기능 격차를 찾으십시오. "증가 및 감소 기능"

호출 된 함수 간격의 증가
어떤 점이라면

불평등
인수의 값이 클수록 함수의 값이 커집니다.

마찬가지로, 기능
전화 간격이 감소
어떤 점이라면
이 간격에서 조건 하에서
불평등
인수의 값이 클수록 함수의 값이 낮아집니다.

간격 증가
간격이 줄어듦
함수를 호출 간격에서 단조로운
.

미분 함수의 미분을 알면 단조의 간격을 찾을 수 있습니다.

정리 (함수를 증가시키기에 충분한 조건).
기능들
간격에 긍정적
그런 다음 기능
이 간격에서 단조 증가합니다.

정리 (함수 감소를위한 충분한 조건).  구간에서 미분 값을 구별 할 수있는 경우
기능들
간격에서 음수
그런 다음 기능
이 간격에서 단조롭게 감소합니다.

기하학적 의미   이 정리의 함수는 함수가 감소하는 간격에서 축을 사용하여 함수 형태의 그래프에 접선이 있다는 사실로 구성됩니다.
둔각과 증가 간격-날카로움 (그림 1 참조).

정리 (함수의 단 조성에 필요한 조건).기능이
차별화 및
(
간격)
이 간격에서 감소하지 않습니다 (증가하지 않습니다).

함수의 단 조성 간격을 찾기위한 알고리즘
:

예입니다.  함수의 단조 구간을 구합니다
.

포인트 전화 기능 최대 점

모두를 위해 조건을 만족
불평등
.

최대 기능   최대 값에서의 함수 값입니다.

그림 2는 점에서 최대 값을 갖는 함수 그래프의 예를 보여줍니다.
.

포인트 전화 기능 최소 점
일부 숫자가 존재하는 경우
모두를 위해 조건을 만족
불평등
. 나리스. 2 기능은 한 지점에서 최소값을가집니다 .

최고점과 최저점에는 일반적인 이름이 있습니다. 극단 점 . 따라서 최대 및 최소 포인트가 호출됩니다 극단 점 .

세그먼트에 정의 된 함수는이 세그먼트 내의 포인트에서만 최대 값과 최소값을 가질 수 있습니다. 함수의 최대 값과 최소값을 세그먼트에서 가장 크고 가장 작은 값과 혼동하는 것은 불가능합니다. 이것은 근본적으로 다른 개념입니다.

극한의 시점에서 파생 상품에는 특별한 특성이 있습니다.

정리 (극단에 \u200b\u200b필요한 조건).  한 번에 보자 기능
극단이 있습니다. 그런 다음
존재하지 않습니다
.

기능 영역의 요점
존재하지 않는 곳
라는 임계점 기능 .

따라서 극단 점은 중요한 점들 사이에 있습니다. 일반적으로 임계점이 극단 일 필요는 없습니다. 어떤 시점에서 함수의 미분 값이 0과 같다고해서이 시점에서 함수가 극단 값을 갖는 것은 아닙니다.

예입니다.  고려
. 우리는
그러나 요점
극단이 아닙니다 (그림 3 참조).

정리 (극단에 \u200b\u200b대한 첫 번째 충분한 조건).  한 번에 보자 기능
연속 및 미분
점을 넘어갈 때 기호를 변경합니다. 그런 다음 -극단 점 : 부호가 "+"에서 "-"로 변경되면 최대 값, "-"에서 "+"로 최소값 표시.

포인트를 넘어갈 때 미분은 다음에 부호를 변경하지 않습니다 극단은 없습니다.

정리 (극단에 \u200b\u200b대한 두 번째 충분한 조건).  한 번에 보자 두 가지 차별화 기능의 파생
제로 (
)이며이 시점의 이차 미분 값은 0이 아닙니다 (
)의 일부 지역에서 연속적 임 . 그런 다음 -극단
; 에
이것은 최소 지점이며 언제
이것이 최대 점입니다.

극한의 첫 번째 충분한 조건을 사용하여 함수의 극한값을 찾기위한 알고리즘 :

미분을 찾으십시오.

함수의 임계점을 찾으십시오.

각 임계점의 왼쪽과 오른쪽에있는 미분의 부호를 조사하고 극단이 있다고 결론을 내립니다.

함수의 극단 값을 찾으십시오.

극한의 두 번째 충분한 조건을 사용하여 함수의 극한값을 찾기위한 알고리즘 :

예입니다.  함수 극한값 찾기
.

1. 기능의 범위를 찾으십시오

2. 함수의 미분을 구합니다

3. 도함수를 0으로 설정하고 함수의 임계점을 찾으십시오.

4. 정의 영역에 중요한 포인트를 표시하십시오.

5. 획득 한 각 구간에서 미분의 부호를 계산합니다.

6. 각 간격에서 기능의 동작을 찾으십시오.

예 : 증가 및 감소 기능의 간격 찾기f(x) = 간격에서이 함수의 영 (0) 수입니다.

해결책 :

1. D ( f) \u003d R

2. f"(x) =

D ( f") \u003d D ( f) \u003d R

3. 방정식을 풀어 함수의 임계점을 찾으십시오. f"(x) = 0.

x(x – 10) = 0

중요한 기능 점 x  \u003d 0 x = 10.

4. 미분의 부호를 정의합니다.

f"(x) + – +

f(x) 0 10  x

구간 (-∞; 0) 및 (10; + ∞)에서 함수의 미분은 점에서 양수입니다. x  \u003d 0 및 x \u003d 10 함수 f(x)는 연속적이므로이 함수는 간격이 증가합니다 : (-∞; 0] ;.

세그먼트 끝에서 함수 값의 부호를 정의합니다.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10) < 0.

구간에서 함수가 감소하고 함수 값의 부호가 변경되므로이 구간에서 함수의 0이됩니다.

답 : 함수 f (x)는 다음 간격으로 증가합니다. (-∞; 0] ;;

간격에서 함수는 하나의 함수 0을 갖습니다.

2. 극단 기능 : 최대 및 최소 포인트. 극한의 기능을 위해 필요하고 충분한 조건. 극한의 기능 연구 규칙 .

정의 1 :미분 값이 0 인 점을 임계점 또는 정지 점이라고합니다.

정의 2.   이 시점의 함수 값이 가장 가까운 함수보다 작거나 큰 경우 함수의 최소 (최대) 포인트라고합니다.

이 경우 최대 및 최소는 로컬이라는 것을 명심해야합니다.

그림. 1. 로컬 최대 값 및 최소값이 표시됩니다.

최대 및 최소 기능은 공통 이름 : 기능의 극단으로 구성됩니다.

정리 1  (극단적 인 기능의 존재에 필요한 신호). 특정 시점에서 미분 가능한 함수가이 시점에서 최대 값 또는 최소값을 가지면 미분 값이 사라집니다.

정리 2  (극단적 인 기능의 존재에 대한 충분한 표시). 연속 함수가 임계점을 포함하는 특정 간격의 모든 지점에서 미분을 갖는 경우 (이 지점 자체를 제외하고) 임계점을 통해 인수를 왼쪽에서 오른쪽으로 전달할 때 미분에서 부호가 플러스에서 마이너스로 변경되면 함수는이 시점에서 최대 값을 가지며, 마이너스에서 플러스로 부호를 전달하면 최소값을 갖습니다.

함수의 동작에 대한 매우 중요한 정보는 증가 및 감소 간격으로 제공됩니다. 그들의 발견은 기능을 연구하고 플로팅하는 과정의 일부입니다. 또한 특정 간격에서 함수의 최대 값과 최소값을 찾을 때 변경이 증가에서 감소 또는 감소에서 증가로 증가하는 극단적 인 점에 특별한주의를 기울입니다.

이 기사에서는 필요한 정의를 제공하고 간격에서 함수의 증가 및 감소에 대한 충분한 징후와 극한의 존재에 대한 충분한 조건을 공식화 하고이 이론을 예제와 문제 해결에 적용합니다.

페이지 탐색.

간격에서 기능의 증가 및 감소

기능 증가의 정의.

함수 y \u003d f (x)는 다음과 같은 경우 간격 X에서 증가합니다.   불평등. 즉, 인수 값이 클수록 함수 값이 커집니다.

감소하는 기능의 정의.

함수 y \u003d f (x)는 다음과 같은 경우 간격 X에서 감소합니다.   불평등 . 다시 말해, 인수의 값이 클수록 함수의 값이 낮아집니다.

참고 : 함수가 증가 또는 감소 간격의 끝에서 (a; b), 즉 x \u003d a 및 x \u003d b로 정의되고 연속적인 경우 이러한 점은 증가 또는 감소의 간격에 포함됩니다. 이것은 간격 X에서 증가 및 감소 기능의 정의와 모순되지 않습니다.

예를 들어, 기본 기본 함수의 속성에서 우리는 y \u003d sinx가 인수의 모든 실제 값에 대해 정의되고 연속적이라는 것을 알고 있습니다. 따라서 구간의 사인 함수의 증가로부터 구간의 증가에 대해 알 수 있습니다.

극단 점, 기능의 극단 점.

호출 된 포인트 최대 점  함수 y \u003d f (x), 근방의 모든 x에 대해 불평등이있는 경우. 최대 지점에서의 함수 값이 호출됩니다 최대 기능  표시합니다.

호출 된 포인트 최소 포인트  함수 y \u003d f (x), 근방의 모든 x에 대해 불평등이있는 경우. 최소 지점에서의 함수 값이 호출됩니다 최소 기능  표시합니다.

동네에서, 포인트는 간격을 의미 충분히 작은 양수는 어디에 있습니까?

최소 및 최대 포인트가 호출됩니다 극단 점그리고 극단의 점에 해당하는 함수 값이 호출됩니다. 극단 기능.

함수의 극단 값을 함수의 최대 값 및 최소값과 혼동하지 마십시오.

첫 번째 그림에서 구간에서 함수의 가장 큰 값은 최대 지점에 도달하고 함수의 최대 값과 같으며 두 번째 그림에서 함수의 가장 큰 값은 최대 지점이 아닌 x \u003d b 지점에 도달합니다.

기능을 증가 및 감소시키기에 충분한 조건.

함수의 증가 및 감소에 대한 충분한 조건 (기호)에 따라 함수의 증가 및 감소 간격이 발견됩니다.

다음은 구간에서 증가 및 감소 기능의 징후에 대한 문구입니다.

• 함수 y \u003d f (x)의 미분 값이 구간 X의 x에 대해 양수이면 함수는 X에서 증가합니다.
• 함수 y \u003d f (x)의 미분 값이 구간 X의 x에 대해 음수이면 X에서 함수가 감소합니다.

따라서 함수의 증가 및 감소 간격을 결정하려면 다음이 필요합니다.

알고리즘을 명확하게하기 위해 함수의 증가 및 감소 간격을 찾는 예를 고려하십시오.

예입니다.

기능의 증가 및 감소 간격을 찾으십시오.

해결책.

첫 번째 단계에서는 함수의 범위를 찾아야합니다. 이 예에서 분모의 표현은 사라지지 않아야합니다.

우리는 미분 함수를 찾는 과정을 진행합니다.

충분한 기준으로 함수의 증가 및 감소 간격을 결정하기 위해 정의 영역의 불평등을 해결합니다. 구간 방법의 일반화를 사용합니다. 분자의 유일하게 유효한 근은 x \u003d 2이고 분모는 x \u003d 0에서 사라집니다. 이 점들은 영역을 함수의 미분이 부호를 유지하는 간격으로 나눕니다. 우리는이 점들을 번호 줄에 표시합니다. 플러스와 마이너스는 임의로 도함수가 양 또는 음의 간격을 나타냅니다. 아래의 화살표는 해당 간격에서 기능의 증가 또는 감소를 개략적으로 보여줍니다.

이런 식으로   그리고 .

시점에서 x \u003d 2 인 경우, 함수가 정의되고 연속적이므로 증가 및 감소 모두에 추가되어야합니다. x \u003d 0 지점에서는 함수가 정의되지 않으므로이 지점은 원하는 간격에 포함되지 않습니다.

우리는 얻은 결과를 비교하기위한 함수의 그래프를 제공합니다.

답은

때 기능이 증가 간격 (0; 2]에서 감소합니다.

극한의 기능을위한 충분한 조건.

함수의 최대 값과 최소값을 찾으려면 함수가 조건을 만족하는 경우 극단의 세 가지 부호 중 하나를 사용할 수 있습니다. 가장 일반적이고 편리한 것이 첫 번째입니다.

극한의 첫 번째 충분한 조건.

함수 y \u003d f (x)는 점의 이웃에서 구별 가능하고 점 자체에서 연속적입니다.

다시 말해 :

함수의 극단의 첫 부호로 극단 점을 찾기위한 알고리즘.

• 함수 정의 도메인을 찾습니다.
• 정의의 영역에서 함수의 미분을 찾습니다.
• 분자의 제로, 도함수의 분모 제로 및 도함수가 존재하지 않는 영역의 점을 결정합니다 (모든 점을 호출합니다) 가능한 극한의 포인트이 지점을 통과하면 파생 상품이 부호를 변경할 수 있습니다).
• 이 점들은 함수의 영역을 도함수가 부호를 유지하는 간격으로 나눕니다. 각 구간에서 도함수의 부호를 결정합니다 (예 : 주어진 구간의 어느 시점에서나 함수의 도함수 값 계산).
• 우리는 함수가 연속적 인 지점을 선택하고,이를 통해 미분 변경 부호를 통과합니다-그것들은 극단의 지점입니다.

단어가 너무 많으면 함수의 극한에 대한 첫 번째 충분한 조건을 사용하여 함수의 극한 및 극한 점을 찾는 몇 가지 예를 더 잘 고려할 것입니다.

예입니다.

함수의 극한값을 찾으십시오.

해결책.

함수의 도메인은 x \u003d 2를 제외하고 전체 실수 세트입니다.

우리는 파생 상품을 찾습니다.

분자의 0은 점 x \u003d -1이고 x \u003d 5이며 분모는 x \u003d 2에서 사라집니다. 이 점들을 숫자 축에 표시하십시오.

각 구간에서 도함수의 부호를 결정합니다.이를 위해 각 구간의 임의의 점, 예를 들어 x \u003d -2, x \u003d 0, x \u003d 3 및 x \u003d 6 지점에서 도함수의 값을 계산합니다.

따라서 도함수는 구간에서 양수입니다 (그림에서이 구간에 더하기 부호를 넣습니다). 마찬가지로

따라서 두 번째 구간에 마이너스를, 세 번째 구간에 마이너스를, 네 번째 구간에 더하기를 넣습니다.

함수가 연속적이고 파생 된 변화 부호가있는 지점을 선택해야합니다. 이것들은 극단적 인 포인트입니다.

시점에서 x \u003d -1 함수는 연속적이고 미분은 부호를 더하기에서 빼기로 바꿉니다. 따라서 극단의 첫 부호에 따라 x \u003d -1은 최대 점이며, 함수의 최대 값은 그에 해당합니다 .

시점에서 x \u003d 5 함수는 연속적이고 미분은 부호를 빼기에서 +로 바꿉니다. 따라서 x \u003d -1은 최소 점이며, 함수의 최소값은 이에 해당합니다 .

그래픽 일러스트.

답은

주의를 기울이십시오 : 극한의 첫 번째 충분한 부호는 그 자체에서 기능의 차별화 가능성을 요구하지 않습니다.

예입니다.

함수의 극단 점과 극한 점을 찾습니다 .

해결책.

함수의 영역은 전체 실수 세트입니다. 함수 자체는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

함수의 미분을 찾으십시오.

시점에서 x \u003d 0 인 경우 인수가 0 일 때 단측 한계 값이 일치하지 않으므로 미분 값이 존재하지 않습니다.

동시에, 원래의 기능은 x \u003d 0에서 연속적입니다 (연속성에 대한 기능 검사 섹션 참조).

도함수가 사라지는 인수의 가치를 찾으십시오.

우리는 숫자 라인에서 얻은 모든 점을 표시하고 각 구간에서 미분의 부호를 결정합니다. 이를 위해 각 구간의 임의 지점에서 미분 값을 계산합니다 (예 : x \u003d -6, x \u003d -4, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 4, x \u003d 6.

즉,

따라서 극단의 첫 징후에 따르면 최소 점은 최대 점수는 .

해당 함수 최소값을 계산합니다

해당 함수 최대 값을 계산합니다

그래픽 일러스트.

답은

.

함수 극단의 두 번째 부호.

보시다시피, 함수의 극단의 부호는 적어도 한 시점에서 2 차까지 미분의 존재를 요구합니다.

기능 증가 및 감소

기능 y = f(x)는 세그먼트에서 증가라고합니다. a, b] 포인트 쌍의 경우 x  그리고 x ", ≤ x 불평등 f(x) ≤ f (x "), 그리고 엄격하게 증가-불평등의 경우 f (x) f(x ") 함수의 감소 및 엄격한 감소는 비슷한 방식으로 정의됩니다. 예를 들어, 함수 에 = x 2 (무화과. a) 세그먼트에서 엄격히 증가하고

(무화과. b)이 세그먼트에서 엄격히 감소합니다. 증가하는 기능은 f (x) 및 감소 f (x) ↓. 차별화 된 기능을 위해 f (x) 세그먼트에서 증가하고있었습니다. 그러나, b], 그것의 파생물이 필요하고 충분하다 f"(x)은 음수가 아니 었습니다. [ 그러나, b].

세그먼트에서 기능의 증가 및 감소와 함께 지점에서의 기능의 증가 및 감소가 고려됩니다. 기능 에 = f (x)는 시점에서 증가라고합니다 x  점을 포함하는 간격 (α, β)이있는 경우 0 x  어느 시점이든 0 x  (α, β)로부터, x\u003e x  0, 불평등 f (x 0) ≤ f (x) 및 모든 지점 x  (α, β)로부터, x 0, 부등식 f (x) ≤f (x  0). 마찬가지로 해당 지점에서 기능이 엄격하게 증가합니다. x  0. 만약에 f"(x 0) >   0, 기능 f(x) 지점에서 엄격히 증가 x  0. 만약에 f (x)는 간격의 각 지점에서 증가합니다 ( a, b)이되면이 간격으로 증가합니다.

  S. B. Stechkin.

위대한 소비에트 백과 사전. -M .: 소비에트 백과 사전. 1969-1978 .

다른 사전에서 "기능 증가 및 감소"를 확인하십시오.

수학적 분석의 개념. 함수 f (x)는 AGE POPULATION STRUCTURE 세그먼트에서 증가하는 인구의 다른 연령 그룹 수의 비율이라고합니다. 생식력 및 사망률, 사람들의 평균 수명에 따라 다릅니다 ... 큰 백과 사전

수학적 분석의 개념. 점 x1과 x2의 쌍에 대해 a≤x1 ... 인 경우 함수 f (x)를 세그먼트에서 증가라고합니다. 백과 사전

수학의 개념. 분석. 함수 f (x)가 호출됩니다 점 x1과 x2의 쌍에 대해 세그먼트 [a, b]에서 증가하고,<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)자연사. 백과 사전

함수의 미분과 미분을 연구하고 함수 연구에 적용하는 수학의 한 가지. 디자인 D. and. I. Newton과 G. Leibniz (17의 후반)와 관련된 독립적 인 수학적 학문으로. 위대한 소비에트 백과 사전

미분과 미분의 개념을 연구하는 수학 부분과 기능 연구에 적용하는 방법. D.의 개발과. 적분 미적분의 발달과 밀접한 관련이 있습니다. 불가분의 내용과 내용. 함께 그들은 기초를 형성합니다 ... ... 수학 백과 사전

이 용어에는 다른 의미가 있습니다. 기능을 참조하십시오. "디스플레이"요청이 여기로 리디렉션됩니다. 다른 의미도 참조하십시오 ... Wikipedia

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익스트림 기능

정의 2

$ x_0 $ 포인트는이 포인트 근처에 존재하는 경우 $ f (x) $ 함수의 최대 포인트라고합니다. 따라서이 동네의 모든 $ x $에 대해 불평등 $ f (x) \\ le f (x_0) $가 유지됩니다.

정의 3

$ x_0 $ 점은이 점 근처에이 점이있는 경우 $ f (x) $ 함수의 최대 점이라고합니다.이 점에서 모든 $ x $에 대해 부등식 $ f (x) \\ ge f (x_0) $가 유지됩니다.

함수의 극단 개념은 함수의 핵심 포인트 개념과 밀접한 관련이 있습니다. 우리는 그 정의를 소개합니다.

정의 4

$ x_0 $는 다음과 같은 경우 $ f (x) $ 함수의 임계점이라고합니다.

1) $ x_0 $는 정의 도메인의 내부 지점입니다.

2) $ f "\\ left (x_0 \\ right) \u003d 0 $ 또는 존재하지 않습니다.

극단의 개념을 위해, 존재에 대한 충분하고 필요한 조건에 대한 정리를 공식화 할 수 있습니다.

정리 2

극한의 충분한 조건

$ x_0 $ 점은 $ y \u003d f (x) $ 함수에 중요하고 $ (a, b) $ 간격에 있습니다. 각 간격 $ \\ left (a, x_0 \\ right) \\ 및 \\ (x_0, b) $ 미분 $ f "(x) $가 존재하고 일정한 부호를 유지하십시오.

1) $ (a, x_0) $ 구간에서 미분 값이 $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $이고 $ $ x (x_0, b) $ 구간에서 미분 값이 $ f"\\ left (x \\ right)

2) $ (a, x_0) $ 구간에서 미분 값이 $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ 인 경우 $ x_0 $ 포인트는이 함수의 최소 포인트입니다.

3) $ (a, x_0) $ 간격과 $ (x_0, b) 간격 $ 파생 상품 $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $ 또는 파생 $ f"\\ left (x \\ right)

이 정리는 그림 1에 설명되어 있습니다.

그림 1. 극한의 존재에 대한 충분한 조건

극단의 예 (그림 2).

그림 2. 극단 점의 예

  극한의 기능 연구 규칙

2) 도함수를 구합니다 $ f "(x) $;

7) 정리 2를 사용하여 각 구간에서 최대 값과 최소값의 존재에 대한 결론을 도출합니다.

  기능 증가 및 감소

우선, 기능 증가 및 감소의 정의를 소개합니다.

정의 5

$ x_1 간격에 대해 정의 된 $ y \u003d f (x) $ 함수는 $ x_1에 대해 $ x_1, x $의 x $에 대해 x $

정의 6

$ x $ 간격에 정의 된 $ y \u003d f (x) $ 함수는 $ x_1f (x_2) $에 대해 $ x_1, x $의 x $가있는 경우 감소라고합니다.

  증가 및 감소 기능 조사

미분을 사용하여 증가 및 감소 기능을 탐색 할 수 있습니다.

증가 및 감소 간격에 대한 기능을 조사하려면 다음을 수행해야합니다.

1) 함수의 영역을 구합니다 $ f (x) $;

2) 도함수를 구합니다 $ f "(x) $;

3) 평등 $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $가 유지되는 점을 찾습니다.

4) $ f "(x) $가 존재하지 않는 지점을 찾으십시오.

5) 좌표 선에 발견 된 모든 점과이 기능의 영역을 표시하십시오.

6) 각 결과 간격에서 미분 $ f "(x) $의 부호를 결정합니다.

7) 결론 : $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ 간격마다 함수가 증가합니다.

  증가, 감소 및 극한 점의 존재를 연구하는 작업의 예

실시 예 1

증가 및 감소 기능과 최대 및 최소 포인트의 존재를 조사하십시오. $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

처음 6 점은 같으므로 시작합시다.

1) 범위-모든 실수

2) $ f "\\ 왼쪽 (x \\ 오른쪽) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;

3) $ f "\\ 왼쪽 (x \\ 오른쪽) \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ f "(x) $는 정의 영역의 모든 지점에 존재합니다.

5) 좌표 선 :

그림 3

6) 각 구간에서 미분 $ f "(x) $의 부호를 결정합니다.

\ \}