Formula za iskanje koordinat srednje točke segmenta. Kako najti koordinate sredine črte

Začetne geometrijske informacije

Koncept segmenta se tako kot koncept točke, črte, žarka in kota nanaša na začetne geometrijske informacije. S temi pojmi se začne študij geometrije.

Pod "začetnimi informacijami" običajno razumemo nekaj osnovnega in preprostega. V razumevanju je morda temu tako. Kljub temu se takšni preprosti koncepti pogosto znajdejo in se izkažejo za nujne ne samo v našem vsakdanjem življenju, temveč tudi v proizvodnji, gradbeništvu in drugih sferah našega življenja.

Začnimo z definicijami.

Opredelitev 1

Odsek je del ravne črte, omejen z dvema točkama (koncema).

Če so konci segmenta točke $ A $ in $ B $, je oblikovani segment zapisan kot $ AB $ ali $ BA $. Ta segment vsebuje točki $ A $ in $ B $, pa tudi vse točke ravne črte, ki ležijo med tema točkama.

Opredelitev 2

Srednja točka segmenta je točka segmenta, ki ga deli na polovico na dva enaka segmenta.

Če je to točka $ C $, potem je $ AC \u003d CB $.

Meritev segmenta se izvede s primerjavo z določenim segmentom, ki je vzeta kot merska enota. Najpogosteje uporabljeni centimeter. Če je v določenem segmentu centimeter zložen natanko štirikrat, potem to pomeni, da je dolžina tega segmenta 4 USD cm.

Uvedimo preprosto opazovanje. Če točka deli odsek na dva odseka, je dolžina celotnega odseka enaka vsoti dolžin teh odsekov.

Formula za iskanje koordinat srednje točke segmenta

Formula za iskanje koordinat srednje točke odseka črte se nanaša na potek analitične geometrije na ravnini.

Določimo koordinate.

Opredelitev 3

Koordinate so opredeljene (ali urejene) številke, ki označujejo položaj točke na ravnini, površini ali prostoru.

V našem primeru so koordinate označene na ravnini, ki jo določajo koordinatne osi.

Slika 3. Koordinatna ravnina. Author24 - spletna izmenjava študentskih prispevkov

Opišimo sliko. Na ravnini je izbrana točka, imenovana izvor. Označena je s črko $ O $. Skozi izvor koordinat se potegneta dve ravni črti (koordinatni osi), ki se sekata pod pravim kotom, ena od njih pa je strogo vodoravna, druga pa navpična. Ta položaj velja za pogost. Vodoravna črta se imenuje os abscis in je označena z $ OX $, navpična črta pa se imenuje ordinatna os $ OY $.

Tako osi definirajo ravnino $ XOY $.

Koordinate točk v takem sistemu določajo dve števili.

Obstajajo različne formule (enačbe), ki določajo določene koordinate. Običajno se pri analitični geometriji preučujejo različne formule črt, kotov, dolžin odsekov in druge.

Pojdimo neposredno na formulo za koordinate sredine točke segmenta.

Opredelitev 4

Če so koordinate točke $ E (x, y) $ srednja točka segmenta $ M_1M_2 $, potem:

Slika 4. Formula za iskanje koordinat srednje točke segmenta. Author24 - spletna izmenjava študentskih prispevkov

Praktični del

Primeri šolskega tečaja geometrije so dokaj preprosti. Poglejmo si nekaj glavnih.

Za boljše razumevanje si najprej poglejmo osnovni vizualni primer.

Primer 1

Imamo risbo:

Na sliki so odseki $ AC, CD, DE, EB $ enaki.

1. Kakšne so srednje točke $ D $?
2. Kje je sredina $ DB $?

1. točka $ D $ je srednja točka segmentov $ AB $ in $ CE $;
2. točka $ E $.

Oglejmo si še en preprost primer, kjer morate izračunati dolžino.

2. primer

Točka $ B $ je sredina segmenta $ AC $. $ AB \u003d 9 $ cm. Kako dolgo je $ AC $?

Ker m. $ B $ deli $ AC $ na polovico, potem $ AB \u003d BC \u003d 9 $ glej. Torej, $ AC \u003d 9 + 9 \u003d 18 $ glej.

Odgovor: 18 cm.

Drugi podobni primeri so običajno enaki in so osredotočeni na sposobnost primerjave vrednosti dolžine in njihove predstavitve z algebrskimi dejanji. Pogosto pri nalogah obstajajo primeri, ko centimeter ne ustreza enakomerno številokrat v segmentu. Nato se merska enota razdeli na enake dele. V našem primeru je centimeter razdeljen na 10 milimetrov. Preostanek se izmeri ločeno v primerjavi z milimetrom. Dajmo primer, da dokažemo tak primer.

Po mukotrpnem delu sem nenadoma opazil, da je velikost spletnih strani dovolj velika, in če bo šlo tako naprej, lahko mirno in mirno postanete brutalni \u003d) Zato vam predstavljam kratek esej, posvečen zelo pogosti geometrijski težavi - o razdelitvi segmenta v zvezi s tem, in kot poseben primer približno delitev segmenta na polovico.

Ta naloga iz takšnih ali drugačnih razlogov ni sodila v druge lekcije, zdaj pa je odlična priložnost, da jo podrobno in počasi razmislimo. Dobra novica je, da si bomo vzeli nekaj časa od vektorjev in se osredotočili na točke in črte.

Formule delitve odsekov v zvezi s tem

Koncept delitve segmenta v tem pogledu

Pogosto ni treba čakati na obljubljeno, takoj bomo upoštevali nekaj točk in, očitno neverjetno - segment:

Obravnavani problem velja tako za ravninske kot tudi za prostorske segmente. To pomeni, da lahko demonstracijski segment po želji postavite na letalo ali v vesolje. Za lažjo razlago sem ga narisal vodoravno.

Kaj bomo storili s tem segmentom? Tokrat znižano. Nekdo žaga proračun, nekdo žaga zakonca, nekdo žaga les in segment bomo začeli žagati v dvoje. Segment je razdeljen na dva dela s pomočjo neke točke, ki se seveda nahaja neposredno na njem:

V tem primeru točka deli črto tako, da je črta polovica dolžine črte. VEČ lahko rečemo, da točka deli segment v razmerju ("ena proti dve"), šteje od vrha.

V suhem matematičnem jeziku je to dejstvo zapisano takole: ali pogosteje v obliki običajnega razmerja :. Razmerje segmentov običajno označimo z grško črko "lambda", v tem primeru :.

Delež je enostavno sestaviti v drugačnem vrstnem redu: - ta zapis pomeni, da je odsek dvakrat daljši od odseka, vendar nima bistvenega pomena za reševanje problemov. To lahko storite, lahko pa to.

Seveda je segment enostavno razdeliti v nekaterih drugih pogledih in kot okrepitev koncepta drugi primer:

Tu je razmerje resnično :. Če delež sestavimo ravno nasprotno, dobimo :.

Ko bomo ugotovili, kaj pomeni delitev segmenta v zvezi s tem, bomo prešli na obravnavo praktičnih problemov.

Če sta znani dve točki ravnine, potem so koordinate točke, ki deli odsek v razmerju, izražene s formulama:

Od kod te formule? Med analitično geometrijo so te formule strogo izpeljane z uporabo vektorjev (kam lahko brez njih? \u003d)). Poleg tega ne veljajo le za kartezični koordinatni sistem, temveč tudi za poljuben afinatni koordinatni sistem (glej lekcijo Linearna (ne) odvisnost vektorjev. Osnova vektorja). Takšna je univerzalna naloga.

Primer 1

Poiščite koordinate točke, ki deli odsek v razmerju, če so točke znane

Sklep: V tej težavi. S pomočjo formul za delitev segmenta v tem pogledu najdemo točko:

Odgovor:

Bodite pozorni na tehniko izračuna: najprej morate ločeno izračunati števec in imenovalec. Rezultat je pogosto (vendar ne vedno) tri- ali štirinadstropna frakcija. Po tem se znebimo večnadstropne frakcije in izvedemo končne poenostavitve.

Naloga ne zahteva izdelave risbe, vendar jo je vedno koristno izpolniti na osnutku:

Dejansko je razmerje zadoščeno, to pomeni, da je segment trikrat krajši od segmenta. Če delež ni očiten, lahko segmente vedno neumno izmerimo z običajnim ravnilom.

Enakovredno druga rešitev: v njem se štetje začne od točke in razmerje je pravično: (s človeškimi besedami je segment trikrat daljši od segmenta). Glede na formule za delitev segmenta v tem pogledu:

Odgovor:

Upoštevajte, da morate v formulah premakniti koordinate točke na prvo mesto, saj se je mali triler začel s tem.

Prav tako lahko vidite, da je druga metoda zaradi preprostejših izračunov bolj racionalna. Kljub temu se ta problem pogosto reši na "tradicionalen" način. Če je na primer odsek podan pogoju, se predpostavlja, da boste naredili sorazmerje, če je odsek podan, potem "tiho" pomeni delež.

In drugo metodo sem prinesel iz razloga, ker pogosto pogoj naloge skušajo namerno zmediti. Zato je zelo pomembno, da naredimo grobo risbo, da prvič pravilno analiziramo stanje in drugič za namene preverjanja. Škoda je delati napake pri tako preprosti nalogi.

2. primer

Dane so točke ... Najti:

a) točka, ki deli odsek v razmerju;
b) točka, ki deli odsek v razmerju.

To je primer rešitve "naredi si sam". Popolna rešitev in odgovor na koncu vaje.

Včasih obstajajo težave, ko eden od koncev segmenta ni znan:

3. primer

Točka pripada odseku črte. Znano je, da je segment dvakrat daljši od segmenta. Poiščite točko, če .

Sklep: Iz pogoja izhaja, da točka deli segment v razmerju, šteje od vrha, to pomeni, da je delež pravičen :. Glede na formule za delitev segmenta v tem pogledu:

Trenutno ne poznamo koordinat točke :, vendar to ni poseben problem, saj jih je enostavno izraziti iz zgornjih formul. Ne splača se na splošno izražati, veliko lažje je nadomestiti določene številke in skrbno ravnati z izračuni:

Odgovor:

Če želite preveriti, lahko vzamete konce segmenta in z uporabo formul v neposrednem vrstnem redu zagotovite, da bo razmerje dejansko povzročilo točko. In seveda seveda risba ne bo odveč. In da vas končno prepričam v prednosti karirastega zvezka, preprostega svinčnika in ravnila, predlagam zapleten problem za neodvisno rešitev:

4. primer

Točka . Segment je poldrugi krat krajši od segmenta. Poiščite točko, če so koordinate točk znane .

Rešitev na koncu lekcije. Mimogrede, ni edini, če greste drugače od vzorca, ne bo napake, glavno je, da odgovori sovpadajo.

Za prostorske črte bo vse popolnoma enako, dodana je le še ena koordinata.

Če sta znani dve vesoljski točki, potem so koordinate točke, ki deli odsek v razmerju, izražene s formulama:
.

5. primer

Dane so točke. Poiščite koordinate točke, ki pripada odseku, če je to znano .

Sklep: Iz pogoja izhaja razmerje: ... Ta primer je povzet iz resničnega testa, avtor pa si je dovolil malo potegavščine (nenadoma se kdo spotakne) - bolj smotrno je bilo, da sorazmerno razmerje zapišemo takole: .

V skladu s formulami za koordinate sredine točke segmenta:

Odgovor:

3D risbe za namene preverjanja je veliko težje izvesti. Vendar lahko vedno naredite shematsko risbo, da razumete vsaj pogoj - kateri segmenti morajo biti povezani.

Kar se tiče ulomkov v vašem odgovoru, ne bodite presenečeni, to je pogosto. To sem že večkrat povedal, vendar bom ponovil: v višji matematiki je običajno uporabljati običajne pravilne in napačne ulomke. Odgovor v obrazcu bo naredil, vendar je možnost z neustreznimi ulomki bolj standardna.

Naloga ogrevanja za samostojno rešitev:

Primer 6

Dane so točke. Poiščite koordinate točke, če je znano, da deli odsek v razmerju.

Rešitev in odgovor na koncu lekcije. Če je težko premikati po razmerjih, sledite shematski risbi.

Pri samostojnih in kontrolnih delih obravnavane primere najdemo sami po sebi in kot sestavni del večjih nalog. V tem smislu je značilen problem iskanja težišča trikotnika.

Nekakšna naloga, pri kateri je eden od koncev segmenta neznan, ne vidim veliko smisla razstavljati, saj bo vse skupaj videti kot ravno ohišje, le da je malo več izračunov. Spomnimo se raje šolskih let:

Formule vmesne črte

Tudi neizučeni bralci se morda spomnijo, kako del razdeliti na polovico. Problem delitve segmenta na dva enaka dela je poseben primer delitve segmenta v tem pogledu. Dvoročna žaga deluje na najbolj demokratičen način in vsak sosed po mizi dobi isto palico:

V tej slovesni uri so bobni zaigrali in pozdravili pomemben delež. In splošne formule čudežno preobrazite v nekaj znanega in preprostega:

Ugoden trenutek je dejstvo, da je mogoče koordinate koncev segmenta neboleče preurediti:

V splošnih formulah tako razkošno število, kot veste, ne deluje. In tu ni posebne potrebe, zato prijetna malenkost.

Očitna analogija velja za prostorski primer. Če so podani konci odseka, potem so koordinate njegove srednje točke izražene s formulami:

7. primer

Paralelogram je podan s koordinatami njegovih točk. Poiščite točko presečišča njegovih diagonal.

Sklep: Zainteresirani lahko naredijo risbo. Grafite priporočam predvsem tistim, ki so popolnoma pozabili šolski tečaj geometrije.

Z dobro znano lastnostjo se diagonale paralelograma zaradi presečišča razpolovijo, zato je problem mogoče rešiti na dva načina.

Metoda ena: Razmislite o nasprotnih točkah ... S pomočjo formul za delitev odseka na polovico najdemo sredino diagonale:

Spodnji članek bo osvetlil vprašanja iskanja koordinat srednje točke segmenta, če so kot začetni podatki koordinate njegovih skrajnih točk. Preden pa začnemo preučevati to težavo, uvedemo številne opredelitve.

Opredelitev 1

Oddelek - ravna črta, ki povezuje dve poljubni točki, imenovani konci črte. Kot primer naj bosta točki A in B in temu primerno segment A B.

Če se odsek A B nadaljuje v obe smeri od točk A in B, dobimo črto A B. Potem je odsek A B del nastale ravne črte, omejene s točkama A in B. Odsek A B združuje točki A in B, ki sta njegova konca, pa tudi niz točk, ki ležijo med njimi. Če na primer vzamemo poljubno točko K, ki leži med točkama A in B, lahko rečemo, da točka K leži na odseku A B.

Opredelitev 2

Dolžina segmenta - razdalja med koncema odseka v določeni lestvici (odsek dolžine enote). Dolžina odseka A B je označena na naslednji način: A B.

Opredelitev 3

Srednja točka - točka, ki leži na odseku in je enako oddaljena od njegovih koncev. Če je središčnica odseka A B označena s točko C, potem bo veljala enakost: A C \u003d C B

Začetni podatki: koordinatna črta O x in nenaključne točke na njej: A in B. Te točke ustrezajo realnim številkam x A in x B. Točka C - srednja točka odseka A B: določiti je treba koordinato x C.

Ker je točka C srednja točka odseka A B, bo veljala naslednja enakost: | A C | \u003d | C B | ... Razdalja med točkami je določena z modulom razlike med njihovimi koordinatami, tj.

| A C | \u003d | C B | ⇔ x C - x A \u003d x B - x C

Potem sta možni dve enakosti: x C - x A \u003d x B - x C in x C - x A \u003d - (x B - x C)

Iz prve enakosti izpeljemo formulo za koordinate točke C: x C \u003d x A + x B 2 (polovica vsote koordinat koncev odseka).

Iz druge enakosti dobimo: x A \u003d x B, kar je nemogoče, saj v izvirnih podatkih, neusklajene točke. Tako formula za določanje koordinat srednje točke odseka A B s koncema A (x A) in B (x B):

Nastala formula bo osnova za določanje koordinat srednje točke odseka na ravnini ali v vesolju.

Začetni podatki: pravokotni koordinatni sistem na ravnini O x y, dve poljubni ne-sovpadajoči se točki z danimi koordinatami A x A, y A in B x B, y B. Točka C je srednja točka odseka A B. Za točko C je treba določiti koordinati x C in y C

Vzemimo za analizo primer, ko točki A in B ne sovpadata in ne ležita na isti koordinatni premici ali ravni črti, pravokotni na eno od osi. A x, A y; B x, B y in C x, C y - projekcije točk A, B in C na koordinatne osi (ravni črti O x in O y).

Glede na konstrukcijo so premice A A x, B B x, C C x vzporedne; tudi ravne črte so med seboj vzporedne. Skupaj s tem po Thalesovem izreku iz enakosti A C \u003d C B sledijo enakosti: A x C x \u003d C x B x in A y C y \u003d C y In y, ti pa kažejo, da je točka C x sredina segmenta A x B x in C y je sredina segmenta A y B y. In potem na podlagi prej pridobljene formule dobimo:

x C \u003d x A + x B 2 in y C \u003d y A + y B 2

Enake formule lahko uporabimo v primeru, ko točki A in B ležita na isti koordinatni premici ali ravni črti, pravokotni na eno od osi. Podrobne analize tega primera ne bomo izvedli, upoštevali ga bomo le grafično:

Če povzamemo vse zgoraj, koordinate srednje točke odseka A B na ravnini s koordinatami koncev A (x A, y A) in B (x B, y B) definirano kot:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Začetni podatki: koordinatni sistem О x y z in dve poljubni točki z danima koordinatama A (x A, y A, z A) in B (x B, y B, z B). Določiti je treba koordinate točke C, ki je srednja točka odseka A B.

A x, A y, A z; B x, B y, B z in C x, C y, C z - projekcije vseh določenih točk na os koordinatnega sistema.

Po Thalesovem izreku veljajo naslednje enakosti: A x C x \u003d C x B x, A y C y \u003d C y B y, A z C z \u003d C z B z

Zato so točke C x, C y, C z središčne točke odsekov A x B x, A y B y, A z B z. Potem, za določitev koordinat srednje točke segmenta v prostoru veljajo naslednje formule:

x C \u003d x A + x B 2, y c \u003d y A + y B 2, z c \u003d z A + Z B 2

Pridobljene formule veljajo tudi v primerih, ko točki A in B ležita na eni od koordinatnih črt; na ravni črti, pravokotni na eno od osi; v eni koordinatni ravnini ali ravnini, pravokotni na eno od koordinatnih ravnin.

Določanje koordinat srednje točke segmenta skozi koordinate radijskih vektorjev njegovih koncev

Formulo za iskanje koordinat srednje točke segmenta lahko dobimo tudi v skladu z algebraično interpretacijo vektorjev.

Začetni podatki: pravokotni kartezični koordinatni sistem O x y, točke z danimi koordinatama A (x A, y A) in B (x B, x B). Točka C je srednja točka odseka A B.

Glede na geometrijsko definicijo dejanj na vektorje bo veljala naslednja enakost: O C → \u003d 1 2 · O A → + O B →. Točka C je v tem primeru presečišče diagonal paralelograma, zgrajenega na podlagi vektorjev O A → in O B →, tj. srednja točka diagonal. Koordinate radijskega vektorja točke so enake koordinatam točke, potem so enakovrednosti resnične: O A → \u003d (x A, y A), O B → \u003d (x B, y B). Izvedimo nekaj operacij na vektorjih v koordinatah in dobimo:

O C → \u003d 1 2 O A → + O B → \u003d x A + x B 2, y A + y B 2

Zato ima točka C koordinate:

x A + x B 2, y A + y B 2

Po analogiji se določi formula za iskanje koordinat srednje točke segmenta v prostoru:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Primeri reševanja problemov za iskanje koordinat srednje točke odseka

Med nalogami, ki vključujejo uporabo zgornjih formul, obstajajo tako tiste, pri katerih je vprašanje izračuna koordinat srednje točke segmenta neposredno vpleteno, kot tiste, ki pomenijo postavitev danih pogojev na to vprašanje: pogosto se uporablja izraz "mediana", cilj je najti koordinate enega s koncev segmenta, pa tudi pogoste težave s simetrijo, katerih rešitev po preučevanju te teme na splošno tudi ne bi smela povzročati težav. Oglejmo si tipične primere.

Primer 1

Začetni podatki: na ravnini - točki z danima koordinatama A (- 7, 3) in B (2, 4). Poiskati je treba koordinate sredine točke A B.

Sklep

Središče segmenta A B označimo s točko C. Njegove koordinate bodo opredeljene kot polovična vsota koordinat koncev segmenta, tj. točki A in B.

x C \u003d x A + x B 2 \u003d - 7 + 2 2 \u003d - 5 2 y C \u003d y A + y B 2 \u003d 3 + 4 2 \u003d 7 2

Odgovor: koordinate sredine segmenta A B - 5 2, 7 2.

2. primer

Začetni podatki: znane so koordinate trikotnika A B C: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Poiskati je treba dolžino mediane A M.

Sklep

1. Po hipotezi problema je M srednja vrednost, zato je M sredina segmenta B C. Najprej najdemo koordinate srednje točke segmenta B C, tj. točka M:

x M \u003d x B + x C 2 \u003d 3 + 9 2 \u003d 6 y M \u003d y B + y C 2 \u003d 2 + (- 8) 2 \u003d - 3

1. Ker zdaj poznamo koordinate obeh koncev mediane (točki A in M), lahko s formulo določimo razdaljo med točkama in izračunamo dolžino mediane A M:

A M \u003d (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 \u003d 58

Odgovor: 58

3. primer

Začetni podatki: paralelepiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 je podan v pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora. Podane so koordinate točke C 1 (1, 1, 0) in definirana je tudi točka M, ki je sredina diagonale B D 1 in ima koordinate M (4, 2, - 4). Izračunati je treba koordinate točke A.

Sklep

Diagonale paralelepipeda imajo presečišče na eni točki, ki je sredina vseh diagonal. Na podlagi te trditve je mogoče upoštevati, da je točka M, znana iz pogojev problema, srednja točka segmenta A C 1. Na podlagi formule za iskanje koordinat srednje točke odseka v prostoru najdemo koordinate točke A: x M \u003d x A + x C 1 2 ⇒ x A \u003d 2 x M - x C 1 \u003d 2 4 - 1 + 7 y M \u003d y A + y C 1 2 ⇒ y A \u003d 2 y M - y C 1 \u003d 2 2 - 1 \u003d 3 z M \u003d z A + z C 1 2 ⇒ z A \u003d 2 z M - z C 1 \u003d 2 (- 4) - 0 \u003d - 8

Odgovor: koordinate točke A (7, 3, - 8).

Če v besedilu opazite napako, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

Kako najti koordinate sredine črte
Najprej ugotovimo, kakšna je sredina segmenta.
Srednja točka segmenta je točka, ki pripada temu segmentu in je na isti razdalji od njegovih koncev.

Koordinate takšne točke je enostavno najti, če so koordinate koncev tega segmenta znane. V tem primeru bodo koordinate sredine točke segmenta enake polovici vsote ustreznih koordinat koncev segmenta.
Koordinate sredine segmenta pogosto najdemo z reševanjem problemov za srednjo, središčnico itd.
Razmislite o izračunu koordinat srednje točke odseka za dva primera: kadar je odsek dan na ravnini in podan v prostoru.
Naj bo odsek na ravnini podan z dvema točkama s koordinatama in. Nato se koordinate sredine segmenta PH izračunajo po formuli:

Naj bo odsek v prostoru podan z dvema točkama s koordinatama in. Nato se koordinate sredine segmenta PH izračunajo po formuli:

Primer.
Poiščite koordinate točke K - sredine MO, če sta M (-1; 6) in O (8; 5).

Sklep.
Ker imajo točke dve koordinati, to pomeni, da je odsek definiran na ravnini. Uporabljamo ustrezne formule:

Posledično bo sredina MO imela koordinate K (3,5; 5,5).

Odgovor. K (3,5; 5,5).