Проецирование линии пересечения двух поверхностей вращения второго порядка на плоскость, параллельную их общей плоскости симметрии. Проецирование тел с отверстиями Пересечение двух цилиндров изометрия

Пересечение цилиндров в этой статье определяется методом секущих сфер. Но для начала необходимо ознакомиться с заданием, расположено снизу.

Ознакомившись с данным заданием, можно приступать к выполнению вычерчивания.

Порядок выполнения работ на пересечение цилиндров:

1.) Первоначально чертятся фигуры.

2.) После построения необходимо наименьший радиус вспомогательной секущей сферы (он находится от места пересечения осей фигур до края фигуры, имеющую по ширине больший размер). В данном случае наименьший радиус имеет длину от сопряжения осей до края вертикально расположенного цилиндра.

3.) Построенный радиус пересекает каждую фигуру в двух точках («1» соединяем с «2», «3» с «4»), которые соединяем между собой и в месте пересечения образуется первая точка.

4.) Чертятся еще вспомогательные сферы (радиусы берутся произвольно) с последующим определением точек. Принцип определения точек описан в «3» пункте.

5.) Точки 1 2 и 5 2 можно сразу показать, потому что фигуры расположены на одной оси, если посмотреть сверху.

6.) Следующим шагом необходимо перенести все найденные точки в верхнем изображении в нижний. И для этого строится вспомогательная окружность (расположена справа), к которой от точек ведутся прямые (обозначены красным, синим и зеленым цветами).

7.) Отрезки (обозначены красным, синим и зеленым цветами) более утолщенные отмеряем от оси, как указано на рисунке. И от них проводим прямые до пересечения с линиями опущенные от точек.

На чертежах деталей машин часто встречаются линии пересечения поверхностей, или, иначе, линии перехода . Поэтому необходимо изучить приемы построения этих линий.

Взаимное пересечение многогранников. На рис. 177, а приведены три изображения двух пересекающихся призм - четырехугольной и треугольной. Построение фронтальной проекции на рисунке не закончено; проекция линии пересечения на ней не показана. Требуется построить проекции линии пересечения на всех изображениях чертежа.

Рассматривая горизонтальную и профильную проекции, можно установить, что боковые грани вертикально расположенной призмы перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций; проекция линии пересечения на эту плоскость совпадает с проекциями боковых граней, т. е. с отрезками прямых линий. Профильная проекция линии пересечения также совпадает с профильной проекцией треугольной призмы. Никаких дополнительных линий на этих проекциях не будет (рис. 177, б). Следовательно, решение задачи сводится к построению фронтальной проекции линии пересечения. Для этого нужно найти точку пересечения ребер одной призмы с гранями другой.

При решении задачи сначала определяют ребра каждой из призм, которые не пересекают грани другой (эти ребра на рис. 177, б не помечены цифрами). Затем, рассматривая профильную и горизонтальную проекции, видим, что ребра 1 - 2 и 3-4 пересекают наклонные грани треугольной призмы. Места пересечения-точки встречи ребер 1-2 и 3-4 с контуром профильной проекции треугольной призмы, т. е. а", b", с", d" видны на чертеже. Проекции невидимых точек заключены в скобки.

Горизонтальные проекции а, b, с, d точек A, В, С, D расположены на горизонтальных проекциях ребер 1-2 и 3-4. Проекции ребер изображаются в виде точек. Фронтальные проекции - точки а" b", с", а" определяют при помощи линий связи. Далее устанавливают, что ребра 5-6 и 7-8 треугольной призмы пересекают грани четырехугольной. Горизонтальные проекции точек пересечения е, f, g, h видны на чертеже. Фронтальные проекции точек Е, F, G, Н находят, проводя линии связи к проекциям соответствующих ребер. Чтобы получить линию пересечения, нужно соединить полученные точки прямыми линиями. Соединяют те точки, которые находятся на одних и тех же гранях каждой призмы. Затем нужно последовательно соединить точки а", b", g", h", d", с",f", е". Отрезки e"f" и g"h" - линии пересечения на фронтальной проекции - невидимы, так как закрыты наклонными гранями треугольной призмы, поэтому их обводят штриховой линией.

Наглядное изображение пересекающихся призм дано на рис. 177, в.

На рис. 178 показано построение линии пересечения четырехугольной усеченной пирамиды и четырехугольной призмы. Построение выполнено аналогично приведенному на рис. 177. На фронтальной проекции линия пересечения совпадает с проекцией боковых граней призмы, так как они перпендикулярны фронтальной плоскости проекции (см. рис. 178). Верхнее и нижнее ребра призмы пересекаются с передним и задним ребрами пирамиды в точках 1, 2, 3, 4, проекции которых 1", 2", 3", 4" находятся в точках пересечения соответствующих ребер. Имея фронтальные и профильные проекции точек 1, 2, 3, 4, находят их горизонтальные проекции при помощи линий связи, как показано стрелками на чертеже.

Точки пересечения других двух ребер призмы с гранями пирамиды без дополнительного построения получить нельзя. Чтобы определить эти точки, призму и пирамиду пересекают горизонтальной секущей плоскостью Р. При пересечении плоскости Р с пирамидой образуется ромб, стороны которого будут параллельны сторонам оснований пирамиды. Ромб легко построить, спроецировав точку а" на горизонтальную плоскость проекций и проведя прямые, параллельные сторонам основания. При пересечении плоскости Р с призмой образуется прямоугольник, равный горизонтальной проекции призмы. Точки 5, 6, 7, 8 пересечения контуров ромба и прямоугольника будут искомыми точками линий пересечения обоих тел.

Профильные проекции 5", 6"", 7", 8" получены при помощи линий связи. В скобках проставлены проекции невидимых точек. Соединяя прямыми проекции точек, расположенных на одних и тех же гранях пирамиды и призмы, т. е. точки 1, 6, 2, 5, точки 3, 8, 4, 7, точки 1", 5", 2" и точки 3", 7", 4", получают недостающие проекции линии пересечения.

Взаимное пересечение тел вращения.

На рис. 179 показано построение линии пересечения двух цилиндров разных диаметров; оси цилиндров взаимно перпендикулярны и пересекаются.

На рис. 179, а изображены деталь, предназначенная для соединения труб,- тройник, и ее упрощенная модель - два пересекающихся цилиндра. Пересекаясь, цилиндрические поверхности образуют пространственную кривую линию. Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией вертикально расположенного цилиндра, т. е. с окружностью (рис. 179, б). Профильная проекция линии пересечения совпадает с окружностью, являющейся профильной проекцией горизонтально расположенного цилиндра. Отметив на горизонтальной проекции характерные точки 1, 2, 3, находят их профильные проекции 1", 2", 3", которые расположены на дуге окружности. По горизонтальной и профильной проекциям точек 1, 2, 3 находят их фронтальные проекции 1", 2", 3". Таким образом, находят проекции точек, определяющих линию перехода.

В ряде случаев такого количества точек недостаточно, и чтобы получить дополнительные точки, применяют способ вспомогательных секущих плоскостей . Этот способ заключается в том, что поверхность каждого тела пересекают вспомогательной плоскостью, образующей фигуры сечений, контуры которых пересекаются. Точки, полученные при пересечении контуров сечений, являются точками линии пересечения. В данном случае оба цилиндра пересекают вспомогательной горизонтальной секущей плоскостью (рис. 179, в). При пересечении вертикально расположенного цилиндра образуется окружность, а горизонтально расположенного цилиндра - прямоугольник. Точки пересечения 4 и 5 окружности и прямоугольника принадлежат обоим цилиндрам и, следовательно, определяют линию пересечения обоих тел (см. рис. 179, а). Отметив профильные, а затем горизонтальные проекции точек 4 и 5, при помощи линий связи находят фронтальные проекции (см. рис. 179, в). Полученные точки соединяют плавной кривой.

При необходимости увеличить число точек, определяющих линию пересечения, проводят еще несколько параллельных вспомогательных секущих плоскостей.

Если оба цилиндра имеют одинаковые диаметры , то одна из проекций линий пересечения представляет собой пересекающиеся прямые (рис. 179, г и д), а линии пересечения - эллипсы.

Линия пересечения шара и прямого кругового цилиндра, ось которого проходит через центр шара, показана на рис. 180. Как видно из чертежа, на одной проекции линия пересечения изображается окружностью, а на другой проецируется в прямую линию.

Проецирование тел с отверстиями. В технике встречаются детали с отверстиями цилиндрической, прямоугольной или какой-либо другой формы (рис. 181). При пересечении отверстий с поверхностями деталей образуются линии пересечения, форму которых в ряде случаев необходимо воспроизвести на чертеже. Задача эта решается в общем виде теми же способами, что и построение линий пересечения геометрических тел.

На рис. 182, а показан цилиндр с боковым отверстием цилиндрической формы. Оси цилиндра и отверстия пересекаются под прямым углом. Линия пересечения есть пространственная кривая. Построение линии пересечения было показано на рис. 179, а получение характерных точек данной кривой дано на рис. 182, а.

Линия пересечения цилиндра с отверстием прямоугольной формы при пересечении осей под прямым углом показана на рис. 182, б. Для построения линии пересечения на горизонтальной проекции выбраны характерные точки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Профильные проекции 1", 2", 3", 4"", 5"", 6" расположены на окружности, являющейся проекцией цилиндра. Фронтальные проекции 1, 2", 3", 4", 5", 6" находят по полученным горизонтальным и профильным проекциям. Соединив точки 1", 2", 3", 4", 5", 6" прямыми, получают ломаную линию пересечения в виде прямоугольной впадины.

На рис. 182, в показана линия пересечения цилиндра с отверстием, образованным четырехугольной призмой, и двумя полуцилиндрами. Такую форму имеет шпоночная канавка. Линия пересечения представляет собой прямолинейную впадину (см. рис. 182, б) с криволинейными краями (см. рис. 182, а).

Ответьте на вопросы

1. В чем заключается способ вспомогательных секущих плоскостей? Для чего его применяют?

2. Какую форму имеет линия пересечения двух цилиндров разных диаметров и двух цилиндров одинаковых диаметров, если оси цилиндров пересекаются?

Задания к § 25 и главе IV

Упражнение 83

По двум данным проекциям детали начертите третью (рис. 183). Постройте недостающие проекции точек А и В, заданных проекциями а и b" расположенных на видимых гранях. Выполните аксонометрическую проекцию, проставьте на ней размеры и нанесите точки А и Б.

Ответьте на вопросы

1. Какие проекции даны на чертеже?

2. Чему равны габаритные размеры детали?

3. Каковы размеры прямоугольного паза на детали?

4. Какова шероховатость поверхности, изображенной на главном виде штриховой линией?

5. Нужно ли обрабатывать основание детали и боковые стороны?

6. Нужно ли обрабатывать верхнюю наклонную плоскость детали?

Упражнение 84

По двум проекциям детали начертите третью (рис. 184). Постройте недостающие проекции точки, расположенной на видимой поверхности детали и заданной фронтальной проекцией d.

Ответьте на вопросы к рис. 184

1. Какова исходная форма детали?

2. Какие проекции даны на чертеже?

3. Что обозначают штриховые линии на фронтальной проекции?

4. Что обозначают две горизонтальные штриховые линии на профильной проекции?

5. Чем вызвано появление на фронтальной проекции двух вогнутых линий?

6. Можно ли без дополнительных построений обозначить на профильной проекции точку В, заданную фронтальной проекцией b"? Где находится эта точка на профильной проекции?

7. Каковы габаритные размеры детали?

8. Какие размеры определяет положение отверстия диаметром 40 мм?

9. Допустима ли обточка детали под размер 119,98 мм?

10. Допустима ли обточка детали под размер 119,8 мм? Если нет, то можно ли такой брак исправить?

11. Допустима ли обработка паза 60 мм под размер 60 -0,1 ? Если нет, то можно ли такой брак исправить?

12. Нужно ли наносить размер между линиями, обозначенными цифрой 1 в зеленом четырехугольнике? В результате чего образовались эти линии?

13. Какова должна быть шероховатость большей части поверхности детали?

14. Какова шероховатость двух параллельных плоскостей в каждом из пазов?

Упражнение 85

По наглядным изображениям деталей (рис. 185, а-в) выполните чертежи в системе прямоугольных проекций. Масштаб чертежей возьмите 2: 1. Размеры определите обмериванием наглядных изображений.

Ответы к упражнениям главы IV

К упражнению 50

Обозначение	Наименование
1	Линия связи
2	Изображаемый предмет
3	Профильная проекция (вид слева)
4	Профильная плоскость проекций (W)
5	Фронтальная плоскость проекций (V)
6	Фронтальная проекция (вид спереди)
7	Горизонтальная плоскость проекций (Н)
8	Горизонтальная плоскость проекций (вид сверху)
9	Проектириующие лучи
А	Вид сперди (главный вид)
Б	Вид слева
В	Линия связи
Г	Вспомогательная прямая
Д	Вид сверху

К упражнению 54

К упражнению 56

На примеры 1 и 2 ответы следующие (на примеры 3, 4, 5 ответы не приводятся):

В примерах 1 и 2 виды должны быть расположены так:

АБ АВ В Б

К упражнению 57

Пример решения задачи дан на рис. 277.

К упражнению 58

Пример решения задачи дан на рис. 278.

К упражнению 59

Чтобы выбрать правильное положение для главного вида, надо смотреть на детали по направлению, указанному стрелками со следующими буквами.

Построение прямоугольной изометрической проекции рассматриваемого цилиндра с учётом ранее выполненной привязки этой фигуры к прямоугольной системе координат Оxyz (см. рисунок 3.2) начнём с изображения аксонометрических осей (см. рисунок 2.4) на отдельном листе ватмана формате А3 или А4.

Далее построим аксонометрическую проекцию окружности верхнего основания цилиндра. Такой проекцией является эллипс, имеющий следующее соотношение большой и малой осей: Б.о. = 1,22 d , М.о. = 0,71 d , - где d - диаметр изображаемой окружности. Малая ось эллипса всегда располагается вдоль «свободной» координатной оси. «Свободной» называют координатную ось, перпендикулярную плоскости, в которой расположена изображаемая окружность. В рассматриваемом примере окружности оснований цилиндра располагаются в плоскостях, параллельных П 1 и «свободной» является ось Oz .

Сначала графически определим размеры осей эллипса. Известно, что в прямоугольной изометрической проекции размер малой оси эллипса равен длине стороны квадрата, вписанного в изображаемую окружность. Поэтому на виде сверху чертежа цилиндра построим такой квадрат (рисунок 3.7) и определим длину отрезка t – половины стороны квадрата. В последующем для упрощения построений при определении на ортогональном чертеже длины отрезка t будет использована лишь линия, расположенная под углом 45° к координатным осям (без изображения квадрата целиком).

Далее на аксонометрическом чертеже (рисунок 3.8), по «свободной» оси O¢z¢, в обе стороны от начала координат О¢ отложим отрезок t и получим точки B¢ и D¢ , определяющие малую ось эллипса. Для нахождения точек А¢ и С¢ , определяющих большую ось эллипса, из найденных точек B¢ и D¢, как из центров,построим две дуги радиуса R=2t до их взаимного пересечения. Соединяя найденные точки между собой, определим большую ось эллипса.

Построим вместо эллипса овал - замкнутую кривую, представляющую собой четыре последовательно сопряжённые дуги окружностей радиуса R и r . Для этого сначала определим центры этих дуг (рисунок 3.9). Центры О 1 и О 2 дуг радиуса R определим на оси O¢z¢ в точках пересечения её с окружностью радиуса, равного большой полуоси эллипса, а центры О 3 и О 4 дуг радиуса r определяем в точках пересечения большой оси эллипса с окружностью радиуса, равного малой полуоси эллипса. После этого определяются и радиусы дуг:
R =О 1 В¢ = О 2 D¢; r = О 3 А¢ = О 4 С¢ (рисунок 3.10). Далее из найденных центров О 1 , О 2 , О 3 , О 4 циркулем строим четыре сопряжённые дуги овала. Напомним, что точка сопряжения двух дуг располагается на прямой, проходящей через центры этих дуг. Например, точка N сопряжения нижней дуги радиуса R с левой дугой радиуса r находится на прямой, проходящей через центры

О 2 и О 3 рассматриваемых дуг.

Аксонометрию нижнего основания цилиндра строим смещением вниз на величину h центров О 1 , О 2 , О 3 , О 4 дуг овала верхнего основания (рисунок 3.11). Далее строим ¼ часть выреза цилиндра и изображаем фронтальную вторичную проекцию призматического отверстия, образованного плоскостями a, b и g (рисунок 3.12). Размеры a, b и с , необходимые для этого переносим на аксонометрический чертёж из ортогонального чертежа (см. рисунок 3.2) параллельно соответствующим аксонометрическим осям.

Обозначим через m¢ и n¢ аксонометрические очерковые образующие цилиндра (рисунок 3.13) и построим их фронтальные вторичные проекции m¢ 2 и n¢ 2 (последовательность построений показана стрелками). Далее отметим точки 1 2 ¢, 2 2 ¢, 3 2 ¢, 4 2 ¢ - пересечение линий фронтальной вторичной проекции отверстия в цилиндре с фронтальными вторичными проекциями линий аксонометрического очерка и находим точки 1¢, 2¢, 3¢, 4¢ разрыва линий m¢ и n¢ - аксонометрических очерковых образующих конуса граничными линиями отверстия в нём (рисунок 3.14).

Строим в аксонометрии граничные линии отверстия. Для этого сначала на вторичной фронтальной проекции отверстия находим промежуточные точки (рисунок 3.15), используя размеры g и f , перенесённые из ортогонального чертежа (см. главный вид на рисунке 3.2).С помощью указанных вторичных проекций строим аксонометрические проекции промежуточных точек, расположенных на граничных линиях отверстия в цилиндре. Последовательность построения этих точек показана на рисунке 3.16 стрелками. Отрезки, длины которых использованы при по строении аксонометрических

проекций промежуточных точек, помечены штрихами на рисунках 3.2 и 3.16. Соединяя полученные точки, плавной кривой, получим изображения тех граничных линий отверстия в цилиндре, которые формируются плоскостью g . Эти линии помечены на рисунке 3. 16 стрелками А и Б. Аналогично можно построить точки и изображение граничной линии отверстия, формируемой плоскостью b . Однако основная часть этих точек не видна и поэтому не требуется их построение.

Строим овал, определяющий горизонтальную часть призматического отверстия в цилиндре, формируемую плоскостью a (рисунок 3.17). Для этого можно использовать дуги R и r овала верхнего основания конуса, найдя новые центры этих дуг. У построенного овала сохраняем лишь те его участки, которые видны в аксонометрии.

Для окончательного оформления аксонометрического чертежа цилиндра наносим штриховку тех элементов выреза цилиндра, которые располагаются в плоскостях хОz и уОz (рисунок 3.18). Определить направление линий штриховки в аксонометрии по указанным координатным плоскостям можно следующим образом (рис. 3.19). Построим окружность произвольного радиуса с центром в начале координат и соединим между собой точки пересечения этой окружности с координатными осями, определяющими рассматриваемые плоскости. Построенные отрезки и определят направления линий штриховки по указанным плоскостям.

Подчеркнём, что окончательное оформление аксонометрического чертежа рассматриваемого цилиндра требует плавного соединения всех полученных точек при изображении сквозного отверстия и обводку всех видимых линий контура изображения цилиндра.

3.4. Построение ортогонального и аксонометрического чертежей
конуса вращения

Переходим к рассмотрению в задаче 2 построения ортогонального и аксонометрического чертежей конуса вращения.

На рисунке 3.20 показаны изображения: главный вид и частично вид сверху прямого кругового усечённого конуса, а также габаритный прямоугольник для последующего построения вида слева.

Рассматриваемый конус имеет сквозное отверстие, образованное тремя плоскостями: горизонтальной плоскостью a , рассекающей коническую поверхность по окружности, и двумя фронтально проецирующими плоскостями b и g , рассекающими его поверхность по эллипсам.

Для построения видов сверху и слева, а также аксонометрического изображения данного конуса осуществим привязку этой фигуры к прямоугольной системе координат Оxyz (рисунок 3.21). В качестве горизонтальной координатной плоскости выберем плоскость нижнего основания конуса.

На главном виде отмечаем характерные и промежуточные точки граничных линий отверстия и выполняем их построение на виде сверху.

Сначала рассмотрим точки 1, 2, 3 , расположенные на горизонтальных граничных линиях отверстия, формируемых плоскостью a (см. рисунок 3.21). Эти точки (всего их шесть) определяем на виде сверху по линиям связи на окружности радиуса R . Указанный радиус измеряем на главном виде, в плоскости a от оси конуса до его очерковой образующей.

Аналогично определяем горизонтальные проекции точек 4, 5 и 6 граничных линий отверстия, расположенных в плоскости b (рисунок 3.22). Для этого строим окружности радиуса R 1 , R 2 и R 3 , расположенные в промежуточных горизонтальных плоскостях a 1 , a 2 , a 3 .

Аналогично строим на виде сверху точки граничных линий отверстия, расположенных в плоскости g . Последовательно соединяем найденные горизонтальные проекции точек плавными кривыми. Окончательное оформление вида сверху показано на рисунке 3.23. Здесь линиями невидимого контура показаны линии пересечения плоскостей a и b , g и b , a и g .

Построение профильных проекций рассматриваемых точек (см. рисунок 3.23) осуществляем как по линиям связи (точки 3 3 и 6 3 ) на линиях профильного очерка конуса, так и переносом отрезков ординат точек с вида сверху на вид слева. Переносимые отрезки показаны одинаковыми символами как на виде сверху, где они измеряются, так и на виде слева, где они откладываются. Последовательно соединяем найденные профильные проекции точек

плавной кривой, а также изображаем линии невидимого контура, определяющие линии пересечения плоскостей a и b ,
g и b , a и g .

Далее строим горизонтальный и профильный разрезы конуса. Моделирование горизонтального и профильного разрезов конуса, имеющего сквозное отверстие, показано на рисунке 3.24. Изображение горизонтального разреза выполняем на виде сверху, а профильного – на виде слева (рисунок 3.25). В обоих случаях совмещаем половину соответствующего вида с половиной разреза, используя вертикальную осевую линию в качестве границы между этими изображениями. На совместном изображении разрезы располагаем справа от границы, а виды слева от неё. Производим обозначение горизонтального разреза. После построения на чертеже необходимых разрезов на всех его изображениях удаляем линии невидимого контура.

Более подробная информация о правилах построения и обозначения разрезов в соответствии с ГОСТ 2.305 – 68 приведена в разделе 3.2.

Построим прямоугольную изометрическую проекцию рассматриваемого конуса, используя привязку к нему ортогональной системы координат Оxyz , выполненную ранее (см. рисунок 3.21). На отдельном листе ватмана формата А3 или А4 изобразим аксонометрические оси (см. рисунок 2.4).

Далее построим аксонометрические проекции окружностей нижнего и верхнего оснований конуса. Такими проекциями будут два эллипса, центры которых располагаются на координатной оси O¢z¢ и смещены относительно друг друга на расстояние h (рисунок 3.26). Эллипсы имеют следующее соотношение большой и малой осей: Б.о. = 1,22 d , М.о. = 0,71 d , - где d - диаметр изображаемой окружности. Малая ось эллипсов располагается вдоль «свободной» координатной оси O¢z¢ , а её размер равен длине стороны квадрата, вписанного в изображаемую окружность.

Для удобства построений вместо эллипсов изображаем овалы (см. рисунки 3.9 и 3.10). При этом используем графическое определение как малых полуосей эллипсов (см. на рисунке 3.20, на виде сверху отрезки t и t¢ ), так и больших полуосей (см. рисунок 3.8).

Далее строим прямые m¢ и n¢, являющиеся аксонометрическим очерком конической поверхности (рисунок 3.27). При этом определяем точки касания этими линиями эллипсов, являющихся основаниями конуса. Для этого удлиняем образующие а¢ и b¢ до точек А¢ и В¢ пересечения этих линий с верхним основанием конуса. Образующие а¢ и b¢ вместе с осевой линией чертежа образуют три прямые, проходящие через вершину конyса. Эта вершина на чертеже недоступна. Указанные три прямые пересекают эллипсы (овалы) оснований в шести точках. Соединяем точки пересечения с овалом смежных прямых крест на крест, а через точки их пересечений (см., например точки С¢ и D¢ ) проводим прямые до пересечения с эллипсами (см. точки E¢ , F¢, Q¢ , L¢ ). Найденные точки нижнего и верхнего оснований конуса соединяем отрезками прямых. Это и будут линии аксонометрического очерка конуса.

Затем выполняем вырез ¼ части конуса и строим фронтальную вторичную проекцию призматического отверстия в конусе, т. е. по

существу строим фронтальные вторичные проекции плоскостей a, b и g , формирующих отверстие в конусе (рисунок 3.28). При этом размеры a, b и c из ортогонального чертежа (см. главный вид на рисунке 3.23) переносим на аксонометрический чертёж параллельно соответствующим аксонометрическим осям.

Далее необходимо построить точки 1¢, 2¢, 3¢ и 4¢ разрыва линий аксонометрического очерка конуса граничными линиями отверстия в нём. Однако перед этим предварительно определим их фронтальные вторичные проекции 1 2 ¢, 2 2 ¢, 3 2 ¢, 4 2 ¢ (рисунок 3.29). Для этого сначала строим фронтальные вторичные проекции m 2 ¢, n 2 ¢ очерковых образующих конуса и находим точки пересечения этих проекций с линиями вторичной проекции отверстия. Последовательность этих построений показана стрелками. При этом подчеркнём, что построения начинаются не в конечных точках больших осей эллипсов (овалов), а в граничных точках E¢ , F¢, Q¢ , L¢ аксонометрических очерковых образующих, построенных ранее. Далее находим искомые точки 1¢, 2¢, 3¢ и 4¢ (рисунок 3.30).

Строим аксонометрические проекции промежуточных точек граничных линий отверстия. Для этого сначала на линиях фронтальной вторичной проекции отверстия намечаем промежуточные точки (рисунок 3.31). При этом используем размеры g и f, перенося их из ортогонального чертежа (см. рисунок 3.23). Далее через найденные вторичные проекции проводим прямые, параллельные оси О¢у¢, и откладыванием на них в обе стороны ординаты искомых точек (рисунок 3.32). Ординаты промежуточных точек, помеченные штрихами, переносим из ортогонального чертежа (см. рисунок 3.23) на аксонометрический чертёж. При этом изображаем лишь точки, видимые на аксонометрическом чертеже. Последовательно соединяя найденные точки плавными кривыми (дугами эллипсов), строим видимые участки граничных линий отверстия в конусе, формируемые плоскостью b (см. на рисунке 3.32 линии А и Б ) и плоскостью g (см. линию В ).

Строим овал, определяющий граничные линии горизонтальной части отверстия в конусе и формируемые плоскостью a (рисунок 3.33). Границы видимости условно показаны стрелками. Изображаем прямую, являющуюся линией пересечением плоскостей a и g.

Выполняем штриховку участков конуса, расположенных в координатных плоскостях хОz и уОz . Определение направлений линий штриховки в прямоугольной изометрии показано на рисунке 3.19.

Окончательное оформление аксонометрического чертежа конуса со сквозным отверстием (рисунок 3.34) требует тщательной обводки всех линий изображения: дуги овалов обводятся циркулем, а другие кривые – с помощью лекала.

4. Построение ортогонального и аксонометрического чертежей детали
(третья задача)

Планировка листа и построение изображений детали по размерам, нанесённым на эти изображения в индивидуальном задании, показаны на рисунке 4.1. Изображения включают в себя: главный вид, вид сверху, а также габаритный прямоугольник для дальнейшего построения вида слева.

Для построения вида слева и аксонометрического чертежа детали осуществим привязку детали к прямоугольной системе координат Оxyz (рисунок 4.2). За горизонтальную координатную плоскость примем плоскость верхнего основания цилиндрической плиты, срезанной по бокам двумя фронтальными плоскостями, и имеющей два полуовальных выреза. На этой плите расположен цилиндр вращения, ось которого совпадает с координатной осью Оz . Его подкрепляют два ребра жёсткости – призматические элементы треугольной формы. Внутренняя форма детали состоит из сквозного ступенчатого цилиндрического отверстия.

При построении вида слева особый интерес представляет построение дуги эллипса, образованного пересечением цилиндра с наклонной гранью ребра жёсткости. Построение выполнено по трём точкам (1, 2 и 2 ) путём переноса с вида сверху на вид слева ординаты точек 2 и 2 , равной полуширине ребра жёсткости (см. размер b/2 ). Точка 1 в принятой системе координат имеет нулевую ординату.

В третьей задаче кроме видов необходимо построить фронтальный и профильный разрезы детали. Так как рассматриваемая деталь имеет две плоскости симметрии: фронтальную и профильную, - и по этим плоскостям выполняется её рассечение, то положение секущих плоскостей на чертеже не указываем, а разрезы совмещаем с половинами соответствующих видов (рисунок 4.3). Границей между этими изображениями является ось симметрии (штрих пунктирная линия). Вид оставляем слева от осевой линии, а разрез помещаем справа от этой линии. При выполнении разрезов удаляем все линии, изображающие внешнюю форму детали, а линии невидимого контура (штриховые линии) заменяем сплошными основными линиями. На всех видах удаляем штриховые линии. Контуры детали, расположенные в секущих плоскостях, заштриховываем тонкими параллельными линиями, расположенными под углом 45° к линиям основной надписи чертежа. Направление штриховки должно быть одинаковым для всех выполненных разрезов. Рекомендуется соблюдать интервал штриховки, равный 2,5 … 3 мм.

Напомним, что круглое основание любого цилиндрического или конического элемента детали, расположенное в координатной плоскости или параллельно такой плоскости, в прямоугольной изометрии изображается эллипсом, имеющим следующее соотношение большой и малой осей: Б.о. = 1,22 d , М.о. = 0,71 d , - где d - диаметр изображаемой окружности. Малая ось эллипсов располагается вдоль «свободной» координатной оси, - оси, перпендикулярной плоскости, в которой расположена изображаемая окружность,а размер малой оси равен длине стороны квадрата, вписанного в изображаемую окружность. Для удобства построения и получения лучшего качества изображения на аксонометрическом чертеже вместо эллипсов строим овалы – циркульные кривые (см. рисунки 3.9 и 3.10). Поэтому сначала строим овалы, определяющие горизонтальные вторичные проекции всех цилиндрических элементов детали (рисунок 4.4). Для графического определения малых полуосей эллипсов используем построения, показанные на рисунке 4.3 (см. размер а и отрезки, помеченные штрихами). Размеры b, c, m и n , используемые для построений, переносим с ортогонального чертежа (см. рисунок 4.2).Далее строим прямые, определяющие горизонтальные вторичные проекции плоских элементов детали (рисунок 4.5). На следующем этапе построения аксонометрии удаляем ненужные линии чертежа с учётом выполнения в дальнейшей выреза ¼ детали (рисунок 4.6).

Далее создадим объёмное изображение основания детали (рисунок 4.7). Для этого из точек горизонтальной вторичной проекции основания детали, расположенных ближе к наблюдателю, строим вспомогательные прямые, параллельные оси О¢ z¢, и на них откладываем вниз отрезки длиной t , определяющей толщину плиты основания. Таким образом, определяем точки контура нижней части основания. Изображения плоских участков основания выполняем лишь по их граничным точкам, а для цилиндрических участков строим и промежуточные точки. Длину отрезка t определяем на ортогональном чертеже (см. рисунок 4.2). Соединяя найденные точки нижней плоскости основания прямыми или плавными кривыми и удаляя ненужные вспомогательные вертикальные отрезки, построим основание детали.

Аналогично с помощью вспомогательных вертикальных отрезков длиной Н , используя горизонтальные вторичные проекции цилиндрических элементов, можно построить точки верхнего основания этих элементов детали (рисунок 4.8). Найденные точки соединяем плавными кривыми, а вспомогательные вертикальные отрезки и невидимые линии чертежа удаляем. Для построения изображения рёбер жёсткости находим точки 1¢ и 2 ¢ (рисунок 4.9). Для этого из соответствующих точек горизонтальных вторичных проекций рёбер строим вспомогательные вертикальные отрезки длиной е и f . Длины этих отрезков измеряем на ортогональном чертеже (см. рисунок 4.2). Строим лишь видимые элементы рёбер, а невидимые удаляем.

Удалив все невидимые линии чертежа, включая вторичные проекции цилиндров и рёбер жёсткости, построенные ранее, приступаем к изображению элементов нижней части ступенчатого цилиндрического отверстия (рисунок 4.10). Построение нижней видимой части окружности цилиндрического отверстия меньшего радиуса осуществляем с помощью вспомогательных вертикальных отрезков длиной h , проведенных вниз из пяти точек верхнего основания этого отверстия. Три из пяти построенных точек соединяем плавной кривой.

Для изображения в аксонометрии видимой части окружности радиуса r цилиндрического углубления, расположенного в нижней части детали, строим образующие этой цилиндрической поверхности, попадающие в вырез ¼ части детали и овал, соответствующий окружности цилиндрического углубления, расположенной в нижней плоскости основания детали (см. на рисунке 4.10 овал, изображённый штриховой линией). У построенного овала сохраняем лишь его видимую часть, показанную на рисунке 4.10 стрелкой.

В заключение производим обводку чертежа и наносим штриховку (рисунок 4.11). Определение направлений линий штриховки в аксонометрии показано на рисунке 3.19.

Окончательное оформление аксонометрического чертежа детали требует плавного (с помощью лекал) соединения построенных точек кривых линий, изображающих как элементы сквозного ступенчатого цилиндрического отверстия в детали, так и элементы её внешней формы. Завершается оформление чертежа заполнением его основной надписи.

Окончательно оформленные ортогональный и аксонометрический чертежи детали показаны соответственно на рисунках 4.12 и 4.13.

Отметим также, что во всех рассмотренных ранее построениях измерение размеров на ортогональном чертеже и перенос их на аксонометрический чертеж производилось с помощью измерителя.

На изображениях ортогонального и аксонометрического чертежей рекомендуется сохранять характерные и вспомогательные точки построенных линий, без обозначения этих точек.

Литература

1. Единая система конструкторской документации. Общие правила выполнения чертежей. М., 1991,453 с.

2. Аверин В.Н., Куколева И Ф. Нанесение размеров на чертежах. Методические указания к практическим занятиям по инженерной графике. М.: МИИТ, 2008. 37 с.

3. Аверин В.Н., Пуйческу Ф.И. Прямоугольная изометрическая проекция. Методические указания к практическим занятиям по инженерной графике. М.: МИИТ, 2008. 23 с.

Учебно-методическое издание

Алгоритм решения задачи Способ вспомогательных концентрических сфер применяется, если:

Обе поверхности – поверхности вращения;

Оси поверхностей пересекаются;

Общая плоскость симметрии тел параллельна какой-либо плоскости проекций.

Точку пересечения осей вращения принимают за центр концентрических сферических поверхностей и проводят ряд сфер, пересекающих обе поверхности.

В пересечении контуров получаемых окружностей находят общие для двух поверхностей точки. Наименьшей вспомогательной сферической будет поверхность, вписанная в большее тело.

Сфера наибольшего радиуса не должна выходить за наиболее удаленную точку пересечения тел.

Промежуточные сферы строятся произвольными радиусами и должны располагаться между наименьшей и наибольшей вспомогательными сферами.

При решении данной задачи:

1 Находим опорные точки – точки пересечения крайних образующих цилиндра с наклонной осью с крайней правой образующей вертикального цилиндра. Это будут высшая и низшая точки линии пересечения (А v и В v ).

2 Для построения промежуточных точек проводится ряд концентрических сфер, центры которых, будут лежать в точке пересечения осей заданных цилиндров (О v ).

3 Наименьшей сферической поверхностью здесь будет поверхность, вписанная в вертикальный цилиндр. Эта сфера касается вертикального цилиндра по окружности, которая проецируется в прямую 1v=2v , а наклонный цилиндр пересекает по окружности, проецирующуюся в прямую 3v=4v . Точка пересечения этих прямых (проекций окружностей) С v и будет общей для обоих цилиндров.

4 Для построения случайных (промежуточных) точек проведем ряд концентрических сфер. Рассмотрим построение этих точек на примере построения точки D v .

5 Проводим сферу, радиус которой больше радиуса окружности основания вертикального цилиндра. Эта сфера пересекает цилиндры по окружностям, проецирующим в прямые 5 v -6 v и 7 v -8 v . Точка пересечения этих прямых (D v ) и будет точкой, принадлежащей линии пересечения двух цилиндров.

6 Остальные точки строятся аналогично.

Рисунок 14 – Пересечение двух цилиндров

Карпова Ирина Евгеньевна

Карпов Егор Константинович

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Методические указания

к практическим занятиям и самостоятельной работе

студентов очной и заочной форм обучения

для студентов специальностей 190202.65, 190201.65

и направлений 220400.62, 220700.62, 221700.62, 151900.62, 150700.62, 190600.62, 190700.62

Редактор Е. А. Могутова

Подписано в печать Формат 60х84 1/16 Бумага тип. №1

Печать цифровая Усл. печ. л. 1,0 Уч.-изд. л. 1,0

Заказ Тираж 37 Не для продажи

РИЦ Курганского государственного университета.

640669, г. Курган, ул. Гоголя, 25.

Курганский государственный университет.

Похожая информация:

1. II. Динамика вращательного движения материальной точки (твердого тела) (задача 2)
2. III. Укажите номера предложений, в которых глагол-сказуемое стоит в группе завершенных времен
3. IX. Укажите номера предложений, в которых ing-форма переводится на русский язык причастием, оканчивающимся на –щий, -щая, щее

4. Пересечение многогранников

1 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

1.1 Общие положения

Кривые поверхности пересекаются в общем случае по пространственной кривой линии, проекции которой строятся обычно по точкам. Для нахождения этих точек заданные поверхности пересекают третьей вспомогательной секущей поверхностью, определяют линии пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных, затем находят общие точки построенных линий пересечения. Повторяя такие построения многократно, получают необходимое количество точек для определения линии пересечения.

Общий алгоритм построения линии пересечения поверхностей:

1) Выбирают вид вспомогательных поверхностей. При выборе вспомогательной секущей поверхности следует выбирать поверхности, которые пересекали бы заданные поверхности по наиболее п ростым для построения линиям - прямым или окружностям. В качестве вспомогательных поверхностей - посредников наиболее часто используют плоскости и сферы.

2 ) Строят линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями.

3) Находят точки пересечения полученных линий и соединяют их между собой.

4) Определяют видимость линии пересечения относительно рассматриваемых поверхностей и плоскостей проекций.

Построения начинают с определения характерных (опорных) точек (точки, расположенные на очерковых образующих поверхностей, которые обычно делят линию пересечения на видимую и невидимую части (границы видимости), высшая и низшая точки линии пересечения, крайние точки (правая и левая).

При построениях применяют способы преобразования чертежа, если это упрощает и утоняет построения.

1.2 Построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих плоскостей

Задача. Построить линию пересечения конуса и цилиндра вращения (рис. 186).

В первую очередь определяем характерные точки линии пересечения:

Проекции высшей и низшей точек А2 и E2 определены при помощи вспомогательной фронтальной плоскости Q, которая пересекает поверхность цилиндра и конуса по крайним образующим. Горизонтальные проекции точек находятся на горизонтальном следе Qπ2 вспомогательной плоскости.

Точки С и С найдены при помощи горизонтальной плоскости S , проведенной через ось цилиндра. Плоскость S пересекает поверхность цилиндра по крайним образующим (передней и задней), а поверхность конуса - по окружности. Пересечения горизонтальных проекций крайних образующих и окружности дают точки С 1 и С 1 - горизонтальные проекции точек С и С . Фронтальные проекции этих точек лежат на фронтальном следе плоскости S .

Промежуточные точки линии пересечения найдены при помощи горизонтальных плоскостей Р и R .

Рисунок 186

Рисунок 187

В рассмотренном примере точки линии пересечения найдены при помощи вспомогательных плоскостей частного положения. Иногда же введение плоскостей частного положения не дает желаемого эффекта и целесообразнее воспользоваться плоскостями общего положения.

1.3 Построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих сфер с постоянным центром

Известно, что если ось поверхности вращения проходит через

центр сферы и сфера пересекает эту поверхность, то линия пересечения сферы и поверхности вращения - окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности вращения. При этом если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии.

На рис. 187 показана фронтальная проекция пересечения сферы радиуса R и поверхностей вращения - конуса, тора, цилиндра, сферы, оси которых проходят через центр сферы

радиуса R и параллельны плоскости π 2 . Окружности, по которым пересекаются указанные поверхности вращения с поверхностью сферы, проецируются на плоскость в виде отрезков прямых. Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер.

Способ секущих сфер с постоянным центром применяют при следующих условиях:

1) обе поверхности являются поверхностями вращения;

2) обе поверхности вращения пересекаются; точку пересечения принимают за центр вспомогательных (концентрических) сфер;

3) плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть параллельна плоскости проекций. В том случае, если это условие не соблюдается, прибегают к способам преобразования чертежа.

Сфера радиуса (R min )

Рисунок 188

Пример. Построить линию пересечения конуса вращения и цилиндра вращения (рис. 188).

Оси заданных поверхностей вращения пересекаются (точка О ) и параллельны плоскости проекций π 2 , следовательно, необходимые для применения способа сфер условия имеются.

Определяем фронтальные проекции опорных точки 1 2 и 2 2 как точки пересечения фронтальных проекций очерков цилиндра и конуса. Горизонтальные проекции этих точек определяем при помощи линий проекционной связи.

Радиус сферы максимального радиуса (Rmax )

равен расстоянию от фронтальной проекции центра сфер O 2 до наиболее удаленной точки проекции точки пересечения очерков (точка 1 2 ).

минимального

Это сфера, которая может быть вписана в одно геометрическое тело и пересекающая другое.

Сфера минимального радиуса только касается поверхности конуса и, следовательно, пересекает ее но окружности, фронтальная проекция которой - прямая A 2 B 2 . Поверхность цилиндра

сфера R min пересекает также по окружности, фронтальная проекция которой - прямая C 2 D 2 . Пересечение этих прямых - точка 4 2 есть фронтальная проекция одной из точек искомой линии пересечения.

Аналогичным образом при помощи сферы промежуточного радиуса R i построена фронтальная проекция 3 2 еще одной точки, принадлежащей линии пересечения. Горизонтальные проекции найденных точек могут быть построены как проекции точек, лежащих на поверхности конуса.

2 ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

1 Соосные поверхности вращения

Соосные поверхности вращения пересекаются по окружности, так линиями пересечения конуса и цилиндра (рис. 189) являются две окружности, которые проецируются на горизонтальную плоскость в натуральную величину, а на плоскость π 2 - в отрезки прямых.

Рисунок 189

2 Пересечение поверхностей, описанных вокруг одной сферы

Как отмечалось ранее, линия пересечения двух кривых поверхностей в общем случае представляет собой пространственную кривую. Однако в некоторых частных случаях эта линия может распадаться на плоские кривые.

Теорема Монжа : две поверхности второго порядка, описанные около третьей поверхности второго порядка (или в нее вписанные), пересекаются между собой по двум кривым второго

Рисунок 188

3 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ МНОГОГРАННИКА

Каждая грань многогранника в общем случае пере секает кривую поверхность по плоской кривой. Эти кривые пересекаются между собой в точках встречи ребер многогранника с поверхностью. Таким образом, задача на построение линии пересечения кривой поверхности с многогранником сводится к нахождению линии пересечения поверхности плоскостью и точек встречи прямой с поверхностью.

Пример. Построение линии пересечения поверхностей полусферы

выполняем методом вспомогательных секущих плоскостей.

Каждая грань призмы пересекает поверхность полусферы по полуокружностям, которые пересекаются между собой в точках встречи ребер призмы с поверхностью полусферы.

В приведенном примере одна из граней призмы расположена параллельно фронтальной плоскости проекций, поэтому окружность, по которой эта грань пересекает поверхность полусферы, спроецируется на фронтальную плоскость проекций без искажения. Фронтальные проекции остальных двух дуг полуокружностей, очевидно, будут представлять собой дуги полуэллипсов. Построение их на эпюре следует начинать с нахождения опорных точек. Для этого через каждое ребро призмы проведены фронтальные плоскости (P и Q ), которые пересекают поверхность полусферы но окружностям.

Точки пересечения фронтальных проекций ребер с соответствующими

полуокружностями являются фронтальными проекциями точек встречи ребер призмы с полусферой (точек 1 , 2 , 3) .

Точки 4 и 5, разделяющие кривые на видимую и невидимую части, получены при помощи фронтальной плоскости S , проведенной через центр полусферы.

Промежуточные точки найдены аналогичным построением (при помощи фронтальных плоскостей R и Т ).

4 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ

Линия пересечения поверхностей двух многогранников представляет собой замкнутую пространственную ломаную линию (или две замкнутые ломаные линий), которая проходит через точки пересечения ребер одного из многогранников с гранями другого и ребер другого с гранями первого.

Построение линии пересечения многогранников можно производить двумя способами, комбинируя или выбирая из них тот, который в зависимости от условий дает более простые построения:

1способ. Определяют точки, в которых ребра одного из многогранников пересекают грани другого и ребра второго пересекают грани первого. Через полученные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию, представляющую собой линию пересечения заданных поверхностей. При этом можно со единять прямыми проекции только тех точек, которые лежат на одной и той же грани.

2 способ . Определяют отрезки прямых, по которым грани одного из многогранников пересекают грани другого; эти отрезки являются звеньями получаемой при пересечении многогранников ломаной линии.

	Пример. Построение линии пересечения поверхно стей призмы и
пирамиды (рис.189)
	Как видно из рис.189,
	поверхностью		пирамиды
пересекается только
переднее ребро призмы. Так
перпендикулярно плоскости
π1 ,		горизонтальные
проекции
выхода (точки 1 и 2 )
отмечаются		непосредствен-
но на эпюре.
		нахождения
фронтальных			проекций
через вершину пирамиды и
переднее
проведена		вспомогательная
горизонтально
цирующая		плоскость
Она пересекла поверхность						Рисунок 189
пирамиды по прямым				SD и

SE, в пересечении фронтальных проекций которых с фронтальной проекцией переднего ребра призмы отмечены фронтальные проекции 1 2 , 2 2 точек входа и выхода 1 и 2. Так как грани призмы - горизонтально

Проектирующие плоскости, то построение точек встречи ребер пи - рамиды с гранями призмы (точек 3, 4, 5, 6) никаких затруднений не представляет и понятно из чертежа. Соединив последовательно между собой фронтальные проекции найденных точек, получим фронтальную проекцию линии пересечения. Горизонтальная проекция ее совпадает с горизонтальной проекцией призмы.

При определении видимости точек, принадлежащих линии пересечения, руководствуются следующим правилом: проекция точки, полученная при пересечении двух видимых линий, видима. Точка пересечения двух невидимых или одной видимой и другой невидимой линии невидима.