Wie zeichnet man ein normales Fünfeck. Das richtige Fünfeck: das notwendige Minimum an Informationen
Man kann nicht ohne das Studium der Technik dieses Prozesses auskommen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Arbeit zu erledigen. Das Zeichnen eines Sterns mit einem Lineal hilft dabei, die bekanntesten Methoden dieses Prozesses zu verstehen.
Sorten von Sternen
Es gibt viele Möglichkeiten, eine solche Figur als Stern darzustellen.
Seit der Antike wurden mit seiner fünfzackigen Variante Pentagramme gezeichnet. Dies liegt an seiner Eigenschaft, mit der Sie eine Zeichnung erstellen können, ohne den Stift vom Papier abzureißen.
Es gibt auch sechszackige Kometen mit Schwanz.
Fünf Gipfel haben traditionell einen Seestern. Bilder der Weihnachtsversion werden oft in der gleichen Form gefunden.
In jedem Fall ist es zum schrittweisen Zeichnen eines fünfzackigen Sterns erforderlich, auf Spezialwerkzeuge zurückzugreifen, da das Freihandbild wahrscheinlich nicht symmetrisch und schön aussieht.
Zeichnungsausführung
Um zu verstehen, wie man einen geraden Stern zeichnet, sollte man die Essenz dieser Figur erkennen.
Die Basis für den Umriss ist eine gestrichelte Linie, deren Enden am Startpunkt zusammenlaufen. Es bildet ein regelmäßiges Fünfeck - das Fünfeck.
Besondere Eigenschaften einer solchen Figur sind die Möglichkeiten, sie in einen Kreis sowie in einen Kreis in diesem Polygon einzuschreiben.
Alle Seiten des Fünfecks sind gleich. Wenn Sie wissen, wie die Zeichnung korrekt ausgeführt wird, können Sie die Essenz des Konstruktionsprozesses aller Figuren sowie verschiedene Schemata von Teilen und Baugruppen verstehen.
Um ein Ziel wie das Zeichnen eines Sterns mit einem Lineal zu erreichen, müssen Sie die einfachsten mathematischen Formeln kennen, die für die Geometrie von grundlegender Bedeutung sind. Und Sie müssen auch auf einen Taschenrechner zählen können. Das Wichtigste ist jedoch das logische Denken.
Die Arbeit ist nicht kompliziert, erfordert jedoch Genauigkeit und Sorgfalt. Die aufgewendeten Anstrengungen werden mit einem guten symmetrischen und daher schönen Bild eines fünfzackigen Sterns belohnt.
Klassische Technik
Die bekannteste Art, einen Stern mit einem Kompass, einem Lineal und einem Winkelmesser zu zeichnen, ist ziemlich einfach.
Für diese Technik benötigen Sie mehrere Werkzeuge: einen Kompass oder Winkelmesser, ein Lineal, einen einfachen Bleistift, einen Radiergummi und ein weißes Blatt Papier.
Um zu verstehen, wie schön es ist, einen Stern zu zeichnen, sollte man Schritt für Schritt nacheinander handeln.
Sie können spezielle Berechnungen in Ihrer Arbeit verwenden.
Zahlenberechnung
In dieser Phase des Zeichnens des richtigen Sterns erscheinen die Konturen der fertigen Figur.
Wenn alles richtig gemacht wurde, ist das resultierende Bild glatt. Dies kann visuell überprüft werden, indem ein Blatt Papier gedreht und die Form bewertet wird. Es wird auf Schritt und Tritt unverändert bleiben.
Die Hauptkonturen werden mit einem Lineal und einem einfachen Stift deutlicher gezeichnet. Alle Hilfsleitungen sind eingefahren.
Um zu verstehen, wie man einen Stern schrittweise zeichnet, sollten Sie alle Aktionen sorgfältig ausführen. Im Fehlerfall können Sie die Zeichnung mit einem Radiergummi korrigieren oder alle Manipulationen erneut durchführen.
Arbeitsgestaltung
Die fertige Form kann auf verschiedene Arten dekoriert werden. Die Hauptsache - haben Sie keine Angst zu experimentieren. Fantasie wird Ihnen ein originelles und schönes Bild erzählen.
Sie können einen gemalten glatten Stern mit einem einfachen Bleistift dekorieren oder eine Vielzahl von Farben und Schattierungen verwenden.
Um herauszufinden, wie man den richtigen Stern zeichnet, müssen Sie sich in allem an perfekte Linien halten. Daher besteht die beliebteste Gestaltungsoption darin, jeden Strahl der Figur durch eine Linie von oben nach Mitte in zwei gleiche Teile zu teilen.
Sie müssen die Seiten des Sterns nicht durch Linien trennen. Es ist erlaubt, einfach jeden Strahl der Figur mit einem dunkleren Farbton von einer Seite zu übermalen.
Diese Option ist auch die Antwort auf die Frage, wie der richtige Stern gezeichnet werden soll, da alle seine Linien symmetrisch sind.
Auf Wunsch können Sie mit dem ästhetischen Design der Figur ein Ornament oder andere Elemente aller Art hinzufügen. Durch Hinzufügen von Kreisen zu den Spitzen erhalten Sie einen Sheriff-Stern. Wenn Sie die Schattenseiten glatt schattieren, erhalten Sie einen Seestern.
Diese Technik ist die gebräuchlichste, da Sie ohne großen Aufwand verstehen können, wie Sie einen fünfzackigen Stern schrittweise zeichnen. Ohne auf komplexe mathematische Berechnungen zurückzugreifen, ist es möglich, das richtige, schöne Bild zu erhalten.
Nachdem Sie alle Möglichkeiten zum Zeichnen eines Sterns mit einem Lineal in Betracht gezogen haben, können Sie selbst einen geeigneteren auswählen. Am beliebtesten ist die geometrische schrittweise Methode. Es ist ganz einfach und effektiv. Mit Fantasie und Fantasie können Sie aus der resultierenden korrekten, schönen Form eine originelle Komposition erstellen. Es gibt viele Gestaltungsmöglichkeiten für das Bild. Aber Sie können sich immer Ihre eigene, ungewöhnlichste und unvergesslichste Geschichte einfallen lassen. Hauptsache - keine Angst vor Experimenten!
Diese Figur ist ein Polygon mit einer minimalen Anzahl von Winkeln, die nicht mit einer Fläche gekachelt werden können. Nur in einem Fünfeck stimmt die Anzahl der Diagonalen mit der Anzahl seiner Seiten überein. Mit den Formeln für ein beliebiges reguläres Polygon können Sie alle erforderlichen Parameter des Fünfecks bestimmen. Passen Sie es beispielsweise in einen Kreis mit einem bestimmten Radius ein oder bauen Sie auf der Grundlage einer bestimmten Seite.
Wie zeichnet man einen Balken und welches Zeichenzubehör benötigen Sie? Nehmen Sie ein Stück Papier und markieren Sie einen Punkt an einer zufälligen Stelle. Fügen Sie dann ein Lineal hinzu und zeichnen Sie eine Linie, beginnend vom angegebenen Punkt bis unendlich. Um eine flache Linie zu zeichnen, drücken Sie die Umschalttaste und zeichnen Sie eine Linie mit der gewünschten Länge. Unmittelbar nach dem Zeichnen wird die Registerkarte Format geöffnet. Entfernen Sie die Auswahl aus der Linie und sehen Sie, dass am Anfang der Linie ein Punkt erscheint. Um eine Inschrift zu erstellen, klicken Sie auf die Schaltfläche "Inschrift zeichnen" und erstellen Sie ein Feld, in dem sich die Inschrift befindet.
Der erste Weg, ein Fünfeck zu bauen, wird als "klassischer" angesehen. Die resultierende Figur wird ein reguläres Fünfeck sein. Das zwölfseitige Dreieck ist keine Ausnahme, daher ist seine Konstruktion ohne die Verwendung eines Kompasses nicht möglich. Die Aufgabe, ein regelmäßiges Fünfeck zu konstruieren, reduziert sich auf das Problem, einen Kreis in fünf gleiche Teile zu teilen. Sie können ein Pentagramm mit einfachen Werkzeugen zeichnen.
Ich hatte lange Mühe, dies zu erreichen und unabhängig Proportionen und Abhängigkeiten zu finden, aber es gelang mir nicht. Es stellte sich heraus, dass es verschiedene Möglichkeiten gibt, ein reguläres Fünfeck zu konstruieren, das von berühmten Mathematikern entwickelt wurde. Ein interessanter Punkt ist, dass dieses Problem arithmetisch nur annähernd genau gelöst werden kann, da Sie irrationale Zahlen verwenden müssen. Aber es kann geometrisch gelöst werden.
Teilung der Kreise. Die Schnittpunkte dieser Linien mit dem Kreis sind die Eckpunkte des Quadrats. Ein vertikaler Durchmesser sollte in einem Kreis mit dem Radius R gezeichnet werden (Schritt 1). Am Konjugationspunkt N der Linie und des Kreises tangiert die Linie den Kreis.
Empfangen mit einem Papierstreifen
Ein normales Sechseck kann mit einem Raiser und einem Winkel von 30 x 60 ° gebaut werden. Die Eckpunkte eines solchen Dreiecks können mit einem Kompass und einem Quadrat mit Winkeln von 30 und 60 ° oder nur einem Kompass erstellt werden. Um die Seite 2–3 zu erstellen, setzen Sie das Tereshin auf die durch die gestrichelten Linien angegebene Position und zeichnen Sie durch Punkt 2 eine gerade Linie, die den dritten Scheitelpunkt des Dreiecks definiert. Wir markieren Punkt 1 auf dem Kreis und nehmen ihn für einen der Eckpunkte des Fünfecks. Die gefundenen Eckpunkte sind in Reihe miteinander verbunden. Ein Siebeneck kann konstruiert werden, indem Strahlen vom Pol F und durch ungerade Teilungen des vertikalen Durchmessers gezogen werden.
Und am anderen Ende des Fadens ist ein Bleistiftset und besessen. Wenn Sie einen Stern zeichnen können, aber nicht wissen, wie man ein Fünfeck zeichnet, zeichnen Sie einen Stern mit einem Bleistift, verbinden Sie die benachbarten Enden des Sterns miteinander und löschen Sie dann den Stern selbst. Legen Sie dann ein Blatt Papier ein (es ist besser, es mit vier Knöpfen oder Nadeln auf dem Tisch zu befestigen). Stecken Sie diese 5 Streifen mit Knöpfen oder Nadeln auf ein Stück Papier, um sie stationär zu halten. Kreisen Sie dann das resultierende Fünfeck ein und entfernen Sie diese Streifen vom Blatt.
Zum Beispiel müssen wir einen fünfzackigen Stern (Pentagramm) für ein Bild der sowjetischen Vergangenheit oder Gegenwart Chinas zeichnen. Dazu müssen Sie in der Lage sein, ein Sternmuster in der Perspektive zu erstellen. Auf die gleiche Weise können Sie eine Figur mit Bleistift auf Papier zeichnen. Wie man einen Stern zeichnet, damit er gleichmäßig und schön aussieht, werden Sie nicht sofort beantworten.
Lassen Sie von der Mitte aus 2 Strahlen auf den Kreis fallen, sodass der Winkel zwischen ihnen 72 Grad beträgt (Winkelmesser). Die Aufteilung des Kreises in fünf Teile erfolgt mit einem herkömmlichen Kompass oder Winkelmesser. Da das reguläre Fünfeck eine der Figuren ist, die die Proportionen des Goldenen Schnitts enthalten, haben sich Maler und Mathematiker seit langem für seine Konstruktion interessiert. Diese Konstruktionsprinzipien unter Verwendung von Kompassen und Linealen wurden in den euklidischen "Prinzipien" dargelegt.
Wenn kein Kompass zur Hand ist, können Sie einen einfachen Stern mit fünf Strahlen zeichnen und diese Strahlen dann einfach verbinden. Wie wir im Bild unten sehen, erhalten wir ein absolut normales Fünfeck.
Mathematik ist eine komplexe Wissenschaft und hat viele ihrer Geheimnisse, von denen einige sehr lustig sind. Wenn Sie solche Dinge mögen, empfehle ich Ihnen, das Buch Funny Mathematics zu finden.
Ein Kreis kann nicht nur mit einem Kompass gezeichnet werden. Sie können beispielsweise einen Bleistift und einen Faden verwenden. Wir messen den gewünschten Durchmesser am Gewinde. Ein Ende ist fest auf ein Stück Papier geklemmt, wo wir einen Kreis zeichnen. Und am anderen Ende des Fadens ist ein Bleistiftset und besessen. Jetzt verhält es sich wie mit einem Kompass: Wir ziehen den Faden um den Umfang und drücken leicht mit einem Bleistift auf den Bleistift, um einen Kreis zu zeichnen.
Zeichnen Sie innerhalb des Kreises die Bauern von der Mitte aus: eine vertikale und eine horizontale Linie. Der Schnittpunkt der vertikalen Linie und des Kreises ist der Scheitelpunkt des Fünfecks (Punkt 1). Nun teilen wir die rechte Hälfte der horizontalen Linie in zwei Hälften (Punkt 2). Wir messen den Abstand von diesem Punkt zur Spitze des Fünfecks und dieses Segment liegt links von Punkt 2 (Punkt 3). Zeichnen Sie mit einem Faden und einem Bleistift einen Bogen von Punkt 1 mit Radius zu Punkt 3, der den ersten Kreis links und rechts schneidet. Die Schnittpunkte sind die Eckpunkte des Fünfecks. Bezeichnen Sie ihre Punkte 4 und 5.
Ab Punkt 4 kreuzen wir nun den Kreis im unteren Teil mit einem Radius, der der Länge von Punkt 1 bis 4 entspricht - dies ist Punkt 6. Auf die gleiche Weise bezeichnen wir ab Punkt 5 Punkt 7.
Es bleibt, unser Fünfeck mit den Eckpunkten 1, 5, 7, 6, 4 zu verbinden.
Ich weiß, wie man ein einfaches Fünfeck mit einem Kompass baut: Bauen Sie einen Kreis, markieren Sie fünf Punkte, verbinden Sie sie. Sie können ein Fünfeck mit gleichen Seiten bauen, dafür brauchen wir noch einen Winkelmesser. Setzen Sie einfach die gleichen 5 Punkte auf den Winkelmesser. Dazu beachten wir die Winkel von 72 Grad. Dann verbinden wir auch die Segmente und erhalten die Form, die wir brauchen.
Der grüne Kreis kann mit einem beliebigen Radius gezeichnet werden. Wir werden ein regelmäßiges Fünfeck in diesen Kreis einschreiben. Es ist unmöglich, einen Kreis ohne Kompass zu zeichnen, dies ist jedoch nicht erforderlich. Der Kreis und alle weiteren Konstruktionen können von Hand gemacht werden. Als nächstes müssen Sie durch den Mittelpunkt des Kreises O zwei zueinander senkrechte Linien zeichnen und einen der Schnittpunkte der Linie mit dem Kreis A bestimmen. Punkt A ist der Scheitelpunkt des Fünfecks. Teilen Sie den OB-Radius in zwei Hälften und setzen Sie Punkt C. Zeichnen Sie von Punkt C aus einen zweiten Kreis mit einem Radius von AC. Von Punkt A zeichnen wir einen dritten Kreis mit einem Radius AD. Die Schnittpunkte des dritten Kreises mit dem ersten (E und F) sind auch die Eckpunkte des Fünfecks. Aus den Punkten E und F mit dem Radius AE machen wir Serifen auf dem ersten Kreis und erhalten die verbleibenden Eckpunkte des Fünfecks G und H.
Anhänger der schwarzen Kunst: Um ein Fünfeck einfach, schön und schnell zu zeichnen, sollten Sie eine korrekte, harmonische Grundlage für das Pentagramm (fünfzackiger Stern) zeichnen und die Enden der Strahlen dieses Sterns durch gerade, gerade Linien verbinden. Wenn alles richtig gemacht wurde, ist die Verbindungslinie um die Basis das gewünschte Fünfeck.
(in der Abbildung - ein fertiges, aber nicht gefülltes Pentagramm)
Für diejenigen, die sich über die korrekte Gestaltung des Pentagramms nicht sicher sind: Nehmen Sie Da Vinci als Grundlage für den vitruvianischen Mann (siehe unten).
Wenn Sie ein Fünfeck benötigen, stecken Sie 5 Punkte nach dem Zufallsprinzip und ihre äußere Kontur ist ein Fünfeck.
Wenn Sie ein reguläres Fünfeck benötigen, ist diese Konstruktion ohne mathematischen Kompass nicht zu vervollständigen, da Sie ohne dieses Kompass keine zwei identischen, aber nicht parallelen Segmente zeichnen können. Jedes andere Werkzeug, mit dem Sie zwei identische, aber nicht parallele Segmente zeichnen können, entspricht einer mathematischen Schaltung.
Zuerst müssen Sie einen Kreis zeichnen, dann die Hilfslinien, dann den zweiten gepunkteten Kreis, den oberen Punkt finden, dann die beiden oberen Ecken messen und die unteren daraus zeichnen. Beachten Sie, dass der Radius des Kompasses für die gesamte Konstruktion gleich ist.
Es hängt davon ab, welches Fünfeck Sie benötigen. Wenn überhaupt, setzen Sie fünf Punkte und verbinden Sie sie miteinander (natürlich sind die Punkte nicht in einer geraden Linie gesetzt). Und wenn Sie ein Fünfeck mit der richtigen Form benötigen, nehmen Sie eine beliebige Länge von fünf (Papierstreifen, Streichhölzer, Bleistifte usw.), legen Sie das Fünfeck aus und zeichnen Sie es.
Ein Fünfeck kann beispielsweise von einem Stern gezeichnet werden. Wenn Sie einen Stern zeichnen können, aber nicht wissen, wie man ein Fünfeck zeichnet, zeichnen Sie einen Stern mit einem Bleistift, verbinden Sie die benachbarten Enden des Sterns miteinander und löschen Sie dann den Stern selbst.
Der zweite Weg. Schneiden Sie einen Papierstreifen mit einer Länge, die der gewünschten Seite des Fünfecks entspricht, und einen schmalen, z. B. 0,5 - 1 cm. Schneiden Sie wie im Muster vier weitere Streifen entlang dieses Streifens, um 5 zu erhalten.
Legen Sie dann ein Blatt Papier ein (es ist besser, es mit vier Knöpfen oder Nadeln auf dem Tisch zu befestigen). Dann legen Sie diese 5 Streifen auf ein Stück, so dass sie ein Fünfeck bilden. Stecken Sie diese 5 Streifen mit Knöpfen oder Nadeln auf ein Stück Papier, um sie stationär zu halten. Kreisen Sie dann das resultierende Fünfeck ein und entfernen Sie diese Streifen vom Blatt.
Wenn es keinen Kompass gibt und Sie ein Fünfeck bauen müssen, kann ich Folgendes empfehlen. Ich habe es selbst gebaut. Sie können den richtigen fünfzackigen Stern zeichnen. Und danach müssen Sie nur noch alle Eckpunkte des Sterns verbinden, um ein Fünfeck zu erhalten. Und so wird es ein Fünfeck werden. Das bekommen wir
Mit flachen schwarzen Linien verbanden wir die Spitzen des Sterns und bekamen ein Fünfeck.
5.3. Goldenes Fünfeck; der Bau von Euklid.
Ein wunderbares Beispiel für den "goldenen Schnitt" ist ein regelmäßiges Fünfeck - konvex und sternförmig (Abb. 5).
Um ein Pentagramm zu erstellen, müssen Sie ein reguläres Fünfeck erstellen.
Sei O der Mittelpunkt des Kreises, A der Punkt auf dem Kreis und E die Mitte des Segments OA. Die am Punkt O wiederhergestellte Senkrechte zum Radius OA schneidet den Kreis am Punkt D. Stellen Sie mit einem Kompass CE \u003d ED auf den Durchmesser ein. Die Länge der Seite eines regelmäßigen Fünfecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist, beträgt DC. Setzen Sie DC-Segmente auf den Kreis und erhalten Sie fünf Punkte, um ein reguläres Fünfeck zu zeichnen. Wir verbinden die Ecken des Fünfecks durch eine Diagonale und erhalten ein Pentagramm. Alle Diagonalen eines Fünfecks teilen sich in Segmente, die durch einen goldenen Schnitt verbunden sind.
Jedes Ende des fünfeckigen Sterns ist ein goldenes Dreieck. Seine Seiten bilden an der Spitze einen Winkel von 36 °, und die seitlich gelegte Basis teilt sie proportional zum Goldenen Schnitt.
Es gibt auch einen goldenen Quader - es ist ein rechteckiges Parallelepiped mit Kanten mit Längen von 1,618, 1 und 0,618.
Betrachten Sie nun die von Euklid in The Beginnings vorgeschlagenen Beweise.
| |
vom Zentrum des umschriebenen Kreises. Beginnen Sie mit
segment ABE, geteilt im Durchschnitt und
Also sei AC \u003d AE. Wir bezeichnen mit a die gleichen Winkel von EMU und CEB. Da AC \u003d AE ist, ist der Winkel ACE auch gleich a. Der Satz, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks 180 Grad beträgt, ermöglicht es uns, den Winkel von ALL zu finden: Es ist 180-2a, und der Winkel der EAC ist 3a ist 180. Aber dann ist der Winkel von ABC 180-a. Wenn wir die Winkel des Dreiecks ABC zusammenfassen, erhalten wir
180 \u003d (3a - 180) + (3a - 180) + (180 - a)
Woher 5a \u003d 360, dann a \u003d 72.
Jeder der Winkel an der Basis des GEWICHTSdreiecks ist also doppelt so groß wie der Winkel an der Spitze, was 36 Grad entspricht. Um ein reguläres Fünfeck zu bauen, muss daher nur ein Kreis gezeichnet werden, der am Punkt E zentriert ist und die EU am Punkt X und die Seite EB am Punkt Y schneidet: Das Segment XY dient als eine der Seiten des regulären Fünfecks, das in den Kreis eingeschrieben ist. Wenn Sie den ganzen Kreis umrunden, finden Sie alle anderen Seiten.
Wir beweisen nun, dass AC \u003d AE ist. Angenommen, der Scheitelpunkt C ist durch ein Liniensegment mit dem Mittelpunkt N des Segments BE verbunden. Da CB \u003d CE ist, ist der Winkel CNE gerade. Nach dem Satz von Pythagoras:
CN 2 \u003d a 2 - (a / 2j) 2 \u003d a 2 (1-4j 2)
Von hier aus haben wir (AC / a) 2 \u003d (1 + 1 / 2j) 2 + (1-1 / 4j 2) \u003d 2 + 1 / j \u003d 1 + j \u003d j 2
Also, AC \u003d ja \u003d jAB \u003d AE, je nach Bedarf
5.4 Spirale von Archimedes.
Wenn Sie nacheinander Quadrate von unendlich zu goldenen Rechtecken schneiden und die gegenüberliegenden Punkte jedes Mal mit einem Viertelkreis verbinden, erhalten Sie eine ziemlich elegante Kurve. Die erste Aufmerksamkeit schenkte ihr der antike griechische Wissenschaftler Archimedes, dessen Namen sie trägt. Er studierte es und leitete die Gleichung dieser Spirale ab.
Derzeit ist die Archimedes-Spirale in der Technologie weit verbreitet.
6. Fibonacci-Zahlen.
Der goldene Schnitt ist indirekt mit dem Namen des italienischen Mathematikers Leonardo aus Pisa verbunden, der besser unter seinem Spitznamen Fibonacci (Fibonacci - abgekürzter Filius Bonacci, dh Sohn von Bonacci) bekannt ist.
Im Jahr 1202 er schrieb das Buch "Liber abacci", das heißt das "Buch über den Abakus". Liber abacci ist ein umfangreiches Werk, das fast alle arithmetischen und algebraischen Informationen der Zeit enthält und in den nächsten Jahrhunderten eine herausragende Rolle bei der Entwicklung der Mathematik in Westeuropa spielte. Insbesondere aus diesem Buch lernten die Europäer hinduistische ("arabische") Figuren kennen.
Das im Buch beschriebene Material wird zu einer Vielzahl von Aufgaben erläutert, die einen wesentlichen Teil dieser Abhandlung ausmachen.
Betrachten Sie ein solches Problem:
"Wie viele Kaninchenpaare werden in einem Jahr aus einem Paar geboren?
Jemand hat ein Kaninchenpaar an einem von einer Mauer umzäunten Ort platziert, um herauszufinden, wie viele Kaninchenpaare in diesem Jahr geboren werden, wenn die Art der Kaninchen so ist, dass ein Monat später ein Kaninchenpaar ein anderes reproduziert und Kaninchen ab dem zweiten Monat nach ihrer Geburt gebären. "
| Monate | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Kaninchenpaare | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
Gehen wir nun von Kaninchen zu Zahlen und betrachten die folgende numerische Reihenfolge:
u 1, u 2 ... u n
wobei jeder Term gleich der Summe der beiden vorhergehenden ist, d.h. für jedes n\u003e 2
u n \u003d u n -1 + u n -2.
Diese Sequenz tendiert asymptotisch (näher und langsamer und langsamer) zu einer konstanten Beziehung. Dieses Verhältnis ist jedoch irrational, dh es ist eine Zahl mit einer unendlichen, unvorhersehbaren Folge von Dezimalstellen im Bruchteil. Es ist unmöglich, sicher auszudrücken.
Wenn ein Mitglied der Fibonacci-Sequenz durch das vorhergehende geteilt wird (z. B. 13: 8), ist das Ergebnis ein Wert, der um den irrationalen Wert von 1,61803398875 schwankt ... und ihn manchmal überschreitet und ihn dann nicht erreicht.
Das asymptotische Verhalten der Sequenz, die gedämpften Schwingungen ihres Verhältnisses um die irrationale Zahl Ф können deutlicher werden, wenn wir die Beziehungen der ersten Mitglieder der Sequenz zeigen. Dieses Beispiel zeigt die Beziehung des zweiten Terms zum ersten, dritten zum zweiten, vierten zum dritten und so weiter:
1: 1 \u003d 1,0000, was um 0,6180 weniger als phi ist
2: 1 \u003d 2,0000, was bei 0,3820 mehr Phi ist
3: 2 \u003d 1,5000, was bei 0,1180 weniger als phi ist
5: 3 \u003d 1,6667, was bei 0,0486 mehr Phi ist
8: 5 \u003d 1,6000, was um 0,0180 weniger als fi ist
Während Sie sich entlang der Fibonacci-Summationssequenz bewegen, teilt jedes neue Mitglied das nächste mit einer immer größeren Annäherung an das unerreichbare F.
Der Mensch sucht unbewusst nach göttlichem Verhältnis: Es ist notwendig, um sein Bedürfnis nach Trost zu befriedigen.
Wenn Sie ein Mitglied der Fibonacci-Sequenz durch das nächste dividieren, erhalten Sie einfach die Umkehrung von 1,618 (1: 1,618 \u003d 0,618). Dies ist aber auch ein sehr ungewöhnliches, sogar bemerkenswertes Phänomen. Da die anfängliche Beziehung ein unendlicher Bruchteil ist, sollte diese Beziehung auch kein Ende haben.
Wenn wir jede Zahl durch die nächste teilen, erhalten wir die Zahl 0,382
Wenn wir die Beziehungen auf diese Weise auswählen, erhalten wir den Hauptsatz der Fibonacci-Koeffizienten: 4,235, 2,618, 1,618,0,618,0,382,0,236. Wir erwähnen auch 0,5. Alle spielen eine besondere Rolle in der Natur und insbesondere in der technischen Analyse.
Es sollte hier angemerkt werden, dass Fibonacci nur seine Abfolge an die Menschheit erinnerte, da es in der Antike unter dem Namen Goldener Schnitt bekannt war.
Der goldene Schnitt entsteht, wie wir gesehen haben, in Verbindung mit einem regulären Fünfeck, daher spielen Fibonacci-Zahlen eine Rolle in allem, was sich auf reguläre Fünfecke bezieht - konvex und sternförmig.
Die Fibonacci-Reihe könnte nur ein mathematischer Vorfall bleiben, wenn nicht alle Forscher der Goldteilung in der Pflanzen- und Tierwelt, ganz zu schweigen von der Kunst, ausnahmslos als arithmetischer Ausdruck des Gesetzes der Goldteilung zu dieser Reihe gekommen wären. Die Wissenschaftler entwickelten die Theorie der Fibonacci-Zahlen und des Goldenen Schnitts aktiv weiter. Yu. Matiyasevich löst mit Fibonacci-Zahlen das 10. Hilbert-Problem (zur Lösung diophantinischer Gleichungen). Es gibt elegante Methoden zur Lösung einer Reihe kybernetischer Probleme (Suchtheorie, Spiele, Programmierung) unter Verwendung von Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt. In den USA wird sogar die Mathematical Fibonacci Association gegründet, die seit 1963 eine Sonderzeitschrift herausgibt.
Eine der Errungenschaften in diesem Bereich ist die Entdeckung verallgemeinerter Fibonacci-Zahlen und verallgemeinerter goldener Schnitte. Die Fibonacci-Reihe (1, 1, 2, 3, 5, 8) und die von ihm entdeckte „binäre“ Reihe von Zahlen 1, 2, 4, 8, 16 ... (dh die Zahlenreihe bis n, bei der jede natürliche Zahl kleiner ist n kann durch die Summe einiger Zahlen in dieser Reihe dargestellt werden) auf den ersten Blick völlig anders. Die Algorithmen zu ihrer Konstruktion sind sich jedoch sehr ähnlich: Im ersten Fall ist jede Zahl die Summe der vorherigen Zahl mit sich selbst 2 \u003d 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., in der Sekunde ist es die Summe der beiden vorherigen Zahlen 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Ist es möglich, die allgemeine mathematische Formel zu finden, aus der wir erhalten binäre "Serie und die Fibonacci-Serie?
Definieren wir in der Tat einen numerischen Parameter S, der beliebige Werte annehmen kann: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... Betrachten Sie eine numerische Reihe, deren erste Glieder S + 1 sind, und jedes der folgenden Elemente ist gleich der Summe zweier Glieder des vorherigen und Abstand zum vorherigen durch S Schritte. Wenn wir das n-te Mitglied dieser Reihe mit S (n) bezeichnen, erhalten wir die allgemeine Formel S (n) \u003d S (n - 1) + S (n - S - 1).
Offensichtlich erhalten wir für S \u003d 0 aus dieser Formel die "binäre" Reihe, für S \u003d 1 - die Fibonacci-Reihe, für S \u003d 2, 3, 4. neue Zahlenreihen, die Fibonacci-S-Zahlen genannt werden.
Im Allgemeinen ist der goldene S-Anteil die positive Wurzel der goldenen S-Schnitt-Gleichung x S + 1 - x S - 1 \u003d 0.
Es ist leicht zu zeigen, dass bei S \u003d 0 die Teilung des Segments in zwei Hälften erhalten wird und bei S \u003d 1 der bekannte klassische goldene Schnitt erhalten wird.
Die Beziehungen benachbarter S-Fibonacci-Zahlen mit absoluter mathematischer Genauigkeit stimmen im Grenzbereich mit den goldenen S-Proportionen überein! Das heißt, goldene S-Schnitte sind numerische Invarianten von Fibonacci-S-Zahlen.
7.Goldabschnitt in Kunst.
7.1. Goldener Schnitt in der Malerei.
In Bezug auf das Beispiel des „Goldenen Schnitts“ in der Malerei, können wir reparieren seine Aufmerksamkeit nicht auf den Werken von Leonardo da Vinci. Seine Persönlichkeit - eines der Geheimnisse der Geschichte. Leonardo da Vinci sagte: „Niemand sollte, kein Mathematiker sein, es nicht wagen, meine Werke zu lesen.“
Es besteht kein Zweifel, dass Leonardo da Vinci ein großer Künstler war, erkannt wird bereits von seinen Zeitgenossen, aber seine Persönlichkeit und Aktivitäten im Dunkel bleiben, da er die Nachwelt nicht verbunden Darlegung seiner Ideen verlassen, aber nur zahlreiche handschriftliche Entwürfe, stellt fest, dass „sagen alles. "
Porträt von Mona Lisa (La Gioconda) seit vielen Jahren die Aufmerksamkeit der Forscher angezogen, die, dass die Zusammensetzung des Bildes gefunden auf dem Goldenen Dreieck basiert, ist ein Teil des rechten stellate Fünfeck ..
Auch der Anteil des Goldenen Schnitts ist in der Abbildung Schischkina gezeigt. Das berühmte Gemälde von Ivan Shishkin deutlich die Motive des Goldenen Schnitts sichtbar. Hell sunlit Kiefer (für Vordergrund stehen) teilt die Länge eines Bildes des Goldenen Schnitts. Recht von dem Kiefer - sonnendurchfluteten Hügel. Es teilt die goldene Schnitt rechte Seite des Bildes horizontal.
In dem Gemälde von Raphael "Massacre of the Innocents" ist ein weiteres Element des goldenen Schnitts betrachtet - die goldene Spirale. An der vorbereitenden Skizze Raphael aus roten Linien aus dem fiktiven Zentrum der Komposition ausgeführt - der Punkt, wo die Krieger Finger um das Baby Knöchel geschlossen - entlang der Formen des Kindes, die Frau, drückt ihn zu ihr, einen Krieger mit einem erhobenen Schwert und dann entlang der Formen der gleichen Gruppe auf der rechten Seite Skizze . Es ist nicht, ob das Gebäude Rafael goldene Spirale bekannt oder fühlte es.
T.Kuk verwendet, wenn das Bild von Sandro Botticelli „Geburt der Venus“ goldener secheneie zu analysieren.
7.2. Pyramiden des Goldenen Schnitts.
für die medizinischen Eigenschaften der Pyramiden, vor allem des Goldenen Schnitt allgemein bekannt. Nach einigen der beliebtesten Glauben, das Zimmer, in dem es eine solche Pyramide, wie es scheint mehr und die Luft - transparent. Träume beginnen, sich besser zu erinnern. Wir wissen auch, dass das goldene Verhältnis weit verbreitet in der Architektur und Skulptur verwendet wurde. Ein Beispiel hierfür ist: das Pantheon und der Parthenon in Griechenland, das Gebäude Architekten Bazhenov und Malevich
8. Schlussfolgerung.
Es muss gesagt werden, dass das goldene Verhältnis ist von großem Nutzen in unserem Leben.
Es wurde nachgewiesen, dass der menschliche Körper im Verhältnis des Goldenen Schnitts Linie Gürtels unterteilt ist.
Nautilusshell ist wie eine goldene Spirale verdreht.
Dank des goldenen Schnitts wurde der Asteroidengürtel zwischen Mars und Jupiter entdeckt - im Verhältnis zu einem anderen Planeten sollte es dort sein.
Die Anregung der Saite an dem Punkt, an dem sie in Bezug auf die Goldteilung geteilt wird, führt nicht dazu, dass die Saite schwingt, dh es handelt sich um einen Kompensationspunkt.
In Flugzeugen mit elektromagnetischen Energiequellen werden rechteckige Zellen mit einem Anteil des Goldenen Schnitts erzeugt.
Die Mona Lisa ist auf goldenen Dreiecken aufgebaut, eine goldene Spirale ist auf Raphaels "Beating the Babies" vorhanden.
Der Anteil findet sich in Sandro Botticellis „Geburt der Venus“
Es gibt viele architektonische Denkmäler, die nach dem Goldenen Schnitt gebaut wurden, darunter das Pantheon und der Parthenon in Athen sowie die Gebäude der Architekten Bazhenov und Malevich.
John Kepler, der vor fünf Jahrhunderten lebte, gehört das Sprichwort: "Geometrie hat zwei große Schätze. Der erste ist der Satz von Pythagoras, der zweite ist die Aufteilung des Segments in extreme und mittlere Begriffe."
Referenzliste
1. D. Pidow. Geometrie und Kunst. - M.: Mir, 1979.
2. Die Zeitschrift "Science and Technology"
3. Die Zeitschrift "Quantum", 1973, Nr. 8.
4. Die Zeitschrift "Mathematics in School", 1994, Nr. 2; Nummer 3.
5. Kovalev F.V. Goldener Schnitt in der Malerei. K.: Higher School, 1989.
6. Stakhov A. Codes des Goldenen Schnitts.
7. Vorobyov N.N. "Fibonacci-Zahlen" - M .: Science 1964
8. "Mathematik - Enzyklopädie für Kinder" M .: Avanta +, 1998
9. Informationen aus dem Internet.
Fibonacci-Matrizen und die sogenannten "goldenen" Matrizen, neue Computerarithmetik, eine neue Codierungstheorie und eine neue Theorie der Kryptographie. Das Wesen der neuen Wissenschaft, in Überarbeitung unter dem Gesichtspunkt des Goldenen Schnitts aller Mathematik, beginnend mit Pythagoras, was natürlich neue und wahrscheinlich sehr interessante mathematische Ergebnisse in der Theorie mit sich bringen wird. In der Praxis - die "goldene" Computerisierung. Und seit ...
Beeinflusst dieses Ergebnis nicht. Die Basis des Goldenen Schnitts ist eine Invariante der rekursiven Verhältnisse 4 und 6. Dies zeigt die „Stabilität“ des Goldenen Schnitts, eines der Prinzipien der Organisation lebender Materie. Die Basis des Goldenen Schnitts ist auch die Lösung für zwei exotische rekursive Sequenzen (Abb. 4.). 4 rekursive Fibonacci-Sequenzen also ...
Das Ohr ist j5 und der Abstand vom Ohr zur Krone ist j6. Somit sehen wir in dieser Statue einen geometrischen Verlauf mit dem Nenner j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Abb. 9). Somit ist der Goldene Schnitt eines der Grundprinzipien in der Kunst des antiken Griechenland. Herz- und Gehirnrhythmus. Das menschliche Herz schlägt gleichmäßig - in Ruhe etwa 60 Schläge pro Minute. Das Herz drückt sich wie ein Kolben zusammen ...
Ozhegovs Erklärungswörterbuch besagt, dass ein Fünfeck von fünf sich kreuzenden geraden Linien begrenzt wird, die fünf innere Ecken bilden, sowie von Objekten ähnlicher Form. Wenn ein bestimmtes Polygon alle Seiten und Winkel gleich hat, wird es als regulär (Fünfeck) bezeichnet.
Warum ist ein normales Fünfeck interessant?
In dieser Form wurde das bekannte Gebäude des US-Verteidigungsministeriums von allen gebaut. Von den volumetrischen regulären Polyedern hat nur das Dodekaeder Gesichter in Form eines Fünfecks. Aber in der Natur gibt es überhaupt keine Kristalle, deren Gesichter einem normalen Fünfeck ähneln würden. Außerdem ist diese Figur ein Polygon mit einer minimalen Anzahl von Winkeln, die nicht mit einer Fläche gekachelt werden können. Nur in einem Fünfeck stimmt die Anzahl der Diagonalen mit der Anzahl seiner Seiten überein. Stimmen Sie zu, das ist interessant!
Grundlegende Eigenschaften und Formeln
Mit den Formeln für ein beliebiges reguläres Polygon können Sie alle erforderlichen Parameter des Fünfecks bestimmen.
- Zentralwinkel α \u003d 360 / n \u003d 360/5 \u003d 72 °.
- Innenwinkel β \u003d 180 ° * (n-2) / n \u003d 180 ° * 3/5 \u003d 108 °. Dementsprechend beträgt die Summe der Innenwinkel 540 °.
- Das Verhältnis der Diagonale zur Seite beträgt (1 + √5) / 2, d. H. (Ungefähr 1,618).
- Die Länge der Seite des regulären Fünfecks kann mit einer von drei Formeln berechnet werden, je nachdem, welcher Parameter bereits bekannt ist:
- wenn ein Kreis um ihn herum beschrieben wird und sein Radius R bekannt ist, dann ist a \u003d 2 · R · sin (α / 2) \u003d 2 · R · sin (72 ° / 2) ≈ 1,1756 · R;
- in dem Fall, in dem ein Kreis mit dem Radius r in ein reguläres Fünfeck eingeschrieben ist, ist a \u003d 2 · r · tg (α / 2) \u003d 2 · r · tg (α / 2) ≤ 1,453 · r;
- es kommt vor, dass anstelle der Radien die Diagonale D bekannt ist, dann wird die Seite wie folgt bestimmt: a ≈ D / 1,618.
- Die Fläche des regulären Fünfecks wird wiederum bestimmt, je nachdem, welchen Parameter wir kennen:
- wenn es einen eingeschriebenen oder umschriebenen Kreis gibt, wird eine von zwei Formeln verwendet:
S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r oder S \u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≤ 2,3776 * R 2;
- die Fläche kann auch bestimmt werden, indem nur die Länge der Seite bekannt wird. a:
S \u003d (5 * a 2 * tg54 °) / 4 ≤ 1,7205 * a 2.
Regelmäßiges Fünfeck: Gebäude
Diese geometrische Form kann auf verschiedene Weise aufgebaut werden. Zum Beispiel ist es in einen Kreis mit einem vorbestimmten Radius auf einer vorbestimmten Seite build basierend zu passen. Sequenz wurde in den „Elementen“ des Euklid um 300 vor Christus beschrieben Auf jeden Fall brauchen wir einen Kompass und ein Lineal. Betrachten mit einem Verfahren zur Herstellung eines vorgegebenen Umfang zu konstruieren.
1. Wählen eines beliebigen Radius, und einen Kreis zeichnen, bezeichnet seinen Mittelpunkt O.
2. Auf der Kreislinie, wählen Sie einen Punkt, der als einer der Höhepunkte unserer Fünfeck dienen. Dies sei die Punkte O und A ein Punkt Liniensegment A. Connect sein.
3. Zeichnen senkrecht Punkt eine Linie durch OA auf die gerade Linie. Platz Schnittpunkt dieser Geraden mit der Kreismarkierung als Punkt B.
4. In der Mitte des Abstandes zwischen den Punkten O und B build Punkt C.
5. Nun einen Kreis, dessen Mittelpunkt an dem Punkt C ziehen und die mit geraden Linie OB dem Punkt A. Position seiner Kreuzung durchläuft (sie innerhalb des ersten Kreises wäre) ist der Punkt D.
Construct 6. einen Kreis durch D, dessen Mittelpunkt mit dem ursprünglichen Kreis im Bereich A der Kreuzung ist notwendig, um die Punkte E und F zu identifizieren
7. Jetzt ein Kreis, dessen Mittelpunkt in E. bauen Um dies zu tun, ist es notwendig, so dass es durch A. geht es ein weiteres der ursprünglichen Kreiskreuzungspunkt zu Markierung erforderlich ist
8. Schließlich einen Kreis mit Mittelpunkt A durch den Punkt F. Mark einen weiteren Schnittpunkt des ursprünglichen Kreises H. konstruieren
9. Jetzt müssen Sie nur die Spitze A, E, G, H, F. Unser regelmäßiges Fünfeck bereit sein wird verbinden!
