Der Radius des umschriebenen Kreises nach dem Sinussatz. Umschriebener Kreis

Einstiegsniveau

Der umschriebene Kreis. Visueller Leitfaden (2019)

Die erste Frage, die sich stellen kann: Beschrieben - um was?

Eigentlich passiert es manchmal um irgendetwas, aber wir werden über den Kreis sprechen, der um das Dreieck herum umschrieben ist (manchmal sagen sie auch "über"). Was ist das

Und nun stellen Sie sich eine erstaunliche Tatsache vor:

Warum ist diese Tatsache erstaunlich?

Dreiecke sind aber anders!

Und für alle gibt es einen Kreis, der vorbeizieht durch alle drei Gipfelder umschriebene Kreis.

Sie können den Beweis für diese erstaunliche Tatsache in den folgenden Ebenen der Theorie finden, aber hier stellen wir nur fest, dass, wenn wir zum Beispiel ein Viereck nehmen, es überhaupt keinen Kreis gibt, der durch vier Eckpunkte verläuft. Nehmen wir an, ein Parallelogramm ist ein ausgezeichnetes Viereck, aber es gibt keinen Kreis, der durch alle vier Eckpunkte verläuft!

Und es gibt nur für das Rechteck:

Bitte schön, und jedes dreieck hat immer einen eigenen umschriebenen kreis!   Und es ist immer ganz einfach, den Mittelpunkt dieses Kreises zu finden.

Weißt du was ist? mitte senkrecht?

Nun wollen wir sehen, was passiert, wenn wir uns drei ganze mittlere Senkrechte an den Seiten des Dreiecks ansehen.

Es stellt sich heraus (und dies muss nur bewiesen werden, obwohl wir es nicht wollen), dass   Alle drei Senkrechten schneiden sich an einem Punkt.   Schauen Sie sich die Figur an - alle drei mittleren Lotachsen schneiden sich an einem Punkt.

Denken Sie, dass der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises immer innerhalb des Dreiecks liegt? Stellen Sie sich vor - nicht immer!

Aber wenn   spitzwinklig, dann - innen:

Was tun mit einem rechtwinkligen Dreieck?

Ja, mit einem zusätzlichen Bonus:

Da es sich um den Radius des umschriebenen Kreises handelt: Was bedeutet das für ein beliebiges Dreieck? Und auf diese Frage gibt es eine Antwort: die sogenannte.

Nämlich:

Na und natürlich

1. Die Existenz und der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises

Dann stellt sich die Frage: Gibt es einen solchen Kreis für ein Dreieck? Es stellt sich heraus, dass ja, für alle. Außerdem formulieren wir jetzt einen Satz, der auch die Frage beantwortet, wo sich der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises befindet.

Sieh so aus:

Lassen Sie uns den Mut fassen und diesen Satz beweisen. Wenn Sie das Thema "" bereits gelesen haben und verstanden haben, warum sich drei Winkelhalbierende an einem Punkt schneiden, wird es für Sie einfacher, aber wenn Sie es nicht gelesen haben, machen Sie sich keine Sorgen: Jetzt werden wir es herausfinden.

Der Beweis wird unter Verwendung des Konzepts eines geometrischen Punktorts (ТТТ) durchgeführt.

Sind beispielsweise viele Kugeln ein „geometrischer Ort“ für runde Gegenstände? Nein, natürlich, weil es runde ... Wassermelonen gibt. Gibt es eine Menge Leute, "geometrische Orte", die sprechen können? Nein, weil es Babys gibt, die nicht sprechen können. Im Leben ist es im Allgemeinen schwierig, ein Beispiel für einen echten „geometrischen Punktort“ zu finden. In der Geometrie ist es einfacher. Hier ist zum Beispiel genau das, was wir brauchen:

Hier ist die Menge die mittlere Senkrechte, und die Eigenschaft "" soll "von den Enden des Segments gleich weit entfernt sein (Punkt)."

Probieren Sie es aus? Sie müssen also auf zwei Dinge achten:

1. Jeder Punkt, der von den Enden des Segments gleich weit entfernt ist, befindet sich in der Mitte senkrecht dazu.

Verbinden Sie mit und C. Dann ist die Linie der Median und die Höhe in. So wurde - gleichschenklig - sichergestellt, dass jeder Punkt, der auf der mittleren Senkrechten liegt, gleich weit von den Punkten und entfernt ist.

Nimm die Mitte und verbinde und. Das Ergebnis war ein Median. Aber - je nach Bedingung gleichschenklig, nicht nur der Median, sondern auch die Höhe, das heißt die mittlere Senkrechte. Der Punkt liegt also genau auf der mittleren Senkrechten.

Das ist alles! Vollständig überprüft, dass die Mitte senkrecht zum Segment ist der geometrische Ort der Punkte in gleichem Abstand von den Enden des Segments.

Das ist alles gut, aber haben wir den umschriebenen Kreis vergessen? Überhaupt nicht, wir haben uns nur ein "Sprungbrett für einen Angriff" vorbereitet.

Betrachten Sie das Dreieck. Zeichnen Sie zwei mittlere Senkrechte und sagen wir zu den Segmenten und. Sie kreuzen sich an einem Punkt, den wir anrufen werden.

Und jetzt aufgepasst!

Der Punkt liegt auf der mittleren Senkrechten;
  Der Punkt liegt auf der mittleren Senkrechten.
  Und das heißt, und.

Ab hier folgen gleich mehrere Dinge:

Erstens muss der Punkt in der dritten Mitte senkrecht zum Segment liegen.

Das heißt, die mittlere Senkrechte muss ebenfalls durch den Punkt verlaufen, und alle drei mittleren Senkrechten schneiden sich an einem Punkt.

Zweitens: Wenn wir einen Kreis zeichnen, der auf einem Punkt und einem Radius zentriert ist, geht dieser Kreis auch durch den Punkt und durch den Punkt, das heißt, es ist ein umschriebener Kreis. Es existiert also bereits, dass der Schnittpunkt der drei mittleren Senkrechten der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises für ein beliebiges Dreieck ist.

Und das letzte: über die Einzigartigkeit. Es ist (fast) klar, dass der Punkt auf einzigartige Weise erhalten werden kann, daher ist der Kreis auch einzigartig. Nun, "fast" - überlassen wir es Ihnen zu überlegen. Das hat der Satz bewiesen. Sie können "Hurra!"

Und wenn das Problem darin besteht, den Radius des umschriebenen Kreises zu finden? Oder umgekehrt, der Radius ist vorgegeben, aber muss noch etwas gefunden werden? Gibt es eine Formel, die den Radius des umschriebenen Kreises mit anderen Elementen des Dreiecks verbindet?

Beachten Sie: Der Sinussatz sagt das aus um den Radius des umschriebenen Kreises zu finden, benötigen Sie eine Seite (beliebig!) und den entgegengesetzten Winkel. Und alle!

3. Mittelpunkt des Kreises - innen oder außen

Und jetzt lautet die Frage: Kann der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises außerhalb des Dreiecks liegen?
  Antwort: Selbst wenn Sie können. Darüber hinaus geschieht dies immer in einem stumpfen Dreieck.

Und überhaupt:

BESCHREIBUNG DES KREISES. KURZE ÜBER DAS HAUPTGERÄT

1. Der in der Nähe des Dreiecks beschriebene Kreis

Dies ist der Kreis, der durch alle drei Eckpunkte dieses Dreiecks verläuft.

2. Die Existenz und der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises

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Sehr oft muss man bei der Lösung geometrischer Probleme mit Hilfsfiguren handeln. Finden Sie zum Beispiel den Radius eines beschrifteten oder umschriebenen Kreises usw. In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie den Radius eines Kreises finden, der um ein Dreieck verläuft. Oder mit anderen Worten, der Radius des Kreises, in den das Dreieck eingeschrieben ist.

  Wie man den Radius eines Kreises findet, der um ein Dreieck umschrieben ist - allgemeine Formel

Die allgemeine Formel lautet wie folgt: R \u003d abc / 4 / p (p - a) (p - b) (p - c), wobei R der Radius des umschriebenen Kreises ist, p der Umfang des Dreiecks geteilt durch 2 (halber Umfang) ist. a, b, c sind die Seiten des Dreiecks.

Bestimmen Sie den Radius des umschriebenen Kreises des Dreiecks, wenn a \u003d 3, b \u003d 6, c \u003d 7 ist.

Auf der Grundlage der obigen Formel berechnen wir also den halben Umfang:
  p \u003d (a + b + c) / 2 \u003d 3 + 6 + 7 \u003d 16. \u003d\u003e 16/2 \u003d 8.

Ersetzen Sie die Werte in der Formel und erhalten Sie:
  R \u003d 3 · 6 · 7/4 · 8 (8-3) (8-6) (8-7) \u003d 126/4 · (8 · 5 · 2 · 1) \u003d 126/4 · 80 \u003d 126/16 √5.

Antwort: R \u003d 126/16/5

  So finden Sie den Radius eines Kreises, der in der Nähe eines gleichseitigen Dreiecks beschrieben wird

Um den Radius eines Kreises zu finden, der in der Nähe eines gleichseitigen Dreiecks beschrieben wird, gibt es eine ziemlich einfache Formel: R \u003d a / √3, wobei a die Größe seiner Seite ist.

Beispiel: Die Seite eines gleichseitigen Dreiecks ist 5. Ermitteln Sie den Radius des umschriebenen Kreises.

Da ein gleichseitiges Dreieck alle Seiten gleich hat, müssen Sie zur Lösung des Problems nur seinen Wert in die Formel eingeben. Wir erhalten: R \u003d 5 / √3.

Antwort: R \u003d 5 / √3.

  So finden Sie den Radius eines Kreises, der in der Nähe eines rechtwinkligen Dreiecks umschrieben ist

Die Formel lautet wie folgt: R \u003d 1/2 × √ (a² + b²) \u003d c / 2, wobei a und b die Beine und c die Hypotenuse sind. Wenn wir die Quadrate der Beine zu einem rechtwinkligen Dreieck addieren, erhalten wir das Quadrat der Hypotenuse. Wie aus der Formel hervorgeht, befindet sich dieser Ausdruck unter der Wurzel. Durch Berechnung der Quadratwurzel der Hypotenuse erhalten wir die Länge selbst. Das Multiplizieren des resultierenden Ausdrucks mit 1/2 führt uns schließlich zu dem Ausdruck 1/2 × c \u003d c / 2.

Beispiel: Berechnen Sie den Radius des umschriebenen Kreises, wenn die Schenkel des Dreiecks 3 und 4 sind. Ersetzen Sie die Werte in der Formel. Wir erhalten: R \u003d 1/2 × √ (3² + 4²) \u003d 1/2 × √ 25 \u003d 1/2 × 5 \u003d 2,5.

In diesem Ausdruck ist 5 die Länge der Hypotenuse.

Antwort: R \u003d 2,5.

  So finden Sie den Radius eines Kreises, der um ein gleichschenkliges Dreieck verläuft

Die Formel lautet wie folgt: R \u003d a² / √ (4a² - b²), wobei a die Länge der Hüfte des Dreiecks und b die Länge der Basis ist.

Beispiel: Berechnen Sie den Radius eines Kreises, wenn dessen Hüfte \u003d 7 und Basis \u003d 8 ist.

Lösung: Wir setzen diese Werte in die Formel ein und erhalten: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R \u003d 49 / √ (196 - 64) \u003d 49 / √132. Die Antwort kann direkt so geschrieben werden.

Antwort: R \u003d 49 / √132

  Online-Ressourcen zur Berechnung des Radius eines Kreises

Sie können in all diesen Formeln sehr leicht verwirrt werden. Daher können Sie bei Bedarf Online-Taschenrechner verwenden, die Ihnen bei der Lösung von Problemen beim Auffinden des Radius helfen. Das Funktionsprinzip solcher Mini-Programme ist sehr einfach. Ersetzen Sie den Wert der Seite durch das entsprechende Feld und erhalten Sie eine fertige Antwort. Sie können verschiedene Optionen zum Runden der Antwort auswählen: Dezimal, Hundertstel, Tausendstel usw.

Es ist zu sehen, dass jede Seite das DreieckDie von ihrer Mitte her gezogene Senkrechte und die Segmente, die den Schnittpunkt der Senkrechten mit den Scheitelpunkten verbinden, bilden zwei gleiche Rechtecke das Dreieck. Die Segmente MA, MB, MC sind gleich.

Ihnen wurde ein Dreieck gegeben. Finden Sie die Mitte jeder Seite - nehmen Sie ein Lineal und messen Sie die Seiten. Teilen Sie die resultierenden Größen in zwei Hälften. Stellen Sie jede Hälfte ihrer Größe von den Spitzen ab. Markieren Sie die Ergebnisse mit Punkten.

Legen Sie von jedem Punkt das Lot zur Seite. Der Schnittpunkt dieser Senkrechten ist der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. Zwei Senkrechte genügen, um den Mittelpunkt des Kreises zu finden. Der dritte ist für Selbsttests gedacht.

Beachten Sie, dass sich im Dreieck, in dem alle Winkel scharf sind, die Schnittpunkte befinden das Dreieck. In einem rechten Dreieck - liegt auf der Hypotenuse. In - befindet sich außerhalb. Außerdem ist die Senkrechte zu der dem stumpfen Winkel gegenüberliegenden Seite nicht zur Mitte gerichtet das Dreieckaber raus.

beachten Sie

Es gibt einen Sinussatz, der eine Beziehung zwischen den Seiten eines Dreiecks, seinen Winkeln und den Radien eines umschriebenen Kreises herstellt. Diese Abhängigkeit wird durch die Formel ausgedrückt: a / sina \u003d b / sinb \u003d c / sinc \u003d 2R, wobei a, b, c die Seiten des Dreiecks sind; Sinus, Sinus, Sinus von Winkeln gegenüber diesen Seiten; R ist der Radius des Kreises, der um das Dreieck herum beschrieben werden kann.

Quellen:

• wie man den Umfang eines Vierecks beschreibt

Nach der beschriebenen Definition umfang   muss durch alle Ecken eines Polygons gehen. Außerdem spielt es keine Rolle, um welche Art von Polygon es sich handelt - um ein Dreieck, ein Quadrat, ein Rechteck, ein Trapez oder etwas anderes. Es ist auch egal, ob es sich um ein Polygon handelt, richtig oder falsch. Es muss nur berücksichtigt werden, dass es Polygone gibt, um die herum umfang   kann nicht beschrieben werden. Sie können immer beschreiben umfang   um das Dreieck. Was die Vierecke betrifft, dann umfang   kann um ein Quadrat oder Rechteck oder ein gleichschenkliges Trapez beschrieben werden.

Du wirst brauchen

• Polygon-Voreinstellung
• Lineal
• Platz
• Bleistift
• Kompass
• Winkelmesser
• Tabellen von Sinus und Cosinus
• Mathematische Konzepte und Formeln
• Satz des Pythagoras
• Sinussatz
• Kosinussatz
• Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken

Bedienungsanleitung

Erstellen Sie ein Polygon mit den angegebenen Parametern und ob es möglich ist, es zu beschreiben umfang. Wenn Sie ein Viereck erhalten, zählen Sie die Summen der entgegengesetzten Winkel. Jeder von ihnen sollte gleich 180 ° sein.

Um zu beschreiben umfangmüssen Sie seinen Radius berechnen. Denken Sie daran, wo der Mittelpunkt des Kreises in verschiedenen Polygonen liegt. In einem Dreieck befindet es sich am Schnittpunkt aller Höhen des gegebenen Dreiecks. In den Quadraten und Rechtecken - am Schnittpunkt der Diagonalen, für das Trapez - am Schnittpunkt der Symmetrieachse mit der Verbindungslinie zwischen den Mittelpunkten der Seiten und für jedes andere konvexe Polygon - am Schnittpunkt der Mittelsenken zu den Seiten.

Der Durchmesser des Kreises um ein Quadrat und ein Rechteck, berechnet nach dem Satz von Pythagoras. Es entspricht der Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Seiten des Rechtecks. Bei einem Quadrat, bei dem alle Seiten gleich sind, entspricht die Diagonale der Quadratwurzel des doppelten Quadrats der Seite. Teilen Sie den Durchmesser durch 2, erhalten Sie den Radius.

Berechnen Sie den Radius des umschriebenen Kreises für das Dreieck. Da die Parameter des Dreiecks in den Bedingungen angegeben sind, berechnen Sie den Radius mit der Formel R \u003d a / (2 · sinA), wobei a eine der Seiten des Dreiecks ist. - Der entgegengesetzte Winkel zu ihr. Anstelle dieser Seite können Sie die Seite und den entgegengesetzten Winkel dazu nehmen.

Berechnen Sie den Radius des Kreises um das Trapez. R \u003d a * d * c / 4 v (p * (pa) * (pd) * (pc)) In dieser Formel sind a und b die durch die Bedingungen der Basis bekannten Trapezien, h ist die Höhe, d ist die Diagonale, p \u003d 1 / 2 * (a + d + c). Berechnen Sie die fehlenden Werte. Die Höhe kann durch den Satz von Sinus oder Cosinus berechnet werden, die Längen der Seiten des Trapezes und die Winkel sind in den Bedingungen angegeben. Berechnen Sie die Diagonale, indem Sie die Höhe kennen und die Ähnlichkeiten der Dreiecke berücksichtigen. Danach muss der Radius nach der obigen Formel berechnet werden.

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Nützliche Ratschläge

Führen Sie eine Reihe zusätzlicher Konstruktionen aus, um den Radius eines Kreises zu berechnen, der um ein anderes Polygon umschrieben wird. Erhalten Sie einfachere Formen, deren Parameter Sie kennen.

Tipp 3: Wie zeichnet man ein rechtwinkliges Dreieck entlang eines spitzen Winkels und einer Hypotenuse

Ein Rechteck wird als Dreieck bezeichnet, dessen Winkel an einem der Eckpunkte 90 ° beträgt. Die Seite, die diesem Winkel gegenüberliegt, wird Hypotenuse genannt, und die Seiten, die den beiden spitzen Winkeln des Dreiecks gegenüberliegen, werden Beine genannt. Wenn die Länge der Hypotenuse und die Größe eines der spitzen Winkel bekannt sind, reichen diese Daten aus, um ein Dreieck auf mindestens zwei Arten zu konstruieren.

Ein Dreieck heißt beschriftet, wenn alle seine Eckpunkte auf einem Kreis liegen. In diesem Fall heißt der Kreis beschrieben   um das Dreieck. Der Abstand von seinem Mittelpunkt zu jedem Scheitelpunkt des Dreiecks ist derselbe und entspricht dem Radius dieses Kreises. Um jedes Dreieck können Sie einen Kreis beschreiben, aber nur einen.

Der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises liegt am Schnittpunkt der Mittelsenken, die auf jeder Seite des Dreiecks gezeichnet sind. Wenn der Kreis um ein rechtwinkliges Dreieck umschrieben ist, liegt sein Mittelpunkt in der Mitte der Hypotenuse. Für jedes Dreieck, um das der Kreis beschrieben ist, gilt die Formel für die Fläche des Dreiecks durch den Radius des umschriebenen Kreises:

worin a, b, c die Seiten des Dreiecks sind und R der Radius des umschriebenen Kreises ist.

Ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Dreiecks durch den Radius des umschriebenen Kreises:
  Es sei ein Dreieck mit den Seiten a \u003d 5 cm, b \u003d 6 cm, c \u003d 4 cm und ein Kreis mit R \u003d 3 cm umschrieben.
  Wenn wir alle erforderlichen Daten haben, ersetzen wir einfach die Werte in der Formel:

  Die Fläche des Dreiecks beträgt 10 Quadratmeter. sehen

Sehr oft findet man unter den gegebenen Bedingungen einen bestimmten Bereich des umschriebenen Kreises, der verwendet werden muss, um den Bereich des beschriebenen Dreiecks zu finden. Die Formel für die Fläche eines Dreiecks durch die Fläche des umschriebenen Kreises ergibt sich nach Berechnung des Radius. Es kann auf verschiedene Arten berechnet werden. Betrachten Sie zunächst die Formel für die Fläche eines Kreises:
  Wenn wir diese Formel transformieren, erhalten wir den Radius:
  Mit dieser Formel erhalten wir, dass wir die Fläche des umschriebenen Kreises kennen und die Fläche des Dreiecks auf folgende Weise finden können:

Wenn Sie alle drei Seiten eines Dreiecks kennen, können Sie den Bereich bestimmen. Daraus kann man auch den Radius des umschriebenen Kreises ablesen. Das heißt, wenn unter den Bedingungen alle Seiten des Dreiecks angegeben sind und die Suche nach der Fläche durch den Radius des umschriebenen Kreises erforderlich ist, müssen wir sie zuerst mit der Formel berechnen:

  Das heißt, wenn wir die Längen aller Seiten des Dreiecks kennen, können wir die Fläche des Dreiecks durch den Radius des umschriebenen Kreises finden.

Ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Dreiecks durch die Fläche des umschriebenen Kreises:
  Es wird ein Dreieck angegeben, um das ein Kreis mit einer Fläche von 8 Quadratmetern beschrieben wird. Die Seiten des Dreiecks a \u003d 4 cm, b \u003d 3 cm, c \u003d 5 cm. Bestimmen Sie zuerst den Radius des Kreises durch seine Fläche:

  Versuchen wir, den Radius mit einer anderen Formel zu ermitteln, die wir aus der Suchmethode abgeleitet haben

Du wirst brauchen

• Dreieck mit voreingestellten Parametern
• Kompass
• Lineal
• Platz
• Tabelle von Sinus und Cosinus
• Mathematische Konzepte
• Ermitteln der Höhe eines Dreiecks
• Formeln von Sinus und Cosinus
• Dreieck-Quadrat-Formel

Bedienungsanleitung

Zeichnen Sie ein Dreieck mit den gewünschten Parametern. Ein Dreieck ist entweder auf drei Seiten oder auf zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen oder auf der Seite und zwei angrenzenden Ecken. Bestimmen Sie die Eckpunkte des Dreiecks als A, B und C, die Winkel als α, β und γ und die gegenüberliegenden Seiten der Eckpunkte mit dem Winkel der Seite als a, b und c.

Streichen Sie zu allen Seiten des Dreiecks und suchen Sie den Schnittpunkt. Markieren Sie die Höhen als h mit den entsprechenden Seitenindizes. Finden Sie den Schnittpunkt und bezeichnen Sie ihn mit O. Es wird der Mittelpunkt des Kreises sein. Die Radien dieses Kreises sind also die Segmente OA, OB und OS.

Der Radius ergibt sich aus zwei Formeln. Zum einen müssen Sie zuerst rechnen. Es ist gleich allen Seiten des Dreiecks durch den Sinus eines der Winkel geteilt durch 2.

In diesem Fall wird der Radius des umschriebenen Kreises nach der Formel berechnet

Zum anderen sind die Länge einer der Seiten und der Sinus des entgegengesetzten Winkels ausreichend.

Berechnen Sie den Radius und beschreiben Sie den Dreieckskreis.

Nützliche Ratschläge

Denken Sie daran, wie hoch das Dreieck ist. Dies ist eine Senkrechte, die von der Ecke zur gegenüberliegenden Seite gezogen wird.

Die Fläche des Dreiecks kann auch als Produkt des Quadrats einer der Seiten und der Sinuskurven zweier benachbarter Ecken dargestellt werden, dividiert durch den doppelten Sinus der Summe dieser Winkel.
S \u003d a2 * sinβ * sinγ / 2sinγ

Quellen:

• tabelle mit den Radien des umschriebenen Kreises
• Der Radius des beschriebenen Kreises ist nahezu gleichseitig

Es wird als um ein Polygon umschrieben betrachtet, wenn es alle seine Eckpunkte berührt. Bemerkenswert ist das Zentrum eines ähnlichen kreise   fällt mit dem Schnittpunkt der Loten zusammen, die von den Mittelpunkten der Seiten des Polygons gezogen werden. Radius   beschrieben kreise   hängt völlig von dem Polygon ab, um das es beschrieben wird.

Du wirst brauchen

• Kennen Sie die Seiten des Polygons, seine Fläche / Umfang.

Bedienungsanleitung

beachten Sie

Ein Kreis um ein Polygon kann nur beschrieben werden, wenn er regelmäßig ist, d.h. Alle Seiten sind gleich und alle Winkel sind gleich.
Die These, dass das um das Polygon umschriebene Zentrum des Kreises der Schnittpunkt seiner mittleren Senkrechten ist, gilt für alle regulären Polygone.

Quellen:

• wie man den Radius eines Polygons findet

Wenn es möglich ist, den umschriebenen Kreis für das Polygon zu konstruieren, ist die Fläche dieses Polygons kleiner als die Fläche des umschriebenen Kreises, aber größer als die Fläche des beschriebenen Kreises. Für einige Polygone Formeln zum Finden radius   beschriftete und eingekreiste Kreise.

Bedienungsanleitung

Ein Kreis, der in ein Polygon eingeschrieben ist und alle Seiten des Polygons berührt. Für Dreieck radius   Kreise: r \u003d ((p-a) (p-b) (p-c) / p) 1/2, wobei p der halbe Umfang ist; a, b, c sind die Seiten des Dreiecks. Für die Formel ist vereinfacht: r \u003d a / (2 * 3 ^ 1/2) und - die Seite des Dreiecks.

Ein Kreis, der um ein Polygon umschrieben ist, wird als Kreis bezeichnet, auf dem alle Eckpunkte des Polygons liegen. Für ein Dreieck ergibt sich der Radius aus der Formel: wobei p der halbe Umfang ist; a, b, c sind die Seiten des Dreiecks. Für das richtige ist es einfacher: R \u003d a / 3 ^ 1/2.

Für Polygone ist es nicht immer möglich, das Verhältnis der Radien des Beschrifteten und der Länge seiner Seiten zu bestimmen. Meist beschränkt sich die Konstruktion auf solche Kreise um das Polygon und dann auf physikalische radius   Kreise mit Messgeräten oder Vektorraum.
Um den umschriebenen Kreis eines konvexen Polygons zu konstruieren, werden die Winkelhalbierenden der beiden Winkel gebildet, wobei der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises an ihrem Schnittpunkt liegt. Der Radius ist der Abstand vom Schnittpunkt der Winkelhalbierenden zum Scheitelpunkt einer beliebigen Ecke des Polygons. Das Zentrum der Inschrift am Schnittpunkt der in das Polygon eingebauten Loten von den Seitenmitten aus (diese Loten sind die Mittleren). Es reicht aus, zwei solche Lotsen zu bauen. Der Radius des Beschriftungskreises ist der Abstand vom Schnittpunkt der mittleren Senkrechten zur Seite des Polygons.

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beachten Sie

Ein Kreis kann nicht in ein beliebig gegebenes Polygon eingeschrieben werden, und ein Kreis um dieses kann beschrieben werden.

Nützliche Ratschläge

Ein Kreis kann in ein Viereck eingeschrieben werden, wenn a + c \u003d b + d, wobei a, b, c, d der Reihe nach die Seiten des Vierecks sind. Ein Kreis kann um ein Viereck beschrieben werden, wenn sich seine entgegengesetzten Winkel zu 180 Grad addieren.

Für ein Dreieck existieren solche Kreise immer.

Tipp 4: Finden Sie den dreieckigen Bereich auf drei Seiten

Das Finden der Fläche eines Dreiecks ist eine der häufigsten Aufgaben der Schulplanimetrie. Die Kenntnis der drei Seiten eines Dreiecks reicht aus, um die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen. In besonderen Fällen und bei gleichseitigen Dreiecken ist es ausreichend, die Länge von zwei bzw. einer Seite zu kennen.

Du wirst brauchen

• seitenlängen von Dreiecken, Herons Formel, Cosinussatz

Bedienungsanleitung

Die Heron-Formel für die Fläche eines Dreiecks lautet wie folgt: S \u003d sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Wenn wir den Halbumfang p zeichnen, erhalten wir: S \u003d sqrt ((a + b + c) / 2) ((b + ca) / 2) ((a + cb) / 2) ((a + bc) / 2) ) \u003d (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca))) / 4.

Wir können eine Formel für die Fläche eines Dreiecks ableiten und aus Überlegungen, beispielsweise unter Anwendung des Cosinussatzes.

Nach dem Cosinussatz ist AC ^ 2 \u003d (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). Unter Verwendung der eingeführten Notation können diese auch in der Form vorliegen: b ^ 2 \u003d (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Daher ist cos (ABC) \u003d ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c)

Die Fläche des Dreiecks ergibt sich auch durch die Formel S \u003d a * c * sin (ABC) / 2 durch zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen. Der Sinus des Winkels ABC kann durch die grundlegende trigonometrische Identität ausgedrückt werden: sin (ABC) \u003d sqrt (1 - ((cos (ABC)) ^ 2). Wenn wir den Sinus in der Formel für die Fläche einsetzen und zeichnen, können wir die Formel für die Fläche des Dreiecks erhalten ABC.

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Die drei Punkte, die ein Dreieck im kartesischen Koordinatensystem eindeutig definieren, sind seine Eckpunkte. Wenn Sie ihre Position in Bezug auf jede der Koordinatenachsen kennen, können Sie alle Parameter dieser flachen Figur berechnen, auch begrenzt durch ihren Umfang die Gegend. Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten.

Bedienungsanleitung

Verwenden Sie die Reiherformel, um die Fläche zu berechnen das Dreieck. Die Maße der drei Seiten der Figur sind daran beteiligt, also starten Sie die Berechnung mit. Die Länge jeder Seite sollte gleich der Wurzel der Summe der Quadrate der Länge ihrer Projektionen auf den Koordinatenachsen sein. Wenn wir die Koordinaten A (X & sub1 ;, Y & sub1 ;, Z & sub1;), B (X & sub2 ;, Y & sub2 ;, Z & sub2;) und C (X & sub3 ;, Y & sub3 ;, Z & sub3;) bezeichnen, können die Längen ihrer Seiten wie folgt ausgedrückt werden: AB \u003d √ ((X & sub1; -X & sub2;) ² + (Y & sub1; -Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²), BC \u003d √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²), AC \u003d √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Um die Berechnungen zu vereinfachen, geben Sie die Hilfsvariable - halber Umfang (P) ein. Daraus ergibt sich die halbe Summe der Längen aller Seiten: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²) + √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) + ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Berechnen die Gegend   (S) nach der Formel von Heron - nimm die Wurzel aus dem Produkt des halben Umfangs um die Differenz zwischen ihm und der Länge jeder Seite. Allgemein kann es wie folgt geschrieben werden: S \u003d √ (P * (P-AB) * (P-BC) * (P-AC)) \u003d √ (P * (P-√ ((X & sub1; -X & sub2;) ² + ( Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²) * (P-√ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) * (P-√ ((X₁ -X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²)).

Für praktische Berechnungen ist es zweckmäßig, spezielle Taschenrechner zu verwenden. Hierbei handelt es sich um Skripte auf den Servern einiger Sites, die alle erforderlichen Berechnungen auf der Grundlage der von Ihnen in das entsprechende Formular eingegebenen Koordinaten durchführen. Der einzige solche Service ist, dass er keine Erklärungen und Begründungen für jeden Schritt der Berechnung liefert. Wenn Sie sich nur für das Endergebnis und nicht für allgemeine Berechnungen interessieren, gehen Sie beispielsweise zur Seite http://planetcalc.ru/218/.

Geben Sie in die Formularfelder jede Koordinate jedes Scheitelpunkts ein das Dreieck   - Sie sind hier wie Axe, Ay, Az usw. Wenn das Dreieck durch zweidimensionale Koordinaten angegeben wird, geben Sie in die Felder - Az, Bz und Cz - Null ein. Stellen Sie im Feld "Berechnungsgenauigkeit" die gewünschte Anzahl von Dezimalstellen ein, indem Sie mit der Plus- oder Minus-Maus klicken. Es ist nicht erforderlich, auf die orangefarbene Schaltfläche „Berechnen“ zu klicken, die Berechnungen werden ohne diese ausgeführt. Sie finden die Antwort neben „Platz das Dreieck"- Es befindet sich direkt unter dem orangen Knopf.

Quellen:

• finden Sie die Fläche eines Dreiecks mit Eckpunkten an Punkten

Manchmal können Sie um ein konvexes Polygon so zeichnen, dass die Scheitelpunkte aller Winkel darauf liegen. Ein solcher Kreis in Bezug auf das Polygon muss als beschrieben bezeichnet werden. Sie zentrieren   muss sich nicht innerhalb des Umfangs der beschrifteten Figur befinden, sondern verwendet die beschriebenen Eigenschaften kreiseEs ist normalerweise nicht sehr schwierig, diesen Punkt zu finden.

Du wirst brauchen

• Lineal, Bleistift, Winkelmesser oder Quadrat, Kompass.

Bedienungsanleitung

Wenn das Polygon, um das Sie den Kreis beschreiben möchten, auf Papier gezeichnet ist, finden Sie zentrierenund ein Kreis mit einem Lineal, einem Bleistift und einem Winkelmesser oder einem Quadrat ist genug. Messen Sie die Länge einer beliebigen Seite der Figur, bestimmen Sie deren Mitte und setzen Sie einen Hilfspunkt an diese Stelle der Zeichnung. Zeichnen Sie mit einem Quadrat oder Winkelmesser eine Linie senkrecht zu dieser Seite innerhalb des Polygons, bis sie die gegenüberliegende Seite schneidet.

Führen Sie den gleichen Vorgang mit jeder anderen Seite des Polygons durch. Der Schnittpunkt der beiden konstruierten Segmente ist der gewünschte Punkt. Dies ergibt sich aus der beschriebenen Haupteigenschaft kreise   - sie zentrieren   in einem konvexen Polygon von jeder Seite liegt immer der Schnittpunkt der zu diesen gezogenen Mittelsenken