Геометрическое изображение действительных чисел. Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексных чисел Геометрическое изображение множества действительных чисел
Существуют
следующие формы комплексных чисел:
алгебраическая
(x+iy),
тригонометрическая
(r(cos+isin
)),
показательная
(re i
).
Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить на плоскости ХОУ в виде точки А(х,у).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексного переменного z (на плоскости ставим символ z).
Ось ОХ – действительная ось, т.е. на ней лежат действительные числа. ОУ – мнимая ось с мнимыми числами.
x+iy - алгебраическая форма записи комплексного числа.
Выведем тригонометрическую форму записи комплексного числа.
Подставляем полученные значения в начальную форму: , т.е.
r(cos
+isin
)
-
тригонометрическая форма записи
комплексного числа.
Показательная
форма записи комплексного числа следует
из формулы Эйлера:
,тогда
z=re
i
-
показательная форма записи комплексного
числа.
Действия над комплексными числами.
1. сложение. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);
2 . вычитание. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);
3. умножение. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);
4
.
деление. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[
(x2+iy2)*(x2-iy2)]=
Два комплексных числа, которые отличаются только знаком мнимой единицы, т.е. z=x+iy (z=x-iy), называются сопряженными.
Произведение.
z1=r(cos
+isin
);
z2=r(cos
+isin
).
То произведение z1*z2 комплексных чисел находится: , т.е. модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.
;
;
Частное.
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме.
Если комплексные числа заданы в показательной форме.
Возведение в степень.
1. Комплексное число задано в алгебраической форме.
z=x+iy, то z n находим по формуле бинома Ньютона :
-
число сочетаний из n
элементов по m
(число способов, сколькими можно взять
n
элементов
из
m).
;
n!=1*2*…*n; 0!=1;
.
Применяем для комплексного числа.
В полученном выражении нужно заменить степени i их значениями:
i 0 =1 Отсюда, в общем случае получаем: i 4k =1
i 1 =i i 4k+1 =i
i 2 =-1 i 4k+2 =-1
i 3 =-i i 4k+3 =-i
Пример .
i 31 = i 28 i 3 =-i
i 1063 = i 1062 i=i
2. тригонометрической форме.
z=r(cos
+isin
),
то
- формула Муавра .
Здесь n может быть как “+” так и “-” (целым).
3. Если комплексное число задано в показательной форме:
Извлечение корня.
Рассмотрим
уравнение:
.
Его
решением будет корень n–ой степени из
комплексного числа z:
.
Корень n–ой степени из комплексного числа z имеет ровно n решений (значений). Корень из действующего числа n-ой степени имеет только одно решение. В комплексных – n решений.
Если комплексное число задано в тригонометрической форме:
z=r(cos
+isin
),
то корень n-ой степени от z находится по
формуле:
,
где к=0,1…n-1.
Ряды. Числовые ряды.
Пусть переменная а принимает последовательно значения а 1 ,а 2 ,а 3 ,…,а n . Такое перенумерованное множество чисел называется последовательностью. Она бесконечна.
Числовым
рядом называется выражение а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=
. Числа а 1 ,а 2 ,а 3 ,…,а n
– члены ряда.
Например.
а 1 – первый член ряда.
а n – n-ый или общий член ряда.
Ряд считается заданным, если известен n-ый (общий член ряда).
Числовой ряд имеет бесконечное число членов.
Числители – арифметическая прогрессия (1,3,5,7…).
n-ый член находится по формуле а n =а 1 +d(n-1); d=а n -а n-1 .
Знаменатель
– геометрическая
прогрессия
.
b n =b 1 q n-1 ;
.
Рассмотрим сумму первых n членов ряда и обозначим ее Sn.
Sn=а1+а2+…+а n .
Sn – n-ая частичная сумма ряда.
Рассмотрим
предел:
S - сумма ряда.
Ряда сходящийся , если этот предел конечен (конечный предел S существует).
Ряд расходящийся , если этот предел бесконечен.
В дальнейшем наша задача заключается в следующем: установить какой ряд.
Одним из простейших, но часто встречающихся рядов является геометрическая прогрессия.
,
C=const.
Геометрическая
прогрессия является
сходящимся
рядом
,
если
,
и расходящимся, если
.
Также
встречается гармонический
ряд
(ряд
).
Этот рядрасходящийся
.
Геометрически действительные числа, так же как и рациональные числа, изображаются точками прямой.
Пусть l - произвольная прямая, а О - некоторая ее точка (рис. 58). Каждому положительному действительному числу α поставим в соответствие точку А, лежащую справа от О на расстоянии в α единиц длины.
Если, например, α = 2,1356..., то
2 < α
< 3
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14
и т. д. Очевидно, что точка А в этом случае должна находиться на прямой l правее точек, соответствующих числам
2; 2,1; 2,13; ... ,
но левее точек, соответствующих числам
3; 2,2; 2,14; ... .
Можно показать, что эти условия определяют на прямой l единственную точку А, которую мы и рассматриваем как геометрический образ действительного числа α = 2,1356... .
Аналогично, каждому отрицательному действительному числу β поставим в соответствие точку В, лежащую слева от О на расстоянии в | β | единиц длины. Наконец, числу «нуль» поставим в соответствие точку О.
Так, число 1 изобразится на прямой l точкой А, находящейся справа от О на расстоянии в одну единицу длины (рис. 59), число - √2 - точкой В, лежащей слева от О на расстоянии в √2 единиц длины, и т. д.
Покажем, как на прямой l с помощью циркуля и линейки можно отыскать точки, соответствующие действительным числам √2, √3, √4, √5 и т. д. Для этого прежде всего покажем, как можно построить отрезки, длины которых выражаются этими числами. Пусть АВ есть отрезок, принятый за единицу длины (рис. 60).
В точке А восставим к этому отрезку перпендикуляр и отложим на нем отрезок АС, равный отрезку АВ. Тогда, применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABC, получим; ВС = √АВ 2 + АС 2 = √1+1 = √2
Следовательно, отрезок ВС имеет длину √2. Теперь восставим перпендикуляр к отрезку ВС в точке С и выберем на нем точку D так, чтобы отрезок CD был равен единице длины АВ. Тогда из прямоугольною треугольника BCD найдем:
ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3
Следовательно, отрезок BD имеет длину √3. Продолжая описанный процесс дальше, мы могли бы получить отрезки BE, BF, ..., длины которых выражаются числами √4, √5 и т. д.
Теперь на прямой l легко найти те точки, которые служат геометрическим изображением чисел √2, √3, √4, √5 и т. д.
Откладывая, например, справа от точки О отрезок ВС (рис. 61), мы получим точку С, которая служит геометрическим изображением числа √2. Точно так же, откладывая справа от точки О отрезок BD, мы получим точку D", которая является геометрическим образом числа √3, и т. д.
Не следует, однако, думать, что с помощью циркуля и линейки на числовой прямой l можно найти точку, соответствующую любому заданному действительному числу. Доказано, например, что, имея в своем распоряжении только циркуль и линейку, нельзя построить отрезок, длина которого выражается числом π = 3,14 ... . Поэтому на числовой прямой l с помощью таких построений нельзя указать точку, соответствующую этому числу Тем не менее такая точка существует.
Итак, каждому действительному числу α можно поставить в соответствие некоторую вполне определенную точку прямой l . Эта точка будет отстоять от начальной точки О на расстоянии в | α | единиц длины и находиться справа от О, если α > 0, и слева от О, если α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l . В самом деле, пусть числу α соответствует точка А, а числу β - точка В. Тогда, если α > β , то А будет находиться правее В (рис. 62, а); если же α < β , то А будет лежать левее В (рис. 62,б).
Говоря в § 37 о геометрическом изображении рациональных чисел, мы поставили вопрос: любую ли точку прямой можно рассматривать как геометрический образ некоторого рационального числа? Тогда мы не могли дать ответ на этот вопрос; теперь же мы можем ответить на него вполне определенно. На прямой есть точки, которые служат геометрическим изображением иррациональных чисел (например, √2). Поэтому не всякая точка прямой изображает рациональное число. Но в таком случае напрашивается другой вопрос: любую ли точку числовой прямой можно рассматривать как геометрический образ некоторого действительного числа? Этот вопрос решается уже положительно.
В самом деле, пусть А - произвольная точка прямой l , лежащая справа от О (рис. 63).
Длина отрезка ОА выражается некоторым положительным действительным числом α (см § 41). Поэтому точка А является геометрическим образом числа α . Аналогично устанавливается, что каждая точка В, лежащая слева от О, может рассматриваться как геометрический образ отрицательного действительного числа - β , где β - длина отрезка ВО. Наконец, точка О служит геометрическим изображением числа нуль. Понятно, что две различные точки прямой l не могут быть геометрическим образом одного и того же действительного числа.
В силу изложенных выше причин прямая, на которой указана в качестве «начальной» некоторая точка О (при заданной единице длины), называется числовой прямой .
Вывод. Множество всех действительных чисел и множество всех точек числовой прямой находятся во взаимно однозначном соответствии.
Это означает, что каждому действительному числу соответствует одна, вполне определенная точка числовой прямой и, наоборот, каждой точке числовой прямой при таком соответствии отвечает одно, вполне определенное действительное число.
Комплексные числа
Основные понятия
Первоначальные данные о числе относятся к эпохе каменного века – палеомелита. Это «один», «мало» и «много». Записывались они в виде зарубок, узелков и т.д. Развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия. Первыми появились натуральные числа N , получаемые при счете предметов. Затем, наряду с необходимостью счета, у людей появилась потребность измерять длины, площади, объемы, время и другие величины, где приходилось учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 веке. Множество целых чисел Z – это натуральные числа, натуральные со знаком минус и нуль. Целые и дробные числа образовали совокупность рациональных чисел Q, но и она оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Бытие снова показало несовершенство математики: невозможность решить уравнение вида х 2 = 3, в связи с чем появились иррациональные числа I. Объединение множества рациональных чисел Q и иррациональных чисел I – множество действительных (или вещественных) чисел R . В итоге числовая прямая заполнилась: каждому действительному числу соответствовала на ней точка. Но на множестве R нет возможности решить уравнение вида х 2 = – а 2 . Следовательно, снова возникла необходимость расширения понятия числа. Так в 1545 году появились комплексные числа. Их создатель Дж. Кардано называл их «чисто отрицательными». Название «мнимые» ввел в 1637 году француз Р. Декарт, в 1777 году Эйлер предложил использовать первую букву французского числа i для обозначения мнимой единицы. Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу.
В течение 17 – 18 веков продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, их геометрического истолкования. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой, а вектором, идущим в эту точку из начала координат.
Лишь к концу 18 – началу 19 века комплексные числа заняли достойное место в математическом анализе. Первое их использование – в теории дифференциальных уравнений и в теории гидродинамики.
Определение 1. Комплексным числом называется выражение вида , где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица, .
Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда , .
Если , то число называют чисто мнимым ; если , то число является действительным числом, это означает, что множество R С , где С – множество комплексных чисел.
Сопряженным к комплексному числу называется комплексное число .
Геометрическое изображение комплексных чисел.
Любое комплексное число можно изобразить точкой М
(x
, y
) плоскости Oxy.
Парой действительных чисел обозначаются и координаты радиус-вектора 
, т.е. между множеством векторов на плоскости и множеством комплексных чисел можно установить взаимно-однозначное соответствие: .
Определение 2. Действительной частью х .
Обозначение:x = Rez (от латинского Realis).
Определение 3.
Мнимой частью
комплексного числа называется действительное число y
.
Обозначение: y = Imz (от латинского Imaginarius).
Rez откладывается на оси (Ох) , Imz откладывается на оси (Оy ), тогда вектор , соответствующий комплексному числу – это радиус-вектор точки М (x , y ), (или М (Rez , Imz )) (рис. 1).
Определение 4. Плоскость, точкам которой поставлено в соответствие множество комплексных чисел, называется комплексной плоскостью . Ось абсцисс называется действительной осью , так как на ней лежат действительные числа . Ось ординат называется мнимой осью , на ней лежат чисто мнимые комплексные числа . Множество комплексных чисел обозначается С .
Определение 5.
Модулем
комплексного числа z
= (x
, y
) называется длина вектора : , т.е. 
.
Определение 6.
Аргументом
комплексного числа называется угол между положительным направлением оси (Ох
) и вектором : 
.
Понятия «множество», «элемент», «принадлежность элемента множеству» - первичные понятия математики. Множество - любое собрание (совокупность) каких- либо предметов.
А является подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В, т.е. АÌВ Û (хÎА Þ хÎВ) .
Два множества равны , если они состоят из одних и тех же элементов. Речь идет о теоретико-множественном равенстве (не путать с равенством между числами): А=В Û АÌВ Ù ВÌА .
Объединение двух множеств состоит из элементов принадлежащих хотя бы одному из множеств, т.е. хÎАÈВ Û хÎАÚ хÎВ .
Пересечение состоит из всех элементов одновременно принадлежащих как множеству А, так и множеству В: хÎАÇВ Û хÎА Ù хÎВ .
Разность состоит из всех элементов А не принадлежащих В, т.е.хÎ А\В Û хÎА ÙхÏВ .
Декартовым произведением С=А´В множеств А и В называют множество всех возможных пар (х,у ), где первый элемент х каждой пары принадлежит А, а второй ее элемент у принадлежит В.
Подмножество F декартова произведения А´В называется отображением множества А в множество В , если выполнено условие: ("х ÎА)($! пара (х.у )ÎF). При этом пишут: А В.
Термины «отображение» и «функция» - синонимы. Если ("хÎА)($! уÎВ): (х,у )ÎF, то элемент у ÎВ называется образом х при отображении F и записывают это так: у =F(х ). Элемент х при этом является прообразом (одним из возможных) элемента у.
Рассмотриммножество рациональных чисел Q - множество всех целых чисел и множество всех дробей (положительных и отрицательных). Каждое рациональное число представимо в виде частного, например, 1 =4/3=8/6=12/9=…. Представлений таких много, но только одно из них несократимо.
Всякое рациональное число можно единственным образом представить в виде дроби p/q, где pÎZ, qÎN, числа p, q- взаимно просты.
Свойства множества Q :
1. Замкнутость относительно арифметических операций.
Результат сложения, вычитания, умножения, возведения в натуральную степень, деления (кроме деления на 0) рациональных чисел является рациональным числом: ; ; 
.
2. Упорядоченность: (" х, у
ÎQ, х¹у
)®(x
Причем: 1) a>b, b>c Þ a>c; 2) a-b .
3. Плотность . Между любыми двумя рациональными числами х, у существует третье рациональное число (например, с= ):
("х, у
ÎQ, x
<y
)($cÎQ) : (х
На множестве Q можно выполнять 4 арифметических действия, решать системы линейных уравнений, но квадратные уравнения вида х 2 =а, аÎ N не всегда разрешимы во множестве Q.
Теорема. Не существует числа хÎQ , квадрат которого равен 2.
g Пусть существует такая дробь х =p/q, где числа p и q взаимно просты и х 2 =2. Тогда (p/q) 2 =2. Следовательно,
Правая часть (1) делится на 2, значит p 2 четное число. Тем самым р=2n (n-целое). Тогда q должно быть нечетным числом.
Возвращаясь к (1), имеем 4n 2 =2q 2 . Поэтому q 2 =2n 2 . Аналогично убеждаемся, что q делится на 2, т.е. q - четное число. По методу от противного теорема доказана.n
геометрическое изображение рациональных чисел. Откладывая единичный отрезок от начала координат 1, 2, 3 … раз вправо, получим точки координатной прямой, которые соответствуют натуральным числам. Откладывая аналогично влево, получим точки, соответствующие отрицательным целым числам. Возьмем 1/q (q= 2,3,4 … ) часть единичного отрезка и будем откладывать его по обе стороны от начала отсчета р раз. Получаем точки прямой, соответствующие числам вида ±p/q (pÎZ, qÎN). Если p, q пробегают все пары взаимно простых чисел, то на прямой имеем все точки, соответствующие дробным числам. Таким образом, каждому рациональному числу соответствует по принятому способу единственная точка координатной прямой.
Для всякой ли точки можно указать единственное рациональное число? Заполняется ли прямая сплошь рациональными числами?
Оказывается на координатной прямой имеются точки, которым не соответствуют никакие рациональные числа. Строим равнобедренный прямоугольный треугольник на единичном отрезке. Точке N не соответствует рациональное число, так как если ON=x - рационально, то х 2 = 2, чего не может быть.
Точек, подобных точке N, на прямой бесконечно много. Возьмем рациональные части отрезка х=ON, т.е. х . Если отложить их вправо, то каждому из концов любого из таких отрезков не будет соответствовать никакое рациональное число. Допуская, что длина отрезка выражается рациональным числом х= , получаем, что х= – рационально. Это противоречит доказанному выше.
Рациональных чисел недостаточно, чтобы каждой точке координатной прямой сопоставлять некоторое рациональное число.
Построим множество действительных чисел R через бесконечные десятичные дроби.
По алгоритму деления «уголком» любое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Когда у дроби p/q знаменатель не имеет простых делителей кроме 2 и 5, т.е. q=2 m ×5 k , то результатом будет конечная десятичная дробь p/q=a 0 ,a 1 a 2 …a n . Остальные дроби могут иметь только бесконечные десятичные разложения.
Зная бесконечную периодическую десятичную дробь, можно найти рациональное число, представлением которого она является. Но любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби одним из способов:
a 0 ,a 1 a 2 …a n = a 0 ,a 1 a 2 …a n 000…=a 0 ,a 1 a 2 …(a n -1)999… (2)
Например, для бесконечной десятичной дроби х =0,(9) имеем 10х =9,(9). Если из 10х вычесть исходное число, то получим 9х =9 или 1=1,(0)=0,(9).
Между множеством всех рациональных чисел и множеством всех бесконечных периодических десятичных дробей устанавливается взаимно однозначное соответствие, если отождествлять бесконечную десятичную дробь с цифрой 9 в периоде с соответствующей бесконечной десятичной дробью с цифрой 0 в периоде по правилу (2).
Условимся употреблять такие бесконечные периодические дроби, которые не имеют цифры 9 в периоде. Если бесконечная периодическая десятичная дробь с цифрой 9 в периоде возникает в процессе рассуждений, то ее будем заменять бесконечной десятичной дробью с нулем в периоде, т.е. вместо 1,999… будем брать 2,000…
Определение иррационального числа. Кроме бесконечных десятичных периодических дробей существуют непериодические десятичные дроби. Например, 0,1010010001… или 27,1234567891011… (после запятой последовательно стоят натуральные числа).
Рассмотрим бесконечную десятичную дробь вида±a 0 , a 1 a 2 …a n … (3)
Эта дробь определяется заданием знака «+» или «–», целого неотрицательного числа a 0 и последовательности десятичных знаков a 1 ,a 2 ,…,a n ,…(множество десятичных знаков состоит из десяти чисел: 0, 1, 2,…, 9).
Всякую дробь вида (3) назовем действительным (вещественным) числом. Если перед дробью (3) стоит знак «+», его обычно опускают и пишут a 0 , a 1 a 2 …a n … (4)
Число вида (4) будем называть неотрицательным вещественным числом, а в случае, когда хотя бы одно из чисел a 0 , a 1 , a 2 , …, a n отлично от нуля, – положительным действительным числом . Если в выражении (3) берется знак «-», то это отрицательное число.
Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел (QÈJ=R). Если бесконечная десятичная дробь (3) периодическая, то это рациональное число, когда дробь непериодическая – иррациональное.
Два неотрицательных действительных числа а=a 0 ,a 1 a 2 …a n …, b=b 0 ,b 1 b 2 …b n …. называют равными (пишут а=b ), если a n =b n при n=0,1,2… Число а меньше числа b (пишут a <b ), если либо a 0 либо a 0 =b 0 и существует такой номер m, что a k =b k (k=0,1,2,…m-1), а a m , т.е. a Û(a 0 Ú($mÎN: a k =b k (k= ), a m ). Аналогично определяется понятие «а > b ».
Для сравнения произвольных вещественных чисел введем понятие «модуль числа а ». Модулем вещественного числа а=±a 0 , a 1 a 2 …a n … называется такое неотрицательное действительное число представимое той же бесконечной десятичной дробью, но взятой со знаком «+», т.е. ½а ½=a 0 , a 1 a 2 …a n … и½а ½³0. Если а – неотрицательное, b – отрицательное число, то считают а>b . Если оба числа отрицательные (a<0, b<0 ), то будем считать, что: 1) а=b , если ½а ½= ½b ½; 2) а, если ½а ½> ½b ½.
Свойства множества R :
I. Свойства порядка :
1. Для каждой пары действительных чисел а
и b
имеет место одно и только одно соотношение: a=b, a
2. Если a
3. Если a, то найдется такое число с, что a< с .
II. Свойства действий сложения и вычитания :
4. a+b=b+a (коммутативность).
5. (a+b)+c=a+(b+c ) (ассоциативность).
6. а+0=а.
7. а+(-а)= 0.
8. из aÞ а+с
III. Свойства действий умножения и деления:
9. a×b=b×a .
10. (a×b)×c=a×(b×c ).
11. а×1=а.
12. а×(1/а)=1 (а¹0) .
13. (а+b)×c = ac + bc (дистрибутивность).
14. если a и c>0, то а×с
IV. Архимедово свойство ("cÎR)($nÎN) : (n>c).
Каково бы ни было число сÎR, существует nÎN, что n>c.
V. Свойство непрерывности действительных чисел. Пусть два непустых множества АÌR и BÌR таковы, что любой элемент а ÎА будет не больше (a £b ) любого элемента bÎB. Тогда принцип непрерывности по Дедекинду утверждаетсуществование такого числа с, что для всех а ÎА и bÎB имеет место условие a £c£b :
(" AÌR, BÌR):("a ÎA, bÎB ® a £b)($cÎR): ("a ÎA, bÎB®a £c£b).
Будем отождествлять множество R с множеством точек числовой прямой, а вещественные числа называть точками.
ГЛАВА 1. Переменные величины и функции§1.1. Действительные числа
Первое знакомство с действительными числами происходит в школьном курсе математики. Всякое действительное число представляется конечной или бесконечной десятичной дробью.
Действительные (вещественные) числа делятся на два класса: класс рациональных и класс иррациональных чисел. Рациональными
называются числа, которые имеют вид , где m
и n
– целые взаимно простые числа, но 
. (Множество рациональных чисел обознается буквой Q
). Остальные действительные числа называются иррациональными
. Рациональные числа представляются конечной или бесконечной периодической дробью (то же, что обыкновенные дроби), тогда иррациональными будут те и только те действительные числа, которые можно представить бесконечными непериодическими дробями.
Например, число 
– рациональное, а 
, 
, 
и т.п. – иррациональные числа.
Действительные числа можно также разделить на алгебраические - корни многочлена с рациональными коэффициентами (к ним относятся, в частности, все рациональные числа – корни уравнения 
) – и на трансцендентные – все остальные (например, числа 
и другие).
Множества всех натуральных, целых, действительных чисел обозначаются соответственно так: N
Z
, R
(начальные буквы слов Naturel, Zahl, Reel).
§1.2. Изображение действительных чисел на числовой оси. Интервалы
Геометрически (для наглядности) действительные числа изображают точками на бесконечной (в обе стороны) прямой линии, именуемой числовой
осью
. С этой целью на рассматриваемой прямой берётся точка (начало отсчёта – точка 0), указывается положительное направление, изображаемое стрелкой (обычно направо) и избирается единица масштаба, которую откладывают неограниченно в обе стороны от точки 0. Так изображаются целые числа. Чтобы изобразить число с одним десятичным знаком, надо каждый отрезок разделить на десять частей и т.д. Таким образом, каждое действительное число изобразится точкой на числовой оси. Обратно, каждой точке 
соответствует действительное число, равное длине отрезка 
и взятое со знаком «+» или «–», в зависимости от того, лежит ли точка правее или левее от начала отсчёта. Таким образом устанавливается взаимнооднозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек числовой оси. Термины «действительное число» и «точка числовой оси» употребляются как синонимы.
Символом 
будем обозначать и действительное число, и точку, ему соответствующую. Положительные числа располагаются правее точки 0, отрицательные – левее. Если 
, то на числовой оси точка 
лежит левее точки 
. Пусть точке 
соответствует число , тогда число называется координатой точки , пишут 
; чаще саму точку обозначают той же буквой , что и число. Точка 0 – начало координат. Ось обозначают тоже буквой 
(рис.1.1).
Рис. 1.1. Числовая ось.
Совокупность всех чисел, лежащих между
данными числами и называется интервалом или промежутком; концы и ему могут принадлежать, а могут и не принадлежать. Уточним это. Пусть 
. Совокупность чисел , удовлетворяющих условию 
, называется интервалом (в узком смысле) или открытым интервалом, обозначается символом 
(рис.1.2).
Рис. 1.2. Интервал
Совокупность чисел таких, что 
называется замкнутым интервалом (отрезок, сегмент) и обозначается через 
; на числовой оси отмечается так:
Рис. 1.3. Замкнутый интервал
От открытого промежутка он отличается лишь двумя точками (концами) и . Но это отличие принципиальное, существенное, как увидим в дальнейшем, например, при изучении свойств функций.
Опуская слова «множество всех чисел (точек) x таких, что» и т. п., отметим далее:
и 
, обозначается 
и 
полуоткрытые, или полузамкнутые, интервалы (иногда: полуинтервалы);
или 
означает: 
или 
и обозначается 
или 
;
или 
означает 
или 
и обозначается 
или 
;
, обозначается 
множество всех действительных чисел. Значки 
символы «бесконечности»; их называют несобственными или идеальными числами. 
§1.3. Абсолютная величина (или модуль) действительного числа
Определение.
Абсолютной величиной (или модулем)
числа называется само это число, если 
или 
если 
. Обозначается абсолютная величина символом 
. Итак, 
Например, 
, 
, 
.
Геометрически означает расстояние точки a
до начала координат. Если имеем две точки и , то расстояние между ними можно представить как 
(или 
). Например, 
то расстояние 
.
Свойства абсолютных величин.
1. Из определения следует, что 
, 
, то есть 
.
2. Абсолютная величина суммы и разности не превосходит суммы абсолютных величин: 
.
1) Если 
, то 
. 2) Если 
, то . ▲
3. 
.
, тогда по свойству 2: 
, т.е. 
. Аналогично, если представить 
,то придём к неравенству 
▲
4. 
– следует из определения: рассмотреть случаи 
и 
.
5. 
, при условии, что 
Так же следует из определения.
6. Неравенство 
,
, означает 
. Этому неравенству удовлетворяют точки, которые лежат между 
и 
.
7. Неравенство 
равносильно неравенству 
, т.е. . Это есть интервал с центром в точке длины 
. Он называется 
окрестностью точки (числа) . Если 
, то окрестность называется проколотой: это или 
. (Рис.1.4).
8. 
откуда следует, что неравенство 
(
) равносильно неравенству 
или 
; а неравенство 
определяет множество точек, для которых 
, т.е. это точки, лежащие вне отрезка 
, именно: 
и 
.
§1.4. Некоторые понятия, обозначения
Приведём некоторые широко применяемые понятия, обозначения из теории множеств, математической логики и других разделов современной математики.
1 . Понятие множества является одним из основных в математике, исходным, всеобщим – а потому не поддаётся определению. Его можно лишь описать (заменить синонимами): это есть собрание, совокупность каких-то объектов, вещей, объединённых какими-либо признаками. Объекты эти называются элементами множества. Примеры: множество песчинок на берегу, звёзд во Вселенной, студентов в аудитории, корней уравнения, точек отрезка. Множества, элементы которых суть числа, называются числовыми множествами . Для некоторых стандартных множеств вводятся специальные обозначения, например, N , Z , R - см. § 1.1.
Пусть A
– множество и x
является его элементом, тогда пишут: 
; читается «x
принадлежит A
» (
знак включения для элементов). Если же объект x
не входит в A
, то пишут 
; читается: «x
не принадлежит A
». Например, 
N
; 8,51
N
; но 8,51
R
.
Если x
является общим обозначением элементов множества A
, то пишут 
. Если возможно выписать обозначение всех элементов, то пишут 
, 
и т. п. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом ; например, множество корней (действительных) уравнения 
есть пустое.
Множество называется конечным , если оно состоит из конечного числа элементов. Если же какое бы натуральное число N ни взяли, во множестве A найдётся элементов больше, чем N, то A называется бесконечным множеством: в нём элементов бесконечно много.
Если всякий элемент множества ^
A
принадлежит и множеству B
, то
называется частью или подмножеством множества B
и пишут 
; читается «A
содержится в B
» (
есть знак включения для множеств). Например, N
Z
R.
Если и 
, то говорят, что множества A
и B
равны и пишут 
. В противном случае пишут 
. Например, если 
, а 
множество корней уравнения 
, то .
Совокупность элементов обоих множеств A
и B
называется объединением
множеств и обозначается 
(иногда 
). Совокупность элементов, принадлежащих и A
и B
, называется пересечением
множеств и обозначается 
. Совокупность всех элементов множества ^
A
, которые не содержатся в B
, называется разностью
множеств и обозначается 
. Схематично эти операции можно изобразить так:
Если между элементами множеств можно установить взаимно-однозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны и пишут 
. Всякое множество A
, эквивалентное множеству натуральных чисел N
= называется счётным
или исчислимым.
Иначе говоря, множество называется счётным, если его элементы можно пронумеровать, расположить в бесконечную последовательность
, все члены которой различны: 
при 
, и его можно записать в виде . Прочие бесконечные множества называются несчётными
. Счётными, кроме самого множества N,
будут, например, множества 
, Z.
Оказывается, что множества всех рациональных и алгебраических чисел – счётные, а эквивалентные между собой множества всех иррациональных, трансцендентных, действительных чисел и точек любого интервала – несчётные. Говорят, что последние имеют мощность континуума (мощность – обобщение понятия количества (числа) элементов для бесконечного множества).
2
. Пусть есть два утверждения, два факта: и 
. Символ 
означает: «если верно , то верно и » или «из следует », « имплицирует есть корень уравнения обладает свойством от английского Exist
– существовать.
Запись: 
, или 
, означает: существует (по крайней мере один) предмет , обладающий свойством 
. А запись 
, или 
, означает: все обладают свойством . В частности, можем записать: 
и .
