온라인 기능의 증가 및 감소 간격. 기능 연구
익스트림 기능
정의 2
$ x_0 $ 점은이 점 근처에이 점이있는 경우 $ f (x) $ 함수의 최대 점이라고합니다.이 점에서 모든 $ x $에 대해 불평등 $ f (x) \\ le f (x_0) $가 유지됩니다.
정의 3
$ x_0 $ 포인트는이 포인트 근처에 존재하는 경우 $ f (x) $ 함수의 최대 포인트라고합니다.이 동네의 모든 $ x $에 대해 불평등 $ f (x) \\ ge f (x_0) $가 유지됩니다.
극한 함수의 개념은 함수의 핵심 포인트의 개념과 밀접한 관련이 있습니다. 우리는 그 정의를 소개합니다.
정의 4
$ x_0 $는 다음과 같은 경우 $ f (x) $ 함수의 임계점이라고합니다.
1) $ x_0 $는 정의 도메인의 내부 지점입니다.
2) $ f "\\ left (x_0 \\ right) \u003d 0 $ 또는 존재하지 않습니다.
극단의 개념을 위해, 존재에 대한 충분하고 필요한 조건에 대한 정리를 공식화 할 수 있습니다.
정리 2
극한의 충분한 조건
$ x_0 $ 점은 $ y \u003d f (x) $ 함수에 중요하고 $ (a, b) $ 간격에 있습니다. 각 간격에서 $ \\ left (a, x_0 \\ right) \\ 및 \\ (x_0, b) $ 미분 $ f "(x) $가 존재하고 상수 부호를 유지한다고 가정합니다.
1) $ (a, x_0) $ 구간에서 미분 값이 $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $이고 $ $ x (x_0, b) $ 구간에서 미분 값이 $ f"\\ left (x \\ right)
2) $ (a, x_0) $ 구간에서 미분 값이 $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ 인 경우 $ x_0 $ 포인트는이 함수의 최소 포인트입니다.
3) 구간 $ (a, x_0) $와 구간 $ (x_0, b) $ 미분 $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $ 또는 미분 $ f"\\ left (x \\ right)
이 정리는 그림 1에 설명되어 있습니다.
그림 1. 극한의 존재에 대한 충분한 조건
극단의 예 (그림 2).
그림 2. 극단 점의 예
극한의 기능 연구 규칙
2) 도함수를 구합니다 $ f "(x) $;
7) 정리 2를 사용하여 각 구간에서 최대 값과 최소값의 존재에 대한 결론을 도출합니다.
기능 증가 및 감소
우선, 기능 증가 및 감소의 정의를 소개합니다.
정의 5
$ x_1 간격에 대해 정의 된 $ y \u003d f (x) $ 함수는 $ x_1에 대해 $ x_1, x $의 x $에 대해 $ x_1 인 경우 증가라고합니다.
정의 6
$ x $ 간격에 정의 된 $ y \u003d f (x) $ 함수는 $ x_1f (x_2) $에 대해 $ x_1, x $의 x $가있는 경우 감소라고합니다.
증가 및 감소 기능 조사
미분을 사용하여 증가 및 감소 기능을 탐색 할 수 있습니다.
증가 및 감소 간격에 대한 기능을 조사하려면 다음을 수행해야합니다.
1) 함수의 영역을 구합니다 $ f (x) $;
2) 도함수를 구합니다 $ f "(x) $;
3) 평등 $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $가 유지되는 점을 찾습니다.
4) $ f "(x) $가 존재하지 않는 지점을 찾으십시오.
5) 좌표 선에 발견 된 모든 점과이 기능의 영역을 표시하십시오.
6) 각 결과 간격에서 미분 $ f "(x) $의 부호를 결정합니다.
7) 결론 : $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ 간격마다 함수가 증가합니다.
증가, 감소 및 극한 점의 존재를 연구하는 작업의 예
실시 예 1
증가 및 감소 기능과 최대 및 최소 포인트의 존재를 조사하십시오. $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $
처음 6 점은 같으므로 시작합시다.
1) 범위-모든 실수
2) $ f "\\ 왼쪽 (x \\ 오른쪽) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;
3) $ f "\\ 왼쪽 (x \\ 오른쪽) \u003d 0 $;
\ \ \
4) $ f "(x) $는 정의 영역의 모든 지점에 존재합니다.
5) 좌표 선 :
그림 3
6) 각 구간에서 미분 $ f "(x) $의 부호를 결정합니다.
한 쌍의 포인트 x 그리고 x ", ≤ x 불평등 f(x) ≤ f (x "), 그리고 엄격하게 증가-불평등의 경우 f (x) f(x ") 함수의 감소 및 엄격한 감소는 비슷한 방식으로 정의됩니다. 예를 들어, 함수 에 = x 2 (무화과. a) 세그먼트에서 엄격히 증가하고
(무화과. b)이 세그먼트에서 엄격히 감소합니다. 증가하는 기능은 f (x) 및 감소 f (x) ↓. 차별화 된 기능을 위해 f (x)는 세그먼트에서 증가하고있었습니다. 그러나, b], 그것의 파생물이 필요하고 충분하다 f"(x)은 음수가 아니 었습니다. [ 그러나, b].
세그먼트에서 기능의 증가 및 감소와 함께 지점에서의 기능의 증가 및 감소가 고려됩니다. 기능 에 = f (x)는 시점에서 증가라고합니다 x 점을 포함하는 간격 (α, β)이있는 경우 0 x 어느 시점이든 0 x (α, β)로부터, x\u003e x 0, 불평등 f (x 0) ≤ f (x) 및 모든 지점 x (α, β)로부터, x 0, 부등식 f (x) ≤f (x 0). 마찬가지로 해당 지점에서 기능이 엄격하게 증가합니다. x 0. 만약에 f"(x 0) > 0, 기능 f(x) 지점에서 엄격히 증가 x 0. 만약에 f (x)는 간격의 각 지점에서 증가합니다 ( a, b)이되면이 간격으로 증가합니다.
S. B. Stechkin.
위대한 소비에트 백과 사전. -M .: 소비에트 백과 사전. 1969-1978 .
다른 사전에서 "기능 증가 및 감소"를 확인하십시오.
수학적 분석의 개념. 함수 f (x)는 AGE POPULATION STRUCTURE 세그먼트에서 증가하는 인구의 다른 연령 그룹 수의 비율이라고합니다. 생식력 및 사망률, 사람들의 평균 수명에 따라 다릅니다 ... 큰 백과 사전
수학적 분석의 개념. 점 x1과 x2의 쌍에 대해 a≤x1 ... 인 경우 함수 f (x)를 세그먼트에서 증가라고합니다. 백과 사전
수학의 개념. 분석. 함수 f (x)가 호출됩니다 점 x1과 x2의 쌍에 대해 세그먼트 [a, b]에서 증가하고,<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)
함수의 미분과 미분을 연구하고 함수 연구에 적용하는 수학의 한 가지. 디자인 D. and. I. Newton과 G. Leibniz (17의 후반)와 관련된 독립적 인 수학적 학문으로. 위대한 소비에트 백과 사전
미분과 미분의 개념을 연구하는 수학 부분과 기능 연구에 적용하는 방법. D.의 개발과. 적분 미적분의 발달과 밀접한 관련이 있습니다. 불가분의 내용과 내용. 함께 그들은 기초를 형성합니다 ... ... 수학 백과 사전
이 용어에는 다른 의미가 있습니다. 기능을 참조하십시오. "디스플레이"요청이 여기로 리디렉션됩니다. 다른 의미도 참조하십시오 ... Wikipedia
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익스트림 기능
정의 2
$ x_0 $ 점은이 점 근처에이 점이있는 경우 $ f (x) $ 함수의 최대 점이라고합니다.이 점에서 모든 $ x $에 대해 불평등 $ f (x) \\ le f (x_0) $가 유지됩니다.
정의 3
$ x_0 $ 포인트는이 포인트 근처에 존재하는 경우 $ f (x) $ 함수의 최대 포인트라고합니다.이 동네의 모든 $ x $에 대해 불평등 $ f (x) \\ ge f (x_0) $가 유지됩니다.
극한 함수의 개념은 함수의 핵심 포인트의 개념과 밀접한 관련이 있습니다. 우리는 그 정의를 소개합니다.
정의 4
$ x_0 $는 다음과 같은 경우 $ f (x) $ 함수의 임계점이라고합니다.
1) $ x_0 $는 정의 도메인의 내부 지점입니다.
2) $ f "\\ left (x_0 \\ right) \u003d 0 $ 또는 존재하지 않습니다.
극단의 개념을 위해, 존재에 대한 충분하고 필요한 조건에 대한 정리를 공식화 할 수 있습니다.
정리 2
극한의 충분한 조건
$ x_0 $ 점은 $ y \u003d f (x) $ 함수에 중요하고 $ (a, b) $ 간격에 있습니다. 각 간격에서 $ \\ left (a, x_0 \\ right) \\ 및 \\ (x_0, b) $ 미분 $ f "(x) $가 존재하고 상수 부호를 유지한다고 가정합니다.
1) $ (a, x_0) $ 구간에서 미분 값이 $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $이고 $ $ x (x_0, b) $ 구간에서 미분 값이 $ f"\\ left (x \\ right)
2) $ (a, x_0) $ 구간에서 미분 값이 $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ 인 경우 $ x_0 $ 포인트는이 함수의 최소 포인트입니다.
3) 구간 $ (a, x_0) $와 구간 $ (x_0, b) $ 미분 $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $ 또는 미분 $ f"\\ left (x \\ right)
이 정리는 그림 1에 설명되어 있습니다.
그림 1. 극한의 존재에 대한 충분한 조건
극단의 예 (그림 2).
그림 2. 극단 점의 예
극한의 기능 연구 규칙
2) 도함수를 구합니다 $ f "(x) $;
7) 정리 2를 사용하여 각 구간에서 최대 값과 최소값의 존재에 대한 결론을 도출합니다.
기능 증가 및 감소
우선, 기능 증가 및 감소의 정의를 소개합니다.
정의 5
$ x_1 간격에 대해 정의 된 $ y \u003d f (x) $ 함수는 $ x_1에 대해 $ x_1, x $의 x $에 대해 $ x_1 인 경우 증가라고합니다.
정의 6
$ x $ 간격에 정의 된 $ y \u003d f (x) $ 함수는 $ x_1f (x_2) $에 대해 $ x_1, x $의 x $가있는 경우 감소라고합니다.
증가 및 감소 기능 조사
미분을 사용하여 증가 및 감소 기능을 탐색 할 수 있습니다.
증가 및 감소 간격에 대한 기능을 조사하려면 다음을 수행해야합니다.
1) 함수의 영역을 구합니다 $ f (x) $;
2) 도함수를 구합니다 $ f "(x) $;
3) 평등 $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $가 유지되는 점을 찾습니다.
4) $ f "(x) $가 존재하지 않는 지점을 찾으십시오.
5) 좌표 선에 발견 된 모든 점과이 기능의 영역을 표시하십시오.
6) 각 결과 간격에서 미분 $ f "(x) $의 부호를 결정합니다.
7) 결론 : $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ 간격마다 함수가 증가합니다.
증가, 감소 및 극한 점의 존재를 연구하는 작업의 예
실시 예 1
증가 및 감소 기능과 최대 및 최소 포인트의 존재를 조사하십시오. $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $
처음 6 점은 같으므로 시작합시다.
1) 범위-모든 실수
2) $ f "\\ 왼쪽 (x \\ 오른쪽) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;
3) $ f "\\ 왼쪽 (x \\ 오른쪽) \u003d 0 $;
\ \ \
4) $ f "(x) $는 정의 영역의 모든 지점에 존재합니다.
5) 좌표 선 :
그림 3
6) 각 구간에서 미분 $ f "(x) $의 부호를 결정합니다.
\ \.
기능 값의 범위는 간격 [1; 3].
1. x \u003d -3, x \u003d-1, x \u003d 1.5, x \u003d 4.5의 경우 함수 값은 0입니다.
함수의 값이 0 인 인수의 값을 함수의 0이라고합니다.
// 즉 이 함수의 경우 숫자 -3; -1; 1.5; 4,5는 0입니다.
2. 간격 [4,5; 3) 및 (1; 1,5) 및 (4,5; 5,5] 함수 f의 그래프는 가로축 위에 위치하고 축 아래에 간격 (-3; -1) 및 (1,5; 4,5)에 있습니다. 가로 좌표는 다음과 같이 설명 할 수 있습니다. 간격 [4,5; 3) 및 (1; 1,5) 및 (4,5; 5,5]에서 함수는 양수 값을 가지며 간격 (-3; -1) 및 ( 1,5; 4,5) 음성.
표시된 각 간격 (함수가 동일한 부호의 값을 가짐)을 함수의 상수 부호 간격이라고합니다. 예를 들어, 구간 (0; 3)을 취하면이 함수의 상수 부호 간격이 아닙니다.
수학에서는 함수의 상수 부호 간격을 검색 할 때 최대 길이의 간격을 나타내는 것이 일반적입니다. // 즉 갭 (2; 3)은 상수 부호 함수 f, 그러나 대답은 구간 [4,5; 3) 간극을 포함 함 (2; 3).
3. 가로 좌표를 4.5에서 2로 이동하면 함수의 그래프가 내려가는 것을 볼 수 있습니다. 즉, 함수 값이 감소합니다. // 수학에서는 구간에서 [4,5; 2] 기능이 감소합니다.
x가 2에서 0으로 증가함에 따라 기능 그래프가 올라갑니다. 기능 값이 증가합니다. // 수학에서는 구간 [2; 0] 기능이 증가합니다.
x2\u003e x1과 같이이 간격에서 인수 x1 및 x2의 두 값에 대해 부등식 f (x2)\u003e f (x1)이 유지되는 경우 함수 f가 호출됩니다. // 또는 함수 호출 일정한 간격으로 증가이 간격의 인수 값에 대해 더 큰 함수 값이 더 큰 인수 값에 해당하는 경우 // 즉 더 많은 x, 더 많은 y.
함수 f는 일정한 간격으로 감소x2\u003e x1과 같이이 간격에서 인수 x1 및 x2의 두 값에 대해 불평등 f (x2)가 일부 간격에서 감소하고,이 간격의 인수 값에 대해 인수의 큰 값이 더 작은 함수 값에 해당합니다. // 즉 더 많은 x, 더 적은 y.
함수가 전체 정의 도메인에서 증가하면 호출됩니다. 증가.
함수가 전체 도메인에서 감소하면 호출됩니다 감소.
실시 예 1 함수 증가 및 감소 그래프.
실시 예 2
정의 선형 함수 f (x) \u003d 3x + 5가 증가 또는 감소합니까?
증거. 우리는 정의를 사용합니다. x1과 x2를 x1과 함께 임의의 인수 값으로 설정하십시오.< x2., например х1=1, х2=7
충분한 부호를 바탕으로 기능이 증가 및 감소하는 간격이 있습니다.
표지판의 문구는 다음과 같습니다.
- 함수의 미분 인 경우 y \u003d f (x) 어떤 긍정적 x 간격에서 X그러면 함수가 X;
- 함수의 미분 인 경우 y \u003d f (x) 어떤 부정적인 x 간격에서 X그런 다음 기능이 감소합니다. X.
따라서 함수의 증가 및 감소 간격을 결정하려면 다음이 필요합니다.
- 기능의 범위를 찾으십시오.
- 함수의 미분을 찾으십시오.
- 획득 된 간격에 함수가 정의되고 연속되는 경계점을 추가합니다.
알고리즘을 설명하는 예제를 고려하십시오.
예입니다.
기능의 증가 및 감소 간격을 찾으십시오.
해결책.
첫 번째 단계는 함수의 성장 정의를 찾는 것입니다. 이 예에서 분모의 표현은 사라지지 않아야합니다. 
.
우리는 미분 함수에 전달합니다 :
충분한 기준으로 함수의 증가 및 감소 간격을 결정하기 위해 불평등을 해결합니다. 
그리고 
정의의 분야에. 구간 방법의 일반화를 사용합니다. 유일하게 유효한 분자 루트는 x \u003d 2에서 분모가 사라집니다. x \u003d 0. 이 점들은 영역을 함수의 미분이 부호를 유지하는 간격으로 나눕니다. 우리는이 점들을 번호 줄에 표시합니다. 플러스와 마이너스는 임의로 도함수가 양 또는 음의 간격을 나타냅니다. 아래의 화살표는 해당 간격에서 기능의 증가 또는 감소를 개략적으로 보여줍니다.
이런 식으로 
그리고 
.
시점에서 x \u003d 2 기능은 정의되고 연속적이므로 증가와 감소 모두에 추가되어야합니다. 시점에서 x \u003d 0 함수가 정의되지 않았으므로이 포인트는 필수 간격에 포함되지 않습니다.
우리는 얻은 결과를 비교하기위한 함수의 그래프를 제공합니다.
대답은 다음과 같습니다. 기능이 증가함에 따라 
간격이 줄어든다 (0; 2]
.
-하나의 변수 함수의 극단 점. 충분한 극한 조건
일정한 간격으로 정의되고 연속적인 함수 f (x)가 단조롭지 않다고 가정합니다. 내부 지점에서 함수가 최대 값과 최소값에 도달하는 간격의 부분 [,]이 있습니다. ~ 사이
이 점이 부등식이 모든 점에 대해 유지되는 함수가 주어진 구간에 포함 된 이웃 (x 0-, x 0 +)으로 둘러싸 일 수있는 경우 함수 f (x)는 점에서 최대 (또는 최소)를 갖는다 고합니다.
에프 (x)< f(x 0)(или f(x)>f (x 0))
다시 말해, 값 f (x 0)가이 점의 일부 (적어도 작은) 이웃에서 함수가 허용하는 값의 가장 큰 (최소) 값으로 판명되면 x0 점은 함수 f (x)에 최대 값 (최소값)을 전달합니다. 최대 값 (최소)의 정의는 함수가 점 x 0의 양쪽에 주어진다고 가정합니다.
(x \u003d x 0의 경우) 엄격한 불평등이있는 이웃이있는 경우
에프 (x)
그들은 x0 지점에서의 함수는 자신의 최대 값 (최소)을 가지지 만 그렇지 않다면 적절하지 않다고 말합니다.
함수가 점 x 0과 x 1에서 최대 값을 갖는 경우, 두 번째 Weierstrass 정리를 구간에 적용하면 함수가이 구간에서 x 0과 x 1 사이의 x 2 지점에서 최소값에 도달하고 최소값을 갖는 것을 볼 수 있습니다. 마찬가지로 두 개의 최소값 사이에는 확실히 최대 값이 있습니다. 가장 간단한 (실제로는 가장 중요한) 경우에, 함수가 일반적으로 유한 한 수의 최대 값과 최소값을 갖는 경우, 단순히 교대합니다.
최대 또는 최소를 나타 내기 위해 극단을 묶는 용어가 있습니다.
최대 (max f (x)) 및 최소 (min f (x))의 개념은 함수의 로컬 속성이며 특정 지점 x 0에서 발생합니다. 최대 값 (up f (x))과 최소값 (inf f (x))의 개념은 유한 구간을 나타내며 구간에서 함수의 전역 속성입니다.
그림 1은 x 1 및 x 3 지점에 극대값이 있고 x 2 및 x 4 지점에 극소값이 있음을 보여줍니다. 그러나 함수는 x \u003d a에서 가장 작은 값에 도달하고 x \u003d b에서 가장 큰 값에 도달합니다.
우리는 극단적 인 기능을 제공하는 인수의 모든 가치를 찾는 문제를 제기합니다. 이를 해결하는 과정에서 파생 상품이 주요 역할을 수행합니다.
구간 (a, b)에서 함수 f (x)에 대해 유한 도함수가 있다고 가정합니다. 점 x 0에서 함수가 극단을 갖는 경우, 위에서 논의 된 간격 (x 0-, x 0 +)에 적용, Fermat 's 정리, 우리는 f (x) \u003d 0이 극단에 필요한 조건이라고 결론 내립니다. 미분 값이 0 인 지점에서만 극한을 찾아야합니다.
그러나 미분 값이 0 인 모든 지점이 극한의 기능을 제공한다고 생각해서는 안됩니다. 방금 표시된 조건이 충분하지 않습니다.
