Радиус описанной около него окружности. Как найти радиус окружности

Цели урока:

Углубить знания по теме «Описанная окружности в треугольниках»

Задачи урока:

Систематизировать знания по этой теме
Подготовиться к решению задач повышенной сложности.

План урока:

Введение.
Теоретическая часть.
Для треугольника.
Практическая часть.

Введение.

Тема «Вписанные и описанные окружности в треугольниках» является одной из самых сложных в курсе геометрии. На уроках ей уделяется очень мало времени.

Геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы.
Для успешного выполнения этих заданий необходимы твердые знания основных геометрических фактов и некоторый опыт в решении геометрических задач.

Теоретическая часть.

Описанная окружность многоугольника - окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Свойства.

Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Для треугольника.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом только одну . Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.

У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри , у тупоугольного - вне треугольника , у прямоугольного - на середине гипотенузы .

Радиус описанной окружности может быть найден по формулам:

Где:
a,b,c - стороны треугольника,
α - угол, лежащий против стороны a,
S - площадь треугольника.

Доказать:

т.О - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ΔABC

Доказательство:

ΔAОC - равнобедренный, т.к. ОА=ОС (как радиусы)
ΔAОC - равнобедренный, перпендикуляр OD - медиана и высота, т.е. т.О лежит на серединном перпендикуляре к стороне АС
Аналогично доказывается, что т.О лежит на серединных перпендикулярах к сторонам АВ и ВС

Что и требовалось доказать.

Замечание.

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединным перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Предмети > Математика > Математика 7 класс

Начальный уровень

Описанная окружность. Визуальный гид (2019)

Первый вопрос, который может возникнуть: описанная - вокруг чего?

Ну, вообще-то иногда бывает и вокруг чего угодно, а мы будем рассуждать об окружности, описанной вокруг (иногда ещё говорят «около») треугольника. Что же это такое?

И вот, представь себе, имеет место удивительный факт:

Почему этот факт удивительный?

Но ведь треугольники - то бывают разные!

И для всякого найдётся окружность, которая пройдёт через все три вершины , то есть описанная окружность.

Доказательство этого удивительного факта можешь найти в следующих уровнях теории, а здесь заметим только, что если взять, к примеру, четырехугольник, то уже вовсе не для всякого найдётся окружность, проходящая через четыре вершины. Вот, скажем, параллелограмм - отличный четырехугольник, а окружности, проходящей через все его четыре вершины - нет!

А есть только для прямоугольника:

Ну вот, а треугольник всякий и всегда имеет собственную описанную окружность! И даже всегда довольно просто найти центр этой окружности.

Знаешь ли ты, что такое серединный перпендикуляр ?

А теперь посмотрим, что получится, если мы рассмотрим целых три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника.

Вот оказывается (и это как раз и нужно доказывать, хотя мы и не будем), что все три перпендикуляра пересекутся в одной точке. Смотри на рисунок - все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке.

Как ты думаешь, всегда ли центр описанной окружности лежит внутри треугольника? Представь себе - вовсе не всегда!

А вот если остроугольный, то - внутри:

Что же делать с прямоугольным треугольником?

Да ещё с дополнительным бонусом:

Раз уж заговорили о радиусе описанной окружности: чему он равен для произвольного треугольника? И есть ответ на этот вопрос: так называемая .

А именно:

Ну и, конечно,

1. Существование и центр описанной окружности

Тут возникает вопрос: а для всякого ли треугольника существует такая окружность? Вот оказывается, что да, для всякого. И более того, мы сейчас сформулируем теорему, которая ещё и отвечает на вопрос, где же находится центр описанной окружности.

Смотри, вот так:

Давай наберёмся мужества и докажем эту теорему. Если ты читал уже тему « » разбирался в том, почему же три биссектрисы пересекаются в одной точке, то тебе будет легче, но и если не читал - не переживай: сейчас во всём разберёмся.

Доказательство будем проводить, используя понятие геометрического места точек (ГМТ).

Ну вот, например, является ли множество мячей - «геометрическим местом» круглых предметов? Нет, конечно, потому что бывают круглые …арбузы. А является ли множество людей, «геометрическим местом», умеющих говорить? Тоже нет, потому что есть младенцы, которые говорить не умеют. В жизни вообще сложно найти пример настоящего «геометрического места точек». В геометрии проще. Вот, к примеру, как раз то, что нам нужно:

Тут множество - это серединный перпендикуляр, а свойство « » - это «быть равноудаленной (точкой) от концов отрезка».

Проверим? Итак, нужно удостовериться в двух вещах:

Всякая точка, которая равноудалена от концов отрезка - находится на серединном перпендикуляре к ему.

Соединим с и с.Тогда линия является медианой и высотой в. Значит, - равнобедренный, - убедились, что любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, одинаково удалена от точек и.

Возьмём - середину и соединим и. Получилась медиана. Но - равнобедренный по условию не только медиана, но и высота, то есть - серединный перпендикуляр. Значит, точка - точно лежит на серединном перпендикуляре.

Всё! Полностью проверили тот факт, что серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка.

Это все хорошо, но не забыли ли мы об описанной окружности? Вовсе нет, мы как раз подготовили себе «плацдарм для нападения».

Рассмотрим треугольник. Проведём два серединных перпендикуляра и, скажем, к отрезкам и. Они пересекутся в какой-то точке, которую мы назовем.

А теперь, внимание!

Точка лежит на серединном перпендикуляре;
точка лежит на серединном перпендикуляре.
И значит, и.

Отсюда следует сразу несколько вещей:

Во - первых , точка обязана лежать на третьем серединном перпендикуляре, к отрезку.

То есть серединный перпендикуляр тоже обязан пройти через точку, и все три серединных перпендикуляра пересеклись в одной точке.

Во - вторых : если мы проведём окружность с центром в точке и радиусом, то эта окружность также пройдёт и через точку, и через точку, то есть будет описанной окружностью. Значит, уже есть, что пересечение трёх серединных перпендикуляров - центр описанной окружности для любого треугольника.

И последнее: о единственности. Ясно (почти), что точку можно получить единственным образом, поэтому и окружность - единственная. Ну, а «почти» - оставим на твоё размышление. Вот и доказали теорему. Можно кричать «Ура!».

А если в задаче стоит вопрос «найдите радиус описанной окружности»? Или наоборот, радиус дан, а требуется найти что - то другое? Есть ли формула, связывающая радиус описанной окружность с другими элементами треугольника?

Обрати внимание: теорема синусов сообщает, что для того чтобы найти радиус описанной окружности, тебе нужна одна сторона (любая!) и противолежащий ей угол . И всё!

3. Центр окружности - внутри или снаружи

А теперь вопрос: может ли центр описанной окружности лежать снаружи треугольника.
Ответ: ещё как может. Более того, так всегда бывает в тупоугольном треугольнике.

И вообще:

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Окружность, описанная около треугольника

Это окружность, которая проходит через все три вершины этого треугольника.

2. Существование и центр описанной окружности

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 499 руб.

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Радиус - это отрезок, который соединяет любую точку на окружности с ее центром. Это одна из самых важных характеристик данной фигуры, поскольку на ее основе можно вычислить все другие параметры. Если знать, как найти радиус окружности, то можно рассчитать ее диаметр, длину, а также площадь. В том случае, когда данная фигура вписана или описана вокруг другой, то можно решить еще целый ряд задач. Сегодня мы разберем основные формулы и особенности их применения.

Известные величины

Если знать, как найти радиус окружности, который обычно обозначают буквой R, то его можно вычислить по одной характеристике. К таким величинам относят:

длину окружности (C);
диаметр (D) - отрезок (вернее, хорда), который проходит через центральную точку;
площадь (S) - пространство, которое ограничено данной фигурой.

По длине окружности

Если в задаче известна величина C, то R = С / (2 * П). Эта формула является производной. Если мы знаем, что из себя представляет длина окружности, то ее уже не нужно запоминать. Предположим, что в задаче C = 20 м. Как найти радиус окружности в этом случае? Просто подставляем известную величину в вышеприведенную формулу. Отметим, что в таких задачах всегда подразумевается знание числа П. Для удобства расчетов примем его значение за 3,14. Решение в этом случае выглядит следующим образом: записываем, какие величины даны, выводим формулу и проводим вычисления. В ответе пишем, что радиус равен 20 / (2 * 3,14) = 3,19 м. Важно не забыть о том, что мы считали, и упомянуть название единиц измерения.

По диаметру

Сразу подчеркнем, что это самый простой вид задач, в которых спрашивается о том, как найти радиус окружности. Если такой пример попался вам на контрольной, то можете быть спокойны. Тут даже не нужен калькулятор! Как мы уже говорили, диаметр - это отрезок или, правильнее сказать, хорда, которая проходит через центр. При этом все точки окружности равноудалены. Поэтому данная хорда состоит из двух половинок. Каждая из них является радиусом, что следует из его определения как отрезка, который соединяет точку на окружности и ее центр. Если в задаче известен диаметр, то для нахождения радиуса нужно просто разделить эту величину на два. Формула выглядит следующим образом: R = D / 2. Например, если диаметр в задаче равен 10 м, то радиус - 5 метров.

По площади круга

Этот тип задач обычно называют самым сложным. Это связано в первую очередь с незнанием формулы. Если знать, как найти радиус окружности в этом случае, то остальное - дело техники. В калькуляторе только нужно заранее найти значок вычисления квадратного корня. Площадь круга - это произведение числа П и радиуса, умноженного на самого себя. Формула выглядит следующим образом: S = П * R 2 . Обособив радиус на одной из сторон уравнения, можно с легкость решить задачу. Он будет равен квадратному корню из частного от деления площади на число П. Если S = 10 м, то R = 1,78 метров. Как и в предыдущих задачах, важно не забыть об используемых единицах измерения.

Как найти радиус описанной окружности

Предположим, что a, b, c - это стороны треугольника. Если знать их величины, то можно найти радиус описанной вокруг него окружности. Для этого сначала нужно найти полупериметр треугольника. Чтобы было легче для восприятия, обозначим его маленькой буквой p. Он будет равен половине суммы сторон. Его формула: p = (a + b + c) / 2.

Также вычислим произведение длин сторон. Для удобства обозначим его буквой S. Формула радиуса описанной окружности будет выглядеть так: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Рассмотрим пример задачи. У нас есть окружность, описанная вокруг треугольника. Длины ее сторон составляют 5, 6 и 7 см. Сначала вычисляем полупериметр. В нашей задаче он будет равен 9 сантиметрам. Теперь вычислим произведение длин сторон - 210. Подставляем результаты промежуточных расчетов в формулу и узнаем результат. Радиус описанной окружности равен 3,57 сантиметра. Записываем ответ, не забывая о единицах измерения.

Как найти радиус вписанной окружности

Предположим, что a, b, c - длины сторон треугольника. Если знать их величины, то можно найти радиус вписанной в него окружности. Сначала нужно найти его полупериметр. Для облегчения понимания обозначим его маленькой буквой p. Формула его вычисления выглядит следующим образом: p = (a + b + c) / 2. Этот тип задачи несколько проще, чем предыдущий, поэтому больше не нужно никаких промежуточных расчетов.

Радиус вписанной окружности вычисляется по следующей формуле: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Рассмотрим это на конкретном примере. Предположим, в задаче описан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. В него вписана окружность, радиус которой и нужно найти. Сначала находим полупериметр. В нашей задаче он будет равен 11 см. Теперь подставляем его в основную формулу. Радиус окажется равным 1,65 сантиметрам. Записываем ответ и не забываем о правильных единицах измерения.

Окружность и ее свойства

У каждой геометрической фигуры есть свои особенности. Именно от их понимания зависит правильность решения задач. Есть они и у окружности. Зачастую их используют при решении примеров с описанными или вписанными фигурами, поскольку они дают ясное представление о такой ситуации. Среди них:

Прямая может иметь ноль, одну или две точки пересечения с окружностью. В первом случае она с ней не пересекается, во втором является касательной, в третьем - секущей.
Если взять три точки, что не лежат на одной прямой, то через них можно привести только одну окружность.
Прямая может быть касательной сразу двух фигур. В этом случае она будет проходить через точку, которая лежит на отрезке, соединяющем центры окружностей. Его длина равна сумме радиусов данных фигур.
Через одну или две точки можно провести бесконечное количество окружностей.

Вам понадобится

Треугольник с заданными параметрами
Циркуль
Линейка
Угольник
Таблица синусов и косинусов
Математические понятия
Определение высоты треугольника
Формулы синусов и косинусов
Формула площади треугольника

Инструкция

Начертите треугольник с нужными параметрами. Треугольник либо по трем сторонам, либо по двум сторонам и углу между ними, либо по стороне и двум прилежащим к ней углам. Обозначьте вершины треугольника как А, В и С, углы - как α, β, и γ, а противолежащие вершинам углом стороны - как а, b и c.

Проведите ко всем сторонам треугольника и найдите точку их пересечения. Обозначьте высоты как h с соответствующими сторонам индексами. Найдите точку их пересечения и обозначьте ее О. Она и будет являться центром окружности. Таким образом, радиусами этой окружности будут являться отрезки ОА, ОВ и ОС.

Радиус найти по двум формулам. Для одной вам необходимо сначала вычислить . Она равна всех сторон треугольника на синус любого из углов, деленному на 2.

В этом случае радиус описанной окружности вычисляется по формуле

Для другой достаточно длину одной из сторон и синус противолежащего угла.

Вычислите радиус и опишите треугольника окружность.

Полезный совет

Вспомните, что такое высота треугольника. Это перпендикуляр, проведенный из угла к противолежащей стороне.

Площадь треугольника может быть представлена и как произведение квадрата одной из сторон на синусы двух прилежащих углов, деленное на удвоенный синус суммы этих углов.
S=а2*sinβ*sinγ/2sinγ

Источники:

таблица с радиусами описанной окружности
Радиус окружности, описанной около равностороннего

Считается описанной вокруг многоугольника в том случае, если она касается всех его вершин. Что примечательно, центр подобной окружности совпадает с точкой пересечения перпендикуляров, проведенных из середин сторон многоугольника. Радиус описанной окружности полностью зависит от того многоугольника, вокруг которого она описана.

Вам понадобится

Знать стороны многоугольника, его площадь/периметр.

Инструкция

Обратите внимание

Вокруг многоугольника можно описать окружность только в том случае, если он правильный, т.е. все его стороны равны и все его углы равны.
Тезис, гласящий, что центром описанной вокруг многоугольника окружности является пересечение его серединных перпендикуляров, справедлив для всех правильных многоугольников.

Источники:

как найти радиус многоугольника

Если для многоугольника удается построить и описанную окружности, то площадь этого многоугольника меньше площади описанной окружности, но больше площади вписанной окружности. Для некоторых многоугольников известны формулы для нахождения радиуса вписанной и описанной окружностей.

Инструкция

Вписанной в многоугольник окружность, касающаяся всех сторон многоугольника. Для треугольника радиуса окружности: r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2, где p - полупериметр; a, b, c - стороны треугольника. Для формула упрощается: r = a/(2*3^1/2), а - сторона треугольника.

Описанной вокруг многоугольника называется такая окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Для треугольника радиус находится по формуле: R = abc/(4(p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2), где p - полупериметр; a, b, c - стороны треугольника. Для правильного проще: R = a/3^1/2.

Для многоугольников не всегда возможно выяснить соотношение радиусов вписанных и и длин его сторон. Чаще ограничиваются построением таких окружностей около многоугольника, а затем физического радиуса окружностей с помощью измерительных приборов или векторного пространства.
Для построения описанной окружности выпуклого многоугольника строят биссектрисы двух его углов, на их пересечении лежит центр описанной окружности. Радиусом будет расстояние от точки пересечения биссектрис до вершины любого угла многоугольника. Центр вписанной на пересечении перпендикуляров, построенных вовнутрь многоугольника из центров сторон (эти перпендикуляры срединными). Достаточно построить два таких перпендикуляра. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от точки пересечения срединных перпендикуляров до стороны многоугольника.

Видео по теме

Обратите внимание

В произвольно заданный многоугольник нельзя вписать окружность и описать окружность вокруг него.

Полезный совет

В четырехугольник можно вписать окружность, если a+c = b+d, где a, b, с, d - стороны четырехугольника по порядку. Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если противоположные его углы в сумме дают 180 градусов;

Для треугольника такие окружности всегда существуют.

Совет 4: Как найти по трем сторонам площадь треугольника

Поиск площади треугольника - одна из самых распространенных задач школьной планиметрии. Знания трех сторон треугольника достаточно для определения площади любого треугольника. В частных случаях и равностороннего треугольников достаточно знать длины двух и одной стороны соответственно.

Вам понадобится

длины сторон треугольников, формула Герона, теорема косинусов

Инструкция

Формула Герона для площади треугольника следующим образом: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Если расписать полупериметр p, то получится: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c)/2)) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Можно вывести формулу для площади треугольника и из соображений, например, применив теорему косинусов.

По теореме косинусов AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Используя введенные обозначения, эти можно также в виде: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Отсюда, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Площадь треугольника находится также по формуле S = a*c*sin(ABC)/2 через две стороны и угол между ними. Синус угла ABC можно выразить через его с помощью основного тригонометрического тождества: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Подставляя синус в формулу для площади и расписывая его, можно прийти к формуле для площади треугольника ABC.

Видео по теме

Три точки, однозначно определяющие треугольник в Декартовой системе координат - это его вершины. Зная их положение относительно каждой из координатных осей можно вычислить любые параметры этой плоской фигуры, включая и ограничиваемую ее периметром площадь . Это можно сделать несколькими способами.

Инструкция

Используйте формулу Герона для расчета площади треугольника . В ней задействованы размеры трех сторон фигуры, поэтому вычисления начините с . Длина каждой стороны должна быть равна корню из суммы квадратов длин ее проекций на координатные оси. Если обозначить координаты A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃), длины их сторон можно выразить так: AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Для упрощения расчетов введите вспомогательную переменную - полупериметр (Р). Из , что это половина суммы длин всех сторон: Р = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) + √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Рассчитайте площадь (S) по формуле Герона - извлеките корень из произведения полупериметра на разность между ним и длиной каждой из сторон. В общем виде ее можно записать так: S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √(P*(P-√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²))*(P-√((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)).

Для практических расчетов удобно пользоваться специализированными -калькуляторами. Это скрипты, размещенные на серверах некоторых сайтов, которые проделают все необходимые расчеты на основе координат, введенных вами в соответствующую форму. Единственный такого сервиса - он не дает объяснений и обоснований для каждого шага вычислений. Поэтому, если вас интересует только конечный результат, а не вычисления в общем виде, перейдите, например, на страницу http://planetcalc.ru/218/.

В поля формы введите каждую координату каждой из вершин треугольника - они здесь как Ax, Ay, Az и т.д. Если треугольник задан двухмерными координатами, в поля - Az, Bz и Cz - пишите ноль. В поле «Точность вычисления» установите нужное число знаков после запятой, кликая мышкой плюса или минуса. Помещенную под формой оранжевую кнопку «Рассчитать» нажимать не обязательно, вычисления будут произведены и без этого. Ответ вы найдете рядом с надписью «Площадь треугольника » - она размещена сразу под оранжевой кнопкой.

Источники:

найдите площадь треугольника с вершинами в точках

Иногда около выпуклого многоугольника можно начертить таким образом, чтобы вершины всех углов лежали на ней. Такую окружность по отношению к многоугольнику надо называть описанной. Ее центр не обязательно должен находиться внутри периметра вписанной фигуры, но пользуясь свойствами описанной окружности , найти эту точку, как правило, не очень трудно.

Вам понадобится

Линейка, карандаш, транспортир или угольник, циркуль.

Инструкция

Если многоугольник, около которого нужно описать окружность, начерчен на бумаге, для нахождения центр а круга достаточно линейки, карандаша и транспортира либо угольника. Измерьте длину любой из сторон фигуры, определите ее середину и поставьте в этом месте чертежа вспомогательную точку. С помощью угольника или транспортира проведите внутри многоугольника перпендикулярный этой стороне отрезок до пересечения с противоположной стороной.

Проделайте эту же операцию с любой другой стороной многоугольника. Пересечение двух построенных отрезков и будет искомой точкой. Это вытекает из основного свойства описанной окружности - ее центр в выпуклом многоугольнике с любым сторон всегда лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к этим

Начальный уровень

Описанная окружность. Визуальный гид (2019)

Первый вопрос, который может возникнуть: описанная - вокруг чего?

И вот, представь себе, имеет место удивительный факт:

Почему этот факт удивительный?

Но ведь треугольники - то бывают разные!

И для всякого найдётся окружность, которая пройдёт через все три вершины , то есть описанная окружность.

А есть только для прямоугольника:

Знаешь ли ты, что такое серединный перпендикуляр ?

А вот если остроугольный, то - внутри:

Что же делать с прямоугольным треугольником?

Да ещё с дополнительным бонусом:

А именно:

Ну и, конечно,

1. Существование и центр описанной окружности

Смотри, вот так:

Доказательство будем проводить, используя понятие геометрического места точек (ГМТ).

Проверим? Итак, нужно удостовериться в двух вещах:

Всякая точка, которая равноудалена от концов отрезка - находится на серединном перпендикуляре к ему.

А теперь, внимание!

Точка лежит на серединном перпендикуляре;
точка лежит на серединном перпендикуляре.
И значит, и.

Отсюда следует сразу несколько вещей:

Во - первых , точка обязана лежать на третьем серединном перпендикуляре, к отрезку.

3. Центр окружности - внутри или снаружи

И вообще:

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Окружность, описанная около треугольника

Это окружность, которая проходит через все три вершины этого треугольника.

2. Существование и центр описанной окружности

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Теперь самое главное.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Но и это - не главное.

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Как? Есть два варианта:

Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 499 руб.

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!