Kuidas lahendada n-nda astme võrrandeid. Matemaatika kõrgeimate astmete võrrandid
Võrrandite kasutamine on meie elus laialt levinud. Neid kasutatakse paljudes arvutustes, hoonete ehitamisel ja isegi spordis. Inimene kasutas võrrandeid antiikajal ja sellest ajast peale on nende rakendamine ainult suurenenud. Matemaatikas on kõrgemate astmete võrrandid täisarvukoefitsientidega üsna tavalised. Sellise võrrandi lahendamiseks on vaja:
Määrake võrrandi ratsionaalsed juured;
Faktor võrrandi vasakul küljel olev polünoom;
Leidke võrrandi juured.
Oletame, et meile antakse järgmise vormi võrrand:
Leiame kõik selle tegelikud juured. Korrutage võrrandi vasak ja parem pool \\
Muutujate muutmine \\
Seega oleme saanud neljanda astme redutseeritud võrrandi, mis on lahendatud vastavalt standardalgoritmile: kontrollime jagureid, teostame jagamise ja sellest tulenevalt saame teada, et võrrandil on kaks tegelikku juurt ja kaks keerukat juurt. Meie neljanda astme võrrandile saame järgmise vastuse:
Kus saab lahendajaga võrgus kõrgemate kraadide võrrandi lahendada?
Võrrandit saate lahendada meie veebisaidil https: // sait. Tasuta veebilahendaja võimaldab teil mõne sekundiga lahendada mis tahes keerukusega võrgu võrrandi. Kõik, mida peate tegema, on lihtsalt sisestada oma andmed lahendusse. Meie veebisaidil saate vaadata ka videoõpetust ja õppida võrrandi lahendamist. Ja kui teil on veel küsimusi, võite neid esitada meie Vkontakte grupis http://vk.com/pocketteacher. Liitu meie grupiga, meil on alati hea meel teid aidata.
GORNERI KAVA
PARAMETRITEGA VÕRANDITE LAHENDAMISEL
KASUTAMISEKS ETTEVALMISTAMISEL RÜHMAST "C"
Kazantseva Ljudmila Viktorovna
matemaatikaõpetaja MBOU "Uyarskaya keskkooli number 3"
Vabatahtlikes klassides on vaja laiendada olemasolevate teadmiste valikut, lahendades rühma "C" suurenenud keerukusega ülesandeid.
See töö hõlmab mõningaid lisaklassides arutatud küsimusi.
Pärast teema "Polünoomi jagunemine polünoomiga" uurimist on soovitatav tutvustada Horneri skeemi. See materjal võimaldab teil lahendada kõrgemat järku võrrandeid mitte polünoomide rühmitamise teel, vaid ratsionaalsemal viisil, mis säästab aega.
Tunniplaan.
1. tund.
1. Teoreetilise materjali selgitus.
2. Näidete lahendus a B C D).
2. õppetund.
1. Võrrandite lahendamine a B C D).
2. Polünoomi ratsionaalsete juurte leidmine
Horneri skeemi rakendamine parameetritega võrrandite lahendamiseks.
3. õppetund.
Ülesanded a B C).
4. õppetund.
1. Ülesanded d), e), f), g), h).
Kõrgemate astmete võrrandite lahendamine.
Horneri skeem.
Teoreem : Olgu redutseerimata murd võrrandi juur
a o x n + a 1 x n-1 +… + A n-1 x 1 + a n = 0
täisarvukoefitsientidega. Siis number ron juhtkoefitsiendi jagaja a umbes .
Tagajärg: Mis tahes täisarvu koefitsientidega võrrandi juur on selle lõikepunkti jagaja.
Tagajärg: Kui täisarvukoefitsientidega võrrandi juhtkoefitsient on 1 , siis on kõik ratsionaalsed juured, kui need on olemas, terved.
Näide 1. 2x 3 - 7x 2 + 5x - 1 \u003d 0
Olgu siis redutseerimata murd võrrandi juurr on arvu jagaja1: ± 1
q on kõrgeima termini jagaja: ± 1; ± 2
Võrrandi ratsionaalseid juuri tuleb otsida arvude hulgast:± 1; ±.
f (1) \u003d 2 - 7 + 5 - 1 \u003d - 1 0
f (–1) \u003d –2 - 7 - 5 - 1 ≠ 0
f () = – + – 1 = – + 
– = 0
Juur on number .
Polünoomi jagunemine P (x) \u003d a umbes x p + a 1 x n -1 + … + a n binoomi ( x - £) seda on mugav teha vastavalt Horneri skeemile.
Tähistame mittetäielikku jagatist P (x)peal ( x - £)üle Q (x ) = b o x n -1 + b 1 x n -2 + … b n -1 ,
ja ülejäänud pärast b n
P (x) \u003dQ (x ) (x – £) + b n , siis identiteet
a umbes x p + a 1 x n-1 +… + A n \u003d (b o x n-1 + … + b n-1 ) (x - £) +b n
Q (x ) On polünoom, mille aste on 1 alla algse polünoomi astme. Polünoomkoefitsiendid Q (x ) määratakse vastavalt Horneri skeemile.
ja oh
a 1
a 2
a n-1
a n
b o \u003d a о
b 1 = a 1 + £· b o
b 2 = a 2 + £· b 1
b n-1 \u003d a n-1 + £· b n-2
b n \u003d a n + £· b n-1
Selle tabeli esimene rida sisaldab polünoomi koefitsiente P (x).
Kui teatud muutuja puudub, kirjutatakse tabeli vastavasse lahtrisse 0.
Jagamise vanemkoefitsient on võrdne dividendi vanemkoefitsiendiga ( a umbes = b o ). Kui £ on polünoomi juur, siis saame viimases lahtris 0.
Näide 2... Tegur täisarvukoefitsientidega
P (x) \u003d 2x4-7x3-3x2 + 5x-1
± 1.
Sobib - 1.
Jaga P (x) peal (x + 1)
2
– 7
– 3
5
– 1
– 1
2
– 9
6
– 1
0
2x 4 - 7x 3 - 3x 2 + 5x - 1 \u003d (x + 1) (2x 3 - 9x 2 + 6x - 1)
Otsime vabaliikme seast terveid juuri: ± 1
Kuna vanem ametiaeg on 1, siis võivad juured olla murdarvud: - ; .
Sobib .
2
– 9
6
– 1
2
– 8
2
0
2x 3 - 9x 2 + 6x - 1 \u003d (x -) (2x 2 - 8x + 2) \u003d (2x - 1) (x 2 - 4x + 1)
Trinomiaalne x 2 - 4x + 1ei saa lahutada täisarvu koefitsientidega teguriteks.
Ülesanne:
1. Tegur täisarvukoefitsientidega:
a) x 3 - 2x 2 - 5x + 6
q: ± 1;
p: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6
: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6
Leidke polünoomi ratsionaalsed juured f (1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0
x \u003d 1
1
– 2
– 5
6
1
1
– 1
– 6
0
x 3 - 2x 2 - 5x + 6 \u003d (x - 1) (x 2 - x - 6) \u003d (x - 1) (x - 3) (x + 2)
Määratleme ruutvõrrandi juured
x 2 - x - 6 \u003d 0
x \u003d 3; x \u003d - 2
b) 2x 3 + 5x 2 + x - 2
p: ± 1; ± 2
q: ± 1; ± 2
: ± 1; ± 2; ±
Leidke kolmanda astme polünoomi juured
f (1) \u003d 2 + 5 + 1 - 2 ≠ 0
f (–1) \u003d - 2 + 5 - 1 - 2 \u003d 0
Üks võrrandi juurtest x \u003d - 1
2
5
1
– 2
– 1
2
3
– 2
0
2x 3 + 5x 2 + x - 2 \u003d (x + 1) (2x 2 + 3x - 2) \u003d (x + 1) (x + 2) (2x - 1)
Laiendame ruudukujulist trinoomi 2x 2 + 3x - 2tegurite järgi
2x 2 + 3x - 2 \u003d 2 (x + 2) (x -)
D \u003d 9 + 16 \u003d 25
x 1 \u003d - 2; x 2 \u003d
sisse) x 3 - 3x 2 + x + 1
p: ± 1
q: ± 1
: ± 1
f (1) \u003d 1-3 + 1-1 \u003d 0
Kolmanda astme polünoomi üks juure on x \u003d 1
1
– 3
1
1
1
1
– 2
– 1
0
x 3 - 3x 2 + x + 1 \u003d (x - 1) (x 2 - 2x - 1)
Leidke võrrandi juured x 2 - 2x - 1 \u003d 0
D \u003d 4 + 4 = 8
x 1 = 1 – 
x 2 = 1 +
x 3 - 3x 2 + x + 1 \u003d (x - 1) (x - 1 + ) (x - 1 - )
d) x 3 - 2x - 1
p: ± 1
q: ± 1
: ± 1
Määratleme polünoomi juured
f (1) \u003d 1 - 2 - 1 \u003d - 2
f (–1) \u003d - 1 + 2 - 1 \u003d 0
Esimene juur x \u003d - 1
1
0
– 2
– 1
– 1
1
– 1
– 1
0
x 3 - 2x - 1 \u003d (x + 1) (x 2 - x - 1)
x 2 - x - 1 \u003d 0
D \u003d 1 + 4 \u003d 5
x 1,2 = 
x 3 - 2x - 1 \u003d (x + 1) (x - 
) (x - 
)
2. Lahendage võrrand:
a) x 3 - 5x + 4 \u003d 0
Määratlege kolmanda astme polünoomi juured
: ± 1; ± 2; ± 4
f (1) \u003d 1 - 5 + 4 \u003d 0
Üks juurtest on x \u003d 1
1
0
– 5
4
1
1
1
– 4
0
x 3 - 5x + 4 \u003d 0
(x - 1) (x 2 + x - 4) \u003d 0
x 2 + x - 4 \u003d 0
D \u003d 1 + 16 \u003d 17
x 1 = 
; x 2
= 
Vastus: 1; ;
b) x 3 - 8x 2 + 40 = 0
Määratleme kolmanda astme polünoomi juured.
: ± 1; ± 2; ± 4; ± 5; ± 8; ± 10; ± 20; ± 40
f (1) ≠ 0
f (–1) ≠ 0
f (-2) \u003d - 8 - 32 + 40 \u003d 0
Üks juurtest on x \u003d - 2
1
– 8
0
40
– 2
1
– 10
20
0
Eraldame kolmanda astme polünoomi.
x 3 - 8x 2 + 40 \u003d (x + 2) (x 2 - 10x + 20)
Leidke ruutvõrrandi juured x 2 - 10x + 20 \u003d 0
D \u003d 100 - 80 \u003d 20
x 1 = 5 – 
; x 2
= 5 +
Vastus: - 2; 5 – ; 5 +
sisse) x 3 - 5x 2 + 3x + 1 \u003d 0
Otsime vaba termini jagajate seast terveid juuri: ± 1
f (–1) \u003d - 1 - 5 - 3 + 1 ≠ 0
f (1) \u003d 1 - 5 + 3 + 1 \u003d 0
Sobib x \u003d 1
1
– 5
3
1
1
1
– 4
– 1
0
x 3 - 5x 2 + 3x + 1 \u003d 0
(x - 1) (x 2 - 4x - 1) \u003d 0
Määrake ruutvõrrandi juured x 2 - 4x - 1 \u003d 0
D \u003d 20
x \u003d 2 + ; x \u003d 2 -
Vastus: 2 – ; 1; 2 +
d) 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 – 2 = 0
p: ± 1; ± 2
q: ± 1; ± 2
: ± 1; ± 2; ±
f (1) \u003d 2 - 5 + 5 - 2 \u003d 0
Üks võrrandi juurtest x \u003d 1
2
– 5
5
0
– 2
1
2
– 3
2
2
0
2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 \u003d 0
(x - 1) (2x3-3x2 + 2x + 2) \u003d 0
Samamoodi leiame kolmanda astme võrrandi juured.
2x 3 - 3x 2 + 2x + 2 \u003d 0
p: ± 1; ± 2
q: ± 1; ± 2
: ± 1; ± 2; ±
f (1) \u003d 2 - 3 + 2 + 2 ≠ 0
f (–1) \u003d - 2 - 3 - 2 + 2 ≠ 0
f (2) \u003d 16 - 12 + 4 + 2 × 0
f (–2) \u003d - 16 - 12 - 4 + 2 ≠ 0
f() = – + 1 + 2 ≠ 0
f(–) = – – – 1 + 2 ≠ 0
Võrrandi järgmine juurx \u003d -
2
– 3
2
2
2
– 4
4
0
2x 3 - 3x 2 + 2x + 2 \u003d 0
(x +) (2x2-4x + 4) \u003d 0
Määratleme ruutvõrrandi juured 2x 2 - 4x + 4 \u003d 0
x 2 - 2x + 2 \u003d 0
D \u003d - 4< 0
Seetõttu on algse neljanda astme võrrandi juured
1 ja –
Vastus: –; 1
3. Leidke polünoomi ratsionaalsed juured
a) x 4 - 2x 3 - 8x 2 + 13x - 24
q: ± 1
: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24
Valige neljanda astme polünoomi üks juurtest:
f (1) \u003d 1 - 2 - 8 + 13 - 24 ≠ 0
f (–1) \u003d 1 + 2 - 8 - 13 - 24 ≠ 0
f (2) \u003d 16 - 16 - 32 + 26 - 24 ≠ 0
f (–2) \u003d 16 + 16 - 72 - 24 ≠ 0
f (–3) \u003d 81 + 54 - 72 - 39 - 24 \u003d 0
Polünoomi üks juurtest x 0= – 3.
x 4 - 2x 3 - 8x 2 + 13x - 24 \u003d (x + 3) (x 3 - 5x 2 + 7x + 8)
Leidke polünoomi ratsionaalsed juured
x 3 - 5x 2 + 7x + 8
p: ± 1; ± 2; ± 4; ± 8
q: ± 1
f (1) \u003d 1 - 5 + 7 + 8 ≠ 0
f (–1) \u003d - 1 - 5 - 7 - 8 ≠ 0
f (2) \u003d 8 - 20 + 14 + 8 - 0
f (–2) \u003d - 8 - 20 - 14 + 8 ≠ 0
f (–4) \u003d 64 - 90 - 28 + 8 ≠ 0
f (4) ≠ 0
f (–8) ≠ 0
f (8) ≠ 0
Lisaks numbrile x 0 = – 3 muid ratsionaalseid juuri pole.
b) x 4 - 2x 3 - 13x 2 - 38x - 24
p: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24
q: ± 1
f (1) \u003d 1 + 2 - 13 - 38 - 24 ≠ 0
f (–1) = 1 – 2 – 13 + 38 – 24 = 39 – 39 = 0, st x \u003d - 1polünoomjuur
1
2
– 13
– 38
– 24
– 1
1
1
– 14
– 24
0
x 4 - 2x 3 - 13x 2 - 38x - 24 \u003d (x + 1) (x 3 - x 2 - 14x - 24)
Määratlege kolmanda astme polünoomi juured x 3 - x 2 - 14x - 24
p: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24
q: ± 1
f (1) \u003d - 1 + 1 + 14 - 24 ≠ 0
f (–1) \u003d 1 + 1 - 14 - 24 ≠ 0
f (2) \u003d 8 + 4 - 28 - 24 ≠ 0
f (–2) \u003d - 8 + 4 + 28 - 24 ≠ 0
Seega polünoomi teine \u200b\u200bjuur x \u003d - 2
1
1
– 14
– 24
– 2
1
– 1
– 12
0
x 4 - 2x 3 - 13x 2 - 38x - 24 \u003d (x + 1) (x 2 + 2) (x 2 - x - 12) \u003d
\u003d (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x - 4)
Vastus: – 3; – 2; – 1; 4
Horneri skeemi rakendamine parameetriga võrrandite lahendamisel.
Leidke suurim täisarvuparameetri väärtus a,mille juures võrrand f (x) \u003d 0on kolm erinevat juurt, millest üks x 0 .
a) f (x) \u003d x 3 + 8x 2 + ah +b , x 0 = – 3
Nii et üks juurtest x 0 = – 3 , siis vastavalt Horneri skeemile on meil:
1
8
a
b
– 3
1
5
– 15 + a
0
0 \u003d - 3 (- 15 + a) + b
0 \u003d 45 - 3a + b
b \u003d 3а - 45
x 3 + 8x 2 + kirves + b \u003d (x + 3) (x 2 + 5x + (a - 15))
Võrrand x 2 + 5x + (a - 15) \u003d 0 D > 0
a \u003d 1; b \u003d 5; c \u003d (a - 15),
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 - 4 (a - 15) \u003d 25 + 60 - 4a\u003e 0,
85 - 4a\u003e 0;
4a< 85;
a< 21
Suurim täisarvuparameetri väärtus a,mille juures võrrand
f (x) \u003d 0on kolm juurt, a \u003d 21
Vastus: 21.
b) f (x) \u003d x 3 - 2x 2 + kirves + b, x 0 = – 1
Kuna üks juurtest x 0= – 1, siis Horneri skeemi järgi meil on
1
– 2
a
b
– 1
1
– 3
3 + a
0
x 3 - 2x 2 + kirves + b \u003d (x + 1) (x 2 - 3x + (3 + a))
Võrrand x 2 – 3 x + (3 + a ) = 0 peab olema kahe juurtega. Seda tehakse ainult siis, kui D > 0
a \u003d 1; b \u003d -3; c \u003d (3 + a),
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 9 - 4 (3 + a) \u003d 9 - 12 - 4a \u003d - 3 - 4a\u003e 0,
– 3 - 4a\u003e 0;
– 4a< 3;
a < –
Suurim väärtus a \u003d - 1 a \u003d 40
Vastus: a \u003d 40
d) f (x) \u003d x 3 - 11x 2 + kirves + b, x 0 = 4
Kuna üks juurtest x 0 = 4 , siis vastavalt Horneri skeemile meil on
1
– 11
a
b
4
1
– 7
– 28 + a
0
x 3 - 11x 2 + kirves + b \u003d (x - 4) (x 2 - 7x + (a - 28))
f (x ) = 0, kui x \u003d 4või x 2 – 7 x + (a – 28) = 0
D > 0, st
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 49 - 4 (a - 28) \u003d 49 + 112 - 4a \u003d 161 - 4a\u003e 0,
161 - 4a\u003e 0;
– 4a< – 161; f x 0 = – 5 , siis vastavalt Horneri skeemile meil on
1
13
a
b
– 5
1
8
– 40 + a
0
x 3 + 13x 2 + kirves + b \u003d (x +5) (x 2 + 8x + (a - 40))
f (x ) = 0, kui x \u003d - 5või x 2 + 8 x + (a – 40) = 0
Võrrandil on kaks juurt, kui D > 0
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 64 - 4 (a - 40) \u003d 64 + 1 60 - 4a \u003d 224 - 4a\u003e 0,
224 - 4a\u003e 0;
a< 56
Võrrand f (x ) on kolme suurima väärtusega juurtega a \u003d 55
Vastus: a \u003d 55
g) f (x ) = x 3 + 19 x 2 + kirves + b , x 0 = – 6
Kuna üks juurtest – 6 , siis vastavalt Horneri skeemile meil on
1
19
a
b
– 6
1
13
a - 78
0
x 3 + 19x 2 + kirves + b \u003d (x +6) (x 2 + 13x + (a - 78)) \u003d 0
f (x ) = 0, kui x \u003d - 6või x 2 + 13 x + (a – 78) = 0
Teisel võrrandil on kaks juurt, kui
Mõelge võrrandite lahendused, mille üks muutuja on teisest kõrgem.
Võrrandi aste P (x) \u003d 0 on polünoomi P (x) aste, s.t. suurim selle tingimuste astmest koefitsiendiga, mis pole võrdne nulliga.
Näiteks võrrandil (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 on viies aste, kuna pärast sulgude avamise ja sarnaste toomise toiminguid saame ekvivalentse võrrandi x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 viienda astme.
Tuletame meelde reegleid, mida on vaja kahest kõrgema võrrandi lahendamiseks.
Väited polünoomi juurte ja jagajate kohta:
1. N-nda astme polünoomil on juurte arv kõige rohkem n ja arvukuse m juured esinevad täpselt m korda.
2. Paaritu astmega polünoomil on vähemalt üks tegelik juur.
3. Kui α on P (x) juur, siis P n (x) \u003d (x - α) Q n - 1 (x), kus Q n - 1 (x) on astme (n - 1) polünoom.
4.
5. Taandatud koefitsientidega vähendatud polünoomil ei saa olla murdarvulisi ratsionaalseid juuri.
6. 3. astme polünoomi jaoks
P 3 (x) \u003d kirves 3 + bx 2 + cx + d on võimalik üks kahest: kas see laguneb kolme binomi korrutiseks
Р 3 (x) \u003d а (х - α) (х - β) (х - γ), või võib selle lagundada binoomi ja ruudukujulise trinoomi korrutiseks Р 3 (x) \u003d а (х - α) (х 2 + βх + γ ).
7. Iga neljanda astme polünoomi saab lagundada kahe ruudukujulise trinoomi korrutiseks.
8. Polünoom f (x) jagub polünoomiga g (x) ilma jäägita, kui on olemas polünoom q (x) nii, et f (x) \u003d g (x) q (x). Polünoomide jagamisel rakendatakse reeglit „nurkade jagamine“.
9. Polünoomi P (x) jagatavuseks binoomiks (x - c) on vajalik ja piisav, et arv c oleks P (x) juur (Bezouti teoreemi järeldus).
10. Vieta teoreem: kui x 1, x 2, ..., x n on polünoomi tegelikud juured
P (x) \u003d a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, siis kehtivad järgmised võrdused:
x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,
x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,
x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,
x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a ei ole 0.
Lahendusnäited
Näide 1.
Leidke ülejäänud jagamine P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 (x - 1/3) -ga.
Otsus.
Bezouti teoreemi järelduse kohaselt: "Ülejäänud osa polünoomi jagamisest binoomiga (x - c) võrdub polünoomi väärtusega c". Leidke Р (1/3) \u003d 0. Seetõttu on jääk 0 ja arv 1/3 polünoomi juur.
Vastus: R \u003d 0.
Näide 2.
Jagage nurgaga 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 (x + 2). Leidke ülejäänud ja mittetäielik jagatis. 
Otsus:
2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 | x + 2
2x 3 + 4 x 2 2x 2 - x
X 2 - 2 x
Vastus: R \u003d 3; privaatne: 2x 2 - x.
Põhimeetodid kõrgemate astmete võrrandite lahendamiseks
1. Uue muutuja kasutuselevõtt
Uue muutuja kasutuselevõtu meetod on juba tuttav kahesuunaliste võrrandite näitega. See seisneb selles, et võrrandi f (x) \u003d 0 lahendamiseks sisestatakse uus muutuja (asendus) t \u003d x n või t \u003d g (x) ja f (x) väljendatakse t-des, saades uue võrrandi r (t). Siis võrrandi r (t) lahendamisel leitakse juured:
(t 1, t 2, ..., t n). Pärast seda saadakse n võrrandi kogum q (x) \u003d t 1, q (x) \u003d t 2, ..., q (x) \u003d t n, millest leitakse algse võrrandi juured.
Näide 1.
(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 \u003d 0.
Otsus:
(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 \u003d 0.
(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 \u003d 0.
Asendus (x 2 + x + 1) \u003d t.
t 2 - 3t + 2 \u003d 0.
t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Tagurpidi asendamine:
x 2 + x + 1 \u003d 2 või x 2 + x + 1 \u003d 1;
x 2 + x - 1 \u003d 0 või x 2 + x \u003d 0;
Vastus: esimesest võrrandist: x 1, 2 \u003d (-1 ± √5) / 2, teisest: 0 ja -1.
2. Faktooring rühmitamise ja vähendatud korrutamisvalemite abil
Selle meetodi alus ei ole samuti uus ja seisneb terminite rühmitamises nii, et iga rühm sisaldab ühist tegurit. Selleks peate mõnikord kasutama mõnda kunstlikku meetodit.
Näide 1.
x 4 - 3x 2 + 4x - 3 \u003d 0.
Otsus.
Kujutage ette - 3x 2 \u003d -2x 2 - x 2 ja grupeerige:
(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) \u003d 0.
(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) \u003d 0.
(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 \u003d 0.
(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.
(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) \u003d 0.
(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) \u003d 0.
x 2 - x + 1 \u003d 0 või x 2 + x - 3 \u003d 0.
Vastus: Esimeses võrrandis ei ole juuri teisest: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.
3. Faktooring määratlemata koefitsientide meetodil
Meetodi olemus on see, et algne polünoom lagundatakse tundmatute koefitsientidega teguriteks. Kasutades omadust, et polünoomid on võrdsed, kui nende koefitsiendid on samadel kraadidel võrdsed, leitakse tundmatud paisumiskoefitsiendid.
Näide 1.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d 0.
Otsus.
3. astme polünoomi saab laiendada lineaarse ja ruudulise teguri korrutiseks.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + bx 2 + cx - kirves 2 - abx - vahelduvvool,
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.
Pärast süsteemi lahendamist:
(b - a \u003d 4,
(c - ab \u003d 5,
(-ac \u003d 2,
(a \u003d -1,
(b \u003d 3,
(c \u003d 2, st.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).
Võrrandi (x + 1) (x 2 + 3x + 2) \u003d 0 juuri on lihtne leida.
Vastus: -1; -2.
4. Juurte valimise meetod kõrgeima ja vaba koefitsiendi järgi
Meetod põhineb teoreemide rakendamisel:
1) Mis tahes täisarvu koefitsientidega polünoomi täisarvjuur on ristmiku jagaja.
2) Selleks, et redutseerimata murd p / q (p on täisarv, q on loomulik) oleks täisarvukoefitsientidega võrrandi juur, on vaja, et arv p oleks vaba termini a 0 täisarvu jagaja ja q oleks juhtkoefitsiendi loomulik jagaja.
Näide 1.
6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 \u003d 0.
Otsus:
6: q \u003d 1, 2, 3, 6.
Seetõttu on p / q \u003d ± 1, ± 2, ± 1/2, ± 1/3, ± 2/3, ± 1/6.
Olles leidnud ühe juure, näiteks - 2, leiame teised juured nurga abil jagamise, määratlemata koefitsientide meetodi või Horneri skeemi abil.
Vastus: -2; 1/2; 1/3.
Kas teil on veel küsimusi? Kas pole kindel, kuidas võrrandeid lahendada?
Juhendaja abi saamiseks registreeruge.
Esimene tund on tasuta!
materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on vaja linki allikale.
Esitluste eelvaate kasutamiseks looge endale Google'i konto (konto) ja logige sinna sisse: https://accounts.google.com
Slaidide pealdised:
Kõrgemate astmete võrrandid (ühe muutuja polünoomi juured).
Plaanige loenguid. Nr 1. Koolimatemaatika kursuse kõrgeimate astmete võrrandid. Nr 2. Polünoomi tüüpvorm. № 3. Polünoomi lahutamatud juured. Horneri skeem. № 4. Polünoomi murdjuured. № 5. Vormi võrrandid: (х + а) (х + в) (х + с)… \u003d А № 6. Tagastage võrrandid. № 7. Homogeensed võrrandid. № 8. Määratlemata koefitsientide meetod. № 9. Funktsionaalne - graafiline meetod. № 10. Vieta valemid kõrgemate astmete võrrandite jaoks. № 11. Mittestandardsed meetodid kõrgemate astmete võrrandite lahendamiseks.
Koolimatemaatika kursuse kõrgeimate astmete võrrandid. 7. klass. Polünoomi tüüpvorm. Toimingud polünoomidega. Polünoomi arvestamine. Tavaklassis 42 tundi, eriklassis 56 tundi. 8 eriklassi. Polünoomi täisjuured, polünoomide jaotus, korduvad võrrandid, binoomi n - nda astme erinevus ja summa, määratlemata koefitsientide meetod Yu.N. Makarychev "8. peatüki algebra koolikursuse lisapeatükid", MLGalitsky Algebra 8. - 9. klassi ülesannete kogu. 9 eriklassi. Polünoomi ratsionaalsed juured. Üldistatud tagasivõrrandid. Vieta valemid kõrgemate astmete võrrandite jaoks. N. Ya. Vilenkin “Algebra 9. klass edasijõudnute õppega. 11 eriklassi. Polünoomide identiteet. Polünoom mitmes muutujas. Funktsionaalne - graafiline meetod kõrgemate astmete võrrandite lahendamiseks.
Polünoomi tüüpvorm. Polünoom P (x) \u003d a ⁿ x ⁿ + a n-1 x n-1 +… + a₂x ² + a₁x + a₀. Seda nimetatakse standardseks polünoomiks. a n x ⁿ on polünoomi kõrgeim ja n on polünoomi kõrgeima termini koefitsient. Kui n \u003d 1, nimetatakse P (x) redutseeritud polünoomiks. ja ₀ on polünoomi P (x) vaba termin. n on polünoomi aste.
Polünoomi täisarvulised juured. Horneri skeem. Teoreem 1. Kui täisarv a on polünoomi P (x) juur, siis a on vaba termini P (x) jagaja. Näide nr 1. Lahendage võrrand. X⁴ + 2x³ \u003d 11x² - 4x - 4 Toome võrrandi oma standardkujule. X⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 \u003d 0. Meil \u200b\u200bon polünoom P (x) \u003d x ⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 Vaba termini jaotused: ± 1, ± 2, ± 4. x \u003d 1 võrrandi juur, sest P (1) \u003d 0, x \u003d 2 võrrandi juur alates P (2) \u003d 0 Bezouti teoreem. Ülejäänud osa polünoomi P (x) jagamisest binoomiga (x - a) võrdub P (a) -ga. Tagajärg. Kui a on polünoomi P (x) juur, siis P (x) jagub (x - a) -ga. Meie võrrandis on P (x) jagatav (x - 1) ja (x - 2) ning seega (x - 1) (x - 2). Kui P (x) jagatakse jagatisega (x ² - 3x + 2), saame trinoomi x ² + 5x + 2 \u003d 0, mille juured x \u003d (- 5 ± √17) / 2
Polünoomi murdjuured. Teoreem nr 2. Kui p / g on polünoomi P (x) juur, siis p on vaba termini jagaja, g on juhtliik P (x) koefitsiendi jagaja. Näide # 2. Lahendage võrrand. 6x³ - 11x² - 2x + 8 \u003d 0. Vaba tähtajaga jagajad: ± 1, ± 2, ± 4, ± 8. Ükski neist numbritest ei vasta võrrandile. Puuduvad terved juured. Põhitermini P (x) koefitsiendi looduslikud jagajad: 1, 2, 3, 6. Võrrandi võimalikud murdjuured: ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Kontrollides veendume, et P (4/3) \u003d 0. X \u003d 4/3 on võrrandi juur. Horneri skeemi järgi jagame P (x) (x - 4/3) -ga.
Näited iseseisva lahenduse kohta. Lahendage võrrandid: 9x³ - 18x \u003d x - 2, x ³ - x ² \u003d x - 1, x ³ - 3x² -3x + 1 \u003d 0, X ⁴ - 2x³ + 2x - 1 \u003d 0, X⁴ - 3x² + 2 \u003d 0 , x ⁵ + 5x³ - 6x² \u003d 0, x ³ + 4x² + 5x + 2 \u003d 0, X⁴ + 4x³ - x ² - 16x - 12 \u003d 0 4x³ + x ² - x + 5 \u003d 0 3x⁴ + 5x³ - 9x² - 9x + 10 \u003d 0. Vastused: 1) ± 1/3; 2 2) ± 1, 3) -1; 2 ± √3, 4) ± 1, 5) ± 1; ± √2, 6) 0; 17) -2; -1, 8) -3; -üks; ± 2, 9) - 5/4 10) -2; - 5/3; üks.
Vormi (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) võrrandid ... \u003d A. Näide №3. Lahendage võrrand (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) \u003d 24. a \u003d 1, b \u003d 2, c \u003d 3, d \u003d 4 a + d \u003d b + c. Korrutame esimese sulg neljanda ja teise kolmanda. (x + 1) (x + 4) (x + 20 (x + 3) \u003d 24. (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x + 6) \u003d 24. Olgu x2 + 5x + 4 \u003d y , siis y (y + 2) \u003d 24, y² + 2y - 24 \u003d 0 y₁ \u003d - 6, y₂ \u003d 4.x² + 5x + 4 \u003d -6 või x² + 5x + 4 \u003d 4.x² + 5x + 10 \u003d 0, D
Näited iseseisva lahenduse kohta. (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) \u003d -15, x (x + 4) (x + 5) (x + 9) + 96 \u003d 0, x (x + 3) ) (x + 5) (x + 8) + 56 \u003d 0, (x - 4) (x - 3) (x - 2) (x - 1) \u003d 24, (x - 3) (x - 4) ( x - 5) (x - 6) \u003d 1680, (x ² - 5x) (x + 3) (x - 8) + 108 \u003d 0, (x + 4) ² (x + 10) (x - 2) + 243 \u003d 0 (x ² + 3x + 2) (x ² + 9x + 20) \u003d 4, Näide: x + 3x + 2 \u003d (x + 1) (x + 2), x ² + 9x + 20 \u003d (x + 4) (x + 5) Vastused: 1) -4 ± √6; - 6; - 2. 6) - 1; 6; (5 ± √97) / 27) -7; -üks; -4 ± √3.
Reflektiivsed võrrandid. Definitsioon nr 1. Vormi võrrandit: ax⁴ + in ³ + cx ² + in + a \u003d 0 nimetatakse neljanda astme tagasivõrrandiks. Definitsioon number 2. Vormi võrrandit: ah⁴ + bx ³ + cx ² + bx + k² a \u003d 0 nimetatakse neljanda astme üldistatud tagasivõrrandiks. k2a: a \u003d k2; kv: v \u003d k. Näide nr 6. Lahendage võrrand x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 \u003d 0. Jagage võrrandi mõlemad pooled x ²-ga. x ² - 7x + 14 - 7 / x + 1 / x ² \u003d 0, (x ² + 1 / x ²) - 7 (x + 1 / x) + 14 \u003d 0. Olgu x + 1 / x \u003d y. Me võrdsustame mõlemad pooled. x ² + 2 + 1 / x ² \u003d y², x ² + 1 / x ² \u003d y² - 2. Saame ruutvõrrandi y² - 7y + 12 \u003d 0, y₁ \u003d 3, y₂ \u003d 4.x + 1 / x \u003d 3 või x + 1 / x \u003d 4. Saame kaks võrrandit: x ² - 3x + 1 \u003d 0, x ² - 4x + 1 \u003d 0. Näide №7. 3x⁴ - 2x³ - 31x² + 10x + 75 \u003d 0. 75: 3 \u003d 25, 10: (- 2) \u003d -5, (-5) ² \u003d 25. Üldistatud tagasivõrrandi tingimus on täidetud k \u003d -5. Lahendatud sarnaselt näitega nr 6. Jagage võrrandi mõlemad pooled x ²-ga. 3x⁴ - 2x - 31 + 10 / x + 75 / x ² \u003d 0,3 (x ⁴ + 25 / x ²) - 2 (x - 5 / x) - 31 \u003d 0. Olgu x - 5 / x \u003d y, ruudutame võrdsuse x ² - 10 + 25 / x ² \u003d y², x ² + 25 / x ² \u003d y² + 10. mõlemad küljed. Meil \u200b\u200bon ruutvõrrand 3y² - 2y - 1 \u003d 0, y₁ \u003d 1, y₂ \u003d - 1 / 3. x - 5 / x \u003d 1 või x - 5 / x \u003d -1/3. Saame kaks võrrandit: x ² - x - 5 \u003d 0 ja 3x² + x - 15 \u003d 0
Näited iseseisva lahenduse kohta. 1,78x⁴ - 133x³ + 78x² - 133x + 78 \u003d 0, 2.x ⁴ - 5x³ + 10x² - 10x + 4 \u003d 0, 3.x ⁴ - x ³ - 10x² + 2x + 4 \u003d 0, 4,6x⁴ + 5x³ - 38x² -10x + 24 \u003d 0,5 x ⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 \u003d 0,6 x ⁴ - 5x³ + 10x² -10x + 4 \u003d 0. Vastused: 1) 2/3; 3/2, 2) 1; 2 3) -1 ± √3; (3 ± √17) / 2, 4) -1 ± √3; (7 ± √337) / 12 5) 1; 2; (-5 ± √17) / 2, 6) 1; 2.
Homogeensed võrrandid. Definitsioon. Vormi võrrandit a₀ u³ + a₁ u² v + a₂ uv² + a₃ v³ \u003d 0 nimetatakse kolmanda astme homogeenseks võrrandiks u v suhtes. Definitsioon. Vormi a₀ u⁴ + a₁ u³v + a₂ u²v² + a₃ uv³ + a₄ v⁴ \u003d 0 võrrandit nimetatakse neljanda astme homogeenseks võrrandiks u v suhtes. Näide nr 8. Lahendage võrrand (x² - x + 1) ³ + 2x⁴ (x² - x + 1) - 3x⁶ \u003d 0 Kolmanda astme homogeenne võrrand u \u003d x²- x + 1, v \u003d x ² suhtes. Jagame võrrandi mõlemad pooled x ⁶-ga. Kontrollisime eelnevalt, et x \u003d 0 pole võrrandi juur. (x ² - x + 1 / x ²) ³ + 2 (x ² - x + 1 / x ²) - 3 \u003d 0. (x ² - x + 1) / x ²) \u003d y, y³ + 2y - 3 \u003d 0, y \u003d 1 võrrandi juur. Jagame Horneri skeemi järgi polünoomi P (x) \u003d y³ + 2y - 3 y - 1 võrra. Jagamisel saame trinoomi, millel pole juuri. Vastus: 1.
Näited iseseisva lahenduse kohta. 1,2 (x² + 6x + 1) ² + 5 (X² + 6X + 1) (X² + 1) + 2 (X² + 1) ² \u003d 0, 2. (X + 5) ⁴ - 13X² (X + 5) ² + 36X⁴ \u003d 0, 3,2 (X2 + X + 1) ² - 7 (X - 1) ² \u003d 13 (X3 - 1), 4,2 (X -1) ⁴ - 5 (X2 - 3X + 2) ² + 2 (x - 2) ⁴ \u003d 0, 5. (x ² + x + 4) ² + 3x (x ² + x + 4) + 2x² \u003d 0, vastused: 1) -1; -2 ± √3, 2) -5/3; -5/4; 5/2; 5 3) -1; -1/2; 2; 4 4) ± √2; 3 ± √2, 5) Juured puuduvad.
Määramata koefitsiendi meetod. Teoreem №3. Kaks polünoomi P (x) ja G (x) on identsed ainult siis, kui neil on sama aste ja muutuja samade astmete koefitsiendid on mõlemas polünoomis võrdsed. Näide nr 9. Faktor polünoom y⁴ - 4y³ + 5y² - 4y + 1.y⁴ - 4y³ + 5y² - 4y + 1 \u003d (y2 + wu + c) (y2 + v₁y + c₁) \u003d y ⁴ + y³ (b₁ + b) + y² (s₁ + s + b₁v) + y (päike ₁ + sv ₁) + ss ₁. Teoreemi №3 kohaselt on meil võrrandisüsteem: s₁ + s \u003d -4, s₁ + s + s₁v \u003d 5, ss ₁ + sv ₁ \u003d -4, ss ₁ \u003d 1. Süsteem on vaja lahendada täisarvudes. Viimasel täisarvude võrrandil võivad olla lahendid: c \u003d 1, c₁ \u003d 1; c \u003d -1, c \u003d \u003d -1. Olgu с \u003d с ₁ \u003d 1, siis esimesest võrrandist on meil в₁ \u003d -4 –в. Süsteemi teises võrrandis asendage в² + 4в + 3 \u003d 0, в \u003d -1, в₁ \u003d -3 või в \u003d -3, в₁ \u003d -1. Need väärtused sobivad süsteemi kolmanda võrrandiga. Kui c \u003d c ₁ \u003d -1 D
Näide nr 10. Faktor polünoom y3 - 5y + 2. y3 -5y + 2 \u003d (y + a) (y2 + wu + c) \u003d y3 + (a + b) y2 + (ab + c) y + ac. Meil on võrrandisüsteem: a + b \u003d 0, ab + c \u003d -5, ac \u003d 2. Kolmanda võrrandi võimalikud täisarvulahused: (2; 1), (1; 2), (-2; -1), (-1 ; -2). Olgu a \u003d -2, c \u003d -1. Süsteemi esimesest võrrandist в \u003d 2, mis rahuldab teist võrrandit. Asendades need väärtused soovitud võrdsusse, saame vastuse: (y - 2) (y² + 2y - 1). Teine tee. Y3 - 5y + 2 \u003d y3 -5y + 10-8 \u003d (y3 -8) -5 (y-2) \u003d (y-2) (y2 + 2y-1).
Näited iseseisva lahenduse kohta. Faktor polünoomid: 1.y⁴ + 4y3 + 6y² + 4y -8, 2.y⁴ - 4y³ + 7y2 - 6y + 2, 3. x ⁴ + 324, 4.y⁴ -8y3 + 24y2 -32y + 15.5. Lahendage võrrand faktoriseerimismeetodi abil: a) x ⁴ -3x² + 2 \u003d 0, b) x ⁵ + 5x³ -6x² \u003d 0. Vastused: 1) (y² + 2y -2) (y² + 2y +4), 2) (y - 1) ² (y² -2y + 2), 3) (x ² -6x + 18) (x ² + 6x + 18), 4) (y - 1) (y - 3) (y² - 4y + 5), 5a) ± 1; ± √2, 5b) 0; üks.
Funktsionaalne - graafiline meetod kõrgemate astmete võrrandite lahendamiseks. Näide nr 11. Lahendage võrrand x ⁵ + 5x -42 \u003d 0. Funktsioon y \u003d x ⁵ suureneb, funktsioon y \u003d 42 - 5x väheneb (k
Näited iseseisva lahenduse kohta. 1. Tõestage funktsiooni monotoonsuse omaduse abil, et võrrandil on üks juur, ja leidke see juur: a) x ³ \u003d 10 - x, b) x ⁵ + 3x³ - 11√2 - x. Vastused: a) 2, b) √2. 2. Lahendage võrrand funktsionaalse-graafilise meetodi abil: a) x \u003d ³ √x, b) l x l \u003d ⁵ √x, c) 2 \u003d 6 - x, d) (1/3) \u003d x +4, d ) (x - 1) ² \u003d log₂ x, e) log \u003d (x + ½) ², g) 1 - √x \u003d ln x, h) √x - 2 \u003d 9 / x. Vastused: a) 0; ± 1, b) 0; 1, c) 2, d) -1, e) 1; 2, f) 1, g) 1, h) 9.
Vieta valemid kõrgemate astmete võrrandite jaoks. Teoreem 5 (Vieta teoreem). Kui võrrandil a x ⁿ + a x ⁿ +… + a₁x + a₀ on n erinevat reaaljuuri x ₁, x ₂,…, x, siis nad vastavad võrdsustele: ruutvõrrandi ax² + bx + c \u003d o: x ₁ + x korral ₂ \u003d -v / a, xxx \u003d s / a; Kuupvõrrandi a₃x ³ + a₂x ² + a₁x + a₀ \u003d o korral: x ₁ + x ₂ + x ₃ \u003d -a₂ / a₃; x₁x ₂ + x₁x ₃ + x₂x ₃ \u003d a₁ / a₃; х₁х₂х ₃ \u003d -а₀ / а₃; ..., n-nda astme võrrandi jaoks: x ₁ + x ₂ + ... x \u003d - a / a, x₁x ₂ + x₁x ₃ + ... + x x \u003d a / a, ..., x₁x ₂ ... · x \u003d (- 1 ) ⁿ a₀ / a. Kehtib ka vastupidine teoreem.
Näide nr 13. Kirjutage kuupvõrrand, mille juured on pöördvõrdelised võrrandi x ³ - 6x² + 12x - 18 \u003d 0 juurtega ja koefitsient x ³ juures on 2. 1. Vieta lause järgi kuupvõrrandi jaoks on meil: x ₁ + x ₂ + x ₃ \u003d 6, x₁x ₂ + x₁x ₃ + x₂x ₃ \u003d 12, x₁x₂x ₃ \u003d 18. 2. Koostame antud juurte vastastikused ja nende jaoks rakendame pöörd-Vieta teoreemi. 1 / x ₁ + 1 / x ₂ + 1 / x ₃ \u003d (x₂x ₃ + x₁x ₃ + x₁x ₂) / x₁x₂x ₃ \u003d 12/18 \u003d 2/3. 1 / x₁x ₂ + 1 / x₁x ₃ + 1 / x₂x ₃ \u003d (x ₃ + x ₂ + x ₁) / x₁x₂x ₃ \u003d 6/18 \u003d 1/3, 1 / x₁x₂x 1/ \u003d 1/18. Saame võrrandi x ³ + 2 / 3x² + 1/3x - 1/18 \u003d 0 · 2 Vastus: 2x³ + 4 / 3x² + 2 / 3x -1/9 \u003d 0.
Näited iseseisva lahenduse kohta. 1. Kirjutage kuupvõrrand, mille juured on pöördvõrdelised võrrandi x ³ - 6x² + 11x - 6 \u003d 0 juurte ruutudega ja koefitsient x ³ juures on 8. Vastus: 8x³ - 98 / 9x² + 28 / 9x -2/9 \u003d 0. Mittestandardne meetodid kõrgemate astmete võrrandite lahendamiseks. Näide nr 12. Lahendage võrrand x ⁴ -8x + 63 \u003d 0. Koostage võrrandi vasak pool. Valime täpsed ruudud. X⁴ - 8x + 63 \u003d (x ⁴ + 16x² + 64) - (16x² + 8x + 1) \u003d (x² + 8) ² - (4x + 1) ² \u003d (x ² + 4x + 9) (x ² - 4x + 7) \u003d 0. Mõlemad diskrimineerijad on negatiivsed. Vastus: juured puuduvad.
Näide nr 14. Lahendage võrrand 21x³ + x² - 5x - 1 \u003d 0. Kui võrrandi vaba termin on ± 1, teisendatakse võrrand vähendatud võrrandiks, asendades x \u003d 1 / y. 21 / у³ + 1 / у² - 5 / у - 1 \u003d 0 · у³, у³ + 5у² -у - 21 \u003d 0. у \u003d -3 on võrrandi juur. (y + 3) (y2 + 2y -7) \u003d 0, y \u003d -1 ± 2√2. x ₁ \u003d -1/3, x ₂ \u003d 1 / -1 + 2√2 \u003d (2√2 + 1) / 7, X₃ \u003d 1 / -1 -2√2 \u003d (1-2√2) / 7 ... Näide nr 15. Lahendage võrrand 4x³-10x² + 14x - 5 \u003d 0. Korrutage võrrandi mõlemad pooled väärtusega 2. 8x³ -20x² + 28x - 10 \u003d 0, (2x) ³ - 5 (2x) ² + 14 · (2x) -10 \u003d 0. Tutvustame uue muutuja y \u003d 2x, saame redutseeritud võrrandi y³ - 5y² + 14y -10 \u003d 0, y \u003d 1 on võrrandi juur. (y - 1) (y2 - 4y + 10) \u003d 0, D
Näide nr 16. Tõestage, et võrrandil x ⁴ + x ³ + x - 2 \u003d 0 on üks positiivne juur. Olgu x (o) jaoks f (x) \u003d x ⁴ + x ³ + x - 2, f ’(x) \u003d 4x³ + 3x² + 1\u003e o. Funktsioon f (x) suureneb x\u003e o korral ja väärtus f (o) \u003d -2. Ilmselt on võrrandil üks positiivne juur ch.d. Näide nr 17. Lahendage võrrand 8x (2x² - 1) (8x⁴ - 8x² + 1) \u003d 1. IF Sharygin "Vabatahtlik matemaatika kursus 11. klassile" .M. Valgustus 1991 lk 90. 1. l x l 1 2x² - 1\u003e 1 ja 8x⁴ -8x² + 1\u003e 1 2. Tehke asendus x \u003d hubane, y € (0; n). Muude y väärtuste korral korratakse x väärtusi ja võrrandil on kuni 7 juurt. 2x² - 1 \u003d 2 cos²y - 1 \u003d cos2y, 8x⁴ - 8x² + 1 \u003d 2 (2x² - 1) ² - 1 \u003d 2 cos²2y - 1 \u003d cos4y. 3. Võrrandist saab 8 cosycos2ycos4y \u003d 1. Korrutage võrrandi mõlemad pooled siinusega. 8 sinycosycos2ycos4y \u003d patune. Rakendades topeltnurga valemit 3 korda, saame võrrandi sin8y \u003d patune, sin8y - patune \u003d 0
Näite nr 17 lahenduse valmimine. Rakendage siinusevahe valemit. 2 sin7y / 2 cos9y / 2 \u003d 0. Võttes arvesse, et y € (0; n), y \u003d 2nk / 3, k \u003d 1, 2, 3 või y \u003d n / 9 + 2nk / 9, k \u003d 0, 1, 2, 3. Tulles tagasi muutuja x juurde, saame vastus: Cos2 n / 7, cos4 n / 7, cos6 n / 7, cos n / 9, ½, cos5 n / 9, cos7 n / 9. Näited iseseisva lahenduse kohta. Leidke kõik a väärtused, mille võrrandil (x ² + x) (x ² + 5x + 6) \u003d a on täpselt kolm juurt. Vastus on 9/16. Vihje: joonistage võrrandi vasak pool graafiliselt. F max \u003d f (0) \u003d 9/16. Sirge y \u003d 9/16 lõikab funktsiooni graafikut kolmes punktis. Lahendage võrrand (x ² + 2x) ² - (x + 1) ² \u003d 55. Vastus: -4; 2. Lahendage võrrand (x + 3) ⁴ + (x + 5) ⁴ \u003d 16. Vastus: -5; -3. Lahendage võrrand 2 (x ² + x + 1) ² -7 (x - 1) ² \u003d 13 (x ³ - 1). Vastus: -1; -1/2, 2; 4 Leidke võrrandi x ³ - 12x + 10 \u003d 0 tegelike juurte arv [-3; 3/2]. Vihje: leidke tuletis ja uurige monot.
Näited iseseisva lahenduse kohta (jätkub). 6. Leidke võrrandi x ⁴ - 2x³ + 3/2 \u003d 0. tegelike juurte arv. Vastus: 2 7. Olgu x ₁, x ₂, x ₃ polünoomi P (x) \u003d x ³ - 6x² -15x + 1 juured. X₁² + x ₂² + x ₃². Vastus: 66. Suund: rakendage Vieta teoreemi. 8. Tõestage, et valemi a\u003e o ja suvalise reaali korral on x ³ + ax + b \u003d o ainult üks tegelik juur. Vihje: kontrollige vastuolu abil. Rakenda Vieta teoreem. 9. Lahendage võrrand 2 (x ² + 2) ² \u003d 9 (x ³ + 1). Vastus: ½; üks; (3 ± √13) / 2. Vihje: vähendage võrrandit homogeenseks, kasutades võrdusi X² + 2 \u003d x + 1 + x² - x + 1, x ³ + 1 \u003d (x + 1) (x ² - x + 1). 10. Lahendage võrrandisüsteem x + y \u003d x ², 3y - x \u003d y². Vastus: (0; 0), (2; 2), (√2; 2 - √2), (- √2; 2 + √2). 11. Lahendage süsteem: 4y² -3xy \u003d 2x -y, 5x² - 3y² \u003d 4x - 2y. Vastus: (o; o), (1; 1), (297/265; - 27/53).
Test. Valik 1. 1. Lahendage võrrand (x ² + x) - 8 (x ² + x) + 12 \u003d 0. 2. Lahendage võrrand (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) \u003d - 15 3. Lahendage võrrand 12x² (x - 3) + 64 (x - 3) ² \u003d x ⁴. 4. Lahendage võrrand x ⁴ - 4x³ + 5x² - 4x + 1 \u003d 0 5. Lahendage võrrandisüsteem: x² + 2y² - x + 2y \u003d 6, 1,5x² + 3y² - x + 5y \u003d 12.
Variant 2 1. (x ² - 4x) ² + 7 (x ² - 4x) + 12 \u003d 0,2 x (x + 1) (x + 5) (x + 6) \u003d 24,3 x ⁴ + 18 (x + 4) ² \u003d 11x2 (x + 4). 4.x ⁴ - 5x³ + 6x² - 5x + 1 \u003d 0. 5.x² - 2xy + y² + 2x²y - 9 \u003d 0, x - y - x²y + 3 \u003d 0,3 variant. 1. (x ² + 3x) ² - 14 (x ² + 3x) + 40 \u003d 0 2. (x - 5) (x-3) (x + 3) (x + 1) \u003d - 35,3 x4 + 8x² (x + 2) \u003d 9 (x + 2) ². 4.x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 \u003d 0. 5.x + y + x2 + y2 \u003d 18, xy + x2 + y² \u003d 19.
4. võimalus. (x ² - 2x) ² - 11 (x ² - 2x) + 24 \u003d o. (x -7) (x-4) (x-2) (x + 1) \u003d -36. X3 + 3 (x -6) 2 \u003d 4x2 (6 - x). X⁴ - 6x³ + 7x² - 6x + 1 \u003d 0. X² + 3xy + y² \u003d - 1, 2x² - 3xy - 3y² \u003d - 4. Lisaülesanne: Polünoomi P (x) jagamise (x - 1) järelejäänud osa on 4, (x + 1) jagamise ülejäänud osa on võrdne 2 ja jagatuna (x - 2) võrdub 8. Leidke P (x) jagamise ülejäänud osa (x ³ - 2x² - x + 2).
Vastused ja juhised: valik nr 1 nr 2. nr 3. nr 4. nr 5. 1. - 3; ± 2; 1 1; 2; 3. -5; -4; üks; 2. Homogeenne võrrand: u \u003d x -3, v \u003d x2 -2; -üks; 3; 4. (2; 1); (2/3; 4/3). Näidustus: 1,2 (-3) + 2,2 2,6; -2; -4 ± √6. -3 ± 2√3; - 4; - 2,1 ± √11; 4; - 2. Homogeenne võrrand: u \u003d x + 4, v \u003d x2 1; 5; 3 ± √13. (2; 1); (0; 3); (- kolmkümmend). Näidustus: 2,2 + 1, 3, 6; 2; 4; 12-3; -2; 4; 12-6; -3; -üks; 2. Homogeenne u \u003d x + 2, v \u003d x2 -6; ± 3; 2 (2; 3), (3; 2), (-2 + √7; -2 - √7); (-2 - √7; -2 + √7). Vihje: 2-1. 4. (3 ± √5) / 2 2 ± √3 2 ± √3; (3 ± √5) / 2 (5 ± √21) / 2 (1; -2), (-1; 2). Suunis: 1 4 + 2.
Lisaülesande lahendus. Bezouti teoreemi järgi: P (1) \u003d 4, P (-1) \u003d 2, P (2) \u003d 8.P (x) \u003d G (x) (x ³ - 2x² - x + 2) + ax² + inx + alates. Asendaja 1; - üks; 2. P (1) \u003d G (1) · 0 + a + b + c \u003d 4, a + b + c \u003d 4. P (-1) \u003d a - b + c \u003d 2, P (2) \u003d 4a² + 2b + c \u003d 8. Saadud kolme võrrandi süsteemi lahendamisel saame: a \u003d b \u003d 1, c \u003d 2. Vastus: x ² + x + 2.
Kriteerium nr 1 - 2 punkti. 1 punkt - üks arvutusviga. Nr 2,3,4 - 3 punkti. 1 punkt - viis ruutvõrrandini. 2 punkti - üks arvutusviga. Nr 5. - 4 punkti. 1 punkt - väljendatakse üht muutujat teise kaudu. 2 punkti - sai ühe lahenduse. 3 punkti - üks arvutusviga. Lisaülesanne: 4 punkti. 1 punkt - Bezouti teoreemi rakendati kõigi nelja juhtumi puhul. 2 punkti - koosneb võrrandisüsteemist. 3 punkti - üks arvutusviga.
Üldiselt ei saa võrrandit, mille kraad on suurem kui 4, radikaalides lahendada. Kuid mõnikord võime kõrgeima astme võrrandist leida vasakpoolse polünoomi juured, kui esindame seda polünoomide korrutisena kraadides kõige rohkem 4. Selliste võrrandite lahendus põhineb polünoomi tegurite arvestamisel, nii et soovitame teil enne selle artikli uurimist seda teemat korrata.
Enamasti tuleb tegeleda kõrgemate astmete võrranditega täisarvukoefitsientidega. Nendel juhtudel võime proovida leida ratsionaalsed juured ja seejärel polünoomi faktorida, et seejärel muuta see madalama astme võrrandiks, mida on lihtne lahendada. Selle materjali raames kaalume just selliseid näiteid.
Suurima astme võrrandid täisarvukoefitsientidega
Kõik vormi a n x n + a n - 1 x n - 1 + võrrandid. ... ... + a 1 x + a 0 \u003d 0, saame taandada sama astme võrrandiks, korrutades mõlemad pooled n n - 1-ga ja muutes muutujat kujul y \u003d a n x:
a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0 \u003d 0 aastat xn + an - 1 aasta - 1 xn - 1 +… + a 1 (an) n - 1 x + a 0 (an) n - 1 \u003d 0 y \u003d ärevus ⇒ yn + bn - 1 yn - 1 +… + b 1 y + b 0 \u003d 0
Saadud koefitsiendid on samuti terved. Seega peame lahendama kaheksanda astme vähendatud võrrandi täisarvukoefitsientidega, mille kuju on x n + a n x n - 1 +… + a 1 x + a 0 \u003d 0.
Arvutage kogu võrrandi juured. Kui võrrandil on täisarvjuured, peate neid otsima vaba termini a 0 jagurite hulgast. Kirjutagem need üles ja asendagem need omakorda algses võrdsuses, kontrollides tulemust. Kui oleme saanud identiteedi ja leidnud ühe võrrandi juure, võime selle kirjutada kujul x - x 1 · P n - 1 (x) \u003d 0. Siin on x 1 võrrandi juur ja P n - 1 (x) on jagatis x n + a n x n - 1 +… + a 1 x + a 0 x - x 1-ga.
Asendage ülejäänud jagajad, mis on välja kirjutatud P n - 1 (x) \u003d 0, alustades x 1-st, kuna juuri saab korrata. Pärast identiteedi saamist loetakse juur x 2 leitud ja võrrandi saab kirjutada järgmiselt: (x - x 1) (x - x 2) P n - 2 (x) \u003d 0. Siin saab P n - 2 (x) jagatise jagades P n - 1 (x) x - x 2-ga.
Jätkame jagajate kordamist. Leidke kõik terved juured ja tähistage nende arvuks m. Pärast seda saab algset võrrandit esitada kujul x - x 1 x - x 2 · ... · x - x m · P n - m (x) \u003d 0. Siin on P n - m (x) n - m kraadi polünoom. Loendamiseks on mugav kasutada Horneri skeemi.
Kui meie algsel võrrandil on täisarvukoefitsiendid, ei saa me lõpuks saada murdjuuri.
Selle tulemusel saime võrrandi P n - m (x) \u003d 0, mille juured võib leida mis tahes mugaval viisil. Need võivad olla irratsionaalsed või keerukad.
Näitame konkreetse näitega, kuidas sellist lahendusskeemi rakendatakse.
Näide 1
Seisund: leia võrrandi x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d 0 lahendus.
Otsus
Alustame tervete juurte leidmisega.
Meil on vaba termin võrdne miinusega kolm. Sellel on jagajad 1, - 1, 3 ja - 3. Asendame need algvõrrandisse ja vaatame, millised neist põhjustavad identiteete.
Kui x on võrdne ühega, saame 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 \u003d 0, mis tähendab, et üks on selle võrrandi juur.
Nüüd jagame polünoomi x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 veerus (x - 1):
Seega x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.
1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 \u003d 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 \u003d 0
Saime identiteedi, mis tähendab, et oleme leidnud teise võrrandi juure, mis on võrdne - 1.
Jagage veerus polünoom x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 (x + 1) -ga:
Me saame selle
x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) \u003d \u003d (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)
Asendage järgmine jagaja võrdusesse x 2 + x + 3 \u003d 0, alustades - 1:
1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0
Saadud võrdused on valed, mis tähendab, et võrrandil pole enam lahutamatuid juuri.
Ülejäänud juured on avaldise x 2 + x + 3 juured.
D \u003d 1 2 - 4 1 3 \u003d - 11< 0
Sellest järeldub, et antud ruudukujulisel trinoomil ei ole tegelikke juuri, kuid sellel on keerukad konjugaadid: x \u003d - 1 2 ± i 11 2.
Täpsustame, et pika jagamise asemel võime kasutada Horneri skeemi. Seda tehakse nii: pärast seda, kui oleme määranud võrrandi esimese juure, täidame tabeli.
Koefitsientide tabelis näeme kohe polünoomide jagamise jagatise koefitsiente, mis tähendab, et x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.
Pärast järgmise juure, mis on võrdne - 1 leidmisega, saame järgmise:
Vastus: x \u003d - 1, x \u003d 1, x \u003d - 1 2 ± i 11 2.
Näide 2
Seisund: Lahendage võrrand x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 \u003d 0.
Otsus
Vabal terminil on jagajad 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.
Kontrollime neid järjekorras:
1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 \u003d 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 \u003d 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 \u003d 0
Seega on x \u003d 2 võrrandi juur. Jagage x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 x - 2 abil, kasutades Horneri skeemi:
Selle tulemusena saame x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) \u003d 0.
2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 \u003d 0
Seega on 2 jälle juur. Jagage x 3 + x 2 - 3 x - 6 \u003d 0 x - 2:
Selle tulemusena saame (x - 2) 2 (x 2 + 3 x + 3) \u003d 0.
Ülejäänud jagureid pole mõtet kontrollida, kuna võrdsust x 2 + 3 x + 3 \u003d 0 on diskrimineerija abil kiirem ja mugavam lahendada.
Lahendame ruutvõrrandi:
x 2 + 3 x + 3 \u003d 0 D \u003d 3 2 - 4 1 3 \u003d - 3< 0
Saame keeruka konjugaadipaari: x \u003d - 3 2 ± i 3 2.
Vastus: x \u003d - 3 2 ± i 3 2.
Näide 3
Seisund: leidke võrrandi x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 \u003d 0 tegelikud juured.
Otsus
x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 \u003d 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 \u003d 0
Korrutame 2 3 võrrandi mõlemal küljel:
2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 \u003d 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 \u003d 0
Asendage muutujad y \u003d 2 x:
2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 \u003d 0 a 4 + y 3 - 20 a - 48 \u003d 0
Selle tulemusena on meil standardne 4. astme võrrand, mille saab lahendada standardskeemi abil. Kontrollime jagajaid, jagame ja saame lõpuks, et sellel on 2 tegelikku juurt y \u003d - 2, y \u003d 3 ja kaks keerukat juurt. Me ei esita siin täielikku lahendust. Asendamise tõttu on selle võrrandi tegelikud juured x \u003d y 2 \u003d - 2 2 \u003d - 1 ja x \u003d y 2 \u003d 3 2.
Vastus: x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3 2
Kui märkate tekstis viga, valige see ja vajutage klahvikombinatsiooni Ctrl + Enter
