주제에 대한 프레젠테이션: 파생 상품. 화학에서 파생 상품 생성의 역사에서

함수 미분 GAPOU RO "RKTM" Kolykhalina K.A.의 교사 인수 증분, 함수 증분 x를 고정점 x0의 일부 이웃에 있는 임의의 점이라고 합니다. x-x0의 차이를 x0 지점에서 독립 변수의 증분(또는 인수의 증분)이라고 하며 ∆x로 표시합니다. ∆x = x – x0 – 독립 변수의 증분.점 x0에서 함수 f의 증분은 임의의 점에서 함수 값과 고정 점에서 함수 값 사이의 차이입니다. f(х) – f(х0)=f(х0+∆х) – f(х0) – 함수 증분 f∆f=f(х0+∆х) – f(х0) 미분 함수의 미분 결정 y= f(x)점 x = x0에서 인수의 증분이 0이 되는 경향이 있으므로 이 점에서 인수 ∆x의 증분에 대한 함수 ∆y의 증분 비율의 한계라고 합니다. 함수 y= f(x)의 도함수를 계산하는 알고리즘은 다음 방식에 따라 찾을 수 있습니다. 1. 인수 x에 ∆x≠0을 증가시키고 함수 y+∆y= f의 증가된 값을 찾습니다. (x+∆x). 2. 함수 ∆y= f(x+∆x) - f(x)의 증분을 구합니다. 3. 관계식을 작성하십시오. 4. ∆x⇾0에서 이 관계식의 극한을 찾으십시오. 즉, (이 제한이 있는 경우). 주어진 점에서 함수의 도함수를 결정합니다. 기하학적 의미

k - 직선의 기울기(할선)

접선

도함수의 기하학적 의미

주어진 점에서 함수의 도함수는 그 점에서 함수의 그래프에 그려진 탄젠트의 기울기와 같습니다.

파생 상품의 물리적 의미 1. 물질 입자의 속도를 결정하는 문제 s=s(t) 법칙에 따라 한 점이 직선을 따라 움직인다고 하자. 여기서 s는 이동한 거리, t는 시간이며, 순간 t0에서 점의 속도. 시간 t0까지 이동 거리는 s0 = s(t0)와 같고 시간(t0 +∆t)까지 경로 s0 + ∆s=s(t0 +∆t)입니다. 그런 다음 간격 ∆t 동안 평균 속도는 ∆t가 작을수록 평균 속도가 순간 t0에서 점의 움직임을 더 잘 특성화합니다. 따라서 아래 시간 t0에서의 점 속도∆t⇾0일 때, 즉 t0에서 t0 +∆t까지의 구간에 대한 평균 속도의 한계를 이해해야 합니다. 2. 화학 반응 속도 문제어떤 물질이 화학 반응에 들어가게 하십시오. 이 물질 Q의 양은 시간 t에 따라 반응 중에 변하며 시간의 함수입니다. 시간 ∆t 동안 물질의 양이 ∆Q만큼 변하면 비율은 시간 ∆t 동안의 평균 화학 반응 속도를 나타내며 이 비율의 한계는 주어진 시간에서의 화학 반응 속도입니다 시간 t.

3. 방사성 붕괴율을 결정하는 문제

m이 방사성 물질의 질량이고 t가 시간이면 방사성 물질의 질량이 시간이 지남에 따라 감소하는 경우 시간 t에서 방사성 붕괴 현상은 함수 m = m(t)로 특성화됩니다.

시간 ∆t에 따른 평균 감쇠율은 다음 비율로 표현됩니다.

및 시간 t에서의 순시 감쇠율

주어진 지점에서 함수의 도함수의 물리적 의미

기본 기본 함수의 도함수 미분의 기본 규칙 Let 유=유(x)그리고 v=v(x) -점 x에서 미분 가능한 함수. 1) (u  v) = u  v 2) (uv) = uv + uv (cu) = cu 3) , 만약 v  0

한 점에서 함수의 미분은 미적분학의 기본 개념입니다. 지정된 지점에서 기능의 변화율을 특성화합니다. 도함수는 수학, 물리학 및 기타 과학의 여러 문제를 해결하는 데 널리 사용되며 특히 다양한 종류의 프로세스 속도를 연구하는 데 사용됩니다.

기본 정의

도함수는 인수 증가에 대한 함수 증가 비율의 한계와 같습니다. 단, 인수 증가는 0이 되는 경향이 있습니다.

$y^(\prime)\left(x_(0)\right)=\lim _(\Delta x \rightarrow 0) \frac(\Delta y)(\Delta x)$

정의

어떤 점에서 유한 도함수를 갖는 함수를 호출합니다. 주어진 점에서 미분 가능. 도함수를 계산하는 과정을 기능 차별화.

기록 참조

"함수의 미분"이라는 러시아어 용어는 러시아 수학자 V.I.에 의해 처음 사용되었습니다. 비스코바토프(1780-1812).

그리스 문자 $\Delta$(델타)로 증분(인수/함수)을 지정하는 것은 스위스 수학자이자 기계공인 요한 베르누이(Johann Bernoulli)(1667 - 1748)가 처음 사용했습니다. 미분 에 대한 표기법 , 미분 $d x$ 는 독일 수학자 G.V.에 속합니다. 라이프니츠(1646~1716). $\dot(x)$ 문자 위에 점으로 시간 도함수를 표시하는 방식은 영국의 수학자, 기계공, 물리학자인 아이작 뉴턴(Isaac Newton, 1642 - 1727)에서 유래했습니다. 스트로크가 있는 도함수의 간략한 지정 - $f^(\prime)(x)$ - 프랑스 수학자, 천문학자 및 기계공 J.L. 그가 1797년에 도입한 라그랑주(1736~1813). 편도함수 기호 $\frac(\partial)(\partial x)$는 독일 수학자 Karl G.Ya의 작업에서 적극적으로 사용되었습니다. Jacobi(1805 - 1051), 그리고 당시 뛰어난 독일 수학자 Karl T.W. Weierstrass(1815-1897), 비록 이 명칭이 이미 프랑스 수학자 A.M. 르장드르(1752~1833). 미분 연산자 기호 $\nabla$는 뛰어난 아일랜드 수학자이자 기계공이자 물리학자인 W.R. Hamilton(1805-1865)은 1853년에, "nabla"라는 이름은 1892년 영국의 독학 과학자, 공학자, 수학자이자 물리학자인 Oliver Heaviside(1850-1925)에 의해 제안되었습니다.

함수의 도함수와 그 응용을 연구하는 수학의 한 분야를 미적분학이라고 합니다. 이 미적분은 곡선에 접선을 그리는 문제, 이동 속도를 계산하는 문제, 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 문제를 해결하는 데서 비롯되었습니다.

고대에 접선을 그리는 방법을 개발한 아르키메데스에 의해 미분 미적분의 많은 문제가 해결되었습니다. 아르키메데스는 자신의 이름을 딴 나선에 접선을 만들었습니다. 아르키메데스 (c. 287 - 212 BC) - 위대한 과학자. 수학과 역학의 많은 사실과 방법의 개척자, 뛰어난 엔지니어.

함수의 변화율을 찾는 문제는 Newton에 의해 처음 해결되었습니다. 함수의 변화율을 찾는 문제는 Newton에 의해 처음 해결되었습니다. 그는 함수를 유창하다고 불렀습니다. 현재 값. 도함수 - 및 e th와 함께 플럭스. 그는 함수를 유창하다고 불렀습니다. 현재 값. 도함수 - 및 e th와 함께 플럭스. Newton은 역학의 문제를 기반으로 도함수의 개념을 생각해 냈습니다. 아이작 뉴턴(Isaac Newton, 1643~1722) - 영국의 물리학자이자 수학자.

페르마의 결과와 몇 가지 다른 결론을 바탕으로 라이프니츠는 1684년 미분에 대한 기본 규칙을 설명하는 미분 미적분학에 대한 첫 번째 기사를 발표했습니다. 라이프니츠 고트프리트 프리드리히(1646~1716) - 위대한 독일 과학자, 철학자, 수학자, 물리학자, 변호사, 언어학자

미분의 적용: 미분의 적용: 1) 전력은 시간 P \u003d A "(t)에 대한 일의 미분입니다. 2) 전류 강도는 시간 I \u003d g"에 대한 전하의 미분입니다( 티). 3) 힘은 변위 F \u003d A "(x) 작업의 미분입니다. 4) 열용량은 온도 C \u003d Q"(t)에 대한 열량의 미분입니다. 5) 압력 - 면적 P \u003d F "(S) 6) 원주는 반경 l env \u003d S"를 따른 원의 면적의 도함수입니다. cr (아르 자형). 7) 노동생산성 증가율은 노동생산성의 시간미분이다. 8) 학업 성공? 지식 성장의 파생물.

물리학에서의 미분의 적용 과제: S 1 (t) \u003d 3.5t 2 - 5t + 10 및 S 2 (t) \u003d 1.5t 2 + 3t 법칙에 따라 두 물체가 각각 직선으로 움직입니다. -6. 어느 시점에 물체의 속도가 같습니까? 작업 : S 1 (t) \u003d 3.5t 2 - 5t + 10 및 S 2 (t) \u003d 1.5t 2 + 3t -6 법칙에 따라 두 개의 몸체가 각각 직선으로 움직입니다. 어느 시점에 물체의 속도가 같습니까?

경제학에서 파생상품의 적용 문제: 기업은 한 달에 일부 동종 제품을 X 단위로 생산합니다. 산출량에 대한 기업의 재정 절감 의존도는 다음 공식으로 표현된다는 것이 확인되었습니다. 과제: 기업은 한 달에 일부 균질한 제품의 X 단위를 생산합니다. 산출량에 대한 기업의 재정적 절약의 의존성은 기업의 잠재력 탐색 공식으로 표현된다는 것이 확인되었습니다. 기업의 잠재력을 탐색하십시오. 15

파생 상품 개념의 역사

함수, 경계, 미분 및 적분은 고등학교 과정에서 공부하는 수학적 분석의 기본 개념입니다. 그리고 도함수의 개념은 함수의 개념과 불가분의 관계에 있습니다.

"함수"라는 용어는 1692년 독일 철학자이자 수학자에 의해 특정 곡선의 점을 연결하는 여러 세그먼트를 특성화하기 위해 처음 제안되었습니다. 더 이상 기하학적 표현과 관련되지 않은 함수의 첫 번째 정의는 1718년에 공식화되었습니다. 요한 베르누이의 제자

1748년에 기능의 정의를 명확히 했습니다.. 오일러는 기능을 나타내기 위해 기호 f(x)를 도입한 것으로 알려져 있습니다.

함수의 극한과 연속성에 대한 엄격한 정의는 1823년 프랑스 수학자에 의해 공식화되었습니다. 어거스틴 루이 코시 . 함수의 연속성에 대한 정의는 체코의 수학자 Bernard Bolzano에 의해 훨씬 더 일찍 공식화되었습니다. 이러한 정의에 따르면 실수 이론을 기반으로 수학적 분석의 주요 조항에 대한 엄격한 입증이 수행되었습니다.

미적분학의 접근 방식과 기초의 발견은 1629년에 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾고 임의의 곡선에 접선을 그리는 방법을 제안한 프랑스 수학자이자 변호사의 작업에 선행되었으며 실제로 파생 상품의 사용. 이것은 또한 좌표 방법과 분석 기하학의 기초를 개발한 작업에 의해 촉진되었습니다. 1666년과 얼마 지나지 않아 그들은 서로 독립적으로 미적분학 이론을 구축했습니다. Newton은 순간 속도의 문제를 해결하고 , - 곡선에 접선을 그리는 기하학적 문제를 고려하여 도함수의 개념에 도달했습니다. 함수의 최대값과 최소값의 문제를 조사했습니다.

적분 미적분과 적분의 개념 자체는 평면 도형의 면적과 임의의 물체의 부피를 계산할 필요성에서 비롯되었습니다. 적분 미적분의 아이디어는 고대 수학자의 작품에서 시작됩니다. 그러나 이것은 그가 3세기에 사용한 에우독소스의 "소진법"을 증명한다. 기원전 e 이 방법의 핵심은 평평한 도형의 면적을 계산하기 위해 다각형의 변의 수를 늘려 계단형 도형의 영역이 향하는 경계를 찾는 것이었습니다. 그러나 각 그림에 대해 한계 계산은 특수 기술의 선택에 달려 있습니다. 그리고 도형의 면적과 부피를 계산하는 일반적인 방법의 문제는 여전히 해결되지 않았습니다. 아르키메데스는 경계와 적분의 일반적인 개념이 암묵적으로 사용되었지만 아직 명시적으로 적용하지 않았습니다.

17세기에 , 행성 운동의 법칙을 발견한 최초의 아이디어 개발 시도가 성공적으로 수행되었습니다. Kepler는 도형과 신체를 무한히 작은 부분으로 무한히 분해한다는 아이디어에 기초하여 평평한 도형의 면적과 몸체의 부피를 계산했습니다. 추가 결과 이러한 부분은 면적이 알려진 그림으로 구성되어 원하는 면적을 계산할 수 있습니다. 소위 "Cavalieri 원리"는 면적과 부피가 계산되는 도움으로 수학의 역사에 들어갔습니다. 이 원리는 적분 미적분학의 도움으로 나중에 이론적으로 입증되었습니다.
다른 과학자들의 아이디어는 Newton과 Leibniz가 적분 미적분을 발견한 기반이 되었습니다. 적분 미적분학의 발전은 훨씬 나중에 계속되었습니다. 파프누티 르보비치 체비쇼프 일부 부류의 비합리적 기능을 통합하는 방법을 개발했습니다.

적분 합의 극한으로서의 적분의 현대적 정의는 코시 때문입니다. 상징