Найти координаты вектора в виде. Вектор

Аналитическая геометрия

		Неделя проведения	Оценка за модуль в баллах
		контроля модуля
			Максимальная		Минимальная
Семестр 1
ДЗ №1, часть 1
ДЗ №1, часть 2
Контроль по модулю №1
Премиальные баллы
Контроль по модулю №2
Премиальные баллы

Контрольные мероприятия и сроки их проведения Модуль 1

1. ДЗ №1 часть 1 «Векторная алгебра» Срок выдачи 2 неделя, срок сдачи - 7 неделя

2. ДЗ №1 часть 2 «Прямые и плоскости»

Срок выдачи 1 неделя, срок сдачи - 9 неделя

3. Контроль по модулю №1 (РК №1) «Векторная алгебра, прямые и плоскости». Срок проведения – 10 неделя

1. ДЗ №2 «Кривые и поверхности 2-го порядка» Срок выдачи 6 неделя, срок сдачи - 13 неделя

5. Контрольная работа «Кривые и поверхности 2-го порядка». Срок проведения – 14 неделя

6. Контроль по модулю №2 (РК №2) «Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений»

Срок проведения – 16 неделя

Типовые задачи, используемые при формировании вариантов текущего контроля

1. Домашнее задание №1. «Векторная алгебра и аналитическая геометрия»

Дано: точки A (0;3;2) , B (1;4;2) , D (0;1;2) ,			A (1;2;0) ; числа a 30 ,				b 1 ; угол
1. Найти длину вектора |		n | , если			p aq ,	n bp q	и p , q - единичные

векторы, угол между которыми равен.

2. Найти координаты точки М, делящей вектор AB в отношении a :1 .

3. Проверить, можно ли на векторах AB и AD построить параллелограмм. Если да, то найти длины сторон параллелограмма.

4. Найти углы между диагоналями параллелограмма ABCD.

5. Найти площадь параллелограмма ABCD.

6. Убедиться, что на векторах AB , AD , AA 1 можно построить параллелепипед. Найти объем этого параллелепипеда и длину его высоты.

7. Найти координаты вектора AH , направленного по высоте параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , проведенной из точки A к плоскости основания A 1 B 1 C 1 D 1 ,

координаты точки H и координаты единичного вектора, совпадающего по направлению с вектором AH .

8. Найти разложение вектора AH по векторам AB , AD , AA 1 .

9. Найти проекцию вектора AH на вектор AA 1 .

10. Написать уравнения плоскостей: а) P, проходящей через точки A, B, D;

б) P1 , проходящей через точку A и прямую A1 B1 ;

в) P2 , проходящей через точку A1 параллельно плоскости P; г) P3 , содержащей прямые AD и AA1 ;

д) P4 , проходящей через точки A и C1 , перпендикулярно плоскости P.

11. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат ребра AB и CC 1 ; написать канонические и параметрические уравнения общего к ним перпендикуляра.

12. Найти точку A 2 , симметричную точке A1 относительно плоскости основания

13. Найти угол между прямой, на которой лежит диагональ A 1 C, и плоскостью основания ABCD.

14. Найти острый угол между плоскостями ABC 1 D (плоскость P) и ABB1 A1 (плоскость P1 ).

2. Домашнее задание №2. «Кривые и поверхности второго порядка»

В задачах 1–2 заданное уравнение линии второго порядка привести к каноническому виду и построить кривую в системе координат OXY.

В задаче 3 по приведенным данным найти уравнение кривой в системе координат OXY. Для задач 1–3 указать:

1) канонический вид уравнения линии;

2) преобразование параллельного переноса, приводящее к каноническому виду;

3) в случае эллипса: полуоси, эксцентриситет, центр, вершины, фокусы, расстояния от точки C до фокусов; в случае гиперболы: полуоси, эксцентриситет, центр, вершины, фокусы, расстояния от точки C до фокусов, уравнения асимптот; в случае параболы: параметр, вершину, фокус, уравнение директрисы, расстояния от точки C до фокуса и директрисы;

4) для точки C проверить свойство, характеризующее данный тип кривых как геометрическое место точек.

В задаче 4 указать преобразование параллельного переноса, приводящее данное уравнение поверхности к каноническому виду, канонический вид уравнения поверхности и тип поверхности. Построить поверхность в канонической системе координат OXYZ.

	5x 2 y 2 20x 2y 4 , C (0;1				2) 5x 2 4y 2 20x 8y 64 , C (12;14) .
		5) ;
	Парабола симметрична относительно прямой y 1 0 , имеет фокус							; 1 ,
	пересекает ось OX в точке C				; 0 , а ее ветви лежат в полуплоскости	x 0 .
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

Контроль по модулю №1 “Векторная алгебра. Аналитическая геометрия”

1. Правые и левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов. Сформулировать свойства векторного произведения векторов. Вывести формулу вычисления векторного произведения двух векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.

векторами

а m n ,

m n ,

1, m , n

возможно,

разложение вектора

c 3 i

12 j 6k

векторам

3 j 2 k и b 2 i 3 j 4 k .

Составить уравнение плоскости,

проходящей через точки M 1 5, 1, 4 ,

M 2 2, 3,1 и

перпендикулярной плоскости

6x 5y 4z 1 0. Составить канонические уравнения

прямой, проходящей через точку M 0 0, 2,1 и ортогональной к найденной плоскости.

Контрольная работа «Кривые и поверхности второго порядка»

1. Определение эллипса как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения эллипса в прямоугольной декартовой системе координат. Основные параметры кривой.

2. Уравнение поверхности x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 привести к каноническому

виду. Сделать рисунок в канонической системе координат. Указать название данной поверхности.

3. Составить уравнение равноосной гиперболы, если известны ее центр O 1 1, 1 и один их фокусов F 1 3, 1 . Сделать рисунок.

Контроль по модулю №2 «Кривые и поверхности второго порядка. Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений»

1. Однородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Формы записи однородной СЛАУ. Доказательство критерия существования ненулевых решений однородной СЛАУ.

2. Решить матричное уравнение AX B ,

Сделать проверку.

3. а) Решить СЛАУ. б) Найти нормальную фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы, частное решение неоднородной системы; записать через них общее решение данной неоднородной системы:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x 1 3 x 2 3 x 4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

Вопросы для подготовки к контролям по модулям, контрольной работе, зачету и экзамену

1. Геометрические векторы. Свободные векторы. Определение коллинеарных и компланарных векторов. Линейные операции над векторами и их свойства.

2. Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов. Доказательства условий линейной зависимости 2-х и 3-х векторов.

3. Определение базиса в пространствах векторов V 1 , V 2 , V 3 . Доказательство теоремы о существовании и единственности разложения вектора по базису. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами в базисе.

4. Определение скалярного произведения векторов, его связь с ортогональной проекцией вектора на ось. Свойства скалярного произведения, их доказательство. Вывод формулы вычисления скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе.

5. Определение ортонормированного базиса. Связь координат вектора в ортонормированном базисе и его ортогональных проекций на векторы этого базиса. Вывод формул вычисления длины вектора, его направляющих косинусов, угла между двумя векторами в ортонормированном базисе.

6. Правые и левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов, его механический и геометрический смысл. Свойства векторного произведения (без док-ва). Вывод формулы вычисления векторного произведения в ортонормированном базисе.

7. Определение смешанного произведения векторов. Объем параллелепипеда и объем пирамиды, построенных на некомпланарных векторах. Условие компланарности трех векторов. Свойства смешанного произведения. Вывод формулы вычисления смешанного произведения в ортонормированном базисе.

8. Определение прямоугольной декартовой системы координат. Решение простейших задач аналитической геометрии.

9. Различные виды уравнения прямой на плоскости: векторное, параметрические, каноническое. Направляющий вектор прямой.

10. Вывод уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

11.Доказательство теоремы о том, что в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости уравнение первой степени задает прямую. Определение нормального вектора прямой.

12. Уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой “в отрезках”. Геометрический смысл входящих в уравнения параметров. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных своими общими или каноническими уравнениями.

13. Вывод формулы расстояния от точки до прямой на плоскости.

14. Доказательство теоремы о том, что в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве уравнение первой степени задает плоскость. Общее уравнение плоскости. Определение нормального вектора плоскости. Вывод уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости “в отрезках”.

15. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

16. Вывод формулы расстояния от точки до плоскости.

17. Общие уравнения прямой в пространстве. Вывод векторного, канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве.

18. Угол между двумя прямыми в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условия принадлежности двух прямых одной плоскости.

19. Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности пр ямой и плоскости. Условие принадлежности прямой заданной плоскости.

20. Задача о нахождении расстояния между скрещивающимися или параллельными прямыми.

21. Определение эллипса как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения эллипса.

22. Определение гиперболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения гиперболы.

23. Определение параболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения параболы.

24. Определение цилиндрической поверхности. Канонические уравнения цилиндрических поверхностей 2-го порядка.

25. Понятие поверхности вращения. Канонические уравнения поверхностей, образованных вращением эллипса, гиперболы и параболы.

26. Канонические уравнения эллипсоида и конуса. Исследование формы этих поверхностей методом сечений.

27. Канонические уравнения гиперболоидов. Исследование формы гиперболоидов методом сечений.

28. Канонические уравнения параболоидов. Исследование формы параболоидов методом сечений.

29. Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами и их свойства. Транспонирование матриц.

30. Умножение матриц. Свойства операции умножения матриц.

31. Определение обратной матрицы. Доказательство единственности обратной матрицы. Доказательство теоремы об обратной матрице произведения двух обратимых матриц.

32. Критерий существования обратной матрицы. Понятие присоединенной матрицы, ее связь с обратной матрицей.

33. Вывод формул Крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

34. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы. Доказательство критерия линейной зависимости строк (столбцов).

35. Определение минора матрицы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре (без доква). Доказательство ее следствия для квадратных матриц.

36. Метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы.

37. Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы. Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований.

38. Теорема об инвариантности ранга матрицы относительно элементарных преобразований. Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований.

39. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Различные формы записи СЛАУ. Cовместные и несовместные СЛАУ. Доказательство критерия Кронекера- Капели совместности СЛАУ.

40. Однородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Свойства их решений.

41. Определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ. Построение ФСР.

42. Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Доказательство теоремы о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.

Контрольное мероприятие	Количество заданий	Баллы за задание
ДЗ №1, часть 1
Набранные баллы
Контрольное мероприятие	Количество заданий	Баллы за задание
ДЗ №1, часть 2
Набранные баллы

Контрольное мероприятие				Количество заданий			Баллы за задание
Контроль по модулю №1				1 теория и 3 задачи			теория – 0; 3; 6
							задачи - 0; 1; 2
			Набранные баллы
Контрольное мероприятие				Количество заданий			Баллы за задание
	Набранные баллы
Контрольное мероприятие				Количество заданий			Баллы за задание
				1 теория и 3 задачи			теория – 0; 3; 6
							задачи - 0; 1; 2
			Набранные баллы
						01 теория и 3 задачи			теория – 0; 3; 6
		задачи - 0; 1; 2
			Набранные баллы

Правила выставления баллов в журнале

1. Баллы за ДЗ. Баллы за ДЗ выставляются на следующей неделе после установленного срока сдачи, согласно соответствующей таблице. Студент имеет право сдавать на проверку отдельные задания ранее установленного срока и исправлять отмеченные преподавателем ошибки, получая при этом необходимую консультацию. Если к окончательному сроку сдачи ДЗ студент доводит решение задачи до правильного варианта, то ему за это задание выставляется максимальный балл. После срока сдачи ДЗ студент, не набравший минимального балла за ДЗ, может продолжить работу над заданием. При этом в случае успешной работы студенту начисляется минимальный балл за ДЗ.

2. Баллы за КР. Если студент в срок не набирает минимального балла за КР, то в течение семестра он может два раза переписать эту работу. При положительном результате (наборе баллов не менее установленного минимального) студенту выставляется минимальный балл за КР.

3. Баллы за «контроль по модулю». В качестве «контроля по модулю» предлагается письменная работа, состоящая из теоретической и практической частей. Каждая часть контроля по модулю оценивается отдельно. Студент, получивший оценку не ниже минимальной по одной из частей контроля, считается сдавшим эту часть и освобождается от ее выполнения в дальнейшем. По усмотрению преподавателя по теоретической части задания может проводиться собеседование. Если студент не набирает установленного минимума за каждую часть работы, то в течение семестра он имеет две попытки по каждой части исправить ситуацию. При положительном

результате (наборе баллов не менее установленного минимального) студенту выставляется минимальный балл за «контроль по модулю».

4. Оценка за модуль. Если студент выполнил все текущие контрольные мероприятия модуля (набрал не менее установленного минимального балла),

то оценкой за модуль считается сумма баллов за все контрольные мероприятия модуля (при этом студент автоматически набирает не ниже минимального порога). Окончательные баллы за модуль проставляются в журнале после закрытия всех контрольных мероприятий.

5. Суммарный балл. Сумма баллов за два модуля.

6. Оценка. Итоговая аттестация (экзамен, дифференцированный зачет, зачет) проводится по результатам работы в семестре после выполнения студентом запланированного объема учебных работ и получения по каждому модулю оценки, не ниже минимально установленной. Максимальная сумма баллов по всем модулям, включая баллы за прилежание, равна 100, минимальная – 60. Сумма баллов по всем модулям образует рейтинговую оценку по дисциплине за семестр. Студент, сдавший все контрольные мероприятия, получает итоговую оценку по дисциплине за семестр в соответствии со шкалой:

		Оценка на экзамене,	Оценка на зачете
		дифференцированном зачете
		удовлетворительно
		неудовлетворительно

Повысить свой рейтинг, и, следовательно, экзаменационную оценку можно на итоговом экзамене (письменная работа по материалу дисциплины в целом, проводится в экзаменационную сессию), максимальный балл – 30, минимальный -16. Эти баллы суммируются с баллами, полученными за все модули по дисциплине. При этом для повышения оценки до «хорошо» за экзамен студент должен набрать не менее 21 балла, до «отлично» ─ не менее 26 баллов. Для специальностей, где предусмотрен зачет по дисциплине, повышение рейтинга не проводится. Студенты, имеющие к началу экзаменационной сессии рейтинг в диапазоне 0-59, набирают необходимый минимум для получения положительной оценки по дисциплине, пересдавая контрольные мероприятия, не зачтенные ранее, по отдельным модулям. При этом студенты, не имеющие уважительной причины, могут в итоге (к моменту окончания экзаменационной сессии) получить оценку не выше «удовлетворительно».

На оси абсцисс и ординат называются координатами вектора . Координаты вектора общепринято указывать в виде (х, у) , а сам вектор как: =(х, у).

Формула определения координат вектора для двухмерных задач.

В случае двухмерной задачи вектор с известными координатами точек A(х 1 ;у 1) и B(x 2 ; y 2 ) можно вычислить:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1).

Формула определения координат вектора для пространственных задач.

В случае пространственной задачи вектор с известными координатами точек A(х 1 ;у 1 ; z 1 ) и B(x 2 ; y 2 ; z 2 ) можно вычислить применив формулу:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Координаты дают всеобъемлющую характеристику вектора, поскольку по координатам есть возможность построить и сам вектор. Зная координаты, легко вычислить и длину вектора . (Свойство 3, приведенное ниже).

Свойства координат вектора.

1. Любые равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты .

2. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. При условии, что ни один из векторов не равен нулю.

3. Квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат .

4.При операции умножения вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число.

5. При операции сложения векторов вычисляем сумму соответствующие координаты векторов .

6. Скалярное произведение двух векторов равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Наконец-то у меня добрались руки до обширной и долгожданной темы аналитической геометрии . Сначала немного о данном разделе высшей математики…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает прилагательное «аналитическая»? На ум сразу приходят два штампованных математических оборота: «графический метод решения» и «аналитический метод решения». Графический метод , понятно, связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решений практически всех задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.

Открываемый курс уроков по геометрии не претендует на теоретическую полноту, он ориентирован на решение практических задач. Я включу в свои лекции только то, что с моей точки зрения, является важным в практическом плане. Если вам необходима более полная справка по какому-либо подразделу, рекомендую следующую вполне доступную литературу:

1) Вещь, с которой, без шуток, знакомо несколько поколений: Школьный учебник по геометрии , авторы – Л.С. Атанасян и Компания . Сия вешалка школьной раздевалки уже выдержала 20-ть (!) переизданий, что, конечно, не является пределом.

2) Геометрия в 2 томах . Авторы Л.С. Атанасян, Базылев В.Т . Это литература для высшей школы, вам потребуется первый том . Из моего поля зрения могут выпадать редко встречающиеся задачи, и учебное пособие окажет неоценимую помощь.

Обе книги можно бесплатно закачать в Интернете. Кроме того, можете использовать мой архив с готовыми решениями, который можно найти на странице Скачать примеры по высшей математике .

Из инструментальных средств предлагаю опять же собственную разработку – программный комплекс по аналитической геометрии, который значительно упростит жизнь и сэкономит массу времени.

Предполагается, что читатель знаком с базовыми геометрическими понятиями и фигурами: точка, прямая, плоскость, треугольник, параллелограмм, параллелепипед, куб и т.д. Желательно помнить некоторые теоремы, хотя бы теорему Пифагора, привет второгодникам)

А сейчас мы последовательно рассмотрим: понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора. Далее рекомендую прочитать важнейшую статью Скалярное произведение векторов , а также и Векторное и смешанное произведение векторов . Не лишней будет и локальная задача – Деление отрезка в данном отношении . На основе вышеуказанной информации можно освоить уравнение прямой на плоскости с простейшими примерами решений , что позволит научиться решать задачи по геометрии . Также полезны следующие статьи: Уравнение плоскости в пространстве , Уравнения прямой в пространстве , Основные задачи на прямую и плоскость , другие разделы аналитической геометрии. Естественно, попутно будут рассматривать типовые задания.

Понятие вектора. Свободный вектор

Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка , концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор . Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором . У такого вектора конец и начало совпадают.

!!! Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.

Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении и сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: , но допустима и запись , которую я буду использовать в дальнейшем . Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: , подразумевая тем самым, что это вектор.

То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов:

1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
В частности, наш вектор можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой .

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка . Длина нулевого вектора равна нулю. Логично.

Длина вектора обозначается знаком модуля: ,

Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.

То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор .

Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки :

Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор . Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной «школьный» вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте направленный отрезок произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж**у по вектору. Ведь не просто остроумная рифма, всё почти корректно – направленный отрезок можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =)

Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.

Следует отметить, что с точки зрения физики понятие свободного вектора в общем случае некорректно, и точка приложения имеет значение. Действительно, прямой удар одинаковой силы по носу или по лбу хватит развивать мой дурацкий пример влёчет разные последствия. Впрочем, несвободные векторы встречаются и в курсе вышмата (не ходите туда:)).

Действия с векторами. Коллинеарность векторов

В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора и :

Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор от конца вектора :

Суммой векторов и является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов представляет собой вектор результирующего пути с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными . Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены .

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация: (векторы сонаправлены) или (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора на число является такой вектор , длина которого равна , причём векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при .

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель отрицательный, то вектор меняет направление на противоположное.

2) Длина. Если множитель заключен в пределах или , то длина вектора уменьшается . Так, длина вектора в два раза меньше длины вектора . Если множитель по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в раз.

3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны , при этом один вектор выражен через другой, например, . Обратное тоже справедливо : если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор .

4) Векторы сонаправлены. Векторы и также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

Какие векторы являются равными?

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину . Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».

С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы и :

Векторы и ортогональны . Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность .

Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: .

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами . Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов .Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.

Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: . Координатные векторы нельзя переставлять местами.

Любой вектор плоскости единственным образом выражается в виде:
, где – числа , которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение называется разложением вектора по базису .

Ужин подан:

Начнем с первой буквы алфавита: . По чертежу хорошо видно, что при разложении вектора по базису используются только что рассмотренные:
1) правило умножения вектора на число: и ;
2) сложение векторов по правилу треугольника: .

А теперь мысленно отложите вектор от любой другой точки плоскости. Совершенно очевидно, что его разложение будет «неотступно следовать за ним». Вот она, свобода вектора – вектор «всё носит при себе». Это свойство, разумеется, справедливо для любого вектора. Забавно, что сами базисные (свободные) векторы не обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой – справа вверху, и от этого ничего не изменится! Правда, делать так не нужно, поскольку преподаватель тоже проявит оригинальность и нарисует вам «зачтено» в неожиданном месте.

Векторы , иллюстрируют в точности правило умножения вектора на число, вектор сонаправлен с базисным вектором , вектор направлен противоположно по отношению к базисному вектору . У данных векторов одна из координат равна нулю, дотошно можно записать так:


А базисные векторы, к слову, так: (по сути, они выражаются сами через себя).

И, наконец: , . Кстати, что такое вычитание векторов, и почему я не рассказал о правиле вычитания? Где-то в линейной алгебре, уже не помню где, я отмечал, что вычитание – это частный случай сложения. Так, разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно записываются в виде суммы: , . Проследите по чертежу, как чётко в этих ситуациях работает старое доброе сложение векторов по правилу треугольника.

Рассмотренное разложение вида иногда называют разложением вектора в системе орт (т.е. в системе единичных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант:

Или со знаком равенства:

Сами базисные векторы записываются так: и

То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи.

Сомневался, говорить ли, но всё-таки скажу: координаты векторов переставлять нельзя . Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору , строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору . Действительно, и – это ведь два разных вектора.

С координатами на плоскости разобрались. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат:

Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису :
, где – координаты вектора (числа) в данном базисе.

Пример с картинки: . Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: (красная стрелка), (зеленая стрелка) и (малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: . Вектор суммы начинается в исходной точке отправления (начало вектора ) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора ).

Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение «останется при нём».

Аналогично плоскому случаю, помимо записи широко используются версии со скобками: либо .

Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем .

Базисные векторы записываются следующим образом:

Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну.

А мы переходим к практической части:

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть , даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.

Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.

Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки плоскости и , то вектор имеет следующие координаты:

Если даны две точки пространства и , то вектор имеет следующие координаты:

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора .

Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора . Формулы в конце урока.

Пример 1

Даны две точки плоскости и . Найти координаты вектора

Решение: по соответствующей формуле:

Как вариант, можно было использовать следующую запись:

Эстеты решат и так:

Лично я привык к первой версии записи.

Ответ:

По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов чайникам, не поленюсь:

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов :

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при желании или необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: , а смысл координат абсолютно разный , и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.

Дамы и господа, набиваем руку:

Пример 2

а) Даны точки и . Найти векторы и .
б) Даны точки и . Найти векторы и .
в) Даны точки и . Найти векторы и .
г) Даны точки . Найти векторы .

Пожалуй, достаточно. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится;-). Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока.

Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если где ошибся =)

Как найти длину отрезка?

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант

Пример 3

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ:

Для наглядности выполню чертёж

Отрезок – это не вектор , и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Обратите внимание на важный технический приём – вынесение множителя из-под корня . В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

Вот другие распространенные случаи:

Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: . У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате:
Готово.

Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.

В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:

Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Пример 4

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение и ответ в конце урока.

Как найти длину вектора?

Если дан вектор плоскости , то его длина вычисляется по формуле .

Если дан вектор пространства , то его длина вычисляется по формуле .

Нахождение координат вектора довольно часто встречаемое условие многих задач в математике. Умение находить координаты вектора поможет вам в других, более сложных задачах со схожей тематикой. В данной статье мы рассмотрим формулу нахождения координат вектора и несколько задач.

Нахождение координат вектора в плоскости

Что такое плоскость? Плоскостью считается двухмерное пространство, пространство с двумя измерениями (измерение x и измерение y). К примеру, бумага – плоскость. Поверхность стола – плоскость. Какая-нибудь необъемная фигура (квадрат, треугольник, трапеция) тоже является плоскостью. Таким образом, если в условии задачи нужно найти координаты вектора, который лежит на плоскости, сразу вспоминаем про x и y. Найти координаты такого вектора можно следующим образом: Координаты AB вектора = (xB – xA; yB – xA). Из формулы видно, что от координат конечной точки нужно отнять координаты начальной точки.

Пример:

• Вектор CD имеет начальные (5; 6) и конечные (7; 8) координаты.
• Найти координаты самого вектора.
• Используя вышеупомянутую формулу, получим следующее выражение: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Таким образом, координаты CD вектора = (2; 2).
• Соответственно, x координата равна двум, y координата – тоже двум.

Нахождение координат вектора в пространстве

Что такое пространство? Пространство это уже трехмерное измерение, где даны 3 координаты: x, y, z. В случае, если нужно найти вектор, который лежит в пространстве, формула практически не меняется. Добавляется только одна координата. Для нахождения вектора нужно от координат конца отнять координаты начала. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Пример:

• Вектор DF имеет начальные (2; 3; 1) и конечные (1; 5; 2).
• Применяя вышеупомянутую формулу, получим: Координаты вектора DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Помните, значение координат может быть и отрицательным, в этом нет никакой проблемы.

Как найти координаты вектора онлайн?

Если по каким-то причинам вам не хочется находить координаты самостоятельно, можно воспользоваться онлайн калькулятором . Для начала, выберите размерность вектора. Размерность вектора отвечает за его измерения. Размерность 3 означает, что вектор находится в пространстве, размерность 2 – что на плоскости. Далее вставьте координаты точек в соответствующие поля и программа определит вам координаты самого вектора. Все очень просто.

Нажав на кнопку, страница автоматически прокрутится вниз и выдаст вам правильный ответ вместе с этапами решения.

Рекомендовано хорошо изучить данную тему, потому что понятие вектора встречается не только в математике, но и в физике. Студенты факультета Информационных Технологий тоже изучают тему векторов, но на более сложном уровне.