A korlátozások fő típusai. Online számológép: Korlátmegoldás
Nézzük meg szemléltető példákat.
Legyen x numerikus változó, X változata régiója. Ha minden, az X-hez tartozó x számhoz egy y szám van hozzárendelve, akkor azt mondják, hogy egy függvényt definiálnak az X halmazon, és y \u003d f (x) íródnak.
Az X halmaz ebben az esetben egy sík, amely két koordinátatengelyből áll - 0X és 0Y. Például az y \u003d x 2 függvényt ábrázoljuk. A 0X és 0Y tengelyek képezik X-et - a változás régióját. Az ábra egyértelműen mutatja, hogy a funkció hogyan viselkedik. Ebben az esetben azt mondják, hogy az X halmazon az y \u003d x 2 függvényt definiálják.
A függvény összes részleges értékének Y sorozatát f (x) értékkészletnek nevezzük. Más szavakkal, az értékek halmaza a 0Y tengely mentén lévő rés, ahol a függvényt definiálják. A ábrázolt parabola egyértelműen azt mutatja, hogy f (x)\u003e 0, mert x2\u003e 0. Ezért az értékek tartománya lesz. Sok értéket tekintünk 0Y-val.
Az x összes gyűjteményét az f (x) meghatározásának tartományává nevezzük. Sok meghatározást vizsgálunk a 0X vonatkozásában, és esetünkben az elfogadható értékek tartománya [-; +].
Az a pontot (a tartozik vagy X-hez) akkor az X halmazpontjának nevezzük, ha az a bármelyik szomszédságában vannak X halmazpontjai, amelyek nem a.
Ideje megérteni - mi a határa egy funkcióra?
Tisztán b, amelyre a függvény hajlamos, amikor x megközelíti az a számot, hívják funkciókorlát. Írta:
Például f (x) \u003d x 2. Meg kell tudnunk, hogy a függvény hajlamos-e (nem egyenlő) x 2-nél.
Nézzük meg a diagramot.
Rajzolj egy vonalat a 0Y tengelyével párhuzamosan a 0X tengelyen a 2. ponton keresztül. A ponton keresztezi a grafikonunkat (2; 4). Ettől a ponttól merítjük a merőleget a 0Y tengelyre, és eljutunk a 4. ponthoz. Ez az, amire a célunk x 2-re vonatkozik. Ha az f (x) függvényben a 2. értéket helyettesítjük, a válasz ugyanaz.
Most, mielőtt továbbmennék a határértékek kiszámítása, bemutatjuk az alapvető meghatározásokat.
A francia matematikus, Augustin Louis Cauchy vezette be a 19. században.
Tegyük fel, hogy az f (x) függvényt egy bizonyos intervallumban határozzuk meg, amelyben az x \u003d A pont szerepel, de nem szükséges, hogy az f (A) értéket meghatározzuk.
Aztán Cauchy meghatározása szerint funkciókorlát f (x) x esetén egy bizonyos B szám lesz, A értékre hajlamos, ha minden C\u003e 0-ban van egy D\u003e 0 szám, amelyre
Ie Ha az x (x) függvénynél az f (x) függvényt a B határ határolja, akkor ezt úgy kell írni:
Szekvencia korlát egy bizonyos A számot hívunk, ha bármely tetszőlegesen kicsi pozitív B\u003e 0 számnál létezik olyan N szám, hogy az n\u003e N esetben minden érték kielégíti az egyenlőtlenséget
Ennek a határnak van formája.
A sorozatot, amelynek van egy határa, konvergensnek, ha nem, divergensnek nevezzük.
Mint már észrevetted, a korlátokat a lim ikon jelzi, amely alatt a változó bizonyos feltételeit megírják, majd maga a funkció már meg van írva. Az ilyen halmazt úgy kell értelmezni, mint "a megadott funkció határa ...". Például:
a függvény határa, mivel x hajlamos az 1-re.
Az "1-re hajlamos" kifejezés azt jelenti, hogy x egymás után olyan értékeket vesz, amelyek végtelenül közel vannak az 1-hez.
Most egyértelművé válik, hogy ennek a határértéknek a kiszámításához elegendő az x érték helyett az 1. értéket kicserélni:
Egy meghatározott numerikus érték mellett az x végtelenig is hajlamos. Például:
Az x kifejezés azt jelenti, hogy x folyamatosan növekszik és végtelenül közel van a végtelenhez. Ezért a végtelenség helyett x helyett nyilvánvalóvá válik, hogy az 1-x függvény hajlamos, de az ellenkezője jelöléssel:
Ilyen módon határérték kiszámítása Meg kell találni annak specifikus értékét vagy egy olyan területet, amelybe a funkció beletartozik, korlátozva a határértékkel.
A fentiek alapján az következik, hogy a limitek kiszámításakor több szabályt kell figyelembe venni:
megértés a határ lényege és alapvető szabályok limit számítások, kulcsfontosságú betekintést kap a megoldásukba. Ha ez a korlátozás nehézségeket okoz neked, akkor írja meg a megjegyzéseket, és mi biztosan segítünk.
Megjegyzés: A jogtudomány a törvények tudománya, amely segít a konfliktusokban és más élet nehézségekben.
A limitelmélet a matematikai elemzés egyik ága. A határok megoldásának kérdése meglehetősen kiterjedt, mivel tucatnyi módszer létezik a különféle határok megoldására. Több tucat árnyalattal és trükkkel lehet megoldani ezt vagy azt a határt. Ennek ellenére továbbra is megpróbáljuk megérteni azokat az alapvető korlátokat, amelyek a gyakorlatban leggyakrabban előfordulnak.
Kezdjük a limit fogalmával. De először egy rövid történelmi háttér. Egykor a 19. században élt a francia Augustin Louis Cauchy, aki lefektette a matematikai elemzés alapjait, és szigorú meghatározásokat adott, különösképp a határ meghatározását. Azt kell mondanom, hogy ugyanaz a Cauchy álmodozott, álmodozott és álmodozni fog a rémálmokban minden fizikai és matematikai tanszék hallgatóján, mivel hatalmas számú matematikai elemzés tételét bizonyította, és az egyik tétel undorítóbb, mint a másik. Ebben a tekintetben nem vesszük figyelembe a határ szigorú meghatározását, hanem két dolgot próbálunk megtenni:
1. Tudja meg, mi a határ.
2. Tanuld meg megoldani a korlátozások fő típusait.
Elnézést kérek néhány tudományos magyarázatért. Fontos, hogy az anyag a teáskanna számára is érthető legyen, ami valójában a projekt feladata.
Tehát mi a határ?
És azonnal egy példa arra, amit a nagymama megront ...
Bármely korlát három részből áll.:
1) Mindenki ismeri a limit ikont.
2) Ebben az esetben a limit ikon alatti bejegyzések. A feljegyzés szövege: "X törekszik az egységre." Leggyakrabban - ez az, bár a gyakorlatban az „X” helyett más változók is vannak. A gyakorlati feladatokban az egység helyett abszolút bármilyen szám lehet, valamint a végtelenség is ().
3) Ebben az esetben a határjel alatt működik.
Rögzítse magát 
szövege a következő: "A funkció határa x-rel az egység felé hajlamos."
Vizsgáljuk meg a következő fontos kérdést - mit jelent az „X” kifejezés? célja, hogy az egységhez? És miért „törekszünk”?
A korlátozás fogalma egy fogalom, úgymond dinamikus. Készítsd el a sorozatot: először, majd ,, ..., 
, ….
Vagyis az "x célja, hogy az egység felé "a következőképpen értendő - az" x "egymás után értékeket vesz fel, amelyek végtelenül közel vannak az egységhez és gyakorlatilag egybeesnek vele.
Hogyan lehet megoldani a fenti példát? A fentiek alapján ki kell cserélni az egységet a függvényben a határjel alatt:
Tehát az első szabály: Ha megadnak bármilyen korlátozást, először csak megpróbálunk helyettesíteni egy számot a függvényben.
Figyelembe vettük a legegyszerűbb korlátot, de a gyakorlatban mégis ilyen ritkán találhatók meg!
Példa a végtelenségre:
Megértjük, mi az? Ez a helyzet akkor, amikor korlátlanul növekszik, vagyis: először, akkor, akkor, akkor és így tovább a végtelenig.
És mi történik a funkcióval ebben az időben?
, , 
, …
Tehát: ha, akkor a függvény mínusz végtelenre csökken:
Nagyjából szólva, az első szabályunk szerint a végtelenség helyébe az „x” függvény lép, és megkapjuk a választ.
Egy másik példa a végtelenséghez:
Megint kezdjük a végtelenségig növekedni, és megvizsgáljuk a függvény viselkedését: 
Következtetés: amikor a függvény korlátlanul növekszik:
És egy sor példát:
Kérjük, próbálja meg önállóan elemezni a következőket, és emlékezzen a korlátozások legegyszerűbb típusaira:
, , , , 
, , , , 
,
Ha kétség merül fel valahol, akkor vedd fel a számológépet, és kicsit gyakorolhatsz.
Ebben az esetben próbáljon meg egy sorozatot összeállítani,. Ha, akkor ,,.
Megjegyzés: szigorúan véve, ez a megközelítés több számú szekvenciák konstruálásával helytelen, de nagyon alkalmas a legegyszerűbb példák megértésére.
Vegye figyelembe a következőt is. Még ha egy számot is megadnak a tetején nagy számmal, sőt még millióval:, akkor is 
, mivel előbb vagy utóbb az „X” olyan óriási értékeket vesz fel, hogy egymáshoz viszonyítva egy millió valódi mikrobát jelent.
Mit kell emlékezni és megérteni a fentről?
1) Ha megadunk bármilyen korlátot, először csak megpróbálunk helyettesíteni egy számot a függvényben.
2) Meg kell értenie és azonnal el kell döntenie a legegyszerűbb korlátokat, például 
,, stb.
Most figyelembe vesszük a határcsoportot, amikor és a függvény egy tört, a számlálóban és a nevezőben polinomok
Példa:
Számítsa ki a határt 
Szabályunk szerint megpróbáljuk a végtelenét egy funkcióval helyettesíteni. Mit kapunk fent? Infinity. És mi történik az alábbiakban? Szintén a végtelenség. Így van az úgynevezett fajbizonytalanság. Azt gondolhatnánk, hogy a válasz kész, de általánosságban nem ez a helyzet, és valamilyen megoldást kell alkalmazni, amelyet most megvizsgálunk.
Hogyan lehet megoldani az ilyen típusú határokat?
Először nézzük meg a számlálót, és találjuk meg nagyobb mértékben: 
A számlálóban a legmagasabb fok két.
Most megnézzük a nevezőt, és a legmagasabb fokon találjuk meg: 
A nevező legmagasabb fokú kettő.
Ezután kiválasztjuk a számláló és a nevező legrégebbi fokát: ebben a példában egybeesnek és kettővel megegyeznek.
Tehát a megoldási módszer a következő: a bizonytalanság felfedése érdekében meg kell osztani a számlálót és a nevezőt a legmagasabb fokkal.
Itt van ez a válasz, és egyáltalán nem a végtelen.
Mi alapvető fontosságú a megoldás megtervezésében?
Először jelezze a bizonytalanságot, ha van ilyen.
Másodszor, tanácsos félbeszakítani a döntést közbenső magyarázatokkal. Általában egy jelet használok, ennek nincs matematikai jelentése, de azt jelenti, hogy a döntés megszakad egy közbenső magyarázat érdekében.
Harmadszor, a határértéknél kívánatos megjelölni, hogy mit és hol akar. Amikor a munkát kézzel készítik el, kényelmesebb ezt megtenni: 
A jegyzetekhez jobb egy egyszerű ceruza.
Természetesen ezzel semmit nem tehet, de akkor a tanár talán észreveszi a döntés hibáit vagy elkezdi további kérdéseket feltenni a feladathoz. Szüksége van rá?
2. példa
Keressen korlátot 
A számlálóban és a nevezőben megint nagyobb mértékben találjuk meg: 
A maximális fok a számlálóban: 3
A nevező maximális mértéke: 4
kiválasztása a legnagyobb érték, ebben az esetben négy.
Algoritmusunk szerint a bizonytalanság felfedéséhez elosztjuk a számlálót és a nevezőt.
A feladat teljes tervezése így néz ki:
Osszuk el a számlálót és a nevezőt
3. példa
Keressen korlátot 
Az „X” maximális foka a számlálóban: 2
A nevezőben az „x” maximális foka: 1 (így írható)
A bizonytalanság felfedéséhez meg kell osztani a számlálót és a nevezőt a következővel: A tiszta megoldás így néz ki:
Osszuk el a számlálót és a nevezőt
A rekord azt jelenti, hogy nem osztjuk meg nullával (nem oszthatjuk nullával), hanem egy osztás egy végtelenül kis számmal.
Így a faj bizonytalanságának felfedésekor megkaphatjuk véges szám, nulla vagy a végtelen.
Korlátozások a típusbizonytalansággal és megoldási módszerük
A következő határcsoport némileg hasonlít az éppen megvizsgált határokhoz: a polinomok a számlálóban és a nevezőben vannak, de az „X” már nem a végtelenbe, hanem a végleges szám.
4. példa
Döntse el a korlátot 
Először próbálja meg a -1-et helyettesíteni a frakcióban: 
Ebben az esetben az úgynevezett bizonytalanságot kapjuk.
Általános szabály: ha a számláló és a nevező polinómokat tartalmaz, és a forma bizonytalanságai vannak, akkor a nyilvánosságra hozatalhoz be kell számolnia a nevezőt és a nevezőt.
Ehhez leggyakrabban meg kell oldani a másodlagos egyenletet és (vagy) a rövidített szorzás képleteit kell használnia. Ha ezeket a dolgokat elfelejtette, akkor látogasson el az oldalra Matematikai képletek és táblázatok és olvassa el a tananyagot Forró matematikai iskolai tanfolyamok. Mellesleg, a legjobb kinyomtatni, nagyon gyakran igénylik, és a papírból származó információk jobban felszívódnak.
Szóval, eldöntjük a korlátot 
Tényezze be a számlálót és a nevezőt
A számláló tényezőjéhez meg kell oldani a másodlagos egyenletet: 
Először találjuk meg a megkülönböztetőt:
És annak négyzetgyöke:
Ha a diszkrimináns nagy, például 361, akkor számológépet használunk, a négyzetgyök-kivonás funkció a legegyszerűbb számológépen található.
! Ha a gyökér nem bontakozik ki teljesen (vesszővel tört szám lesz), nagyon valószínű, hogy a megkülönböztetőt hibásan számították ki, vagy a helyesírási feladatban.
Ezután megtaláljuk a gyökereket: 
Ilyen módon:
Ez minden. A számlálót faktorizálják.
Nevezőt. A nevező már a legegyszerűbb tényező, és semmilyen módon nem egyszerűsíthető.
Ez nyilvánvalóan csökkenthető:
Most helyettesítjük az -1 kifejezést, amely a határjel alatt marad:
Természetesen a tesztben, a tesztben és a vizsgán a döntést soha nem írják le ilyen részletesen. A végleges változatban a formatervezésnek így kell kinéznie:
Tényezze meg a számlálót. 
5. példa
Számítsa ki a határt 
Először a „befejezés” megoldás
Tényezze be a számlálót és a nevezőt.
számlálója:
nevező: 
, 
Mi fontos ebben a példában?
Először is jól meg kell értenie a számláló közzétételét: először tegyünk ki 2-et a konzolból, majd használjuk a négyzetek különbségének képletét. Ezt a képletet meg kell ismerni és látni kell.
A típus- és fajbizonytalanságok a leggyakoribb bizonytalanságok, amelyeket fel kell tárni a korlátok megoldásakor.
A legtöbb olyan feladat, amely a hallgatókon átnyúlik, csak ilyen bizonytalanságot hordoz magában. Felfedésükhöz vagy pontosabban a bizonytalanságok elkerüléséhez számos mesterséges módszer létezik a kifejezés típusának a határjel alatt történő átalakítására. Ezek a módszerek a következők: a számláló és a nevező osztása a változó legmagasabb fokával, szorzás a konjugált kifejezéssel és a faktorizálás a későbbi redukcióhoz, kvadratikus egyenletek megoldásaival és a rövidített szorzás képleteivel.
Fajbizonytalanság
1. példa
n tehát ossza meg a számlálót és a nevezőt:
.
Kommentáld a kifejezés jobb oldalát. A nyilak és számok jelzik, hogy a frakció helyett mi helyettesítést keres n végtelen érték. Itt, mint a 2. példában, a fok n több van a nevezőben, mint a számlálóban, amelynek eredményeként a teljes frakció végtelen értékre vagy "szuper kis számra" hajlik.
Megkapjuk a választ: ennek a függvénynek a határa egy végtelenre hajlamos változóra egyenlő.
2. példa .
Határozat. Itt van a változó legmagasabb foka x tehát egyenlő 1. Ezért a számlálót és a nevezőt végesen osztjuk el x:
Kommentár a döntés menetére. A számlálóban az „X” -et a harmadik fok gyökere alatt hajtjuk meg, és annak kezdeti fokával (1) változatlanul kell hozzárendelni ugyanannak a foknak a mértékét, mint a gyökér, azaz 3. A lövő és a további számok már nem szerepelnek ebben a bejegyzésben, ezért próbálkozzon szellemileg, de az előző példával analóg módon annak meghatározására, hogy a számlálóban és a nevezőben milyen kifejezések hajlamosak az "x" helyett a végtelenség helyett.
Megkaptuk a választ: ennek a függvénynek a határa egy végtelenre hajlamos változóra nulla.
Fajbizonytalanság
3. példaFedezze fel a bizonytalanságot és keresse meg a határt.
Határozat. A számlálóban van a kockák különbsége. Tényezőkre bontjuk, az iskolai matematika tanfolyamának rövidített szorzata alapján:
A nevezőben a kvadratikus trinomium szerepel, amelyet a kvadratikus egyenlet megoldásával számolunk be (ismét hivatkozás a kvadratikus egyenletek megoldására):
Írjuk le a transzformációk eredményeként kapott kifejezést és megtaláljuk a függvény határát:
4. példa Fedezze fel a bizonytalanságot és keresse meg a határt
Határozat. A hányados határ tétel itt nem alkalmazható, mivel
Ezért a frakciót azonos módon transzformáljuk: a számlálót és a nevezőt szorozzuk meg a nevezővel a binomiális konjugátummal, és x 1. Az 1. tétel következményei alapján egy kifejezést kapunk, amelyet megoldva megtaláljuk a kívánt határt:
5. példa Fedezze fel a bizonytalanságot és keresse meg a határt
Határozat. Közvetlen helyettesítés x \u003d 0 egy adott függvénybe a 0/0 alak bizonytalanságához vezet. Ennek feltárására az azonos transzformációkat hajtjuk végre, és ennek eredményeként megkapjuk a kívánt határértéket: 
6. példa Számolja 
megoldás: a limit tételeket használjuk
A válasz: 11
7. példa Számolja 
megoldás: ebben a példában a számláló és a nevező határai 0:
; 
. Ezért azt a tételt kaptuk meg, hogy a hányados határán nem lehet alkalmazni.
A számlálót és a nevezőt tényezőkre bontjuk, hogy a frakciót nullára hajlamos közös tényezővel csökkentsük, és ezáltal lehetővé tegyük a 3. tétel alkalmazását.
A négyzet alakú trinomust a számlálóban a képlet szerint bontjuk le, ahol x 1 és x 2 a trinomium gyökerei. A faktorozással és a nevezővel a frakciót (x-2) csökkentjük, majd a 3. tételt alkalmazzuk.
A válasz:
8. példa Számolja
megoldás: Amikor a számláló és a nevező a végtelenségig hajlik, tehát a 3. tétel közvetlen alkalmazásával egy olyan kifejezést kapunk, amely bizonytalanságot képvisel. Az ilyen bizonytalanságoktól való megszabaduláshoz a számlálót és a nevezőt az érv legmagasabb fokára kell osztani. Ebben a példában el kell osztani x:
A válasz:
9. példa Számolja 
megoldás: x 3:
A válasz: 2
10. példa Számolja 
megoldás: Amikor a számláló és a nevező végtelenre mutat. Osszuk el a számlálót és a nevezőt az argumentum legmagasabb fokával, azaz x 5:
= 
a frakció számlálója 1-re, a nevező nullára, tehát a frakció végtelenre hajlik.
A válasz:
11. példa Számolja
megoldás: Amikor a számláló és a nevező végtelenre mutat. Osszuk el a számlálót és a nevezőt az argumentum legmagasabb fokával, azaz x 7:
A válasz: 0
Származtatott.
Az y \u003d f (x) függvény derivációja az x argumentum vonatkozásábanakkor az y növekedés és az x argumentum x növekményének hányadosát hívják meg, amikor az argumentum növekedése nullára csökken:. Ha ez a határ véges, akkor a függvény y \u003d f (x)az x ponton megkülönböztethetőnek nevezzük. Ha létezik ez a határ, akkor azt mondják, hogy a függvény y \u003d f (x) x-nél egy végtelen deriváltja van.
Alapvető alapvető funkciók származékai:
1. (const) \u003d 09.
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Megkülönböztetési szabályok:
a) 
c) 
1. példa Keresse meg a származtatott függvényt 
megoldás: Ha a második kifejezés származékát a frakció differenciálódási szabály szerint találjuk meg, akkor az első kifejezés egy komplex függvény, amelynek származékát a következő képlettel találjuk meg:
Akkor hol
A megoldás során a következő képleteket használták: 1,2,10, a, c, d.
A válasz:
21. példa Keresse meg a származtatott függvényt 
megoldás: mindkét kifejezés összetett függvények, ahol az első ,, és a második ,, akkor
A válasz: 
Származékos alkalmazások.
1. Sebesség és gyorsulás
Legyen s (t) függvény pozíció objektum valamelyik koordinátarendszerben t időpontban. Ekkor az s (t) függvény első deriváltja pillanatnyi sebesség objektum:
v \u003d s ′ \u003d f ′ (t)
Az s (t) függvény második származéka a pillanatnyi gyorsulás objektum:
w \u003d v ′ \u003d s ′ ′ \u003d f ′ ′ (t)
2. Érintő egyenlet
y - y0 \u003d f '(x0) (x - x0),
ahol (x0, y0) az érintőpont koordinátái, f ′ (x0) az f (x) függvény deriváltjának értéke az érintő ponton.
3. Normál egyenlet
y - y0 \u003d −1f ′ (x0) (x - x0),
ahol (x0, y0) azoknak a pontoknak a koordinátái, ahol a normál húzódik, f ′ (x0) az f (x) függvény deriváltjának értéke egy adott ponton.
4. A funkció növekedése és csökkenése
Ha f (x0)\u003e 0, akkor a függvény az x0 ponton növekszik. Az alábbi ábrán a függvény x-nél növekszik
Ha f (x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Helyi funkciós szélsőségek
Az f (x) függvénynek van helyi maximum x1-nél, ha létezik olyan x1 szomszédság, hogy f (x1) ≥f (x) az összes x-re ebből a szomszédságból.
Hasonlóképpen az f (x) függvény rendelkezik helyi minimum x2-nél, ha létezik olyan x2 szomszédság, hogy f (x2) ≤f (x) az összes x-re ebből a szomszédságból.
6. Kritikus pontok
Az x0 pont kritikus pont f (x) függvény, ha az f ′ (x0) derivátum nulla vagy nincsen.
7. A végtag létezésének első megfelelő jele
Ha az f (x) függvény növekszik (f '(x)\u003e 0) minden x esetében egy bizonyos intervallumban (a, x1], és csökken (f' (x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) az x minden intervallumában x)
