Der Radius des Kreises, der um ihn herum beschrieben wird. So finden Sie den Radius eines Kreises

  Unterrichtsziele:

• Vertiefung des Wissens zum Thema „Umfang in Dreiecken“

Unterrichtsziele:

• Kenntnisse zu diesem Thema systematisieren
• Bereiten Sie sich auf die Lösung komplexer Probleme vor.

  Stundenplan:

1. Einleitung
2. Der theoretische Teil.
3. Für das Dreieck.
4. Der praktische Teil.

Einleitung

Das Thema „Beschriebene und umschriebene Kreise in Dreiecken“ ist eines der schwierigsten im Verlauf der Geometrie. Im Unterricht nimmt sie sich sehr wenig Zeit.

Die geometrischen Aufgaben zu diesem Thema sind im zweiten Teil der Prüfungsarbeit für den Gymnasialkurs enthalten.
Der erfolgreiche Abschluss dieser Aufgaben setzt solide Kenntnisse der geometrischen Grundlagen und Erfahrung in der Lösung geometrischer Probleme voraus.

Der theoretische Teil.

Der umschriebene Kreis des Polygons  - Ein Kreis, der alle Eckpunkte des Polygons enthält. Das Zentrum ist der Punkt (üblicherweise mit O bezeichnet) des Schnittpunkts der mittleren Senkrechten mit den Seiten des Polygons.

Eigenschaften

Der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises eines konvexen n-Gons liegt am Schnittpunkt der mittleren Senkrechten zu seinen Seiten. Als Ergebnis: Wenn ein Kreis in der Nähe des n-Gons beschrieben wird, schneiden sich alle Mittelsenken zu seinen Seiten an einem Punkt (dem Mittelpunkt des Kreises).
Um jedes reguläre Polygon kann ein Kreis beschrieben werden.

Für das Dreieck.

Ein Kreis wird als um ein Dreieck umschrieben bezeichnet, wenn er alle seine Scheitelpunkte durchläuft.

Außerdem kann man um jedes Dreieck einen Kreis beschreiben nur einer. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der mittleren Senkrechten.

In einem spitzwinkligen Dreieck liegt der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises drinnenin stumpfen - außerhalb des Dreiecks, für ein rechteckiges - in der Mitte der Hypotenuse.

Der Radius des umschriebenen Kreises ergibt sich aus den Formeln:

Wo:
a, b, c  - Seiten des Dreiecks,
α   - Winkel an Seite a,
S  ist die Fläche des Dreiecks.

Beweisen:

t.O - der Schnittpunkt der mittleren Senkrechten zu den Seiten ΔABC

Beweis:

1. ΔAОC - gleichschenklig, weil OA \u003d OS (als Radien)
2. ΔAОC - Isosceles, senkrechter OD - Median und Höhe, d.h. T.O liegt in der Mitte senkrecht zur Seite des Lautsprechers
3. In ähnlicher Weise wird bewiesen, dass T.O in der Mitte senkrecht zu den Seiten von AB und BC liegt

Welches war erforderlich, um zu beweisen.

Bemerkung.

Eine gerade Linie, die durch die Mitte eines senkrecht dazu stehenden Segments verläuft, wird häufig als mittlere Senkrechte bezeichnet. In diesem Zusammenhang wird manchmal gesagt, dass der Mittelpunkt des Kreises, der um das Dreieck herum umschrieben ist, am Schnittpunkt der mittleren Senkrechten mit den Seiten des Dreiecks liegt.

  Fächer\u003e Mathematik\u003e Mathematik Klasse 7

Einstiegsniveau

Der umschriebene Kreis. Visueller Leitfaden (2019)

Die erste Frage, die sich stellen kann: Beschrieben - um was?

Eigentlich passiert es manchmal um irgendetwas, aber wir werden über den Kreis sprechen, der um das Dreieck umschrieben ist (manchmal sagen sie "über"). Was ist das

Und nun stellen Sie sich eine erstaunliche Tatsache vor:

Warum ist diese Tatsache erstaunlich?

Dreiecke sind aber anders!

Und für alle gibt es einen Kreis, der vorbeizieht durch alle drei Gipfelder umschriebene Kreis.

Sie können den Beweis für diese erstaunliche Tatsache in den folgenden Ebenen der Theorie finden, aber hier stellen wir nur fest, dass es für niemanden einen Kreis gibt, der durch vier Eckpunkte verläuft, wenn wir zum Beispiel ein Viereck nehmen. Angenommen, ein Parallelogramm ist ein ausgezeichnetes Viereck, aber es gibt keinen Kreis, der durch alle vier Eckpunkte verläuft!

Und es gibt nur für das Rechteck:

Bitte schön, und jedes dreieck hat immer einen eigenen umschriebenen kreis!  Und es ist immer ganz einfach, den Mittelpunkt dieses Kreises zu finden.

Weißt du was ist? mitte senkrecht?

Nun wollen wir sehen, was passiert, wenn wir uns drei ganze mittlere Senkrechte an den Seiten des Dreiecks ansehen.

Es stellt sich heraus (und dies muss nur bewiesen werden, obwohl wir es nicht wollen), dass   alle drei senkrechten schneiden sich an einem punkt.  Schauen Sie sich die Figur an - alle drei mittleren Senkrechten schneiden sich an einem Punkt.

Denken Sie, dass der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises immer innerhalb des Dreiecks liegt? Stellen Sie sich vor - nicht immer!

Aber wenn   spitzwinklig, dann - innen:

Was tun mit einem rechtwinkligen Dreieck?

Ja, mit einem zusätzlichen Bonus:

Da wir über den Radius des umschriebenen Kreises sprechen: Was bedeutet das für ein beliebiges Dreieck? Und auf diese Frage gibt es eine Antwort: die sogenannte.

Nämlich:

Na und natürlich

1. Die Existenz und der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises

Dann stellt sich die Frage: Gibt es einen solchen Kreis für ein Dreieck? Es stellt sich heraus, dass ja, für alle. Außerdem formulieren wir jetzt einen Satz, der auch die Frage beantwortet, wo sich der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises befindet.

Sieh so aus:

Lassen Sie uns den Mut fassen und diesen Satz beweisen. Wenn Sie das Thema "" bereits gelesen haben und verstanden haben, warum sich drei Winkelhalbierende an einem Punkt schneiden, wird es für Sie einfacher, aber wenn Sie es nicht gelesen haben, machen Sie sich keine Sorgen: Jetzt werden wir es herausfinden.

Der Beweis wird unter Verwendung des Konzepts eines geometrischen Punktorts (ТТТ) durchgeführt.

Sind zum Beispiel viele Kugeln ein „geometrischer Ort“ für runde Gegenstände? Nein, natürlich, weil es runde ... Wassermelonen gibt. Gibt es eine Menge Leute, "geometrische Orte", die sprechen können? Nicht auch, weil es Babys gibt, die nicht sprechen können. Im Leben ist es im Allgemeinen schwierig, ein Beispiel für einen echten „geometrischen Punktort“ zu finden. In der Geometrie ist es einfacher. Hier ist zum Beispiel genau das, was wir brauchen:

Hier ist die Menge die mittlere Senkrechte, und die Eigenschaft "" soll "von den Enden des Segments gleich weit entfernt sein (Punkt)."

Probieren Sie es aus? Sie müssen also auf zwei Dinge achten:

1. Jeder Punkt, der von den Enden eines Segments gleich weit entfernt ist, befindet sich in der Mitte senkrecht dazu.

Verbinden Sie mit und C. Dann ist die Linie der Median und die Höhe in. Also - gleichschenklig - stellen Sie sicher, dass jeder Punkt, der auf der mittleren Senkrechten liegt, gleich weit von den Punkten und entfernt ist.

Nimm die Mitte und verbinde und. Das Ergebnis war ein Median. Aber - je nach Bedingung gleichschenklig, nicht nur der Median, sondern auch die Höhe, das heißt die mittlere Senkrechte. Der Punkt liegt also nur auf der mittleren Senkrechten.

Das ist alles! Vollständig überprüft die Tatsache, dass die mittlere Senkrechte zum Segment ist die geometrische Stelle der Punkte in gleichem Abstand von den Enden des Segments.

Das ist alles gut, aber haben wir den umschriebenen Kreis vergessen? Überhaupt nicht, wir haben uns nur ein "Sprungbrett für einen Angriff" vorbereitet.

Betrachten Sie das Dreieck. Zeichnen Sie zwei mittlere Senkrechte und sagen wir zu den Segmenten und. Sie kreuzen sich an einem Punkt, den wir anrufen werden.

Und jetzt aufgepasst!

Der Punkt liegt auf der mittleren Senkrechten;
  Der Punkt liegt auf der mittleren Senkrechten.
  Und das heißt, und.

Ab hier folgen gleich mehrere Dinge:

Erstens muss der Punkt in der dritten Mitte senkrecht zum Segment liegen.

Das heißt, die mittlere Senkrechte muss ebenfalls durch den Punkt gehen, und alle drei mittleren Senkrechten schneiden sich an einem Punkt.

Zweitens: Wenn wir einen Kreis zeichnen, der auf einem Punkt und einem Radius zentriert ist, wird dieser Kreis auch durch den Punkt und durch den Punkt verlaufen, dh es wird ein umschriebener Kreis sein. Es existiert also bereits, dass der Schnittpunkt der drei mittleren Senkrechten der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises für ein beliebiges Dreieck ist.

Und das letzte: über die Einzigartigkeit. Es ist (fast) klar, dass der Punkt auf einzigartige Weise erhalten werden kann, daher ist der Kreis auch einzigartig. Nun, aber "fast" - überlassen wir es Ihnen zu überlegen. Das hat der Satz bewiesen. Sie können "Hurra!"

Und wenn das Problem darin besteht, den Radius des umschriebenen Kreises zu finden? Oder umgekehrt, der Radius ist vorgegeben, aber muss noch etwas gefunden werden? Gibt es eine Formel, die den Radius des umschriebenen Kreises mit anderen Elementen des Dreiecks verbindet?

Beachten Sie: Der Sinussatz sagt das aus um den Radius des umschriebenen Kreises zu finden, benötigen Sie eine Seite (beliebig!) und den entgegengesetzten Winkel. Und alle!

3. Mittelpunkt des Kreises - innen oder außen

Und jetzt lautet die Frage: Kann der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises außerhalb des Dreiecks liegen?
  Antwort: Selbst wenn Sie können. Darüber hinaus geschieht dies immer in einem stumpfen Dreieck.

Und überhaupt:

BESCHREIBUNG DES KREISES. KURZE ÜBER DAS HAUPTGERÄT

1. Der in der Nähe des Dreiecks beschriebene Kreis

Dies ist der Kreis, der durch alle drei Eckpunkte dieses Dreiecks verläuft.

2. Die Existenz und der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, dann sind Sie sehr cool.

Denn nur 5% der Menschen können etwas alleine meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann haben Sie diese 5% erreicht!

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Aufgaben finden und lösen!

Ein Radius ist eine Linie, die einen beliebigen Punkt eines Kreises mit seinem Mittelpunkt verbindet. Dies ist eines der wichtigsten Merkmale dieser Figur, da auf ihrer Grundlage alle anderen Parameter berechnet werden können. Wenn Sie wissen, wie man den Radius eines Kreises findet, können Sie dessen Durchmesser, Länge und auch Fläche berechnen. In dem Fall, dass diese Figur um eine andere herum eingeschrieben oder beschrieben wird, kann eine ganze Reihe von Problemen gelöst werden. Heute werden wir die Grundformeln und Merkmale ihrer Anwendung analysieren.

Bekannte Werte

Wenn Sie wissen, wie man den Radius eines Kreises findet, der normalerweise mit dem Buchstaben R bezeichnet wird, kann er aus einem Merkmal berechnet werden. Diese Werte umfassen:

• umfang (C);
• durchmesser (D) - ein Segment (oder vielmehr eine Sehne), das durch einen Mittelpunkt verläuft;
• area (S) - Raum, der durch diese Zahl begrenzt ist.

Umfang

Wenn der Wert von C im Problem bekannt ist, ist R \u003d C / (2 * P). Diese Formel ist eine Ableitung. Wenn wir den Umfang kennen, brauchen wir uns nicht mehr daran zu erinnern. Nehmen wir an, dass in der Aufgabe C \u003d 20 m. Wie kann man in diesem Fall den Radius eines Kreises ermitteln? Ersetzen Sie einfach den bekannten Wert in der obigen Formel. Beachten Sie, dass bei solchen Problemen die Kenntnis der Zahl P immer vorausgesetzt wird. Zur Vereinfachung der Berechnung wird der Wert als 3,14 angenommen. In diesem Fall lautet die Lösung wie folgt: Notieren Sie sich die Mengenangaben, leiten Sie die Formel ab und führen Sie die Berechnungen durch. In der Antwort schreiben wir, dass der Radius 20 / (2 * 3,14) \u003d 3,19 m ist. Es ist wichtig, nicht zu vergessen, was wir gezählt haben und den Namen der Einheiten zu nennen.

Im Durchmesser

Wir betonen gleich, dass dies die einfachste Art von Problem ist, bei der gefragt wird, wie der Radius eines Kreises ermittelt werden soll. Wenn Ihnen ein solches Beispiel in der Steuerung aufgefallen ist, können Sie ruhig sein. Sie brauchen nicht einmal einen Taschenrechner! Wie wir bereits gesagt haben, ist der Durchmesser ein Segment oder, genauer gesagt, ein Akkord, der durch die Mitte verläuft. Außerdem sind alle Punkte des Kreises gleich weit voneinander entfernt. Daher besteht dieser Akkord aus zwei Hälften. Jeder von ihnen ist ein Radius, der sich aus seiner Definition als Segment ergibt, das einen Punkt auf einem Kreis und seinen Mittelpunkt verbindet. Wenn der Durchmesser im Problem bekannt ist, müssen Sie diesen Wert nur in zwei teilen, um den Radius zu ermitteln. Die Formel lautet wie folgt: R \u003d D / 2. Wenn der Durchmesser des Problems beispielsweise 10 m beträgt, beträgt der Radius 5 m.

Durch die Fläche eines Kreises

Diese Art von Aufgabe wird normalerweise als die schwierigste bezeichnet. Dies liegt hauptsächlich an der Unkenntnis der Formel. Wenn Sie in diesem Fall wissen, wie Sie den Radius eines Kreises finden, ist der Rest eine Frage der Technologie. Im Taschenrechner müssen Sie nur das Quadratwurzel-Berechnungssymbol im Voraus suchen. Die Fläche eines Kreises ist das Produkt aus der Zahl P und dem mit sich selbst multiplizierten Radius. Die Formel lautet wie folgt: S \u003d P * R 2. Indem Sie den Radius auf einer Seite der Gleichung isolieren, können Sie das Problem leicht lösen. Sie entspricht der Quadratwurzel des Quotienten aus der Division der Fläche durch die Zahl P. Wenn S \u003d 10 m, dann ist R \u003d 1,78 m. Wie bei den vorherigen Aufgaben ist es wichtig, die verwendeten Einheiten nicht zu vergessen.

So finden Sie den Radius des umschriebenen Kreises

Angenommen, a, b, c sind Seiten eines Dreiecks. Wenn Sie ihre Werte kennen, können Sie den Radius des Kreises finden, der um ihn herum umschrieben ist. Dazu müssen Sie zuerst das Semiperimeter des Dreiecks finden. Um es leichter wahrzunehmen, bezeichnen wir es mit dem kleinen Buchstaben p. Dies entspricht der Hälfte der Summe der Parteien. Seine Formel: p \u003d (a + b + c) / 2.

Wir berechnen auch das Produkt der Seitenlängen. Der Einfachheit halber bezeichnen wir es mit dem Buchstaben S. Die Formel für den Radius des umschriebenen Kreises sieht folgendermaßen aus: R \u003d S / (4 * √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Betrachten Sie eine Beispielaufgabe. Wir haben einen Kreis um ein Dreieck. Die Seitenlängen betragen 5, 6 und 7 cm. Zuerst berechnen wir den halben Umfang. In unserer Aufgabe werden es 9 Zentimeter sein. Nun berechnen wir das Produkt der Längen der Seiten - 210. Wir setzen die Ergebnisse von Zwischenberechnungen in die Formel ein und ermitteln das Ergebnis. Der Radius des umschriebenen Kreises beträgt 3,57 Zentimeter. Wir schreiben die Antwort auf, ohne die Maßeinheiten zu vergessen.

So finden Sie den Radius eines Inkreises

Angenommen, a, b, c sind die Längen der Seiten eines Dreiecks. Wenn Sie ihre Werte kennen, können Sie den Radius des darin eingeschriebenen Kreises finden. Zuerst müssen Sie seinen halben Umfang finden. Um das Verständnis zu erleichtern, bezeichnen wir es mit dem kleinen Buchstaben p. Die Formel für die Berechnung lautet wie folgt: p \u003d (a + b + c) / 2. Diese Art von Problem ist etwas einfacher als die vorherige, sodass keine weiteren Zwischenberechnungen erforderlich sind.

Der Radius des Inkreises wird nach folgender Formel berechnet: R \u003d √ ((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Betrachten Sie dies anhand eines konkreten Beispiels. Angenommen, in der Aufgabe wird ein Dreieck mit den Seiten 5, 7 und 10 cm beschrieben, in das ein Kreis eingeschrieben ist, dessen Radius gefunden werden soll. Zuerst finden wir den halben Umfang. In unserem Problem wird es gleich 11 cm sein, jetzt ersetzen wir es in der Hauptformel. Der Radius beträgt 1,65 Zentimeter. Wir schreiben die Antwort auf und vergessen nicht die richtigen Maßeinheiten.

Kreis und seine Eigenschaften

Jede geometrische Figur hat ihre eigenen Eigenschaften. Nach ihrem Verständnis hängt die richtige Lösung von Problemen ab. Es gibt auch Kreise. Oft werden sie zur Lösung von Beispielen mit beschriebenen oder eingeschriebenen Figuren verwendet, da sie eine klare Vorstellung von einer solchen Situation geben. Unter ihnen:

• Eine gerade Linie kann , einen oder zwei Schnittpunkte mit einem Kreis haben. Im ersten Fall überschneidet es sich nicht mit ihm, im zweiten Fall ist es tangential, im dritten Fall ist es sekant.
• Wenn wir drei Punkte nehmen, die nicht auf einer geraden Linie liegen, kann nur ein Kreis durch sie gezogen werden.
• Eine gerade Linie kann zwei Figuren gleichzeitig berühren. In diesem Fall wird der Punkt durchlaufen, der auf dem Segment liegt, das die Zentren der Kreise verbindet. Ihre Länge entspricht der Summe der Radien dieser Figuren.
• Eine unendliche Anzahl von Kreisen kann durch einen oder zwei Punkte gezogen werden.

Du wirst brauchen

• Dreieck mit voreingestellten Parametern
• Kompass
• Lineal
• Platz
• Tabelle von Sinus und Cosinus
• Mathematische Konzepte
• Ermitteln der Höhe eines Dreiecks
• Formeln von Sinus und Cosinus
• Dreieck-Quadrat-Formel

Bedienungsanleitung

Zeichnen Sie ein Dreieck mit den gewünschten Parametern. Ein Dreieck ist entweder auf drei Seiten oder auf zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen oder auf der Seite und zwei angrenzenden Ecken. Bestimmen Sie die Eckpunkte des Dreiecks als A, B und C, die Winkel als α, β und γ und die den Eckpunkten gegenüberliegenden Seiten als a, b und c.

Streichen Sie zu allen Seiten des Dreiecks und suchen Sie den Schnittpunkt. Markieren Sie die Höhen als h mit den entsprechenden Seitenindizes. Finden Sie den Schnittpunkt und bezeichnen Sie ihn mit O. Es wird der Mittelpunkt des Kreises sein. Die Radien dieses Kreises sind also die Segmente OA, OB und OS.

Der Radius ergibt sich aus zwei Formeln. Zum einen müssen Sie zuerst rechnen. Es ist gleich allen Seiten des Dreiecks durch den Sinus eines der Winkel geteilt durch 2.

In diesem Fall wird der Radius des umschriebenen Kreises nach der Formel berechnet

Zum anderen sind die Länge einer der Seiten und der Sinus des entgegengesetzten Winkels ausreichend.

Berechnen Sie den Radius und beschreiben Sie den Dreieckskreis.

Nützliche Ratschläge

Denken Sie daran, wie hoch das Dreieck ist. Dies ist eine Senkrechte, die von der Ecke zur gegenüberliegenden Seite gezogen wird.

Die Fläche des Dreiecks kann auch als Produkt aus dem Quadrat einer der Seiten und den Sinuskurven zweier benachbarter Winkel dividiert durch den doppelten Sinus der Summe dieser Winkel dargestellt werden.
S \u003d a2 * sinβ * sinγ / 2sinγ

Quellen:

• tabelle mit den Radien des umschriebenen Kreises
• Der Radius des beschriebenen Kreises ist nahezu gleichseitig

Es wird als um das Polygon herum umschrieben betrachtet, wenn es alle seine Scheitelpunkte berührt. Bemerkenswert ist das Zentrum eines ähnlichen umfang  fällt mit dem Schnittpunkt der Loten zusammen, die von den Mittelpunkten der Seiten des Polygons gezogen werden. Radius  beschrieben umfang  hängt völlig von dem Polygon ab, um das es beschrieben wird.

Du wirst brauchen

• Kennen Sie die Seiten des Polygons, seine Fläche / Umfang.

Bedienungsanleitung

beachten Sie

Ein Kreis kann nur beschrieben werden, wenn er regelmäßig ist, d.h. Alle Seiten sind gleich und alle Winkel sind gleich.
Die These, dass der Mittelpunkt des um das Polygon umschriebenen Kreises der Schnittpunkt seiner mittleren Lotrechten ist, gilt für alle regulären Polygone.

Quellen:

• wie man den Radius eines Polygons findet

Wenn es für das Polygon möglich ist, den umschriebenen Kreis zu konstruieren, ist die Fläche dieses Polygons kleiner als die Fläche des umschriebenen Kreises, aber größer als die Fläche des eingeschriebenen Kreises. Für einige Polygone Formeln zum Finden radius  beschriftete und eingekreiste Kreise.

Bedienungsanleitung

Ein Kreis, der in ein Polygon eingeschrieben ist und alle Seiten des Polygons berührt. Für Dreieck radius  Kreise: r \u003d ((p-a) (p-b) (p-c) / p) 1/2, wobei p der halbe Umfang ist; a, b, c sind die Seiten des Dreiecks. Für die Formel ist vereinfacht: r \u003d a / (2 * 3 ^ 1/2) und - die Seite des Dreiecks.

Ein Kreis, der um ein Polygon umschrieben ist, wird als Kreis bezeichnet, auf dem alle Eckpunkte des Polygons liegen. Für ein Dreieck ergibt sich der Radius aus der Formel: R \u003d abc / (4 (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ 1/2), wobei p der halbe Umfang ist; a, b, c sind die Seiten des Dreiecks. Für das richtige ist es einfacher: R \u003d a / 3 ^ 1/2.

Bei Polygonen ist es nicht immer möglich, das Verhältnis der Radien des Beschrifteten und der Länge seiner Seiten zu ermitteln. Meist beschränkt sich die Konstruktion auf solche Kreise um das Polygon und dann auf physikalische radius  Kreise mit Messgeräten oder Vektorraum.
Um den umschriebenen Kreis eines konvexen Polygons zu konstruieren, werden die Winkelhalbierenden der beiden Winkel gebildet, wobei der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises an ihrem Schnittpunkt liegt. Der Radius ist der Abstand vom Schnittpunkt der Winkelhalbierenden zum Scheitelpunkt einer beliebigen Ecke des Polygons. Das Zentrum der Inschrift am Schnittpunkt der in das Polygon eingebauten Loten von den Seitenmitten aus (diese Loten sind die Mittleren). Es reicht aus, zwei solche Lotsen zu bauen. Der Radius des Beschriftungskreises ist der Abstand vom Schnittpunkt der mittleren Senkrechten zur Seite des Polygons.

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beachten Sie

Ein Kreis kann nicht in ein beliebig gegebenes Polygon eingeschrieben werden, und ein Kreis um dieses kann beschrieben werden.

Nützliche Ratschläge

Ein Kreis kann in ein Viereck eingeschrieben werden, wenn a + c \u003d b + d, wobei a, b, c, d die Seiten des Vierecks in der Reihenfolge sind. Ein Kreis kann um ein Viereck herum beschrieben werden, wenn sich seine entgegengesetzten Winkel zu 180 Grad addieren.

Für ein Dreieck existieren solche Kreise immer.

Tipp 4: Finden Sie den dreieckigen Bereich auf drei Seiten

Das Finden der Fläche eines Dreiecks ist eine der häufigsten Aufgaben der Schulplanimetrie. Die Kenntnis der drei Seiten eines Dreiecks reicht aus, um die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen. In besonderen Fällen und bei gleichseitigen Dreiecken ist es ausreichend, die Länge von zwei bzw. einer Seite zu kennen.

Du wirst brauchen

• seitenlängen von Dreiecken, Herons Formel, Cosinussatz

Bedienungsanleitung

Die Heron-Formel für die Fläche eines Dreiecks lautet wie folgt: S \u003d sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Wenn wir den Halbumfang p zeichnen, erhalten wir: S \u003d sqrt ((a + b + c) / 2) ((b + ca) / 2) ((a + cb) / 2) ((a + bc) / 2) ) \u003d (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca))) / 4.

Wir können eine Formel für die Fläche eines Dreiecks ableiten und aus Überlegungen, beispielsweise unter Anwendung des Cosinussatzes.

Nach dem Cosinussatz ist AC ^ 2 \u003d (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). Unter Verwendung der eingeführten Notation können diese auch in der Form vorliegen: b ^ 2 \u003d (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Daher ist cos (ABC) \u003d ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c)

Die Fläche des Dreiecks ergibt sich auch durch die Formel S \u003d a * c * sin (ABC) / 2 durch zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen. Der Sinus des Winkels ABC kann durch die grundlegende trigonometrische Identität ausgedrückt werden: sin (ABC) \u003d sqrt (1 - ((cos (ABC)) ^ 2). Wenn wir den Sinus in der Formel für die Fläche einsetzen und zeichnen, können wir die Formel für die Fläche des Dreiecks erhalten ABC.

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Die drei Punkte, die ein Dreieck im kartesischen Koordinatensystem eindeutig definieren, sind seine Eckpunkte. Wenn Sie ihre Position in Bezug auf jede der Koordinatenachsen kennen, können Sie alle Parameter dieser flachen Figur berechnen, einschließlich der durch ihren Umfang begrenzten die Gegend. Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten.

Bedienungsanleitung

Verwenden Sie die Reiherformel, um die Fläche zu berechnen das Dreieck. Die Abmessungen der drei Seiten der Figur sind daran beteiligt. Beginnen Sie also mit Berechnungen. Die Länge jeder Seite sollte gleich der Wurzel der Summe der Quadrate der Länge ihrer Projektionen auf den Koordinatenachsen sein. Wenn wir die Koordinaten A (X & sub1 ;, Y & sub1 ;, Z & sub1;), B (X & sub2 ;, Y & sub2 ;, Z & sub2;) und C (X & sub3 ;, Y & sub3 ;, Z & sub3;) bezeichnen, können die Längen ihrer Seiten wie folgt ausgedrückt werden: AB \u003d √ ((X & sub1; -X & sub2;) ² + (Y & sub1; -Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²), BC \u003d √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²), AC \u003d √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Um die Berechnungen zu vereinfachen, geben Sie die Hilfsvariable - halber Umfang (P) ein. Daraus ergibt sich die halbe Summe der Längen aller Seiten: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²) + √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) + ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Berechnen die Gegend  (S) nach der Formel von Heron - nimm die Wurzel aus dem Produkt des halben Umfangs, um die Differenz zwischen ihm und der Länge jeder Seite. Allgemein ausgedrückt kann es wie folgt geschrieben werden: S \u003d (P * (P-AB) * (P-BC) * (P-AC)) \u003d Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²) * (P-√ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) * (P-√ ((X₁ -X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²)).

Für praktische Berechnungen ist es zweckmäßig, spezielle Taschenrechner zu verwenden. Hierbei handelt es sich um Skripte auf den Servern einiger Sites, die alle erforderlichen Berechnungen auf der Grundlage der von Ihnen in das entsprechende Formular eingegebenen Koordinaten durchführen. Der einzige derartige Service ist, dass er keine Erklärungen und Begründungen für jeden Schritt der Berechnungen liefert. Wenn Sie sich nur für das Endergebnis und nicht für allgemeine Berechnungen interessieren, besuchen Sie zum Beispiel die Seite http://planetcalc.ru/218/.

Geben Sie in die Formularfelder jede Koordinate jedes Scheitelpunkts ein das Dreieck - Sie sind hier wie Axe, Ay, Az usw. Wenn das Dreieck durch zweidimensionale Koordinaten angegeben wird, geben Sie in die Felder - Az, Bz und Cz - Null ein. Stellen Sie im Feld „Berechnungsgenauigkeit“ die gewünschte Anzahl von Nachkommastellen ein, indem Sie mit der Plus- oder Minus-Maus klicken. Es ist nicht erforderlich, auf die orangefarbene Schaltfläche „Berechnen“ zu klicken, die Berechnungen werden ohne diese ausgeführt. Sie finden die Antwort neben „Platz das Dreieck"- Es befindet sich direkt unter dem orangen Knopf.

Quellen:

• finden Sie den Bereich eines Dreiecks mit Eckpunkten an Punkten

Manchmal können Sie um ein konvexes Polygon so zeichnen, dass die Scheitelpunkte aller Winkel darauf liegen. Ein solcher Kreis in Bezug auf das Polygon muss als beschrieben bezeichnet werden. Ihr zentrieren  Es muss sich nicht innerhalb des Umfangs der beschrifteten Figur befinden, sondern muss die beschriebenen Eigenschaften verwenden umfangdiesen Punkt zu finden ist normalerweise nicht sehr schwierig.

Du wirst brauchen

• Lineal, Bleistift, Winkelmesser oder Quadrat, Kompass.

Bedienungsanleitung

Wenn das Polygon, um das Sie den Kreis beschreiben möchten, auf Papier gezeichnet ist, finden Sie es zentrierenund ein Kreis mit einem Lineal, einem Bleistift und einem Winkelmesser oder einem Quadrat ist genug. Messen Sie die Länge einer beliebigen Seite der Figur, bestimmen Sie deren Mitte und setzen Sie einen Hilfspunkt an diese Stelle der Zeichnung. Zeichnen Sie mit einem Quadrat oder Winkelmesser eine Linie senkrecht zu dieser Seite innerhalb des Polygons, bis sie die gegenüberliegende Seite schneidet.

Führen Sie den gleichen Vorgang mit jeder anderen Seite des Polygons durch. Der Schnittpunkt zweier konstruierter Segmente ist der gewünschte Punkt. Dies ergibt sich aus der beschriebenen Haupteigenschaft umfang  - sie zentrieren  in einem konvexen Polygon von jeder Seite liegt immer der Schnittpunkt der zu diesen gezogenen Mittelsenken

Einstiegsniveau

Der umschriebene Kreis. Visueller Leitfaden (2019)

Die erste Frage, die sich stellen kann: Beschrieben - um was?

Eigentlich passiert es manchmal um irgendetwas, aber wir werden über den Kreis sprechen, der um das Dreieck umschrieben ist (manchmal sagen sie "über"). Was ist das

Und nun stellen Sie sich eine erstaunliche Tatsache vor:

Warum ist diese Tatsache erstaunlich?

Dreiecke sind aber anders!

Und für alle gibt es einen Kreis, der vorbeizieht durch alle drei Gipfelder umschriebene Kreis.

Sie können den Beweis für diese erstaunliche Tatsache in den folgenden Ebenen der Theorie finden, aber hier stellen wir nur fest, dass es für niemanden einen Kreis gibt, der durch vier Eckpunkte verläuft, wenn wir zum Beispiel ein Viereck nehmen. Angenommen, ein Parallelogramm ist ein ausgezeichnetes Viereck, aber es gibt keinen Kreis, der durch alle vier Eckpunkte verläuft!

Und es gibt nur für das Rechteck:

Bitte schön, und jedes dreieck hat immer einen eigenen umschriebenen kreis!  Und es ist immer ganz einfach, den Mittelpunkt dieses Kreises zu finden.

Weißt du was ist? mitte senkrecht?

Nun wollen wir sehen, was passiert, wenn wir uns drei ganze mittlere Senkrechte an den Seiten des Dreiecks ansehen.

Es stellt sich heraus (und dies muss nur bewiesen werden, obwohl wir es nicht wollen), dass   alle drei senkrechten schneiden sich an einem punkt.  Schauen Sie sich die Figur an - alle drei mittleren Senkrechten schneiden sich an einem Punkt.

Denken Sie, dass der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises immer innerhalb des Dreiecks liegt? Stellen Sie sich vor - nicht immer!

Aber wenn   spitzwinklig, dann - innen:

Was tun mit einem rechtwinkligen Dreieck?

Ja, mit einem zusätzlichen Bonus:

Da wir über den Radius des umschriebenen Kreises sprechen: Was bedeutet das für ein beliebiges Dreieck? Und auf diese Frage gibt es eine Antwort: die sogenannte.

Nämlich:

Na und natürlich

1. Die Existenz und der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises

Dann stellt sich die Frage: Gibt es einen solchen Kreis für ein Dreieck? Es stellt sich heraus, dass ja, für alle. Außerdem formulieren wir jetzt einen Satz, der auch die Frage beantwortet, wo sich der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises befindet.

Sieh so aus:

Lassen Sie uns den Mut fassen und diesen Satz beweisen. Wenn Sie das Thema "" bereits gelesen haben und verstanden haben, warum sich drei Winkelhalbierende an einem Punkt schneiden, wird es für Sie einfacher, aber wenn Sie es nicht gelesen haben, machen Sie sich keine Sorgen: Jetzt werden wir es herausfinden.

Der Beweis wird unter Verwendung des Konzepts eines geometrischen Punktorts (ТТТ) durchgeführt.

Sind zum Beispiel viele Kugeln ein „geometrischer Ort“ für runde Gegenstände? Nein, natürlich, weil es runde ... Wassermelonen gibt. Gibt es eine Menge Leute, "geometrische Orte", die sprechen können? Nicht auch, weil es Babys gibt, die nicht sprechen können. Im Leben ist es im Allgemeinen schwierig, ein Beispiel für einen echten „geometrischen Punktort“ zu finden. In der Geometrie ist es einfacher. Hier ist zum Beispiel genau das, was wir brauchen:

Hier ist die Menge die mittlere Senkrechte, und die Eigenschaft "" soll "von den Enden des Segments gleich weit entfernt sein (Punkt)."

Probieren Sie es aus? Sie müssen also auf zwei Dinge achten:

1. Jeder Punkt, der von den Enden eines Segments gleich weit entfernt ist, befindet sich in der Mitte senkrecht dazu.

Verbinden Sie mit und C. Dann ist die Linie der Median und die Höhe in. Also - gleichschenklig - stellen Sie sicher, dass jeder Punkt, der auf der mittleren Senkrechten liegt, gleich weit von den Punkten und entfernt ist.

Nimm die Mitte und verbinde und. Das Ergebnis war ein Median. Aber - je nach Bedingung gleichschenklig, nicht nur der Median, sondern auch die Höhe, das heißt die mittlere Senkrechte. Der Punkt liegt also nur auf der mittleren Senkrechten.

Das ist alles! Vollständig überprüft die Tatsache, dass die mittlere Senkrechte zum Segment ist die geometrische Stelle der Punkte in gleichem Abstand von den Enden des Segments.

Das ist alles gut, aber haben wir den umschriebenen Kreis vergessen? Überhaupt nicht, wir haben uns nur ein "Sprungbrett für einen Angriff" vorbereitet.

Betrachten Sie das Dreieck. Zeichnen Sie zwei mittlere Senkrechte und sagen wir zu den Segmenten und. Sie kreuzen sich an einem Punkt, den wir anrufen werden.

Und jetzt aufgepasst!

Der Punkt liegt auf der mittleren Senkrechten;
  Der Punkt liegt auf der mittleren Senkrechten.
  Und das heißt, und.

Ab hier folgen gleich mehrere Dinge:

Erstens muss der Punkt in der dritten Mitte senkrecht zum Segment liegen.

Das heißt, die mittlere Senkrechte muss ebenfalls durch den Punkt gehen, und alle drei mittleren Senkrechten schneiden sich an einem Punkt.

Zweitens: Wenn wir einen Kreis zeichnen, der auf einem Punkt und einem Radius zentriert ist, wird dieser Kreis auch durch den Punkt und durch den Punkt verlaufen, dh es wird ein umschriebener Kreis sein. Es existiert also bereits, dass der Schnittpunkt der drei mittleren Senkrechten der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises für ein beliebiges Dreieck ist.

Und das letzte: über die Einzigartigkeit. Es ist (fast) klar, dass der Punkt auf einzigartige Weise erhalten werden kann, daher ist der Kreis auch einzigartig. Nun, aber "fast" - überlassen wir es Ihnen zu überlegen. Das hat der Satz bewiesen. Sie können "Hurra!"

Und wenn das Problem darin besteht, den Radius des umschriebenen Kreises zu finden? Oder umgekehrt, der Radius ist vorgegeben, aber muss noch etwas gefunden werden? Gibt es eine Formel, die den Radius des umschriebenen Kreises mit anderen Elementen des Dreiecks verbindet?

Beachten Sie: Der Sinussatz sagt das aus um den Radius des umschriebenen Kreises zu finden, benötigen Sie eine Seite (beliebig!) und den entgegengesetzten Winkel. Und alle!

3. Mittelpunkt des Kreises - innen oder außen

Und jetzt lautet die Frage: Kann der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises außerhalb des Dreiecks liegen?
  Antwort: Selbst wenn Sie können. Darüber hinaus geschieht dies immer in einem stumpfen Dreieck.

Und überhaupt:

BESCHREIBUNG DES KREISES. KURZE ÜBER DAS HAUPTGERÄT

1. Der in der Nähe des Dreiecks beschriebene Kreis

Dies ist der Kreis, der durch alle drei Eckpunkte dieses Dreiecks verläuft.

2. Die Existenz und der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, dann sind Sie sehr cool.

Denn nur 5% der Menschen können etwas alleine meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann haben Sie diese 5% erreicht!

Nun das Wichtigste.

Sie haben eine Theorie zu diesem Thema entwickelt. Und wieder, das ... es ist einfach super! Sie sind bereits besser als die große Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

Wofür?

Für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung, für die Zulassung zum Institut im Rahmen des Budgets und - WICHTIGSTEN - auf Lebenszeit.

Ich werde Sie von nichts überzeugen, nur eins sagen ...

Menschen, die eine gute Ausbildung erhalten, verdienen viel mehr als diejenigen, die dies nicht getan haben. Das ist Statistik.

Aber das ist nicht die Hauptsache.

Die Hauptsache ist, dass sie glücklicher sind (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sie viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben heller wird? Weiß nicht...

Aber denken Sie selbst ...

Was braucht es, um sicher besser als andere im USE zu sein und letztendlich ... glücklicher zu sein?

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