поезд тормозит, не забудьте о минусе при подстановке числового значения проекции вектора ускорения.

  
  

  
  Задача 6

  Автобус, отходя от остановки, движется с ускорением 0,2 м/с 2 . На каком расстоянии от начала движения его скорость станет равной 10 м/с?
  

  
  

  Задачу можно решить в 2 действия.
  Это решение аналогично решению системы из двух уравнений с двумя неизвестными. Как в алгебре: два уравнения - формулы для V x и S x , два неизвестных - t и S x .

  Задача 7

  Какую скорость разовьет катер, пройдя из состояния покоя 200 метров с ускорением 2 м/с 2 ?

  Не забудьте, что не всегда все данные в задаче задаются числами!
  Здесь надо обратить внимание на слова "из состояния покоя" - это соответствует начальной скорости, равной 0.

  

  При извлечении корня квадратного: время может быть только больше 0!

  Задача 8

  При аварийном торможении мотоцикл, двигавшийся со скоростью 15 м/с, оставовился через 5 секунд. Найти тормозной путь.
  
  

  Продолжение смотри

  Выводятся формулы прямолинейного движения материальной точки для трех способов задания движения - при известной зависимости координаты от времени; при известной зависимости ускорения от времени и ускорения от координаты. Рассмотрены прямолинейное равномерное и прямолинейное равноускоренное движения.

  Содержание

  Основные формулы прямолинейного движения

  Пусть материальная точка движется по оси . Далее и обозначают координату и скорость точки в начальный момент времени .
  Если задан закон изменения ее координаты от времени :
  ,
  то дифференцируя координату по времени, получаем скорость и ускорение точки:
  ;
  .

  Пусть нам известна зависимость ускорения от времени :
  .
  Тогда зависимости скорости и координаты от времени определяются по формулам:
  (1) ;
  (2) ;
  (3) ;
  (4) .

  Пусть нам известна зависимость ускорения от координаты :
  .
  Тогда зависимость скорости от координаты имеет вид:
  (5) .
  Зависимость координаты от времени определяется в неявном виде:
  (6) .

  Для прямолинейного равномерного движения :
  ;
  ;
  .

  Для прямолинейного равноускоренного движения :
  ;
  ;
  ;
  .

  Приведенные здесь формулы можно применить не только для прямолинейного движения, но и для некоторых случаев криволинейного движения . Например для трехмерного движения в прямоугольной системе координат , если движение вдоль оси не зависит от проекций величин на другие координатные оси. Тогда формулы (1) - (6) дают зависимости для проекций величин на ось .

  Также эти формулы применимы при движении по заданной траектории при естественном способе задания движения. Только здесь в качестве координаты выступает длина дуги траектории, отсчитываемая от выбранного начала отсчета . Тогда вместо проекций и следует подставить и - проекции скорости и ускорения на выбранное направление касательной к траектории.

  Прямолинейное движение при известной зависимости координаты от времени

  Рассмотрим случай, когда материальная точка движется по прямой линии. Выберем систему координат с началом в произвольной точке . Ось направим вдоль линии движения точки. Тогда положение точки однозначно определяется значением одной координаты .

  Если задан закон изменения координаты от времени :
  ,
  то дифференцируя по времени , найдем закон изменения скорости:
  .
  При точка движется в положительном направлении оси (на рисунке слева направо). При точка движется в отрицательном направлении оси (на рисунке справа налево).

  Дифференцируя скорость по времени, находим закон изменения ускорения:
  .
  Поскольку прямая не имеет кривизны, то радиус кривизны траектории можно считать бесконечно большим, . Тогда нормальное ускорение равно нулю:
  .
  То есть ускорение точки тангенциальное (касательное):
  .
  Что вполне естественно, поскольку и скорость и ускорение точки направлены по касательной к траектории - прямой, вдоль которой происходит движение.
  Если и одного знака (то есть оба положительные или оба отрицательные), то модуль скорости увеличивается (скорость возрастает по абсолютной величине). Если и разных знаков, то модуль скорости уменьшается (скорость убывает по абсолютной величине).

  Прямолинейное движение при известном ускорении

  Ускорение, зависящее от времени

  Пусть нам известен закон изменения ускорения от времени:
  .
  Нашей задачей является найти закон изменения скорости и закон изменения координаты от времени:
  ;
  .

  Применим формулу:
  .
  Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
  ;
  .
  Здесь - постоянная интегрирования. Отсюда видно, что только по известной зависимости ускорения от времени, нельзя однозначно определить зависимость скорости от времени. Мы получили целое множество законов изменения скорости, которые отличаются друг от друга на произвольную постоянную . Чтобы найти нужный нам закон изменения скорости, мы должны задать еще одно значение. Как правило таким значением является значение скорости в начальный момент времени . Чтобы это сделать перейдем от неопределенного интеграла к определенному:
  .
  Пусть - скорость точки в начальный момент времени . Подставим :
  ;
  ;
  .
  Таким образом закон изменения скорости от времени имеет вид:
  (1) .

  Аналогичным образом определяем закон изменения координаты от времени.
  .
  (2) .
  Здесь - значение координаты в начальный момент времени .

  Подставим (1) в (2).
  
  .
  

  

  Область интегрирования в двойном интеграле.

  Если изменить порядок интегрирования в двойном интеграле, то получим:
  
  .

  Таким образом, мы получили следующие формулы:
  (3) ;
  (4) .

  Ускорение, зависящее от координаты

  Пусть теперь нам известен закон изменения ускорения от координаты:
  .
  Нам нужно решить дифференциальное уравнение:
  .
  Это дифференциальное уравнение не содержит независимую переменную в явном виде. Общий метод решения таких уравнений рассмотрен на странице “Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие независимую переменную в явном виде ”. Согласно этому методу мы считаем, что является функцией от :
  ;
  .
  Разделяем переменные и интегрируем:
  ;
  ;
  ;
  .
  Извлекая корень нужно учесть, что скорость может быть как положительной, так и отрицательной. На небольшом удалении от точки , знак определяется знаком постоянной . Однако, если ускорение направлено противоположно скорости, то скорость точки уменьшится до нуля и направление движения изменится на противоположное. Поэтому правильный знак, плюс или минус, выбирается при рассмотрении конкретного движения.
  (5) .
  В начале движения
  .

  Теперь определяем зависимость координаты от времени. Дифференциальное уравнение для координаты имеет вид:
  .
  Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . Разделяем переменные и интегрируем:
  (6) .
  Это уравнение определяет зависимость координаты от времени в неявном виде.

  Прямолинейное равномерное движение

  Применим полученные выше результаты для случая прямолинейного равномерного движения. В этом случае ускорение
  .
  ;
  . То есть скорость является постоянной, а координата линейно зависит от времени. Формулы (5) и (6) дают тот же самый результат.

  Прямолинейное равноускоренное движение

  Теперь рассмотрим прямолинейное равноускоренное движение.
  В этом случае ускорение является величиной постоянной:
  .
  По формулам (1) и (2) находим:
  ;
  
  .
  

  Если применим формулу (5), то получим зависимость скорости от координаты:
  .

  Прямолинейное движение в векторном виде

  Полученные формулы можно представить в векторном виде. Для этого достаточно умножить уравнения, определяющие , и на единичный вектор (орт) , направленный вдоль оси .

  Тогда радиус-вектор точки, векторы скорости и ускорения имеют вид:
  ;
  ;
  .

  

  Поделитесь статьей с друзьями:
  Похожие статьи
  • 

    Тренировочные задания к ket for schools
  • 

    «А мы с живым писателем встретились!
  • 

    Указания времени – Zeitangaben Четверг по немецки