Переносное относительное и абсолютное движение. Сложение ускорений при поступательном переносном движении

§ 20 . Относительное, переносное и абсолютное

движение точки

Сложным движением точки называется такое ее движение, при кото­ром она движется относительно системы отсчета, перемещающейся по отношению к некоторой другой системе отсчета, принятой за непод­вижную. Например, можно считать, что пассажир, идущий по вагону движущегося поезда, со­вершает сложное движение по отношению к полотну дороги, состоящее из движения пассажира по отношению к вагону (подвижная система отсчета ) и дви­жения пассажира вместе с вагоном по отношению к полотну дороги (неподвижная система отсчета ).

Движение точки по отношению к подвижной системе ко­ординат называется относительным движением точки . Скорость и ускорение этого движения называют относитель­ной скоростью и относительным ускорением и обозначают и .

Движение точки, обусловленное движением подвижной системы координат, называется переносным движением точки .

Переносной скоростью и переносным ускорением точки на­зывают скорость и ускорение той, жестко связанной с под­вижной системой коор­динат точки, с которой совпадает в дан­ный момент времени движущаяся точка, и обозначают и .

Движение точки по отношению к неподвижной системе координат называ­ется абсолютным или сложным . Скорость и ускорение точки в этом движении называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением и обозначают и .

В приведенном выше примере движение пассажира относительно вагона будет относительным, а скорость – относительной скоростью пассажира; движение вагона по отношению к полотну дороги будет для пассажира переносным движением, а скорость вагона, в котором находится пассажир, будет в этот момент его переносной скоростью; наконец, движение пассажира по отношению к полотну будет его абсолютным движением, а скорость – абсолютной скоростью.

§ 21 .Определение скорости точки при сложном

движении

Пусть имеется неподвижная система отсчета по отношению к кото­рой движется подвижная система отсчета . Относительно подвижной системы координат движет­ся точка (рис. 2.26). Уравнение движения точки , находящейся в сложном движении, можно задать векторным способом

,(2.67)

где - радиус-вектор точки , определяющий ее положение относительно

не­подвижной системы отсчета ;

Радиус-вектор, определяющий положение начала отсчета подвижной

системы координат ;

Радиус-вектор рассматриваемой точки , определяющий ее

положение относительно подвижной системы координат.

Пустькоординаты точки в подвижных осях. Тогда

,(2.68)

где - единичные векторы, направленные вдоль под­вижных осей . Подставляя (2.68) в равенство (2.67), полу­чим:

.(2.69)

При относительном движении координаты изменя­ются с течением времени. Чтобы найти скорость относитель­ного движения, нужно продиффе­ренцировать радиус-вектор по времени, учитывая его изменение только за счет относи­тельного движе­ния, то есть только за счет изменения коор­динат , а подвижную систему координат предполагать при этом неподвижной, то есть вектора считать не зависящими от времени. Дифференцируя равенство (2.68) по времени с учетом сде­ланных оговорок, получим относитель­ную скорость:

, (2.70)

где точки над величинами означают производные от этих ве­личин по времени:

, , .

Если относительного движения нет, то точка будет двигаться вместе с подвижной системой - координат и ско­рость точки будет равна переносной скорости. Таким обра­зом, выражение для переносной скорости можно полу­чить, если продифференцировать по времени радиус-вектор , считая не за­висящими от времени:

.(2.71)

Выражение для абсолютной скорости найдем, дифферен­цируя по времени , учитывая, что от времени зависят относительные координатыи орты подвижной системы координат:

.(2.72)

В соответствии с формулами (2.70), (2.71) первая скобка в (2.72) есть переносная ско­рость точки, а вторая - относитель­ная. Итак,

.(2.73)

Равенство (2.73) выражает теорему о сложении скоростей : абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоро­стей.

Задача 2.9. Поезд движется по прямоли нейному горизонтальному пути с постоянной скоростью . Пассажир видит из окна вагона траектории капель дождя наклоненными к вертикали под углом . Определить абсолютную скорость падения дождевых капель отвесно падающего дождя, пренебрегая трением капель о стекло.

Решение. Капли дождя имеют абсолютную скорость

где - относительная скорость капли при ее движении по стеклу вагона;

Переносная скорость капли, равная скорости движения поезда.

Получившийся параллелограмм скоростей (рис. 2.27) диагональ делит на два равных треугольника. Рассмотрев любой из этих треугольников, находим

.

Переводим полученную скорость падения капель в :

.

§ 22 .Определение ускорения точки при сложном

движении

Выражение для относительного ускорения точки можно получить, диффе­ренцируя относительную скорость (2.70), учи­тывая ее и зменение только за счет относительного движения, то есть за счет изменения относительных координат точки , , . Вектора же следует считать постоянными, так как движение не­движной системы координат не учитывается при определении относительной скорости и относительного ускорения точки. Итак, имеем

,(2.74)

Переносное ускорение получим, дифференцируя по време­ни равенство (2.71), считая, что точка покоится по отношению к подвижной системе координат, т. е. что относительные координаты точки , , не зависят от времени.

.(2.75)

Абсолютное ускорение получим, дифференцируя выраже­ние для абсолютной скорости (2.72), учитывая, что с течени­ем времени изменяются как относительные координаты , , точки, так и орты подвижной системы координат

.(2.76)

Видно, что первая скобка в (2.76) есть переносное ускорение, третья - относи­тельное ускорение. Вторая скобка есть до­полнительное или кориолисово ускорение :

.(2.77)

Итак, равенство (2.76) можно записать в виде

.(2.78)

Эта формула и выражает теорему Кориолиса : в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение точки равно векторной сумме

переносного, от­носительного и поворот­ного ускорений.

Преобразуем формулу (2.77) дляускорения Кориолиса. Для производных единичныхвекторов подвижной системы координат имеют место следующие формулы Пуассона :

; ; .(2.79)

Здесь - вектор мгновенной угловой скорости подвижной системы коорди­нат. Знаком обозначено векторное произ­ведение векторов.

Подставляя формулы (2.79) в (2.77), получим:

Выражение в скобках есть не что иное, как относитель­ная скорость (см. (2.70)). Окончательно получим:

.(2.80)

Итак, ускорение Кориолиса равно удвоенному векторно­му произведению мгновенной угловой скорости подвижной системы координат на вектор отно­сительной скорости .

По общему правилу определения направления, векторного произведения имеем: ускорение Кориолиса направлено пер­пендикулярно плоскости, прохо­дящей через вектора и в ту сторону, откуда поворот вектора к вектору на меньший угол виден против хода часовой стрелки (рис. 2.28).

Из формулы (2.80) вытекает также, что величина ускоре­ния Кориолиса

.(2.81)

Отсюда следует, что ускорение Кориолиса равно нулю в трех случаях :

1) если , т. е. в случае поступательного переносного движения или в моменты обращения в нуль угловой скорости непоступательного перенос­ного движения;

2) если , т.е. в случае относительного покоя точки или в моменты об­раще­ний в нуль относительной скорости точки;

3) если , т. е. в случае, когда вектор относительной скорости то­чки параллелен вектору угловой скорости переносного движения , как, напри­мер, при движении точки вдоль образующей цилиндра, вращающе­гося вокруг своей оси.

Задача 2.10. По железнодорожному п ути, проложенному по параллели северной ши­роты, движется тепловоз со скоростью с запада на восток. Найти корио­лисово ускорение тепловоза.

Решение. Пренебрегая размерами тепло­воза, будем рассматривать его как некоторую точку (точка на рис. 2.29). Точка совершает сложное движение. За переносное движение примем враща­тельное движение точки вместе с Землей, а за относительное движение – движение этой точки по отношению к Земле с постоянной скоростью .

Величина ускоре­ния Кориолиса согласно (2.81) равна

,

где - угловая скорость вращения Земли.

Найдем угловую скорость вращения Земли. За сутки Земля делает один оборот. Угол, соответствующий одному обороту, равен и число секунд в сутках равно , отсюда

.

Положение и направление вектора ускорения Кориолиса определяем по об­щему правилу определения направления векторного произведения. Вектор ускорения Кориолиса находится на прямой , так как он должен быть перпендикулярен векторам и , и направлен в сторону противополож­ную направлению векторов и .

До сих пор мы изучали движение точки или тела по отношению к одной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев при реше­нии задач механики оказывается целесообразным (а иногда и не­обходимым) рассматривать движение точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается основной или условно неподвиж­ной, а другая определенным образом движется по отношению к первой. Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называют со­ставным или сложным . Например, шар, катящийся по палубе движу­щегося парохода, можно считать совершающим по отношению к бе­регу сложное движение, состоящее из качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета), и движение вместе с палубой парохода по отношению к берегу (не­подвижная система отсчета). Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых.

Рис.48

Рассмотрим точку М , движущуюся по отношению к подвижно системе отсчета Oxyz , которая в свою очередь как-то движется отно­сительно другой системы отсчета , которую называем основ­ной или условно неподвижной (рис. 48). Каждая из этих систем отсчета связана, конечно, с определенным телом, на чертеже не по­казанным. Введем следующие определения.

1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвиж­ной системе отсчета (к осям Oxyz ), называется относительным движением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с этими осями и перемещающийся вместе с ними). Траектория АВ , описываемая точкой в относительном движении, называется относи­тельной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям Oxyz называется относительной скоростью (обозначается ), a ускорение - относительным ускорением (обозначается ). Из определения следует, что при вычислении и можно движение осей Oxyz во внимание не принимать (рассматривать их как непод­вижные).

2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Oxyz (и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отно­шению к неподвижной системе , является для точки М пере­носным движением .

Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Oxyz точки m , с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М , называется переносной скоростью точки М в этот момент (обозначается ), а ускорение этой точки m - переносным ускорением точки М (обозначается ). Таким образом,

Если представить себе, что относительное движение точки про­исходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Oxyz , то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки т тела, с которой в этот момент совпадает точка М .

3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета , называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекто­рией, скорость - абсолютной скоростью (обозначается ) и ускорение - абсолютным ускорением (обозначается ).

В приведенном выше примере движение шара относительно палу­бы парохода будет относительным, а скорость - относительной ско­ростью шара; движение парохода по отношению к берегу будет для шара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой в данный момент времени касается шар будет в этот момент его пере­носной скоростью; наконец, движение шара по отношению к берегу будет его абсолютным движением, а скорость - абсолютной ско­ростью шара.

При исследовании сложного движения точки полезно применять «Правило остановки». Для того, чтобы неподвижный наблюдатель увидел относительное движение точки, надо остановить переносное движение.

Тогда будет происходить только относительное движение. Относительное движение станет абсолютным. И наоборот, если остановить относительное движение, переносное станет абсолютным и неподвижный наблюдатель увидит только это переносное движение.

В последнем случае, при определении переносного движения точки, обнаруживается одно очень важное обстоятельство. Переносное движение точки зависит от того в какой момент будет остановлено относительное движение, от того, где точка находится на среде в этот момент. Так как, вообще говоря, все точки среды движутся по-разному. Поэтому логичнее определять переносное движение точки как абсолютное движение той точки среды, с которой совпадает в данный момент движущаяся точка.

Сложное движение точки

О движении тела судят по движению каждой его точки. Ранее мы рассматривали движение точки в некоторой системе координат, которая условно принималась за неподвижную. Однако на практике приходиться решать задачи, в которых известно, как движется точка относительно одной системы координат и требуется выяснить, как она движется относительно другой системы координат, если известно, как эти системы координат движутся друг относительно друга. Чтобы описывать движение точки, переходя от одной системы координат к другой, необходимо установить, как связаны между собой величины, характеризующие движение точки в этих системах. С этой целью одну систему координат принимают условно за неподвижную, а другую за подвижную и вводят понятия абсолютного, относительного и переносного движения точки.

Абсолютное движение – движение точки в неподвижной системе координат.

Относительное движение – движение точки в подвижной системе координат.

Переносное движение – движение подвижного пространства относительно неподвижного.

Задачи, в которых задано переносное движение и нужно найти абсолютное движение, называются задачами на сложение движений .

В ряде случаев приходится решать обратную задачу.

Рациональным выбором подвижной системы координат – часто удаётся сложное абсолютное движение точки свести к двум простым: относительному и переносному. Такие задачи называются задачами на разложение движений .

неподвижной системе координат называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением .

Скорость и ускорение точки по отношению к подвижной системе координат называют относительной скоростью и относительным ускорением .

Переносной скоростью и переносным ускорением движущейся точки называют абсолютную скорость и абсолютное ускорение той точки подвижного пространства , с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка.

Все полученные ранее результаты для скорости и ускорения полностью применимы к относительному движению, ибо при их выводе мы не накладываем никаких ограничений на выбор системы координат.

Закон сложения скоростей

Закон сложения скоростей определяет связь между скоростями точки М в неподвижной системе координат XYZ и подвижной системе координат https://pandia.ru/text/78/244/images/image002_52.jpg" width="588" height="243">

– закон сложения скоростей.

КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Перейдём к рассмотрению движения абсолютно твёрдого тела (АТТ). Твёрдое тело состоит из бесконечного числа точек, однако, как будет показано позднее, для описания движения АТТ нет необходимости задавать движение каждой его точки.

Неизменность расстояния между точками твердого тела приводит к зависимости между скоростями отдельных точек. Эта зависимость выражается следующей основной теоремой кинематики твердого тела: проекции скоростей двух любых точек твердого тела на отрезок, их соединяющий, равны.

Для доказательства рассмотрим произвольные точки А и В твердого тела.

Положения точек А и В в пространстве зададим радиусами-векторами и https://pandia.ru/text/78/244/images/image007_36.gif" width="29" height="24 src=">, направление которого в процессе движения тела меняется, а модуль сохраняется постоянным (в силу неизменности расстояния между точками твердого тела). Данный вектор можно представить в виде . Дифференцируя это равенство по времени, получаем

. (2.1)

Для определения вектора заметим, что , где AB модуль вектора . Так как АВ не изменяется с течение времени, то, продифференцировав это равенство по t , получим:

,

т. е..gif" width="29" height="24 src="> направлена перпендикулярно к самому вектору :

Проектируя теперь каждую часть равенства (2..gif" width="37" height="24"> – пр.=0

,

что и доказывает сформулированную теорему.

Поступательное движение твёрдого тела

Рассмотрим вначале простые случаи движения – поступательное движение твёрдого тела и вращение твёрдого тела.

Простейшим видом движения твёрдого тела является такое движение, при котором векторы скорости трёх его точек, не лежащих на одной прямой, равны между собой в каждый момент времени. Определим положение этих точек в некоторый момент времени радиус-векторами:

https://pandia.ru/text/78/244/images/image020_14.gif" width="263 height=43" height="43">

Следовательно, векторы не зависят от времени и, следовательно, перемещаются в пространстве, оставаясь параллельными сами себе. Три точки твёрдого тела определяют систему координат, чётко связанную с твёрдым телом. В рассматриваемом случае движение будет таким, что оси будут перемещаться, оставаясь параллельными сами себе. Но это означает, что любая прямая, проведённая в твёрдом теле, остаётся в процессе движения параллельной самой себе. Такое движение называется поступательным (например, движение кабины в аттракционе «колесо обозрения»).

Выберем в твёрдом теле, движущимся поступательно, две произвольные точки А и В.

При поступательном движении АТТ

(2.2)

Поскольку то (2.2) примет вид:

Точки А и В выбраны произвольно. Следовательно: при поступательном движении все точки твёрдого тела имеют в каждый данный момент времени одинаковые векторы скорости.

Продифференцировав по времени уравнение (2..gif" width="56" height="24"> (2.4)

Точки А и В выбраны произвольно. Следовательно: точки твёрдого тела, движущегося поступательно, имеют в каждый данный момент времени одинаковые ускорения .

Т. к. , траектории точек А и В являются конгруэнтными, т. е. их. можно совместить друг с другом при наложении. Таким образом, траектории, описываемые точками твёрдого тела, движущегося поступательно, одинаковы и одинаково расположены.

Из полученных результатов следует сделать вывод: для описания поступательного движения твёрдого тела достаточно задать движение лишь одной его точки .

Вращение твердого тела

Вращением твёрдого тела называется такой вид движения, при котором, по крайней мере, одна точка твёрдого тела остаётся неподвижной. Рассмотрим, однако, более простой случай – вращение АТТ вокруг неподвижной оси.

Вращение абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси

Закрепим две точки АТТ:. Рассмотрим, как будут двигаться все точки твёрдого тела и научимся определять скорости и ускорения этих точек. Ясно, что точки твёрдого тела, лежащие на прямой, проходящей через две закреплённые точки, двигаться не будут: эту прямую называют неподвижной осью вращения . Движение твёрдого тела, при котором по крайней мере две его точки неподвижны, называют вращением АТТ вокруг неподвижной оси.

Ясно, что точки не лежащие на оси вращения описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Плоскости, в которых лежат такие окружности, перпендикулярны оси вращения. Следовательно: нам известны траектории всех точек тела. Это позволяет приступить к нахождению скорости любой точки твёрдого тела.

При естественном способе задания движения точки:

Выберем неподвижную систему отсчёта, ось 0 Z которой совпадает с осью вращения. Угол между неподвижной плоскостью X0 Z , проходящей через ось вращения и плоскостью, жёстко связанной с твёрдым телом и проходящей через ось вращения, обозначим через https://pandia.ru/text/78/244/images/image036_12.gif" width="73" height="31">. Рассмотрим движение точки М по окружности радиуса R.

; ; https://pandia.ru/text/78/244/images/image040_13.gif" width="20" height="26 src="> являются постоянными:

Подставив (2.6) в (2.5) получим:

Эта формула неудобна, потому что сюда входит единичный вектор https://pandia.ru/text/78/244/images/image044_12.gif" width="14" height="18 src=">. Он должен входить в формулу для скорости. Для этого проведём следующие преобразования:

используя, что , перепишем соотношение (2.7) в виде

(2.8)

Обозначим:

– не зависит от выбора рассматриваемой точки М; (2.9)

– вектор, проведенный из центра окружности к точке М. (2.10)

Ясно, что модуль равен радиусу окружности.

Подставим (2.9) и (2.10) в (2.8):

https://pandia.ru/text/78/244/images/image051_11.gif" width="91" height="27"> (2.12)

Направления совпадают с направлением единичного вектора касания https://pandia.ru/text/78/244/images/image054_10.gif" width="64" height="29">– линейная скорость точки М. (2.13)

– угловая скорость. (2.14)

Угловая скорость – величина одинаковая для всех точек твердого тела.

Линейная скорость любой точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению угловой скорости АТТ на радиус-вектор, проведённый из произвольной точки оси вращения, разложим https://pandia.ru/text/78/244/images/image057_9.gif" width="145" height="29">. (2.15)

Сравнивая (2.15) и (2.14) получим:

;

Модуль угловой скорости связан с частотой вращения абсолютно твердого тела:

При вращении тела его угловая скорость может изменяться, необходимо уметь определить угловую скорость тела в любой момент времени. Для этого введена величина, которая характеризует изменение угловой скорости с течением времени. Эту величину называют угловым ускорением.

Дадим определение углового ускорения.

Пусть в момент времени t угловая скорость . А в момент времени t+∆ t угловая скорость равна . Составим отношение изменения угловой скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение происходит, и найдём предел этого отношения при ∆ t → 0. В механике этот предел называют угловым ускорением тела и обозначают поэтому:

.

Угловое ускорение – величина одинаковая для всех точек твердого тела.

Единицей измерения углового ускорения является https://pandia.ru/text/78/244/images/image068_7.gif" width="273" height="48">.

Для углового ускорения, его проекции на ось 0 Z , модуля углового ускорения справедливы соотношения:

(2.16)

Перепишем выражение для ускорения точки:

(2.17)

Тангенциальное ускорение любой точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равно векторному произведению углового ускорения тела на радиус – вектор этой точки, проведённой из произвольной точки оси вращения.

Вращение твёрдого тела с постоянным угловым ускорением

Посмотрим, как при этом движении запишется кинематическое уравнение движения тела. Вначале получим формулу, по которой в данном случае можно найти угловую скорость тела. Направим ось 0 Z вдоль оси вращения тела.

Так как , то https://pandia.ru/text/78/244/images/image078_5.gif" width="98" height="54"> (т. к. ) Вращательные движения (физика)" href="/text/category/vrashatelmznie_dvizheniya__fizika_/" rel="bookmark">вращательного движения вокруг полюса с угловой скоростью, не зависящей от выбора полюса .

Можно показать, что скорость любой точки тела относительно неподвижной системы координат равна:

– угловое ускорение вращения тела относительно полюса.

Закон сложения ускорений

Формулу, выражающую закон сложения ускорений в сложном движении называют формулой Кориолиса, а выражаемый ею факт – теоремой Кориолиса. Согласно этой теореме абсолютное ускорение точки равно сумме трёх векторов: вектора относительного ускорения, вектора переносного ускорения и вектора, представляющего собой поворотное или кориолисово ускорение:

(2.21)

Оно появляется вследствие двух причин, не учитываемых относительным и переносным ускорениями: не учитывает изменение направления относительной скорости в неподвижном пространстве вследствие вращения подвижной системы координат в переносном движении. не учитывает изменения переносной скорости, получающегося при переходе движущейся точки от одной точки подвижного пространства к другой (этот переход вызван относительным движением).

В следующих случаях:

Переносным движением точки называется ее движение в рассматриваемый момент времени вместе с подвижной системой координат относительно неподвижной системы координат .

Переносная скорость и переносное ускорение точки обозначается индексом е : ,.

Переносной скоростью (ускорением) точки М в данный момент времени называют вектор, равный скорости
(ускорению
) той точки m подвижной системы координат, с которой совпадает в данный момент движущая точка М (рис. 8.1).

Проведем радиус-вектор начала координат (рис. 8.1). Из рисунка видно, что

Чтобы найти переносную скорость точки в заданный момент времени необходимо продифференцировать радиус-вектор при условии, что координаты точкиx, y, z не изменяются в данный момент времени:

Переносное ускорение соответственно равно

Таким образом для определения переносной скорости и переносного ускоренияв данный момент времени необходимо мысленно остановить в этот момент времени относительное движение точки, определить точкуm тела, неизменно связанного с подвижной системой координат, где находится в остановленный момент точка М , и вычислить скорость и ускорение точки m тела, совершающего переносное движение относительно неподвижной системы координат.

Постановка задач на сложное движение точки

1.Прямая задача :

По заданным переносному и относительному движениям точки найти кинематические характеристики абсолютного движения точки.

2. Обратная задача :

Некоторое заданное движение точки представить сложным, разложив его на относительное и переносное, и определить кинематические характеристики этих движений. Для однозначного решения этой задачи необходимы дополнительные условия.

Теорема сложения скоростей

Абсолютная скорость точки определяется по теореме о сложении скоростей, согласно которойабсолютная скорость точки, совершающей сложное движение, равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей:

Доказательство :

Для определения абсолютной скорости точки продифференцируем выражение справа (8.4) по времени, используя свойства производной вектора по скалярному аргументу:

(8.8)

В последнем выражении слева первые четыре слагаемых по формуле (8.5) представляют переносную скорость , последние три слагаемых по формуле (8.1) – относительную скорость. Теорема доказана.

Теорема сложения ускорений при переносном поступательном движении

Абсолютное ускорение точки, совершающей сложное движение при переносном поступательном движении равно геометрической сумме относительного и переносного ускорения:

. (8.9)

Доказательство :

Вернемся к рис. 8.1. При переносном поступательном движении орты
не меняются не только по величине, но и по направлению, т.е. это постоянные векторы, а т.к. производные от постоянных векторов, а т.к. производные от постоянных векторов равны нулю, то по формуле (8.6)

. (8.10)

Для определения абсолютного ускорения точки продифференцируем дважды радиус-вектор (8.4) по времени, учитывая постоянство ортов
:

В последнем выражении первое слагаемое по формуле (8.10) представляет переносное ускорение , а последние три по формуле (8.2) – относительное ускорение. Теорема доказана.

Теорема сложения ускорений при произвольном переносном движении (теорема Кориолиса)

Абсолютное ускорение точки определяется потеореме Кориолиса , согласно которой абсолютное ускорение точки, совершающей сложное движение, равно геометрической сумме переносного, относительно и кориолисова ускорений:

. (8.11)

Кориолисово ускорение вычисляется по формуле:

, (8.12)

где- вектор угловой скорости переносного движения,- вектор относительной скорости точки. Направление вектора кориолисова ускорения определяется по правилу векторного произведения: кориолисово ускорение будет направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторыи(рис. 8.2), в ту сторону, откуда кратчайший поворот от векторак векторувидится происходящим против хода часовой стрелки.

Модуль кориолисова ускорения равен .

Докажем справедливость теоремы для переносного вращательного движения.

Пусть подвижная система координат Oxyz вращается вокруг оси l с угловой скоростью
(рис. 8.3). Во все время движения радиус-векторы точки по-прежнему связаны зависимостью

Так как по определению
, продифференцируем выражение (8.8) по времени, учитывая свойства производной вектора по скалярному аргументу:

В последнем выражении первые четыре слагаемые представляют переносное ускорение , следующие три слагаемые представляют относительную скорость. Оставшиеся слагаемые обозначим (*). В выражении (*) производная от каждого орта по времени представляет собой линейную скорость точки, для которой этот орт является радиусом-вектором. Например для орта(рис. 8.3) скорость
точкиА его конца равна

.

Но так как орт вращается вокруг осиl , то скорость его конца можно определить по векторной формуле Эйлера:

.

Следовательно

. (8.14)

Аналогично для ортов и:

,
. (8.15)

Подставляя формулы (8.14) и (8.15) в выражение (*), получим

Используя сочетательное свойство векторного произведения относительно числовых множителей, какими являются
, имеем

Таким образом,

.

Теорема для переносного вращательного движения доказана.

§ 2. 5. Движение: абсолютное, относительное, переносное. Теорема Эйлера. Угловая скорость.

Дополнительно к неподвижным осям Oxyz (система S) введем в рассмотрение некоторое подвижное твердое тело и неизменно связанную с ним систему прямоугольных осей координат O’x’y’z’ (система S’).

Движение точки относительно подвижной системы осей S’ называется относительным движением.

Движение точки относительно неподвижных осей S называется абсолютным движением.

Переносным движением точки за интервал времени (t,t+Dt) называется то движение по отношению к осям S, которая эта точка имела бы, если бы в момент времени t и на интервал (t,t+Dt) она была неизменно связана с подвижной системой осей и, следовательно, перемещалась бы вместе с этой системой.

Траектория, скорость и ускорение называются абсолютными, относительными или переносными, смотря по тому, относятся ли они к движению абсолютному, относительному или переносному.

Теорема Эйлера: Если относительно системы S система S" имеет одну неподвижную точку, то перемещение S" из одного произвольного положения в любое другое может быть совершено одним поворотом на определенный угол относительно оси, проходящей через эту неподвижную точку.

Для доказательства достаточно показать возможность перевода одним поворотом дуги, например, .

		Проведем два экватора: a, перпендикулярный середине x 1 "x 2 ", и b, перпендикулярный середине z 1 "z 2 ". Получим две точки пересечения этих экваторов – с и d. Dx 1 "z 1 "d = Dz 2 "x 2 "d (так как x 1 "z 1 " = x 2 "z 2 ", а x 1 "d = x 2 "d в силу того, что точка d лежит на экваторе, перпендикулярном середине x 1 "x 2 ", z 1 "d = z 2 "d по той же причине) Таким образом, Ðx 1 "dz 1 " = Ðz 2 "dx 2 " и угол между дугами x 1 "d и x 2 "d равен углу между дугами z 1 "d и z 2 "d, то есть нужно повернуть x 1 "z 1 " относительно оси dO"c на угол x 1 "dz 1 " (или равный ему z 2 "dx 2 ")

Теорема Эйлера справедлива и для конечных поворотов и для бесконечно малых. Хотя последовательность бесконечно малых поворотов может быть любой – результат будет тем же, конечные же повороты не коммутируют. Это тем более справедливо для бесконечно малых поворотов, чем ближе дуги, описываемые какой-либо точкой, к хордам, соединяющим концы дуг.

При рассмотрении задач о движении тела с одной закрепленной точкой, которые имеют большое практическое значение, для определения (фиксации) положения системы S" относительно S широко используются три угла Эйлера.

Пересечение плоскостей O"xy и O"x"y" дает прямую, которую называют линией узлов (орт линии узлов - ). Первый угол Эйлера j - угол между осью O"x и линией узлов. Второй угол y - угол между линией узлов и осью O"x". Третий угол q - угол между осями O"z и O"z".

Эти три угла однозначно определяют положение системы S" относительно S

Таким образом, при бесконечно малом повороте системы S" относительно S на углы dj,dy,dq (некоторые из них могут быть равными нулю) их можно заменить одним поворотом на угол dc вокруг некоторой оси, проходящей через точку O".

Введем в рассмотрение вектор бесконечно малого поворота:

(здесь направлен по оси вращения по правилу правого винта)

Величина и направление вектора dc при сложном движении могут изменяться. Ось называется осью мгновенного вращения. Посмотрим, что происходит с ортами системы S" при ее повороте на угол

§ 2. 6. Сложное движение точки.

продифференцировав это соотношение по времени, получим:

Абсолютная скорость точки (относительно системы S),

Скорость начала координат S" относительно S,

Не является скоростью точки М относительно системы S", так как орты этой системы являются функциями времени.

,

используя формулы (2.5.1) будем иметь:

Последнее слагаемое означает, что производная берется при неизменных ортах системы O’x’y’z’, .

Теперь для скоростей имеем:

здесь v h -переносная, v – абсолютная, v’ – относительная скорость точки, то есть получена связь этих скоростей. Переносная скорость состоит из двух слагаемых: первое присутствует в том случае, если подвижная система отсчета движется поступательно, второе появляется в том случае, если подвижная система отсчета совершает вращение.

Для получения связи ускорений продифференцируем по времени соотношение для скоростей:

Абсолютное ускорение, - ускорение начала координат S’ относительно S.