Идеальный газ во внешнем потенциальном поле. Закон Больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле

Полученная в § 92 барометрическая формула

(см. (92.4)) дает зависимость давления от высоты над поверхностью Земли для воображаемой изотермической атмосферы. Заменим в показателе экспоненты отношение равным ему отношением ( - масса молекулы, k - постоянная Больцмана). Кроме того, подставим в соответствии с (86.7) вместо выражение а вместо - выражение Сократив затем обе части равенства на придем к формуле

(100.2)

Здесь - концентрация молекул (т. е. число их в единице объема) на высоте - концентрация молекул на высоте

Из формулы (100.2) следует, что с понижением температуры число частиц на высотах, отличных от нуля, убывает, обращаясь в нуль при (рис. 100.1). При абсолютном нуле все молекулы расположились бы на земной поверхности.

При высоких температурах, напротив, слабо убывает с высотой, так что молекулы оказываются распределенными по высоте почти равномерно.

Этот факт имеет простое физическое объяснение. Каждое конкретное распределение молекул по высоте устанавливается в результате действия двух тенденций: 1) притяжение молекул к Земле (характеризуемое силой ) стремится расположить их на поверхности Земли; 2) тепловое движение (характеризуемое величиной ) стремится разбросать молекулы равномерно по всем высотам. Чем больше и меньше Т, тем сильнее преобладает первая тенденция, и молекулы сгущаются у поверхности Земли. В пределе при тепловое движение совсем прекращается, и под влиянием притяжения молекулы располагаются на земной поверхности. При высоких температурах превалирует тепловое движение, и плотность молекул медленно убывает с высотой.

На разной высоте молекула обладает различным запасом по тенциальной энергии:

Следовательно, распределение молекул по высоте является вместе с тем и распределением их по значениям потенциальной энергии. С учетом (100.3) формулу (100.2) можно записать следующим образом:

где - плотность молекул в том месте пространства, где потенциальная энергия молекулы имеет значение - плотность молекул в том месте, где потенциальная энергия молекулы равна нулю.

Из (100.4) следует, что молекулы располагаются с большей плотностью там, где меньше их потенциальная энергия, и, наоборот, с меньшей плотностью - в местах, где их потенциальная энергия больше.

В соответствии с (100.4) отношение в точках, где потенциальная энергия молекулы имеет значения равно

Больцман доказал, что распределение (100.4) справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения. В соответствии с этим распределение (100.4) называют распределением Больцмана.

В то время как закон Максвелла дает распределение частиц по значениям кинетической энергии, закон Больцмана дает распределение частиц по значениям потенциальной энергии. Для обоих распределений характерно наличие экспоненциального множителя, в показателе которого стоит отношение кинетической или соответственно потенциальной энергии одной молекулы к величине, определяющей среднюю энергию теплового движения молекулы.

Согласно формуле (100.4) количество молекул, попадающих в пределы объема расположенного в точке с координатами х, у, z, равно

Мы получили еще одно выражение закона распределения Больцмана.

Распределения Максвелла и Больцмана можно объединить в один закон Максвелла - Больцмана, согласно которому число молекул, компоненты скорости которых лежат в пределах от до а координаты в пределах от х, у, z до равно

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории и закона распределения Максвелла предполагалось, что на молекулы не действуют никакие внешние силы. Поэтому можно было считать, что молекулы равномерно распределены по объему сосуда.

Фактически же молекулы любого газа всегда находятся в поле тяготения Земли. Если бы не было теплового движения молекул атмосферного воздуха, то все они упали бы на Землю. Если бы не было тяготения, то атмосферный воздух рассеялся бы по всей Вселенной. Таким образом, тяготение и тепловое движение приводят газ в состояние, при котором его давление и концентрация молекул зависят от высоты.

Формула зависимости атмосферного давления от высоты над уровнем Земли получила название барометрической формулы. Для вывода барометрической формулы введем некоторые допущения:

Ускорение свободного падения считаем практически постоянным и не зависящим от высоты, так как атмосферное давление становится пренебрежительно малым уже на высоте 100-200 км, гораздо меньшей по сравнению с радиусом Земли;

Температуру воздуха считаем не зависящей от высоты.

Атмосферное давление обусловлено весом вышележащих слоев газа. Выделим мысленно вертикальный столб воздуха (рис. 18.1) с площадью основания S .

Пусть на высоте h давление газа равно p , а на высоте (h+dh ) давление равно (p+dp ). Так как давление с увеличением высоты падает, то его приращение будет отрицательным (dp < 0).

Разность давлений p и (p+dp ) равна весу газа, заключенного в столбе высотой dh, деленной на площадь S, то есть

, (18.1)

где  - плотность воздуха на высота h .

Заменив в этом уравнении плотность  по формуле, полученной с помощью уравнения Клапейрона-Менделеева (14.1):

запишем выражение (18.1) в виде

. (18.2)

Полагая T=const (в соответствии с принятыми допущениями) и интегрируя уравнение (18.2) по высоте от 0 до h , получим

откуда находим

, (18.3)

где p 0 - давление на высоте h = 0.

Выражение (18.3) носит название барометрической формулы. Из нее следует, что давление газа убывает с ростом высоты тем быстрее, чем тяжелее газ (чем больше  ) и чем ниже температура. На рис.18.2 изображены две зависимости вида (18.3), соответствующие двум газам с разными молярными массами  1 и  2 при T=const (давление p 0 для h=0 у обоих газов принято условно одинаковым).

Сравнение этих зависимостей показывает, что более тяжелые газы будут располагаться ближе к поверхности Земли (поэтому в нижних слоях атмосферы относительное количество кислорода больше, чем азота, а в верхних - наоборот). Выражение (18.3), преобразованное к виду

(18.4)

лежит в основе принципа работы авиационных высотомеров (альтиметров): измеряя с помощью барометра давление, эти приборы показывают значение высоты над уровнем моря.

Из формулы (18.3) можно получить соотношение между концентрациями газа на различной высоте, подставив в нее уравнение состояния газа в форме (15.26):

. (18.5)

Заменив отношение  / R для однородного газа на отношение m/k (m - масса молекулы) и сократив обе части равенства на k Т , получим

, (18.6)

где n 0 - концентрация молекул газа при h =0.

Из выражения (18.6) следует, что чем тяжелее газ (больше m ) и чем меньше его температура Т , тем больше концентрация молекул у поверхности Земли по сравнению с концентрацией на некоторой высоте (преобладание тяготения Земли над тепловым движением молекул). И наоборот, чем легче газ и больше его температура, тем более тепловое движение молекул преобладает над тяготением и концентрация медленно убывает с ростом высоты.

На рис.18.3 изображены две зависимости вида (18.6) для некоторого одного газа при двух разных температурах (T 2 >T 1 ).

Сравнение этих зависимостей показывает, что чем меньше температура газа, тем большая неоднородность наблюдается в распределении концентрации молекул газа по высоте.

Произведение mgh в уравнении (18.6) представляет собой потенциальную энергию W n одной молекулы в поле тяготения Земли. Следовательно, распределение молекул по высоте является вместе с тем и распределением их по значениям

потенциальной энергии:

. (18.7)

Австрийский физик Л. Больцман доказал, что формула (18.7) справедлива для любой совокупности одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения в потенциальном поле любой природы. В связи с этим функцию (18.7) называют распределением Больцмана. Таким образом, распределение (18.6) является частным случаем более общего распределения (18.7). Между распределением Максвелла (17.6) и Больцмана (18.7) имеется большое сходство: и в том и в другом распределении в показателе степени экспоненты стоит отношение энергии молекулы (в одном случае потенциальной, а в другом кинетической) к величине кТ , определяющей среднюю кинетическую энергию теплового хаотического движения.

Распределения (17.6) и (18.7) могут быть объединены в одно распределение Максвелла-Больцмана , согласно которому число молекул, компоненты скоростей которых лежат в пределах от
до ,а координаты в пределах от
до равно

где
.

Из формулы (18.8) следует, что
определяется полной энергий молекулы
.

Таким образом, в состоянии с постоянной температурой скорости молекул в каждой точке пространства распределены по закону Максвелла. Влияние силового поля сказывается только на изменении концентрации молекул от точки к точке.

Распределение молекул газа по потенциальной энергии (распределение Больцмана)

Идеальный газ во внешнем силовом поле

В идеальных газах молекулы рассматриваются невзаимодействующими друг с другом посредством межмолекулярных силовых полей, и их потенциальная энергия не фигурирует в газовых законах. Однако во внешних силовых полях эта ситуация меняется - молекулы приобретают потенциальную энергию из-за действия на них внешних сил. Эта потенциальная энергия учитывается в законах термодинамики.

При отсутствии внешних воздействий из-за хаотического теплового движения газ равномерно заполняет предоставленный ему объем. Однако при внешних воздействиях картина меняется, и потенциальная энергия влияет на распределение молекул газа в пространстве заключающего газ объема.

Найдем распределение молекул идеального газа в однородном, консервативном, одномерном внешнем силовом поле (например, поле силы тяжести вблизи поверхности Земли). Ориентируем выделенную ось Z вдоль направления силового воздействия (вертикально вверх, в нашем примере) и будем искать распределение концентрации (и давления) молекул вдоль этого направления.

Выделим в газе две параллельные плоскости (пластины) площадью S каждая, ориентированные перпендикулярно оси Z с дифференциально-малым расстоянием-промежутком d.z между ними (рис. 4.4). Из-за действия на молекулы силы F (вес в гравитационном поле) давление на нижнюю пластину будет больше, чем на верхнюю. Разница давлений dp равна действующим на пластины силам со стороны всех молекул в объеме dV= отнесенным к их площади S:

где F(z) - сила, действующая со стороны силового поля, на одну молекулу, находящуюся на уровне z n(z) - концентрация молекул на уровне Z-

Согласно заданным условиям сила является консервативной; это значит, что силовое поле - потенциальное. Поэтому можно воспользоваться связью между силой F(z) и потенциальной энергией U(z)

в форме (соотношение (1.33) в подразделе 1.3.5). Теперь можем записать

Рис. 4.4.

Так как газ идеальный, его давление связано с концентрацией уравнением (4.25), а температура предполагается одинаковой в каждой точке, поэтому

Заменяя в (4.32) изменение давления на (4.33), получаем k^Tdn = = -ndU. Разделяя переменные, получим . Интегрирование

дает Это уравнение может быть переписано в виде

И далее Предполагая, что на уровне, принятом за нуль отсчета (z = 0) концентрация равна и 0 , получим С = п 0 . Поэтому окончательно

Полученное соотношение связывает между собой концентрацию молекул идеального газа n(z) и его давление p{z) с потенциальной энергией молекул U(z) в силовом поле с температурой Т. Это соотношение называется распределением Больцмана (или законом Больцмана). График закона Больцмана приведен для относительных концентраций n(z)/n 0 на рис. 4.5. Из него видно, что высокая концентрация молекул соответствует значениям координат z, где потенциальная энергия U(z) мала. С повышением потенциальной энергии концентрация молекул падает. При U(z ) = кьТ концентрация молекул в е раз меньше, чем на уровне, где U(z) = 0.

Рис. 4.5. Зависимость относительной концентрации частиц, находящихся в силовом поле, от величины потенциальной энергии U(z)

На рисунке 4.5 представлена совокупность кривых, соответствующих разным температурам газа. При возрастании температуры энергия хаотического движения молекул увеличивается и влияние температуры на концентрацию снижается. Поэтому при высокой температуре концентрация молекул выравнивается, газ равномерно заполняет весь объем. Наоборот, снижение температуры приводит к резкой зависимостью концентрации от потенциальной энергии. Влияние силового поля проявляется более резко.

Так как концентрация и давление пропорциональны друг другу для давления справедливо то, что говорилось ранее о концентрации. В частности, с учетом (4.25) формула (4.34) может быть переписана в виде:

в которой р 0 и p(z) есть давление в точках, где потенциальная энергия равна нулю и U(z), соответственно.

Распределение больцмана

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT , заменим P и P 0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n 0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T = 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, напротив - молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так какmgh - ϶ᴛᴏ потенциальная энергия U , то на разных высотах U = mgh – различна. Следовательно, (2.5.2) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:

15 Пове́рхностное натяже́ние - термодинамическая характеристика поверхности раздела двух находящихся в равновесии фаз, определяемая работой обратимого изотермокинетического образования единицы площади этой поверхности раздела при условии, что температура, объём системы и химические потенциалы всех компонентов в обеих фазах остаются постоянными.

Поверхностное натяжение имеет двойной физический смысл - энергетический (термодинамический) и силовой (механический). Энергетическое (термодинамическое) определение: поверхностное натяжение - это удельная работа увеличения поверхности при её растяжении при условии постоянства температуры. Силовое (механическое) определение: поверхностное натяжение - это сила, действующая на единицу длины линии, которая ограничивает поверхность жидкости

Формула Лапласа[править | править вики-текст]

Рассмотрим тонкую жидкую плёнку, толщиной которой можно пренебречь. Стремясь минимизировать свою свободную энергию, плёнка создаёт разность давления с разных сторон. Этим объясняется существование мыльных пузырей: плёнка сжимается до тех пор, пока давление внутри пузыря не будет превышать атмосферное на величину добавочного давления плёнки. Добавочное давление в точке поверхности зависит от средней кривизны в этой точке и задаётся формулой Лапласа :

Здесь - радиусы главных кривизн в точке. Οʜᴎ имеют одинаковый знак, в случае если соответствующие центры кривизны лежат по одну сторону от касательной плоскостив точке, и разный знак - если по разную сторону. К примеру, для сферы центры кривизны в любой точке поверхности совпадают с центром сферы, в связи с этим

Важно заметить, что для случая поверхности кругового цилиндра радиуса имеем

Капиллярными явлениями называют подъем или опускание жидкости в трубках малого диаметра – капиллярах . Смачивающие жидкости поднимаются по капиллярам, несмачивающие – опускаются.

Капилля́рность (от лат. capillaris - волосяной ; отсюда происходит встречавшийся ранее в русскоязычной научной литературе термин воло́сность ), капиллярный эффект - физическое явление, заключающееся в способности жидкостей изменять уровень в трубках, узких каналах произвольной формы, пористых телах. В поле тяжести (или сил инерции, к примеру при центрифугировании пористых образцов) поднятие жидкости происходит в случаях смачивания каналов жидкостями, к примеру воды в стеклянных трубках, песке, грунте и т. п. Понижение жидкости происходит в трубках и каналах, не смачиваемых жидкостью, к примеру ртуть в стеклянной трубке.

Когезия (от лат. cohaesus - связанный, сцепленный), сцепление молекул (ионов) физического тела под действием сил притяжения.

сцепление частей одного и того же однородного тела (жидкого или твердого). Обусловлена хим. связью между составляющими тело частицами (атомами, ионами) и межмол. взаимодействием. Работой когезии наз. свободную энергию разделения тела на части и удаления их на такое расстояние, когда нарушается целостность тела.

Адгезия (от лат. adhaesio - прилипание) в физике - сцепление поверхностей разнородных твёрдых и/или жидких тел. Адгезия обусловлена межмолекулярным взаимодействием (Ван-дер-Ваальсовыми, полярным, иногда - образованием химических связей или взаимной диффузией) в поверхностном слое и характеризуется удельной работой, крайне важно й для разделения поверхностей. В некоторых случаях адгезия может оказаться сильнее, чем когезия, то есть сцепление внутри однородного материала, в таких случаях при приложении разрывающего усилия происходит когезионный разрыв, то есть разрыв в объёме менее прочного из соприкасающихся материалов.

Распределение больцмана - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Распределение больцмана" 2017, 2018.

- Распределение Больцмана для частиц во внешнем силовом поле

Молекулы идеального газа, свободные от внешних воздействий, вследствие теплового движения равномерно распределяются по всему занимаемому объему. Во внешнем поле на молекулы действует сила, и распределение частиц по объему становится неоднородным. Закон изменения... .

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает параметры состояния газа с характеристиками движения его молекул, т. е. устанавливает зависимость между давлением и объемом газа и кинетической энергией поступательного движения его молекул. Для вывода... .

- Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

Учебно-материальная база УКП. Учебно-материальная база УМЦ ГОЧС. Структура УМБ ГО и РСЧС. Состав учебно-материальной базы для обучения различных групп населения в области безопасности... .

- Распределение молекул в силовом поле (распределение Больцмана). Барометрическая формула.

Барометрическая формула. – распределение Больцмана частиц во внешнем силовом поле. z – высота над поверхностью земли. – концентрация молекул в тех точках, где потенциальная энергия равна нулю. п0 – концентрация молекул у поверхности земли. – зависимость... [читать подробнее] .

- Распределение больцмана

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT, заменим P и P0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа: (2.5.1) где n0 и n - число молекул в единичном объёме на высоте h = 0 и h. Так как... .

- Распределение Больцмана. Барометрическая формула.

До сих пор мы не учитывали существование внешнего силового поля (например, гравитационного). В отсутствии поля молекулы газа равномерно распределяются по всему объему, т.е. плотность газа в объеме постоянна. Если действует силовое поле, то плотность частиц и давление газа... .

1. 4. Барометрическая формула.

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории предполагалось, что если на молекулы газа не действуют внешние силы, то молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул, с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором концентрация молекул газа и его давление с высотой убывают. Выведем закон изменения давления газа с высотой, предполагая при этом, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте hравнор, то на высотеh+dhоно равно р +dp(рис.1.2). Приdh> 0,dр < 0, т.к. давление с высотой убывает. Разность давлений р и (р +dр) равна гидростатическому давлению столба газа авсd, заключенного в объеме цилиндра высотойdhи площадью с основанием равным единице. Это з апишется в следующем виде:p- (p+dp) =gρdh, -dp=gρdhилиdp= ‑gρdh, гдеρ– плотность газа на высотеh. Воспользуемся уравнением состояния идеального газа рV=mRT/Mи выразим плотностьρ=m/V=pM/RT. Подставим это выражение в формулу дляdр:

dp= -pMgdh/RTилиdp/p= -Mgdh/RT

Интегрирование данного уравнения дает следующий результат: Здесь С – константа и в данном случае удобно обозначить постоянную интегрирования черезlnC. Потенцируя полученное выражение, находим, что

При условии h=0 получим, что С=р 0 , где р 0 -давление на высотеh=0.

Д анное выражение называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты, или высоту, если известно давление.

Зависимость давления от высоты демонстрирует рисунок 1.3. Прибор для определения высоты над уровнем моря называется высотомером или альтиметром. Он представляет собой барометр, проградуированный в значениях высоты.

1. 5. Закон Больцмана о распределении частиц во внешнем потенциальном поле. @

Если воспользоваться выражением р = nkT, то можно привести барометрическую формулу к виду:

з десьn– концентрация молекул на высотеh,n 0 – то же у поверхности Земли. Так как М =m 0 N A , гдеm 0 – масса одной молекулы, аR=kN A , то мы получим П =m 0 gh– это потенциальная энергия одной молекулы в поле тяготения. ПосколькуkT~‹ε пост ›, то концентрация молекул на определенной высоте зависит от соотношения П и ‹ε пост ›

Полученное выражение называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа (с которой связана концентрация) больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

1. 6. Распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям. @

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории отмечалось, что молекулы имеют различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы меняется со временем по модулю и по направлению. Из-за хаотичности теплового движения молекул все направления являются равновероятными, а средняя квадратичная скорость остается постоянной. Мы можем записать

П остоянство ‹υ кв › объясняется тем, что в газе устанавливается стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Этот закон теоретически был выведен Д.К.Максвеллом. Он рассчитал функциюf(u), называемую функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон всех возможных скоростей молекул на малые интервалы, равныеdu, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекулdN(u), имеющих скорость, заключенную в этом интервале (Рис.1.4.).

Функция f(v) определяет относительное число молекул, скорости которых лежат в интервале отu до u+ du. Это число - dN(u)/N= f(u)du.Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел вид для функции f(u)

Д анное выражение - это закон о распределении молекул идеального газа по скоростям.Конкретный вид функции зависит от рода газа, массы его молекул и температуры (рис.1.5). Функция f(u)=0 при u=0 и достигает максимума при некотором значении u в, а затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относительно максимума. Относительное число молекул dN(u)/N, скорости которых лежат в интервале du и равное f(u)du, находится как площадь заштрихованной полоски основанием dv и высотой f(u), показанной на рис.1.4. Вся площадь, ограниченная кривой f(u) и осью абсцисс равна единице, потому что, если просуммировать все доли молекул, имеющих всевозможные значения скорости, то получается единица. Как показано на рис.1.5, с ростом температуры кривая распределения смещается вправо, т.е. растет число быстрых молекул, но площадь под кривой остается постоянной, т.к. N = const.

Скорость u в, при которой функция f(u) достигает максимума, называется наиболее вероятной скоростью. Из условия равенства нулю первой производной функцииf(v) ′ = 0 следует, что

Н а рисунке 1.4. отмечена еще одна характеристика – средняя арифметическая скорость молекулы. Она определяется по формуле:

Опыт, проведенный немецким физиком О.Штерном, экспериментально подтвердил справедливость распределения Максвелла (рисунок 1.5.). Прибор Штерна состоит из двух коаксиальных цилиндров. Вдоль оси внутреннего цилиндра со щелью проходит платиновая проволока, покрытая слоем серебра. Если пропустить по проволоке ток,она нагревается и серебро испаряется. Атомы серебра, вылетая через щель, попадают на внутреннюю поверхность второго цилиндра. Если прибор будет вращаться, то атомы серебра осядут не против щели, а сместятся от точки О на некоторое расстояние. Исследование количество осадка позволяет оценить распределение молекул по скоростям. Оказалось, что распределение соответствует максвелловскому.

Барометрическая формула. Распределение Больцмана

т 0 m o v - (- m o v ) = 2m o v .

За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием DS и высотой v Dt. Число этих молекул равно п DS v Dt(n - число молекул в единице объема). Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент "времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул движется вдоль данного направления в одну сторону, половина - в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку DS будет 1/6 п DS vDt.. m o v 1/6 п DS vDt = 1/3 п m o v 2 DSDt

р = F/DS=P/(DSDt)=1/3 п m o v 2 (1),

(так как F=dP/dt).

Если газ в объеме V содержит N

(2)

р = 1/3 п m o v кв 2 (3)

Учитывая, что п = N/V, получим рV = 1/3 N m o v кв 2

или рV = 2/3 N (m o v кв 2 /2)= 2/3 E (4),

гдеЕ - суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

Выражение (4) (т.е. рV = 2/3E ) или эквивалентное ему (3) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов . Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу.

p = n kT, а с другой р = 1/3 п m o v

(5),

так как молярная масса m = m 0 N A , где т 0 - масса одной молекулы, N A - постоянная Авогадро, к = R/N A

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа, используя, что p = n kT, и р = 1/3 п m o v кв 2 , равна

e = m o v кв 2 /2 =3/2kT

Т.е. она пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа .

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул - с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h равно р , то на высоте h + dh оно равно р + dp (при dh> Оdp < 0, так как давление с высотой убывает). Разность давлений р и р + dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh

р - (р + dp) = ρgdh,

h . Следовательно,

dp =- ρgdh. (1)

pV = m/mRT ,где m -масса газа, m -

r= m/V = pm/(RT).

Подставив в (1), получим

или

h, а давление на h p o .

(2),

так как m = m 0 N A , и R = kN A , где т o - масса одной молекулы, N A - постоянная Авогадро.

Выражение (2) называется барометрической формулой . Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты (или, измерив давление, найти высоту). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.

Барометрическую формулу (2) можно преобразовать, если воспользоваться выражением р = пкТ:

(3)

Здесь n h , а n o - концентрация частиц на высоте h =0.

Из формулы (3) следует, что с понижением температуры число молекул на определенной высоте h убывает. При T =0 все молекулы оказались бы на поверхности земли. Сила тяжести стремиться опустить молекулу на землю, а тепловое движение разбрасывает их по высотам, поэтому распределение молекул в атмосфере с высотой определяется балансом этих тенденций.

Если учесть, что m o gh = П

(4)

Выражение (4) называется распределением Больцмана во внешнем потенциальном поле

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (4) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

Барометрическая формула - зависимость давления или плотности газа от высоты в поле силы тяжести.

Для идеального газа, имеющего постоянную температуру и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где - давление газа в слое, расположенном на высоте , - давление на нулевом уровне (), - молярная масса газа, - универсальная газовая постоянная, - абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где - масса молекулы газа, - постоянная Больцмана.

Барометрическая формула может быть получена из закона распределения молекул идеального газа по скоростям и координатам в потенциальном силовом поле (см. Статистика Максвелла - Больцмана). При этом должны выполняться два условия: постоянство температуры газа и однородность силового поля. Аналогичные условия могут выполняться и для мельчайших твёрдых частичек, взвешенных в жидкости или газе. Основываясь на этом, французский физик Ж. Перрен в 1908 году применил барометрическую формулу к распределению по высоте частичек эмульсии, что позволило ему непосредственно определить значение постоянной Больцмана.

Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина , определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной . Чем выше температура , тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести может изменяться за счёт двух величин: ускорения и массы частиц .

Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте.

Реальное распределение давления и плотности воздуха в земной атмосфере не следует барометрической формуле, так как в пределах атмосферы температура и ускорение свободного падения меняются с высотой и географической широтой. Кроме того, атмосферное давление увеличивается с концентрацией в атмосфере паров воды.

Барометрическая формула лежит в основе барометрического нивелирования - метода определения разности высот между двумя точками по измеряемому в этих точках давлению ( и ). Поскольку атмосферное давление зависит от погоды, интервал времени между измерениями должен быть возможно меньшим, а пункты измерения располагаться не слишком далеко друг от друга. Барометрическая формула записывается в этом случае в виде: (в м), где - средняя температура слоя воздуха между точками измерения, - температурный коэффициент объёмного расширения воздуха. Погрешность при расчётах по этой формуле не превышает 0,1-0,5 % от измеряемой высоты. Более точна формула Лапласа, учитывающая влияние влажности воздуха и изменение ускорения свободного падения.

В присутствии гравитационного поля (или, в общем случае, любого потенциального поля) на молекулы газа действует сила тяжести. В результате, концентрация молекул газа оказывается зависящей от высоты в соответствии с законом распределения Больцмана:

n = n0exp(-mgh / kT)

где n - концентрация молекул на высоте h, n0 - концентрация молекул на начальном уровне h = 0, m - масса частиц, g - ускорение свободного падения, k - постоянная Больцмана, T - температура.

Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает параметры состояния газа с характеристиками движения его молекул, т. е. устанавливает зависимость между давлением и объёмом газа и кинетической энергией поступательного движения его молекул.

Для вывода уравнения рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически с одной и той же скоростью v, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку DS (рис. 1) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула массой т 0 передает стенке сосуда импульс m o v - (- m o v ) = 2m o v .

За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объёме цилиндра с основанием DS и высотой v Dt. Число этих молекул равно п DS v Dt(n - число молекул в единице объёма). Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент "времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул движется вдоль данного направления в одну сторону, половина - в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку DS будет 1/6 п DS vDt.. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс P=2m o v 1/6 п DS vDt = 1/3 п m o v 2 DSDt

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

р = F/DS=P/(DSDt)=1/3 п m o v 2 (1),

(так как F=dP/dt).

В случае если газ в объёме V содержит N молекул, движущихся с разными скоростями, то можно рассматривать среднюю квадратичную скорость, характеризующую всю совокупность молекул газа.

(2)

Уравнение (1) с учетом (2) примет вид

р = 1/3 п m o v кв 2 (3)

Учитывая, что п = N/V, получим рV = 1/3 N m o v кв 2

или рV = 2/3 N (m o v кв 2 /2)= 2/3 E (4),

гдеЕ - суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

Выражение (4) (ᴛ.ᴇ. рV = 2/3E ) или эквивалентное ему (3) принято называть основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов . Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу.

Учитывая, что с одной стороны p = n kT, а с другой р = 1/3 п m o v кв 2 , получим выражение для средней квадратичной скорости

(5),

так как молярная масса m = m 0 N A , где т 0 - масса одной молекулы, N A - постоянная Авогадро, к = R/N A . Отсюда легко найти, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с.

e = m o v кв 2 /2 =3/2kT

Т.е. она пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа .

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловскогораспределения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, в связи с этим молекулы равномерно распределены по объёму. При этом молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул - с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. В случае если атмосферное давление на высоте h равно р , то на высоте h + dh оно равно р + dp (при dh> Оdp < 0, так как давление с высотой убывает). Разность давлений р и р + dp равна весу газа, заключенного в объёме цилиндра высотой dh с основанием площадью, равной единице площади:

р - (р + dp) = ρgdh,

где ρ - плотность газа на высоте h . Следовательно,

dp =- ρgdh. (1)

Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа pV = m/mRT ,где m -масса газа, m - молярная масса газа), находим, что плотность газа равна

r= m/V = pm/(RT).

Подставив в (1), получим

или

Проинтегрируем это уравнение с учетом того, что р - давление на высоте h, а давление на h =0 (на поверхности земли) равноp o .

(2),

так как m = m 0 N A , и R = kN A , где т o - масса одной молекулы, N A - постоянная Авогадро.

Выражение (2) принято называть барометрической формулой . Она позволяет найти атмосферное давление исходя из высоты (или, измерив давление, найти высоту). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.

Барометрическую формулу (2) можно преобразовать, в случае если воспользоваться выражением р = пкТ:

(3)

Здесь n - концентрация частиц на высоте h , а n o - концентрация частиц на высоте h =0.

Из формулы (3) следует, что с понижением температуры число молекул на определенной высоте h убывает. При T =0 все молекулы оказались бы на поверхности земли. Сила тяжести стремиться опустить молекулу на землю, а тепловое движение разбрасывает их по высотам, в связи с этим распределение молекул в атмосфере с высотой определяется балансом этих тенденций.

В случае если учесть, что m o gh = П - потенциальная энергия молекулы в поле тяготения то формулу можно переписать.

(4)

Выражение (4) принято называть распределением Больцмана во внешнем потенциальном поле . Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

В случае если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (4) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT , падает.

Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T = 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так как mgh – это потенциальная энергия U , то на разных высотах U = mgh – различна. Следовательно, (2.5.2) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:

Больцман доказал, что соотношение (2.5.3) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.