Keeruliste irratsionaalsete võrrandisüsteemide lahendus. Irratsionaalsete võrrandite lahendamise põhimeetodid

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja talletame. Lugege meie privaatsuseeskirju ja lisaküsimuste korral andke meile teada.

Isikliku teabe kogumine ja kasutamine

Isiklik teave tähendab andmeid, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Kui võtate meiega ühendust, võidakse teil igal ajal paluda esitada oma isiklik teave.

Allpool on toodud mõned näited selle kohta, millist tüüpi isiklikku teavet võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Millist isiklikku teavet me kogume:

• Kui jätate saidile taotluse, võime koguda mitmesugust teavet, sealhulgas teie nimi, telefoninumber, e-posti aadress jne.

Kuidas me teie isiklikku teavet kasutame:

• Kogutud isiklik teave võimaldab meil teiega ühendust võtta ja ainulaadsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmuste kohta aru anda.
• Aeg-ajalt võime teie isiklikku teavet kasutada oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
• Samuti võime kasutada isiklikku teavet sisemistel eesmärkidel, näiteks auditi, andmeanalüüsi ja mitmesuguste uuringute tegemiseks, et meie pakutavaid teenuseid parendada ja pakkuda teile meie teenuste kohta soovitusi.
• Kui osalete auhindade loosimisel, võistlusel või muul sarnasel reklaamüritusel, võime selliste andmete haldamiseks kasutada teie esitatud teavet.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teie käest saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, avaldab kohtusüsteem kohtumenetluses ja / või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate riigiasutuste avalike järelepärimiste või järelepärimiste põhjal teie isiklikku teavet. Võime avaldada teie kohta teavet ka siis, kui leiame, et selline avalikustamine on vajalik või asjakohane turvalisuse tagamiseks, seaduse ja korra säilitamiseks või muudel ühiskondlikult olulistel juhtudel.
• Saneerimise, ühinemise või müügi korral võime oma kogutud isikuandmed edastada kolmandale osapoolele, volitajale.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid - sealhulgas haldus-, tehnilisi ja füüsilisi -, et kaitsta teie isiklikku teavet kadumise, varguse ja väärkasutamise eest, samuti loata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Ettevõtte tasemel privaatsuse hoidmine

Teie isikliku teabe ohutuse tagamiseks edastame oma töötajatele konfidentsiaalsuse ja turvalisuse reeglid ning jälgime rangelt konfidentsiaalsusmeetmete rakendamist.

Valikaine metoodilised arengud

"Irratsionaalsete võrrandite lahendamise meetodid" "

SISSEJUHATUS

Kavandatud valikaine "Irratsionaalsete võrrandite lahendamise meetodid" on mõeldud põhikooli 11. klassi õpilastele ja on ainekeskne, eesmärgiga laiendada õpilaste teoreetilisi ja praktilisi teadmisi. Valikaine on üles ehitatud teadmiste ja oskuste põhjal, mille õpilased on omandanud keskkooli matemaatika õppimisel.

Selle kursuse eripära seisneb selles, et see on mõeldud eeskätt õpilastele, kes soovivad oma matemaatilisi teadmisi laiendada, süvendada, süstematiseerida, üldistada, õppida levinud meetodeid ja tehnikaid irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks. Programm sisaldab küsimusi, mis lähevad osaliselt kaugemale praegustest matemaatikaprogrammidest ja mittestandardsetest meetoditest, mis võimaldavad tõhusamalt lahendada erinevaid probleeme.

Enamik eksamiülesandeid nõuab lõpetajatelt mitmesuguste võrrandite ja nende süsteemide lahendamise erinevate meetodite valdamist.Võrrandite ja võrrandisüsteemidega seotud materjalid moodustavad olulise osa matemaatika koolikursusest. Valikaine teema valimise olulisuse määrab teema “Irratsionaalsed võrrandid” olulisus matemaatika koolikursusel ja samal ajal ajapuudus ebastandardsete meetodite ja lähenemisviiside kaalumiseks irratsionaalsete võrrandite lahendamisel, mis on leitud rühma “C” KASUTAMISE ülesannetes.

Koos matemaatika õpetamise ülesandega - üliõpilaste kindla ja teadliku meisterlikkuse tagamine matemaatiliste teadmiste ja oskuste süsteemiga - näeb see valikaine ette püsiva huvi tekkimist aine vastu, matemaatiliste võimete arendamist, tudengite matemaatilise kultuuri taseme tõstmist, loob aluse eksami edukaks sooritamiseks ja õpingute jätkamiseks ülikoolides .

Kursuse eesmärk:

Suurendada mõistmatuse ja praktilise väljaõppe taset irratsionaalsete võrrandite lahendamisel;

Uurida irratsionaalsete võrrandite lahendamise tehnikaid ja meetodeid;

Moodustada oskus analüüsida, põhiteema välja tuua, vormida loovotsingu elemendid üldistusvõtete alusel;

Laiendada õpilaste teadmisi sellel teemal, täiendada erinevate probleemide lahendamise oskusi eksami edukaks sooritamiseks.

Kursuse eesmärgid:

Algebraliste võrrandite lahendamise meetodite ja meetodite tundmise laiendamine;

10. – 11.klassides õppides ja eksamiks valmistumisel teadmiste üldistamine ja süstematiseerimine;

Teadmiste iseseisva omandamise ja rakendamise võime arendamine;

Õpilaste tutvustamine matemaatilise kirjandusega töötamisele;

Õpilaste loogilise mõtlemise, nende algoritmilise kultuuri ja matemaatilise intuitsiooni arendamine;

Õpilase matemaatilise kultuuri parandamine.

Valikainete programm hõlmab mitmesuguste meetodite ja lähenemisviiside uurimist irratsionaalsete võrrandite lahendamisel, praktiliste oskuste arendamist käsitletavatel teemadel. Kursus on mõeldud 17 tunniks.

Programm on keeruline, ületab tavapärast õppekava, soodustab abstraktse mõtlemise arengut, laiendab õpilase teadmiste ringi. Samal ajal säilitab see järjepidevust olemasolevate programmidega, olles nende loogiline jätk.

Õppekava-teemaplaan

№lk / lk

Klassi teema

Tundi

Võrrandite lahendamine, võttes arvesse lubatud väärtuste vahemikku

Irratsionaalsete võrrandite lahendamine loodusjõule tõstmisega

Võrrandite lahendamine lisamuutujate kasutuselevõtu abil (asendusmeetod)

Võrrandi lahendus kolmanda astme radikaaliga.

Identsed teisendused irratsionaalsete võrrandite lahendamisel

Ebatavalised ülesanded. Rühma C eksami ülesanded

Kontrolli vormid:kodukontroll, iseseisev töö, esseed ja uurimistöö.

Selle valikaine õpetamise tulemusel peaksid õpilased suutma lahendada mitmesuguseid irratsionaalseid võrrandeid, kasutades standardseid ja mittestandardseid meetodeid ja tehnikaid;

õppida algoritmi standardsete irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks;

oskama kasutada võrrandite omadusi mittestandardsete ülesannete lahendamisel;

oskama võrrandite lahendamisel sooritada identseid teisendusi;

omama selget ettekujutust ühtse riigieksami teemadest, nende lahendamise peamistest meetoditest;

saada kogemusi mittestandardsete probleemide lahendamise meetodite valimisel.

PÕHIOSA.

Võrrandid, milles tundmatu kogus on radikaali märgi all, nimetatakse irratsionaalne.

Lihtsamate irratsionaalsete võrrandite hulka kuuluvad vormi võrrandid:

Lahenduse põhiideeirratsionaalne võrrand koosneb selle redutseerimisest ratsionaalseks algebraliseks võrrandiks, mis on kas ekvivalentne algse irratsionaalse võrrandiga, või on selle tagajärg. Irratsionaalsete võrrandite lahendamisel on alati vaja leida tõelised juured.

Mõelge mõnele võimalusele irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks.

1. Irratsionaalsete võrrandite lahendus, võttes arvesse lubatud väärtuste vahemikku (ODZ).

Irratsionaalse võrrandi lubatud väärtuste vahemik koosneb tundmatutest väärtustest, mille puhul kõik avaldised, mis asuvad ühtlase kraadi radikaali all, on mittenegatiivsed.

Mõnikord võimaldab ODZ-i teadmine tõestada, et võrrandil pole lahendusi, ja mõnikord võite leida võrrandile lahendusi, asendades ODZ-st numbrid otse..

Näide 1 . Lahendage võrrand.

Otsus . Leides selle võrrandi ODZ, järeldame, et algse võrrandi ODZ on singleton . Asendaminex \u003d 2 selles võrrandis järeldame sellestx \u003d 2 Kas algse võrrandi juur.

Vastus : 2 .

Näide 2.

Võrrandil pole lahendusi, sest muutuja iga kehtiva väärtuse korral ei saa kahe mittenegatiivse arvu summa olla negatiivne.

Näide 3
+ 3 =
.

DLD:

ODZ võrrandid on tühi kogum.

Vastus: võrrandil pole juuri.

Näide 4. 3
−4
−
=−(2+
).

DLD:

DLD:
. Kontrollimisega kontrollime, kas x \u003d 1 on võrrandi juur.

Vastus: 1.

Toesta, et võrrandil pole

juured.

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

Lahendage võrrand.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+ (x + 3) (2005 - x) \u003d 0.

2. sisse võrrandi mõlema poole taandamine looduslikus astmes , see tähendab üleminekut võrrandist

(1)

võrrandisse

. (2)

Järgmised väited vastavad tõele:

1) mis tahes võrrandi (2) jaoks on võrrandi (1) tagajärg;

2) kui ( n On paaritu arv), siis võrrandid (1) ja (2) ) on samaväärsed;

3) kui ( n On paarisarv), siis võrrand (2) võrdub võrrandiga

, (3)

ja võrrand (3) võrdub võrrandite kogumiga

. (4)

Eelkõige võrrand

(5)

võrdub võrrandite kogumiga (4).

Näide 1. Lahendage võrrand

.

Võrrand on süsteemiga samaväärne

sellest järeldub, et x \u003d 1 ja juur ei rahulda teist ebavõrdsust. Pealegi ei vaja pädev lahendus kontrollimist.

Vastus:x \u003d 1.

Näide 2. Lahendage võrrand.

Selle süsteemi esimese võrrandi, mis võrdub võrrandiga, lahendamine , saame juured ja. Nende väärtuste juures x ebavõrdsus ei kehti ja seetõttu pole sellel võrrandil juuri.

Vastus: juured puuduvad.

Näide 3. Lahendage võrrand

Esimese radikaali ühendamisel saame võrrandi

samaväärne originaaliga.

Selle võrrandi mõlema poole ruutumisel, kuna mõlemad on positiivsed, saame võrrandi

,

mis on algse võrrandi tagajärg. Ruumides selle võrrandi mõlemad pooled, eeldusel, et jõuame võrrandisse

.

Sellel võrrandil on juured,. Esimene juur rahuldab algtingimust ja teine \u200b\u200bmitte.

Vastus: x \u003d 2.

Kui võrrand sisaldab kahte või enamat radikaali, võetakse need kõigepealt kinni ja seejärel ruuduga.

Näide 1

Pärast esimese radikaali ühendamist saame võrrandi, mis on samaväärne sellega. Võrrandi mõlemad küljed ruudukesed:

Pärast vajalike teisenduste lõpuleviimist ruutume saadud võrrandi ruuduga

Pärast kontrollimist märkame seda

ei kuulu kehtivate väärtuste vahemikku.

Vastus: 8.

Vastus: 2

Vastus: 3; 1.4.

3. Paljud irratsionaalsed võrrandid lahendatakse lisamuutujate sisestamisega.

Mugav viis irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks on mõnikord uue muutuja sisestamine või Msgstr "Asendusmeetod". Meetodit rakendatakse tavaliselt võrrandis mõni väljend esineb korduvaltsõltuvalt tundmatust kogusest. Siis on mõistlik seda väljendit mõne uue tähega tähistada ja proovida kõigepealt võrrand lahendada tutvustatud tundmatuga ja seejärel leida algne tundmatu.

Uue muutuja hea valik muudab võrrandi struktuuri läbipaistvamaks. Uus muutuja on mõnikord ilmne, mõnikord mõnevõrra looritatud, kuid "tuntav" ja mõnikord "avaldunud" ainult ümberkujundamise protsessis.

Näide 1

Las olla
t\u003e 0, siis

t \u003d
,

t2 + 5t-14 \u003d 0,

t 1 \u003d -7, t 2 \u003d 2. t \u003d -7 ei vasta siis tingimusele t\u003e 0

,

x 2 -2x-5 \u003d 0,

x 1 \u003d 1-
, x 2 \u003d 1 +
.

Vastus: 1-
; 1+
.

Näide 2 Lahendage irratsionaalne võrrand

Asendus:

Asendus Asendus: /

Vastus:

Näide 3 Lahendage võrrand .

Tehke asendeid:,. Algse võrrandi saab vormistada kujul, kust me selle leiame ja = 4b ja. Järgmisena tõsta võrrandi mõlemad pooled ruudus, saame: siit x \u003d 15. Jääb üle kontrollida:

- eks!

Vastus: 15.

Näide 4. Lahendage võrrand

Teisisõnu, saame palju lihtsama irratsionaalse võrrandi. Ruutme võrrandi mõlemad pooled:

; ;

; ; , .

Leitud väärtuste kontrollimine ja nende asendamine võrrandis näitab, mis on võrrandi juur ja kõrvaline juur.

Tagasi algse muutuja juurde x , saame võrrandi, see tähendab ruutkeskmise võrrandi, pärast lahendamist, millel on kaks juuri:,. Mõlemad juured vastavad algvõrrandile.

Vastus: , .

Asendamine on eriti kasulik, kui selle tulemusel saavutatakse uus kvaliteet, näiteks muutub irratsionaalne võrrand ratsionaalseks.

Näide 6. Lahendage võrrand.

Kirjutame võrrandi ümber järgmiselt:.

On näha, et kui tutvustate uut muutujat , siis võrrand saab järgmise kuju , kust - võõras juur ja.

Võrrandist, mille saame,.

Vastus: , .

Näide 7. Lahendage võrrand .

Tutvustame uut muutujat.

Selle tulemusel saab algne irratsionaalne võrrand ruudu kujul

,

kus, arvestades piirangut, me jõuame. Võrrandit lahendades saame juuri. Vastus: 2,5.

Ülesanded iseseisvaks lahenduseks.

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4. Kahe lisamuutuja sisestamise meetod.

Vormi võrrandid (siin a , b , c , d – mõned numbrid m , n – naturaalarvud) ja mitmeid muid võrrandeid saab sageli lahendada tutvustades kahte abistavat tundmatut: ja kus ja sellele järgnev üleminek samaväärne ratsionaalsete võrrandite süsteem.

Näide 1. Lahendage võrrand.

Selle võrrandi mõlema poole tõstmine neljandaks võimuks ei luba midagi head. Kui paneme, kirjutatakse algne võrrand ümber järgmiselt:. Kuna tutvustasime kahte uut tundmatut, peame leidma uue võrrandi, mis seostub y ja z . Selleks tõstame võrdsused neljandaks võimuks ja märgime selle üles. Niisiis, peame lahendama võrrandite süsteemi

Ruutumise teel saame:

Pärast asendamist on meil: või. Siis on süsteemil kaks lahendust:,; ,, ja süsteemil pole lahendusi.

Jääb lahendada kahe võrrandi süsteem ühe tundmatuga

ja süsteem Esimene neist annab, teine \u200b\u200bannab.

Vastus: , .

Näide 2

Las olla

Vastus:

5. Võrrandid kolmanda astme radikaaliga.
Kolmanda astme radikaale sisaldavate võrrandite lahendamisel on kasulik kasutada identiteetide liitmist:

Näide 1 .
Tõstame selle võrrandi mõlemad pooled 3. astmeni ja kasutame ülaltoodud identiteeti:

Pange tähele, et sulgudes olev avaldis on 1, mis tuleneb algsest võrrandist. Arvestades seda ja sarnaste tingimustega, saame:
Avame sulgud, anname sarnased terminid ja lahendame ruutvõrrandi. Selle juured ja. Kui eeldame (definitsiooni järgi), et paaritu juure saab ka negatiivsetest arvudest eraldada, siis on mõlemad saadud arvud algse võrrandi lahendid.
Vastus:.

6. Võrrandi mõlema osa korrutamine avaldisega, mis on konjugeeritud ühega neist.

Mõnikord on irratsionaalset võrrandit võimalik üsna kiiresti lahendada, kui selle mõlemad osad korrutatakse hästi valitud funktsiooniga. Muidugi, kui võrrandi mõlemad osad korrutatakse mõne funktsiooniga, võivad ilmneda kõrvalised lahendused, need võivad olla selle funktsiooni enda nullid. Seetõttu nõuab kavandatud meetod saadud väärtuste kohustuslikku uurimist.

Näide 1 Lahendage võrrand

Otsus: Valige funktsioon

Korrutage võrrandi mõlemad pooled valitud funktsiooniga:

Anname sarnased terminid ja saame samaväärse võrrandi

Lisage algne võrrand ja viimane, saamegi

Vastus: .

7. Identsed teisendused irratsionaalsete võrrandite lahendamisel

Irratsionaalsete võrrandite lahendamisel tuleb sageli kasutada identseid teisendusi, mis on seotud tuntud valemite kasutamisega. Kahjuks on need toimingud mõnikord sama ohtlikud, nagu ka ühtlase tõstmise korral, võivad otsused olla omandatud või kaotatud.

Mõelge mitmetele olukordadele, kus need probleemid ilmnevad, ja õppige neid ära tundma ning ennetama.

I. Näide 1. Lahendage võrrand.

Otsus.Valem on siin kohaldatav .

On vaja mõelda ainult selle kasutamise ohutusele. On lihtne mõista, et selle vasakul ja paremal osal on erinevad määratlusvaldkonnad ja see võrdsus on tõene ainult tingimusel. Seetõttu on algne võrrand süsteemiga samaväärne

Selle süsteemi võrrandit lahendades saame juured ja. Teine juur ei rahulda süsteemi ebavõrdsuste komplekti ja on seetõttu algse võrrandi kõrvaljuur.

Vastus: -1 .

II . Järgmine ohtlik teisendus irratsionaalsete võrrandite lahendamisel määratakse valemiga.

Kui kasutate seda valemit vasakult paremale, laieneb ODZ ja saate osta kõrvalisi lahendusi. Tõepoolest, vasakul küljel peavad mõlemad funktsioonid olema mittenegatiivsed; ja paremal peaks mittenegatiivne olema nende toode.

Vaatleme näidet, kus probleemi rakendatakse valemi abil.

Näide 2. Lahendage võrrand.

Otsus. Proovime selle võrrandi lahendada faktooringuga

Märgime, et selle toimingu käigus osutus lahendus kaotatuks, kuna see sobib algvõrrandiga ja ei vasta enam tulemusele: sellel pole mõtet. Seetõttu saab selle võrrandi kõige paremini lahendada tavalise ruutumisega

Selle süsteemi võrrandit lahendades saame juured ja. Mõlemad juured rahuldavad süsteemi ebavõrdsust.

Vastus: , .

III Toimub veelgi ohtlikum tegevus - vähendamine ühise teguri abil.

Näide 3. Lahendage võrrand .

Vale mõttekäik: vähendame võrrandi mõlemad pooled, saame .

Selles tegevuses pole midagi ohtlikumat ja valet. Esiteks kaotati algvõrrandile sobiv lahendus; teiseks omandati kaks kõrvalist otsust. Selgub, et uuel võrrandil pole algsest midagi pistmist! Anname õige lahenduse.

Otsus. Liigutage kõik mõisted võrrandi vasakule küljele ja arvestage seda

.

See võrrand on süsteemiga samaväärne

millel on ainus lahendus.

Vastus: 3 .

JÄRELDUS

Valikaine õppetöö osana näidatakse keerukate probleemide lahendamise mittestandardseid meetodeid, mis arendavad edukalt loogilist mõtlemist, oskust leida paljude võimaluste hulgast lahendus ühele, mis on õpilasele mugav ja ratsionaalne. See kursus nõuab õpilastelt palju iseseisvat tööd ning aitab õpilastel ettevalmistusi oma haridustee jätkamiseks ja matemaatilise kultuuri taseme tõstmiseks.

Kaaluti peamisi irratsionaalsete võrrandite lahendamise meetodeid, mõningaid lähenemisi kõrgema astme võrrandite lahendamiseks, mille kasutamine peaks lahendama eksami ülesandeid, samuti ülikoolidesse sisenemisel ja matemaatikaõppe jätkamisel. Samuti avalikustati irratsionaalsete võrrandite lahendamise teooriaga seotud põhimõistete ja väidete sisu. Olles tuvastanud kõige tavalisema võrrandite lahendamise meetodi, avastasime selle rakendamise standard- ja mittestandardsetes olukordades. Lisaks kaaluti identsete teisenduste teostamisel tüüpilisi vigu ja nende ületamist.

Kursuse ajal on õpilastel võimalus omandada erinevaid meetodeid ja tehnikaid võrrandite lahendamiseks, õppides samal ajal süstematiseerima ja sünteesima teoreetilist teavet, tegelema iseseisvalt mõnele probleemile lahenduste otsimisega ning sellega seoses koostada nendel teemadel mitmeid ülesandeid ja harjutusi. Keeruka materjali valik aitab õpilastel end teadustegevuses tõestada.

Kursuse positiivne külg on võimalus uuritud materjali õpilaste poolt eksami sooritamisel edasi kasutada, ülikooli sisseastumisel.

Negatiivne külg on see, et enamus ülesannete keerukuse tõttu ei ole kõik õpilased võimelised õppima kõiki selle kursuse tehnikaid, isegi soovi korral.

KIRJANDUS:

Sharygin I.F. „Matemaatika ülikoolidesse kandideerijatele.“ - 3. trükk, - M .: Drofa, 2000.

Võrrandid ja ebavõrdsused. Kasutusjuhend./ Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. –M .: eksam, 1998.

Tšerkasov O.Yu., Yakushev A.G. "Matemaatika: intensiivne eksami ettevalmistamise kursus." - 8. väljaanne, rev. ja lisage. - M .: Iris, 2003. - (koduõpetaja)

Balayan E.N. Matemaatika eksami põhjalikud harjutused ja treeningharjutused. Rostov-na-Don: Phoenixi kirjastus, 2004.

Scanavi M.I. "Matemaatika probleemide kogum ülikoolidesse kandideerijate jaoks." - M., "Kõrgem kool", 1998.

Igusman O.S. "Matemaatika suulisel eksamil." - M., Iris, 1999.

Eksamimaterjalid eksamiks valmistumiseks - 2008 - 2012.

VV Kochagin, M. N. Kochagina "Ühtne riigieksam - 2010. Matemaatika. Juhendaja »Moskva" Valgustusaeg "2010

V. A. Gusev, A. G. Mordkovich “Matemaatika. Teatmematerjalid "Moskva" haridus "1988

Tunni kokkuvõte

"Irratsionaalsete võrrandite lahendamise meetodid"

11. klassi füüsiline ja matemaatiline profiil.

Tatarstani Vabariigi Zelenodolsky linnaosa "

Valieva S.Z.

Tunni teema: Irratsionaalsete võrrandite lahendamise meetodid

Tunni eesmärk: 1. Uurida irratsionaalsete võrrandite lahendamise erinevaid viise.

1. 
   Arendada üldistamisvõimet, õigesti valida meetodeid irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks.
2. 
   Arendada iseseisvust, parandada kõneoskust

Õppetunni tüüp:seminar.
Tunniplaan:

1. 
   Aja korraldamine
2. 
   Uue materjali õppimine
3. 
   Kinnitus
4. 
   Kodutöö
5. 
   Tunni kokkuvõte

Tundide ajal
Mina. Aja korraldamine: tunni teema sõnum, tunni eesmärgid.

Eelmises õppetunnis vaatasime ruutjuurt sisaldavate irratsionaalsete võrrandite lahendamist nende ruutumise teel. Sel juhul saame tagajärjevõrrandi, mis viib mõnikord kõrvaliste juurte ilmumiseni. Ja siis on võrrandi lahendamise kohustuslik osa juurte kontrollimine. Samuti kaalusime võrrandite lahendust, kasutades ruutjuure määratlust. Sel juhul võib kontrolli ära jätta. Võrrandite lahendamisel ei tohiks aga alati võrrandi lahendamiseks kohe algoritmide "pimedat" rakendamist alustada. Ühtse riigieksami ülesannetes on üsna palju võrrandeid, mille lahendamisel tuleb valida lahendusmeetod, mis võimaldab võrrandeid lahendada lihtsamalt, kiiremini. Seetõttu on vaja teada muid irratsionaalsete võrrandite lahendamise meetodeid, millega täna kohtume. Varem oli klass jagatud 8 loominguliseks rühmaks ja neile toodi konkreetseid näiteid konkreetse meetodi olemuse selgitamiseks. Me anname neile sõna.

II. Uue materjali õppimine.

Igast grupist selgitab 1 õpilane poistele, kuidas lahendada irratsionaalseid võrrandeid. Terve klass kuulab ja tutvustab oma lugu.

1 viis. Uue muutuja kasutuselevõtt.

Lahendage võrrand: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, t ≥0

x2 - 2x - 6 \u003d t2;

4t 2 - 3t - 27 \u003d 0

x 2 - 2x - 15 \u003d 0

x2 - 2x - 6 \u003d 9;

Vastus: -3; 5

2 viisil. DLD-uuring.

Lahendage võrrand

DLD:


x \u003d 2. Kontrollides, kas x \u003d 2 on võrrandi juur.

3 viisil. Võrrandi mõlema poole korrutamine konjugeeritud teguriga.

+
(korrutage mõlemad pooled -
)

x + 3 - x - 8 \u003d 5 (-)

2 \u003d 4, seega x \u003d 1. Kontrollimisega kontrollime, kas x \u003d 1 on selle võrrandi juur.

4 viisil. Võrrandi redutseerimine süsteemiks muutuja lisamisega.

Lahendage võrrand

Olgu \u003d u,
\u003d v.

Me saame süsteemi:

Lahendame asendusmeetodi abil. Me saame u \u003d 2, v \u003d 2. Seetõttu

saame x \u003d 1.

Vastus: x \u003d 1.

5 viisil. Täisruudu valik.

Lahendage võrrand

Me avalikustame moodulid. Sest -1≤Сos0,5x≤1, siis -4≤Сos0,5x-3≤-2, mis tähendab. Samamoodi

Siis saame võrrandi

x \u003d 4πn, nZ.

Vastus: 4πn, nZ.

6 viisil. Hindamismeetod

Lahendage võrrand

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, määratluse järgi on parem külg x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

saame
neid. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 \u003d 0. Lahendades võrrandi faktooringuga, saame x \u003d 2, x \u003d -2

7. meetod: monotoonsete funktsioonide omaduste kasutamine.

Lahendage võrrand. Funktsioonid suurenevad rangelt. Kasvavate funktsioonide summa kasvab ja sellel võrrandil pole rohkem kui üks juur. Valiku järgi leiame x \u003d 1.

8 viisi. Vektorite kasutamine.

Lahendage võrrand. ODZ: -1≤x≤3.

Las vektor
. Vektorite skalaarkorrutis on vasak pool. Leidke toode nende pikkuse järgi. See on õige osa. Vastu võetud
, s.t. vektorid a ja b on kollineaarsed. Siit
. Me ruudu mõlemad pooled. Võrrandit lahendades saame x \u003d 1 ja x \u003d
.

1. 
   Kinnitus.(ülesande lehed jagatakse igale õpilasele)

Frontaalne suuline töö

Leidke idee võrrandite lahendamiseks (1-10)

1.
(DLD - )

2.
x \u003d 2

3.x 2 - 3x +
(asendamine)

4. (täisruudu valik)

5.
(Võrrandi redutseerimine süsteemiks muutuja lisamisega.)

6.
(korrutades konjugeeritud avaldisega)

7.
sest
. Sellel võrrandil pole juuri.

8. Alates iga termin on mittenegatiivne, võrdsustage need nulliga ja lahendage süsteem.

9. 3

10. Leidke võrrandi juur (või juurte korrutis, kui neid on mitu).

Kirjalik iseseisev töö koos hilisema kontrollimisega

lahenda võrrandid nummerdatud 11,13,17,19

Lahendage võrrandid:

12. (x + 6) 2 -

14.

Hindamismeetod

Funktsioonide monotoonsuse omaduste kasutamine.

Vektorite kasutamine.

1. 
   Milliseid neist meetoditest kasutatakse teist tüüpi võrrandite lahendamiseks?
2. 
   Milline neist meetoditest meeldis teile kõige rohkem ja miks?

1. 
   Kodutöö: lahendage ülejäänud võrrandid.

Bibliograafia:

1. 
   Algebra ja matemaatilise analüüsi algus: õpik. 11 kl. Üldharidus. asutused / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin. M: Valgustumine, 2009

1. 
   Algebra kohta käivad didaktilised materjalid ja 11. klassi analüüsi põhimõtted / B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwarzburd. - M.: Haridus, 2003.
2. 
   Mordkovitš A. G. Algebra ja analüüsi algus. 10–11 lahtrit: üldhariduse probleemide raamat. asutused. - M .: Mnemosyne, 2000.
3. 
   Ershova A. P., Goloborodko V. V. 10–11 klasside iseseisev ja kontrolltöö algebral ning analüüsiprintsiibid. - M .: Ileksa, 2004
4. 
   KIMI KASUTAMINE 2002 - 2010

6. Algebraline simulaator. A. G. Merzlyak, V. B. Polonsky, M.S. Yakir. Toetus üliõpilastele ja taotlejatele. Moskva .: "Ilexa" 2001
7. Võrrandid ja ebavõrdsused. Mittestandardsed lahendusmeetodid. Õppemetoodiline käsiraamat. 10 - 11 klassi. S. N. Oleinik, M.K. Potapov, P.I.Pasichenko. Moskva. "Rästik". 2001

Õppetöötuba "Irratsionaalsete võrrandite lahendamise meetodid"

Kornyushina Tatjana Anatoljevna

Eesmärk:

Süstematiseerida irratsionaalsete võrrandite lahendamise meetodeid.

Edendada irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks ratsionaalseimate meetodite valimise võime kujunemist.

Parandage irratsionaalsete võrrandite lahendamise põhimeetodid:

Meetod võrrandi mõlema poole tõstmiseks samale astmele;

Uue muutuja tutvustamise meetod.

Tuletage meelde ebastandardseid meetodeid irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks.

Laual:

Võrrandite loetelu (III ja IV tahvli keskosas)

Iseseisev töö (kinnine juhatus I ja VI)

Mõlema laua peal: märkmik-loeng, märkmik-töötuba, leht iseseisvaks tööks;

Rühma töölaudadel: A4 leht ja marker.

Tundide ajal

1. Tunni etapp

U. Poisid, me uurime teemat “Kraadi mõiste üldistamine”. Oleme juba süstematiseerinud ja üldistanud teadmisi teemadel “n-nda astme juur ja selle omadused”, “kraad ratsionaalse indikaatoriga”.

Ja täna on meie eesmärgid järgmised: üldistada teadmisi teemal “Irratsionaalsed võrrandid”, korrata nende lahendamise meetodeid ja õppida valima kõige mõistlikumad irratsionaalsete võrrandite rühmale.

Q. Poisid, pidagem meeles: milliseid võrrandeid nimetatakse irratsionaalseteks?

A. Irratsionaalsed võrrandid on need, milles muutuja asub radikaali märgi all või muutuja tõstetakse murdarvu.

C. Sõnastage algoritm irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks.

O. (Poisid sõnastavad algoritmi ja õpetaja riputab selle V pardale).

Algoritm

Leia DLD

Tõstke võrrandi mõlemad pooled samale astmele

Lahendage saadud võrrand

Tehke tšekk

U. Kuid irratsionaalsete võrrandite lahendamine on võimalik mitte ainult algoritmi abil. Nende lahendamiseks on veel võimalusi.

C. Milliseid meetodeid te tunnete irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks?

O. (kutsutakse õpilasi ja õpetaja riputab ülaltoodud järjekorras üles II tahvlil asuva nimega tahvelarvutid, kuid kui õpilastelt saadakse vastuseid)

Irratsionaalsete võrrandite lahendamise meetodid

Radikaali üksindus (tõuseb samal määral)

Tutvustame uut muutujat

Korrutamine konjugeeritud ekspressiooniga

Pilgu meetod

Kuubikradikaale sisaldavad võrrandid

Võrrandid, mis on taandatavad moodulitega võrranditeks

Ulatuse ja ulatuse uurimine

Samaväärsete üleminekute meetod (süsteemile üleminek)

2. Tunni etapp

U. Räägime ühest peamisest viisist irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks - juure üksinduse meetodist.

Poisid, täna õpime tunnis paarikaupa ja ühendame paarid rühmadesse vastavalt järgmisele põhimõttele: sarja esimesed töölauad (3 paari) - 1 rühm; ridade teine \u200b\u200btöölaud (3 paari) - 2 rühma; kolmanda rea \u200b\u200blauad (3 paari) - 3 rühma; neljanda rea \u200b\u200blauad (3 paari) - 4 rühma.

Märge! Kui paarisuhtes on keeruline töötada, saab ta oma rühmas abi-nõuandeid. Selleks tõuse lihtsalt üles ja mine ükskõik millise paari juurde. Kas kõik on selge? Kas küsimusi on?

U. Niisiis, kaalume esimest võimalust irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks ja mõne selle tunnuse iseloomustamiseks.

Alustame võrrandite lahendamisega (tabel IV).

3
nõuanded igale tahvli rühmale. Teil on 5 minutit.

U. Arutame lahendust.

B. 1 samm. Mida tegi 1 rühm?

A. Nihutas terminit paremale.

K. Mida tegi teine \u200b\u200bgrupp?

K. Mida kolmas rühm tegi?

Q. Neljas grupp, kas täitsite selle sammu?

INFO . Ei (Kui vastused saabuvad, täidab õpetaja laua tahvli: “+” - jah; “-” - ei).

K. Mida tegi 1 rühm?

A. Võrrandi mõlemad pooled ruudus (samad 2 ja 3 rühma).

K. Mida tegi 4. rühm?

O. nr 4 püstitatud kuup. Nr 5 ehitati.

K. Miks?

A. Juure väärtus ei vasta n-nda astme aritmeetilise juura määratlusele.

Järeldus: võrrandil 5 pole juuri.

U. Tähelepanu! On mõistlik pöörata tähelepanu algoritmi 1. etapile: leida ODZ.

K. Mida olete teinud?

A. Lahendage saadud võrrandid.

K. Mitu juurt saadi otsuse tegemise ajal?

1 rühm - 2 juurt;

2 rühma - 2 juurt;

3 rühma - 2 juurt;

4 rühma - 2 juurt;

K. Milline on järgmine 4 sammu?

A. Tehke kontroll.

B. Auditi käigus tehti kindlaks, et irratsionaalses võrrandis on 1 rühm ..?

O. 2 juurt.

U. Kas teil on 2 rühma?

A. Järele on jäänud 1 juur.

U. Kas teil on kolmas rühm?

O. 1 juur

U. 4 grupp?

A. Te ei saanud verifitseerimist teha, sest kui võrrandi mõlemad pooled tõstetakse samale paaritule astmele, saame võrrandi, mis on sama.

U. Vastuste kontrollimine!

Nr 5 - juured puuduvad

3. Tunni etapp

U. Tunni alguses saime teada, et irratsionaalsete võrrandite lahendamine ühel viisil pole ainus.

C. Proovige ära arvata: kuidas saate lahendada tahvlile kirjutatud võrrandid?

Ülesanne: kopeerige need märkmikku ja pange meetodi number tingimuse kõrvale. Arutame paarikaupa!

K. Milliseid meetodeid valisite? 1 võrrand? 2? 3? 4? 5? 6? 7? 8? (Vaata III tahvlit), (kirjutan meetodid õpilaste diktsiooni all üles).

U. Mis tahes irratsionaalset võrrandit saab lahendada erineval viisil, nii et meie ülesandeks järgmises õppetunnis on õppida, kuidas valida kõige ratsionaalsemad meetodid irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks.

Ja täna võtame näiteks võrrandi 4 ja lahendame selle esimesel neljal viisil ja proovime kodus seda lahendada muul viisil (kui võimalik).

1 rühm otsustab ühel viisil; 2 rühma otsustab kahel viisil; 3 rühma otsustab kolmel viisil; 4 rühma otsustab 4 viisil. (Otsuses registreeritakse A4-formaadis A4-formaadis üks rühm isikut markeriga, ülejäänud rühma liikmed otsustavad ja valmistuvad otsust kommenteerima).

Valmislahendused riputatakse magnetitega tahvlile.

K. Millist järgmistest lahendustest peate ratsionaalsemaks? (Hääletama)

U. Nad ei saanud kindlat vastust.

4. Tunni etapp

U. Tahaksin meenutada 12. sajandi India matemaatiku Bhaskara sõnu: „Teadmiste säde süüdatakse selles, kes saavutab mõistmise iseseisvalt”.

Las see teadmiste säde aitab teil iseseisva tööga hakkama saada.

U. Kodutöö märkmikus. Tänan õppetunni eest.

Lk
1. lisa

Lk
rover:

1 \u003d 1, tõsi, 0 on võrrandi juur

0 \u003d 0, tõsi, 1 on võrrandi juur

Irratsionaalsete võrrandite lahendamise meetodid.

Tunni eelnev ettevalmistamine: õpilased peaksid suutma irratsionaalseid võrrandeid lahendada mitmel viisil.

Kolm nädalat enne seda tundi saavad õpilased kodutöö number 1: lahendage mitmesugused irratsionaalsed võrrandid. (Õpilased leiavad iseseisvalt 6 erinevat irratsionaalset võrrandit ja lahendavad need paaridena.)

Nädal enne seda tundi saavad õpilased kodutöö number 2, mis täidetakse individuaalselt.

1. Lahendage võrrand erinevatel viisidel.

2. Hinnake iga meetodi eeliseid ja puudusi.

3. Tehke järeldused tabeli kujul.

№ lk / lk	Tee	Eelised	miinused

Tunni eesmärgid:

Haridus:õpilaste selleteemaliste teadmiste üldistamine, mitmesuguste irratsionaalsete võrrandite lahendamise meetodite demonstreerimine, õpilaste võrrandite lahendamise oskused uurimistöö vaatenurgast.

Haridus: iseseisvusharidus, oskus teisi kuulata ja rühmades suhelda, suurendades huvi selle teema vastu.

Arendamine: loogilise mõtlemise arendamine, algoritmiline kultuur, enesekasvatuse, enesekorralduse oskused, kodutööde tegemisel paarikaupa töö, oskus analüüsida, võrrelda, üldistada, järeldusi teha.

Varustus: arvuti, projektor, ekraan, tabel “Irratsionaalsete võrrandite lahendamise reeglid”, M.V. Lomonosov “Matemaatikat tuleks õpetada siis, et see paneks mõistuse korda”, kaardid.

Irratsionaalsete võrrandite lahendamise reeglid.

Õppetunni tüüp: tund-seminar (töö 5-6-liikmelistes gruppides, igas rühmas peavad olema tugevad õpilased).

Tundide ajal

Mina . Aja korraldamine

(Tunni teemad ja tunni eesmärgid)

II . Uurimistöö “Irratsionaalsete võrrandite lahendamise meetodid” tutvustus

(Töö esitas üliõpilane, kes selle läbi viis.)

III . Kodutööde lahendamise meetodite analüüs

(Üks õpilane igast rühmast kirjutab tahvlile pakutud lahendused. Iga rühm analüüsib ühte lahendust, hindab tugevusi ja nõrkusi, teeb järeldusi. Vajaduse korral täiendavad rühmade õpilased. Hinnatakse rühma analüüsi ja järeldusi. Vastused peaksid olema selged ja täielik.)

Esimene meetod: võrrandi mõlema poole tõstmine samale tasemele koos järgneva kontrollimisega.

Otsus.

Ja jälle ruuduke võrrandi mõlemad küljed ruutudeks:

Siit

Kontrollimine:

1. Kuix \u003d42 siistähendab arvu42 ei ole võrrandi juur.

2. Kuix \u003d2 siistähendab arvu2 on võrrandi juur.

Vastus:2.

№ lk / lk	Tee	Eelised	miinused
	Võrrandi mõlema poole tõstmine samale astmele	1. Ma näen. 2 saadaval.	1. Suuline sisestus. 2. Kompleksne kontrollimine.

Järeldus. Irratsionaalsete võrrandite lahendamisel võrrandi mõlemad pooled samal tasemel tõstes tuleb hoida sõnalist arvestust, mis muudab lahenduse selgeks ja juurdepääsetavaks. Kohustuslik kontrollimine on aga mõnikord keeruline ja aeganõudev. Seda meetodit saab kasutada 1-2 radikaali sisaldavate lihtsate irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks.

Teine viis: samaväärsed teisendused.

Otsus:Võrrandi mõlemad küljed ruudukesed:

Vastus:2.

№ lk / lk	Tee	Eelised	miinused
	Ekvivalentsed teisendused	1. Sõnalise kirjelduse puudumine. 2. Kontrolli pole. 3. Kustuta loogiline rekord. 4. Samaväärsete üleminekute jada.	1. Mahukas salvestus. 2. Viga saate teha süsteemi märkide ja terviklikkuse kombinatsiooni abil.

Järeldus. Irratsionaalsete võrrandite lahendamisel samaväärsete üleminekute meetodil peate selgelt teadma, millal süsteemi märk panna ja millal - tervik. Kirje kohmakus, erinevad süsteemimärkide ja agregaatide kombinatsioonid põhjustavad sageli vigu. Selle meetodi vaieldamatud eelised on aga samaväärsete üleminekute jadad, selge loogiline kirje ilma verbaalse kirjelduseta, mis ei vaja kontrollimist.

Kolmas meetod: funktsionaalne-graafiline.

Otsus.

Mõelge funktsioonidele ja.

1. Funktsioon eksponentsiaalne; kasvab, kuna eksponent on positiivne (mitte täisarv) arv.

D (f).

Teeme väärtuste tabelixjaf( x).

	1,5		3,5
f (x)

2. Funktsioon eksponentsiaalne; väheneb.

Funktsiooni määratluse domeeni otsimineD( g).

Teeme väärtuste tabelixjag( x).

g (x)

Konstrueerime need funktsioonide graafikud ühes koordinaatsüsteemis.

Funktsioonide graafikud ristuvad abstsissidega Sest funktsioonif( x) suureneb ja funktsioneeribg( x) väheneb, siis on võrrandile ainult üks lahendus.

Vastus: 2.

№lk / lk	Tee	Eelised	miinused
	Funktsionaalne graafika	1. Nähtavus. 2. Pole vaja teha keerukaid algebralisi teisendusi ja jälgida DLD-d. 3. Võimaldab leida lahenduste arvu.	1. suuline sisestus. 2. Täpset vastust ei ole alati võimalik leida, kuid kui vastus on täpne, on vaja kontrollida.

Järeldus. Funktsionaalne-graafiline meetod on visuaalne, see võimaldab teil leida lahenduste arvu, kuid parem on seda kasutada siis, kui on lihtne joonistada vaadeldavaid funktsioone ja saada täpne vastus. Kui vastus on umbkaudne, on parem kasutada mõnda muud meetodit.

Neljas viis: uue muutuja tutvustamine.

Otsus.Tutvustame uusi muutujaid Saame süsteemi esimese võrrandi

Koostame süsteemi teise võrrandi.

Muutuja jaoks:

Muutuja jaoks

seetõttu

Saame kahe ratsionaalse võrrandi süsteemi: ja

Tulles tagasi muutuja juurdesaame

Tutvustame uut muutujat

Lihtsustamine - radikaalideta võrrandisüsteemi saamine

1. Vajadus jälgida uute muutujate DLD-d

2. Vajadus naasta algse muutuja juurde

Järeldus. Seda meetodit saab kõige paremini kasutada irratsionaalsete võrrandite korral, mis sisaldavad erineva astmega radikaale või samu polünoome juure märgi all ja juure märgi taga või vastastikuseid väljendeid juure märgi all.

- Niisiis, kutid, peate iga irratsionaalse võrrandi jaoks valima selle lahendamiseks kõige mugavama viisi: arusaadav. Taskukohane, loogiliselt ja asjatundlikult kujundatud. Tõstke oma käsi üles, kumb teist eelistaks:

1) meetod, mille abil võrrandi mõlemad pooled tõstetakse samale tasemele kontrollimisega;

2) ekvivalentsete teisenduste meetod;

3) funktsionaalne graafiline meetod;

4) uue muutuja sisestamise meetod.

IV . Praktiline osa

(Töö rühmadena. Iga õpilaste rühm saab võrrandiga kaardi ja lahendab selle märkmikutes. Sel ajal lahendab üks rühma esindaja tahvlil näite. Mõlema rühma õpilased lahendavad sama näite kui oma rühma liige ja jälgivad selle õiget rakendamist. ülesanded tahvlil.Kui tahvlile vastaja teeb vigu, siis tõstab see, kes neid märkab, käe tõstma ja aitab seda parandada. Tunni ajal peaks iga õpilane lisaks oma rühma lahendatud näitele märkmikusse märkima ka ülejäänud gruppidele soovitatud ja neid kodus lahendama. .)

1. rühm.

2. rühm

3. rühm.

V . Iseseisev töö

(Arutelu toimub kõigepealt rühmades ja seejärel hakkavad õpilased ülesannet täitma. Ekraanile kuvatakse õpetaja koostatud õige otsus.)

VI . Tunni kokkuvõte

Nüüd teate, et irratsionaalsete võrrandite lahendamine nõuab häid teoreetilisi teadmisi, oskust neid praktikas rakendada, tähelepanu, rasket tööd ja kiiret nutikust.

Kodutöö

Lahendage tunni ajal rühmade jaoks välja pakutud võrrandid.