도를 포함하는 표현식의 변환. 식 변환
거듭 제곱으로 표현을 변환하는 주제를 고려해 보겠습니다. 먼저 지수를 포함한 모든 표현으로 수행 할 수있는 여러 변환에 대해 살펴 보겠습니다. 괄호를 열고, 그러한 용어를 가져오고, 기수와 지수로 작업하고, 도의 속성을 사용하는 방법을 배웁니다.
지수식이 란 무엇입니까?
에 학교 과정 "지수 식"이라는 표현을 사용하는 사람은 거의 없지만이 용어는 시험을 준비하기 위해 컬렉션에서 지속적으로 발견됩니다. 대부분의 경우 구는 레코드에 학위가 포함 된 식을 나타냅니다. 우리는 이것을 우리의 정의에 반영 할 것입니다.
정의 1
지수 표현 도를 포함하는 식입니다.
다음은 자연 지수로 시작하여 실수 지수로 끝나는 지수 표현식의 몇 가지 예입니다.
가장 간단한 거듭 제곱 표현은 자연 지수가있는 숫자의 거듭 제곱으로 간주 할 수 있습니다. 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (-0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2-a + a 2, x 3-1, (a 2) 3. 지수가 0 인도 : 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2-3, 2 0. 음의 정수 거듭 제곱이있는 각도 : (0, 5) 2 + (0, 5)-2 2.
합리적이고 비합리적인 지표를 가진 학위로 일하는 것이 조금 더 어렵습니다 : 264 1 4-3 3 3 1 2, 2 3, 5 2-2 2-1, 5, 1 a 1 4 a 1 2-2 a-1 6 b 1 2, x π x 1-π, 2 3 3 + 5.
표시기는 변수 3 x-54-7 3 x-58 또는 로그 일 수 있습니다. x 2 개 l g x-5 x l g x.
권력 표현이 무엇인지에 대한 질문으로 우리는 알아 냈습니다. 이제 변환을 시작하겠습니다.
거듭 제곱 표현의 기본 변환 유형
먼저 지수 식으로 수행 할 수있는 식의 기본적인 신원 변환을 살펴 보겠습니다.
예 1
지수 식의 값 계산 2 3 (4 2-12).
결정
우리는 행동 순서에 따라 모든 변형을 수행 할 것입니다. 이 경우 괄호 안의 작업을 수행하여 시작합니다. 정도를 디지털 값으로 바꾸고 두 숫자의 차이를 계산합니다. 우리는 2 3 (4 2-12) \u003d 2 3 (16-12) \u003d 2 34.
우리가 학위를 대체하는 것은 남아 있습니다. 2 3 그 의미 8 제품 계산 8 4 \u003d 32... 여기에 우리의 대답이 있습니다.
대답: 2 3 (4 2-12) \u003d 32.
예 2
힘으로 표현을 단순화 3 a 4 b-7-1 + 2 a 4 b-7.
결정
문제 설명에서 우리에게 주어진 표현에는 비슷한 용어가 포함되어 있습니다. 3 a 4 b-7-1 + 2 a 4 b-7 \u003d 5 a 4b-7-1.
대답: 3 a 4 b-7-1 + 2 a 4 b-7 \u003d 5 a 4 b-7-1.
예제 3
9-b 3 · π-1 2의 거듭 제곱을 곱한 표현식을 제시합니다.
결정
숫자 9를 거듭 제곱으로 표현합시다 3 2 축약 된 곱셈 공식을 적용합니다.
9-b 3 π-1 2 \u003d 3 2-b 3 π-1 2 \u003d \u003d 3-b 3 π-1 3 + b 3 π-1
대답: 9-b 3 π-1 2 \u003d 3-b 3 π-1 3 + b 3 π-1.
이제 거듭 제곱 표현과 관련하여 정확하게 적용 할 수있는 동일한 변환의 분석으로 넘어가 보겠습니다.
밑수 및 지수 작업
기수 또는 지수의 차수에는 숫자, 변수 및 일부 표현식이있을 수 있습니다. 예를 들어 (2 + 0, 3 7) 5-3, 7 과 ... 그러한 기록으로 작업하는 것은 어렵습니다. 거듭 제곱의 밑수 식이나 지수의 식을 같은 식으로 대체하는 것이 훨씬 쉽습니다. 동등한 표현.
차수와 지수의 변환은 서로 별도로 알려진 규칙에 따라 수행됩니다. 가장 중요한 것은 변형의 결과로 원본과 동일한 표현이 얻어지는 것입니다.
변환의 목적은 원래 표현을 단순화하거나 문제에 대한 해결책을 얻는 것입니다. 예를 들어 위에서 제시 한 예에서 (2 + 0, 3 7) 5-3, 7 단계에 따라 학위를 취득 할 수 있습니다. 4 , 1 1 , 3 ... 괄호를 확장하면 학위의 기초에 유사한 용어를 줄 수 있습니다. (a (a + 1)-a 2) 2 (x + 1) 더 간단한 형태의 지수 표현을 얻습니다. a 2 (x + 1).
학위 속성 사용
동등성으로 작성된 전력 속성은 전력 표현을 변환하는 주요 도구 중 하나입니다. 다음을 고려하여 주요 내용이 있습니다. ㅏ 과 비 양수이고 아르 자형 과 에스 -임의의 실수 :
정의 2
- a r a s \u003d a r + s;
- a r : a s \u003d a r-s;
- (a b) r \u003d a r b r;
- (a : b) r \u003d a r : b r;
- (a r) s \u003d a r s.
자연, 정수, 양의 지수를 다루는 경우 숫자 a와 b에 대한 제한은 훨씬 덜 엄격 할 수 있습니다. 예를 들어 평등을 고려하면 a m a n \u003d a m + n어디 미디엄 과 엔 자연수이면 양수와 음수, 그리고 a의 모든 값에 대해 참이됩니다. a \u003d 0.
각도의 기준이 양수이거나 변수를 포함하는 경우 제한없이 각도의 속성을 적용 할 수 있습니다. 허용되는 값의 범위는 기준이 양의 값만 취합니다. 실제로 학교 커리큘럼 수학에서 학생의 임무는 적절한 속성을 선택하고 올바르게 적용하는 것입니다.
대학 입학을 준비 할 때, 부정확 한 부동산 사용으로 인해 ODZ가 좁아지는 문제와 해결책에 다른 어려움이있을 수 있습니다. 이 섹션에서는 이러한 경우 두 가지만 분석합니다. 주제에 대한 자세한 정보는 "전력 속성을 사용하여 표현식 변환"주제에서 찾을 수 있습니다.
예 4
표현을 상상해보십시오 a 2.5 (a 2)-3 : a-5.5 기수를 가진 힘으로 ㅏ.
결정
첫째, 우리는 지수화 속성을 사용하고 그것에 의해 두 번째 요소를 변환합니다. (a 2)-3 ... 그런 다음 동일한 밑수로 거듭 제곱하고 나누는 속성을 사용합니다.
a 2, 5 a-6 : a-5, 5 \u003d a 2, 5-6 : a-5, 5 \u003d a-3, 5 : a-5, 5 \u003d a-3, 5-(-5, 5 ) \u003d a 2.
대답: a 2.5 (a 2)-3 : a-5.5 \u003d a 2.
각도의 속성에 따른 지수 표현의 변환은 왼쪽에서 오른쪽으로 그리고 반대 방향으로 모두 수행 될 수 있습니다.
예 5
지수 식 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3의 값을 찾으십시오.
결정
평등을 적용하면 (a b) r \u003d a r b r, 오른쪽에서 왼쪽으로 3 · 7 1 3 · 21 2 3 및 추가로 21 1 3 · 21 2 3 형태의 제품을 얻습니다. 같은 밑수로도를 곱할 때 지수를 더해 봅시다 : 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.
변형을 수행하는 또 다른 방법이 있습니다.
3 1 3 7 1 3 21 2 3 \u003d 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 \u003d 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 \u003d \u003d 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 \u003d 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 \u003d 317 1 \u003d 21
대답: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 \u003d 317 1 \u003d 21
예제 6
지수식이 주어집니다 a 1, 5-a 0, 5-6, 새 변수를 입력하십시오. t \u003d 0.5.
결정
학위를 상상해 1, 5 같이 0.5 3 ... 우리는 정도의 속성을 사용합니다. (a r) s \u003d a r s 오른쪽에서 왼쪽으로 (a 0, 5) 3 : a 1, 5-a 0, 5-6 \u003d (a 0, 5) 3-a 0, 5-6을 얻습니다. 결과 표현식에 새 변수를 쉽게 입력 할 수 있습니다. t \u003d 0.5: 우리는 얻는다 t 3-t-6.
대답: t 3-t-6.
거듭 제곱을 포함하는 분수 변환
우리는 일반적으로 분수가있는 지수 표현식의 두 가지 변형을 다룹니다. 표현식은 거듭 제곱을 가진 분수이거나 그러한 분수를 포함합니다. 분수의 모든 기본 변환은 제한없이 이러한 표현에 적용 할 수 있습니다. 그것들은 감소 될 수 있고, 새로운 분모로 감소 될 수 있으며, 분자와 분모와 별도로 작동합니다. 예를 들어 설명하겠습니다.
예제 7
지수 표현식 3 5 2 3 5 1 3-5-2 3 1 + 2 x 2-3-3 x 2을 간단히합니다.
결정
우리는 분수를 다루고 있으므로 분자와 분모 모두에서 변환을 수행 할 것입니다.
3 5 2 3 5 1 3-5-2 3 1 + 2 x 2-3-3 x 2 \u003d 3 5 2 3 5 1 3-3 5 2 3 5-2 3-2-x 2 \u003d \u003d 35 2 3 + 1 3-3 5 2 3 +-2 3-2-x 2 \u003d 3 5 1-35 0-2-x 2
분모의 부호를 변경하려면 분수 앞에 마이너스를 넣으십시오. 12-2-x 2 \u003d-12 2 + x 2
대답: 3 5 2 3 5 1 3-5-2 3 1 + 2 x 2-3-3 x 2 \u003d-12 2 + x 2
거듭 제곱을 포함하는 분수는 유리 분수와 같은 방식으로 새로운 분모로 축소됩니다. 이렇게하려면 추가 요소를 찾아 분수의 분자와 분모에 곱해야합니다. 원래 표현식에 대한 ODZ 변수의 변수 값이 사라지지 않도록 추가 요소를 선택해야합니다.
예 8
분수를 새로운 분모로 줄입니다 : a) a + 1 a 0, 7을 분모로 ㅏ, b) 1 x 2 3-2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3을 분모 x + 8 y 1 2로 바꿉니다.
결정
a) 새로운 분모로 축소 할 수있는 요인을 선택합시다. a 0.7 a 0, 3 \u003d a 0.7 + 0, 3 \u003d a,따라서 추가 요소로 0, 3... 변수 a의 유효한 값 범위에는 모든 양의 실수 집합이 포함됩니다. 이 영역에서 학위 0, 3 사라지지 않습니다.
분수의 분자와 분모에 다음을 곱해 봅시다. 0, 3:
a + 1 a 0, 7 \u003d a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 \u003d a + 1 a 0, 3 a
b) 분모에 주목합시다.
x 2 3-2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 \u003d \u003d x 1 3 2-x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
이 식에 x 1 3 + 2 y 1 6을 곱하면 큐브 x 1 3과 2 y 1 6의 합을 얻습니다. x + 8 y 1 2. 이것은 우리가 원래의 분수를 줄여야하는 새로운 분모입니다.
그래서 우리는 추가 인자 x 1 3 + 2 · y 1 6을 찾았습니다. 허용되는 변수 값의 범위 엑스 과 와이 x 1 3 + 2 y 1 6 표현식은 사라지지 않으므로 분수의 분자와 분모에 곱할 수 있습니다.
1 x 2 3-2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 \u003d \u003d x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3-2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 \u003d \u003d x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 \u003d x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
대답: a) a + 1 a 0, 7 \u003d a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3-2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 \u003d x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2.
예제 9
분수 줄이기 : a) 30 x 3 (x 0.5 + 1) x + 2 x 11 3-5 3 45 x 0.5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3-5 3, b) a 1 4-b 1 4 a 12-b 1 2.
결정
a) 우리는 분자와 분모를 줄일 수있는 가장 큰 공통 분모 (GCD)를 사용합니다. 숫자 30과 45의 경우 이것은 15입니다. 우리는 또한 x 0.5 + 1 그리고 x + 2 x 1 1 3-5 3.
우리는 :
30 x 3 (x 0.5 + 1) x + 2 x 11 3-5 3 45 x 0.5 + 1 2 x + 2 x 11 3-5 3 \u003d 2 x 3 3 (x 0.5 + 1)
b) 여기서 동일한 요인의 존재가 분명하지 않습니다. 분자와 분모에서 동일한 인수를 얻으려면 몇 가지 변환을 수행해야합니다. 이를 위해 제곱 차이 공식을 사용하여 분모를 확장합니다.
a 1 4-b 1 4 a 1 2-b 1 2 \u003d a 1 4-b 1 4 a14 2-b 12 2 \u003d \u003d a14-b14 a14 + b1 4 a1 4 -b 1 4 \u003d 1 a 1 4 + b 1 4
대답:a) 30 x 3 (x 0.5 + 1) x + 2 x 11 3-5 3 45 x 0.5 + 1 2 x + 2 x 11 3-5 3 \u003d 2 X 3 3 (x 0, 5 + 1) , b) a14-b1 4 a12-b12 \u003d 1 a14 + b1 4.
분수를 사용하는 주요 작업에는 새로운 분모로 변환하고 분수를 줄이는 것이 포함됩니다. 두 작업 모두 여러 규칙에 따라 수행됩니다. 분수를 더하고 뺄 때, 먼저 분수가 공통 분모에 도달 한 후 분자를 사용하여 작업 (더하기 또는 빼기)이 수행됩니다. 분모는 동일하게 유지됩니다. 우리의 행동의 결과는 분자의 곱이 분자의 곱이고 분모는 분모의 곱인 새로운 분수입니다.
예 10
x 1 2 + 1 x 1 2-1-x 12-1 x 12 + 1 1 x 1 2.
결정
괄호 안에있는 분수를 빼서 시작하겠습니다. 그것들을 공통 분모로 가져와 봅시다.
x 12-1 x 12 + 1
분자 빼기 :
x 12 + 1 x12-1-x12-1 x12 + 1 1 x12 \u003d \u003d x12 + 1 x12 + 1 x12-1 x12 + 1-x 1 2-1 x12-1 x12 + 1 x12-1 1 x12 \u003d \u003d x12 +12-x12-1 2 x12-1 x12 + 1 1 x 1 2 \u003d \u003d x12 2 + 2 x12 + 1-x12 2-2 x12 + 1 x12-1 x12 + 1 1 x12 \u003d \u003d 4 x12 x12- 1 x 12 + 1 1 x 1 2
이제 분수를 곱합니다.
4 x12 x12-1 x12 + 1 1 x 12 \u003d \u003d 4 x12 x12-1 x12 + 1 x12
정도 감소 x 1 2, 우리는 4 x 12-1 x 12 + 1을 얻습니다.
또한 제곱의 차이를 사용하여 분모의 지수 식을 단순화 할 수 있습니다. 제곱 공식 : 4 x 1 2-1 x 1 2 + 1 \u003d 4 x 12 2-1 2 \u003d 4 x-1
대답: x 12 + 1 x12-1-x12-1 x12 + 1 1 x12 \u003d 4 x-1
예 11
지수 식 x 34 x 2, 7 + 1 2 x-5 8 x 2, 7 + 1 3을 간단히합니다.
결정
분수를 다음과 같이 줄일 수 있습니다. (x 2, 7 + 1) 2... 분수 x 34 x-5 8 x 2, 7 + 1을 얻습니다.
x x 3 4 x-5 8 · 1 x 2, 7 + 1의 각도 변환을 계속합시다. 이제 같은 밑수로 거듭 제곱 나누기의 속성을 사용할 수 있습니다. x 34 x-5 8 1 x 2, 7 + 1 \u003d x 34--5 8 1 x 2, 7 + 1 \u003d x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.
마지막 제품에서 분수 x 1 3 8 x 2, 7 + 1로 전달합니다.
대답: x 34 x 2, 7 + 12 x-5 8 x 2, 7 + 1 3 \u003d x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
대부분의 경우 음수 지수가있는 승수를 분자에서 분모로 또는 그 반대로 전송하여 지수의 부호를 변경하는 것이 더 편리합니다. 이 작업을 통해 추가 솔루션을 단순화 할 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 지수 식 (x + 1)-0, 2 3 x-1은 x 3 (x + 1) 0, 2로 대체 될 수 있습니다.
근과 거듭 제곱으로 표현 변환
문제에는 힘뿐만 아니라 분수 표시기뿐만 아니라 뿌리. 그러한 표현을 뿌리 또는 각도로만 줄이는 것이 바람직합니다. 학위로의 전환은 작업하기가 더 쉽기 때문에 바람직합니다. 이러한 전환은 원래 표현식에 대한 변수의 LDV가 모듈을 참조하거나 LDV를 여러 간격으로 분할 할 필요없이 근을 거듭 제곱 할 수있는 경우 특히 바람직합니다.
예제 12
x 1 9 x x 3 6 표현식을 거듭 제곱이라고 상상해보십시오.
결정
가변 범위 엑스 두 가지 불평등으로 정의됩니다 x ≥ 0 세트를 정의하는 x x 3 ≥ 0 [ 0 , + ∞) .
이 세트에서 우리는 뿌리에서 권력으로 갈 권리가 있습니다.
x 1 9 x x 3 6 \u003d x 1 9 x x x 1 3 1 6
각도의 속성을 사용하여 결과 지수 식을 단순화합니다.
x 1 9 x x 1 3 1 6 \u003d x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 \u003d x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 \u003d \u003d x 1 9 x 1 6 X 1 18 \u003d x 1 9 + 1 6 + 1 18 \u003d x 1 3
대답: x 1 9 x x 3 6 \u003d x 1 3.
지수 변수로 거듭 제곱 변환
학위의 속성을 올바르게 사용하면 이러한 변환을 수행하기가 매우 간단합니다. 예를 들어 5 2 x + 1-3 5 x 7 x-14 7 2 x-1 \u003d 0.
우리는 변수와 숫자의 합이있는 정도의 곱을 바꿀 수 있습니다. 왼쪽에서 표현식의 왼쪽에있는 첫 번째 및 마지막 용어로이 작업을 수행 할 수 있습니다.
5 2 x 5 1-3 5 x 7 x-14 7 2 x 7-1 \u003d 0.5 5 2 x-3 5 x 7 x-2 7 2 x \u003d 0.
이제 우리는 평등의 양쪽을 7 2 배... 변수 x의 ODZ에 대한이 표현식은 양수 값만 사용합니다.
5 5-3 5 x 7 x-2 7 2 x 7 2 x \u003d 0 72 x, 5 5 2 x 72 x-3 5 x 7 x 72 x-2 7 2 x 7 2 x \u003d 0.55 2 x 72 x-3 5 x 7 x 7 x 7 x-2 7 2 x 72 x \u003d 0
거듭 제곱으로 분수를 줄이면 5 5 2 x 7 2 x-3 5 x 7 x-2 \u003d 0이됩니다.
마지막으로 도의 비율은 동일한 지표 비율의 거듭 제곱으로 대체되어 5 · 5 7 2 · x-3 · 5 7 x-2 \u003d 0, 이는 5 · 5 7 x 2-3 · 5 7 x-2와 같습니다. \u003d 0.
새 변수 t \u003d 5 7 x를 도입하여 해를 원본으로 줄입니다. 지수 방정식 이차 방정식 5 · t 2-3 · t-2 \u003d 0의 해로.
거듭 제곱과 로그로 표현식 변환
도와 로그를 포함하는 표현식도 문제에서 발견됩니다. 이러한 식의 예는 다음과 같습니다. 1 4 1-5 · log 2 3 또는 log 3 27 9 + 5 (1-log 3 5) · log 5 3. 이러한 식의 변환은 위에서 논의한 로그의 접근 방식과 속성을 사용하여 수행되며, "대수 식 변환"항목에서 자세히 설명했습니다.
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주제 : " 분수 지수가있는 지수를 포함하는 표현식 변환 "
"누군가가 수학에서 학위를 지우도록하세요. 그러면 그는 그것들 없이는 당신이 멀리 갈 수 없다는 것을 알게 될 것입니다." (M.V. 로모 노 소프)
수업 목표 :
교육적인:"Degree with"주제에 대한 학생들의 지식을 일반화하고 체계화합니다. 합리적인 지표"; 자료의 동화 수준을 제어하고 학생들의 지식과 기술의 격차를 제거합니다.
개발 중:학생의 자제력 형성; 각 학생의 관심있는 분위기 조성, 인지 활동 재학생;
교육적인:수학의 역사에 대한 주제에 대한 관심을 키울 수 있습니다.
수업 유형 : 지식의 일반화 및 체계화 수업
장비 : 성적표, 과제가있는 카드, 디코더, 각 학생의 십자말 풀이.
예비 준비 : 수업은 그룹으로 나뉘며 각 그룹에서 리더는 컨설턴트입니다.
수업 중
나는. 시간 정리.
선생님: 우리는 "합리적 지수와 그 속성을 가진 학위"라는 주제에 대한 연구를 마쳤습니다. 이 레슨의 임무는 학습 한 자료를 어떻게 배웠는지, 그리고 습득 한 지식을 특정 문제 해결에 적용 할 수있는 방법을 보여주는 것입니다. 여러분 각자는 책상 위에 점수 표를 가지고 있습니다. 여기에 수업의 각 단계에 대한 성적을 입력합니다. 강의가 끝나면 평균 점수 레슨 당.
평가 용지
| 크로스 워드 | 워밍업 | 에서 작동 | 방정식 | 자신을 확인하십시오 (s \\ r) | ||
II. 검사 숙제.
손에 연필을 들고 상호 시험을 치르면 학생들이 답을 읽습니다.
III. 학생들의 지식을 업데이트합니다.
선생님: 유명한 프랑스 작가 Anatole France는 한때 "배움은 재미 있어야합니다. 지식을 흡수하려면 식욕으로 흡수해야합니다."라고 말했습니다.
십자말 풀이를 푸는 과정에서 필요한 이론적 정보를 반복합시다.
가로 :
1. 정도 값이 계산되는 동작 (발기).
2. 동일한 요소로 구성된 제품 (힘).
3. 어느 정도까지 올릴 때 지수의 효과 (구성).
4. 지수를 빼는 정도의 작용 (분할).
수직 :
5. 모든 동일한 요인의 수 (지시자).
6. 지수가 0 인 차수 (단위).
7. 중복 승수 (베이스).
8. 값 10 5 : (2 3 5 5) (4).
9. 일반적으로 작성되지 않는 지수 (단위).
IV. 수학적 워밍업.
선생님. 합리적인 지수와 그 속성으로 정도의 정의를 반복 해 보겠습니다. 다음 작업을 수행합니다.
1. 인수 중 하나가 x 2, x 5.5, x 1 \\ 3, x 17.5, x 0 인 경우 x 22를 밑이 x 인 2 도의 곱으로 표현합니다.
2. 단순화 :
b) y 5 \\ 8 y 1 \\ 4 : y 1 \\ 8 \u003d y
c) 초 1.4 초 -0.3 초 \u200b\u200b2.9
3. 디코더를 사용하여 단어를 계산하고 형성합니다.
이 작업을 완료하면 "지수"라는 용어를 도입 한 독일 수학자의 이름을 배우게됩니다.
1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3
워드: 1234567 (핀)
V. 공책에 쓴 작업 (보드에 답이 열림) .
작업 :
1. 식을 단순화합니다.
(x-2) : (x 1 \\ 2 -2 1 \\ 2) (y-3) : (y 1 \\ 2-3 1 \\ 2) (x-1) : (x 2 \\ 3 -x 1 \\ 3 +1)
2. 표현식의 값을 찾으십시오.
(x 3 \\ 8 x 1 \\ 4 :) x \u003d 81에서 4
Vi. 그룹 과제.
작업. 디코더를 사용하여 방정식을 풀고 단어를 만듭니다.
카드 번호 1
워드: 1234567 (Diophantus)
카드 번호 2
카드 번호 3
워드: 123451 (뉴턴)
디코더
선생님. 이 모든 학자들은 "학위"개념의 발전에 기여했습니다.
Vii. 학위 개념의 발전에 대한 역사적 정보 (학생 메시지).
자연 지표가있는 학위의 개념은 고대 사람들 사이에서도 형성되었습니다. 면적과 부피를 계산하기 위해 정사각형과 입방체 숫자가 사용되었습니다. 과학자들은 특정 문제를 해결하기 위해 일부 숫자의 정도를 사용했습니다. 고대 이집트 그리고 바빌론.
3 세기에 그리스 과학자 Diophantus "Arithmetic"의 책이 출판되어 알파벳 상징주의 도입의 토대가되었습니다. Diophantus는 미지의 처음 6 개 거듭 제곱과 그 역수 값에 대한 기호를 소개합니다. 이 책에서 사각형은 인덱스 r이있는 기호로 표시됩니다. 큐브는 인덱스가 r 인 부호 k로 표시됩니다.
더 복잡한 대수 문제를 풀고 학위로 연산하는 연습에서 학위의 개념을 일반화하고 지수로 0, 음수 및 분수를 도입하여 확장하는 것이 필요하게되었습니다. 수학의 부 자연스러운 지수로 학위의 개념을 어느 정도 일반화하려는 아이디어는 점차적으로 나왔습니다.
분수 지수와 소수 지수가있는 거듭 제곱에 대한 가장 간단한 행동 규칙은 프랑스의 수학자 Nicholas Orem (1323–1382)의 그의 저서“Algorithm of Proportions”에서 찾을 수 있습니다.
평등, 그리고 0 \u003d 1 (0과 같지 않음)은 15 세기 초 사마르 칸트 과학자 Giyasaddin Kashi Dzhemshid에 의해 그의 저술에서 사용되었습니다. 그와는 별도로 제로 지표는 15 세기에 Nikolai Shuke에 의해 도입되었습니다. Nikolai Shuke (1445-1500)는 지수가 음수이고 지수가 0 인도를 고려한 것으로 알려져 있습니다.
나중에 독일 수학자 M. Stiefel과 Simon Stevin의“Complete arithmetic”(1544)에서 분수와 음의 지수가 발견됩니다. Simon Stevin은 1 / n 루트를 의미한다고 제안했습니다.
독일의 수학자 M. Stiefel (1487-1567)은 0 \u003d 1을 정의하고 지수의 이름을 도입했습니다 (이것은 German Exponent에서 문자 그대로 번역 한 것입니다). 독일어 potenzieren은 지수를 의미합니다.
16 세기 말 François Viet는 변수뿐 아니라 계수도 나타내는 문자를 도입했습니다. 그는 약어 : N, Q, C-1도, 2도 및 3도를 사용했습니다. 그러나 XVII의 현대 명칭 (예 : 4, a 5)은 르네 데카르트에 의해 도입되었습니다.
0, 음수 및 분수 지수가있는 도의 현대 정의와 표기법은 영국 수학자 John Wallis (1616-1703)와 Isaac Newton (1643-1727)의 작품에서 비롯되었습니다.
0, 음수 및 분수 지표를 도입하는 것이 좋습니다. 현대 상징 1665 년 영국 수학자 존 월리스가 처음으로 자세히 썼습니다. 그의 사업은 새로운 기호를 체계적으로 적용하기 시작한 Isaac Newton에 의해 완료되었으며 그 후 일반 용도로 들어갔습니다.
합리적 지수가있는 학위의 도입은 수학적 행동의 개념을 일반화하는 많은 예 중 하나입니다. 0, 음수 및 분수 지수를 갖는 학위는 자연 지수를 갖는 학위에 대해 발생하는 동일한 행동 규칙이 적용되는 방식으로 결정됩니다. 그래서 원래의 명확한 학위 개념의 기본 속성이 보존됩니다.
합리적 지수를 갖는 학위의 새로운 정의는 자연 지수를 갖는 학위의 이전 정의와 모순되지 않습니다. 자연 지수. 수학적 개념을 일반화 할 때 관찰되는이 원리를 영구성 (일 정성 보존) 원리라고합니다. 그것은 1830 년 영국 수학자 J. Peacock에 의해 불완전한 형태로 표현되었으며, 1867 년 독일 수학자 H. Hankel에 의해 완전하고 명확하게 확립되었습니다.
VIII. 자신을 확인하십시오.
독립적 인 일 카드로 (보드에 열린 답변) .
옵션 1
1. 계산 : (1 점)
(a + 3a 1 \\ 2) : (a 1 \\ 2 +3)
옵션 2
1. 계산 : (1 점)
2. 식을 단순화하십시오 : 각각 1 점
a) x 1.6 x 0.4 b) (x 3 \\ 8) -5 \\ 6
3. 방정식 풀기 : (2 점)
4. 식을 단순화합니다 : (2 점)
5. 다음 식의 값을 찾으십시오. (3 점)
IX. 교훈을 요약합니다.
수업에서 기억했던 공식과 규칙은 무엇입니까?
수업에서 작업을 분석하십시오.
수업에서 학생들의 작업이 평가됩니다.
H. 숙제... К : Р IV (반복) Art. 156-157 No. 4 (a-c), No. 7 (a-c),
추가 : 16 번
신청
평가 용지
F / I / 학생 __________________________________________
| 크로스 워드 | 워밍업 | 에서 작동 | 방정식 | 자신을 확인하십시오 (s \\ r) | ||
카드 번호 1
1) X 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3 \\ 5; 3) 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3; 4) x -0.5 x 1.5 \u003d 1; 5) y 1 \\ 3 \u003d 2; 6) a 2 \\ 7 및 12 \\ 7 \u003d 25; 7) a 1 \\ 2 : a \u003d 1 \\ 3
디코더
카드 번호 2
1) X 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3; 3) (x + 6) 1 \\ 2 \u003d 3; 4) y 1 \\ 3 \u003d 2; 5) (y-3) 1 \\ 3 \u003d 2; 6) a 1 \\ 2 : a \u003d 1 \\ 3
디코더
카드 번호 3
1) a 2 \\ 7 및 12 \\ 7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \\ 3 \u003d 2; 3) x -0.7 x 3.7 \u003d 8; 4) a 1 \\ 2 : a \u003d 1 \\ 3; 5) 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3
디코더
카드 번호 1
1) X 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3 \\ 5; 3) 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3; 4) x -0.5 x 1.5 \u003d 1; 5) y 1 \\ 3 \u003d 2; 6) a 2 \\ 7 및 12 \\ 7 \u003d 25; 7) a 1 \\ 2 : a \u003d 1 \\ 3
디코더
카드 번호 2
1) X 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3; 3) (x + 6) 1 \\ 2 \u003d 3; 4) y 1 \\ 3 \u003d 2; 5) (y-3) 1 \\ 3 \u003d 2; 6) a 1 \\ 2 : a \u003d 1 \\ 3
디코더
카드 번호 3
1) a 2 \\ 7 및 12 \\ 7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \\ 3 \u003d 2; 3) x -0.7 x 3.7 \u003d 8; 4) a 1 \\ 2 : a \u003d 1 \\ 3; 5) 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3
디코더
카드 번호 1
1) X 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3 \\ 5; 3) 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3; 4) x -0.5 x 1.5 \u003d 1; 5) y 1 \\ 3 \u003d 2; 6) a 2 \\ 7 및 12 \\ 7 \u003d 25; 7) a 1 \\ 2 : a \u003d 1 \\ 3
디코더
카드 번호 2
1) X 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3; 3) (x + 6) 1 \\ 2 \u003d 3; 4) y 1 \\ 3 \u003d 2; 5) (y-3) 1 \\ 3 \u003d 2; 6) a 1 \\ 2 : a \u003d 1 \\ 3
디코더
카드 번호 3
1) a 2 \\ 7 및 12 \\ 7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \\ 3 \u003d 2; 3) x -0.7 x 3.7 \u003d 8; 4) a 1 \\ 2 : a \u003d 1 \\ 3; 5) 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3
디코더
| 옵션 1 1. 계산 : (1 점) 2. 식을 단순화하십시오 : 각각 1 점 a) x 1 \\ 2 x 3 \\ 4 b) (x -5 \\ 6) -2 \\ 3 c) x -1 \\ 3 : x 3 \\ 4 d) (0.04x 7 \\ 8) -1 \\ 2 3. 방정식 풀기 : (2 점) 4. 식을 단순화합니다 : (2 점) (a + 3a 1 \\ 2) : (a 1 \\ 2 +3) 5. 다음 식의 값을 찾으십시오. (3 점) (Y 1 \\ 2 -2) -1-(Y 1 \\ 2 +2) -1 at y \u003d 18 | 옵션 2 1. 계산 : (1 점) 2. 식을 단순화하십시오 : 각각 1 점 a) x 1.6 x 0.4 b) (x 3 \\ 8) -5 \\ 6 c) x 3 \\ 7 : x -2 \\ 3 d) (0.008x -6 \\ 7) -1 \\ 3 3. 방정식 풀기 : (2 점) 4. 식을 단순화합니다 : (2 점) (1.5 초-태양 1.5) : (0.5 초-0.5 초) 5. 다음 식의 값을 찾으십시오. (3 점) (x 3 \\ 2 + x 1 \\ 2) : (x 3 \\ 2 -x 1 \\ 2) x \u003d 0.75에서 |
|||||||||||||
시립 교육 기관
메인 종합 학교 № 25
대수 수업
이야기:
« 분수 지수가있는 지수를 포함하는 표현식 변환 "
개발자 :
,
수학 교사
최고검증 범주
노드
2013
강의 주제: 분수 지수를 포함하는 표현식 변환
수업의 목적:
1. 기술, 지식, 분수 지표가있는 학위를 포함하는 표현 변형 기술의 추가 형성
2. 오류를 찾는 능력, 사고력, 창의성, 말하기, 컴퓨팅 기술 개발
3. 독립 교육, 주제에 대한 관심, 세심함, 정확성.
TSO : 마그네틱 보드, 제어 카드, 테이블, 개별 카드, 학생은 테이블에서 개별 작업을위한 빈 서명 시트, 십자말 풀이, 수학적 준비를위한 테이블, 멀티미디어 프로젝터가 있습니다.
수업 유형: ZUN 보안.
시간에 따른 수업 계획
1. 조직적인 순간 (2 분)
2. 숙제 확인 (5 분)
3. 크로스 워드 퍼즐 풀기 (3 분)
4. 수학 준비 (5 분)
5. 정면 강화 운동 솔루션 (7 분)
6. 개별 작업 (10 분)
7. 반복 운동 솔루션 (5 분)
8. 강의 요약 (2 분)
9. 숙제 (1 분)
수업 중
1) 동료 검토 형식으로 숙제 확인 ... 좋은 학생들은 약한 아이들의 노트를 확인합니다. 그리고 약한 사람들은 제어 카드의 모델에서 강한 사람들을 확인합니다. 숙제는 두 가지 버전으로 제공됩니다.
나는 옵션 작업은 어렵지 않습니다
II 옵션 작업이 어렵다
수표 결과, 사람들은 간단한 연필로 실수에 밑줄을 치고 점수를 매 깁니다. 마지막으로 레슨을 마치고 공책을 건네 준 뒤 작업을 확인합니다. 나는 사람들에게 그들의 검증 결과를 요청하고 이러한 유형의 작업에 대해 요약 테이블에 표시합니다.
2) 이론 자료를 확인하기 위해 십자말 풀이가 제공됩니다..
수직 :
1. 단항식을 다항식으로 곱할 때 사용되는 곱셈의 속성?
2. 지수를 지수로 올릴 때 지수의 효과는 무엇입니까?
3. 0 점?
4. 동일한 요소로 구성된 제품?
수평 :
5. 루트 n -음수가 아닌 숫자의 차도?
6. 도를 곱할 때 지수의 효과?
7. 도를 나눌 때 지수의 효과?
8. 모든 동일한 요인의 수?
3) 수학 준비
a) 계산을 수행하고 암호를 사용하여 문제에 숨겨진 단어를 읽습니다.
당신 앞에있는 보드에는 테이블이 있습니다. 1 열의 표에는 계산해야하는 예가 포함되어 있습니다.
테이블의 핵심
491/2 | ||
27-1/3 | ||
4*81/3 | ||
5*25-1/2 | ||
7*82/3 | ||
(49/144)1/2 | 7/12 | |
(27*64)1/3 |
7/12 |
그리고 열에 답을 쓰십시오.II 및 III 열 이 대답에 해당하는 편지를 넣으십시오.
교사 : 자, 암호화 된 단어 "degree"입니다. 다음 작업에서는 2, 3 급
b) "오해하지 않도록하라"게임
점 대신 숫자 입력
a) x \u003d (x ...) 2; b) a3 / 2 \u003d (a1 / 2) ...; c) a \u003d (a1 / 3) ...; d) 5 ... \u003d (51/4) 2; e) 34/3 \u003d (34/9) ...; f) 74/5 \u003d (7 ...) 2; g) x1 / 2 \u003d (x ...) 2; h) y1 / 2 \u003d (y ...) 2
오류를 찾아 보겠습니다.
A1 / 4-2a1 / 2 + 1 \u003d (a1 /
자, 여러분,이 작업을 완료하기 위해 무엇을 적용해야하는지 :
학위의 속성 : 학위를 거듭 제곱하면 지표가 곱해집니다.
4) 이제 정면 쓰기 작업에 대해 알아 보겠습니다. 이전 작업의 결과를 사용합니다. 노트북을 열고 번호, 수업 주제를 기록하십시오.
№ 000
a) a-b \u003d (a1 / 2) 2-(b1 / 2) 2 \u003d (a1 / 2-b1 / 2) * (a1 / 2 + b1 / 2)
b) a-c \u003d (a1 / 3) 3-(b1 / 3) 3 \u003d (a1 / 3-b1 / 3) * (a2 / 3 + a1 / 3 b1 / 3 + b2 / 3)
000 번 (a, c, d, e)
과 ) m2-5 \u003d m2-(m1 / 2) 2 \u003d (m-51/2) * (m + 51/2)
c) a3-4 \u003d (a3 / 2) 2-22 \u003d (a3 / 2-2) * (a3 / 2 +2)
d) x2 / 5-y4 / 5 \u003d (x1 / 5) 2-(y2 / 5) 2 \u003d (x1 / 5-y2 / 5) * (x1 / 5 + y2 / 5)
e) 4-a \u003d 22-(a1 / 2) 2 \u003d (2-a1 / 2) * (2 + a1 / 2)
000 번 (a, d, f)
a) x3-2 \u003d x3-(21/3) 3 \u003d (x-21/3) * (x2 + 21/3 x + 22/3)
d) a6 / 5 + 27 \u003d (a2 / 5) 3 + 33 \u003d (a2 / 5 + 3) * (a4 / 3-3 a2 / 5 + 9)
f) 4 + y \u003d (41/3) 3 + (y1 / 3) 3 \u003d (41/3 + y1 / 3) * (42/3 + 41/3 y1 / 3 + y2 / 3)
평가
5) 별도의 시트에 4 가지 옵션으로 개별 카드 작업
다양한 난이도의 작업은 교사의 조언없이 수행됩니다.
나는 즉시 작업을 확인하고 내 테이블과 남자 시트에 표시를 둡니다.
번호 000 (a, c, d, h)
a) 4 * 31/2 / (31/2-3) \u003d 4 * 31/2/31/2 * (1-31/2) \u003d 4 / (1-31/2)
c) x + x1 / 2 / 2x \u003d x1 / 2 * (x1 / 2 + 1) / 2 * (x1 / 2) 2 \u003d (x1 / 2 + 1) / 2x1 / 2
e) (a2 / 3-b2 / 3) / (a1 / 3 + b1 / 3) \u003d (a1 / 3) 2-(b1 / 3) 2 / (a1 / 3 + b1 / 3) \u003d (a1 / 3 + b1 / 3) * (a1 / 3-b1 / 3) / (a1 / 3 + b1 / 3) \u003d a1 / 3-b1 / 3
h) (x2 / 3-x1 / 3 y1 / 3 + y2 / 3) / (x + y) \u003d ((x1 / 3) 2-x1 / 3 y1 / 3 + (y1 / 3) 2) / (( x1 / 3) 3 + (y1 / 3) 3) \u003d ((x1 / 3) 2-x1 / 3 y1 / 3 + (y1 / 3) 2) / (x1 / 3 + y1 / 3) * ((x1 / 3) 2-x1 / 3 y1 / 3 + (y1 / 3) 2) \u003d 1 / (x1 / 3 + y1 / 3)
7) 다양한 난이도의 개별 카드 작업... 일부 연습에서는 자료가 복잡하고 약한 어린이가 작업에 대처하기가 어렵 기 때문에 교사 추천이 있습니다.
네 가지 옵션도 있습니다. 평가는 즉시 이루어집니다. 나는 모든 성적을 테이블에 넣었다.
컬렉션의 문제 번호
교사는 다음과 같은 질문을합니다.
1. 문제에서 무엇을 찾아야합니까?
2. 이것에 대해 무엇을 알아야합니까?
3. 보행자 1 명과 보행자 2 명의 시간을 어떻게 표현하나요?
4. 문제의 상황에 따라 보행자 1 명과 2 명의 시간을 비교하여 방정식을 만드십시오.
문제의 해결책 :
x (km / h)를 보행자 1 명의 속도라고합니다.
X +1 (km / h)-보행자 2 명의 속도
4 / x (h)-보행자 시간
4 / (x +1) (h)-두 번째 보행자의 시간
문제의 조건에 따라 4 / x\u003e 4 / (x +1) 12 분 동안
12 분 \u003d 12/60 시간 \u003d 1/5 시간
우리는 방정식을 만든다
X / 4-4 / (x +1) \u003d 1/5
NOZ : 5x (x +1) ≠ 0
5 * 4 * (x + 1)-5 * 4x \u003d x * (x + 1)
20 배 + 20-20 배-x2-x \u003d 0
X2 + x –20 \u003d 0
D \u003d 1-4 * (-20) \u003d 81, 81\u003e 0.2k
х1 \u003d (-1 -√81) / (-2) \u003d 5km / h-보행자 1 명의 속도
x2 \u003d (-1 + √81) / (-2) \u003d 4-x\u003e 0이므로 문제의 의미에 맞지 않습니다.
답 : 5km / h-보행자 2 명의 속도
9) 강의 요약: 그래서 여러분, 오늘 수업에서 우리는 학위를 포함하는 표현을 변형하는 지식, 기술, 기술을 통합하고, 축약 된 곱셈 공식을 사용하고, 괄호에서 공통 요소를 제거하고, 다룬 내용을 반복했습니다. 장점과 단점을 지적합니다.
표의 교훈을 요약합니다.
크로스 워드 | 매트. 워밍업 | 앞. 일 | Ind. 직장 K-1 | Ind. 직장 K-2 | ||||
10) 성적을 발표합니다. 숙제
개별 카드 K-1 및 K-2
나는 B-1과 B-2를 바꾼다. B-3과 B-4는 동일하므로
공과에 대한 부록.
1) 숙제 카드
1. 단순화
a) (x1 / 2-y1 / 2) 2 + 2x1 / 2 y1 / 2
b) (a3 / 2 + 5a1 \\ 2) 2-10a2
2. 합계로 표시
a) a1 / 3 c1 \\ 4 * (b2 / 3 + c3 / 4)
b) (a1 / 2-b1 / 2) * (a + a1 / 2 b1 \\ 2 + c)
3. 공약수 제거
c) 151/3 +201/3
1. 단순화
a) √m + √n-(m1 / 4-n1 / 4) 2
b) (a1 / 4 + b1 / 4) * (a1 / 8 + b1 / 8) * (a1 \\ 8-b1 / 8)
2. 합계로 표시
a) x0.5 y0.5 * (x-0.5-y1.5)
b) (x1 / 3 + y1 / 3) * (x2 \\ 3-x1 / 3 y1 \\ 3 + y2 / 3)
3. 괄호에서 공약수를 빼십시오.
b) c1 \\ 3-c
c) (2а) 1/3-(5а) 1/3
2) B-2 용 제어 카드
a) √m + √n-(m 1 | 4 -n 1 | 4) 2 \u003d m 1 | 2 + n 1 | 2-((m 1 | 2) 2-2m 1 / 4n 1/4 + (n 1/2) 2) \u003d m 1/2 + n 1/2-m 1/2 + 2m 1 / 4n 1/4-n 1/2 \u003d 2m 1 / 4n 1/4
b) (a1 / 4 + b1 / 4) * (a1 / 8 + b1 / 8) * (a1 / 8-b1 / 8) \u003d (a1 / 4 + b1 / 4) * (a1 / 8) 2-( b1 / 8) 2 \u003d (a1 / 4 + b1 / 4) * (a1 / 4-b1 / 4) \u003d (a1 / 4) 2-(b1 / 4) 2 \u003d a1 / 2-b1 / 2
a) x0.5 y0.5 * (x-0.5- y1.5) \u003d x0.5 y0.5 x-0.5-x0.5 y0.5y1.5 \u003d x0 y0.5-x0.5 y2 \u003d y0. 5-x0.5 y2
b) (x1 / 3 + y1 / 3) * (x2 / 3-x1 / 3 y1 \\ 3 + y2 / 3) \u003d (x1 \\ 3 + y1 / 3) * ((x1 / 3) 2-x1 / 3 y1 \\ 3 + (y1 / 3) 2) \u003d (x1 / 3) 2 + (y1 / 3) 2 \u003d x + y
a) 3-31/2 \u003d 31/2 * (31/2-1)
b) в1 / 3-в \u003d в1 / 3 * (1-в2 / 3)
c) (2a) 1/3-(5a) 1/3 \u003d a1 / 3 * (21/3-51/3)
3) 첫 번째 개별 작업용 카드
a) a-y, x ≥ 0, y ≥ 0
b) a-u, a ≥ 0
1. 제곱의 차이로 제시하여 인수 분해
a) a1 / 2-b1 / 2
2. 큐브의 차이 또는 합으로 표현하여 인수 분해
a) c1 / 3 + d1 / 3
1. 제곱의 차이로 제시하여 인수 분해
a) X1 / 2 + Y1 / 2
b) X1 / 4-Y1 / 4
2. 큐브의 차이 또는 합으로 표현하여 인수 분해
4) 두 번째 개별 작업용 카드
a) (x-x1 / 2) / (x1 / 2-1)
표시 : x1 / 2는 괄호에서 분자를 내 보냅니다.
b) (a-c) / (a1 / 2-b1 / 2)
참고 : a-b \u003d (a1 / 2) 2-(b1 / 2) 2
분수 줄이기
a) (21/4-2) / 5 * 21/4
참고 : 괄호 밖에 21/4를 배치하십시오.
b) (a-c) / (5a1 / 2-5v1 / 2)
참고 : a-b \u003d (a1 / 2) 2– (b1 / 2) 2
옵션 3
1. 분수 줄이기
a) (x1 / 2-x1 / 4) / x3 / 4
참고 : x1 / 4는 괄호 밖에 배치합니다.
b) (а1 / 2-в1 / 2) / (4а1 / 4-4в1 / 4)
옵션 4
분수 줄이기
a) 10 / (10-101/2)
b) (a-c) / (a2 / 3 + a1 \\ 3b1 / 3 + B 1/3)
식, 식 변환
거듭 제곱 표현 (제곱이있는 표현) 및 그 변환
이 기사에서는 거듭 제곱 표현을 변환하는 방법에 대해 설명합니다. 먼저 확장 괄호와 같은 지수 식을 포함하여 유사한 용어를 캐스팅하는 등 모든 종류의 식으로 수행되는 변환에 중점을 둘 것입니다. 그런 다음 거듭 제곱의 속성을 사용하여 밑수와 지수로 작업하는 등 거듭 제곱이있는 표현에 내재 된 변환을 정확하게 분석합니다.
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지수식이 란 무엇입니까?
"지수 표현"이라는 용어는 학교 수학 교과서에서는 거의 발견되지 않지만, 예를 들어 시험 및 시험 준비를위한 문제 모음에서 종종 나타납니다. 지수 식으로 작업을 수행해야하는 작업을 분석 한 후에는식이 레코드에 학위를 포함하는 식으로 이해된다는 것이 분명해집니다. 따라서 자신을 위해 다음 정의를 수락 할 수 있습니다.
정의.
힘 표현 도를 포함하는 표현식입니다.
우리가 주자 지수 식의 예... 또한 자연 지표가있는 정도에서 실제 지표가있는 정도까지 관점의 발전이 어떻게 일어나는지에 따라 표현하겠습니다.
아시다시피, 먼저 자연 지수를 가진 숫자의 거듭 제곱을 아는 사람이 있습니다.이 단계에서는 유형 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0, 1) 4, 3 a 2 −a + a 2, x 3−1, (a 2) 3 등
조금 후에 정수 지수를 가진 숫자의 거듭 제곱이 연구되어 다음과 같이 음의 정수 거듭 제곱을 가진 거듭 제곱 표현이 나타납니다. 3 −2, 
, a −2 + 2 b −3 + c 2.
고등학교에서는 다시 학위로 돌아갑니다. 거기에서 합리적 지수를 가진 학위가 도입되어 해당 멱 표현이 나타납니다. 
, , 
기타 마지막으로, 비합리적인 지표와이를 포함하는 표현이있는 학위가 고려됩니다.
문제는 나열된 거듭 제곱 표현식에 국한되지 않습니다. 변수는 지수까지 더 깊이 침투하며, 예를 들어 2 x 2 +1 또는 
... 그리고 만난 후 거듭 제곱과 로그가있는 표현이 발생하기 시작합니다 (예 : x 2 · lgx −5 · x lgx).
그래서 우리는 지수 표현이 무엇인지에 대한 질문을 알아 냈습니다. 다음으로 우리는 그것들을 변형시키는 법을 배웁니다.
거듭 제곱 표현의 기본 변환 유형
지수 식을 사용하면 기본적으로 동일한 식 변환을 수행 할 수 있습니다. 예를 들어, 괄호를 확장하고, 숫자 표현식을 해당 값으로 바꾸고, 유사한 용어를 제공하는 등의 작업을 수행 할 수 있습니다. 당연히이 경우 조치를 수행하기 위해 허용 된 절차를 따라야합니다. 여기 예시들이 있습니다.
예.
지수 식 2 3 · (4 2 −12)의 값을 계산합니다.
결정.
작업을 수행하는 순서에 따라 먼저 괄호 안에 작업을 수행합니다. 먼저 차수 4 2를 값 16으로 바꾸고 (필요한 경우 참조) 두 번째로 차이 16−12 \u003d 4를 계산합니다. 우리는 2 3 (4 2 −12) \u003d 2 3 (16−12) \u003d 2 34.
결과 식에서 거듭 제곱 2 3을 값 8로 바꾼 다음 곱 8 4 \u003d 32를 계산합니다. 이것이 원하는 값입니다.
그래서, 2 3 (4 2-12) \u003d 2 3 (16-12) \u003d 2 34 \u003d 8 4 \u003d 32.
대답:
2 3 (4 2 −12) \u003d 32.
예.
멱 표현식 단순화 3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7.
결정.
분명히이 표현은 유사한 용어 3 · a 4 · b −7 및 2 · a 4 · b −7을 포함하고 있으며 다음과 같이 가져올 수 있습니다.
대답:
3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7 \u003d 5 a 4 b −7 −1.
예.
힘을 가진 표현을 제품으로 상상 해보세요.
결정.
작업에 대처하기 위해 3 2의 거듭 제곱 형태로 숫자 9를 표현하고 축약 곱셈에 대한 공식의 후속 사용은 제곱의 차이입니다. 
대답:
또한 거듭 제곱 표현에 내재 된 여러 동일한 변환이 있습니다. 그런 다음 분석합니다.
밑수 및 지수 작업
도, 밑수 및 / 또는 지수가 숫자 또는 변수가 아니라 일부 표현식입니다. 예를 들어 (2 + 0.37) 5-3.7 및 (a (a + 1) -a 2) 2 (x + 1) 레코드를 제공합니다.
이러한 식으로 작업 할 때 차수를 기반으로하는 식과 지수의 식을 변수의 ODZ에서 동일하게 동일한 식으로 바꿀 수 있습니다. 즉, 우리에게 알려진 규칙에 따라 학위의 기준을 별도로 변환하고 별도로 표시기를 변환 할 수 있습니다. 이 변환의 결과로 원래의 것과 동일하게 동일한 표현이 얻어 질 것임이 분명합니다.
이러한 변화를 통해 우리는 힘으로 표현을 단순화하거나 필요한 다른 목표를 달성 할 수 있습니다. 예를 들어, 위의 지수 식 (2 + 0.3 · 7) 5-3.7에서 밑수와 지수의 숫자로 작업을 수행 할 수 있으므로 4.1 1.3의 거듭 제곱으로 이동할 수 있습니다. 그리고 괄호를 확장하고 차수의 기저에서 유사한 항을 줄인 후 (a (a + 1)-a 2) 2 (x + 1), 우리는 더 간단한 형태 a 2 (x + 1)의 거듭 제곱 표현을 얻습니다.
학위 속성 사용
힘으로 표현을 변환하는 주요 도구 중 하나는 평등 반영입니다. 주요 사항을 기억합시다. 어떠한 것도 양수 a와 b와 임의의 실수 r과 s의 경우 다음 거듭 제곱 속성이 참입니다.
- a r a s \u003d a r + s;
- a r : a s \u003d a r − s;
- (a b) r \u003d a r b r;
- (a : b) r \u003d a r : b r;
- (a r) s \u003d a r s.
자연, 정수 및 양의 지수의 경우 숫자 a와 b에 대한 제한이 그렇게 엄격하지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 자연수 m과 n의 경우, 등식 a m a n \u003d a m + n은 양수 a뿐만 아니라 음수 및 a \u003d 0에 대해서도 참입니다.
학교에서 지수 표현을 변환 할 때 주된 관심은 적절한 속성을 선택하고 올바르게 적용하는 능력에 정확하게 초점을 맞추고 있습니다. 이 경우 각도의 기준은 일반적으로 양수이므로 제한없이 각도의 속성을 사용할 수 있습니다. 도 기저에 변수를 포함하는 표현식의 변환에도 동일하게 적용됩니다. 허용되는 변수 값의 범위는 일반적으로 기수가 양의 값만 취하므로 각도의 속성을 자유롭게 사용할 수 있습니다. 일반적으로 속성을 부정확하게 사용하면 ODV 및 기타 문제가 좁아 질 수 있기 때문에이 경우 학위의 속성을 적용 할 수 있는지 지속적으로 자문해야합니다. 이러한 요점은 각도의 속성을 사용하여 표현의 변환에 대한 기사의 예제와 함께 자세히 논의됩니다. 여기서 우리는 몇 가지 간단한 예로 제한합니다.
예.
a 2.5 · (a 2) −3 : a −5.5를 밑이 a 인 거듭 제곱으로 표현한다고 상상해보십시오.
결정.
먼저 두 번째 요소 (a 2) −3을 거듭 제곱하는 속성으로 변환합니다. (a 2) −3 \u003d a 2 (−3) \u003d a −6... 원래의 지수 식은 2.5 · a −6 : a −5.5 형식을 취합니다. 분명히, 곱셈과 나눗셈의 속성을 같은 기저로 사용하는 것이 남아 있습니다.
a 2.5 a −6 : a −5.5 \u003d
a 2.5-6 : a -5.5 \u003d a -3.5 : a -5.5 \u003d
a −3.5-(-5.5) \u003d a 2.
대답:
a 2.5 (a 2) −3 : a −5.5 \u003d a 2.
지수 식을 변환 할 때 검정력 속성은 왼쪽에서 오른쪽으로, 오른쪽에서 왼쪽으로 모두 사용됩니다.
예.
지수 식의 값을 찾으십시오.
결정.
평등 (a b) r \u003d a r b r, 오른쪽에서 왼쪽으로 적용하면 원래 표현에서 형식의 제품으로 이동할 수 있습니다. 그리고 동일한 밑수로 각도를 곱하면 표시기가 합산됩니다. 
.
다른 방식으로 원래 표현의 변형을 수행하는 것이 가능했습니다. 
대답:
.
예.
지수 식 a 1.5 −a 0.5 −6이 주어지면 새 변수 t \u003d a 0.5를 입력합니다.
결정.
차수 a 1.5는 0.5 · 3으로 나타낼 수 있으며, 또한 차수의 특성에 따라 (ar) s \u003d ar · s를 오른쪽에서 왼쪽으로 적용하여 (a 0.5) 3 형식으로 변환합니다. . 그러므로, a 1.5 -a 0.5 -6 \u003d (a 0.5) 3 -a 0.5 -6... 이제 새로운 변수 t \u003d a 0.5를 도입하는 것은 쉽습니다. t 3 −t − 6을 얻습니다.
대답:
t 3 −t − 6.
거듭 제곱을 포함하는 분수 변환
거듭 제곱 표현식은 거듭 제곱이있는 분수를 포함하거나 이러한 분수 일 수 있습니다. 모든 종류의 분수에 내재 된 분수의 기본 변환은 이러한 분수에 완전히 적용 할 수 있습니다. 즉, 거듭 \u200b\u200b제곱을 포함하는 분수는 취소되고, 새로운 분모로 축소되고, 분자와 별도로, 분모와 별도로 작동하는 등의 작업이 가능합니다. 말을 설명하기 위해 몇 가지 예의 해결책을 고려하십시오.
예.
지수 식 단순화 
.
결정.
이 지수 식은 분수입니다. 분자와 분모로 작업 해 봅시다. 분자에서 대괄호를 열고 거듭 제곱의 속성을 사용하여 얻은 식을 단순화하고 분모에서 유사한 용어를 제공합니다. 
또한 분수 앞에 마이너스를 배치하여 분모의 부호를 변경합니다. 
.
대답:
.
새로운 분모로 거듭 제곱을 포함하는 분수의 축소는 유리 분수를 새로운 분모로 축소하는 것과 유사하게 수행됩니다. 이 경우 추가 요소도 발견되고 분수의 분자와 분모에 곱해집니다. 이 작업을 수행 할 때 새로운 분모로 줄이면 ODV가 좁아 질 수 있다는 점을 기억하는 것이 좋습니다. 이를 방지하려면 원래 표현식에 대한 ODZ 변수의 변수 값에 대해 추가 요소가 사라지지 않아야합니다.
예.
분수를 새로운 분모로 줄입니다 : a) 분모로 a, b) 
분모로.
결정.
a)이 경우 원하는 결과를 얻는 데 도움이되는 추가 요소를 파악하는 것은 매우 쉽습니다. 0.7 · a 0.3 \u003d a 0.7 + 0.3 \u003d a이므로 0.3의 계수입니다. 변수 a의 허용 가능한 값 범위에서 (이것은 모든 양의 실수의 집합입니다) 0.3 차수가 사라지지 않으므로 주어진 분수의 분자와 분모를 다음과 같이 곱할 권리가 있습니다. 이 추가 요소 : 
b) 분모를 더 자세히 살펴보면 
이 식을 곱하면 큐브의 합이 나옵니다. 그리고 이것은 우리가 원래의 분수를 줄이기 위해 필요한 새로운 분모입니다.
이것이 우리가 추가 요소를 찾은 방법입니다. 변수 x 및 y의 유효한 값 범위에서 표현식이 사라지지 않으므로 분수의 분자와 분모를 곱할 수 있습니다. 
대답:
과) 
, b) 
.
거듭 제곱을 포함하는 분수의 감소도 새로운 것이 아닙니다. 분자와 분모는 여러 요인으로 표시되고 분자와 분모의 동일한 요인은 취소됩니다.
예.
분수 줄이기 : a) 
, b).
결정.
a) 첫째, 분자와 분모는 숫자 30과 45, 즉 15로 줄일 수 있습니다. 또한 분명히 x 0.5 +1만큼 감소를 수행 할 수 있습니다. 
... 다음은 우리가 가지고있는 것입니다. 
b)이 경우 분자와 분모의 동일한 요소가 즉시 표시되지 않습니다. 그것들을 얻으려면 예비 변형을 수행해야합니다. 이 경우 제곱 차이에 대한 공식에 따라 분모를 요인으로 인수 분해하는 것으로 구성됩니다. 
대답:
과) 
비) 
.
분수를 새로운 분모로 줄이고 분수를 줄이는 것은 주로 분수로 작업을 수행하는 데 사용됩니다. 작업은 알려진 규칙에 따라 수행됩니다. 분수를 더 (빼기)하면 공통 분모가되고 그 후에 분자가 더 해지고 (빼기) 분모는 동일하게 유지됩니다. 결과는 분자의 곱이고 분모는 분모의 곱인 분수입니다. 분수로 나누는 것은 분수의 역으로 \u200b\u200b곱하는 것입니다.
예.
단계를 따르십시오 
.
결정.
먼저 괄호 안의 분수를 뺍니다. 이를 위해 우리는 그것들을 공통 분모로 가져옵니다. 
, 그 후에 분자를 뺍니다. 
이제 분수를 곱합니다. 
분명히 x 1/2의 거듭 제곱으로 취소 할 수 있습니다. 
.
제곱 차이 공식을 사용하여 분모의 지수 표현식을 단순화 할 수도 있습니다. 
.
대답:
예.
지수 식 단순화 
.
결정.
분명히,이 분수는 (x 2.7 +1) 2에 의해 취소 될 수 있습니다. 
... x의 각도로 다른 작업을 수행해야한다는 것은 분명합니다. 이를 위해 결과 분수를 제품으로 변환합니다. 이를 통해 동일한 기준으로 학위를 나누는 속성을 사용할 수 있습니다. 
... 그리고 프로세스가 끝나면 마지막 제품에서 일부로 전달합니다.
대답:
.
그리고 우리는 또한 가능하고 많은 경우에 지수의 부호를 변경하여 분자에서 분모로 또는 분모에서 분자로 음의 지수를 가진 승수를 전송하는 것이 바람직하다고 덧붙입니다. 이러한 변환은 종종 추가 작업을 단순화합니다. 예를 들어, 지수 식은 다음으로 대체 될 수 있습니다.
근과 거듭 제곱으로 표현 변환
분수 지수가있는 거듭 제곱과 함께 일부 변환이 필요한 표현식에는 뿌리도 있습니다. 그러한 표현을 원하는 형태로 변환하려면 대부분의 경우 뿌리로만 가거나 권력으로 만 가면 충분합니다. 그러나 학위로 작업하는 것이 더 편리하기 때문에 일반적으로 뿌리에서 학위로 이동합니다. 그러나 원래 표현식에 대한 변수의 ODZ를 사용하면 모듈을 참조하거나 ODV를 여러 간격으로 분할 할 필요없이 근을 거듭 제곱 할 수있는 경우 이러한 전환을 수행하는 것이 좋습니다 (자세한 내용은 기사 뿌리에서 권력으로의 전환. 비합리적인 지표가있는 학위가 소개되어 임의의 실제 지표로 학위에 대해 이야기 할 수 있습니다. 지수 함수, 그 밑에 숫자가 있고 지표에서-변수에 의해 분석적으로 설정됩니다. 그래서 우리는 차수의 밑수에 숫자를 포함하는 지수 표현과 변수가있는 지수 표현에 직면하게되며 자연스럽게 그러한 표현의 변환을 수행해야합니다.
이 유형의 표현의 변형은 일반적으로 풀 때 수행되어야한다고 말해야합니다. 지수 방정식 과 지수 부등식이러한 변환은 매우 간단합니다. 압도적 인 대부분의 경우, 학위의 속성을 기반으로하며 주로 미래에 새로운 변수를 도입하는 것을 목표로합니다. 방정식으로 증명할 수 있습니다. 5 2 x + 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x − 1 \u003d 0.
첫째, 변수 (또는 변수가있는 표현식)와 숫자의 합이 구해지는 정도가 제품으로 대체됩니다. 이것은 왼쪽에있는 표현식의 첫 번째 및 마지막 용어에 적용됩니다.
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 \u003d 0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x \u003d 0.
또한, 등식의 양쪽은 원래 방정식에 대한 변수 x의 ODZ에서 양의 값만 취하는 표현식 7 2 x로 나뉩니다 (이런 종류의 방정식을 풀기위한 표준 기술입니다. 지금 그것에 대해 이야기하기 때문에 힘을 가진 표현의 후속 변형에 초점을 맞 춥니 다) : 
이제 거듭 제곱을 가진 분수가 취소됩니다. 
.
마지막으로 지수가 동일한 각도의 비율은 관계의 각도로 대체되어 방정식이됩니다. 
동등한 
... 수행 된 변환을 통해 원래 지수 방정식의 해를 2 차 방정식의 해로 줄이는 새 변수를 도입 할 수 있습니다.
표현식의 값을 계산할 때 마지막으로 수행되는 산술 연산이 "주"연산입니다.
즉, 문자 대신 임의의 숫자를 대체하고 표현식의 값을 계산하려고하면 마지막 동작이 곱셈이면 곱이됩니다 (표현식이 인수 분해됨).
마지막 작업이 더하기 또는 빼기 인 경우 이는 표현식이 인수 분해되지 않았으므로 취소 할 수 없음을 의미합니다.
솔루션을 직접 수정하려면 몇 가지 예를 들어보십시오.
예 :
해결책 :
1. 당신이 서두르지 않았 으면 좋겠어요. 다음과 같이 단위를 "절단"하는 것만으로는 충분하지 않습니다.
첫 번째 조치는 인수 분해해야합니다.
4. 분수의 더하기와 빼기. 분수를 공통 분모로 가져옵니다.
일반 분수를 더하고 빼는 것은 매우 익숙한 작업입니다. 우리는 공통 분모를 찾고 각 분수에 누락 된 요소를 곱하고 분자를 더하거나 뺍니다.
기억합시다 :
대답:
1. 분모는 상호 소수입니다. 즉, 공통 인자가 없습니다. 따라서이 숫자의 LCM은 제품과 같습니다. 이것은 공통 분모가 될 것입니다.
2. 여기서 공통 분모는 다음과 같습니다.
3. 여기서 제일 먼저 대분수 우리는 그들을 잘못된 것으로 바꾼 다음 일반적인 계획에 따라 :
예를 들어 분수에 문자가 포함되어 있으면 완전히 다릅니다.
간단하게 시작하겠습니다.
a) 분모에는 문자가 포함되지 않습니다.
여기서 모든 것은 일반 분수와 동일합니다. 공통 분모를 찾고, 각 분수에 누락 된 요소를 곱하고, 분자를 더하거나 뺍니다.
이제 분자에서 비슷한 것을 가져 와서 요인으로 분해 할 수 있습니다.
직접 시도해보십시오.
대답:
b) 분모에는 문자가 포함됩니다.
문자없이 공통 분모를 찾는 원리를 기억합시다.
· 우선, 우리는 공통 요소를 결정합니다.
· 그런 다음 모든 공통 요소를 한 번에 작성합니다.
· 공통적이지 않은 다른 모든 요인을 곱하십시오.
분모의 공약수를 결정하기 위해 먼저 분모를 소인수로 분해합니다.
공통 요소를 강조하겠습니다.
이제 공통 요소를 한 번 작성하고 여기에 밑줄이없는 모든 비 공통 요소를 추가해 보겠습니다.
이것은 공통 분모입니다.
편지로 돌아 갑시다. 분모는 정확히 같은 방식으로 표시됩니다.
· 우리는 분모를 요인으로 분해합니다.
· 공통 (동일한) 요인을 결정합니다.
· 모든 공통 요소를 한 번 작성하십시오.
· 일반적이지 않은 다른 모든 요소를 \u200b\u200b곱합니다.
따라서 순서대로 :
1) 분모를 요인으로 분해합니다.
2) 공통 (동일한) 요인을 결정합니다.
3) 모든 공통 요소를 한 번 작성하고 다른 모든 (스트레스가없는) 요소를 곱합니다.
그래서 공통 분모는 여기에 있습니다. 첫 번째 분수에는 다음을 곱하고 두 번째 분수에는 다음을 곱해야합니다.
그건 그렇고, 한 가지 트릭이 있습니다.
예 :.
우리는 분모에서 동일한 요소를 볼 수 있으며 모두 다른 지표를 가지고 있습니다. 공통 분모는 다음과 같습니다.
어느 정도
어느 정도
어느 정도
정도.
작업을 복잡하게합시다.
분수를 같은 분모로 만드는 방법은 무엇입니까?
분수의 기본 속성을 기억합시다.
분수의 분자와 분모에서 같은 숫자를 빼거나 더할 수 있다는 말은 어디에도 없습니다. 틀렸 으니까요!
예를 들어, 분수를 취하고 분자와 분모에 숫자를 더하십시오. 무엇을 배웠습니까?
따라서 흔들리지 않는 또 다른 규칙 :
분수를 공통 분모로 가져올 때는 곱셈 만 사용하십시오!
그러나 받기 위해서는 무엇을 곱해야합니까?
여기에 곱하십시오. 그리고 곱하기 :
인수 분해 할 수없는 식을 "기본 요인"이라고합니다.
예를 들어,은 기본 요소입니다. -또한. 그러나-아니요 : 인수 분해됩니다.
표현에 대해 어떻게 생각하세요? 초등학생인가요?
아니요, 인수 분해 할 수 있기 때문에 :
( ""주제에서 인수 분해에 대해 이미 읽었습니다.)
따라서 문자로 표현식을 확장하는 기본 요소는 숫자를 확장하는 소인수와 유사합니다. 그리고 우리는 그것들을 같은 방식으로 다룰 것입니다.
두 분모 모두에 요인이 있음을 알 수 있습니다. 권력의 공통 분모로 갈 것입니다 (이유를 기억하십니까?).
요소는 기본이며 공통적이지 않습니다. 즉, 첫 번째 분수에 단순히 곱하기 만하면됩니다.
다른 예시:
결정:
공황 상태에서이 분모를 곱하기 전에 어떻게 인수 분해할지 생각 해봐야합니까? 둘 다 다음을 나타냅니다.
좋아! 그때:
다른 예시:
결정:
평소와 같이 분모를 고려하십시오. 첫 번째 분모에서는 단순히 대괄호 밖에 넣습니다. 두 번째-사각형의 차이 :
공통 요인이없는 것 같습니다. 그러나 자세히 살펴보면 너무 비슷합니다 ... 그리고 진실 :
그래서 우리는 다음과 같이 쓸 것입니다.
즉, 다음과 같이 밝혀졌습니다. 괄호 안에 용어를 바꿨고 동시에 분수 앞의 기호가 반대로 변경되었습니다. 이 작업을 자주 수행해야합니다.
이제 우리는 공통 분모를 가져옵니다.
알았다? 지금 확인해 보겠습니다.
독립 솔루션을위한 작업 :
대답:
여기서 우리는 큐브 간의 차이점을 하나 더 기억해야합니다.
두 번째 분수의 분모는 "합의 제곱"공식이 아닙니다! 합계의 제곱은 다음과 같습니다.
A는 소위 합계의 불완전 제곱입니다. 두 번째 항은 첫 번째와 마지막의 곱이지 두 배가 된 곱이 아닙니다. 합계의 불완전 제곱은 큐브 차이 확장의 요소 중 하나입니다.
이미 세 개의 분수가 있으면 어떨까요?
예, 똑같습니다! 먼저 분모의 최대 요인 수가 동일한 지 확인합니다.
주의 : 한 괄호 안의 기호를 변경하면 분수 앞의 기호가 반대로 변경됩니다. 두 번째 괄호의 부호를 변경하면 분수 앞의 부호가 다시 반전됩니다. 결과적으로 (분수 앞의 기호) 변경되지 않았습니다.
우리는 첫 번째 분모를 공통 분모에 완전히 쓴 다음 아직 작성되지 않은 모든 요소, 두 번째, 세 번째 요소 (분수가 더있는 경우 등)를 추가합니다. 즉, 다음과 같이 나타납니다.
흠 ... 분수를 사용하면 무엇을해야할지 분명합니다. 하지만 듀스는 어떻습니까?
간단합니다. 분수를 더할 수 있지요? 이것은 듀스를 분수로 만들어야한다는 것을 의미합니다! 기억하십시오 : 분수는 나누기 연산입니다 (갑자기 잊어 버린 경우 분자가 분모로 나뉩니다). 그리고 숫자를 나누는 것보다 쉬운 일은 없습니다. 이 경우 숫자 자체는 변경되지 않지만 분수로 바뀝니다.
정확히 무엇이 필요합니다!
5. 분수의 곱셈과 나눗셈.
음, 가장 어려운 부분은 이제 끝났습니다. 그리고 우리 앞에는 가장 간단하지만 동시에 가장 중요합니다.
순서
수식을 계산하는 절차는 무엇입니까? 그러한 표현의 의미를 세는 것을 기억하십시오.
세 었어?
작동합니다.
그래서 나는 당신에게 상기시킵니다.
첫 번째 단계는 정도를 계산하는 것입니다.
두 번째는 곱셈과 나눗셈입니다. 동시에 여러 곱셈과 나눗셈이있는 경우 순서에 관계없이 수행 할 수 있습니다.
마지막으로 덧셈과 뺄셈을합니다. 다시 말하지만, 어떤 순서로든.
그러나 : 괄호 안의 표현은 순서대로 평가됩니다!
여러 대괄호를 곱하거나 나누면 먼저 각 대괄호의 식을 계산 한 다음 곱하거나 나눕니다.
브래킷 안에 더 많은 브래킷이 있으면 어떻게됩니까? 글쎄, 그것에 대해 생각해 봅시다. 어떤 표현은 괄호 안에 쓰여 있습니다. 식을 평가할 때 가장 먼저해야 할 일은 무엇입니까? 맞습니다. 괄호를 계산하십시오. 글쎄, 우리는 그것을 알아 냈습니다. 먼저 우리는 내부 괄호를 계산 한 다음 다른 모든 것을 계산했습니다.
따라서 위 표현식의 절차는 다음과 같습니다 (현재 작업은 빨간색으로 강조 표시됩니다. 즉, 지금 수행중인 작업).
좋아요, 모두 간단합니다.
그런데 이건 글자가있는 표현과 같지 않나요?
아니, 똑같아! 산술 연산 대신 대수 연산, 즉 이전 섹션에서 설명한 작업을 수행해야합니다. 비슷한 가져 오기, 분수 추가, 분수 축소 등. 유일한 차이점은 다항식 인수 분해의 효과입니다 (분수로 작업 할 때 자주 사용합니다). 대부분의 경우 인수 분해를 위해 i를 사용하거나 괄호 밖에 공약수를 넣어야합니다.
일반적으로 우리의 목표는 작품 또는 특정 형식으로 표현을 제시하는 것입니다.
예를 들면 :
표현을 단순화합시다.
1) 첫 번째는 괄호 안의 표현을 단순화하는 것입니다. 거기에 분수의 차이가 있으며 우리의 목표는 그것을 곱 또는 몫으로 제시하는 것입니다. 따라서 분수를 공통 분모로 가져오고 다음을 추가합니다.
이 표현을 더 이상 단순화하는 것은 불가능합니다. 여기에있는 모든 요소는 기본입니다 (이게 무슨 뜻인지 아직도 기억하십니까?).
2) 우리는 다음을 얻습니다.
분수의 곱셈 : 더 쉬울 수있는 것.
3) 이제 다음을 줄일 수 있습니다.
그게 다입니다. 복잡한 건 없죠?
다른 예시:
식을 단순화하십시오.
먼저 직접 해결 한 다음 해결 방법을 확인하십시오.
결정:
우선, 행동의 순서를 정의합시다.
먼저 괄호 안에 분수를 더하고 두 개의 분수 대신 하나를 얻습니다.
그런 다음 분수를 나눌 것입니다. 음, 마지막 분수로 결과를 더하십시오.
작업을 개략적으로 열거합니다.
이제 전체 프로세스를 표시하고 현재 작업을 빨간색으로 채색합니다.
1. 유사한 것이있는 경우 즉시 가져와야합니다. 어떤 순간에 비슷한 것이 있으면 즉시 가져 오는 것이 좋습니다.
2. 분수의 감소에도 동일하게 적용됩니다. 감소 할 기회가 생기면 바로 사용해야합니다. 단, 더하거나 빼는 분수는 예외입니다. 분수가 이제 동일한 분모를 가지면 나중을 위해 감소를 남겨 두어야합니다.
다음은 스스로 해결할 수있는 몇 가지 작업입니다.
그리고 맨 처음에 약속했습니다.
대답:
솔루션 (간결) :
적어도 처음 세 가지 예에 대처했다면 주제를 마스터 한 것입니다.
이제 학습을 시작하십시오!
표현의 변형. 요약 및 기본 공식
기본 단순화 작업 :
- 유사 가져 오기: 이러한 항을 추가 (가져 오기)하려면 해당 계수를 추가하고 문자 부분을 할당해야합니다.
- 채권 차압 통고:공통 요소를 분해하고 적용하는 등
- 분수 감소: 분수의 분자와 분모는 0이 아닌 동일한 숫자로 곱하거나 나눌 수 있으며 이는 분수의 값을 변경하지 않습니다.
1) 분자와 분모 인자
2) 분자와 분모에 공통 인자가 있으면 줄을 그을 수 있습니다.중요 : 승수 만 줄일 수 있습니다!
- 분수의 더하기와 빼기 :
; - 분수의 곱셈과 나눗셈 :
;
