A matanalízis a funkció határa. Limit elmélet

A típus- és fajbizonytalanságok a leggyakoribb bizonytalanságok, amelyeket fel kell tárni a korlátok megoldásakor.

A legtöbb olyan feladat, amely a hallgatókon átnyúlik, csak ilyen bizonytalanságot hordoz magában. Felfedésükhöz vagy pontosabban a bizonytalanságok elkerüléséhez számos mesterséges módszer létezik a kifejezés típusának a határjel alatt történő átalakítására. Ezek a módszerek a következők: a számláló és a nevező osztása a változó legmagasabb fokával, szorzás a konjugált kifejezéssel és a faktorizálás a későbbi redukcióhoz, kvadratikus egyenletek megoldásaival és a rövidített szorzás képleteivel.

Fajbizonytalanság

1. példa

n  tehát ossza meg a számlálót és a nevezőt:

.

Kommentáld a kifejezés jobb oldalát. A nyilak és számok jelzik, hogy a frakció helyett mi helyettesítést keres n  végtelen érték. Itt, mint a 2. példában, a fok n  több van a nevezőben, mint a számlálóban, amelynek eredményeként a teljes frakció végtelen értékre vagy "szuper kis számra" hajlik.

Megkapjuk a választ: ennek a függvénynek a határa egy végtelenre hajlamos változóra egyenlő.

2. példa .

Határozat. Itt van a változó legmagasabb foka x  tehát egyenlő 1. Ezért a számlálót és a nevezőt végesen osztjuk el x:

Kommentár a döntés menetére. A számlálóban az „X” -et a harmadik fok gyökere alatt hajtjuk meg, és annak kezdeti fokával (1) változatlanul kell hozzárendelni ugyanannak a foknak a mértékét, mint a gyökér, azaz 3. A lövő és a további számok már nem szerepelnek ebben a bejegyzésben, ezért próbálkozzon szellemileg, de az előző példával analóg módon annak meghatározására, hogy a számlálóban és a nevezőben milyen kifejezések hajlamosak az "x" helyett a végtelenség helyett.

Megkaptuk a választ: ennek a függvénynek a határa egy végtelenre hajlamos változóra nulla.

Fajbizonytalanság

3. példaFedezze fel a bizonytalanságot és keresse meg a határt.

Határozat. A számlálóban van a kockák különbsége. Tényezőkre bontjuk, az iskolai matematika tanfolyamának rövidített szorzata alapján:

A nevezőben a kvadratikus trinomium szerepel, amelyet a kvadratikus egyenlet megoldásával számolunk be (ismét hivatkozás a kvadratikus egyenletek megoldására):

Írjuk le a transzformációk eredményeként kapott kifejezést és megtaláljuk a függvény határát:

4. példa  Fedezze fel a bizonytalanságot és keresse meg a határt

Határozat. A hányados határ tétel itt nem alkalmazható, mivel

Ezért a frakciót azonos módon transzformáljuk: a számlálót és a nevezőt szorozzuk meg a nevezővel a binomiális konjugátummal, és x  1. Az 1. tétel következményei alapján egy kifejezést kapunk, amelyet megoldva megtaláljuk a kívánt határt:

5. példa  Fedezze fel a bizonytalanságot és keresse meg a határt

Határozat. Közvetlen helyettesítés x  \u003d 0 egy adott függvénybe a 0/0 alak bizonytalanságához vezet. Ennek feltárására az azonos transzformációkat hajtjuk végre, és ennek eredményeként megkapjuk a kívánt határértéket:

6. példa  Számolja

megoldás:  a limit tételeket használjuk

A válasz: 11

7. példa  Számolja

megoldás:  ebben a példában a számláló és a nevező határai 0:

;   . Ezért azt a tételt kaptuk meg, hogy a hányados határán nem lehet alkalmazni.

A számlálót és a nevezőt tényezőkre bontjuk, hogy a frakciót nullára hajlamos közös tényezővel csökkentsük, és ezáltal lehetővé tegyük a 3. tétel alkalmazását.

A négyzet alakú trinomust a számlálóban a képlet szerint bontjuk le, ahol x 1 és x 2 a trinomium gyökerei. A faktorozással és a nevezővel a frakciót (x-2) csökkentjük, majd a 3. tételt alkalmazzuk.

A válasz:

8. példa  Számolja

megoldás:  Amikor a számláló és a nevező a végtelenségig hajlik, tehát a 3. tétel közvetlen alkalmazásával egy olyan kifejezést kapunk, amely bizonytalanságot képvisel. Az ilyen bizonytalanságoktól való megszabaduláshoz a számlálót és a nevezőt az érv legmagasabb fokára kell osztani. Ebben a példában el kell osztani x:

A válasz:

9. példa  Számolja

megoldás: x 3:

A válasz: 2

10. példa  Számolja

megoldás:  Amikor a számláló és a nevező végtelenre mutat. Osszuk el a számlálót és a nevezőt az argumentum legmagasabb fokával, azaz x 5:

=

a frakció számlálója 1-re, a nevező nullára, tehát a frakció végtelenre hajlik.

A válasz:

11. példa  Számolja

megoldás:  Amikor a számláló és a nevező végtelenre mutat. Osszuk el a számlálót és a nevezőt az argumentum legmagasabb fokával, azaz x 7:

A válasz: 0

Származtatott.

Az y \u003d f (x) függvény derivációja az x argumentum vonatkozásábanakkor az y növekedés és az x argumentum x növekményének hányadosát hívják meg, amikor az argumentum növekedése nullára csökken:. Ha ez a határ véges, akkor a függvény y \u003d f (x)az x ponton megkülönböztethetőnek nevezzük. Ha létezik ez a határ, akkor azt mondják, hogy a függvény y \u003d f (x)  x-nél egy végtelen deriváltja van.

Alapvető alapvető funkciók származékai:

1. (const) \u003d 09.

3. 11.

4. 12.

Megkülönböztetési szabályok:

a)

1. példa  Keresse meg a származtatott függvényt

megoldás:  Ha a második kifejezés származékát a frakció differenciálódási szabály szerint találjuk meg, akkor az első kifejezés egy komplex függvény, amelynek származékát a következő képlettel találjuk meg:

ahol   majd

A megoldás során a következő képleteket használták: 1,2,10, a, c, d.

A válasz:

21. példa  Keresse meg a származtatott függvényt

megoldás:  mindkét kifejezés összetett függvények, ahol az első ,, és a második ,, akkor

A válasz:

Származékos alkalmazások.

1. Sebesség és gyorsulás

Legyen s (t) függvény pozíció  objektum valamelyik koordinátarendszerben t időpontban. Ekkor az s (t) függvény első deriváltja pillanatnyi sebesség  objektum:
  v \u003d s ′ \u003d f ′ (t)
  Az s (t) függvény második származéka a pillanatnyi gyorsulás  objektum:
  w \u003d v ′ \u003d s ′ ′ \u003d f ′ ′ (t)

2. Érintő egyenlet
  y - y0 \u003d f '(x0) (x - x0),
  ahol (x0, y0) az érintőpont koordinátái, f ′ (x0) az f (x) függvény deriváltjának értéke az érintő ponton.

3. Normál egyenlet
  y - y0 \u003d −1f ′ (x0) (x - x0),

ahol (x0, y0) azoknak a pontoknak a koordinátái, ahol a normál húzódik, f ′ (x0) az f (x) függvény deriváltjának értéke egy adott ponton.

4. A funkció növekedése és csökkenése
  Ha f (x0)\u003e 0, akkor a függvény az x0 ponton növekszik. Az alábbi ábrán a függvény x-nél növekszik x2.
  Ha f (x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1  Ha f (x0) \u003d 0 vagy a derivatív nem létezik, akkor ez a tulajdonság nem teszi lehetővé a függvény monotonitásának természetének meghatározását az x0 ponton.

5. Helyi funkciós szélsőségek
  Az f (x) függvénynek van helyi maximum  x1-nél, ha létezik olyan x1 szomszédság, hogy f (x1) ≥f (x) az összes x-re ebből a szomszédságból.
  Hasonlóképpen az f (x) függvény rendelkezik helyi minimum  x2-nél, ha létezik olyan x2 szomszédság, hogy f (x2) ≤f (x) az összes x-re ebből a szomszédságból.

6. Kritikus pontok
  Az x0 pont kritikus pont  f (x) függvény, ha az f ′ (x0) derivátum nulla vagy nincsen.

7. A végtag létezésének első megfelelő jele
  Ha az f (x) függvény növekszik (f '(x)\u003e 0) minden x esetében egy bizonyos intervallumban (a, x1], és csökken (f' (x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) minden x-re a $ intervallumtól

3. példa

$ \\ Lim \\ limits_ (x \\ to -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) $ megoldása

döntés

Mint mindig, azzal kezdjük, hogy a $ x $ értéket kicseréljük a limitjel alatti kifejezésre. $$ \\ lim \\ limits_ (x \\ to -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ frac ((- 1) ^ 2-1) (- 1 + 1) \u003d \\ frac ( 0) (0) $$ Mi a következő lépés? Mi lehet az eredmény? Mivel ez bizonytalanság, ez nem a válasz, és folytassa a számítást. Mivel van egy polinom a számlálókban, tényezőkre bontjuk, az iskolai padon lévő ismerős képlet felhasználásával $$ a ^ 2-b ^ 2 \u003d (a-b) (a + b) $$. Emlékszel? Kiváló! Most menj tovább, és alkalmazd a dallal :) Azt kapjuk, hogy a $ x ^ 2-1 \u003d (x-1) (x + 1) $ számláló Folytatjuk a megoldást, figyelembe véve a fenti átalakulást: $$ \\ lim \\ limits_ (x \\ to -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ lim \\ limits_ (x \\ to -1) \\ frac ((x-1) (x + 1)) (x + 1) \u003d $$ $$ \u003d \\ lim \\ limits_ (x \\ to -1) (x-1) \u003d - 1-1 \u003d -2 $$

A válasz

$$ \\ lim \\ limits_ (x \\ to -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d -2 $$

Korlázzuk az utóbbi két példában a korlátot a végtelenig, és vegyük figyelembe a bizonytalanságot: $ \\ bigg [\\ frac (\\ infty) (\\ infty) \\ bigg] $

5. példa

Számítsa ki a $ \\ lim \\ korlátokat_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) $

döntés

$ \\ lim \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ frac (\\ infty) (\\ infty) $ Mit csinálj? Hogy lehet? Ne essen pánikba, mert a lehetetlen lehetséges. Ki kell tenni a zárójeleket az x számlálójában és nevezőjében, majd csökkenteni kell. Ezután próbálja meg kiszámítani a határt. Megpróbáljuk ... $$ \\ lim \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ lim \\ limits_ (x \\ to infty) \\ frac (x ^ 2 (1- \\ frac) (1) (x ^ 2))) (x (1+ \\ frac (1) (x))) \u003d $$ $$ \u003d \\ lim \\ limits_ (x \\ to infty) \\ frac (x (1- \\ frac (1) (x ^ 2))) ((1+ \\ frac (1) (x))) \u003d $$ A 2. példa szerinti definíciót használva, és a végtelenség helyettesítésével x-ben kapjuk: $$ \u003d \\ frac (\\ infty (1- \\ frac (1) (\\ infty))) ((1+ \\ frac (1) (\\ infty))) \u003d \\ frac (\\ infty \\ cdot 1) (1+ 0) \u003d \\ frac (\\ infty) (1) \u003d \\ infty $$

A válasz

$$ \\ lim \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ infty $$

Határszámítási algoritmus

Tehát röviden foglaljuk össze az elemzett példákat és készítsünk algoritmust a határok megoldására:

1. Cserélje ki az x pontot a határjelet követõ kifejezésben. Ha egy bizonyos számot vagy végtelenséget kapunk, akkor a határ teljesen megoldódott. Ellenkező esetben bizonytalanság van: "osszuk meg nullát nullával" vagy "végtelenség osztjuk végtelenséggel", és folytassuk az utasítás következő bekezdéseivel.
2. A "nullával nullával történő osztás" bizonytalanságának kiküszöböléséhez a számlálót és a nevezőt be kell számolni. Vágd le ezt. Cserélje ki a x pontot a kifejezésben a határjel alatt.
3. Ha a "végtelenség megosztása a végtelenséggel", akkor a legtöbbet tudjuk tenni mind a számlálóban, mind az x nevezőben. Vágjuk X-ket. Kicseréljük az x értéket a határérték alatt a fennmaradó kifejezésre.

Ebben a cikkben megtanulta a matematikai elemzés során gyakran használt határok megoldásának alapjait. Természetesen ez nem mindegyik feladat, amelyet a vizsgáztatók kínálnak, hanem csak a legegyszerűbb határokat. A következő cikkekben más típusú feladatokról fogunk beszélni, de a továbblépéshez előbb meg kell tanulnia ezt a leckét. Megvitatjuk, hogy mit tegyünk, ha vannak gyökerek, fokok, végtelen ekvivalens funkciókat, figyelemre méltó korlátokat, a L'Hotel szabályt tanulmányozunk.

Ha nem tudja megoldani a korlátokat, akkor ne ess pánikba. Mindig örömmel segítünk!

A határértékek kiszámításakor vegye figyelembe az alapvető szabályokat követve:

1. A függvények összegének (különbség) korlátja megegyezik a kifejezések korlátainak összegével (különbséggel):

2. A függvények szorzata megegyezik a tényezők határértékeinek szorzatával:

3. A két függvény arányának határa megegyezik a fenti funkciók határértékeinek arányával:

.

4. Az állandó tényező kivehető a határjelből:

.

5. Az állandó határ megegyezik magával az állandóval:

6. Folyamatos funkciók esetén a határjelek és a funkciók cserélhetők:

.

A függvénykorlát megkeresését a függvény kifejezésében egy érték helyettesítésével kell kezdeni. Ezenkívül, ha 0 vagy ¥ numerikus értéket kapunk, akkor megkapjuk a kívánt határértéket.

2.1. PéldaSzámítsa ki a határt.

Határozat.

.

A ,,,,, űrlap kifejezéseit nevezzük bizonytalanságok.

Ha típusú bizonytalanságot kapnak, akkor a határ meghatározásához meg kell változtatni a függvényt, hogy felfedje ezt a bizonytalanságot.

A típus bizonytalanságot általában akkor kapják meg, ha megadják a két polinom arányának határát. Ebben az esetben a határ kiszámításához ajánlott a polinómokat faktorizálni, és egy közös tényezővel csökkenteni. Ez a tényező nulla a határértéknél. x .

2.2. PéldaSzámítsa ki a határt.

Határozat.

Helyettesítve megkapjuk a bizonytalanságot:

.

Tényezze meg a számlálót és a nevezőt:

;

Csökkent egy közös tényezővel, és kap

A forma bizonytalansága akkor jelentkezik, ha megadják a két polinom arányának határát. Ebben az esetben ajánlott mindkét polinomot felosztani x   haladó mértékben.

2.3. Példa  Számítsa ki a határt.

Határozat.A uting helyettesítésével megkapjuk a forma bizonytalanságát, ezért a kifejezés összes kifejezését felosztjuk x 3.

.

Ezt figyelembe veszi.

A gyökereket tartalmazó függvény határainak kiszámításakor ajánlott szorozni és elosztani a függvényt konjugált kifejezésre.

2.4. PéldaSzámítsa ki a határt

Határozat.

Az alak bizonytalansága vagy (1) reve bizonytalanságának feltárására szolgáló határértékek kiszámításakor az első és a második figyelemre méltó határértéket gyakran használják:

A második figyelemre méltó határ számos probléma eredménye, amely a mennyiség folyamatos növekedésével jár.

Fontoljuk meg Ya. I. Perelman példáját, amely értelmezi a számot e  az összetett kamat problémában. A Sberbanksban a kamatpénzt évente hozzá kell adni az állóeszközökhez. Ha a kapcsolatot gyakrabban hozzák létre, akkor a tőke gyorsabban növekszik, mivel nagy összeg vesz részt az érdeklődés kialakításában. Vegyünk egy tisztán elméleti, nagyon egyszerűsített példát.

Hagyja, hogy a bank 100 den-t tegyen. u évi 100% -kal. Ha a kamatpénzt csak az év vége után csatolják az állóeszközhöz, akkor erre az időpontra 100 den. u 200 den.é lesz.

Most lássuk mi lesz a 100 den. egységek, ha a kamatpénzt félévente rögzítik az alaptőkéhez. Hat hónap után 100 den. u növekednek 100 × 1,5 \u003d 150-ben, és további hat hónap elteltével - 150 × 1,5 \u003d 225-ben (denad egység). Ha a kapcsolat az év 1/3-án történik, akkor egy év után 100 den. u 100 × (1 +1/3) 3 »237 (denométeres egység) lesz.

Növeljük a kamatpénzhez való csatlakozás idejét 0,1 évre, 0,01 évre, 0,001 évre stb. Akkor a 100 den közül. u egy évvel később kiderül:

100 × (1 +1/10) 10 »259 (denométeres egység),

100 × (1 + 1/100) 100 ”270 (den. Egység),

100 × (1 + 1/1000) 1000 »271 (denad egység).

A kamathoz való csatlakozás idejének korlátlan lerövidítésével a felhalmozott tőke nem növekszik határozatlan ideig, hanem megközelíti a megközelítőleg 271-re eső bizonyos korlátot. A tőke több mint 2,71-szerese, évente 100% -ra helyezve, nem növekedhet, még akkor sem, ha az elhatárolt kamat egyesül a tőkével. második, mert

2.5. PéldaSzámítsa ki a funkciókorlátot

Határozat.

2.6. PéldaSzámítsa ki a funkciókorlátot .

Határozat.Helyettesítve megkapjuk a bizonytalanságot:

.

A trigonometrikus képlet segítségével a számlálót termékké alakítjuk:

Ennek eredményeként kapunk

A második figyelemre méltó határt itt vesszük figyelembe.

2.7. PéldaSzámítsa ki a funkciókorlátot

Határozat.

.

A típus bizonytalanságának felfedéséhez használhatja a L'Hospital szabályt, amely a következő tételen alapul.

Tétel.Két végtelenül kis vagy végtelenül nagy függvény arányának határa megegyezik a származékaik arányának határával

Vegye figyelembe, hogy ez a szabály egymás után többször is alkalmazható.

2.8. Példa  Megtalálni

Határozat.A helyettesítéskor típusbizonytalanság van. Lital szabályát használva kapjuk meg

A funkció folytonossága

A függvény fontos tulajdonsága a folytonosság.

Definíció.A funkció figyelembe vétele folyamatosha az argumentum értékének kis változása a függvény értékének kis változását vonja maga után.

Matematikailag ezt a következőképpen írják: mikor

A változók növekedésével, azaz a következő és az előző értékek közötti különbséggel érthető és megérthető: (2.3. Ábra)

2.3. Ábra - Változtatható növekedés

Az egy ponton folyamatos funkció meghatározásából az következik   . Ez az egyenlőség három feltétel teljesülését jelenti:

Határozat.A funkcióhoz   a pont gyanús egy törésnél, ellenőrizze ezt, keresse meg az egyirányú korlátokat

ezért   Means - töréspont

Származékos funkció