Die Fläche des umschriebenen Kreises des Dreiecks. Wie man den Radius eines Kreises findet, der um ein Dreieck umschrieben ist

Ein Radius ist eine Linie, die einen beliebigen Punkt eines Kreises mit seinem Mittelpunkt verbindet. Dies ist eines der wichtigsten Merkmale dieser Figur, da auf ihrer Grundlage alle anderen Parameter berechnet werden können. Wenn Sie wissen, wie man den Radius eines Kreises findet, können Sie dessen Durchmesser, Länge und auch die Fläche berechnen. In dem Fall, dass diese Figur um eine andere herum eingeschrieben oder beschrieben ist, kann eine ganze Reihe von Aufgaben gelöst werden. Heute werden wir die Grundformeln und Merkmale ihrer Anwendung analysieren.

Bekannte Werte

Wenn Sie wissen, wie man den Radius eines Kreises findet, der normalerweise mit dem Buchstaben R bezeichnet wird, kann er aus einem Merkmal berechnet werden. Diese Werte umfassen:

• umfang (C);
• durchmesser (D) - ein Segment (oder vielmehr eine Sehne), das durch einen Mittelpunkt verläuft;
• area (S) - Raum, der durch diese Zahl begrenzt ist.

Umfang

Wenn der Wert von C im Problem bekannt ist, ist R \u003d C / (2 * P). Diese Formel ist eine Ableitung. Wenn wir den Umfang kennen, muss man sich nicht mehr daran erinnern. Nehmen wir an, dass in der Aufgabe C \u003d 20 m. Wie kann man in diesem Fall den Radius eines Kreises ermitteln? Ersetzen Sie einfach den bekannten Wert in der obigen Formel. Beachten Sie, dass bei solchen Problemen die Kenntnis der Zahl P immer vorausgesetzt wird. Zur Vereinfachung der Berechnung wird der Wert mit 3,14 angenommen. In diesem Fall lautet die Lösung wie folgt: Notieren Sie sich die Mengenangaben, leiten Sie die Formel ab und führen Sie die Berechnungen durch. In der Antwort schreiben wir, dass der Radius 20 / (2 * 3,14) \u003d 3,19 m ist. Es ist wichtig, nicht zu vergessen, was wir gezählt haben, und den Namen der Einheiten zu erwähnen.

Im Durchmesser

Wir betonen gleich, dass dies die einfachste Art von Problem ist, bei der gefragt wird, wie der Radius eines Kreises ermittelt werden soll. Wenn Ihnen ein solches Beispiel in der Steuerung aufgefallen ist, können Sie ruhig sein. Sie brauchen nicht einmal einen Taschenrechner! Wie wir bereits gesagt haben, ist der Durchmesser ein Segment oder, genauer gesagt, ein Akkord, der durch die Mitte verläuft. Außerdem sind alle Punkte des Kreises gleich weit voneinander entfernt. Daher besteht dieser Akkord aus zwei Hälften. Jeder von ihnen ist ein Radius, der sich aus seiner Definition als Segment ergibt, das einen Punkt auf einem Kreis und seinen Mittelpunkt verbindet. Wenn der Durchmesser im Problem bekannt ist, müssen Sie diesen Wert nur in zwei teilen, um den Radius zu ermitteln. Die Formel lautet wie folgt: R \u003d D / 2. Wenn der Durchmesser des Problems beispielsweise 10 m beträgt, beträgt der Radius 5 m.

Durch die Fläche eines Kreises

Diese Art von Aufgabe wird normalerweise als die schwierigste bezeichnet. Dies liegt hauptsächlich an der Unkenntnis der Formel. Wenn Sie in diesem Fall wissen, wie Sie den Radius eines Kreises finden, ist der Rest eine Frage der Technologie. Im Taschenrechner müssen Sie nur das Quadratwurzel-Berechnungssymbol im Voraus suchen. Die Fläche eines Kreises ist das Produkt aus der Zahl P und dem mit sich selbst multiplizierten Radius. Die Formel lautet wie folgt: S \u003d P * R 2. Indem Sie den Radius auf einer Seite der Gleichung isolieren, können Sie das Problem leicht lösen. Sie entspricht der Quadratwurzel des Quotienten aus der Division der Fläche durch die Zahl P. Wenn S \u003d 10 m, dann ist R \u003d 1,78 m. Wie bei den vorherigen Aufgaben ist es wichtig, die verwendeten Einheiten nicht zu vergessen.

So finden Sie den Radius des umschriebenen Kreises

Angenommen, a, b, c sind Seiten eines Dreiecks. Wenn Sie ihre Werte kennen, können Sie den Radius des Kreises finden, der um ihn herum umschrieben ist. Dazu müssen Sie zuerst das Semiperimeter des Dreiecks finden. Um es leichter wahrzunehmen, bezeichnen wir es mit dem kleinen Buchstaben p. Dies entspricht der Hälfte der Summe der Parteien. Seine Formel: p \u003d (a + b + c) / 2.

Wir berechnen auch das Produkt der Seitenlängen. Der Einfachheit halber bezeichnen wir es mit dem Buchstaben S. Die Formel für den Radius des umschriebenen Kreises sieht folgendermaßen aus: R \u003d S / (4 * √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Betrachten Sie eine Beispielaufgabe. Wir haben einen Kreis um ein Dreieck. Die Seitenlängen betragen 5, 6 und 7 cm. Zuerst berechnen wir den halben Umfang. In unserer Aufgabe werden es 9 Zentimeter sein. Nun berechnen wir das Produkt der Längen der Seiten - 210. Wir ersetzen die Ergebnisse von Zwischenberechnungen in der Formel und ermitteln das Ergebnis. Der Radius des umschriebenen Kreises beträgt 3,57 Zentimeter. Wir schreiben die Antwort auf, ohne die Maßeinheiten zu vergessen.

So finden Sie den Radius eines Inkreises

Angenommen, a, b, c sind die Längen der Seiten eines Dreiecks. Wenn Sie ihre Werte kennen, können Sie den Radius des darin eingeschriebenen Kreises finden. Zuerst müssen Sie seinen halben Umfang finden. Um das Verständnis zu erleichtern, bezeichnen wir es mit dem kleinen Buchstaben p. Die Formel für die Berechnung lautet wie folgt: p \u003d (a + b + c) / 2. Diese Art von Aufgabe ist etwas einfacher als die vorherige, sodass keine weiteren Zwischenberechnungen erforderlich sind.

Der Radius des Inkreises wird nach folgender Formel berechnet: R \u003d √ ((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Betrachten Sie dies anhand eines konkreten Beispiels. Angenommen, in der Aufgabe wird ein Dreieck mit den Seiten 5, 7 und 10 cm beschrieben, in das ein Kreis eingeschrieben ist, dessen Radius gefunden werden soll. Zuerst finden wir den halben Umfang. In unserem Problem wird es gleich 11 cm sein, jetzt ersetzen wir es in der Hauptformel. Der Radius beträgt 1,65 Zentimeter. Wir schreiben die Antwort auf und vergessen nicht die richtigen Maßeinheiten.

Kreis und seine Eigenschaften

Jede geometrische Figur hat ihre eigenen Eigenschaften. Nach ihrem Verständnis hängt die richtige Lösung von Problemen ab. Es gibt auch Kreise. Oft werden sie zur Lösung von Beispielen mit beschriebenen oder eingeschriebenen Figuren verwendet, da sie eine klare Vorstellung von einer solchen Situation geben. Unter ihnen:

• Eine Linie kann Null, einen oder zwei Schnittpunkte mit einem Kreis haben. Im ersten Fall überschneidet es sich nicht mit ihm, im zweiten Fall ist es tangential, im dritten Fall ist es sekant.
• Wenn wir drei Punkte nehmen, die nicht auf einer geraden Linie liegen, kann nur ein Kreis durch sie gezogen werden.
• Eine gerade Linie kann zwei Figuren gleichzeitig berühren. In diesem Fall wird der Punkt durchlaufen, der auf dem Segment liegt, das die Zentren der Kreise verbindet. Ihre Länge entspricht der Summe der Radien dieser Figuren.
• Eine unendliche Anzahl von Kreisen kann durch einen oder zwei Punkte gezogen werden.

Sehr oft muss man bei der Lösung geometrischer Probleme mit Hilfsfiguren handeln. Finden Sie zum Beispiel den Radius eines beschrifteten oder umschriebenen Kreises usw. In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie den Radius eines Kreises finden, der um ein Dreieck verläuft. Oder mit anderen Worten, der Radius des Kreises, in den das Dreieck eingeschrieben ist.

  Wie man den Radius eines Kreises findet, der um ein Dreieck umschrieben ist - allgemeine Formel

Die allgemeine Formel lautet wie folgt: R \u003d abc / 4√p (p - a) (p - b) (p - c), wobei R der Radius des umschriebenen Kreises ist, p der Umfang des Dreiecks geteilt durch 2 (halber Umfang) ist. a, b, c sind die Seiten des Dreiecks.

Bestimmen Sie den Radius des umschriebenen Kreises des Dreiecks, wenn a \u003d 3, b \u003d 6, c \u003d 7 ist.

Auf der Grundlage der obigen Formel berechnen wir also den halben Umfang:
p \u003d (a + b + c) / 2 \u003d 3 + 6 + 7 \u003d 16. \u003d\u003e 16/2 \u003d 8.

Ersetzen Sie die Werte in der Formel und erhalten Sie:
  R \u003d 3 · 6 · 7/4 · 8 (8-3) (8-6) (8-7) \u003d 126/4 · (8 · 5 · 2 · 1) \u003d 126/4 · 80 \u003d 126/16 √5.

Antwort: R \u003d 126/16/5

  So finden Sie den Radius eines Kreises, der in der Nähe eines gleichseitigen Dreiecks beschrieben wird

Um den Radius eines Kreises zu finden, der in der Nähe eines gleichseitigen Dreiecks beschrieben wird, gibt es eine ziemlich einfache Formel: R \u003d a / √3, wobei a die Größe seiner Seite ist.

Beispiel: Die Seite eines gleichseitigen Dreiecks ist 5. Ermitteln Sie den Radius des umschriebenen Kreises.

Da ein gleichseitiges Dreieck alle Seiten gleich hat, müssen Sie zur Lösung des Problems nur seinen Wert in die Formel eingeben. Wir erhalten: R \u003d 5 / √3.

Antwort: R \u003d 5 / √3.

  So finden Sie den Radius eines Kreises, der in der Nähe eines rechtwinkligen Dreiecks umschrieben ist

Die Formel lautet wie folgt: R \u003d 1/2 × √ (a² + b²) \u003d c / 2, wobei a und b die Beine und c die Hypotenuse sind. Wenn wir die Quadrate der Beine zu einem rechtwinkligen Dreieck addieren, erhalten wir das Quadrat der Hypotenuse. Wie aus der Formel hervorgeht, befindet sich dieser Ausdruck unter der Wurzel. Durch Berechnung der Quadratwurzel der Hypotenuse erhalten wir die Länge selbst. Das Multiplizieren des resultierenden Ausdrucks mit 1/2 führt uns schließlich zu dem Ausdruck 1/2 × c \u003d c / 2.

Beispiel: Berechnen Sie den Radius des umschriebenen Kreises, wenn die Schenkel des Dreiecks 3 und 4 sind. Ersetzen Sie die Werte in der Formel. Wir erhalten: R \u003d 1/2 × √ (3² + 4²) \u003d 1/2 × √ 25 \u003d 1/2 × 5 \u003d 2,5.

In diesem Ausdruck ist 5 die Länge der Hypotenuse.

Antwort: R \u003d 2,5.

  So finden Sie den Radius eines Kreises, der um ein gleichschenkliges Dreieck verläuft

Die Formel lautet wie folgt: R \u003d a² / √ (4a² - b²), wobei a die Länge der Hüfte des Dreiecks und b die Länge der Basis ist.

Beispiel: Berechnen Sie den Radius eines Kreises, wenn dessen Hüfte \u003d 7 und Basis \u003d 8 ist.

Lösung: Wir setzen diese Werte in die Formel ein und erhalten: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R \u003d 49 / √ (196 - 64) \u003d 49 / √132. Die Antwort kann direkt so geschrieben werden.

Antwort: R \u003d 49 / √132

  Online-Ressourcen zur Berechnung des Radius eines Kreises

Sie können in all diesen Formeln sehr leicht verwirrt werden. Daher können Sie bei Bedarf Online-Taschenrechner verwenden, die Ihnen bei der Lösung von Problemen beim Auffinden des Radius helfen. Das Funktionsprinzip solcher Mini-Programme ist sehr einfach. Ersetzen Sie den Wert der Seite durch das entsprechende Feld und erhalten Sie eine fertige Antwort. Sie können verschiedene Optionen zum Runden der Antwort auswählen: Dezimal, Hundertstel, Tausendstel usw.

In der modernen Technik werden viele Elemente und Ersatzteile verwendet, deren Struktur sowohl äußere als auch innere Kreise aufweist. Die auffälligsten Beispiele sind das Lagergehäuse, Motorteile, Nabenbaugruppen und vieles mehr. Bei ihrer Herstellung kommen nicht nur Hightech-Geräte zum Einsatz, sondern auch Kenntnisse aus der Geometrie, insbesondere Informationen über die Umfänge eines Dreiecks. Im Folgenden werden wir uns mit ähnlichen Kenntnissen näher vertraut machen.

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Welcher Kreis ist beschriftet und welcher ist beschrieben?

Denken Sie zunächst daran, dass der Kreis unendlich heißt viele Punkte im gleichen Abstand vom Zentrum. Wenn es erlaubt ist, innerhalb des Polygons einen Kreis zu bilden, der mit jeder Seite nur einen gemeinsamen Schnittpunkt hat, wird er als beschriftet bezeichnet. Ein umschriebener Kreis (kein Kreis, dies sind unterschiedliche Konzepte) ist eine geometrische Stelle von Punkten, an der nur ein Scheitelpunkt des Polygons gemeinsame Punkte für eine konstruierte Figur mit einem bestimmten Polygon hat. Wir werden diese beiden Konzepte in einem anschaulicheren Beispiel kennenlernen (siehe Abbildung 1).

Abbildung 1. Eingeschriebene und umschriebene Kreise eines Dreiecks

Auf dem Bild sind zwei Figuren großen und kleinen Durchmessers aufgebaut, deren Mittelpunkte G und I sind: Der Kreis mit einem größeren Wert wird als die beschriebene Fläche Δ ABC bezeichnet, und der kleine - im Gegenteil, eingeschrieben in Δ ABC.

Um die Umgebung um ein Dreieck zu beschreiben,   Zeichnen Sie eine senkrechte gerade Linie durch die Mitte jeder Seite(d. h. in einem Winkel von 90 °) - dies ist der Schnittpunkt, er spielt eine Schlüsselrolle. Dass es der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises sein wird. Bevor Sie einen Kreis finden, dessen Mittelpunkt in einem Dreieck liegt, müssen Sie für jeden Winkel eine Konstruktion erstellen und dann den Schnittpunkt der Linien auswählen. Es wird seinerseits das Zentrum der eingeschriebenen Nachbarschaft sein, und sein Radius wird unter allen Umständen senkrecht zu beiden Seiten sein.

Auf die Frage: "Wie viele Beschriftungskreise kann es für ein Polygon mit drei geben?" Weil es nur einen Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden und einen Schnittpunkt von Lotrechten gibt, die von den Mittelpunkten der Seiten ausgehen.

Eigenschaft des Kreises, zu dem die Eckpunkte des Dreiecks gehören

Der beschriebene Kreis, der von der Länge der Seiten an der Basis abhängt, hat seine eigenen Eigenschaften. Wir geben die Eigenschaften des umschriebenen Kreises an:

Um das Prinzip des umschriebenen Kreises besser zu verstehen, lösen wir ein einfaches Problem. Angenommen, es ist ein Dreieck Δ ABC gegeben, dessen Seiten 10, 15 und 8,5 cm betragen. Der Radius des umschriebenen Kreises in der Nähe des Dreiecks (FB) beträgt 7,9 cm. Bestimmen Sie das Gradmaß für jeden Winkel und die Dreiecksfläche.

Abbildung 2. Suchen Sie den Radius des Kreises durch das Verhältnis der Seiten und Sinus der Winkel

Lösung: Basierend auf dem zuvor erwähnten Sinussatz ermitteln wir den Sinuswert für jeden Winkel separat. Es ist bekannt, dass die Seite AB 10 cm beträgt. Wir berechnen den Wert von C:

Anhand der Werte der Bradis-Tabelle stellen wir fest, dass das Gradmaß des Winkels C 39 ° beträgt. Mit der gleichen Methode ermitteln wir die verbleibenden Winkelmaße:

Woher wissen wir, dass CAB \u003d 33 ° und ABC \u003d 108 °. Wenn wir nun die Sinuswerte jedes Winkels und Radius kennen, finden wir die Fläche und ersetzen die gefundenen Werte:

Antwort: Die Fläche des Dreiecks beträgt 40,31 cm² und die Winkel betragen 33 °, 108 ° bzw. 39 °.

Wichtig!Bei der Lösung von Problemen mit einem solchen Plan lohnt es sich, immer Bradis-Tabellen oder die entsprechende Anwendung auf dem Smartphone zu haben, da der Vorgang manuell sehr lange dauern kann. Um Zeit zu sparen, müssen nicht alle drei Mittelpunkte der Senkrechten oder der drei Winkelhalbierenden erstellt werden. Jedes Drittel von ihnen schneidet sich immer am Schnittpunkt der ersten beiden. Und für den orthodoxen Bau beenden sie normalerweise den dritten. Vielleicht ist dies bei der Frage des Algorithmus falsch, aber bei der Prüfung oder anderen Prüfungen spart dies viel Zeit.

Berechnung des Radius des Beschriftungskreises

Alle Punkte des Kreises sind im gleichen Abstand gleich weit vom Mittelpunkt entfernt. Die Länge dieses Segments (von und bis) wird als Radius bezeichnet. Abhängig von der Art unserer Umgebung werden zwei Arten unterschieden - interne und externe. Jedes von ihnen wird nach seiner eigenen Formel berechnet und steht in direktem Zusammenhang mit der Berechnung von Parametern wie:

• bereich;
• gradmaß für jeden Winkel;
• seitenlängen und Umfang.

Abbildung 3. Position des beschrifteten Kreises im Dreieck

Sie können die Länge des Abstands vom Mittelpunkt zum Kontaktpunkt auf beiden Seiten folgendermaßen berechnen: h seite, Seiten und Ecken  (für ein gleichschenkliges Dreieck).

Verwenden eines halben Umfangs

Ein halber Umfang heißt die halbe Summe der Längen aller Seiten. Diese Methode gilt als die beliebteste und universellste, da sie für jeden geeignet ist, unabhängig davon, welche Art von Dreieck durch die Bedingung vorgegeben ist. Das Berechnungsverfahren ist wie folgt:

Wenn "richtig" angegeben

Einer der kleinen Vorteile des „perfekten“ Dreiecks ist das die beschrifteten und umschriebenen Kreise haben an einer Stelle einen Mittelpunkt. Dies ist nützlich beim Erstellen von Formen. In 80% der Fälle ist die Antwort jedoch hässlich. Dies bedeutet, dass der Radius der eingeschriebenen Nachbarschaft sehr selten ganz ist, eher das Gegenteil. Für die vereinfachte Berechnung wird die Formel für den Radius eines beschrifteten Kreises in einem Dreieck verwendet:

Wenn die Seitenwände gleich lang sind

Einer der Untertypen von Aufgaben für den Staat. Bei den Prüfungen wird der Radius des beschrifteten Kreises des Dreiecks ermittelt, dessen zwei Seiten gleich sind und der dritte nicht. In diesem Fall empfehlen wir die Verwendung dieses Algorithmus, der eine spürbare Zeitersparnis beim Ermitteln des Durchmessers des beschrifteten Bereichs ermöglicht. Der Radius des Beschriftungskreises in einem Dreieck mit gleicher "Seite" berechnet sich nach der Formel:

Wir werden eine visuellere Anwendung dieser Formeln im folgenden Problem demonstrieren. Lassen Sie uns ein Dreieck (ΔHJI) haben, in das der Kreis am Punkt K eingeschrieben ist. Die Länge der Seite beträgt HJ \u003d 16 cm, JI \u003d 9,5 cm und die Seite von HI beträgt 19 cm (Abbildung 4). Finden Sie den Radius der eingeschriebenen Nachbarschaft und kennen Sie die Seiten.

Abbildung 4. Suchen Sie nach dem Wert des Radius des Beschriftungskreises

Lösung: Um den Radius des beschrifteten Bereichs zu ermitteln, ermitteln wir den halben Umfang:

Wenn wir den Berechnungsmechanismus kennen, ermitteln wir den folgenden Wert. Dazu benötigen Sie die Länge jeder Seite (abhängig von der Bedingung) sowie die Hälfte des Umfangs.

Daraus folgt, dass der gewünschte Radius 3,63 cm beträgt. Je nach Bedingung sind alle Seiten gleich, dann ist der gewünschte Radius gleich:

Vorausgesetzt, dass das Polygon gleichseitig ist (z. B. i \u003d h \u003d 10 cm, j \u003d 8 cm), ist der Durchmesser des am Punkt K zentrierten inneren Kreises gleich:

Unter der Bedingung des Problems kann ein Dreieck mit einem Winkel von 90 ° angegeben werden. In diesem Fall muss die Formel nicht gespeichert werden. Die Hypotenuse des Dreiecks entspricht dem Durchmesser. Genauer sieht es so aus:

Wichtig!Wenn der interne Radius gesucht werden soll, empfehlen wir nicht, die Werte der Sinus- und Cosinuswerte der Winkel zu berechnen, deren Tabellenwert nicht genau bekannt ist. Wenn Sie die Länge sonst nicht kennen, versuchen Sie nicht, den Wert unter der Wurzel herauszuziehen. In 40% der Aufgaben ist der resultierende Wert transzendental (d. H. Unendlich), und die Kommission zählt die Antwort möglicherweise nicht (auch wenn sie korrekt ist), da sie ungenau oder falsch dargestellt ist. Achten Sie besonders darauf, wie die Formel für den Radius des umschriebenen Kreises eines Dreiecks in Abhängigkeit von den vorgeschlagenen Daten geändert werden kann. Mit solchen „Lücken“ können Sie das Szenario zur Lösung des Problems im Voraus „sehen“ und die wirtschaftlichste Lösung auswählen.

Radius des inneren Kreises und der Fläche

Nur zur Berechnung der Fläche eines in einen Kreis eingeschriebenen Dreiecks der Radius und die Länge der Seiten des Polygons:

Wenn der Wert des Radius nicht direkt in der Problembedingung, sondern nur in der Fläche angegeben wird, wird die angegebene Flächenformel folgendermaßen umgewandelt:

Betrachten Sie die Aktion der letzten Formel an einem genaueren Beispiel. Angenommen, es ist ein Dreieck gegeben, in das die Umgebung eingeschrieben ist. Die Fläche der Nachbarschaft beträgt 4π, und die Seiten betragen 4, 5 bzw. 6 cm. Wir berechnen die Fläche des gegebenen Polygons durch Berechnung des halben Umfangs.

Mit dem obigen Algorithmus berechnen wir die Fläche des Dreiecks durch den Radius des Inkreises:

Aufgrund der Tatsache, dass ein Kreis in ein beliebiges Dreieck eingeschrieben werden kann, nimmt die Anzahl der Variationen beim Auffinden der Fläche erheblich zu. Das heißt Die Suche nach der Fläche eines Dreiecks beinhaltet die obligatorische Kenntnis der Länge jeder Seite sowie den Wert des Radius.

In einem Kreis eingeschriebenes Dreieck Geometrie 7. Grades.

Rechteckige Dreiecke in einem Kreis eingeschrieben

Fazit

Anhand dieser Formeln können wir überprüfen, ob die Komplexität einer Aufgabe mit eingeschriebenen und eingekreisten Kreisen nur aus zusätzlichen Aktionen besteht, um die erforderlichen Werte zu finden. Aufgaben dieser Art erfordern nur ein gründliches Verständnis des Wesens von Formeln sowie der Rationalität ihrer Anwendung. Aus der Praxis der Lösung ergibt sich, dass der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises zukünftig auch in weiteren Geometriethemen vorkommen wird und daher nicht mehr begonnen werden sollte. Andernfalls kann die Entscheidung durch unnötige Schritte und logische Schlussfolgerungen verzögert werden.

Einstiegsniveau

Der umschriebene Kreis. Visueller Leitfaden (2019)

Die erste Frage, die sich stellen kann: Beschrieben - um was?

Eigentlich passiert es manchmal um irgendetwas, aber wir werden über den Kreis sprechen, der um das Dreieck herum umschrieben ist (manchmal sagen sie auch "über"). Was ist das

Und nun stellen Sie sich eine erstaunliche Tatsache vor:

Warum ist diese Tatsache erstaunlich?

Dreiecke sind aber anders!

Und für alle gibt es einen Kreis, der vorbeizieht durch alle drei Gipfelder umschriebene Kreis.

Sie können einen Beweis für diese erstaunliche Tatsache in den folgenden Ebenen der Theorie finden, aber hier stellen wir nur fest, dass es keinen Kreis mehr gibt, der durch vier Eckpunkte verläuft, wenn wir zum Beispiel ein Viereck nehmen. Nehmen wir an, ein Parallelogramm ist ein ausgezeichnetes Viereck, aber es gibt keinen Kreis, der durch alle vier Eckpunkte verläuft!

Und es gibt nur für das Rechteck:

Bitte schön, und jedes dreieck hat immer einen eigenen umschriebenen kreis!  Und es ist immer ganz einfach, den Mittelpunkt dieses Kreises zu finden.

Weißt du was ist? mitte senkrecht?

Nun wollen wir sehen, was passiert, wenn wir uns drei ganze mittlere Senkrechte an den Seiten des Dreiecks ansehen.

Es stellt sich heraus (und dies muss nur bewiesen werden, obwohl wir es nicht wollen), dass   Alle drei Senkrechten schneiden sich an einem Punkt.  Schauen Sie sich die Figur an - alle drei mittleren Lotachsen schneiden sich an einem Punkt.

Denken Sie, dass der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises immer innerhalb des Dreiecks liegt? Stellen Sie sich vor - nicht immer!

Aber wenn   spitzwinklig, dann - innen:

Was tun mit einem rechtwinkligen Dreieck?

Ja, mit einem zusätzlichen Bonus:

Da es sich um den Radius des umschriebenen Kreises handelt: Was bedeutet das für ein beliebiges Dreieck? Und auf diese Frage gibt es eine Antwort: die sogenannte.

Nämlich:

Na und natürlich

1. Die Existenz und der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises

Dann stellt sich die Frage: Gibt es einen solchen Kreis für ein Dreieck? Es stellt sich heraus, dass ja, für alle. Außerdem formulieren wir jetzt einen Satz, der auch die Frage beantwortet, wo sich der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises befindet.

Sieh so aus:

Lassen Sie uns den Mut fassen und diesen Satz beweisen. Wenn Sie das Thema "" bereits gelesen haben und verstanden haben, warum sich drei Winkelhalbierende an einem Punkt schneiden, wird es für Sie einfacher, aber wenn Sie es nicht gelesen haben, machen Sie sich keine Sorgen: Jetzt werden wir es herausfinden.

Der Beweis wird unter Verwendung des Konzepts eines geometrischen Punktorts (ТТТ) durchgeführt.

Sind beispielsweise viele Kugeln ein „geometrischer Ort“ für runde Gegenstände? Nein, natürlich, weil es runde ... Wassermelonen gibt. Gibt es eine Menge Leute, "geometrische Orte", die sprechen können? Nein, weil es Babys gibt, die nicht sprechen können. Im Leben ist es im Allgemeinen schwierig, ein Beispiel für einen echten „geometrischen Punktort“ zu finden. In der Geometrie ist es einfacher. Hier ist zum Beispiel genau das, was wir brauchen:

Hier ist die Menge die mittlere Senkrechte, und die Eigenschaft "" soll "von den Enden des Segments gleich weit entfernt sein (Punkt)."

Probieren Sie es aus? Sie müssen also auf zwei Dinge achten:

1. Jeder Punkt, der von den Enden des Segments gleich weit entfernt ist, befindet sich in der Mitte senkrecht dazu.

Verbinden Sie mit und C. Dann ist die Linie der Median und die Höhe in. Also - gleichschenklig - stellen Sie sicher, dass jeder Punkt, der auf der mittleren Senkrechten liegt, gleich weit von den Punkten und entfernt ist.

Nimm die Mitte und verbinde und. Das Ergebnis war ein Median. Aber - je nach Bedingung gleichschenklig, nicht nur der Median, sondern auch die Höhe, das heißt die mittlere Senkrechte. Der Punkt liegt also genau auf der mittleren Senkrechten.

Das ist alles! Vollständig überprüft, dass die Mitte senkrecht zum Segment ist der geometrische Ort der Punkte in gleichem Abstand von den Enden des Segments.

Das ist alles gut, aber haben wir den umschriebenen Kreis vergessen? Überhaupt nicht, wir haben uns nur ein "Sprungbrett für einen Angriff" vorbereitet.

Betrachten Sie das Dreieck. Zeichnen Sie zwei mittlere Senkrechte und etwa zu den Segmenten und. Sie kreuzen sich an einem Punkt, den wir anrufen werden.

Und jetzt aufgepasst!

Der Punkt liegt auf der mittleren Senkrechten;
  Der Punkt liegt auf der mittleren Senkrechten.
  Und das heißt, und.

Ab hier folgen gleich mehrere Dinge:

Erstens muss der Punkt in der dritten Mitte senkrecht zum Segment liegen.

Das heißt, die mittlere Senkrechte muss ebenfalls durch den Punkt verlaufen, und alle drei mittleren Senkrechten schneiden sich an einem Punkt.

Zweitens: Wenn wir einen Kreis zeichnen, der auf einem Punkt und einem Radius zentriert ist, geht dieser Kreis auch durch den Punkt und durch den Punkt, das heißt, es ist ein umschriebener Kreis. Es existiert also bereits, dass der Schnittpunkt der drei mittleren Senkrechten der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises für ein beliebiges Dreieck ist.

Und das letzte: über die Einzigartigkeit. Es ist (fast) klar, dass der Punkt auf einzigartige Weise erhalten werden kann, daher ist der Kreis auch einzigartig. Nun, "fast" - überlassen wir es Ihnen zu überlegen. Das hat der Satz bewiesen. Sie können "Hurra!"

Und wenn das Problem darin besteht, den Radius des umschriebenen Kreises zu finden? Oder umgekehrt, der Radius ist vorgegeben, aber muss noch etwas gefunden werden? Gibt es eine Formel, die den Radius des umschriebenen Kreises mit anderen Elementen des Dreiecks verbindet?

Beachten Sie: Der Sinussatz sagt das aus um den Radius des umschriebenen Kreises zu finden, benötigen Sie eine Seite (beliebig!) und den entgegengesetzten Winkel. Und alle!

3. Mittelpunkt des Kreises - innen oder außen

Und jetzt lautet die Frage: Kann der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises außerhalb des Dreiecks liegen?
  Antwort: Selbst wenn Sie können. Darüber hinaus geschieht dies immer in einem stumpfen Dreieck.

Und überhaupt:

BESCHREIBUNG DES KREISES. KURZE ÜBER DAS HAUPTGERÄT

1. Der in der Nähe des Dreiecks beschriebene Kreis

Dies ist der Kreis, der durch alle drei Eckpunkte dieses Dreiecks verläuft.

2. Die Existenz und der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, dann sind Sie sehr cool.

Denn nur 5% der Menschen können etwas alleine meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann haben Sie diese 5% erreicht!

Nun das Wichtigste.

Sie haben eine Theorie zu diesem Thema entwickelt. Und wieder, das ... es ist einfach super! Sie sind bereits besser als die große Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

Wofür?

Für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung, für die Zulassung zum Institut im Rahmen des Budgets und - WICHTIGSTEN - auf Lebenszeit.

Ich werde Sie von nichts überzeugen, nur eins sagen ...

Menschen, die eine gute Ausbildung erhalten, verdienen viel mehr als diejenigen, die dies nicht getan haben. Das ist Statistik.

Aber das ist nicht die Hauptsache.

Die Hauptsache ist, dass sie glücklicher sind (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sie viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben heller wird? Weiß nicht...

Aber denken Sie selbst ...

Was wird benötigt, um sicher besser als andere im USE zu sein und letztendlich ... glücklicher zu sein?

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Definition 2

Ein Polygon, das die Bedingung von Definition 1 erfüllt, wird als um einen Kreis herum beschrieben.

Abbildung 1. Beschrifteter Kreis

  Satz 1 (auf einem Kreis, der in ein Dreieck eingeschrieben ist)

Satz 1

In jedem Dreieck können Sie einen Kreis und darüber hinaus nur einen Kreis eingeben.

Beweis.

Betrachten Sie das Dreieck $ ABC $. Wir zeichnen darin Halbierungslinien, die sich am Punkt $ O $ schneiden, und zeichnen von dort Senkrechte zu den Seiten des Dreiecks (Abb. 2).

Abbildung 2. Abbildung von Satz 1

Existenz: Zeichnen Sie einen Kreis, der bei $ O $ und Radius $ OK zentriert ist. \\ $ Da der Punkt $ O $ auf drei Winkelhalbierenden liegt, ist er von den Seiten des Dreiecks $ ABC $ gleich weit entfernt. Das heißt, $ OM \u003d OK \u003d OL $. Daher durchläuft der konstruierte Kreis auch die Punkte $ M \\ und \\ L $. Da $ OM, OK \\ und \\ OL $ senkrecht zu den Seiten des Dreiecks stehen, ist der konstruierte Kreis tangential zu allen drei Seiten des Dreiecks. Daher kann aufgrund der Beliebigkeit des Dreiecks ein Kreis in jedes Dreieck eingeschrieben werden.

Eindeutigkeit: Nehmen wir an, dass im Dreieck $ ABC $ ein weiterer Kreis mit dem Mittelpunkt am Punkt $ O "$ eingeschrieben werden kann. Sein Mittelpunkt ist von den Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt und stimmt daher mit dem Punkt $ O $ überein und hat einen Radius von der Länge von $ OK $ Aber dann wird dieser Kreis mit dem ersten zusammenfallen.

Der Satz ist bewiesen.

Folgerung 1:   Der Mittelpunkt des in das Dreieck eingeschriebenen Kreises liegt am Schnittpunkt seiner Winkelhalbierenden.

Hier einige weitere Fakten zum Konzept eines Inkreises:

Nicht jedes Viereck kann in einen Kreis passen.

In jedem beschriebenen Viereck sind die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich.

Wenn die Summen der gegenüberliegenden Seiten des konvexen Vierecks gleich sind, kann ein Kreis darin eingeschrieben werden.

Definition 3

Liegen alle Eckpunkte eines Polygons auf einem Kreis, so heißt der Kreis um das Polygon herum umschrieben (Abb. 3).

Definition 4

Ein Polygon, das die Bedingung von Definition 2 erfüllt, wird als in einen Kreis eingeschrieben bezeichnet.

Abbildung 3. Der umschriebene Kreis

  Satz 2 (auf einem Kreis um ein Dreieck)

Satz 2

In der Nähe eines Dreiecks können Sie einen Kreis und darüber hinaus nur einen beschreiben.

Beweis.

Betrachten Sie das Dreieck $ ABC $. Wir zeichnen darin die mittleren Loten, die sich am Punkt $ O $ schneiden, und verbinden sie mit den Eckpunkten des Dreiecks (Abb. 4).

Abbildung 4. Abbildung von Satz 2

Existenz: Konstruieren Sie einen Kreis, der bei $ O $ und dem Radius $ OC $ zentriert ist. Der Punkt $ O $ ist gleich weit von den Eckpunkten des Dreiecks entfernt, dh $ OA \u003d OB \u003d OC $. Folglich durchläuft der konstruierte Kreis alle Eckpunkte des gegebenen Dreiecks, was bedeutet, dass er um dieses Dreieck herum umschrieben ist.

Eindeutigkeit: Nehmen wir an, dass um das Dreieck $ ABC $ ein weiterer Kreis mit dem Mittelpunkt am Punkt $ O "$ beschrieben werden kann. Sein Mittelpunkt ist gleich weit von den Eckpunkten des Dreiecks entfernt und stimmt daher mit dem Punkt $ O $ überein und hat einen Radius, der der Länge von $ OC entspricht. $ Aber dann fällt dieser Kreis mit dem ersten zusammen.

Der Satz ist bewiesen.

Folgerung 1:   Der Mittelpunkt des Kreises, der um das Dreieck herum umschrieben ist, fällt mit dem Schnittpunkt seiner mittleren Senkrechten zusammen.

Hier einige Fakten zum Konzept eines umschriebenen Kreises:

Um ein Viereck ist es nicht immer möglich, einen Kreis zu beschreiben.

In jedem beschrifteten Viereck ist die Summe der entgegengesetzten Winkel $ (180) ^ 0 $.

Wenn die Summe der gegenüberliegenden Ecken des Vierecks $ (180) ^ 0 $ ist, kann ein Kreis um ihn herum beschrieben werden.

  Ein Beispiel für ein Problem mit den Begriffen eines eingeschriebenen und eines umschriebenen Kreises

Beispiel 1

In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt die Basis 8 cm, die Seite 5 cm. Ermitteln Sie den Radius des Beschriftungskreises.

Lösung.

Betrachten Sie das Dreieck $ ABC $. Durch Korollar 1 wissen wir, dass der Mittelpunkt des Inkreises am Schnittpunkt der Winkelhalbierenden liegt. Wir zeichnen die Winkelhalbierenden $ AK $ und $ BM $, die sich am Punkt $ O $ schneiden. Zeichne den senkrechten $ OH $ vom Punkt $ O $ zur Seite $ BC $. Lassen Sie uns ein Bild zeichnen:

Abbildung 5

Da das Dreieck gleichschenklig ist, ist $ BM $ sowohl der Median als auch die Höhe. Nach dem pythagoreischen Theorem $ (BM) ^ 2 \u003d (BC) ^ 2- (MC) ^ 2 ist \\ BM \u003d \\ sqrt ((BC) ^ 2- \\ frac ((AC) ^ 2) (4)) \u003d \\ sqrt (25-16) \u003d \\ sqrt (9) \u003d $ 3. $ OM \u003d OH \u003d r $ ist der gewünschte Radius des Inkreises. Da $ MC $ und $ CH $ Segmente sich überschneidender Tangenten sind, haben wir nach dem Satz über sich überschneidende Tangenten $ CH \u003d MC \u003d 4 \\ cm $. Daher ist $ BH \u003d 5-4 \u003d 1 \\ cm $. $ BO \u003d 3-r $. Aus dem Dreieck $ OHB $ erhalten wir nach dem Satz von Pythagoras:

  \\ [(((3-r)) ^ 2 \u003d r ^ 2 + 1 \\] \\ \\ \\

Die Antwort lautet:  $ \\ frac (4) (3) $.