Что такое напряжение при поперечном изгибе. Изгиб

Плоский (прямой) изгиб - когда изгибающий момент действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции сечения, т.е. все силы лежат в плоскости симметрии балки. Основные гипотезы (допущения): гипотеза о не надавливании продольных волокон: волокна, параллельные оси балки, испытывают деформацию растяжения – сжатия и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении; гипотеза плоских сечений: сечение балки, плоское до деформации, остается плоским и нормальным к искривленной оси балки после деформации. При плоском изгибе в общем случае возникают внутренние силовые факторы : продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М. N>0, если продольная сила растягивающая; при М>0 волокна сверху балки сжимаются, снизу растягиваются. .

Слой, в котором отсутствуют удлинения, называется нейтральным слоем (осью, линией). При N=0 и Q=0, имеем случай чистого изгиба. Нормальные напряжения:
, - радиус кривизны нейтрального слоя, y - расстояние от некоторого волокна до нейтрального слоя.

43) Внецентренное растяжение и сжатие

Растяжение и сжатие

 - нормальное напряжение [Па], 1Па (паскаль) = 1 Н/м 2 ,

10 6 Па = 1 МПа (мегапаскаль) = 1 Н/мм 2

N - продольная (нормальная) сила [Н] (ньютон); F - площадь сечения [м 2 ]

 - относительная деформация [безразмерная величина];

L - продольная деформация [м] (абсолютное удлинение), L - длина стержня [м].

-закон Гука -  = Е

Е - модуль упругости при растяжении (модуль упругости 1-го рода или модуль Юнга) [МПа]. Для стали Е= 210 5 МПа = 210 6 кг/см 2 (в "старой" системе единиц).

(чем больше Е, тем менее растяжимый материал)

;
- закон Гука

EF - жесткость стержня при растяжении (сжатии).

При растяжении стержня он "утоньшается", его ширина - а уменьшается на поперечную деформацию - а.

-относительная поперечная деформация.

-коэффициент Пуассона [безразмерная величина];

 лежит в пределах от 0 (пробка) до 0,5 (каучук); для стали  0,250,3.

Если продольная сила и поперечное сечение не постоянны, то удлинение стержня:

Работа при растяжении:
, потенциальная энергия:

47.Интеграл Мора

Универсальный метод определения перемещений (линейных и углов поворота) – метод Мора. К системе прикладывают единичную обобщенную силу в точке, для которой ищется обобщенное перемещение. Если определяется прогиб, то единичная сила представляет собой безразмерную сосредоточенную силу, если определяется угол поворота, то – безразмерный единичный момент. В случае пространственной системы действуют шесть компонентов внутренних усилий. Обобщенное перемещение определяется

48.Определение напряжения при совместном действии изгиба и кручения

Изгиб с кручением

Совместное действие изгиба с кручением наиболее частый случай нагружения валов. Возникают пять компонентов внутренних усилий: Q x , Q y , M x , M y , M z =M кр. При расчете строят эпюры изгибающих M x , M y , и крутящих M кр моментов и определяют опасное сечение. Результирующий изгибающий момент
. Макс. нормальные и касательные напряжения в опасных точках (A,B):
,

, (для круга: W=
–осевой момент сопротивления, W р =
–полярный момент сопр-ния сечения).

Главные напряжения в наиболее опасных точках (А и В):

Проверка прочности проводится по одной из теорий прочности:

IV-ая: теория Мора:

где m=[ p ]/[ c ] – допуст. напр.растяжения/сжатия (для хрупких материалов – чугун).

Т
.к.W p =2W, получаем:

В числителе – приведенный момент по принятой теории прочности. ;

II-ая: , при коэф.Пуасссона=0,3;

III-я:

или одной формулой:
, откуда момент сопротивления:
, диаметр вала:
. Формулы годятся и при расчете кольцевого сечения.

Активная, реактивная и полная мощности в цепях с несинусоидальными периодическими напряжениями и токами.

Антитела как главные эффекторные молекулы гуморального звена адаптивного иммунитета

Аполлоний Родосский и возрождение гомеровского эпоса. «Аргонавтика» - сюжет, композиция, главные образы. Особенности стиля.

Ардха-матсьендрасана -неполная царственная поза рыбы, или скручивание позвоночника

В каком случае проводится внеочередная проверка знаний работников?

Величина порогового напряжения и пути ее регулирования

В общем случае при изгибе любая точка балки находится в упрощенном плоском напряженном состоянии (рисунок 1.14), по граням которого действуют как нормальные, так и касательные напряжения

Решая обратную задачу для такого напряженного состояния, можно найти положение главной площадки a о и величины главных напряжений σ 1 , σ 3 по следующим зависимостям

Проведем анализ напряженного состояния опасных точек балки. Для этого рассмотрим расчетную схему простой балки с эпюрами поперечной силы Q и изгибающего момента M (рисунок 1.15). По высоте сечения этой балки построим эпюры нормальных, касательных и главных напряжений с учетом зависимостей (1.8)-(1.10).

В общем случае полная проверка прочности балки при изгибе выполняется по следующим трем типам опасных точек .

Опасные точки I типа : по длине балки находятся в сечениях, где действует максимальный по абсолютному значению изгибающий момент (сечение I-I), а по высоте балки – в крайних волокнах сечения, где возникают максимальные нормальные напряжения (точки 1 и 5). В этих точках имеет место линейное напряженное состояние. Условие прочности для точек I типа представляет такой вид (основное условие прочности )

Опасные точки II типа располагаются по длине балки в сечениях с максимальной поперечной силой (сечение II-II левое и правое), а по высоте балки – на уровне нейтральной линии (точка 3 левая и правая), где действует максимальное касательное напряжение. В этих точках возникает частный случай плоского напряженного состояния – чистый сдвиг. Условие прочности имеет такой вид:

Опасные точки III типа располагаются в сечениях балки, где возникает неблагоприятное сочетание больших изгибающего момента и поперечной силы (сечение III-III левое и правое), а по высоте балки – между крайними волокнами и нейтральной линией, где одновременно большие нормальные и касательные напряжения (точки 2 и 4 левая, правая). В этих точках возникает упрощенное плоское напряженное состояние. Условие прочности для точек III типа записывается согласно теории прочности (например, для пластичного материала: по III или IV теории).

Если по мере выполнения расчетов прочность по одному из условий не выполняется, то необходимо увеличить размеры сечения балки или увеличить номер профиля согласно таблицам сортамента.

Приведенный выше анализ напряженного состояния балок при изгибе позволяет рационально проектировать элементы балочных конструкций с учетом особенностей их нагружения. Так, например, для железобетонных конструкций целесообразно использовать стальную арматуру и располагать её по линиям, совпадающим с траекторией главных растягивающих напряжений.

При поперечном изгибе в сечении стержня возникает не только изгибающий момент, но и перерезывающая сила . Следовательно, в поперечном сечении действуют нормальные σ и касательные напряжения τ. По закону о парности касательных напряжений последние возникают также и в продольных сечениях, вызывая сдвиги волокон относительно друг друга и нарушая гипотезу плоских сечений, принятую для чистого изгиба. В результате плоские сечения под нагрузкой искривляются . Схема деформаций и силовые факторы в сечении стержня при поперечном изгибе. Однако в случаях, когда больший размер сечения в несколько раз меньше длины стержня, сдвиги невелики и гипотезу плоских сечений распространяют на поперечный изгиб. Поэтому нормальные напряжения при поперечном изгибе также вычисляют по формулам чистого изгиба . Касательные напряжения в длинных стержнях (l>2h) существенно меньше нормальных. Поэтому их в расчетах стержней на изгиб не учитывают, а расчет на прочность при поперечном изгибе производится только по нормальным напряжениям, как при чистом изгибе.

111 Сложные виды деформаций стержней.(без одного рисунка)

В
общем случае на стержень одновременно могут действовать продольные и поперечные нагрузки. Если предположить сочетание косого изгиба с осевым растяжением или сжатием, то такое нагружение приводит к появлению в поперечных сечениях стержня изгибающих моментовM y и M z , поперечных сил Q y и Q z и продольной силы N. В сечении В консольного стержня будут действовать следующие силовые факторы: M y =F z x; M z =F y x; Q z =F z ; Q y =F y ; N=F x . Нормальное напряжение, вызываемое растягивающей силой F x , во всех поперечны х сечениях стержня одинаково и равномерно распределяется по сечению. Это напряжение определяется по формуле: σ p =F x /A, где А – площадь поперечного сечения стержня. Применяя принцип независимости действия сил(с учетом формулы), получим следующее соотношение для определения нормального напряжения в произвольной точке С: σ=N/A+M z z/J z +M z y/J z . Пользуясь этой формулой, можно определить наибольшее напряжение σ max , в данном поперечном сечении σ max =N/A+M y /W y +M z /W z . Условие прочностной надежности по допускаемым напряжениям в этом случае имеет вид σ ma ≤ [σ]. Внецентренное растяжение (сжатие). При внецентренном растяжении (сжатии) стержня равнодействующая внешних сил не совпадает с осью бруса, а смещена относительно оси x. Этот случай нагружения в расчетном отношении подобен изгибу с растяжением. В произвольном поперечном сечении стержня будут действовать внутренние силовые факторы: M y =Fz B ; Mz B =Fy B ; N=F, где z B и y B - координаты точки приложения силы. Напряжения в точках поперечных сечений можно определить по тем же формулам. Кручение с изгибом. Некоторые элементы конструкций работают в условиях кручения и изгиба. Например, валы зубчатой передачи от сил в зацеплении зубьев F 1 =F 2 передают крутящие и изгибающие моменты. В результате в поперечном сечении будут действовать нормальные и касательные напряжения: σ=M y z/J y ; τ=Tρ/J p , где M y и Т - соответственно изгибающий и крутящий моменты в сечении. (РИСУНОК НЕ ВСТАВЛЯЕТСЯ). Наибольшие напряжения действующие в периферийных точках С и С R сечениях: σ max =M y /W y ; τ max =T/W p =T/(2W y). По главным напряжениям, используя одну из рассмотренных выше теорий прочности, определяют эквивалентное напряжение. Так, на основании энергетической теории: σ экв =√(σ 2 max +3 τ 2 max) .

116 Сдвиг, внутренние силовые факторы и деформация. (Без внутренние силовые факторы, деформация гавно какое то).

Сдвиг- вид деформации, когда в поперечных сечениях стержня действует только перерезывающая сила, а остальные силовые факторы отсутствуют. Сдвиг соответствует действию на стержень двух равных противоположно направленных и бесконечно близко расположенных поперечных сил, вызывающих срез по плоскости, расположенной между силами (как при разрезании ножницами прутков, листов и т. п.). Срезу предшествует деформация - искажение прямого угла между двумя взаимно перпендикулярными линиями. При этом на гранях выделенного элемента возникают касательные напряжения τ. Напряженное состояние, при котором на гранях выделенного элемента возникают только касательные напряжения называется чистым сдвигом . Величина а называется абсолютным сдвигом, угол на который изменяются прямые углы элемента, называют относительным сдвигом, tgγ≈γ=a/h.

Деформация. Если на боковую поверхность круглого стержня нанести сетку, то после закручивания можно обнаружить: образующие цилиндра обращаются

в винтовые линии большого шага; сечения круглые и плоские до деформации сохраняют свою форму, и после деформации; происходит поворот одного сечения относительно другого на некоторый угол, называемый углом закручивания; расстояния между поперечными сечениями практически не изменяются. На основании этих наблюдений принимают гипотезы, что: сечения, плоские до закручивания, остаются плоскими после закручивания; радиусы поперечных сечений при деформации остаются прямыми. В соответствии с этим кручение стержня можно представить как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом сечений.

Мы видели, что при чистом изгибе в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения. Соответствующие им внутренние силы приводятся к изгибающему моменту в сечении. В случае поперечного изгиба в сечении стержня возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила Эта сила представляет собой равнодействующую элементарных распределенных сил, лежащих в плоскости сечения (рис. 4.23). Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Возникновение касательных напряжений сопровождается появлением угловых деформаций . Поэтому, кроме основных смещений, свойственных чистому изгибу, каждая элементарная площадка сечения получает еще некоторые дополнительные угловые смещения, обусловленные сдвигом. Касательные напряжения распределены по сечению неравномерно, поэтому неравномерно будут распределены и угловые смещения. Это значит, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изпб а поперечные сечешя не остаются плоскими. На рис. 4.24 показана типичная картина искривления поперечных сечений.

Однако на значение нормальных напряжений искажение плоскости поперечных сечений заметным образом не сказывается. В частности, если поперечная сила не меняется по длине стержня, формулы (4.6) и (4.8), выведенные для случая чистого изгиба, будут давать совершенно точные результаты и в случае поперечного изгиба. Действительно, при искривление всех сечений происходит одинаково (рис. 4.25). Поэтому при взаимном повороте двух смежных сечений удлинение продольного волокна АВ будет одним и тем же, независимо от того, осталось сечение плоским или нет

При поперечной силе, изменяющейся вдоль оси стержня, формулы чистого изгиба дают для а некоторую погрешность. Путем несложного анализа можно показать, что эта погрешность имеет порядок по сравнению с единицей, где - размер поперечного сечения в плоскости изгиба; - длина стержня. По определению, данному в § В2, характерной особенностью стержня является то, что размеры его поперечного сечения много меньше длины. Следовательно, отношение относительно мало и соответственно малой оказывается указанная погрешность.

Все сказанное дает основание принять гипотезу плоских сечений. Будем в дальнейшем считать, что совокупность точек, образующих плоскость поперечного сечения до изгиба, образует и после изгиба плоскость, повернутую в пространстве. Это предположение приемлемо в той мере, в какой угловые деформации 7 в сечении можно считать существенно меньшими, чем угловые перемещения, обусловленные изменением кривизны.

Особенностью поперечного изгиба является также наличие нормальных напряжений, возникающих в продольных сечениях бруса, т.е. напряжений между слоями. Эти напряжения возникают только при переменной поперечной силе и весьма малы.

Таким образом, в пределах указанных допущений формулы (4.6) и (4.8), выведенные для определения нормальных напряжений, применимы не только при чистом изгибе, но и при поперечном. В такой же мере применима и формула (4.5), дающая зависимость кривизны стержня от изгибающего момента.

Теперь определим приближенно касательные напряжения при поперечном изгибе. Вычислить эти напряжения проще всего через парные им касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Выделим из бруса элемент длиной (рис. 4.26, а). При поперечном изгибе моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются на Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии у от нейтрального слоя (рис. 4.26, б), разделим элемент на две части и рассмотрим условия равновесия верхней части. Равнодействующая нормальных сил в левом сечении в пределах заштрихованной площади равна, очевидно,

или, согласно формуле (4.6),

где через обозначена в отличие от у текущая ордината площадки (см. рис. 4.26, б). Полученный интеграл представляет собой статический момент относительно оси х части площади, расположенной выше продольного сечения (выше уровня Обозначим этот статический момент через Тогда

В правом сечении нормальная сила будет другой:

Разность этих сил

должна уравновешиваться касательными силами, возникающими в продольном сечении элемента (см. рис. 4.26, б и в).

В качестве первого приближения примем, что касательные напряжения распределены по ширине сечения равномерно. Тогда

Полученная формула носит название формулы Журавского, по имени русского ученого прошлого века, который впервые провел общее исследование касательных напряжений при поперечном изгибе.

Выражение (4.12) позволяет вычислить касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Напряжения, образующиеся в поперечных сечениях стержня равны им, как парные. Зависимость от у в сечении определяется через статический момент 5. При подходе к верхней кромке сечения площадь его заштрихованной части (см. рис. 4.26, б) уменьшается до нуля. Здесь, следовательно, При подходе к нижней кромке заштрихованная часть охватывает все сечение. Так как ось центральная, то и здесь Поэтому касательные напряжения, как это следует из формулы (4.12), в верхних и нижних точках сечения равны нулю.

Для стержня прямоугольного сечения со сторонами и (рис. 4.27, а) имеем

Следовательно,

и эпюра касательных напряжений по высоте сечения изображается квадратной параболой. Наибольшее напряжение имеет место при

Для стержня круглого сечения (рис. 4.27, б) путем несложной операции интегрирования можно найти

Кроме того,

Для стержня, имеющего сечение в форме треугольника с основанием с и высотой (рис. 4.27, в),

Максимальное напряжение имеет место на расстоянии от нейтральной оси:

В двух последних примерах наглядно проявляется приближенный характер производимых операций. Это видно из того, что в поперечном сечении касательные напряжения имеют составляющие не только по оси у, но и по оси х. Действительно, примем, как это делали выше, что для точек А, расположенных у контура сечения (рис. 4.28), касательное напряжение направлено по оси у. Разложим вектор на две составляющие - по нормали к контуру и по касательной По условиям нагружения внешняя поверхность стержня свободна от касательных сил. Поэтому напряжения, парные отсутствуют. Следовательно, а полное касательное напряжение вблизи контура направлено по касательной к контуру, и предположение о том, что направлено по оси у, оказывается неверным. Тем самым обнаруживается наличие составляющих по оси х. Для определения этих составляющих следует прибегнуть к более сложным приемам, нежели

рассмотренные ранее. Методами теории упругости можно показать, что в большинстве случаев составляющие по оси х играют существенно меньшую роль, нежели по оси у.

Из рассмотренных выше примеров можно сделать общий вывод, что зона максимальных касательных напряжений расположена приблизительно в средней части высоты сечения, а для нетонкостенных сечений имеет значение порядка

Можно сопоставить абсолютные величины максимальных нормальных и максимальных касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях стержня. Например, для консоли прямоугольного сечения (рис. 4.29) имеем

Это значит, что максимальные касательные напряжения в поперечном сечении относятся к максимальным нормальным напряжениям примерно как высота сечения к длине стержня, т.е. касательные напряжения существенно меньше нормальных. Указанная оценка, с немногочисленными исключениями, сохраняется для всех нетонкостенных стержней. Что же касается тонкостенных стержней, то это вопрос особый.

В связи с малостью ттах расчет на прочность при поперечном изгибе выполняют только по нормальным напряжениям, как и при чистом изгибе. Касательные напряжения во внимание не принимают. Это тем более естественно, что в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии, т.е. в наиболее опасных, касательные напряжения в поперечном сечении равны нулю.

Рассматривая качественную сторону явления, следует иметь в виду, что касательные напряжения в поперечных сечениях и парные им напряжения в продольных сечениях, несмотря на свою малость, могут в некоторых случаях существенно повлиять на оценку прочности стержня. Например при поперечном изгибе короткого деревянного бруса возможно разрушение не по поперечному сечению в заделке, а скалывание по продольной плоскости, близкой к нейтральному слою, т.е. там, где касательные напряжения максимальны (рис. 4.30).

Касательные напряжения в продольных сечениях являются выражением существующей связи между слоями стержня при поперечном изгибе. Если эта связь в некоторых слоях нарушена, характер изгиба стержня меняется. Например, в стержне, составленном из листов (рис. 4.31, а), каждый лист при отсутствии сил трения изгибается самостоятельно. Внешняя сила, приходящаяся на лист, равна а наибольшее нормальное напряжение в поперечном сечении листа равно

При плоском поперечном изгибе, когда в сечениях балки действуют и изгибающий моментМ и поперечная сила Q , возникают не только нормальные
, но и касательные напряжения.

Нормальные напряжения при поперечном изгибе рассчитываются по тем же формулам, что и при чистом изгибе:

;
.(6.24)

П

Рис.6.11. Плоский изгиб

ри выводе формулы примем некоторые допущения:

Касательные напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

Касательные напряжения всюду параллельны силе Q .

Рассмотрим консольную балку, находящуюся в условиях поперечного изгиба под действием силы Р . Построим эпюры внутренних усилий О y , и М z .

На расстоянии x от свободного конца балки выделим элементарный участок балки длиной d x и шириной, равной ширине балки b . Покажем внутренние усилия, действующие по граням элемента: на грани cd возникает поперечная сила Q y и изгибающий момент М z , а на грани ab – также поперечная сила Q y и изгибающий момент M z +dM z (так как Q y остается постоянной по длине балки, а момент М z изменяется, рис. 6.12). На расстоянии у от нейтральной оси отсечем часть элемента ab c d , покажем напряжения, действующие по граням полученного элемента mbcn , и рассмотрим его равновесие. На гранях, являющихся частью наружной поверхности балки, нет напряжений. На боковых гранях элемента от действия изгибающего момента М z , возникают нормальные напряжения:

; (6.25)

. (6.26)

Кроме того, на этих гранях от действия поперечной силы Q y , возникают касательные напряжения , такие же напряжения возникают по закону парности касательных напряжений и на верхней грани элемента.

Составим уравнение равновесия элемента mbcn , проецируя равнодействующие рассмотренных напряжений на ось x :

. (6.29)

Выражение, стоящее под знаком интеграла, представляет собой статический момент боковой грани элемента mbcn относительно оси x , поэтому можем записать

. (6.30)

Учитывая, что, согласно дифференциальным зависимостям Журавского Д. И. при изгибе,

, (6.31)

выражение для касательных напряжений при поперечном изгибе можем переписать следующим образом (формула Журавского )

. (6.32)

Проанализируем формулу Журавского.

Q y – поперечная сила в рассматриваемом сечении;

J z – осевой момент инерции сечения относительно оси z ;

b – ширина сечения в том месте, где определяются касательные напряжения;

–статический момент относительно оси z части сечения, расположенной выше (или ниже) того волокна, где определяется касательное напряжение:

, (6.33)

где и F " – координата центра тяжести и площадь рассматриваемой части сечения, соответственно.

6.6 Полная проверка прочности. Опасные сечения и опасные точки

Для проверки на прочность при изгибе по действующим на балку внешним нагрузкам строят эпюры изменения внутренних усилий по ее длине и определяют опасные сечения балки, для каждого из которых необходимо провести проверку прочности.

При полной проверке прочности таких сечений будет, как минимум, три (иногда они совпадают):

Сечение, в котором изгибающий момент М z достигает своего максималь­ного по модулю значения;

Сечение, в котором поперечная сила Q y , достигает своего максимального по модулю значения;

Сечение, в котором и изгибающий момент М z и поперечная сила Q y дости­гают по модулю достаточно больших величин.

В каждом из опасных сечений необходимо, построив эпюры нормальных и касательных напряжений, найти опасные точки сечения (проверка прочности проводится для каждой из них), которых также будет, как минимум, три:

Точка, в которой нормальные напряжения , достигают своего макси­мального значения, - то есть точка на наружной поверхности балки наиболее удаленная от нейтральной оси сечения;

Точка, в которой касательные напряжения достигают своего макси­мального значения, - точка, лежащая на нейтральной оси сечения;

Точка, в которой и нормальные напряжения, и касательные напряжения, достигают достаточно больших величин (эта проверка имеет смысл для сечений типа тавра или двутавра, где ширина сечения по высоте непостоянна).