Finden Sie Funktionslücken. "Funktion erhöhen und verringern"

Funktion aufgerufen in dem Intervall erhöhen
wenn für irgendwelche Punkte

ungleichheit gilt
(Ein größerer Wert des Arguments entspricht einem größeren Wert der Funktion.)

Ebenso die Funktion
angerufen in dem Intervall abnehmend
wenn für irgendwelche Punkte
von diesem Intervall an, wenn die Bedingung
ungleichheit gilt
(Ein größerer Wert des Arguments entspricht einem niedrigeren Wert der Funktion).

In dem Intervall erhöhen
und in dem Intervall abnehmend
funktionen werden aufgerufen monoton auf das Intervall
.

Wenn Sie die Ableitung einer differenzierbaren Funktion kennen, können Sie die Intervalle ihrer Monotonie ermitteln.

Theorem (ausreichende Bedingung für die Erhöhung der Funktion).
die Funktionen
positiv auf das Intervall
dann die funktion
monoton steigt in diesem Intervall.

Theorem (ausreichende Bedingung für eine Abnahme einer Funktion). Ist die Ableitung nach dem Intervall differenzierbar?
die Funktionen
negativ auf das Intervall
dann die funktion
in diesem Intervall eintönig abnimmt.

Geometrische Bedeutung dieser Sätze besteht darin, dass sich in den Intervallen abnehmender Funktionen die Tangenten an den Graphen der Funktion mit der Achse bilden
stumpfe Winkel und in Intervallen der Zunahme - scharf (siehe Abb. 1).

Theorem (eine notwendige Bedingung für die Monotonie einer Funktion).Ist die Funktion
differenzierbar und
(
) auf das Intervall
, dann nimmt sie in diesem Intervall nicht ab (nimmt nicht zu).

Algorithmus zum Auffinden von Intervallen der Monotonie einer Funktion
:

Ein Beispiel. Finden Sie Intervalle der Monotonie einer Funktion
.

Punkt angerufen funktionsmaximalpunkt

so dass für alle die Bedingung erfüllen
, die Ungleichung
.

Maximale Funktion Ist der Wert der Funktion am Maximalpunkt.

Abbildung 2 zeigt ein Beispiel eines Graphen einer Funktion mit Maxima an Punkten
.

Punkt angerufen funktionsmindestpunkt
wenn eine Nummer existiert
so dass für alle die Bedingung erfüllen
, die Ungleichung
. Naris. 2 Funktion hat an einem Punkt ein Minimum .

Für Höhen und Tiefen gibt es einen gemeinsamen Namen - extreme punkte . Dementsprechend werden die Maximal- und Minimalpunkte genannt extrempunkte .

Eine auf einem Segment definierte Funktion kann nur an Punkten innerhalb dieses Segments ein Maximum und ein Minimum haben. Es ist auch unmöglich, das Maximum und das Minimum einer Funktion mit ihrem größten und kleinsten Wert in einem Segment zu verwechseln - dies sind grundlegend unterschiedliche Konzepte.

An den Extrempunkten hat das Derivat besondere Eigenschaften.

Theorem (eine notwendige Bedingung für ein Extremum). Lassen Sie an einem Punkt funktion
hat ein extremum. Dann auch nicht
existiert auch nicht
.

Diejenigen Punkte aus dem Bereich der Funktion, bei denen
existiert nicht oder in welchem
genannt werden kritische Funktionspunkte .

Somit liegen die Extrempunkte unter den kritischen Punkten. Im Allgemeinen muss ein kritischer Punkt kein Extrempunkt sein. Wenn die Ableitung der Funktion an einem Punkt gleich Null ist, bedeutet dies nicht, dass die Funktion an diesem Punkt ein Extremum aufweist.

Ein Beispiel. Überlegen Sie
. Wir haben
aber der Punkt
ist kein Extrempunkt (siehe Abb. 3).

Theorem (erste hinreichende Bedingung für ein Extremum). Lassen Sie an einem Punkt funktion
kontinuierlich und abgeleitet
beim Überqueren eines Punktes wechselt das Vorzeichen. Dann - Extrempunkt: Maximum, wenn sich das Vorzeichen von "+" nach "-" ändert, und Minimum, wenn sich das Vorzeichen von "-" nach "+" ändert.

Wenn beim Überqueren eines Punktes ableitung wechselt dann nicht das Vorzeichen um es gibt kein Extrem.

Theorem (zweite hinreichende Bedingung für ein Extremum). Lassen Sie an einem Punkt ableitung einer doppelt differenzierbaren Funktion
gleich Null (
), und seine zweite Ableitung ist zu diesem Zeitpunkt ungleich Null (
) und ist in einer gewissen Nachbarschaft des Punktes stetig . Dann - Extrempunkt
; bei
dies ist der Mindestpunkt, und wann
dies ist der maximale Punkt.

Der Algorithmus zum Finden von Extrema einer Funktion unter Verwendung der ersten ausreichenden Bedingung für ein Extremum:

Finden Sie das Derivat.

Finde kritische Punkte einer Funktion.

Untersuchen Sie das Vorzeichen der Ableitung links und rechts von jedem kritischen Punkt und schließen Sie daraus, dass es Extreme gibt.

Finden Sie die Extremwerte der Funktion.

Der Algorithmus zum Ermitteln der Extrema einer Funktion unter Verwendung der zweiten ausreichenden Bedingung für ein Extremum:

Ein Beispiel. Finden Sie Funktion extrema
.

1. Ermitteln Sie den Funktionsumfang

2. Ermitteln Sie die Ableitung der Funktion

3. Setzen Sie die Ableitung auf Null und finden Sie die kritischen Punkte der Funktion

4. Markieren Sie kritische Punkte im Definitionsbereich

5. Berechnen Sie das Vorzeichen der Ableitung in jedem der erhaltenen Intervalle

6. Ermitteln Sie das Verhalten der Funktion in jedem Intervall.

Beispiel: Ermitteln Sie die Intervalle für das Erhöhen und Verringern von Funktionenf(x) = und die Anzahl der Nullen dieser Funktion im Intervall.

Lösung:

1. D ( f) \u003d R

2. f"(x) =

D ( f") \u003d D ( f) \u003d R

3. Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion, indem Sie die Gleichung lösen f"(x) = 0.

x(x – 10) = 0

kritische Funktionspunkte x \u003d 0 und x = 10.

4. Definieren Sie das Vorzeichen der Ableitung.

f"(x) + – +

f(x) 0 10 x

in den Intervallen (-∞; 0) und (10; + ∞) ist die Ableitung der Funktion an den Punkten positiv x \u003d 0 und x \u003d 10 funktionieren f(x) ist stetig, daher nimmt diese Funktion in den Intervallen zu: (-∞; 0] ;.

Wir definieren das Vorzeichen der Werte der Funktion an den Enden des Segments.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10) < 0.

Da die Funktion mit dem Intervall abnimmt und sich das Vorzeichen der Werte der Funktion ändert, ist in diesem Intervall eine Null der Funktion.

Antwort: Die Funktion f (x) nimmt in den Intervallen zu: (-∞; 0] ;;

in dem Intervall hat die Funktion eine Funktion Null.

2. Funktion Extrempunkte: Maximal- und Minimalpunkte. Notwendige und ausreichende Voraussetzungen für die Existenz eines Extremums einer Funktion. Funktionsregelforschung am Extremum .

Definition 1:Punkte, an denen die Ableitung gleich Null ist, werden als kritisch oder stationär bezeichnet.

Definition 2. Ein Punkt wird als Minimal- (Maximal-) Punkt der Funktion bezeichnet, wenn der Wert der Funktion an diesem Punkt kleiner (größer) als die nächste Funktion ist.

Es ist zu beachten, dass das Maximum und das Minimum in diesem Fall lokal sind.

In Abb. 1. Lokale Maxima und Minima werden angezeigt.

Die Maximal- und Minimalfunktionen werden durch einen gemeinsamen Namen vereint: Extrem einer Funktion.

Satz 1 (ein notwendiges Zeichen für die Existenz eines Extremums einer Funktion). Wenn eine an einem Punkt differenzierbare Funktion an diesem Punkt ein Maximum oder ein Minimum hat, dann verschwindet ihre Ableitung bei ,.

Satz 2 (ein ausreichendes Zeichen für die Existenz eines Extremums einer Funktion). Wenn eine stetige Funktion an allen Punkten eines bestimmten Intervalls eine Ableitung hat, die einen kritischen Punkt enthält (mit Ausnahme dieses Punktes selbst), und wenn die Ableitung beim Übergeben des Arguments von links nach rechts durch den kritischen Punkt das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, hat die Funktion an dieser Stelle ein Maximum und beim Übergeben des Vorzeichens von Minus nach Plus ein Minimum.

Sehr wichtige Informationen über das Verhalten der Funktion liefern die Erhöhungs- und Verringerungsintervalle. Ihre Entdeckung ist Teil des Prozesses der Erforschung einer Funktion und der Darstellung. Außerdem wird den Extrempunkten, an denen eine Änderung von zunehmendem zu abnehmendem oder von abnehmendem zu zunehmendem Wert auftritt, besondere Aufmerksamkeit gewidmet, wenn der größte und kleinste Wert einer Funktion in einem bestimmten Intervall gefunden wird.

In diesem Artikel geben wir die notwendigen Definitionen an, formulieren ein ausreichendes Kriterium für die Vergrößerung und Verkleinerung des Intervalls und ausreichende Bedingungen für die Existenz eines Extremums und wenden diese ganze Theorie auf die Lösung von Beispielen und Problemen an.

Seitennavigation.

Die Zunahme und Abnahme der Funktion im Intervall.

Definition der zunehmenden Funktion.

Die Funktion y \u003d f (x) erhöht sich mit dem Intervall X, falls und Ungleichheit gilt. Mit anderen Worten entspricht ein größerer Wert des Arguments einem größeren Wert der Funktion.

Definition einer abnehmenden Funktion.

Die Funktion y \u003d f (x) nimmt mit dem Intervall X ab, falls und Ungleichheit gilt . Mit anderen Worten entspricht ein größerer Wert des Arguments einem niedrigeren Wert der Funktion.

HINWEIS: Wenn die Funktion am Ende des Intervalls der Erhöhung oder Verringerung (a; b) definiert und stetig ist, dh mit x \u003d a und x \u003d b, werden diese Punkte in das Intervall der Erhöhung oder Verringerung einbezogen. Dies widerspricht nicht den Definitionen von zunehmenden und abnehmenden Funktionen im Intervall X.

Zum Beispiel wissen wir aus den Eigenschaften der elementaren Grundfunktionen, dass y \u003d sinx für alle reellen Werte des Arguments definiert und stetig ist. Daher können wir aus einer Zunahme der Sinusfunktion im Intervall eine Aussage über die Zunahme des Intervalls machen.

Extrempunkte, Extrema der Funktion.

Punkt angerufen maximaler Punkt Funktion y \u003d f (x), wenn für alle x aus ihrer Nachbarschaft die Ungleichung gilt. Der Wert der Funktion am Maximalpunkt wird aufgerufen maximale Funktion und bezeichnen.

Punkt angerufen mindestpunkt Funktion y \u003d f (x), wenn für alle x aus ihrer Nachbarschaft die Ungleichung gilt. Der Wert der Funktion am Minimalpunkt wird aufgerufen minimale Funktion und bezeichnen.

Punkte bedeuten für eine Nachbarschaft das Intervall , wo ist eine ausreichend kleine positive Zahl.

Die minimalen und maximalen Punkte werden aufgerufen extrempunkteund die Werte der Funktion, die den Punkten des Extremums entsprechen, werden aufgerufen extrema-Funktionen.

Verwechseln Sie nicht die Extrema der Funktion mit dem größten und kleinsten Wert der Funktion.

In der ersten Figur wird der größte Wert der Funktion in dem Intervall am Maximalpunkt erreicht und ist gleich dem Maximum der Funktion, und in der zweiten Figur wird der größte Wert der Funktion am Punkt x \u003d b erreicht, der nicht der Maximalpunkt ist.

Ausreichende Bedingungen zum Erhöhen und Verringern der Funktionen.

Basierend auf ausreichenden Bedingungen (Anzeichen) der Zunahme und Abnahme der Funktion werden die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion gefunden.

Hier ist der Wortlaut der Zeichen der zunehmenden und abnehmenden Funktion im Intervall:

wenn die Ableitung der Funktion y \u003d f (x) für irgendein x aus dem Intervall X positiv ist, dann steigt die Funktion auf X an;
ist die Ableitung der Funktion y \u003d f (x) für ein beliebiges x aus dem Intervall X negativ, so nimmt die Funktion auf X ab.

Um die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion zu bestimmen, ist es daher notwendig:

Betrachten Sie das Beispiel, in dem Sie die Intervalle zum Erhöhen und Verringern von Funktionen ermitteln, um den Algorithmus zu verdeutlichen.

Ein Beispiel.

Bestimmen Sie die Intervalle der zunehmenden und abnehmenden Funktionen.

Lösung.

Im ersten Schritt müssen Sie den Funktionsumfang ermitteln. In unserem Beispiel sollte der Ausdruck im Nenner daher nicht verschwinden.

Wir fahren fort, um die Ableitungsfunktion zu finden:

Um die Intervalle zunehmender und abnehmender Funktionen nach einem ausreichenden Kriterium zu bestimmen, lösen wir Ungleichungen im Definitionsbereich. Wir verwenden eine Verallgemeinerung der Intervallmethode. Die einzig gültige Wurzel des Zählers ist x \u003d 2 und der Nenner verschwindet bei x \u003d 0. Diese Punkte unterteilen den Bereich in Intervalle, in denen die Ableitung der Funktion ihr Vorzeichen behält. Wir markieren diese Punkte auf der Zahlenlinie. Die Plus- und Minuszeichen bezeichnen willkürlich die Intervalle, in denen die Ableitung positiv oder negativ ist. Die Pfeile unten zeigen schematisch die Zunahme oder Abnahme der Funktion im entsprechenden Intervall.

Auf diese Weise, und .

Auf den Punkt x \u003d 2, die Funktion ist definiert und stetig, daher sollte sie sowohl zur Zunahme als auch zur Abnahme addiert werden. Am Punkt x \u003d 0 ist die Funktion nicht definiert, daher ist dieser Punkt nicht in den gewünschten Intervallen enthalten.

Wir geben eine graphische Darstellung der Funktion zum Vergleich der damit erzielten Ergebnisse.

Die Antwort lautet:

Die Funktion erhöht sich wenn , verringert sich mit dem Intervall (0; 2].

Ausreichende Bedingungen für das Extrem einer Funktion.

Um die Maxima und Minima der Funktion zu finden, können Sie natürlich jedes der drei Zeichen des Extremums verwenden, wenn die Funktion ihre Bedingungen erfüllt. Das gebräuchlichste und bequemste ist das erste.

Die erste hinreichende Bedingung für ein Extrem.

Die Funktion y \u003d f (x) sei in der Nachbarschaft eines Punktes differenzierbar und am Punkt selbst stetig.

Mit anderen Worten:

Algorithmus zum Finden von Extrempunkten durch das erste Vorzeichen des Extremums einer Funktion.

Wir finden den Definitionsbereich der Funktion.
Wir finden die Ableitung der Funktion im Definitionsbereich.
Wir bestimmen die Nullen des Zählers, die Nullen des Nenners der Ableitung und die Punkte des Bereichs, in dem die Ableitung nicht existiert (alle aufgelisteten Punkte werden genannt) mögliche ExtrempunkteDurchlaufen diese Punkte, kann die Ableitung nur ihr Vorzeichen ändern.
Diese Punkte unterteilen den Funktionsbereich in die Intervalle, in denen die Ableitung das Vorzeichen behält. Wir bestimmen die Vorzeichen der Ableitung für jedes der Intervalle (zum Beispiel, indem wir den Wert der Ableitung einer Funktion an einem beliebigen Punkt in einem bestimmten Intervall berechnen).
Wir wählen die Punkte, an denen die Funktion stetig ist und durch die die Ableitung das Vorzeichen wechselt - sie sind die Extrempunkte.

Zu viele Wörter, wir betrachten einige Beispiele zum Finden von Punkten des Extremums und der Extrema einer Funktion unter Verwendung der ersten ausreichenden Bedingung für das Extremum der Funktion.

Ein Beispiel.

Finden Sie die Extrema der Funktion.

Lösung.

Die Domäne der Funktion ist die gesamte Menge reeller Zahlen mit Ausnahme von x \u003d 2.

Wir finden die Ableitung:

Die Nullen des Zählers sind Punkte x \u003d -1 und x \u003d 5, der Nenner verschwindet bei x \u003d 2. Markieren Sie diese Punkte auf der numerischen Achse.

Wir bestimmen die Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall, dazu berechnen wir den Wert der Ableitung an jedem Punkt jedes Intervalls, zum Beispiel an den Punkten x \u003d -2, x \u003d 0, x \u003d 3 und x \u003d 6.

Daher ist die Ableitung für das Intervall positiv (in der Abbildung wird dieses Intervall mit einem Pluszeichen überschrieben). Ähnlich

Daher setzen wir ein Minus über das zweite Intervall, ein Minus über das dritte und ein Plus über das vierte.

Es bleibt zu entscheiden, an welchen Punkten die Funktion stetig ist und ihre Ableitung das Vorzeichen ändert. Das sind die extremen Punkte.

Auf den Punkt x \u003d -1 Die Funktion ist stetig und die Ableitung wechselt das Vorzeichen von Plus nach Minus. Entsprechend dem ersten Vorzeichen des Extremums ist x \u003d -1 der maximale Punkt, das Maximum der Funktion entspricht ihm .

Auf den Punkt x \u003d 5 die Funktion ist stetig und die Ableitung wechselt das Vorzeichen von minus nach plus, daher ist x \u003d -1 der Minimalpunkt, das Minimum der Funktion entspricht ihm .

Grafische Darstellung.

Die Antwort lautet:

ACHTUNG: Das erste ausreichende Anzeichen eines Extremums erfordert keine Differenzierbarkeit der Funktion am eigentlichen Punkt.

Ein Beispiel.

Finden Sie die Extrempunkte und Extrema der Funktion .

Lösung.

Die Domäne einer Funktion ist die ganze Menge reeller Zahlen. Die Funktion selbst kann wie folgt geschrieben werden:

Finden Sie die Ableitung der Funktion:

Auf den Punkt x \u003d 0, die Ableitung existiert nicht, da die Werte der einseitigen Grenzen nicht übereinstimmen, wenn das Argument gegen Null geht:

Gleichzeitig ist die ursprüngliche Funktion bei x \u003d 0 stetig (siehe Abschnitt über die Prüfung einer Funktion auf Kontinuität):

Ermitteln Sie den Wert des Arguments, bei dem die Ableitung verschwindet:

Wir markieren alle auf der Zahlenlinie erhaltenen Punkte und bestimmen das Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall. Dazu berechnen wir die Werte der Ableitung an beliebigen Punkten jedes Intervalls, z x \u003d -6, x \u003d -4, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 4, x \u003d 6.

Also,

Entsprechend dem ersten Extremumzeichen sind die Mindestpunkte sind die maximalen Punkte .

Wir berechnen die entsprechenden Funktionsminima

Wir berechnen die entsprechenden Funktionsmaxima

Grafische Darstellung.

Die Antwort lautet:

Das zweite Zeichen des Extremums der Funktion.

Wie Sie sehen, setzt dieses Vorzeichen des Extremums der Funktion die Existenz einer Ableitung mindestens bis zur zweiten Ordnung zu einem bestimmten Zeitpunkt voraus.

Funktion erhöhen und verringern

funktion y = f(x) wird auf dem Segment steigend genannt [ a, b] wenn für ein Paar von Punkten x und x ", und ≤ x die Ungleichung f(x) ≤ f (x ") und streng steigend - wenn die Ungleichung f (x) f(x ") Abnahme und strikte Abnahme einer Funktion werden auf ähnliche Weise definiert. Zum Beispiel die Funktion bei = x 2 (fig. , a) im Segment stark zunimmt und

(fig. , b) nimmt in diesem Segment strikt ab. Zunehmende Funktionen sind mit gekennzeichnet f (x) und abnehmend f (x) ↓. Um differenzierbar zu funktionieren f (x) nahm im Segment zu [ aber, b] ist es notwendig und ausreichend, dass seine Ableitung f"(x) war am [nicht negativ aber, b].

Zusammen mit der Zunahme und Abnahme der Funktion auf dem Segment wird die Zunahme und Abnahme der Funktion an dem Punkt berücksichtigt. Funktion bei = f (x) wird an dieser Stelle als ansteigend bezeichnet x 0, wenn es ein solches Intervall (α, β) gibt, das den Punkt enthält x 0 das für jeden Punkt x aus (α, β), x\u003e x 0, die Ungleichung f (x 0) ≤ f (x) und für jeden Punkt x aus (α, β), x 0, die Ungleichung f (x) ≤ f (x 0). Ebenso eine strikte Erhöhung der Funktion an der Stelle x 0. Wenn f"(x 0) > 0, dann die Funktion f(x) nimmt an dieser Stelle strikt zu x 0. Wenn f (x) erhöht sich an jedem Punkt des Intervalls ( a, b), dann erhöht es sich in diesem Intervall.

S. B. Stechkin.

Große sowjetische Enzyklopädie. - M .: Sowjetische Enzyklopädie. 1969-1978 .

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Extreme Funktionen

Definition 2

Der Punkt $ x_0 $ wird als Maximalpunkt der Funktion $ f (x) $ bezeichnet, wenn zu diesem Punkt eine Nachbarschaft existiert, so dass für alle $ x $ aus dieser Nachbarschaft die Ungleichung $ f (x) \\ le f (x_0) $ gilt.

Definition 3

Der Punkt $ x_0 $ wird als Maximalpunkt der Funktion $ f (x) $ bezeichnet, wenn es eine Nachbarschaft dieses Punktes gibt, so dass für alle $ x $ aus dieser Nachbarschaft die Ungleichung $ f (x) \\ ge f (x_0) $ gilt.

Das Konzept eines Extremums einer Funktion ist eng mit dem Konzept eines kritischen Punkts einer Funktion verbunden. Wir führen seine Definition ein.

Definition 4

$ x_0 $ heißt der kritische Punkt der Funktion $ f (x) $, wenn:

1) $ x_0 $ ist der interne Punkt der Definitionsdomäne;

2) $ f "\\ left (x_0 \\ right) \u003d 0 $ oder existiert nicht.

Für das Konzept eines Extremums kann man Theoreme auf ausreichende und notwendige Bedingungen für seine Existenz formulieren.

Satz 2

Eine ausreichende Bedingung für das Extrem

Der Punkt $ x_0 $ sei kritisch für die Funktion $ y \u003d f (x) $ und liege im Intervall $ (a, b) $. Angenommen, in jedem Intervall $ \\ left (a, x_0 \\ right) \\ und \\ (x_0, b) $ existiert die Ableitung $ f "(x) $ und behält ein konstantes Vorzeichen bei. Dann:

1) Wenn im Intervall $ (a, x_0) $ die Ableitung $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $ ist und im Intervall $ (x_0, b) $ die Ableitung $ f" \\ left (x \\ right) ist

2) Wenn im Intervall $ (a, x_0) $ die Ableitung $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ ist, dann ist der Punkt $ x_0 $ der minimale Punkt für diese Funktion.

3) Wenn sowohl das Intervall $ (a, x_0) $ als auch das Intervall $ (x_0, b) $ die Ableitung $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $ oder die Ableitung $ f" \\ left (x \\ right)

Dieser Satz ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1. Eine ausreichende Bedingung für die Existenz von Extrema

Beispiele für Extreme (Abb. 2).

Abbildung 2. Beispiele für Extrempunkte

Funktionsregelforschung am Extremum

2) Finden Sie die Ableitung $ f "(x) $;

7) Ziehe mit Theorem 2 Schlussfolgerungen über das Vorhandensein von Maxima und Minima in jedem Intervall.

Funktion erhöhen und verringern

Wir führen zunächst die Definition von zunehmenden und abnehmenden Funktionen ein.

Definition 5

Die Funktion $ y \u003d f (x) $, die für das Intervall $ X $ definiert wurde, wird als Erhöhung bezeichnet, wenn für Punkte $ x_1 x_2 \\ in X $ für $ x_1 gilt

Definition 6

Die im Intervall $ X $ definierte Funktion $ y \u003d f (x) $ heißt absteigend, wenn für $ x_1, x_2 \\ in X $ für $ x_1f (x_2) $.

Untersuchung der Funktion der Zunahme und Abnahme

Mit der Ableitung können Sie die Funktionen zum Erhöhen und Verringern erkunden.

Um die Funktion für Anstiegs- und Abfallintervalle zu untersuchen, ist Folgendes erforderlich:

1) Finden Sie die Domäne der Funktion $ f (x) $;

2) Finden Sie die Ableitung $ f "(x) $;

3) Finde die Punkte, an denen die Gleichheit $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $ gilt;

4) Finde die Punkte, an denen $ f "(x) $ nicht existiert;

5) Markieren Sie auf der Koordinatenlinie alle gefundenen Punkte und den Bereich dieser Funktion;

6) Bestimmen Sie das Vorzeichen der Ableitung $ f "(x) $ für jedes resultierende Intervall;

7) Zum Schluss: In Intervallen, in denen $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ ist, erhöht sich die Funktion.

Beispiele für Aufgaben zur Untersuchung von Funktionen zum Erhöhen, Verringern und zum Vorhandensein von Extrempunkten

Beispiel 1

Untersuchen Sie die Funktion des Erhöhens und Verringerns sowie das Vorhandensein von Maximal- und Minimalpunkten: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

Da die ersten 6 Punkte gleich sind, fangen wir damit an.

1) Geltungsbereich - alle reellen Zahlen;

2) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;

3) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ f "(x) $ existiert an allen Stellen im Definitionsbereich;

5) Koordinatenzeile: