Презентация на тему: Производная. Из истории создания производной Производная в химии

Производная функции Преподаватель ГАПОУ РО «РКТМ» Колыхалина К.А. Приращение аргумента, приращение функции Пусть х – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х0. Разность х-х0 называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х0 и обозначается ∆х. ∆х = х – х0 – приращение независимой переменной. Приращением функции f в точке x0 называется разность между значениями функции в произвольной точке и значением функции в фиксированной точке. f(х) – f(х0)=f(х0+∆х) – f(х0) – приращение функции f ∆f=f(х0+∆х) – f(х0) Определение производной Производной функции y=f(x) в точке x =x0 называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к приращению аргумента ∆x, при стремлении приращения аргумента к нулю. Алгоритм вычисления производной Производная функции y= f(x) может быть найдена по следующей схеме: 1. Дадим аргументу x приращение ∆x≠0 и найдем наращенное значение функции y+∆y= f(x+∆x). 2. Находим приращение функции ∆y= f(x+∆x) - f(x). 3. Составляем отношение 4. Находим предел этого отношения при ∆x⇾0, т.е. (если этот предел существует). Определение производной от функции в данной точке. Ее геометрический смысл

k – угловой коэффициент прямой(секущей)

Касательная

Геометрический смысл производной

Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Физический смысл производной 1. Задача об определении скорости движения материальной частицы Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону s= s(t), где s- пройденный путь, t- время, и необходимо найти скорость точки в момент t0 . К моменту времени t0 пройденный путь равен s0 = s(t0), а к моменту (t0 +∆t) – путь s0 + ∆s=s(t0 +∆t). Тогда за промежуток ∆t средняя скорость будет Чем меньше ∆t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t0. Поэтому под скоростью точки в момент t0 следует понимать предел средней скорости за промежуток от t0 до t0 +∆t, когда ∆t⇾0 , т.е. 2. ЗАДАЧА О СКОРОСТИ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества Q изменяется в течение реакции в зависимости от времени t и является функцией от времени. Пусть за время ∆t количество вещества изменяется на ∆Q , тогда отношение будет выражать среднюю скорость химической реакции за время ∆t, а предел этого отношения - скорость химической реакции в данный момент времени t.

3. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

Если m- масса радиоактивного вещества и t- время, то явление радиоактивного распада в момент времени t при условии, что масса радиоактивного вещества с течением времени уменьшается, характеризуется функцией m= m(t).

Средняя скорость распада за время ∆t выражается отношением

а мгновенная скорость распада в момент времени t

Физический смысл производной функции в данной точке

Производные основных элементарных функций Основные правила дифференцирования Пусть u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции в точке x. 1) (u  v) = u  v 2) (uv) = uv +uv (cu) = cu 3) , если v  0

Производная функции в точке является основным понятием дифференциального исчисления. Она характеризует скорость изменения функции в указанной точке. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости различного рода процессов.

Основные определения

Производная равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента , при условии, что последний стремится к нулю:

$y^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Определение

Функция, которая имеет конечную производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в данной точке . Процесс вычисления производной называется дифференцированием функции .

Историческая справка

Русский термин "производная функции" впервые употребил русский математик В.И. Висковатов (1780 - 1812).

Обозначение приращения (аргумента/функции) греческой буквой $\Delta$ (дельта) впервые употребил швейцарский математик и механик Иоганн Бернулли (1667 - 1748). Обозначение дифференциала , производной $d x$ принадлежит немецкому математику Г.В. Лейбницу (1646 - 1716). Манера обозначать производную по времени точкой над буквой - $\dot{x}$ - идёт от английского математика, механика и физика Исаака Ньютона (1642 - 1727). Краткое обозначение производной штрихом - $f^{\prime}(x)$ - принадлежит французскому математику, астроному и механику Ж.Л. Лагранжу (1736 - 1813), которое он ввел в 1797 году. Символ частной производной $\frac{\partial}{\partial x}$ активно применял в своих работах немецкий математик Карл Г.Я. Якоби (1805 - 1051), а затем выдающийся немецкий математик Карл Т.В. Вейерштрасс (1815 - 1897), хотя это обозначение уже встречалось ранее в одной из работ французского математика А.М. Лежандра (1752 - 1833). Символ дифференциального оператора $\nabla$ придумал выдающийся ирландский математик, механик и физик У.Р. Гамильтон (1805 - 1865) в 1853 году, а название "набла" предложил английский ученый-самоучка, инженер, математик и физик Оливер Хевисайд (1850 - 1925) в 1892 году.

Раздел математики который изучает производные функции и их применения, называется дифференциальным исчислением. Это исчисление возникло из решений задач на проведение касательных к кривым, на вычисление скорости движения, на отыскание наибольших и наименьших значений функции.

Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности Архимедом, разработавшим способ проведения касательной. Архимед построил касательную к спирали, носящей его имя. Архимед (ок. 287 – 212 до н.э.) – великий ученый. Первооткрыватель многих фактов и методов математики и механики, блестящий инженер.

Задача нахождения скорости изменения функции была впервые решена Ньютоном. Задача нахождения скорости изменения функции была впервые решена Ньютоном. Функцию он назвал флюэнтой, т.е. текущей величиной. Производную – ф л ю к с и е й. Функцию он назвал флюэнтой, т.е. текущей величиной. Производную – ф л ю к с и е й. Ньютон пришел к понятию производной исходя из вопросов механики. Исаак Ньютон (1643 – 1722 гг.) – английский физик и математик.

Основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, Лейбниц в 1684 году опубликовал первую статью по дифференциальному исчислению, в которой были изложены основные правила дифференцирования. Лейбниц Готфрид Фридрих (1646 – 1716) – великий немецкий ученый, философ, математик, физик, юрист, языковед

Применение производной: Применение производной: 1) Мощность – это производная работы по времени P = A" (t). 2) Сила тока – производная от заряда по времени I = g" (t). 3) Сила – есть производная работы по перемещению F = A" (x). 4) Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре C = Q" (t). 5) Давление – производная силы по площади P = F"(S) 6) Длина окружности – это производная площади круга по радиусу l окр =S" кр (R). 7) Темп роста производительности труда – это производная производительности труда по времени. 8) Успехи в учебе? Производная роста знаний.

Применение производной в физике Задача: Два тела движутся прямолинейно соответственно по законам: S 1 (t) = 3,5t 2 – 5t + 10 и S 2 (t) = 1,5t 2 +3t –6. В какой момент времени скорости тел будут равны? Задача: Два тела движутся прямолинейно соответственно по законам: S 1 (t) = 3,5t 2 – 5t + 10 и S 2 (t) = 1,5t 2 +3t –6. В какой момент времени скорости тел будут равны?

Применение производной в экономике Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой Исследовать потенциал предприятия. Исследовать потенциал предприятия. 15

История появления понятия производной

Функции, границы, производная и интеграл являются базовыми понятиями математического анализа, изучаемыми в курсе средней школы. И понятие производной неразрывно связано с понятием функции.

Термин "функция" впервые был предложен немецким философом и математиком для характеристики разных отрезков, соединяющих точки некоторой кривой в 1692 г. Первое определение функции, которое уже не было связано с геометрическими представлениями, сформулировал в 1718г. Ученик Иоганна Бернулли

в 1748. уточнил определение функции . Заслугам Эйлера приписывают введение для обозначения функции символ f (х).

Строгое определение предела и непрерывности функции сформулировал в 1823 г. Французский математик Огюстен Луи Коши . Определение непрерывности функции еще раньше Коши сформулировал чешский математик Бернард Больцано . По этим определениям на базе теории действительных чисел было осуществлено строгое обоснование основных положений математического анализа.

Открытию подходов и основ дифференциального исчисления предшествовали работы французского математика и юриста , который в 1629 г. предложил способы нахождения наибольших и наименьших значений функций, проведение касательных к произвольным кривым, фактически опирались на применение производных. Этому способствовали также работы , разработавший метод координат и основы аналитической геометрии. Лишь в 1666 году и несколько позднее независимо друг от друга построили теорию дифференциального исчисления. Ньютон пришел к понятию производной, решая задачи о мгновенной скорости, а , - рассматривая геометрическую задачу о проведении касательной к кривой. и исследовали проблему максимумов и минимумов функций.

Интегральное исчисление и само понятие интеграла возникли из потребностей вычисления площадей плоских фигур и объемов произвольных тел. Идеи интегрального исчисления берут начало в работах древних математиков. Однако это свидетельствует "метод исчерпывания" Евдокса, который позже использовал в III в. до н. э Суть этого метода заключалась в том, что для вычисления площади плоской фигуры и, увеличивая число сторон многоугольника, находили границу, в которую направлялись площади ступенчатых фигур. Однако для каждой фигуры вычисления предела зависело от выбора специального приема. А проблема общего метода вычисления площадей и объемов фигур оставалась нерешенной. Архимед еще явно не применял общее понятие границы и интеграла, хотя в неявном виде эти понятия использовались.

В XVII в. , открывший законы движения планет, была успешно осуществлена первая попытка развить идеи . Кеплер вычислял площади плоских фигур и объемы тел, опираясь на идею разложения фигуры и тела на бесконечное количество бесконечно малых частей. Из этих частей в результате добавления состояла фигура, площадь которой известно и позволяющая вычислить площадь искомой. В историю математики вошел так называемый "принцип Кавальери", с помощью которого вычисляли площади и объемы. Этот принцип получил теоретическое обоснование позже с помощью интегрального исчисления.
Идеи и других ученых стали той почвой, на котором Ньютон и Лейбниц открыли интегральное исчисление. Развитие интегрального исчисления продолжили и гораздо позже Пафнутий Львович Чебышев разработал способы интегрирования некоторых классов иррациональных функции.

Современное определение интеграла как предела интегральных сумм принадлежит Коши . Символ