짧은 곱셈 공식. 약식 곱셈 공식 - 지식 하이퍼마켓
대수학 과정에서 공부하는 첫 번째 주제 중 하나는 약식 곱셈 공식입니다. 7학년에서는 식의 공식 중 하나를 인식하고 다항식을 인수분해해야 하거나 반대로 합계나 차이를 빠르게 제곱하거나 세제곱해야 하는 가장 간단한 상황에서 사용됩니다. 앞으로 FSU는 부등식과 방정식을 빠르게 풀고 계산기 없이 일부 수치식을 계산하는 데에도 사용됩니다.
수식 목록은 어떻게 생겼습니까?
대괄호로 묶인 다항식을 빠르게 곱할 수 있는 7가지 기본 공식이 있습니다.
때때로 이 목록에는 4차 확장이 포함되어 있는데, 이는 제시된 정체성에 따라 다음과 같은 형식을 갖습니다.
a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).
제곱의 차이를 제외하고 모든 평등에는 쌍(합 - 차이)이 있습니다. 제곱합 공식은 없다.
나머지 평등은 기억하기 쉽습니다.:
FSO는 어떤 경우에도 어떤 값에서도 작동한다는 점을 기억해야 합니다. ㅏ그리고 비: 임의의 숫자와 정수 표현식이 될 수 있습니다.
수식에 어떤 기호가 하나 또는 다른 용어 앞에 있는지 갑자기 기억나지 않는 상황에서 대괄호를 열고 수식을 사용한 후와 동일한 결과를 얻을 수 있습니다. 예를 들어 차분 큐브의 FSU를 적용할 때 문제가 발생했다면 원래의 표현식을 작성하고 곱셈을 하나씩 수행:
(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
그 결과 이러한 항을 모두 줄인 후 표와 같은 다항식을 얻었다. 다른 모든 FSO에서도 동일한 조작을 수행할 수 있습니다.
방정식을 풀기 위한 FSO의 적용
예를 들어 다음을 포함하는 방정식을 풀어야 합니다. 3차 다항식:
x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.
학교 교과 과정은 3차 방정식을 푸는 보편적인 기술을 고려하지 않으며 이러한 작업은 대부분 더 간단한 방법(예: 인수분해)으로 해결됩니다. 항등식의 왼쪽이 합계의 세제곱과 비슷하다는 것을 알게 되면 방정식을 더 간단한 형식으로 작성할 수 있습니다.
(x + 1)³ = 0.
이러한 방정식의 근은 구두로 계산됩니다. x=-1.
불평등은 비슷한 방식으로 해결됩니다. 예를 들어, 우리는 불평등을 해결할 수 있습니다 x³ - 6x² + 9x > 0.
우선 식을 요인으로 분해할 필요가 있다. 먼저 브래킷을 제거해야합니다. 엑스. 그런 다음 대괄호 안의 표현식을 차이의 제곱으로 변환할 수 있다는 점에 유의해야 합니다.
그런 다음 표현식이 0 값을 취하는 지점을 찾아 숫자 라인에 표시해야 합니다. 특정한 경우에는 0과 3이 됩니다. 그런 다음 간격 방법을 사용하여 x가 부등식 조건을 충족하는 간격을 결정합니다.
FSO는 다음을 수행하는 데 도움이 될 수 있습니다. 계산기의 도움 없이 일부 계산:
703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.
또한 식을 인수분해하여 분수를 쉽게 줄이고 다양한 대수식을 단순화할 수 있습니다.
7-8학년 과제의 예
결론적으로 우리는 대수에서 약식 곱셈 공식을 적용하기 위한 두 가지 과제를 분석하고 해결할 것입니다.
작업 1. 식을 단순화합니다.
(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).
해결책. 작업 조건에서 표현식을 단순화해야합니다. 즉, 괄호를 열고 곱셈과 지수 연산을 수행하고 이러한 용어를 모두 가져와야합니다. 조건부로 표현식을 세 부분으로 나누고 (용어 수에 따라) 가능한 경우 FSU를 사용하여 괄호를 하나씩 엽니 다.
- (m + 3)² = m² + 6m + 9(제곱합);
- (3m + 1)(3m - 1) = 9m² - 1(제곱의 차이);
- 마지막 기간에는 곱셈을 수행해야 합니다. 2m(5m + 3) = 10m² + 6m.
결과를 원래 표현식으로 대체합니다.
(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).
기호를 고려하여 대괄호를 열고 다음과 같은 용어를 제공합니다.
m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.
작업 2. 미지의 k를 포함하는 방정식을 5의 거듭제곱으로 풉니다.
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.
해결책. 이 경우 FSO 및 그룹화 방법을 사용해야 합니다. 마지막 용어와 끝에서 두 번째 용어를 ID의 오른쪽으로 전송해야 합니다.
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.
공통 승수는 오른쪽과 왼쪽 부분에서 가져옵니다. (k² + 4k +4):
k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).
0이 오른쪽에 남도록 모든 것이 방정식의 왼쪽으로 전송됩니다.
k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.
다시 말하지만, 공통 요소를 제거해야 합니다.
(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.
얻은 첫 번째 요인에서 다음을 도출할 수 있습니다. 케이. 짧은 곱셈 공식에 따르면 두 번째 요소는 다음과 동일합니다. (k + 2)²:
k (k² - 1)(k + 2)² = 0.
제곱의 차이 공식 사용:
k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.
요인 중 하나 이상이 0이면 곱은 0이므로 방정식의 모든 근을 찾는 것은 어렵지 않습니다.
- k = 0;
- k - 1 = 0; k = 1;
- k + 1 = 0; k = -1;
- (k + 2)² = 0; k = -2.
예시적인 예를 바탕으로 공식과 그 차이점을 기억하는 방법을 이해하고 FSU를 사용하여 몇 가지 실용적인 문제를 해결할 수도 있습니다. 작업은 간단하고 완료하기 어렵지 않아야 합니다.
FSU(약식 곱셈 공식)는 숫자와 표현식을 지수화하고 곱하는 데 사용됩니다. 종종 이러한 공식을 사용하면 더 간결하고 빠르게 계산할 수 있습니다.
이 기사에서는 약식 곱셈의 주요 공식을 나열하고 테이블로 그룹화하고 이러한 공식을 사용하는 예를 고려하고 약식 곱셈 공식을 증명하는 원칙에 대해 설명합니다.
처음으로 FSU의 주제는 7학년을 위한 "대수학" 과정에서 고려됩니다. 다음은 7가지 기본 공식입니다.
약식 곱셈 공식
- 제곱합 공식: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- 차이 제곱 공식: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- 합 세제곱 공식: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- 차분 세제곱 공식: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- 제곱의 차이 공식: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- 세제곱합 공식: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- 큐브 차이 공식: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
이 표현식의 문자, b, c는 숫자, 변수 또는 표현식일 수 있습니다. 사용의 편의를 위해 7가지 기본 공식을 암기하는 것이 좋습니다. 우리는 그것들을 표로 요약하고 상자로 동그라미를 쳐서 아래에 제공합니다.
처음 4개의 공식을 사용하면 두 표현식의 합이나 차의 제곱이나 세제곱을 각각 계산할 수 있습니다.
다섯 번째 공식은 합과 차를 곱하여 식의 제곱의 차를 계산합니다.
여섯 번째 및 일곱 번째 공식은 각각 식의 합과 차에 미분의 불완전 제곱과 합의 불완전 제곱을 곱한 것입니다.
약식 곱셈 공식은 때때로 약식 곱셈 ID라고도 합니다. 모든 평등은 동일성이므로 이것은 놀라운 일이 아닙니다.
실제 예제를 풀 때 축약된 곱셈 공식은 종종 왼쪽과 오른쪽 부분을 재배열하는 데 사용됩니다. 이것은 다항식을 인수분해할 때 특히 편리합니다.
추가 약식 곱셈 공식
우리는 7학년 대수학 과정에 국한되지 않고 FSU 표에 몇 가지 공식을 더 추가할 것입니다.
먼저 Newton의 이항 공식을 고려하십시오.
a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
여기서 C n k는 파스칼 삼각형의 n번째 줄에 있는 이항 계수입니다. 이항 계수는 다음 공식으로 계산됩니다.
C nk = n ! 케이! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !
보시다시피 FSU의 제곱과 세제곱의 차이와 합은 각각 n=2와 n=3에 대한 뉴턴의 이항식의 특수한 경우입니다.
그러나 거듭제곱할 합계에 두 개 이상의 항이 있으면 어떻게 됩니까? 3, 4 또는 그 이상의 항의 합을 제곱하는 공식이 유용할 것입니다.
1 + 2 + . . + 엔 2 = 에이 1 2 + 에이 2 2 + . . + an 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 an + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 에 2 에 n + 2 에 n - 1에 엔
유용할 수 있는 또 다른 공식은 두 항의 n제곱의 차에 대한 공식입니다.
n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1
이 공식은 일반적으로 각각 짝수 및 홀수 두 가지 공식으로 나뉩니다.
짝수 지수 2m의 경우:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2m - 2
홀수 지수 2m+1의 경우:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2m
제곱의 차이와 세제곱의 차이에 대한 공식은 각각 n = 2 및 n = 3에 대한 이 공식의 특수한 경우입니다. 입방체의 차이에 대해 b는 -b로도 대체됩니다.
약식 곱셈 공식을 읽는 방법은 무엇입니까?
우리는 각 공식에 해당하는 공식을 제공할 것이지만 먼저 공식을 읽는 원리를 다룰 것입니다. 이를 수행하는 가장 쉬운 방법은 예제를 사용하는 것입니다. 두 숫자의 합 제곱에 대한 첫 번째 공식을 취합시다.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
그들은 다음과 같이 말합니다. 두 식 a와 b의 합계의 제곱은 첫 번째 식의 제곱의 합과 같으며, 식의 곱과 두 번째 식의 제곱의 두 배입니다.
다른 모든 수식은 비슷하게 읽습니다. 제곱 차이 a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2에 대해 다음과 같이 씁니다.
두 표현식과 b의 차이의 제곱은 이러한 표현식의 제곱의 합에서 첫 번째와 두 번째 표현식의 곱의 두 배를 뺀 것과 같습니다.
공식 a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3을 읽어봅시다. 두 식 a와 b의 합을 세제곱하면 이 두 식의 세제곱합과 같으며 첫 번째 식과 두 번째 식의 제곱 곱의 3배, 두 번째 식의 제곱 곱의 3배입니다. 그리고 첫 번째 표현.
큐브 a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3의 차이에 대한 공식을 계속 읽습니다. 두 표현식 a와 b의 차이의 세제곱은 첫 번째 표현식의 세제곱에서 첫 번째 표현식과 두 번째 표현식의 제곱을 3배로 하고 더하기 두 번째 표현식과 첫 번째 표현식의 제곱을 3배로 하고 큐브를 뺀 것과 같습니다. 두 번째 표현의.
다섯 번째 공식 a 2 - b 2 \u003d a - b a + b(제곱의 차이)는 다음과 같습니다. 두 표현식의 제곱의 차이는 차이의 곱과 두 표현식의 합과 같습니다.
편의상 a 2 + a b + b 2 와 a 2 - a b + b 2 와 같은 식을 각각 덧셈의 불완전 제곱과 차이의 불완전 제곱이라고 합니다.
이를 염두에 두고 입방체의 합과 차에 대한 공식은 다음과 같이 읽습니다.
두 식의 세제곱의 합은 이러한 식의 합과 그 차이의 불완전 제곱을 곱한 것과 같습니다.
두 표현식의 세제곱의 차이는 이러한 표현식의 차이를 불완전 제곱으로 곱한 것과 같습니다.
FSU 증거
FSU를 증명하는 것은 아주 간단합니다. 곱셈의 속성을 기반으로 괄호 안의 공식 부분의 곱셈을 수행합니다.
예를 들어, 차이의 제곱에 대한 공식을 고려하십시오.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
표현식을 2제곱하려면 표현식 자체를 곱해야 합니다.
a-b 2 \u003d a-b a-b.
대괄호를 확장해 보겠습니다.
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
공식이 입증되었습니다. 다른 FSO도 유사하게 증명됩니다.
FSO 적용 예
기약 곱셈 공식을 사용하는 목적은 표현식을 빠르고 간결하게 곱하고 지수하는 것입니다. 그러나 이것이 FSO의 전체 범위는 아닙니다. 그들은 표현식을 줄이고 분수를 줄이고 다항식을 인수 분해하는 데 널리 사용됩니다. 예를 들어 보겠습니다.
실시예 1. FSO
표현식 9 y - (1 + 3 y) 2 를 단순화합시다.
제곱합 공식을 적용하고 다음을 얻습니다.
9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2
실시예 2. FSO
분수 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 를 줄입니다.
분자의 표현은 세제곱의 차이이고 분모의 표현은 제곱의 차이입니다.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
우리는 줄이고 다음을 얻습니다.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
FSU는 또한 표현식의 값을 계산하는 데 도움이 됩니다. 가장 중요한 것은 공식을 어디에 적용해야 하는지 알 수 있다는 것입니다. 이것을 예를 들어 보여줍시다.
숫자 79를 제곱해 봅시다. 번거로운 계산 대신 다음과 같이 작성합니다.
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
구구단 축약식과 구구단만 활용하면 복잡한 계산을 빠르게 한 것 같다.
또 다른 중요한 점은 이항의 제곱을 선택하는 것입니다. 4 x 2 + 4 x - 3 표현식은 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 로 변환할 수 있습니다. 이러한 변환은 통합에 널리 사용됩니다.
텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.
대수 다항식을 계산할 때 계산을 단순화하기 위해 다음을 사용합니다. 약식 곱셈 공식. 그러한 공식은 총 7개입니다. 그것들은 모두 마음으로 알아야 합니다.
수식에 "a"와 "b" 대신 숫자와 다른 대수 다항식이 있을 수 있다는 점도 기억해야 합니다.
제곱의 차이
기억하다!
제곱의 차이두 숫자는 이러한 숫자의 차이와 그 합을 곱한 것과 같습니다.
a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)- 15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 17 = 221
- 9a 2 − 4b 2 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)
합 광장
기억하다!
두 숫자의 합을 제곱한 값은 첫 번째 숫자의 제곱에 첫 번째 숫자의 곱의 두 배를 더한 값과 두 번째 숫자에 두 번째 숫자의 제곱을 더한 값과 같습니다.
(ㅏ + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
이 축소된 곱셈 공식을 사용하면 다음을 쉽게 수행할 수 있습니다. 큰 수의 제곱 찾기계산기나 긴 곱셈을 사용하지 않고. 예를 들어 설명하겠습니다.
찾기 112 2 .
- 112를 우리가 잘 기억하는 제곱의 합으로 분해합시다.
112 = 100 + 1 - 우리는 대괄호 안에 숫자의 합을 쓰고 대괄호 위에 사각형을 넣습니다.
112 2 = (100 + 12) 2 - 합 제곱 공식을 사용합시다.
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544
제곱합 공식은 모든 대수 다항식에도 유효하다는 것을 기억하십시오.
- (8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2
경고!
(a + b) 2는 (a 2 + b 2)와 같지 않습니다차이의 제곱
기억하다!
두 숫자의 차이의 제곱은 첫 번째 숫자의 제곱에서 첫 번째 숫자의 곱의 두 배를 뺀 값과 두 번째 숫자에 두 번째 숫자의 제곱을 더한 값과 같습니다.
(ㅏ − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
매우 유용한 변환을 기억하는 것도 가치가 있습니다.
(a - b) 2 = (b - a) 2위의 공식은 단순히 괄호를 확장하여 증명됩니다.
(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2합계 큐브
기억하다!
두 수의 합을 더한 세제곱은 첫 번째 수의 세제곱에 첫 번째 수의 제곱을 세 번 더하고 두 번째 수를 더한 값의 세 곱하기 첫 번째 수의 곱에 두 번째 수의 제곱을 더한 값에 두 번째 수의 세제곱을 더한 값과 같습니다.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
합계 큐브를 기억하는 방법
이 "끔찍한" 모양의 공식을 기억하는 것은 매우 간단합니다.
- "a 3"이 시작 부분에 온다는 것을 배우십시오.
- 중간에 있는 두 개의 다항식은 계수가 3입니다.
- 0의 거듭제곱은 1임을 기억하십시오. (a 0 = 1, b 0 = 1) . 공식에서 "b"도는 감소하고 "b"도는 증가함을 쉽게 알 수 있습니다. 다음을 확인할 수 있습니다.
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
경고!
(a + b) 3은 a 3 + b 3과 같지 않습니다.차이 큐브
기억하다!
차이 큐브두 숫자는 첫 번째 숫자의 세제곱에서 첫 번째 숫자의 제곱 곱하기 두 번째 더하기 첫 번째 숫자의 곱 곱하기 두 번째 숫자의 제곱에서 두 번째 숫자의 세제곱을 뺀 값을 뺀 값과 같습니다.
(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
이 수식은 이전 수식과 같이 기억되지만 "+"와 "-"기호의 교대만을 고려합니다. 첫 번째 멤버 "a 3" 앞에 "+"가 있습니다(수학 규칙에 따라 쓰지 않습니다). 이것은 다음 멤버 앞에 "-"가 오고 다시 "+"가 오는 등을 의미합니다.
(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3큐브의 합
합계 큐브와 혼동하지 마십시오!
기억하다!
큐브의 합차이의 불완전 제곱으로 두 숫자의 합을 곱한 것과 같습니다.
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)입방체의 합은 두 괄호의 곱입니다.
- 첫 번째 괄호는 두 숫자의 합입니다.
- 두 번째 괄호는 숫자 차이의 불완전 제곱입니다. 차이의 불완전한 제곱을 식이라고 합니다.
(a 2 − ab + b 2)
중간에 이중 곱 대신 숫자의 일반 곱이 있기 때문에 이 사각형은 불완전합니다.
큐브의 차이
차이 큐브와 혼동하지 마십시오!
기억하다!
큐브의 차이두 숫자의 차이를 합계의 불완전 제곱으로 곱한 값과 같습니다.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)문자를 작성할 때 주의하십시오.
약식 곱셈 공식의 적용
위의 모든 공식도 오른쪽에서 왼쪽으로 사용된다는 점을 기억해야 합니다.
교과서의 많은 예제는 공식을 사용하여 다항식을 다시 조합하도록 설계되었습니다.
- a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
- (ac − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2
섹션에서 약식 곱셈에 대한 모든 공식이 포함된 표를 다운로드할 수 있습니다.
다항식을 다항식으로 곱하기
! 에게 다항식에 다항식을 곱하다, 한 다항식의 각 항에 다른 다항식의 각 항을 곱하고 결과 곱을 더해야 합니다.
조심하세요! 각 용어에는 고유한 기호가 있습니다.
약식 곱셈 공식다항식은 일반적으로 다항식의 곱셈에서 자주 발생하는 7(일곱) 경우입니다.
정의 및약식 곱셈 공식. 테이블
표 2. 약식 곱셈 공식의 정의(확대하려면 클릭)
제곱에 대한 세 가지 약식 곱셈 공식
1. 합 제곱 공식.
합 광장두 표현식의 제곱은 첫 번째 표현식의 제곱에 첫 번째 표현식의 곱의 두 배를 더한 값과 두 번째 표현식에 두 번째 표현식의 제곱을 더한 값과 같습니다.
공식을 더 잘 이해하기 위해 먼저 표현식을 단순화합시다 (합의 제곱에 대한 공식 확장)
이제 인수분해(공식 접기)
인수분해 시 일련의 작업:
- 어떤 단항식의 제곱을 결정합니다( 5 그리고 3m);
- 이중 곱이 공식의 중간에 있는지 확인하십시오(2 5 3m = 30m);
- 답을 적어 (5 + 3m) 2.
2. 차이 제곱 공식
차이의 제곱두 표현식의 제곱은 첫 번째 표현식의 제곱에서 첫 번째 표현식의 곱의 두 배를 뺀 값과 두 번째 더하기 두 번째 표현식의 제곱을 뺀 것과 같습니다.
먼저 표현식을 단순화하겠습니다(공식 확장).
그리고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다(공식을 접을 것입니다).
3. 제곱 공식의 차이
두 표현식의 합과 그 차이의 곱은 이러한 표현식의 제곱의 차이와 같습니다.
공식을 접습니다(곱하기)
이제 공식을 확장해 보겠습니다.
큐브에 대한 네 가지 약식 곱셈 공식
4. 두 숫자의 합 세제곱 공식
두 표현식의 합을 더한 세제곱식은 첫 번째 표현식의 세제곱 곱하기 첫 번째 표현식의 제곱 곱하기 두 번째 더하기 첫 번째 표현식의 곱 곱하기 두 번째 표현식의 제곱 더하기 두 번째 표현식의 세제곱을 더한 값과 같습니다. 표현.
수식을 "접을" 때의 일련의 작업:
- 세제곱된 단항식을 찾으십시오(여기 4배그리고 1 );
- 공식 준수에 대한 평균 조건을 확인하십시오.
- 답을 적으세요.
5. 두 숫자의 차의 세제곱 공식
두 표현식의 차의 세제곱은 첫 번째 표현식의 세제곱에서 첫 번째 표현식의 제곱의 곱을 3배로 하고 두 번째 더하기는 첫 번째 표현식의 곱과 두 번째 제곱에서 세제곱을 뺀 곱과 같습니다. 두 번째 표현의.
6. 큐브의 합 공식
두 식의 세제곱의 합은 첫 번째 식과 두 번째 식의 합을 이러한 식의 차이의 불완전 제곱으로 곱한 것과 같습니다.
그리고 뒤로:
7. 큐브 공식의 차이
두 표현식의 세제곱의 차이는 첫 번째 표현식과 두 번째 표현식의 차이와 이러한 표현식 합계의 불완전 제곱의 곱과 같습니다.
약식 곱셈 공식의 적용. 테이블
공식을 실제로 사용하는 예(구술 계산).
일: a = 71cm인 정사각형의 넓이를 구하십시오.
해결책:에스 = a 2 . 합 제곱 공식을 사용하면
71 2 \u003d (70 + 1) 2 \u003d 70 2 + 2 * 70 * 1 + 1 2 \u003d 4900 + 140 + 1 \u003d 5041 cm 2
대답: 5041cm 2
표현 ( ㅏ + 비) 2는 제곱합번호 ㅏ그리고 비. 정의에 따라 표현식( ㅏ + 비ㅏ + 비)(ㅏ + 비). 따라서 합계의 제곱에서 다음을 추론할 수 있습니다.
(ㅏ + 비) 2 = (ㅏ + 비)(ㅏ + 비) = ㅏ 2 + ab + ab + 비 2 = ㅏ 2 + 2ab + 비 2 ,
즉, 두 숫자의 합계의 제곱은 첫 번째 숫자의 제곱에 첫 번째 숫자와 두 번째 숫자의 곱의 두 배를 더한 값에 두 번째 숫자의 제곱을 더한 것과 같습니다.
합제곱 공식
(ㅏ + 비) 2 = ㅏ 2 + 2ab + 비 2
다항식 ㅏ 2 + 2ab + 비 2를 합 제곱의 확장이라고 합니다.
왜냐하면 ㅏ그리고 비임의의 숫자나 표현식을 나타내는 경우 이 규칙은 두 항의 합으로 간주될 수 있는 표현식을 제곱하는 약칭 기능을 제공합니다.
예시.제곱식 3 엑스 2 + 2xy.
해결책:추가 변환을 수행하지 않기 위해 합계의 제곱 공식을 사용합니다. 첫 번째 숫자의 제곱의 합을 구해야 합니다. 첫 번째 숫자와 두 번째 숫자의 곱의 두 배와 두 번째 숫자의 제곱을 구해야 합니다.
(3엑스 2 + 2xy) 2 = (3엑스 2) 2 + 2(3엑스 2 2 xy) + (2xy) 2
이제 단항식의 곱셈 및 지수화 규칙을 사용하여 결과 표현식을 단순화합니다.
(3엑스 2) 2 + 2(3엑스 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9엑스 4 + 12엑스 3 와이 + 4엑스 2 와이 2
차이의 제곱
표현 ( ㅏ - 비) 2는 차이 제곱번호 ㅏ그리고 비. 표현 ( ㅏ - 비) 2는 두 개의 다항식( ㅏ - 비)(ㅏ - 비). 따라서 차이의 제곱에서 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.
(ㅏ - 비) 2 = (ㅏ - 비)(ㅏ - 비) = ㅏ 2 - ab - ab + 비 2 = ㅏ 2 - 2ab + 비 2 ,
즉, 두 숫자의 차이의 제곱은 첫 번째 숫자의 제곱에서 두 번째 숫자의 곱의 두 배를 뺀 값에 두 번째 숫자의 제곱을 더한 값과 같습니다.
총계는 다음과 같은 규칙에 따릅니다. 차이 제곱 공식, 중간 변환 없이는 다음과 같이 보일 것입니다.
(ㅏ - 비) 2 = ㅏ 2 - 2ab + 비 2
다항식 ㅏ 2 - 2ab + 비 2는 차의 제곱의 확장이라고 합니다.
이 규칙은 두 숫자의 차이로 나타낼 수 있는 표현식의 약식 제곱에 적용됩니다.
예시.차이의 제곱을 삼항식으로 표현합니다.
(2ㅏ 2 - 5ab 2) 2
해결책:차이의 제곱 공식을 사용하여 다음을 찾습니다.
(2ㅏ 2 - 5ab 2) 2 = (2ㅏ 2) 2 - 2(2ㅏ 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2
이제 표현식을 표준 형식 다항식으로 변환해 보겠습니다.
(2ㅏ 2) 2 - 2(2ㅏ 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2 = 4ㅏ 4 - 20ㅏ 3 비 2 + 25ㅏ 2 비 4
제곱의 차이
표현 ㅏ 2 - 비 2는 제곱의 차이번호 ㅏ그리고 비. 표현 ㅏ 2 - 비 2는 두 숫자의 합에 차이를 곱하는 간단한 방법입니다.
(ㅏ + 비)(ㅏ - 비) = ㅏ 2 + ab - ab - 비 2 = ㅏ 2 - 비 2 ,
즉, 두 숫자의 합과 그 차이의 곱은 이 숫자의 제곱의 차이와 같습니다.
총계는 다음과 같은 규칙에 따릅니다. 제곱식의 차이다음과 같이 보입니다.
ㅏ 2 - 비 2 = (ㅏ + 비)(ㅏ - 비)
이 규칙은 나타낼 수 있는 식의 약식 곱셈에 적용됩니다. 하나는 두 수의 합이고 다른 하나는 같은 수의 차입니다.
예시.곱을 이항으로 변환:
(5ㅏ 2 + 3)(5ㅏ 2 - 3)
해결책:
(5ㅏ 2 + 3)(5ㅏ 2 - 3) = (5ㅏ 2) 2 - 3 2 = 25ㅏ 4 - 9
예에서 우리는 제곱의 차이 공식을 오른쪽에서 왼쪽으로 적용했습니다. 즉, 공식의 오른쪽이 주어지고 이를 왼쪽으로 변환했습니다.
(ㅏ + 비)(ㅏ - 비) = ㅏ 2 - 비 2
실제로, 고려된 세 공식은 상황에 따라 왼쪽에서 오른쪽으로, 오른쪽에서 왼쪽으로 모두 적용됩니다.
