Matanalüüs on funktsiooni piir. Piirteooria

Tüübi ja liigi määramatused on levinumad määramatused, mis tuleb piiride lahendamisel avalikustada.

Enamik ülesandeid, mis õpilastega kokku puutub, kannavad lihtsalt sellist ebakindlust. Nende avalikustamiseks või täpsemalt ebakindluste vältimiseks on piirimärgi all oleva väljendi tüübi muutmiseks mitmeid kunstlikke tehnikaid. Need meetodid on järgmised: lugeja ja nimetaja jagamine muutuja kõrgeima astmega, korrutamine konjugaadi avaldisega ja faktoriseerimine järgnevaks redutseerimiseks, kasutades ruutkeskmise võrrandite lahendusi ja lühendatud korrutamise valemeid.

Liigi ebakindlus

Näide 1

n  võrdub kahega. Seetõttu jagage lugeja ja nimetaja:

.

Kommentaar väljendi paremal küljel. Nooled ja numbrid näitavad, mida murdosa pärast asendamist otsib n  lõpmatuse väärtused. Siin, nagu näites 2, kraad n  nimetajas on rohkem kui lugejas, mille tagajärjel kipub kogu murdosa jõudma lõpmatu väärtuseni või "üliväikese arvuni".

Saame vastuse: lõpmatuseni kalduva muutuja selle funktsiooni piir on võrdne.

Näide 2 .

Lahendus. Siin on muutuja kõrgeim aste x  on võrdne 1. Seetõttu jagage lugeja ja nimetaja arvuga x:

Kommentaar otsuse käigu kohta. Lugejas liigume tähega X kolmanda astme juure all ja nii, et selle algkraad (1) jääb muutumatuks, määrake sellele sama aste, mis juur, see on 3. Laskurit ja lisanumbreid selles kirjes enam pole, seega proovige vaimselt, kuid analoogselt eelmise näitega, et kindlaks teha, millised väljendid lugejas ja nimetajas kipuvad olema, kui asendada "x" asemel lõpmatus.

Saime vastuse: lõpmatuseni kalduva muutuja selle funktsiooni piir on null.

Liigi ebakindlus

Näide 3Paljastage ebakindlus ja leidke piir.

Lahendus. Lugejas on kuupide erinevus. Jaotame selle teguriteks, kasutades kooli matemaatika kursuse lühendatud korrutamise valemit:

Nimetaja on ruutkeskmine trinomiaal, mida me arvestame ruutkeskmise võrrandi lahendamisega (taas kord viide ruutkeskmise võrrandi lahendile):

Kirjutame ümber teisenduste tulemusel saadud avalduse ja leiame funktsiooni piiri:

Näide 4  Paljastage ebakindlus ja leidke piir

Lahendus. Jaotise piirteoreem ei ole siin kohaldatav, kuna

Seetõttu teisendame murdosa identselt: korrutades lugeja ja nimetaja binominaalse konjugaadiga nimetajaks ja vähendame x  +1 Teoreemi 1 järelduse kohaselt saame avalduse, mille lahendades leiame soovitud piiri:

Näide 5  Paljastage ebakindlus ja leidke piir

Lahendus. Otsene asendamine x  \u003d 0 antud funktsiooni korral põhjustab vormi 0/0 määramatuse. Selle paljastamiseks viime läbi identsed teisendused ja saame tulemuseks soovitud piiri:

Näide 6  Arvuta

Lahendus:  kasutame piiriteoreeme

Vastus on: 11

Näide 7  Arvuta

Lahendus:  selles näites on lugeja ja nimetaja piirid 0:

;   . Seetõttu ei saanud teoreemi jagatise piiril kohaldada.

Jagame lugeja ja nimetaja teguriteks, et murdarvu vähendada tavalise koefitsiendiga, mis kipub olema , ja seetõttu on võimalik teoreemi 3 rakendada.

Me lagundame ruudukujulise trinoomi lugejas valemi järgi, kus x 1 ja x 2 on trinomi juured. Faktooringu ja nimetaja abil vähendame murdosa (x-2) võrra, seejärel rakendame teoreemi 3.

Vastus on:

Näide 8  Arvuta

Lahendus:  Kui lugeja ja nimetaja kipuvad lõpmatuseni, saame teoreemi 3 otse rakendades avalduse, mis tähistab ebakindlust. Sellistest ebakindlustest vabanemiseks tuleks lugeja ja nimetaja jagada argumendi kõrgeimaks astmeks. Selles näites peate jagama x:

Vastus on:

Näide 9  Arvuta

Lahendus: x 3:

Vastus on: 2

Näide 10  Arvuta

Lahendus:  Kui lugeja ja nimetaja kipuvad lõpmatuseni. Jagage lugeja ja nimetaja argumendi kõrgeima astmega, s.t. x 5:

=

murdosa lugeja kipub olema 1, nimetaja nulli, nii et murdosa kaldub lõpmatuseni.

Vastus on:

Näide 11  Arvuta

Lahendus:  Kui lugeja ja nimetaja kipuvad lõpmatuseni. Jagage lugeja ja nimetaja argumendi kõrgeima astmega, s.t. x 7:

Vastus on: 0

Tuletisinstrument.

Funktsiooni y \u003d f (x) tuletis argumendi x suhtesselle juurdekasvu y ja argumendi x juurdekasvu x suhte piiri nimetatakse siis, kui argumendi juurdekasv kaldub nulli:. Kui see piir on piiratud, siis funktsioon y \u003d f (x)nimetatakse eristatavaks punktis x. Kui see piir on olemas, siis nad ütlevad, et funktsioon y \u003d f (x)  omab lõpmatut tuletist punktis x.

Põhifunktsioonide tuletised:

1. (const) \u003d 09.

3. 11.

4. 12.

Diferentseerimise reeglid:

a)

Näide 1  Leidke tuletatud funktsioon

Lahendus:  Kui leiame teise termini tuletise fraktsionaalse diferentseerimise reegli järgi, siis on esimene termin kompleksfunktsioon, mille tuletis leitakse valemiga:

Kus   siis

Lahendamisel kasutati valemeid: 1,2,10, a, c, d.

Vastus on:

Näide 21  Leidke tuletatud funktsioon

Lahendus:  mõlemad terminid on keerulised funktsioonid, kus esimese jaoks ja teise jaoks siis

Vastus on:

Tuletisinstrumendid.

1. Kiirus ja kiirendus

Kirjeldage funktsiooni s (t) positsioon  objekt mõnes koordinaatsüsteemis ajahetkel t. Siis on funktsiooni s (t) esimene tuletis hetkeline kiirus  objekt:
  v \u003d s ′ \u003d f ′ (t)
  Funktsiooni s (t) teine \u200b\u200btuletis on hetkeline kiirendus  objekt:
  w \u003d v ′ \u003d s ′ ′ \u003d f ′ ′ (t)

2. Puutuja võrrand
  y - y0 \u003d f '(x0) (x - x0),
  kus (x0, y0) on puutuja punkti koordinaadid, f ′ (x0) on funktsiooni f (x) tuletise väärtus puutujapunktis.

3. Normaalne võrrand
  y - y0 \u003d −1f ′ (x0) (x - x0),

kus (x0, y0) on normi joonistamise punkti koordinaadid, f ′ (x0) on funktsiooni f (x) tuletise väärtus antud punktis.

4. Funktsiooni suurendamine ja vähenemine
  Kui f (x0)\u003e 0, siis funktsioon suureneb punktis x0. Alloleval joonisel suureneb funktsioon x-ga x2.
  Kui f (x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1  Kui f (x0) \u003d 0 või tuletist ei eksisteeri, ei võimalda see funktsioon meil funktsiooni monotoonsuse olemust punktis x0 kindlaks teha.

5. Kohaliku funktsiooni äärmused
  Funktsioonil f (x) on kohalik maksimum  x1 juures, kui x1 naabrus on selline, et f (x1) ≥f (x) kõigi selle naabruse x korral.
  Samamoodi on funktsioonil f (x) kohalik miinimum  x2 juures, kui x2 naabrus on selline, et f (x2) ≤f (x) kõigi selle naabruse x korral.

6. Kriitilised punktid
  Punkt x0 on kriitiline punkt  funktsioon f (x), kui tuletis f ′ (x0) on selles võrdne nulliga või seda pole olemas.

7. Esimene piisav märk jäseme olemasolust
  Kui funktsioon f (x) suureneb (f '(x)\u003e 0) kõigi x jaoks teatud intervalliga (a, x1] ja väheneb (f' (x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) kõigi x jaoks vahemikus $

Näide 3

Lahenda $ \\ lim \\ limits_ (x \\ kuni -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) $

Lahendus

Nagu alati, alustame piirmärgi all oleva avaldisega väärtuse $ x $ asendamisega. $$ \\ lim \\ limits_ (x \\ kuni -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ frac ((- 1) ^ 2-1) (- 1 + 1) \u003d \\ frac ( 0) (0) $$ Mis edasi saab? Milline peaks olema tulemus? Kuna see on ebakindlus, pole see vastus ja jätkake arvutamist. Kuna numeraatorites on polünoom, jaotame selle teguriteks, kasutades koolipingilt tuttavat valemit $$ a ^ 2-b ^ 2 \u003d (a-b) (a + b) $$. Kas mäletate? Tore! Nüüd jätkake ja rakendage see lauluga :) Saame lugeja $ x ^ 2-1 \u003d (x-1) (x + 1) $ Jätkame lahendamist, võttes arvesse ülaltoodud ümberkujundamist: $ $ \\ lim \\ limits_ (x \\ kuni -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ lim \\ limits_ (x \\ to -1) \\ frac ((x-1) (x + 1)) (x + 1) \u003d $$ $$ \u003d \\ lim \\ limits_ (x \\ kuni -1) (x-1) \u003d - 1-1 \u003d -2 $$

Vastus

$$ \\ lim \\ limits_ (x \\ kuni -1) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d -2 $$

Piirdugem kahe viimase näite piirmääraga lõpmatuseni ja arvestagem määramatusega: $ \\ bigg [\\ frac (\\ infty) (\\ infty) \\ bigg] $

Näide 5

Arvutage $ \\ lim \\ limiidid (x \\ kuni \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) $

Lahendus

$ \\ lim \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ frac (\\ infty) (\\ infty) $ Mida teha? Kuidas olla? Ärge paanitsege, sest võimatu on võimalik. X-i lugeja ja nimetaja jaoks on vaja sulgud välja panna ja seejärel vähendada. Pärast seda proovige arvutada piir. Proovime ... $$ \\ lim \\ limits_ (x \\ kuni \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ lim \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (x ^ 2 (1- \\ frac) (1) (x ^ 2))) (x (1+ \\ frac (1) (x))) \u003d $$ $$ \u003d \\ lim \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (x (1- \\ frac (1) (x ^ 2))) ((1+ \\ frac (1) (x))) \u003d $$ Kasutades näite 2 definitsiooni ja asendades lõpmatuse x-ga, saame: $$ \u003d \\ frac (\\ infty (1- \\ frac (1) (\\ infty))) ((1+ \\ frac (1) (\\ infty))) \u003d \\ frac (\\ infty \\ cdot 1) (1+ 0) \u003d \\ frac (\\ infty) (1) \u003d \\ infty $$

Vastus

$ $ \\ lim \\ limits_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (x ^ 2-1) (x + 1) \u003d \\ infty $$

Limiidi arvutamise algoritm

Võtame lühidalt kokku analüüsitud näited ja koostame algoritmi piiride lahendamiseks:

1. Asenda piirmärgile järgnevas avaldises punkt x. Kui saadakse kindel arv või lõpmatus, siis on piir täielikult lahendatud. Vastasel juhul on meil määramatus: "jagage null nulliga" või "lõpmatus jagage lõpmatusega" ja minge juhise järgmistesse punktidesse.
2. Mõõtemääramatuse "jagage nulliga nulliga jagamiseks" kõrvaldamiseks peate arvestama lugeja ja nimetajaga. Lõika niimoodi. Asenda avaldises punkt x piirimärgi all.
3. Kui määramatus "lõpmatus jagatakse lõpmatusega", saame kõige rohkem kasutada nii lugejas kui nimetajas x. Lõika X-id. Asendame x väärtuse limiidi alt järelejäänud avaldisega.

Selles artiklis olete õppinud matemaatilise analüüsi käigus sageli kasutatavate piiride lahendamise põhitõdesid. Muidugi pole need kõik eksamineerijate pakutavad ülesanded, vaid ainult kõige lihtsamad piirid. Järgmistes artiklites räägime muud tüüpi ülesannetest, kuid kõigepealt peate selle tunni õppima, et edasi liikuda. Arutame, mida teha, kui on juured, kraadid, uurime lõpmatuid samaväärseid funktsioone, tähelepanuväärseid piire, L'Hoteli reeglit.

Kui te ei suuda ise piire lahendada, siis ärge paanitsege. Aitame alati hea meelega!

Limiitide arvutamisel tuleb arvestada järgides põhireegleid:

1. Funktsioonide summa (erinevuse) piir on võrdne tingimuste piiride summaga (erinevus):

2. Funktsioonide korrutise väärtus võrdub tegurite piirväärtuste korrutisega:

3. Kahe funktsiooni suhte piir on võrdne nende funktsioonide piirmäärade suhtega:

.

4. Püsiteguri saab piirimärgist välja võtta:

.

5. Konstandi piir on võrdne konstandiga ise:

6. Pidevate funktsioonide puhul saab piirisümbolid ja funktsioonid vahetada:

.

Funktsiooni limiidi leidmine peaks algama funktsiooni avaldise väärtuse asendamisega. Veelgi enam, kui saadakse arvväärtus 0 või ¥, leitakse soovitud piir.

Näide 2.1Arvutage piir.

Lahendus.

.

Vormi,,,, avaldisi nimetatakse ebakindlus.

Kui saadakse tüübimääramatus, tuleb piirmäära leidmiseks funktsioon ümber mõõta, et see mõõtemääramatus ilmneda.

Tüübi määramatus saadakse tavaliselt siis, kui antakse kahe polünoomi suhte piir. Sel juhul on piirmäära arvutamiseks soovitatav polünoomid koefitsienteerida ja vähendada ühise teguri abil. See tegur on piirväärtuse juures null. x .

Näide 2.2Arvutage piir.

Lahendus.

Asendades saame ebakindluse:

.

Tegur lugeja ja nimetaja:

;

Vähendada ühise teguri abil ja saada

Vormi määramatus saadakse, kui antakse kahe polünoomi suhte piir. Sel juhul on soovitatav jagada mõlemad polünoomid arvuga x   kõrgharidusele.

Näide 2.3  Arvutage piir.

Lahendus.Asendades ∞, saame vormi mõõtemääramatuse, seetõttu jaotame kõik avaldise tingimused osadeks x 3.

.

See võtab seda arvesse.

Juure sisaldava funktsiooni piiride arvutamisel on soovitatav funktsioon korrutada ja jagada konjugeeritud avaldiseks.

Näide 2.4Arvutage piir

Lahendus.

Vormi määramatuse või (1) ∞ paljastamise piirmäärade arvutamisel kasutatakse sageli esimest ja teist tähelepanuväärset piiri:

Teist märkimisväärset piiri juhivad paljud probleemid, mis on seotud koguse pideva kasvuga.

Vaatleme Ya. I. Perelmani näidet, mis annab numbrile tõlgenduse e  liitintressi probleemis. Sberbanksis lisandub intressiraha põhivarale igal aastal. Kui ühendust luuakse sagedamini, siis kasvab kapital kiiremini, kuna intressi moodustamisega on seotud suur summa. Võtke puhtalt teoreetiline, väga lihtsustatud näide.

Las pank paneb 100 denti. ühikut määraga 100% aastas. Kui intressiraha hakatakse põhikapitalile lisama alles pärast aasta lõppu, siis selleks kuupäevaks 100 den. ühikut muutub 200 den.ed.

Vaatame nüüd, millest 100 den saab. ühikut, kui põhivarale lisatakse intressiraha iga kuue kuu tagant. Kuue kuu pärast 100 den. ühikut kasvab 100 × 1,5 \u003d 150 ja veel kuue kuu pärast - 150 × 1,5 \u003d 225 (den ühikut). Kui ühendus toimub iga 1/3 aasta tagant, siis ühe aasta pärast 100 den. ühikut muutub 100 × (1 +1/3) 3 »237 (den. ühikut).

Suurendame intressirahaga liitumise aega 0,1 aastani, 0,01 aastani, 0,001 aastani jne. Siis 100 denni hulgast. ühikut aasta hiljem selgub:

100 × (1 + 1/10) 10 »259 (den. Ühikut),

100 × (1 + 1/100) 100 ”270 (den. Ühikut),

100 × (1 + 1/1000) 1000 »271 (den. Ühikut).

Intressiga liitumise aja lõpmatu lühenemisega ei suurene akumuleeritud kapital lõputult, vaid läheneb teatud limiidile, mis on umbes 271. Kapital, mis on 100% aastas, ei saa suureneda rohkem kui 2,71 korda, isegi kui kogunenud intress liituvad kapitaliga igaüks teine, sest

Näide 2.5Arvutage funktsiooni piir

Lahendus.

Näide 2.6.Arvutage funktsiooni piir .

Lahendus.Asendades saame ebakindluse:

.

Kasutades trigonomeetrilist valemit, teisendame lugeja produktiks:

Selle tulemusena saame

Siin võetakse arvesse teist tähelepanuväärset piiri.

Näide 2.7Arvutage funktsiooni piir

Lahendus.

.

Tüübi määramatuse paljastamiseks võite kasutada L'Hospitali reeglit, mis põhineb järgmisel teoreemil.

TeoreemKahe lõpmatuseni või lõpmata suure funktsiooni suhte piir on võrdne nende derivaatide suhte suhtega

Pange tähele, et seda reeglit saab rakendada mitu korda järjest.

Näide 2.8.  Et leida

Lahendus.Asendamisel on meil tüübi määramatus. Kasutades Litali reeglit, saame

Funktsiooni järjepidevus

Funktsiooni oluline omadus on järjepidevus.

DefinitsioonArvestatakse funktsiooni pidevkui argumendi väärtuse väike muutus toob kaasa funktsiooni väärtuse väikese muutuse.

Matemaatiliselt kirjutatakse see järgmiselt: millal

Muutujate juurdekasvu abil, st vahet järgmiste ja eelmiste väärtuste vahel, mõistetakse: (joonis 2.3)

Joonis 2.3 - muutuv juurdekasv

Punktis pideva funktsiooni määratlusest järeldub, et   . See võrdsus tähendab kolme tingimuse täitmist:

Lahendus.Funktsiooni jaoks   punkt on pausi suhtes kahtlane, kontrollige seda, leidke ühesuunalised piirid

Seetõttu   tähendab murdepunkt

Tuletisfunktsioon