Если числа с разными знаками то. Сложение рациональных чисел

Данная статья посвящена числам с разными знаками. Мы будем разбирать материал и пытаться выполнять вычитание между этими числами. В параграфе мы познакомимся с основными понятиями и правилами, которые пригодятся во время решения упражнений и задач. Также в статье представлены подробно разобранные примеры, которые помогут лучше понять материал.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Как правильно выполнять вычитание

Для того, чтобы лучше понять процесс вычитания, следует начать с основных определений.

Определение 1

Если вычесть из числа a число b , то это можно преобразовать как сложение числа a и - b , где b и − b – числа с противоположными знаками.

Если выразить данное правило буквами, то оно выглядит так a − b = a + (− b) , где a и b – любые действительные числа.

Данное правило вычитания чисел с разными знаками работает для действительных, рациональных и целых чисел. Его можно доказать на основании свойств действий с действительными числами. Благодаря им мы может представить числа как несколько равенства (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a . Так как сложение и вычитание тесно связаны, то равным также будет выражение a − b = a + (− b) . Это значит, что рассматриваемое правило вычитания также верно.

Данное правило, которое применяется для вычитания чисел с разными знаками, позволяет работать как с положительными, так и с отрицательными числами. Также можно производить процесс вычитания из отрицательного числа из положительного, которое переходит в сложение.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, мы рассмотрим типичные примеры и на практике рассмотрим правило вычитания для чисел с разными знаками.

Примеры упражнений на вычитание

Закрепим материал, рассмотрев типичные примеры.

Пример 1

Необходимо выполнить вычитание 4 из − 16 .

Для того, чтобы выполнить вычитание, следует взять число, противоположное вычитаемому 4 , есть − 4 . Согласно рассмотренному выше правилу вычитания (− 16) − 4 = (− 16) + (− 4) . Далее мы должны сложить получившиеся отрицательные числа. Получаем: (− 16) + (− 4) = − (16 + 4) = − 20 . (− 16) − 4 = − 20 .

Для того, чтобы выполнять вычитание дробей, необходимо представлять числа в виде обыкновенных или десятичных дробей. Это зависит от того, с числами какого вида будет удобнее проводить вычисления.

Пример 2

Необходимо выполнить вычитание − 0 , 7 от 3 7 .

Прибегаем к правилу вычитания чисел. Заменяем вычитание на сложение: 3 7 - (- 0 , 7) = 3 7 + 0 , 7 .

Мы складываем дроби и получаем ответ в виде дробного числа. 3 7 - (- 0 , 7) = 1 9 70 .

Когда какое-либо число представлено в виде квадратного корня, логарифма, основной и тригонометрических функций, то зачастую результат вычитания может быть записан в виде числового выражения. Чтобы пояснить данное правило, рассмотрим следующий пример.

Пример 3

Необходимо выполнить вычитание числа 5 из числа - 2 .

Воспользуемся описанным выше правилом вычитания. Возьмем противоположное число вычитаемому 5 – это − 5 . Согласно работы с числами с разными знаками - 2 - 5 = - 2 + (- 5) .

Теперь выполним сложение: получаем - 2 + (- 5) = 2 + 5 .

Полученное выражение и является результатом вычитания исходных чисел с разными знаками: - 2 + 5 .

Значение полученного выражения может быть вычислено максимально точно только в том случае, если это необходимо. Для подробной информации можно изучить другие разделы, связанные с данной темой.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Сложение отрицательных чисел.

Сумма отрицательных чисел есть число отрицательное. Модуль суммы равен сумме модулей слагаемых .

Давайте разберемся, почему же сумма отрицательных чисел будет тоже отрицательным числом. Поможет нам в этом координатная прямая, на которой мы выполним сложение чисел -3 и -5. Отметим на координатной прямой точку, соответствующее числу -3.

К числу -3 нам нужно прибавить число -5. Куда мы пойдем от точки, соответствующей числу -3? Правильно, влево! На 5 единичных отрезков. Отмечаем точку и пишем число ей соответствующее. Это число -8.

Итак, при выполнении сложения отрицательных чисел с помощью координатной прямой мы все время находимся слева от начала отсчета, поэтому, понятно, что результат сложения отрицательных чисел есть число тоже отрицательное.

Примечание. Мы складывали числа -3 и -5, т.е. находили значение выражения -3+(-5). Обычно при сложении рациональных чисел просто записывают эти числа с их знаками, как бы перечисляют все числа, которые нужно сложить. Такую запись называют алгебраической суммой. Применяют (в нашем примере) запись: -3-5=-8.

Пример. Найти сумму отрицательных чисел: -23-42-54. (Согласитесь, что эта запись короче и удобнее вот такой: -23+(-42)+(-54))?

Решаем по правилу сложения отрицательных чисел: складываем модули слагаемых: 23+42+54=119. Результат будет со знаком «минус».

Записывают обычно так: -23-42-54=-119.

Сложение чисел с разными знаками.

Сумма двух чисел с разными знаками имеет знак слагаемого с большим модулем. Чтобы найти модуль суммы, нужно из большего модуля вычесть меньший .

Выполним сложение чисел с разными знаками с помощью координатной прямой.

1) -4+6. Требуется к числу -4 прибавить число 6. Отметим число -4 точкой на координатной прямой. Число 6 — положительное, значит от точки с координатой -4 нам нужно идти вправо на 6 единичных отрезков. Мы оказались справа от начала отсчета (от нуля) на 2 единичных отрезка.

Результат суммы чисел -4 и 6 — это положительное число 2:

— 4+6=2. Как можно было получить число 2? Из 6 вычесть 4, т.е. из большего модуля вычесть меньший. У результата тот же знак, что и у слагаемого с большим модулем.

2) Вычислим: -7+3 с помощью координатной прямой. Отмечаем точку, соответствующую числу -7. Идем вправо на 3 единичных отрезка и получаем точку с координатой -4. Мы были и остались слева от начала отсчета: ответ — отрицательное число.

— 7+3=-4. Этот результат мы могли получить так: из большего модуля вычли меньший, т.е. 7-3=4. В результате поставили знак слагаемого, имеющего больший модуль: |-7|>|3|.

Примеры. Вычислить: а) -4+5-9+2-6-3; б) -10-20+15-25.

>>Математика: Сложение чисел с разными знаками

33. Сложение чисел с разными знаками

Если температура воздуха была равна 9 °С, а потом она изменилась на - 6 °С (т. е. понизилась на 6 °С), то она стала равной 9 + (- 6) градусам (рис. 83).

Чтобы сложить числа 9 и - 6 с помощью , надо точку А (9) переместить влево на 6 единичных отрезков (рис. 84). Получим точку В (3).

Значит, 9+(- 6) = 3. Число 3 имеет тот же знак, что и слагаемое 9, а его модуль равен разности модулей слагаемых 9 и -6.

Действительно, |3| =3 и |9| - |- 6| = = 9 - 6 = 3.

Если та же температура воздуха 9 °С изменилась на -12 °С (т. е. понизилась на 12 °С), то она стала равной 9 +(-12) градусам (рис. 85). Сложив числа 9 и -12 с помощью координатной прямой (рис. 86), получим 9 + (-12)= -3. Число -3 имеет тот же знак, что и слагаемое -12, а его модуль равен разности модулей слагаемых -12 и 9.

Действительно, | - 3| = 3 и | -12| - | -9| =12 - 9 = 3.

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:

1) из большего модуля слагаемых вычесть меньший;

2) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

Обычно сначала определяют и записывают знак суммы, а потом находят разность модулей.

Например:

1) 6,1+(- 4,2)= +(6,1 - 4,2)= 1,9,
или короче 6,1+(- 4,2) = 6,1 - 4,2 = 1,9;

При сложении положительных и отрицательных чисел можно использовать микрокалькулятор . Чтобы ввести отрицательное число в микрокалькулятор, надо ввести модуль этого числа, потом нажать клавишу «изменение знака» |/-/|. Например, чтобы ввести число -56,81, надо последовательно нажимать клавиши: | 5 |, | 6 |, | ¦ |, | 8 |, | 1 |, |/-/|. Операции над числами любого знака выполняются на микрокалькуляторе так же, как над положительными числами.

Например, сумму -6,1 + 3,8 вычисляют по Программе

? Числа а и b имеют разные знаки. Какой знак будет иметь сумма этих чисел, если больший модуль имеет отрицательное число?

если меньший модуль имеет отрицательное число?

если больший модуль имеет положительное число?

если меньший модуль имеет положительное число?

Сформулируйте правило сложения чисел с разными знаками. Как ввести в микрокалькулятор отрицательное число?

К 1045. Число 6 изменили на -10. С какой стороны от начала отсчета расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчета оно находится? Чему равна сумма 6 и -10?

1046. Число 10 изменили на -6. С какой стороны от начала отсчета расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчета оно находится? Чему равна сумма 10 и -6?

1047. Число -10 изменили на 3. С какой стороны от начала отсчета расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчета оно находится? Чему равна сумма -10 и 3?

1048. Число -10 изменили на 15. С какой стороны от начала отсчета расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчета оно находится? Чему равна сумма -10 и 15?

1049. В первую половину дня температура изменилась на - 4 °С, а во вторую - на + 12 °С. На сколько градусов изменилась температура в течение дня?

1050. Выполните сложение:

1051. Прибавьте:

а) к сумме -6 и -12 число 20;
б) к числу 2,6 сумму -1,8 и 5,2;
в) к сумме -10 и -1,3 сумму 5 и 8,7;
г) к сумме 11 и -6,5 сумму -3,2 и -6.

1052. Какое из чисел 8; 7,1; -7,1; -7; -0,5 является корнем уравнения - 6 + х =-13,1?

1053. Угадайте корень уравнения и выполните проверку:

а) х + (-3)= -11; в) m + (-12) = 2;
б) - 5 + y=15; г) 3 + n = -10.

1054. Найдите значение выражения:

1055. Выполните действия с помощью микрокалькулятора:

а) - 3,2579 + (-12,308); г) -3,8564+ (-0,8397) +7,84;
б) 7,8547+ (- 9,239); д) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
в) -0,00154 + 0,0837; е) -0,0085+ 0,00354+ (- 0,00921).

П 1056. Найдите значение суммы:

1057. Найдите значение выражения:

1058. Сколько целых чисел расположено между числами:

а) 0 и 24; б) -12 и -3; в) -20 и 7?

1059. Представьте число -10 в виде суммы двух отрицательных слагаемых так, чтобы:

а) оба слагаемых были целыми числами;
б) оба слагаемых были десятичными дробями;
в) одно из слагаемых было правильной обыкновенной дробью .

1060. Каково расстояние (в единичных отрезках) между точками координатной прямой с координатами:

а) 0 и а; б) -а и а; в) -а и 0; г) а и -За?

М 1061. Радиусы географических параллелей земной поверхности, на которых расположены города Афины и Москва, соответственно равны 5040 км и 3580 км (рис. 87). На сколько параллель Москвы короче параллели Афин?

1062. Составьте уравнение для решения задачи: «Поле площадью 2,4 га разделили на два участка. Найдите площадь каждого участка, если известно, что один из участков:

а) на 0,8 га больше другого;
б) на 0,2 га меньше другого;
в) в 3 раза больше другого;
г) в 1,5 раза меньше другого;
д) составляет другого;
е) составляет 0,2 другого;
ж) составляет 60% другого;
з) составляет 140% другого».

1063. Решите задачу:

1) В первый день путешественники проехали 240 км, во второй день 140 км, в третий день они проехали в 3 раза больше, чем во второй, а в четвертый день они отдыхали. Сколько километров они проехали в пятый день, если за 5 дней они проезжали в среднем по 230 км в день?

2) Заработок отца в месяц равен 280 р. Стипендия дочери в 4 раза меньше. Сколько зарабатывает в месяц мать, если в семье 4 человека, младший сын - школьник и на каждого приходится в среднем 135 р.?

1064. Выполните действия:

1) (2,35 + 4,65) 5,3:(40-2,9);

2) (7,63-5,13) 0,4:(3,17 + 6,83).

1066. Представьте в виде суммы двух равных слагаемых кдое из чисел:

1067. Найдите значение а + b, если:

а) а= -1,6, b = 3,2; б) а=- 2,6, b = 1,9; в)

1068. На одном этаже жилого дома было 8 квартир. 2 квартиры имели жилую площадь по 22,8 м 2 , 3 квартиры - по 16,2 м 2 , 2 квартиры - по 34 м 2 . Какую жилую площадь имела восьмая квартира, если на этом этаже в среднем на каждую квартиру приходилось по 24,7 м 2 жилой площади?

1069.В составе товарного поезда было 42 вагона. Крытых вагонов было в 1,2 раза больше, чем платформ, а число цистерн составляло числа платформ. Сколько вагонов каждого вида было в составе поезда?

1070. Найдите значение выражения

Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы

Планирование по математике, учебники и книги онлайн , курсы и задачи по математике для 6 класса скачать

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

В этом материале мы расскажем, как правильно выполнять сложение отрицательного и положительного числа. Сначала мы приведем основное правило такого сложения, а потом покажем, как оно применяется при решении задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Основное правило сложения положительных и отрицательных чисел

Мы уже говорили ранее, что положительное число можно рассматривать как доход, а отрицательное – как убыток. Чтобы узнать величину дохода и расхода, надо смотреть на модули этих чисел. Если в итоге окажется, что наши расходы превышают доходы, то после их взаимного учета мы останемся должны, а если наоборот, то мы останемся в плюсе. Если же расходы равны доходам, то у нас будет нулевой остаток.

Используя приведенные выше рассуждения, можно вывести основное правило сложения чисел с разными знаками.

Определение 1

Для сложения положительного числа с отрицательным необходимо найти их модули и выполнить сравнение. Если значения окажутся равны, то мы имеем два слагаемых, которые являются противоположными числами, и их сумма будет нулевой. Если же они не равны, то нам надо учесть, что результат будет иметь тот же знак, что и большее число.

Таким образом, сложение в данном случае сводится к вычитанию из большего числа меньшего. Итог этого действия может быть разным: мы можем получить как положительное, так и отрицательное число. Нулевой результат тоже возможен.

Это правило распространяется на целые, рациональные и действительные числа.

Задачи на сложение положительного числа с отрицательным

Разберем, как применять на практике правило, озвученное выше. Возьмем для начала простой пример.

Пример 1

Вычислите сумму 2 + (- 5) .

Решение

Выполним последовательно шаги, которые мы изучили до этого. Найдем для начала модули исходных чисел, которые будут равны 2 и 5 . Больший модуль – 5 , поэтому запоминаем минус. Далее вычитаем из большего модуля меньший и получаем: 5 − 2 = 3 .

Ответ: (− 5) + 2 = − 3 .

Если в условиях задачи стоят рациональные числа с разными знаками, не являющиеся при этом целыми, то для удобства расчетов нужно представить их в виде десятичных или обыкновенных дробей. Возьмем такую задачу и решим ее.

Пример 2

Вычислите, сколько будет 2 1 8 + (- 1 , 25) .

Решение

Первым делом переведем смешанное число в обыкновенную дробь. Если вы не помните, как это делается, перечитайте соответствующую статью.

Десятичную дробь мы тоже представим в виде обыкновенной: - 1 , 25 = - 125 100 = - 5 4 .

После этого уже можно переходить к вычислению модулей и подсчету результата. Найдем модули: они будут равны 17 8 и 5 4 соответственно. Получившиеся дроби приведем к общему знаменателю и получим 17 8 и 10 8 .

Следующим шагом будет сравнение обыкновенных дробей. Поскольку числитель первой дроби больше, то 17 8 > 10 8 . Если слагаемое со знаком плюс у нас больше, то нам надо запомнить, что результат будет положительным.

17 8 - 10 8 = 17 - 10 8 = 7 8

Мы уже отмечали ранее, что результат у нас будет со знаком плюс: + 7 8 . Так как плюс писать необязательно, при записи ответа обойдемся без него.

Запишем весь ход решения:

2 1 8 + - 1 , 25 = 17 8 + - 5 4 = 17 8 + - 10 8 = 17 8 - 10 8 = 7 8

Ответ: 2 1 8 + - 1 , 25 = 7 8 .

Пример 3

Найдите, чему будет равна сумма 14 и - 14 .

Решение

Мы имеем два одинаковых слагаемых с разными знаками. Значит, эти числа являются противоположными друг другу, следовательно, их сумма будет равна 0 .

Ответ: 14 + - 14 = 0

В конце статьи добавим, что результат сложения действительных отрицательных чисел с положительными зачастую лучше записывать в виде числового выражения с корнями, степенями или логарифмами, а не в виде бесконечной десятичной дроби. Так, если мы сложим числа n и - 3 , то ответ будет равен n - 3 . Считать окончательный результат нужно далеко не всегда, и можно обойтись приблизительными расчетами. Более подробно об этом мы напишем в статье об основных действиях с действительными числами.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Материал этой статьи покрывает тему вычитание чисел с разными знаками . Здесь мы сначала дадим правило вычитания отрицательного числа от положительного, и положительного числа от отрицательного. После этого подробно разберем решения примеров вычитания чисел с разными знаками.

Навигация по странице.

Правило вычитания чисел с разными знаками

Правило вычитания чисел с разными знаками дословно совпадает с правилом вычитания отрицательных чисел . Его формулировка такова: вычесть из числа a число b – это все равно, что к числу a прибавить число −b , где b и −b – противоположные числа .

В буквенном виде это правило вычитания имеет вид a−b=a+(−b) , где a и b – любые действительные числа .

Озвученное правило вычитания чисел с разными знаками справедливо для действительных чисел, а также для рациональных чисел и целых чисел . Оно доказывается на основании свойств действий с действительными числами . Действительно, эти свойства позволяют записать цепочку равенств вида (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a , которая в силу существующей связи между сложением и вычитанием доказывает равенство a−b=a+(−b) , а значит, и рассматриваемое правило вычитания.

Правило вычитания чисел с разными знаками позволяет проводить вычитание положительного числа из отрицательного, а также вычитание отрицательного числа из положительного. При этом понятно, что вычитание сводится к сложению.

Осталось научиться применять правило вычитания чисел с разными знаками при решении примеров, что мы и сделаем в следующем пункте.

Примеры вычитания чисел с разными знаками

Рассмотрим примеры вычитания чисел с разными знаками .

Пример.

Выполните вычитание положительного числа 4 из отрицательного числа −16 .

Решение.

Число, противоположное вычитаемому 4 , есть −4 , тогда по правилу вычитания чисел с разными знаками имеем (−16)−4=(−16)+(−4) . Осталось выполнить сложение отрицательных чисел , имеем (−16)+(−4)=−(16+4)=−20 .

Ответ:

(−16)−4=−20 .

При вычитании дробных чисел с разными знаками приходится уменьшаемое и вычитаемое представлять либо в виде обыкновенных дробей , либо в виде десятичных дробей . Это зависит от того, с числами какого вида будет удобнее проводить вычисления.

Когда уменьшаемое и (или) вычитаемое задано как , и т.п., то часто результат вычитания записывается в виде . Приведем пример для пояснения.

Пример.

Выполните вычитание числа 5 из числа .