Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums. Problēmu risināšanas piemēri

Aplūkotā diskrēto sadalījumu īpašība rada ievērojamas grūtības šādu sadalījumu tabulēšanā un izmantošanā, jo izrādās, ka nav iespējams precīzi uzturēt sadalījuma raksturlielumu tipiskās skaitliskās vērtības. Jo īpaši tas attiecas uz neparametrisko statistisko testu kritiskajām vērtībām un nozīmīguma līmeņiem (skatīt zemāk), jo šo testu statistikas sadalījums ir diskrēts.

Kārtības kvantilei statistikā ir liela nozīme. R= ½. To sauc par mediānu (gadījuma lieluma X vai tā izplatīšanas funkcija F (x)) un apzīmēts Es (X).Ģeometrijā ir jēdziens "mediāna" - taisna līnija, kas iet caur trijstūra virsotni un sadala pretējo malu uz pusēm. Matemātiskajā statistikā mediāna uz pusēm sadala nevis trijstūra malu, bet gadījuma lieluma sadalījumu: vienādība F (x 0,5)= 0,5 nozīmē, ka varbūtība trāpīt pa kreisi x 0,5 un varbūtība nokļūt pa labi x 0,5(vai tieši iekšā x 0,5) ir vienādi viens ar otru un vienādi ar ½, tas ir,

P(X < x 0,5) = P(X > x 0,5) = ½.

Mediāna norāda sadalījuma "centru". No viena no mūsdienu jēdzieniem - stabilu statistisko procedūru teorijas - viedokļa mediāna ir labāka gadījuma lieluma īpašība nekā matemātiskā cerība. Apstrādājot mērījumu rezultātus kārtas skalā (skat. nodaļu par mērījumu teoriju), var izmantot mediānu, bet ne matemātisko cerību.

Nejaušam lieluma raksturlielumam, piemēram, režīmam, ir skaidra nozīme — gadījuma lieluma vērtība (vai vērtības), kas atbilst lokālajam varbūtības blīvuma maksimumam nepārtrauktam gadījuma mainīgajam vai lokālajam varbūtības maksimumam diskrētam gadījuma mainīgajam. .

Ja x 0- nejauša lieluma režīms ar blīvumu f (x), tad, kā zināms no diferenciālrēķina,.

Nejaušam mainīgajam var būt vairāki režīmi. Tātad vienmērīgam sadalījumam (1) katrs punkts X tāds, ka a< x < b , ir mode. Tomēr šis ir izņēmums. Lielākajai daļai nejaušo mainīgo, ko izmanto varbūtības-statistikas lēmumu pieņemšanā un citos lietišķajos pētījumos, ir viens režīms. Nejaušus lielumus, blīvumus, sadalījumus, kuriem ir viens režīms, sauc par unimodāliem.

Matemātiskās cerības diskrētiem gadījuma lielumiem ar ierobežotu vērtību skaitu ir apskatītas nodaļā "Notikumi un varbūtības". Nepārtrauktam nejaušam mainīgajam X paredzamā vērtība M (X) apmierina vienlīdzību

kas ir analogs formulai (5) no nodaļas "Notikumi un varbūtības" 2. apgalvojuma.

5. piemērs. Matemātiskās cerības vienmērīgi sadalītam gadījuma mainīgajam X vienāds

Šajā nodaļā aplūkotajiem nejaušajiem mainīgajiem ir patiesas visas tās matemātisko gaidu un dispersiju īpašības, kas tika aplūkotas iepriekš diskrētiem gadījuma mainīgajiem ar ierobežotu vērtību skaitu. Tomēr mēs nesniedzam šo īpašību pierādījumus, jo tie prasa dziļāku izpratni par matemātikas smalkumiem, kas nav nepieciešams varbūtības-statistisko lēmumu pieņemšanas metožu izpratnei un kvalificētai pielietošanai.

komentēt.Šī mācību grāmata apzināti izvairās no matemātiskām smalkumiem, kas jo īpaši saistīti ar izmērāmu kopu un izmērāmu funkciju jēdzieniem, notikumu algebru utt. Tiem, kas vēlas apgūt šos jēdzienus, ir jāatsaucas uz speciālo literatūru, jo īpaši uz enciklopēdiju.

Katrs no trim raksturlielumiem – matemātiskā prognoze, mediāna, režīms – apraksta varbūtības sadalījuma "centru". Centru var definēt dažādos veidos – tātad trīs dažādas īpašības. Tomēr svarīgai sadalījumu klasei - simetriskajam unimodālajam - visi trīs raksturlielumi sakrīt.

Izplatības blīvums f (x)- simetriskā sadalījuma blīvums, ja ir skaitlis x 0 tāds, ka

. (3)

Vienādība (3) nozīmē, ka funkcijas grafiks y = f (x) simetrisks attiecībā pret vertikālu līniju caur simetrijas centru X = X 0. No (3) izriet, ka simetriskā sadalījuma funkcija apmierina attiecību

(4)

Simetriskam sadalījumam ar vienu režīmu matemātiskā cerība, mediāna un režīms sakrīt un ir vienādi x 0.

Vissvarīgākais ir simetrijas gadījums aptuveni 0, t.i. x 0= 0. Tad (3) un (4) kļūst par vienādībām

(6)

attiecīgi. Iepriekš minētās attiecības parāda, ka nav nepieciešams tabulēt simetriskus sadalījumus visiem X, pietiek ar galdiem priekš x > x 0.

Atzīmēsim vēl vienu simetrisko sadalījumu īpašību, kas pastāvīgi tiek izmantota varbūtības-statistiskajās lēmumu pieņemšanas un citos lietišķajos pētījumos. Nepārtrauktai izplatīšanas funkcijai

P (| X | < a) = P (-a < X < a) = F (a) - F (-a),

kur F- gadījuma lieluma sadalījuma funkcija X... Ja sadales funkcija F simetrisks attiecībā pret 0, t.i. formula (6) tam ir derīga, tad

P (| X | < a) = 2F (a) - 1.

Bieži tiek izmantots cits aplūkojamā apgalvojuma formulējums: ja

.

Ja un ir sadalījuma funkcijas kārtas kvantiles un attiecīgi (sk. (2)) simetriskas attiecībā pret 0, tad no (6) izriet, ka

No pozīcijas pazīmēm - matemātiskā gaida, mediāna, režīms - mēs pievēršamies gadījuma lieluma izplatības pazīmēm. X: dispersija, standartnovirze un variācijas koeficients v... Diskrētu gadījuma lielumu dispersijas definīcija un īpašības tika apspriestas iepriekšējā nodaļā. Nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem

Standarta novirze ir dispersijas nenegatīvā kvadrātsakne:

Variācijas koeficients ir standarta novirzes attiecība pret matemātisko cerību:

Variācijas koeficients tiek piemērots, kad M (X)> 0. Tas mēra starpību relatīvās vienībās, bet standarta novirze ir absolūtās vienībās.

6. piemērs. Vienmērīgi sadalītam gadījuma mainīgajam X atrast dispersiju, standarta novirzi un variācijas koeficientu. Izkliede ir vienāda ar:

Mainīgā aizstāšana ļauj rakstīt:

kur c = (b – a)/ 2. Līdz ar to standartnovirze ir vienāda ar un variācijas koeficients ir šāds:

Katram nejaušam mainīgajam X noteikt vēl trīs daudzumus - centrēts Y normalizēts V un dots U... Centrēts nejaušais mainīgais Y Ir atšķirība starp doto nejaušo mainīgo X un tās matemātiskās cerības M (X), tie. Y = X — M (X). Centrēta nejaušā mainīgā gaidīšana Y ir vienāds ar 0, un dispersija ir dotā nejaušā mainīgā lieluma dispersija: M (Y) = 0, D(Y) = D(X). Sadales funkcija F Y(x) centrēts nejaušais mainīgais Y kas saistīti ar sadales funkciju F(x) sākotnējais nejaušais mainīgais X attiecība:

F Y(x) = F(x + M(X)).

Šo nejaušo mainīgo blīvums apmierina vienādību

f Y(x) = f(x + M(X)).

Normalizēts gadījuma lielums V Ir dotā nejaušā mainīgā lieluma attiecība X līdz tās standarta novirzei, t.i. ... Normalizēta gadījuma lieluma matemātiskā gaida un dispersija V izteikts ar raksturlielumiem X Tātad:

,

kur v- sākotnējā gadījuma lieluma variācijas koeficients X... Izplatīšanas funkcijai F V(x) un blīvums f V(x) normalizēts gadījuma mainīgais V mums ir:

kur F(x) - sākotnējā gadījuma lieluma sadalījuma funkcija X, a f(x) Vai tā varbūtības blīvums.

Samazināts nejaušības lielums U Ir centrēts un normalizēts gadījuma mainīgais:

.

Samazinātajam gadījuma mainīgajam

Normalizētie, centrētie un reducētie nejaušie mainīgie tiek pastāvīgi izmantoti gan teorētiskajos pētījumos, gan algoritmos, programmatūras produktos, normatīvi tehniskajā un instrukciju-metodiskajā dokumentācijā. Jo īpaši tāpēc, ka vienlīdzība ļauj vienkāršot metožu pamatojumu, teorēmu formulēšanu un aprēķinu formulas.

Tiek izmantotas nejaušo lielumu transformācijas un vispārīgāks plāns. Tātad ja Y = aX + b, kur a un b- tad daži cipari

7. piemērs. Ja tad Y Vai ir reducēts gadījuma mainīgais, un formulas (8) pārvēršas formulās (7).

Ar katru nejaušo mainīgo X var būt saistīti daudzi nejauši mainīgie Y dots pēc formulas Y = aX + b ar dažādiem a> 0 un b. Šo komplektu sauc mēroga bīdes ģimeneģenerē nejaušais mainīgais X... Izplatīšanas funkcijas F Y(x) veido skalas nobīdes sadalījumu saimi, ko ģenerē sadalījuma funkcija F(x). Tā vietā Y = aX + b bieži lieto apzīmējumus

Numurs Ar tiek saukts par maiņas parametru un skaitli d- mēroga parametrs. Formula (9) to parāda X- noteikta daudzuma mērīšanas rezultāts - nonāk Ir- tās pašas vērtības mērījuma rezultāts, ja mērījuma sākumu pārceļ uz punktu Ar un pēc tam izmantojiet jauno mērvienību, in d reizes lielāks nekā vecais.

Mēroga nobīdes saimei (9) sadalījumu X sauc par standarta. Lēmumu pieņemšanas un citu lietišķo pētījumu varbūtības-statistiskajās metodēs tiek izmantots standarta normālais sadalījums, standarta Veibula-Gņedenko sadalījums, standarta gamma sadalījums u.c. (skat. zemāk).

Tiek izmantotas arī citas nejaušo mainīgo transformācijas. Piemēram, pozitīvam gadījuma mainīgajam X apsver Y= lg X kur lg X- skaitļa decimāllogaritms X... Līdztiesības ķēde

F Y (x) = P ( lg X< x) = P(X < 10x) = F ( 10x)

savieno sadales funkcijas X un Y.

Apstrādājot datus, tiek izmantoti šādi nejaušā lieluma raksturlielumi X kā kārtības brīži q, t.i. gadījuma mainīgā matemātiskā cerība X q, q= 1, 2, ... Tātad pati matemātiskā gaida ir 1. kārtas moments. Diskrētam gadījuma mainīgajam secības moments q var aprēķināt kā

Nepārtrauktam nejaušam mainīgajam

Kārtības mirkļi q tiek saukti arī par pasūtījuma sākuma momentiem q, atšķirībā no radniecīgām īpašībām - pasūtījuma centrālajiem momentiem q, dots pēc formulas

Tātad dispersija ir galvenais kārtības punkts 2.

Normālais sadalījums un centrālā robežu teorēma. Varbūtības un statistiskās lēmumu pieņemšanas metodēs mēs bieži runājam par normālu sadalījumu. Dažreiz viņi mēģina to izmantot, lai modelētu sākotnējo datu izplatību (šie mēģinājumi ne vienmēr ir pamatoti - skatiet tālāk). Vēl svarīgāk ir tas, ka daudzas datu apstrādes metodes ir balstītas uz faktu, ka aprēķināto vērtību sadalījums ir tuvu normālam.

Ļaujiet X 1 , X 2 ,…, X n M(X i) = m un dispersijas D(X i) = , i = 1, 2,…, n, ... Kā izriet no iepriekšējās nodaļas rezultātiem,

Apsveriet samazināto gadījuma lielumu U n par summu , proti,

Kā izriet no formulas (7), M(U n) = 0, D(U n) = 1.

(par identiski izplatītiem terminiem). Ļaujiet X 1 , X 2 ,…, X n, ... ir neatkarīgi identiski sadalīti nejauši mainīgie ar matemātiskām cerībām M(X i) = m un dispersijas D(X i) = , i = 1, 2,…, n, ... Tad jebkuram x ir ierobežojums

kur F (x) Vai standarta normālā sadalījuma funkcija.

Vairāk par funkciju F (x) - zemāk (lasiet "phi no x", jo F- grieķu lielais burts "phi").

Centrālās robežu teorēmas (CLT) nosaukums ir tāpēc, ka tas ir galvenais, visbiežāk izmantotais varbūtības teorijas un matemātiskās statistikas matemātiskais rezultāts. CLT vēsture ilgst aptuveni 200 gadus - no 1730. gada, kad angļu matemātiķis A. Moivre (1667-1754) publicēja pirmos ar CLT saistītos rezultātus (skat. tālāk par Moivra-Laplasa teorēmu), līdz divdesmitajiem un trīsdesmitajiem gadiem. divdesmitā gadsimta, kad soms Dž. Lindebergs, francūzis Pols Levijs (1886-1971), dienvidslāvs V. Fellers (1906-1970), krievs A.Ya. Khinchin (1894-1959) un citi zinātnieki ieguva nepieciešamos un pietiekamus nosacījumus klasiskās centrālās robežu teorēmas derīgumam.

Aplūkojamās tēmas attīstība nemaz neapstājās - tika pētīti gadījuma lielumi bez dispersijas, t.i. tie, kuriem

(akadēmiķis B.V. Gņedenko u.c.), situācija, kad tiek summēti sarežģītākas dabas gadījuma lielumi (precīzāk, nejaušības elementi) nekā skaitļi (akadēmiķi Ju.V.Prohorovs, A.A.Borovkovs un viņu domubiedri) utt. .d.

Sadales funkcija F (x) ko dod vienlīdzība

,

kur ir standarta normālā sadalījuma blīvums, kuram ir diezgan sarežģīta izteiksme:

.

Šeit = 3,1415925 ... ir ģeometrijā zināms skaitlis, kas vienāds ar apkārtmēra attiecību pret diametru, e = 2,718281828 ... - naturālo logaritmu bāze (lai iegaumētu šo skaitli, ņemiet vērā, ka 1828. gads ir rakstnieka Ļeva Tolstoja dzimšanas gads). Kā zināms no matemātiskās analīzes,

Apstrādājot novērojumu rezultātus, normālā sadalījuma funkcija netiek aprēķināta pēc dotajām formulām, bet tiek atrasta, izmantojot īpašas tabulas vai datorprogrammas. Labākās krievu valodā "Matemātiskās statistikas tabulas" sastādīja PSRS Zinātņu akadēmijas korespondējošie biedri L.N. Boļševs un Ņ.V. Smirnovs.

Standarta normālā sadalījuma blīvuma forma izriet no matemātiskās teorijas, kuru mēs šeit nevaram aplūkot, kā arī no CLT pierādījuma.

Ilustrācijai mēs piedāvājam nelielas sadales funkcijas tabulas F (x)(2. tabula) un tās kvantilēm (3. tabula). Funkcija F (x) simetrisks attiecībā pret 0, kas ir atspoguļots 2-3 tabulā.

2. tabula.

Standarta normālā sadalījuma funkcija.

Ja nejaušs mainīgais X ir sadales funkcija F (x), tad M (X) = 0, D(X) = 1. Šis apgalvojums ir pierādīts varbūtību teorijā, izejot no varbūtības blīvuma formas. Tas piekrīt līdzīgam apgalvojumam par reducētā gadījuma mainīgā lieluma īpašībām U n, kas ir diezgan dabiski, jo CLT apgalvo, ka, bezgalīgi palielinoties terminu skaitam, sadales funkcija U n tiecas uz standarta normālā sadalījuma funkciju F (x), un jebkuram X.

3. tabula.

Standarta normālā sadalījuma kvantiles.

Ieviesīsim normālo sadalījumu saimes jēdzienu. Pēc definīcijas normālais sadalījums ir gadījuma lieluma sadalījums X, kuram reducētā gadījuma lieluma sadalījums ir F (x). Kā izriet no sadalījumu skalas nobīdes saimju vispārīgajām īpašībām (skatīt iepriekš), normālais sadalījums ir nejauša lieluma sadalījums

kur X- gadījuma lielums ar sadalījumu F (X), Turklāt m = M(Y), = D(Y). Normāls sadalījums ar nobīdes parametriem m un mērogs parasti tiek apzīmēts N(m, ) (dažreiz tiek izmantots apzīmējums N(m, ) ).

Kā izriet no (8), normālā sadalījuma varbūtības blīvums N(m, ) tur ir

Normālie sadalījumi veido mēroga nobīdes saimi. Šajā gadījumā mēroga parametrs ir d= 1 / un maiņas parametrs c = - m/ .

Normālā sadalījuma trešās un ceturtās kārtas centrālajiem momentiem ir spēkā vienādības

Šīs vienādības ir pamatā klasiskajām metodēm, lai pārbaudītu, vai novērojumu rezultāti atbilst normālam sadalījumam. Pašlaik parasti tiek ieteikts pārbaudīt normālu pēc kritērija WŠapiro - Vilks. Normalitātes pārbaudes problēma ir aplūkota turpmāk.

Ja nejaušie mainīgie X 1 un X 2 ir izplatīšanas funkcijas N(m 1 , 1) un N(m 2 , 2) attiecīgi, tad X 1+ X 2 ir izplatīšana Tāpēc, ja nejaušie mainīgie X 1 , X 2 ,…, X n N(m, ) , tad to vidējais aritmētiskais

ir izplatīšana N(m, ) ... Šīs normālā sadalījuma īpašības pastāvīgi tiek izmantotas dažādās varbūtības un statistiskās lēmumu pieņemšanas metodēs, jo īpaši tehnoloģisko procesu statistiskajā regulēšanā un statistiskajā pieņemšanas kontrolē, pamatojoties uz kvantitatīviem kritērijiem.

Ar normālā sadalījuma palīdzību tiek noteikti trīs sadalījumi, kas šobrīd bieži tiek izmantoti statistikas datu apstrādē.

Sadalījums (chi - kvadrāts) - nejauša lieluma sadalījums

kur nejaušie mainīgie X 1 , X 2 ,…, X n neatkarīgi un tiem ir vienāds sadalījums N(0,1). Turklāt terminu skaits, t.i. n sauc par hī kvadrāta sadalījuma "brīvības pakāpju skaitu".

Izplatīšana t Stjudenta t ir gadījuma lieluma sadalījums

kur nejaušie mainīgie U un X neatkarīgs, U ir standarta normālais sadalījums N(0,1) un X- chi sadalījums - kvadrāts ar n brīvības pakāpes. Kurā n tiek saukts par Studenta sadalījuma "brīvības pakāpju skaitu". Šo izplatīšanu 1908. gadā ieviesa angļu statistiķis V. Gosets, kurš strādāja alus rūpnīcā. Šajā rūpnīcā saimniecisku un tehnisku lēmumu pieņemšanai tika izmantotas varbūtības-statistiskās metodes, tāpēc tās vadība aizliedza V.Gosetam publicēt zinātniskus rakstus ar savu vārdu. Tādā veidā tika aizsargāti komercnoslēpumi, "know-how" V. Goseta izstrādāto varbūtības-statistisko metožu veidā. Tomēr viņam bija iespēja publicēties ar pseidonīmu "Students". Gossett-Student stāsts liecina, ka vēl simts gadus Lielbritānijas vadītājiem bija acīmredzama varbūtības-statistisko lēmumu pieņemšanas metožu lielā ekonomiskā efektivitāte.

Fišera sadalījums ir gadījuma lieluma sadalījums

kur nejaušie mainīgie X 1 un X 2 neatkarīgi un tiem ir hī kvadrāta sadalījumi ar brīvības pakāpju skaitu k 1 un k 2 attiecīgi. Šajā gadījumā pāris (k 1 , k 2 ) - Fišera sadalījuma "brīvības pakāpju skaitļu" pāris, proti, k 1 Vai skaitītāja brīvības pakāpju skaits un k 2 - saucēja brīvības pakāpju skaits. Gadījuma lieluma F sadalījums ir nosaukts izcilā angļu statistiķa R. Fišera (1890-1962) vārdā, kurš to aktīvi izmantoja savos darbos.

Sadalījuma funkciju chi - square, Student un Fisher izteiksmes, to blīvumi un raksturlielumi, kā arī tabulas ir atrodamas speciālajā literatūrā (sk., piemēram,).

Kā jau minēts, parastie sadalījumi tagad bieži tiek izmantoti varbūtības modeļos dažādās lietotās jomās. Kāds ir iemesls šīs divu parametru sadalījumu saimes tik plaši izplatītai parādībai? To precizē sekojošā teorēma.

Centrālās robežas teorēma(atšķirīgi izplatītiem terminiem). Ļaujiet X 1 , X 2 ,…, X n, ... ir neatkarīgi nejauši mainīgie ar matemātiskām cerībām M (X 1 ), M (X 2 ), ..., M (X n), ... un dispersijas D(X 1 ), D(X 2 ),…, D(X n), ... attiecīgi. Ļaujiet

Pēc tam, ievērojot noteiktus nosacījumus, kas nodrošina nelielu ieguldījumu kādu no noteikumiem uz U n,

jebkuram X.

Attiecīgie nosacījumi šeit netiks formulēti. Tos var atrast speciālajā literatūrā (sk., piemēram,). "CPT darbības apstākļu noskaidrošana ir izcilo krievu zinātnieku A. A. Markova (1857-1922) un jo īpaši A. M. Ļapunova (1857-1918) nopelns."

Centrālā robežu teorēma parāda, ka gadījumā, ja mērījuma (novērojuma) rezultāts tiek summēts daudzu iemeslu ietekmē, katrs no tiem dod tikai nelielu ieguldījumu, un tiek noteikts kumulatīvs kopsumma. aditīvi, t.i. piedevām mērījumu (novērojumu) rezultāta sadalījums ir tuvs normālam.

Dažreiz tiek uzskatīts, ka, lai sadalījums būtu normāls, pietiek ar mērījuma (novērošanas) rezultātu X veidojas daudzu iemeslu ietekmē, no kuriem katram ir neliela ietekme. Tā nav taisnība. Ir svarīgi, kā šie iemesli darbojas. Ja tā ir piedeva, tad X ir aptuveni normāls sadalījums. Ja reizinot(t.i. atsevišķu cēloņu darbības tiek reizinātas, nevis saskaitītas), tad sadale X tuvu ne normālam, bet t.s. logaritmiski normāls, t.i. nē X un lg X ir aptuveni normāls sadalījums. Ja nav pamata uzskatīt, ka darbojas viens no šiem diviem gala rezultāta veidošanās mehānismiem (vai kāds cits diezgan noteikts mehānisms), tad par sadalījumu X neko konkrētu nevar pateikt.

No teiktā izriet, ka konkrētajā pielietotajā problēmā mērījumu rezultātu (novērojumu) normalitāti parasti nevar noteikt no vispārīgiem apsvērumiem, tas jāpārbauda, ​​izmantojot statistikas kritērijus. Vai arī izmantot neparametriskas statistikas metodes, kas nepaļaujas uz pieņēmumu, ka mērījumu rezultātu (novērojumu) sadalījuma funkcijas pieder vienai vai otrai parametru saimei.

Nepārtrauktas sadales, ko izmanto varbūtības-statistikas lēmumu pieņemšanas metodēs. Papildus skalas nobīdes normālo sadalījumu saimei plaši tiek izmantotas vairākas citas sadalījumu ģimenes - logaritmiski normālie, eksponenciālie, Veibula-Gņedenko, gamma sadalījumi. Padomāsim par šīm ģimenēm.

Izlases vērtība X ir log-normāls sadalījums, ja gadījuma mainīgais Y= lg X ir normāls sadalījums. Tad Z= ln X = 2,3026…Y ir arī normāls sadalījums N(a 1 , σ 1) kur ln X- naturālais logaritms X... Lognormālā sadalījuma blīvums ir šāds:

No centrālās robežu teorēmas izriet, ka reizinājums X = X 1 X 2 … X n neatkarīgi pozitīvi gadījuma mainīgie X i, i = 1, 2,…, n, lielam n var tuvināt ar log normālo sadalījumu. Konkrēti, algu vai ienākumu veidošanas multiplikatīvais modelis vedina uz ieteikumu tuvināt algu un ienākumu sadalījumu ar logaritmiski normāliem likumiem. Krievijai šis ieteikums izrādījās pamatots – statistika to apstiprina.

Ir arī citi varbūtības modeļi, kas noved pie log-normāla likuma. Klasisku šāda modeļa piemēru sniedz A.N. Kolmogorovs, kurš no fiziski pamatotas postulātu sistēmas secināja, ka daļiņu lielums, sasmalcinot rūdas, ogļu u.c. gabaliņus. lodīšu dzirnavām ir lognormāls sadalījums.

Pāriesim pie citas sadalījumu saimes, ko plaši izmanto dažādās varbūtības-statistiskās lēmumu pieņemšanas un citos lietišķos pētījumos – eksponenciālo sadalījumu saimi. Sāksim ar varbūtības modeli, kas noved pie šādiem sadalījumiem. Lai to izdarītu, apsveriet "notikumu plūsmu", t.i. notikumu secība, kas notiek viens pēc otra kādā brīdī. Piemēri: zvanu plūsma telefona centrālē; iekārtu bojājumu plūsma tehnoloģiskajā ķēdē; produkta atteices plūsma produkta testēšanas laikā; klientu pieprasījumu plūsma uz bankas filiāli; pircēju plūsma, kas piesakās precēm un pakalpojumiem utt. Notikumu plūsmu teorijā ir spēkā centrālajai robežu teorēmai līdzīga teorēma, taču tā nenodarbojas ar gadījuma lielumu summēšanu, bet gan ar notikumu plūsmu summēšanu. Tiek ņemta vērā kopējā plūsma, kas sastāv no liela skaita neatkarīgu plūsmu, no kurām nevienai nav dominējošas ietekmes uz kopējo plūsmu. Piemēram, telefona centrālē ienākošo zvanu plūsmu veido liels skaits neatkarīgu zvanu plūsmu no atsevišķiem abonentiem. Ir pierādīts, ka gadījumā, ja plūsmu raksturlielumi nav atkarīgi no laika, kopējo plūsmu pilnībā raksturo viens skaitlis - plūsmas ātrums. Kopējai plūsmai apsveriet nejaušu lielumu X- laika intervāla ilgums starp secīgiem notikumiem. Tās izplatīšanas funkcijai ir forma

(10)

Šo sadalījumu sauc par eksponenciālo sadalījumu, jo eksponenciālā funkcija ir iesaistīta formulā (10) e -λ x... Lielums 1 / λ ir mēroga parametrs. Dažreiz tiek ieviests arī maiņas parametrs Ar, eksponenciāls ir gadījuma lieluma sadalījums X + c kur sadale X tiek dota ar formulu (10).

Eksponenciālie sadalījumi ir īpašs gadījums ts. Veibuls - Gņedenko sadalījumi. Tie ir nosaukti pēc inženiera V. Veibula, kurš ieviesa šos sadalījumus noguruma testu rezultātu analīzes praksē, un matemātiķa BV Gņedenko (1912-1995), kurš saņēma šādus sadalījumus kā ierobežojošus, pētot testa maksimumu. rezultātus. Ļaujiet X- nejaušs lielums, kas raksturo produkta, sarežģītas sistēmas, elementa (t. i., resursa, darbības laiks līdz robežstāvoklim utt.) darbības ilgumu, uzņēmuma darbības ilgumu vai dzīvas būtnes mūžu utt. . Svarīgu lomu spēlē neveiksmju rādītājs

(11)

kur F(x) un f(x) - gadījuma lieluma sadalījuma funkcija un blīvums X.

Aprakstīsim tipisko atteices līmeņa uzvedību. Visu laika intervālu var iedalīt trīs periodos. Pirmajā — funkcija λ (x) ir augstas vērtības un skaidra tendence samazināties (visbiežāk tas samazinās monotoni). Tas izskaidrojams ar to, ka attiecīgajā partijā ir preces vienības ar acīmredzamiem un latentiem defektiem, kas izraisa salīdzinoši strauju šo preču vienību atteici. Pirmo periodu sauc par "ieskriešanas" (vai "ieskriešanās") periodu. Uz viņu parasti attiecas garantijas laiks.

Tam seko normālas darbības periods, kam raksturīgs aptuveni nemainīgs un salīdzinoši zems atteices līmenis. Kļūmju raksturs šajā periodā ir pēkšņs (avārijas, strādājošo kļūdas utt.) un nav atkarīgs no ražošanas vienības darbības ilguma.

Visbeidzot, pēdējais darbības periods ir novecošanās un nodiluma periods. Bojājumu raksturs šajā periodā ir neatgriezeniskas fizikālās, mehāniskās un ķīmiskās izmaiņas materiālos, kas izraisa pakāpenisku ražošanas vienības kvalitātes pasliktināšanos un tās galīgo bojājumu.

Katram periodam ir sava veida funkcija λ (x)... Apsveriet jaudas atkarību klasi

λ (х) = λ 0bx b -1 , (12)

kur λ 0 > 0 un b> 0 — daži skaitliski parametri. Vērtības b < 1, b= 0 un b> 1 atbilst atteices veidam attiecīgi iestrādes, normālas darbības un novecošanas periodos.

Saistība (11) ar noteiktu atteices līmeni λ (x)- diferenciālvienādojums attiecībā uz funkciju F(x). No diferenciālvienādojumu teorijas izriet, ka

(13)

Aizstājot (12) ar (13), mēs iegūstam to

(14)

Ar formulu (14) doto sadalījumu sauc par Veibula - Gņedenko sadalījumu. Ciktāl

tad no formulas (14) izriet, ka daudzums a kas dots ar formulu (15), ir mēroga parametrs. Dažreiz tiek ieviests arī maiņas parametrs, t.i. Tiek izsauktas Veibuls - Gņedenko sadalījuma funkcijas F(x - c), kur F(x) ir dots ar formulu (14) dažiem λ 0 un b.

Veibula - Gņedenko sadalījuma blīvumam ir forma

(16)

kur a> 0 - mēroga parametrs, b> 0 - formas parametrs, Ar ir maiņas parametrs. Šajā gadījumā parametrs a no formulas (16) ir saistīta ar parametru λ 0 no formulas (14) ar attiecību, kas norādīta formulā (15).

Eksponenciālais sadalījums ir ļoti īpašs Veibula - Gņedenko sadalījuma gadījums, kas atbilst formas parametra vērtībai b = 1.

Weibull-Gnedenko sadalījums tiek izmantots arī, lai izveidotu varbūtības modeļus situācijām, kurās objekta uzvedību nosaka "vājākais posms". Tas nozīmē analoģiju ar ķēdi, kuras drošību nosaka saite, kurai ir vismazākā izturība. Citiem vārdiem sakot, ļaujiet X 1 , X 2 ,…, X n- neatkarīgi identiski sadalīti nejauši mainīgie,

X (1)= min ( X 1, X 2, ..., X n), X (n)= max ( X 1, X 2, ..., X n).

Vairākās pielietotajās problēmās svarīga loma ir X(1) un X(n) , jo īpaši, pētot noteiktu vērtību maksimālās iespējamās vērtības ("ierakstus"), piemēram, apdrošināšanas maksājumus vai zaudējumus komerciālo risku dēļ, pētot tērauda elastības un izturības robežas, vairākus uzticamības raksturlielumus utt. . Ir parādīts, ka lieliem n sadalījumiem X(1) un X(n) , kā likums, ir labi aprakstīti ar Veibula - Gņedenko sadalījumiem. Pamata ieguldījums izplatības izpētē X(1) un X(n) ieviesa padomju matemātiķis B.V.Gņedenko. Iegūto rezultātu izmantošana ekonomikā, vadībzinībās, tehnoloģijās un citās jomās ir V. Veibula, E. Gumbela, V.B. darbu priekšmets. Ņevzorova, E.M. Kudlajevs un daudzi citi speciālisti.

Pāriesim pie gamma sadalījumu saimes. Tos plaši izmanto ekonomikā un vadībā, uzticamības un testēšanas teorijā un praksē, dažādās tehnoloģiju jomās, meteoroloģijā u.c. Jo īpaši daudzās situācijās gamma sadalījums ir atkarīgs no tādiem daudzumiem kā produkta kopējais kalpošanas laiks, vadošo putekļu daļiņu ķēdes garums, laiks, kas nepieciešams, lai izstrādājums korozijas laikā sasniegtu robežstāvokli un darbības laiks līdz k atteikums, k= 1, 2, ... utt. Pacientu ar hroniskām slimībām paredzamais dzīves ilgums, laiks, lai sasniegtu noteiktu efektu ārstēšanas laikā, dažos gadījumos ir gamma sadalījums. Šis sadalījums ir vispiemērotākais, lai raksturotu pieprasījumu krājumu pārvaldības (loģistikas) ekonomiskajos un matemātiskajos modeļos.

Gamma sadalījuma blīvumam ir forma

(17)

Varbūtības blīvumu formulā (17) nosaka trīs parametri a, b, c, kur a>0, b> 0. Kurā a ir formas parametrs, b- mēroga parametrs un Ar- maiņas parametrs. Faktors 1/Γ (a) tiek normalizēts, tas tiek ieviests

Šeit Γ (a)- viena no matemātikā izmantotajām speciālajām funkcijām, tā sauktā "gamma funkcija", ar kuru tiek nosaukts arī sadalījums, kas dots ar formulu (17),

Ar fiksētu a formula (17) definē skalas nobīdes sadalījumu saimi, ko ģenerē sadalījums ar blīvumu

(18)

Formas (18) sadalījumu sauc par standarta gamma sadalījumu. To iegūst no formulas (17) plkst b= 1 un Ar= 0.

Īpašs gamma sadalījumu gadījums a= 1 ir eksponenciālie sadalījumi (ar λ = 1 /b). Ar dabisko a un Ar= 0 gamma sadalījumus sauc par Erlang sadalījumiem. No dāņu zinātnieka K.A.Erlanga (1878-1929), Kopenhāgenas telefonkompānijas darbinieka darbiem, kurš studējis 1908.-1922. telefona tīklu funkcionēšana, sākās rindu teorijas attīstība. Šī teorija nodarbojas ar varbūtības-statistisko sistēmu modelēšanu, kurās tiek apkalpota lietojumprogrammu plūsma, lai pieņemtu optimālus lēmumus. Erlang sadalījumi tiek izmantoti tajās pašās lietojumprogrammu jomās, kurās tiek izmantoti eksponenciālie sadalījumi. Tas ir balstīts uz šādu matemātisko faktu: k neatkarīgu gadījuma lielumu summa, kas eksponenciāli sadalīti ar vienādiem parametriem λ un Ar, ir gamma sadalījums ar formas parametru a =k, mēroga parametrs b= 1 / λ un nobīdes parametrs kc... Plkst Ar= 0 mēs iegūstam Erlang sadalījumu.

Ja nejaušs mainīgais X ir gamma sadalījums ar formas parametru a tāds, ka d = 2 a- vesels skaitlis, b= 1 un Ar= 0, tad 2 X ir hī kvadrāta sadalījums ar d brīvības pakāpes.

Izlases vērtība X ar gvmma sadalījumu ir šādas īpašības:

Paredzamā vērtība M (X) =ab + c,

dispersija D(X) = σ 2 = ab 2 ,

Variācijas koeficients

Asimetrija

Pārmērīgs

Normālais sadalījums ir gamma sadalījuma ierobežojošais gadījums. Precīzāk, lai Z ir nejaušs lielums ar standarta gamma sadalījumu, kas dots ar formulu (18). Tad

jebkuram reālam skaitlim X, kur F (x)- standarta normālā sadalījuma funkcija N(0,1).

Lietišķajos pētījumos tiek izmantotas arī citas parametriskas sadalījumu ģimenes, no kurām slavenākās ir Pīrsona līknes, Edžvorta un Čārljē sērijas. Šeit tie nav aplūkoti.

Diskrēts varbūtības un statistikas lēmumu pieņemšanas metodēs izmantotie sadalījumi. Visbiežāk tiek izmantotas trīs diskrēto sadalījumu saimes – binomiālais, hiperģeometriskais un Puasona, kā arī dažas citas ģimenes – ģeometriskais, negatīvais binomiālais, daudznomais, negatīvais hiperģeometriskais utt.

Kā jau minēts, binomiālais sadalījums notiek neatkarīgos testos, katrā no kuriem ar varbūtību R parādās notikums A... Ja kopējais pārbaužu skaits n dots, tad pārbaužu skaits Y kurā notikums parādījās A, ir binomiāls sadalījums. Binomiālajam sadalījumam varbūtība, ka to pieņems nejaušs mainīgais Y nozīmē y ir definēts ar formulu

Kombināciju skaits no n elementi y zināms no kombinatorikas. Visiem y, izņemot 0, 1, 2, ..., n, mums ir P(Y= y)= 0. Binomiālais sadalījums fiksētam izlases lielumam n iestatīts pēc parametra lpp, t.i. binomiālie sadalījumi veido viena parametra saimi. Tos izmanto izlases pētījumu datu analīzē, jo īpaši patērētāju preferenču izpētē, preču kvalitātes selektīvai kontrolei pēc vienpakāpes kontroles plāniem, indivīdu populāciju testēšanai demogrāfijā, socioloģijā, medicīnā, bioloģijā u.c.

Ja Y 1 un Y 2 - neatkarīgi binomiālie gadījuma mainīgie ar vienādu parametru lpp 0 nosaka pēc paraugiem ar tilpumiem n 1 un n 2 attiecīgi, tad Y 1 + Y 2 ir binomiāls gadījuma mainīgais ar sadalījumu (19) ar R = lpp 0 un n = n 1 + n 2 ... Šī piezīme paplašina binomiālā sadalījuma pielietojamības lauku, ļaujot apvienot vairāku izmēģinājumu grupu rezultātus, ja ir pamats uzskatīt, ka visas šīs grupas atbilst vienam parametram.

Binomiālā sadalījuma raksturlielumi tika aprēķināti agrāk:

M(Y) = np, D(Y) = np( 1- lpp).

Sadaļā "Notikumi un varbūtības" binoma gadījuma mainīgajam ir pierādīts lielo skaitļu likums:

jebkuram. Izmantojot centrālo robežu teorēmu, lielo skaitļu likumu var precizēt, norādot, cik Y/ n atšķiras no R.

Moivre-Laplasa teorēma. Jebkuriem cipariem a un b, a< b, mums ir

kur F(X) Ir standarta normālā sadalījuma funkcija ar vidējo 0 un dispersiju 1.

Lai to pierādītu, pietiek izmantot attēlojumu Y kā neatkarīgu gadījuma lielumu summa, kas atbilst atsevišķu testu rezultātiem, formulas par M(Y) un D(Y) un centrālā robežu teorēma.

Šī teorēma gadījumam R= ½ 1730. gadā pierādīja angļu matemātiķis A. Moivrs (1667-1754). Iepriekš minētajā formulējumā to 1810. gadā pierādīja franču matemātiķis Pjērs Saimons Laplass (1749 - 1827).

Hiperģeometriskais sadalījums notiek selektīvās kontroles laikā ierobežotai objektu kopai ar tilpumu N saskaņā ar alternatīvu kritēriju. Katrs kontrolētais objekts tiek klasificēts vai nu kā atribūts A, vai kam nav šīs funkcijas. Hiperģeometriskajam sadalījumam ir nejaušs mainīgais Y vienāds ar objektu skaitu ar pazīmi A nejaušā tilpuma paraugā n, kur n< N... Piemēram, numurs Y bojātas preces nejaušā apjoma paraugā n no partijas apjoma N ir hiperģeometrisks sadalījums, ja n< N. Vēl viens piemērs ir loterija. Ļaujiet zīmei A biļete ir zīme "uzvarēt". Lai visas biļetes N, un iegūta kāda seja n no viņiem. Tad šīs personas laimēto biļešu skaitam ir hiperģeometrisks sadalījums.

Hiperģeometriskajam sadalījumam gadījuma lieluma Y varbūtībai, kas pieņems vērtību y, ir šāda forma

(20)

kur D- objektu skaits ar pazīmi A, aplūkotajā apjoma komplektā N... Kurā yņem vērtības no max (0, n - (N - D)) līdz min ( n, D), ar citiem y varbūtība formulā (20) ir 0. Tādējādi hiperģeometrisko sadalījumu nosaka trīs parametri - vispārējās populācijas apjoms N, objektu skaits D tajā, kam piemīt aplūkotā pazīme A un izlases lielumu n.

Vienkārša tilpuma izlases izlase n no kopējā apjoma N tiek saukta izlases rezultātā iegūta izlase, kurā kāda no kopām no n objektiem ir tāda pati varbūtība tikt atlasītiem. Respondentu (respondentu) izlases vai gabalproduktu vienību izlases metodes aplūkotas instrukciju-metodiskajos un normatīvi-tehniskajos dokumentos. Viena no atlases metodēm ir šāda: objekti atlasa vienu no otra, un katrā solī katram atlikušajam komplektā esošajam objektam ir vienādas iespējas tikt atlasītam. Literatūrā aplūkojamajam paraugu veidam tiek lietoti arī termini “nejauša izlase” un “izlases ņemšana bez atgriešanas”.

Tā kā kopējās populācijas apjomi (partija) N un paraugu ņemšana n parasti ir zināmi, tad novērtējamais hiperģeometriskā sadalījuma parametrs ir D... Produktu kvalitātes vadības statistiskajās metodēs D- parasti bojāto vienību skaits partijā. Interesanti ir arī sadalījuma raksturlielumi D/ N- defektu līmenis.

Hiperģeometriskam sadalījumam

Pēdējais faktors dispersijas izteiksmē ir tuvu 1, ja N>10 n... Ja tajā pašā laikā veiciet nomaiņu lpp = D/ N, tad hiperģeometriskā sadalījuma matemātiskās cerības un dispersijas izteiksmes pārvērtīsies binomiskā sadalījuma matemātiskās cerības un dispersijas izteiksmēs. Tā nav nejaušība. To var parādīt

plkst N>10 n, kur lpp = D/ N. Ierobežojošā sakarība ir spēkā

un šo ierobežojošo attiecību var izmantot N>10 n.

Trešais plaši izmantotais diskrētais sadalījums ir Puasona sadalījums. Nejaušam lielumam Y ir Puasona sadalījums, ja

,

kur λ ir Puasona sadalījuma parametrs un P(Y= y)= 0 visiem pārējiem y(ja y = 0 tas tiek apzīmēts ar 0! = 1). Puasona sadalījumam

M(Y) = λ, D(Y) = λ.

Šis sadalījums ir nosaukts franču matemātiķa S. D. Puasona (1781-1840) vārdā, kurš pirmo reizi to ieguva 1837. gadā. Puasona sadalījums ir binomiālā sadalījuma ierobežojošais gadījums, kad varbūtība R pasākuma īstenošana ir neliela, bet izmēģinājumu skaits n lieliski, un np= λ. Precīzāk, ierobežojošā attiecība ir patiesa

Tāpēc Puasona sadalījumu (vecajā terminoloģijā "sadales likums") bieži sauc par "reto notikumu likumu".

Puasona sadalījums rodas notikumu plūsmu teorijā (skat. iepriekš). Ir pierādīts, ka visvienkāršākajai plūsmai ar nemainīgu intensitāti Λ notikumu (izsaukumu) skaits, kas notika laikā t, ir Puasona sadalījums ar parametru λ = Λ t... Tāpēc varbūtība, ka laikā t neviens notikums nenotiks, vienāds e - Λ t, t.i. intervāla garuma sadalījuma funkcija starp notikumiem ir eksponenciāla.

Puasona sadalījums tiek izmantots, lai analizētu patērētāju izlases mārketinga aptauju rezultātus, aprēķinātu statistiskās pieņemšanas kontroles plānu darbības raksturlielumus mazo defektu pieņemšanas līmeņa vērtību gadījumā, lai aprakstītu statistiski neatbilstību skaitu. kontrolēts tehnoloģiskais process laika vienībā, saņemto “pakalpojumu pieprasījumu” skaits laika vienībā rindu sistēmā, nelaimes gadījumu un reto slimību statistiskie modeļi u.c.

Literatūrā aplūkoti citu diskrēto sadalījumu parametrisko saimju apraksti un to praktiskas izmantošanas iespēja.

Dažos gadījumos, piemēram, pētot cenas, izlaides apjomus vai kopējo MTBF uzticamības problēmās, sadalījuma funkcijas ir nemainīgas atsevišķos intervālos, kuros pētāmo gadījuma lielumu vērtības nevar nokrist.

Saskaņā ar parasto likumu sadalīto gadījuma lielumu piemēri ir cilvēka augums, nozvejotas vienas sugas zivju masa. Normāls sadalījums nozīmē sekojošo : ir cilvēka auguma, vienas sugas zivju masas vērtības, kas intuitīvi tiek uztvertas kā "normālas" (bet patiesībā - vidēji), un tās atrodamas diezgan lielā paraugā daudz biežāk nekā tās, kas atšķiras lielāks vai mazāks virziens.

Nepārtraukta gadījuma lieluma normālo varbūtības sadalījumu (dažreiz - Gausa sadalījumu) var saukt par zvanveida, jo šī sadalījuma blīvuma funkcija, simetriska attiecībā pret vidējo, ir ļoti līdzīga zvana izgriezumam (sarkans). līkne attēlā iepriekš).

Varbūtība sasniegt noteiktas vērtības izlasē ir vienāda ar figūras laukumu zem līknes, un normāla sadalījuma gadījumā mēs redzam, ka zem "zvana" augšdaļas, kas atbilst vērtībām tiecoties uz vidējo, laukums un līdz ar to varbūtība ir lielāka nekā zem malām. Tādējādi mēs iegūstam to pašu, kas jau tika teikts: varbūtība satikt "normāla" auguma cilvēku, noķert zivi ar "normālu" svaru ir lielāka nekā vērtībām, kas atšķiras lielākā vai mazākā virzienā. Ļoti daudzos prakses gadījumos mērījumu kļūdas tiek sadalītas saskaņā ar likumu, kas ir tuvu normai.

Apstāsimies vēlreiz pie skaitļa nodarbības sākumā, kas parāda normālā sadalījuma blīvuma funkciju. Šīs funkcijas grafiks tika iegūts, aprēķinot noteiktu datu paraugu programmatūras pakotnē STATISTIKA... Uz tā histogrammas kolonnas attēlo izlases vērtību intervālus, kuru sadalījums ir tuvu (vai, kā saka statistikā, nenozīmīgi atšķiras no) normālā sadalījuma blīvuma funkcijas faktiskajam grafikam, kas ir sarkans. līkne. Grafikā redzams, ka šī līkne patiešām ir zvanveida.

Normālais sadalījums daudzējādā ziņā ir vērtīgs tādēļ, ka, zinot tikai nepārtraukta gadījuma lieluma matemātisko cerību un standarta novirzi, var aprēķināt jebkuru ar šo lielumu saistīto varbūtību.

Normālajam sadalījumam ir arī tā priekšrocība, ka tas ir viens no vienkāršākajiem lietojumiem. statistiskie testi, ko izmanto statistisko hipotēžu pārbaudei - Stjudenta t tests- var izmantot tikai tad, ja izlases dati atbilst normālā sadalījuma likumam.

Nepārtraukta gadījuma lieluma normālā sadalījuma blīvuma funkcija var atrast pēc formulas:

,

kur x- mainīgā lieluma vērtību, - vidējo, - standarta novirzi, e= 2,71828 ... ir naturālā logaritma bāze, = 3,1416 ...

Parastā sadalījuma blīvuma funkcijas īpašības

Vidējās vērtības izmaiņas pārvieto normālā sadalījuma līkni ass virzienā Vērsis... Ja tas palielinās, līkne virzās pa labi, ja samazinās, tad pa kreisi.

Ja mainās standartnovirze, mainās līknes augšdaļas augstums. Palielinoties standarta novirzei, līknes augšdaļa ir augstāka, bet, standartnovirzei samazinoties, tā ir zemāka.

Varbūtība sasniegt normāli sadalīta gadījuma lieluma vērtību noteiktā intervālā

Jau šajā sadaļā mēs sāksim risināt praktiskas problēmas, kuru nozīme ir norādīta virsrakstā. Apskatīsim, kādas iespējas teorija sniedz problēmu risināšanai. Sākuma jēdziens normāli sadalīta gadījuma lieluma varbūtības aprēķināšanai noteiktā intervālā ir kumulatīvā normālā sadalījuma funkcija.

Kumulatīvā normālā sadalījuma funkcija:

.

Tomēr ir problemātiski iegūt tabulas par katru iespējamo vidējās un standarta novirzes kombināciju. Tāpēc viens no vienkāršākajiem veidiem, kā aprēķināt normāli sadalīta gadījuma lieluma varbūtību noteiktā intervālā, ir izmantot varbūtības tabulas standartizētam normālam sadalījumam.

Standartizēts vai normalizēts ir normālais sadalījums, kura vidējais lielums ir, un standarta novirze.

Standartizētā normālā sadalījuma blīvuma funkcija:

.

Standartizēta normālā sadalījuma kumulatīvā funkcija:

.

Zemāk redzamajā attēlā ir parādīta standartizētā normālā sadalījuma kumulatīvā funkcija, kuras grafiks iegūts, aprēķinot noteiktu datu paraugu programmatūras pakotnē STATISTIKA... Diagramma pati par sevi ir sarkana līkne, un izlases vērtības tuvojas tai.

Lai palielinātu attēlu, varat noklikšķināt uz tā ar peles kreiso pogu.

Gadījuma lieluma standartizācija nozīmē pāreju no sākotnējām uzdevumā izmantotajām vienībām uz standartizētām vienībām. Standartizācija tiek veikta pēc formulas

Praksē visas iespējamās nejaušā lieluma vērtības bieži vien nav zināmas, tāpēc vidējo un standarta novirzi nevar precīzi noteikt. Tos aizstāj ar novērojumu vidējo aritmētisko un standarta novirzi s... Lielums z izsaka nejauša lieluma vērtību novirzi no vidējā aritmētiskā, mērot standartnovirzes.

Atvērts intervāls

Standartizētā normālā sadalījuma varbūtību tabula, kas ir atrodama gandrīz jebkurā statistikas grāmatā, satur varbūtības, ka nejaušam mainīgajam ir standartizēts normālais sadalījums Zņems vērtību, kas ir mazāka par noteiktu skaitli z... Tas ir, tas nonāks atvērtajā intervālā no mīnus bezgalības līdz z... Piemēram, varbūtība, ka daudzums Z mazāks par 1,5 ir vienāds ar 0,93319.

1. piemērs. Uzņēmums ražo detaļas, kuru parastais kalpošanas laiks ir 1000 stundas un standarta novirze 200 stundas.

Nejauši izvēlētai detaļai aprēķiniet varbūtību, ka tās kalpošanas laiks būs vismaz 900 stundas.

Risinājums. Ieviesīsim pirmo apzīmējumu:

Meklējot varbūtību.

Gadījuma lieluma vērtības atrodas atvērtajā intervālā. Bet mēs zinām, kā aprēķināt varbūtību, ka nejaušam mainīgajam būs vērtība, kas ir mazāka par doto, un atbilstoši uzdevuma nosacījumam ir jāatrod vienāda vai lielāka par doto lielumu. Šī ir otra telpas daļa zem zvana blīvuma līknes. Tāpēc, lai atrastu vēlamo varbūtību, no vienības jāatņem minētā varbūtība, ka nejaušajam mainīgajam būs vērtība, kas mazāka par doto 900:

Tagad nejaušais mainīgais ir jāstandartizē.

Mēs turpinām ieviest apzīmējumu:

z = (X ≤ 900) ;

x= 900 - gadījuma lieluma dota vērtība;

μ = 1000 - vidējā vērtība;

σ = 200 - standarta novirze.

Pamatojoties uz šiem datiem, problēmas apstākļi ir šādi:

.

Saskaņā ar standartizēto gadījuma lieluma tabulām (intervāla robeža) z= –0,5 atbilst varbūtībai 0,30854. Atņemiet to no vienotības un iegūstiet problēmas izklāstā prasīto:

Tātad varbūtība, ka daļa kalpos vismaz 900 stundas, ir 69%.

Šo varbūtību var iegūt, izmantojot MS Excel funkciju NORM.DIST (integrāļa vērtības vērtība ir 1):

P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 — NORM.DALĪJUMS (900; 1000; 200; 1) = 1 — 0,3085 = 0,6915.

Par aprēķiniem programmā MS Excel - vienā no šīs nodarbības nākamajām rindkopām.

2. piemērs. Dažās pilsētās vidējie gada ģimenes ienākumi ir normāli sadalīts gadījuma lielums ar vidējo vērtību 300 000 un standarta novirzi 50 000. Ir zināms, ka 40% ģimeņu ienākumi ir mazāki par A... Atrodiet vērtību A.

Risinājums. Šajā uzdevumā 40% nav nekas vairāk kā iespējamība, ka nejaušs mainīgais no atvērta intervāla ņems vērtību, kas ir mazāka par noteiktu vērtību, kas norādīta ar burtu A.

Lai atrastu lielumu A, vispirms mēs sastādām integrālo funkciju:

Pēc problēmas stāvokļa

μ = 300000 - vidējā vērtība;

σ = 50 000 - standartnovirze;

x = A- atrodamā vērtība.

Vienlīdzības veidošana

.

Pēc statistikas tabulām konstatējam, ka varbūtība 0,40 atbilst intervāla robežas vērtībai z = −0,25 .

Tāpēc mēs veidojam vienlīdzību

un atrodiet risinājumu:

A = 287300 .

Atbilde: 40% ģimeņu ienākumi ir mazāki par 287 300.

Slēgts intervāls

Daudzās problēmās ir jāatrod varbūtība, ka normāli sadalīts gadījuma mainīgais iegūst vērtību diapazonā no z 1 līdz z 2. Tas ir, tas nonāks slēgtajā intervālā. Lai atrisinātu šādas problēmas, tabulā jāatrod varbūtības, kas atbilst intervāla robežām, un pēc tam jāatrod starpība starp šīm varbūtībām. Tas prasa mazāko vērtību atņemt no lielākās. Šo izplatīto problēmu risinājumu piemēri ir šādi, un tiek piedāvāts tos atrisināt patstāvīgi, un tad jūs varat redzēt pareizos risinājumus un atbildes.

3. piemērs. Uzņēmuma peļņa noteiktā periodā ir gadījuma lielums, uz kuru attiecas normālās sadales likums ar vidējo vērtību 0,5 milj. un standarta novirze 0,354. Ar precizitāti līdz divām zīmēm aiz komata nosakiet varbūtību, ka uzņēmuma peļņa būs no 0,4 līdz 0,6 c.u.

4. piemērs. Izgatavojamās daļas garums ir nejaušs lielums, kas sadalīts saskaņā ar parasto likumu ar parametriem μ = 10 un σ = 0,071. Atrodiet ar precizitāti līdz divām zīmēm aiz komata laulības iespējamību, ja pieļaujamajiem daļas izmēriem jābūt 10 ± 0,05.

Padoms: šajā uzdevumā papildus nejaušā mainīgā varbūtības noteikšanai slēgtā intervālā (iespējamība iegūt nebojātu daļu) ir jāveic vēl viena darbība.

ļauj noteikt varbūtību, ka standartizētā vērtība Z ne mazāk -z un ne vairāk + z, kur z- patvaļīgi izvēlēta standartizēta gadījuma lieluma vērtība.

Aptuvenā sadales normalitātes pārbaudes metode

Aptuvenā metode paraugu vērtību sadalījuma normalitātes pārbaudei ir balstīta uz sekojošo normālā sadalījuma īpašība: asimetrijas koeficients β 1 un kurtozes koeficients β 2 vienāds ar nulli.

Asimetrijas koeficients β 1 skaitliski raksturo empīriskā sadalījuma simetriju attiecībā pret vidējo. Ja šķībuma koeficients ir nulle, tad vidējais aritmetriskais, mediāna un režīms ir vienādi: un sadalījuma blīvuma līkne ir simetriska attiecībā pret vidējo. Ja šķībuma koeficients ir mazāks par nulli (β 1 < 0 ), tad vidējais aritmētiskais ir mazāks par mediānu un mediāna, savukārt, ir mazāks par režīmu () un līkne ir nobīdīta pa labi (salīdzinot ar normālo sadalījumu). Ja šķībuma koeficients ir lielāks par nulli (β 1 > 0 ), tad vidējais aritmētiskais ir lielāks par mediānu un mediāna, savukārt, ir lielāka par režīmu () un līkne ir nobīdīta pa kreisi (salīdzinājumā ar normālo sadalījumu).

Kurtozes koeficients β 2 raksturo empīriskā sadalījuma koncentrāciju ap vidējo aritmētisko ass virzienā Oy un sadalījuma blīvuma līknes maksimuma pakāpi. Ja kurtozes koeficients ir lielāks par nulli, tad līkne ir garāka (salīdzinot ar normālo sadalījumu) pa asi Oy(grafiks ir augstāks). Ja kurtozes koeficients ir mazāks par nulli, tad līkne ir saplacinātāka (salīdzinot ar normālo sadalījumu) pa asi Oy(grafiks ir strupāks).

Slīpuma koeficientu var aprēķināt, izmantojot MS Excel SKOS funkciju. Ja pārbaudāt vienu datu masīvu, tad vienā lodziņā "Numurs" jāievada datu diapazons.

Kurtozes koeficientu var aprēķināt, izmantojot MS Excel EXCESS funkciju. Pārbaudot vienu datu masīvu, pietiek arī ievadīt datu diapazonu vienā lodziņā "Numurs".

Tātad, kā mēs jau zinām, ar normālu sadalījumu šķībuma un kurtozes koeficienti ir vienādi ar nulli. Bet ko darīt, ja mēs iegūtu šķībuma koeficientus, kas vienādi ar -0,14, 0,22, 0,43, un kurtozes koeficientus, kas vienādi ar 0,17, -0,31, 0,55? Jautājums ir diezgan godīgs, jo praksē mēs runājam tikai ar aptuvenām, selektīvām asimetrijas un kurtozes vērtībām, kuras ir pakļautas kādai neizbēgamai, nekontrolējamai izkliedei. Tāpēc nav iespējams pieprasīt šo koeficientu stingru pielīdzināšanu nullei, tiem jābūt tikai pietiekami tuvu nullei. Bet ko tas nozīmē – pietiekami?

Iegūtās empīriskās vērtības ir jāsalīdzina ar pieņemamām vērtībām. Lai to izdarītu, jums jāpārbauda šādas nevienādības (salīdziniet koeficientu vērtības modulī ar kritiskajām vērtībām - hipotēzes pārbaudes apgabala robežām).

Par asimetrijas koeficientu β 1 .