Великая теорема ферма до сих пор не доказана. Доказательство теоремы Ферма — элементарное, простое, понятное Верна ли теорема ферма

Судя по популярности запроса "теорема Ферма - краткое доказательство", эта математическая проблема действительно многих интересует. Эта теорема была впервые высказана Пьером де Ферма в 1637 году на краю копии "Арифметики", где он утверждал, что у него было ее решение, оно было слишком велико для того, чтобы поместиться на краю.

Первое успешное доказательство было опубликовано в 1995 году - это было полное доказательство теоремы Ферма, осуществленное Эндрю Уайлсом. Оно было описано как «ошеломляющий прогресс», и привело Уайлса к получению премии Абеля в 2016 году. Будучи описанным относительно кратко, доказательство теоремы Ферма также доказало большую часть теоремы модульности и открыло новые подходы к многочисленным другим проблемам и эффективным методам подъема модульности. Эти свершения продвинули математику на 100 лет вперед. Доказательство малой теоремы Ферма сегодня не является чем-то из ряда вон выходящим.

Неразрешенная проблема стимулировала развитие алгебраической теории чисел в XIX веке и поиск доказательства теоремы модульности в XX веке. Это одна из самых заметных теорем в истории математики и до полного доказательства великой теоремы Ферма методом деления она была в Книге рекордов Гиннеса как «самая сложная математическая проблема», одной из особенностей которой является то, что она имеет наибольшее количество неудачных доказательств.

Историческая справка

Пифагорейское уравнение x 2 + y 2 = z 2 имеет бесконечное число положительных целочисленных решений для x, y и z. Эти решения известны как троицы Пифагора. Примерно в 1637 году Ферма написал на краю книги, что более общее уравнение a n + b n = c n не имеет решений в натуральных числах, если n является целым числом, большим чем 2. Хотя сам Ферма утверждал, что имеет решение своей задачи, он не оставил никаких подробностей о ее доказательстве. Элементарное доказательство теоремы Ферма, заявленное ее создателем, скорее было его хвастливой выдумкой. Книга великого французского математика была обнаружена спустя 30 лет после его смерти. Это уравнение, получившее название «Последняя теорема Ферма», в течение трех с половиной столетий оставалось нерешенным в математике.

Теорема в конечном итоге стала одной из самых заметных нерешенных проблем математики. Попытки доказать это вызвали существенное развитие теории чисел, и с течением времени последняя теорема Ферма получила известность как нерешенная проблема математики.

Краткая история доказательств

Если n = 4, что доказано самим Ферма, достаточно доказать теорему для индексов n, которые являются простыми числами. В течение следующих двух столетий (1637-1839) гипотеза была доказана только для простых чисел 3, 5 и 7, хотя Софи Жермен обновляла и доказывала подход, который имел отношение ко всему классу простых чисел. В середине 19 века Эрнст Куммер расширил это и доказал теорему для всех правильных простых чисел, в результате чего нерегулярные простые числа анализировались индивидуально. Основываясь на работе Куммера и, используя сложные компьютерные исследования, другие математики смогли расширить решение теоремы, имея цель охватить все основные показатели до четырех миллионов, но док-во для всех экспонентов по-прежнему было недоступным (это означает, что математики обычно считали решение теоремы невозможным, чрезвычайно сложным, или недостижимым с современными знаниями).

Работа Шимуры и Таниямы

В 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма подозревали, что существует связь между эллиптическими кривыми и модульными формами, двумя совершенно разными областями математики. Известная в то время, как гипотеза Танияма-Шимура-Вейля и (в конечном счете) как теорема модульности, она существовала сама по себе, без видимой связи с последней теоремой Ферма. Она сама по себе широко рассматривалась как важная математическая теорема, но при этом считалась (как и теорема Ферма) невозможной для доказательства. В то же время доказательство великой теоремы Ферма (методом деления и применения сложных математических формул) было осуществлено лишь полвека спустя.

В 1984 году Герхард Фрей заметил очевидную связь между этими двумя ранее не связанными и нерешенными проблемами. Полное подтверждение того, что две теоремы были тесно связаны, было опубликовано в 1986 году Кеном Рибетом, который основывался на частичном доказательстве Жана-Пьера Серра, который доказал все, кроме одной части, известной как «гипотеза эпсилона». Проще говоря, эти работы Фрея, Серра и Рибе показали, что если бы теорема о модульности могла быть доказана, по крайней мере, для полустабильного класса эллиптических кривых, то и доказательство последней теоремы Ферма также рано или поздно будет открыто. Любое решение, которое может противоречить последней теореме Ферма, может также использоваться, чтобы противоречить теореме модульности. Поэтому, если теорема о модульности оказалась истинной, то по определению не может существовать решение, противоречащее последней теореме Ферма, а значит она вскоре должна была быть доказана.

Хотя обе теоремы были сложными проблемами для математики, считающимися нерешаемыми, работа двух японцев стала первым предположением о том, как последняя теорема Ферма могла бы быть продолжена и доказана для всех чисел, а не только для некоторых. Важным для исследователей, выбравших тему исследования, был тот факт, что в отличие от последней теоремы Ферма, теорема модульности была основной активной областью исследований, для которой было разработано доказательство, а не только исторической странностью, поэтому время, затраченное на ее работу, могло быть оправдано с профессиональной точки зрения. Однако общее мнение заключалось в том, что решение гипотезы Таниямы-Шимуры оказалось нецелесообразным.

Великая теорема Ферма: доказательство Уайлса

Узнав, что Рибет доказал правильность теории Фрея, английский математик Эндрю Уайлс, с детства интересующийся последней теоремой Ферма и имеющий опыт работы с эллиптическими кривыми и смежными областями, решил попытаться доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, как способ доказать последнюю теорему Ферма. В 1993 году, спустя шесть лет после объявления о своей цели, тайно работая над проблемой решения теоремы, Уайльсу удалось доказать смежную гипотезу, что, в свою очередь, помогло бы ему доказать последнюю теорему Ферма. Документ Уайлса был огромным по размеру и масштабу.

Недостаток был обнаружен в одной части его оригинальной статьи во время рецензирования и потребовал еще один год сотрудничества с Ричардом Тейлором, чтобы совместно решить теорему. В результате окончательное доказательство Уайлсом великой теоремы Ферма не заставило долго себя ждать. В 1995 году оно было опубликовано в куда меньшем масштабе, чем предыдущая математическая работа Уайлса, наглядно показывая, он не ошибся в своих предыдущих выводах о возможности доказательства теоремы. Достижение Уайлса было широко растиражировано в популярной прессе и популяризировано в книгах и телевизионных программах. Остальные части гипотезы Танияма-Шимура-Вейля, которые теперь были доказаны и известны как теорема о модульности, впоследствии были доказаны другими математиками, которые основывались на работе Уайлса в период между 1996 и 2001 годами. За свое достижение Уайлс был удостоен чести и получил многочисленные награды, в том числе, премию Абеля 2016 года.

Доказательство Уайлсом последней теоремы Ферма является частным случаем решения теоремы модульности для эллиптических кривых. Тем не менее, это самый известный случай столь масштабной математической операции. Вместе с решением теоремы Рибе, британский математик также получил доказательство последней теоремы Ферма. Последняя теорема Ферма и теорема о модульности почти повсеместно считались недоказуемыми современными математиками, но Эндрю Уайлс смог доказать всему научному миру, что даже ученые мужи способны заблуждаться.

Уайлс впервые объявил о своем открытии в среду 23 июня 1993 года на лекции в Кембридже под названием «Модульные формы, эллиптические кривые и представления Галуа». Однако в сентябре 1993 года было установлено, что его расчеты содержат ошибку. Год спустя, 19 сентября 1994 года, в том, что он назвал бы «самым важным моментом его трудовой жизни», Уайлс наткнулся на откровение, которое позволило ему исправить решение задачи до того уровня, когда оно сможет удовлетворить математическое сообщество.

Характеристика работы

Доказательство теоремы Ферма Эндрю Уайлсом использует многие методы из алгебраической геометрии и теории чисел и имеет много разветвлений в этих областях математики. Он также использует стандартные конструкции современной алгебраической геометрии, такие как категория схем и теория Ивасавы, а также другие методы XX века, которые не были доступны Пьеру Ферма.

Две статьи, содержащие доказательства, составляют 129 страниц, которые писались в течение семи лет. Джон Коутс описал это открытие как одно из величайших достижений теории чисел, а Джон Конвей назвал его главным математическим свершением 20 века. Уайлс, чтобы доказать последнюю теорему Ферма путем доказательства теоремы модульности для частного случая полустабильных эллиптических кривых, разработал действенные методы подъема модульности и открыл новые подходы к многочисленным другим проблемам. За решение последней теоремы Ферма он был посвящен в рыцари и получил другие награды. Когда стало известно, что Уайлс выиграл премию Абеля, Норвежская академия наук описала его достижение как «восхитительное и элементарное доказательство последней теоремы Ферма».

Как это было

Одним из людей, анализировавших первоначальную рукопись Уайлса с решением теоремы, был Ник Кац. В ходе своего обзора он задал британцу ряд уточняющих вопросов, которые заставили Уайлса признать, что его работа явно содержит пробел. В одной критической части доказательства была допущена ошибка, которая давала оценку для порядка конкретной группы: система Эйлера, используемая для расширения метода Колывагина и Флача, была неполной. Ошибка, однако, не сделала его работу бесполезной - каждая часть работы Уайлса была очень значительной и новаторской сама по себе, как и многие разработки и методы, которые он создал в ходе своей работы и которые затрагивали лишь одну часть рукописи. Тем не менее в этой первоначальной работе, опубликованной в 1993 году, действительно не было доказательства великой теоремы Ферма.

Уайлс провел почти год, пытаясь заново найти решение теоремы - сперва в одиночку, а затем в сотрудничестве со своим бывшим учеником Ричардом Тейлором, но все, казалось, было тщетным. К концу 1993 года распространились слухи, что при проверке доказательство Уайльса потерпело неудачу, но насколько серьезной была эта неудача, известно не было. Математики начали оказывать давление на Уайлса, чтобы он раскрыл детали своей работы, независимо от того, была она выполнена или нет, чтобы более широкое сообщество математиков могло исследовать и использовать все, чего ему удалось добиться. Вместо того, чтобы быстро исправить свою ошибку, Уайлс лишь обнаружил дополнительные сложные аспекты в доказательстве великой теоремы Ферма, и наконец-то осознал, насколько сложной она является.

Уайлс заявляет, что утром 19 сентября 1994 года он был на грани того, чтобы бросить все и сдаться, и почти смирился с тем, что потерпел неудачу. Он готов был опубликовать свою неоконченную работу, чтобы другие могли на ней основываться и найти, в чем он ошибся. Английский математик решил дать себе последний шанс и в последний раз проанализировал теорему, чтобы попытаться понять основные причины, по которым его подход не работал, как вдруг внезапно осознал, что подход Колывагина-Флака не будет работать, пока он не подключит к процессу доказательства еще и теорию Ивасавы, заставив ее работать.

6 октября Уайлс попросил трех коллег (включая Фалтинса) рассмотреть его новую работу, а 24 октября 1994 г. он представил две рукописи - «Модульные эллиптические кривые и последняя теорема Ферма» и «Теоретические свойства кольца некоторых Гекке-алгебр», вторую из которых Уайлс написал совместно с Тейлором и доказал, что были выполнены определенные условия, необходимые для оправдания исправленного шага в основной статье.

Эти две статьи были проверены и, наконец, опубликованы в качестве полнотекстового издания в журнале «Анналы математики» за май 1995 года. Новые расчеты Эндрю были широко проанализированы и научное сообщество в конце концов их признало. В этих работах была установлена теорема модульности для полустабильных эллиптических кривых - последний шаг к доказательству великой теоремы Ферма, спустя 358 лет после того, как она была создана.

История великой проблемы

Решение этой теоремы считалось самой большой проблемой в математике на протяжении многих столетий. В 1816 и в 1850 годах Французская академия наук предложила приз за общее доказательство великой теоремы Ферма. В 1857 году Академия присудила 3000 франков и золотую медаль Куммеру за исследования идеальных чисел, хотя он и не подавал заявку на приз. Еще одна премия была предложена ему в 1883 году Брюссельской академией.

Премия Вольфскеля

В 1908 году немецкий промышленник и математик-любитель Пауль Вольфскель завещал 100 000 золотых марок (большую сумму для того времени) Академии наук Геттингена, чтобы эти деньги стали призом за полное доказательство великой теоремы Ферма. 27 июня 1908 года Академия опубликовала девять правил награждения. Среди прочего, эти правила требовали опубликования доказательства в рецензируемом журнале. Приз должен был присуждаться лишь через два года после публикации. Срок конкурса должен был истечь 13 сентября 2007 - примерно через столетие после своего начала. 27 июня 1997 года Уайлс получил призовые деньги Вольфсхеля, а затем еще 50 000 долларов. В марте 2016 года он получил 600 000 евро от правительства Норвегии в рамках премии Абеля за «потрясающее доказательство последней теоремы Ферма с помощью гипотезы модульности для полустабильных эллиптических кривых, открывающей новую эру в теории чисел». Это был мировой триумф скромного англичанина.

До доказательства Уайлса теорема Ферма, как уже говорилось ранее, считалась абсолютно нерешаемой на протяжении целых столетий. Тысячи неверных доказательств в разное время были представлены комитету Вольфскеля, составив примерно 10 футов (3 метра) корреспонденции. Только в первый год существования премии (1907-1908) было подано 621 заявок с претензией на решение теоремы, хотя к 1970-м годам их количество уменьшилось примерно до 3-4 заявок в месяц. По мнению Ф. Шлихтинга, рецензента Вольфсхеля, большинство доказательств были основаны на элементарных методах, преподаваемых в школах, и часто представлялись «людьми с техническим образованием, но неудачной карьерой». По словам историка математики Говарда Эйвса, последняя теорема Ферма установила своеобразный рекорд - это теорема, набравшая наибольшее количество неверных доказательств.

Лавры Ферма достались японцам

Как уже говорилось ранее, примерно в 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма открыли возможную связь между двумя, по-видимому, совершенно разными отраслями математики - эллиптическими кривыми и модульными формами. Полученная в результате их исследований теорема модульности (в то время известная как гипотеза Таниямы-Шимуры) гласит, что каждая эллиптическая кривая является модулярной, что означает, что она может быть связана с уникальной модулярной формой.

Теория первоначально была отклонена как маловероятная или весьма спекулятивная, но была воспринята более серьезно, когда теоретик чисел Андре Вейль нашел доказательства, подтверждающие выводы японцев. В результате гипотеза часто называлась гипотезой Таниямы-Шимуры-Вейля. Она стала частью программы Langlands, представляющей собой список важных гипотез, требующих доказательства в будущем.

Даже после серьезного внимания, гипотеза была признана современными математиками как чрезвычайно трудная или, возможно, недоступная для доказательства. Теперь именно эта теорема ждет своего Эндрю Уайлса, который смог бы удивить весь мир ее решением.

Теорема Ферма: доказательство Перельмана

Не смотря на расхожий миф, российский математик Григорий Перельман, при всей своей гениальности, не имеет никакого отношения к теореме Ферма. Что, впрочем, никак не умаляет его многочисленных заслуг перед научным сообществом.

В мире можно найти не так уж много людей, ни разу не слы­шавших о Великой теореме Ферма - пожалуй, это единственная математическая задача, получившая столь широкую известность и ставшая настоящей легендой. О ней упоминается во множестве книг и фильмов, при этом главный контекст почти всех упоми­наний - невозможность доказать теорему .

Да, эта теорема очень известна и в некотором смысле стала «идолом», которому поклоняются математики-любители и про­фессионалы, но мало кому известно о том, что ее доказательство найдено, а произошло это в уже далеком 1995 году. Но обо всем по порядку.

Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая послед­ней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестя­щим французским математиком Пьером Ферма , очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образова­нием. Она гласит, что формула a n +b n =c n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.

Сам Ферма утверждал, что вывел весьма простое и лаконич­ное доказательство своей теории, однако до сих пор не найдено никаких документальных свидетельств этого факта. Поэтому сейчас считается, что сам Ферма так и не смог найти общего решения своей теоремы , хотя из-под его пера вышло частное доказательство для n = 4.

После Ферма над поиском доказательства работали такие ве­ликие умы, как Леонард Эйлер (в 1770 году им было предложено решение для n = 3), Адриен Лежандр и Иоганн Дирихле (эти ученые в 1825 году совместно нашли доказательство для n = 5), Габриель Ламе (нашедший доказательство для n = 7) и многие другие. К середине 80-х годов прошлого века стало понятно, что ученый мир находится на пути к окончательному решению

Великой теоремы Ферма, однако только в 1993 году математики увидели и поверили, что трехвековая эпопея по поиску доказа­тельства последней теоремы Ферма практически закончилась.

В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс представил миру свое доказательство Великой теоремы Ферма , работа над которым продолжалась более семи лет. Но оказалось, что данное решение содержит грубую ошибку, хотя в целом и верно. Уайлс не сдался, призвал на помощь известного специалиста в теории чисел Ричарда Тейлора, и уже в 1994 году они опубликовали исправлен­ное и дополненное доказательство теоремы. Самое удивительное, что эта работа заняла целых 130 (!) полос в математическом журнале «Annals of Mathematics». Но и на этом история не закончилась - последняя точка была поставлена только в следующем, 1995 году, когда в свет вышел окончательный и «идеальный», с математи­ческой точки зрения, вариант доказательства.

С того момента прошло немало времени, однако в обществе до сих пор бытует мнение о неразрешимости Великой теоремы Фер­ма. Но даже те, кто знает о найденном доказательстве, продолжают работу в этом направлении - мало кого устраивает, что Великая теорема требует решения в 130 страниц! Поэтому сейчас силы очень многих математиков (в основном это любители, а не профессио­нальные ученые) брошены на поиски простого и лаконичного до­казательства, однако этот путь, скорее всего, не приведет никуда...

Для целых чисел n больше 2 уравнение x n + y n = z n не имеет ненулевых решений в натуральных числах.

Вы, наверное, помните со школьных времен теорему Пифагора : квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Возможно, вы помните и классический прямоугольный треугольник со сторонами, длины которых соотносятся как 3: 4: 5. Для него теорема Пифагора выглядит так:

Это пример решения обобщенного уравнения Пифагора в ненулевых целых числах при n = 2. Великая теорема Ферма (ее также называют «Большой теоремой Ферма» и «Последней теоремой Ферма») состоит в утверждении, что при значениях n > 2 уравнения вида x n + y n = z n не имеют ненулевых решений в натуральных числах.

История Великой теоремы Ферма весьма занимательна и поучительна, и не только для математиков. Пьер де Ферма внес вклад в развитие самых различных областей математики, однако основная часть его научного наследия была опубликована лишь посмертно. Дело в том, что математика для Ферма была чем-то вроде хобби, а не профессиональным занятием. Он переписывался с ведущими математиками своего времени, однако публиковать свои работы не стремился. Научные труды Ферма в основном обнаружены в форме частной переписки и обрывочных записей, часто сделанных на полях различных книг. Именно на полях (второго тома древнегреческой «Арифметики» Диофанта. - Прим. переводчика ) вскоре после смерти математика потомки и обнаружили формулировку знаменитой теоремы и приписку:

«Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля эти для него слишком узки ».

Увы, судя по всему, Ферма так и не удосужился записать найденное им «чудесное доказательство», и потомки безуспешно искали его три с лишним века. Из всего разрозненного научного наследия Ферма, содержащего немало удивительных утверждений, именно Великая теорема упорно не поддавалась решению.

Кто только не брался за доказательство Великой теоремы Ферма - всё тщетно! Другой великий французский математик, Рене Декарт (René Descartes, 1596–1650), называл Ферма «хвастуном», а английский математик Джон Уоллис (John Wallis, 1616–1703) - и вовсе «чертовым французом». Сам Ферма, правда, все-таки оставил после себя доказательство своей теоремы для случая n = 4. С доказательством для n = 3 справился великий швейцарско-российский математик XVIII века Леонард Эйлер (1707–83), после чего, не сумев найти доказательств для n > 4, в шутку предложил устроить обыск в доме Ферма, чтобы найти ключ к утерянному доказательству. В XIX веке новые методы теории чисел позволили доказать утверждение для многих целых чисел в пределах 200, однако, опять же, не для всех.

В 1908 году была учреждена премия в размере 100 000 немецких марок за решение этой задачи. Призовой фонд был завещан германским промышленником Паулем Вольфскелем (Paul Wolfskehl), который, согласно преданию, собирался покончить жизнь самоубийством, но так увлекся Великой теоремой Ферма, что передумал умирать. С появлением арифмометров, а затем и компьютеров планка значений n стала подниматься всё выше - до 617 к началу Второй мировой войны, до 4001 в 1954 году, до 125 000 в 1976 году. В конце XX столетия мощнейшие компьютеры военных лабораторий в Лос-Аламосе (Нью-Мексико, США) были запрограммированы на решение задачи Ферма в фоновом режиме (по аналогии с режимом экранной заставки персонального компьютера). Таким образом удалось показать, что теорема верна для невероятно больших значений x, y, z и n , но строгим доказательством это послужить не могло, поскольку любые следующие значения n или тройки натуральных чисел могли опровергнуть теорему в целом.

Наконец в 1994 году английский математик Эндрю Джон Уайлс (Andrew John Wiles, р. 1953), работая в Принстоне, опубликовал доказательство Великой теоремы Ферма, которое, после некоторых доработок, было признано исчерпывающим. Доказательство заняло более ста журнальных страниц и основывалось на использовании современного аппарата высшей математики, который в эпоху Ферма разработан не был. Так что же тогда имел в виду Ферма, оставляя на полях книги сообщение о том, что доказательство им найдено? Большинство математиков, с которыми я беседовал на эту тему, указывали, что за века накопилось более чем достаточно некорректных доказательств Великой теоремы Ферма, и что, скорее всего, сам Ферма нашел подобное доказательство, однако не сумел усмотреть в нем ошибку. Впрочем, не исключено, что все-таки имеется какое-то короткое и изящное доказательство Великой теоремы Ферма, которое никто до сих пор не нашел. С уверенностью можно утверждать лишь одно: сегодня мы точно знаем, что теорема верна. Большинство математиков, я думаю, безоговорочно согласятся с Эндрю Уайлсом, который заметил по поводу своего доказательства: «Теперь наконец мой ум спокоен».

ИСТОРИЯ ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Грандиозное событие

Как-то в новогоднем выпуске рассылки о том, как произносить тосты, я вскользь упомянул, что в конце ХХ века произошло одно грандиозное событие, которого многие не заметили - была, наконец-то доказана так называемая Великая теорема Ферма. По этому поводу среди полученных писем я обнаружил два отклика от девушек (одна из них, насколько помню - девятиклассница Вика из Зеленограда), которых удивил данный факт.

А меня удивило то, насколько живо девочки интересуются проблемами современной математики. Поэтому, думаю, что не только девочкам, но и мальчикам всех возрастов - от старшеклассников до пенсионеров, тоже будет интересно узнать историю Великой теоремы.

Доказательство теоремы Ферма - великое событие. А т.к. со словом "великий" не принято шутить, то знать историю теоремы, мне кажется, каждый уважающий себя оратор (а все мы, когда говорим - ораторы) просто обязан.

Если так получилось, что вы не любите математику так, как люблю ее я, то некоторые углубления в детали просматривайте беглым взором. Понимая, что не всем читателям нашей рассылки интересно блуждать в математических дебрях, я постарался не приводить никаких формул (кроме самого уравнения теоремы Ферма и пары гипотез) и максимально упростить освещение некоторых специфических вопросов.

Как Ферма заварил кашу

Французский юрист и по совместительству великий математик XVII века Пьер Ферма (1601-1665) выдвинул одно любопытное утверждение из области теории чисел, которое впоследствии получило название Великой (или Большой) теоремы Ферма. Это одна из самых известных и феноменальных математических теорем. Наверно, ажиотаж вокруг нее был бы не так силен, если бы в книге Диофанта Александрийского (III век н. э.) "Арифметика", которую Ферма частенько штудировал, делая пометки на ее широких полях, и которую любезно сохранил для потомков его сын Сэмюэл, не была обнаружена примерно следующая запись великого математика:

"Я располагаю весьма поразительным доказательством, но оно слишком велико, чтобы его можно было разместить на полях".

Она-то, эта запись, и явилась причиной последующей грандиозной суматохи вокруг теоремы.

Итак, знаменитый ученый заявил, что доказал свою теорему. Давайте же зададимся вопросом: действительно ли он ее доказал или банально соврал? Или есть другие версии, объясняющие появление той записи на полях, не дававшей спокойно спать многим математикам следующих поколений?

История Великой теоремы увлекательна, как приключение во времени. В 1636 году Ферма заявил, что уравнение вида x n +y n =z n не имеет решений в целых числах при показателе степени n>2. Это собственно и есть Большая теорема Ферма. В этой, казалось бы, простой с виду математической формуле Вселенная замаскировала невероятную сложность. Американский математик шотландского происхождения Эрик Темпл Белл в своей книге "Последняя проблема" (1961) даже предположил, что, возможно, человечество прекратит свое существование раньше, чем сможет доказать Великую теорему Ферма.

Несколько странным является то, что почему-то теорема опоздала с появлением на свет, поскольку ситуация назрела давно, ведь ее частный случай при n=2 - другая знаменитая математическая формула - теорема Пифагора, возникла на двадцать два столетия раньше. В отличие от теоремы Ферма, теорема Пифагора имеет бесконечное множество целочисленных решений, например, такие пифагоровы треугольники: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Синдром Великой теоремы

Кто только не пытался доказать теорему Ферма. Любой оперившийся студент считал своим долгом приложиться к Великой теореме, но доказать ее всё никак никому не удавалось. Сначала не удавалось сто лет. Потом еще сто. И еще. Среди математиков стал развиваться массовый синдром: "Как же так? Ферма доказал, а я что, не смогу, что ли?" - и некоторые из них на этой почве свихнулись в полном смысле этого слова.

Сколько бы теорему не проверяли - она всегда оказывалась верна. Я знал одного энергичного программиста, который был одержим идеей опровергнуть Великую теорему, пытаясь найти хотя бы одно ее решение (контрпример) методом перебора целых чисел с использованием быстродействующего компьютера (в то время чаще именовавшегося ЭВМ). Он верил в успех своего предприятия и любил приговаривать: "Еще немного - и грянет сенсация!". Думаю, что в разных местах нашей планеты имелось немалое количество такого сорта смелых искателей. Ни одного решения он, конечно же, не нашел. И никакие компьютеры, хоть даже со сказочным быстродействием, никогда не смогли бы проверить теорему, ведь все переменные этого уравнения (в том числе и показатели степени) могут возрастать до бесконечности.

Теорема требует доказательства

Математики знают, что если теорема не доказана, из нее может следовать всё что угодно (как истина, так и ложь), как это было с некоторыми другими гипотезами. Например, в одном из своих писем Пьер Ферма высказал предположение, что числа вида 2 n +1 (т.н. числа Ферма) обязательно простые (т.е. не имеют целочисленных делителей и делятся без остатка только на себя и на единицу), если n - степень двойки (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т.д.). Эта гипотеза Ферма прожила более ста лет - до тех пор, пока в 1732 году Леонард Эйлер не показал, что

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 · 641

Затем еще почти через 150 лет (1880) Фортюне Ландри разложил на множители следующее число Ферма:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 · 67 280 421 310 721

Как они без помощи компьютеров смогли найти делители этих больших чисел - одному богу известно. В свою очередь Эйлер выдвинул гипотезу, что уравнение x 4 +y 4 +z 4 =u 4 не имеет решений в целых числах. Однако примерно через 250 лет, в 1988 году Науму Элькису из Гарварда удалось обнаружить (уже с помощью компьютерной программы), что

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

Поэтому Большая теорема Ферма требовала доказательства, иначе она была просто гипотезой, и вполне могло быть, что где-то там в бескрайних числовых полях затеряно решение уравнения Великой теоремы.

Самый виртуозный и плодотворный математик XVIII века Леонард Эйлер, архив записей которого человечество разгребало почти целый век, доказал теорему Ферма для степеней 3 и 4 (вернее, он повторил утерянные доказательства самого Пьера Ферма); его последователь в теории чисел, Лежандр (а также независимо от него Дирихле) - для степени 5; Ламе - для степени 7. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

1 марта 1847 года на заседании Парижской академии наук сразу два выдающихся математика - Габриэль Ламе и Огюстен Коши - заявили, что подошли к завершению доказательства Великой теоремы и устроили гонку, публикуя свои доказательства по частям. Однако поединок между ними был прерван, потому что в их доказательствах была обнаружена одна и та же ошибка, на которую указал немецкий математик Эрнст Куммер.

В начале XX века (1908) состоятельный немецкий предприниматель, меценат и ученый Пауль Вольфскель завещал сто тысяч марок тому, кто предъявит полное доказательство теоремы Ферма. Уже в первый год после опубликования завещания Вольфскеля Геттингентской академией наук, она была завалена тысячами доказательств от любителей математики, и поток этот не прекращался в течение десятилетий, но все они, как вы догадываетесь, содержали в себе ошибки. Говорят, что в академии были заготовлены бланки примерно такого содержания:

Уважаемый __________________________!
В Вашем доказательстве теоремы Ферма на ____ странице в ____ строчке сверху
в формуле:__________________________ обнаружена следующая ошибка:,

Которые рассылались незадачливым соискателям премии.

В то время в кругу математиков появилось полупрезрительное прозвище - фермист . Так называли всякого самоуверенного выскочку, которому не хватало знаний, но зато с лихвой хватало амбиций для того, чтобы второпях попробовать силенки в доказательстве Великой теоремы, а затем, не заметив собственных ошибок, гордо хлопнув себя в грудь, громко заявить: "Я первый доказал теорему Ферма!". Каждый фермист, будь он хоть даже десятитысячным по счету, считал себя первым - это и было смешным. Простой внешний вид Великой теоремы так сильно напоминал фермистам легкую добычу, что их абсолютно не смущало, что даже Эйлер с Гауссом не смогли справиться с ней.

(Фермисты, как ни странно, существуют и ныне. Один из них хоть и не считал, что доказал теорему, как классический фермист, но до недавних пор предпринимал попытки - отказался верить мне, когда я сообщил ему, что теорема Ферма уже доказана).

Наиболее сильные математики, может быть, в тиши своих кабинетов тоже пробовали осторожно подходить к этой неподъемной штанге, но не говорили об этом вслух, дабы не прослыть фермистами и, таким образом, не навредить своему высокому авторитету.

К тому времени появилось доказательство теоремы для показателя степени n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Странная гипотеза

До середины ХХ века никаких серьезных продвижений в истории Великой теоремы не наблюдалось. Но вскоре в математической жизни произошло одно интересное событие. В 1955 году 28-летний японский математик Ютака Танияма выдвинул утверждение из совершенно другой области математики, получившее название "гипотезы Таниямы" (она же "гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейла"), которое, в отличие от запоздалой теоремы Ферма, опередило свое время.

Гипотеза Таниямы гласит: "каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма". Данное утверждение для математиков той поры звучало примерно так же абсурдно, как для нас звучит утверждение: "каждому дереву соответствует определенный металл". Нетрудно угадать, как может отнестись к подобному утверждению нормальный человек - он попросту не воспримет его всерьез, что и произошло: математики дружно проигнорировали гипотезу.

Небольшое пояснение. Эллиптические кривые, известные с давних пор, имеют двухмерный вид (располагаются на плоскости). Модулярные же функции, открытые в XIX веке, имеют четырехмерный вид, поэтому мы их даже представить себе не можем своими трехмерными мозгами, но можем описать математически; кроме того, модулярные формы удивительны тем, что обладают предельно возможной симметрией - их можно транслировать (сдвигать) в любом направлении, отражать зеркально, менять местами фрагменты, поворачивать бесконечно многими способами - и при этом их вид не изменяется. Как видим, эллиптические кривые и модулярные формы имеют мало общего. Гипотеза же Таниямы утверждает, что описательные уравнения двух соответствующих друг другу этих абсолютно разных математических объектов можно разложить в один и тот же математический ряд.

Гипотеза Таниямы была слишком парадоксальна: она соединила совершенно разные понятия - довольно простые плоские кривые и невообразимые четырехмерные формы. Такое никому не приходило в голову. Когда на международном математическом симпозиуме в Токио в сентябре 1955 года Танияма продемонстрировал несколько соответствий эллиптических кривых модулярным формам, то все увидели в этом не более, чем забавные совпадения. На скромный вопрос Таниямы: возможно ли для каждой эллиптической кривой найти соответствующую модулярную функцию, маститый француз Андре Вейл, который в то время был одним из лучших в мире специалистов в теории чисел, дал вполне дипломатичный ответ, что, дескать, если пытливого Танияму не покинет энтузиазм, то, может быть, ему повезет, и его невероятная гипотеза подтвердится, но это, должно быть, случится не скоро. В общем, как и многие другие выдающиеся открытия, сначала гипотеза Таниямы осталась без внимания, потому что до нее еще не доросли - ее почти никто не понял. Один лишь коллега Таниямы, Горо Шимура, хорошо зная своего высокоодаренного друга, интуитивно чувствовал, что его гипотеза верна.

Через три года (1958) Ютака Танияма покончил жизнь самоубийством (сильны, однако, в Японии самурайские традиции). С точки зрения здравого смысла - никак не понимаемый поступок, особенно, если учесть, что совсем скоро он собирался жениться. Свою предсмертную записку лидер молодых японских математиков начал так: "Еще вчера я не помышлял о самоубийстве. Последнее время мне часто приходилось слышать от других, что я устал умственно и физически. Вообще-то я и сейчас не понимаю, зачем это делаю…" и так далее на трех листах. Жаль, конечно, что так сложилась судьба интересного человека, но все гении немного странные - на то они и гении (на ум почему-то пришли слова Артура Шопенгауэра: "в обычной жизни от гения столько же толку, как от телескопа в театре"). Гипотеза осиротела. Никто не знал, как ее доказать.

Лет десять про гипотезу Таниямы почти не вспоминали. Но в начале 70-х годов она стала популярной - ее регулярно проверяли все, кто смог в ней разобраться - и она всегда подтверждалась (как, собственно, и теорема Ферма), но, как и прежде, никто не мог ее доказать.

Удивительная связь двух гипотез

Прошло еще примерно 15 лет. В 1984 году произошло одно ключевое событие в жизни математики, которое объединило экстравагантную японскую гипотезу с Великой теоремой Ферма. Немец Герхард Фрей выдвинул любопытное утверждение, похожее на теорему: "Если будет доказана гипотеза Таниямы, то, следовательно, будет доказана и Великая теорема Ферма". Другими словами, теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы. (Фрей методом хитроумных математических преобразований свел уравнение Ферма к виду уравнения эллиптической кривой (той самой, которая фигурирует и в гипотезе Таниямы), более-менее обосновал свое предположение, но доказать его не смог). И вот буквально через полтора года (1986) профессор калифорнийского университета Кеннет Рибет четко доказал теорему Фрея.

Что же теперь получилось? Теперь оказалось, что, так как теорема Ферма уже точно является следствием гипотезы Таниямы, нужно всего-навсего доказать последнюю, чтобы сорвать лавры покорителя легендарной теоремы Ферма. Но гипотеза оказалась непростой. К тому же у математиков за столетия появилась аллергия на теорему Ферма, и многие из них решили, что справиться с гипотезой Таниямы также будет практически невозможно.

Смерть гипотезы Ферма. Рождение теоремы

Прошло еще 8 лет. Одному прогрессивному английскому профессору математики из Принстонского университета (Нью-Джерси, США), Эндрю Уайлсу, показалось, что он нашел доказательство гипотезы Таниямы. Если гений не лысый, то, как правило, взъерошенный. Уайлс - взъерошенный, следовательно, похож на гения. Войти в Историю, конечно, заманчиво и очень хотелось, но Уайлс, как настоящий ученый, не обольщался, понимая, что тысячам фермистов до него тоже мерещились призрачные доказательства. Поэтому, прежде, чем представить свое доказательство миру, он тщательно проверял его сам, но осознавая, что может иметь субъективную предвзятость, привлекал к проверкам также и других, например, под видом обычных математических заданий он иногда подкидывал смышленым аспирантам различные фрагменты своего доказательства. Позже Уайлс признался, что никто, кроме его жены не знал, что он работает над доказательством Великой теоремы.

И вот после долгих проверок и тягостных раздумий, Уайлс наконец-то набрался храбрости, а может, как ему самому казалось, наглости и 23 июня 1993 года на математической конференции по теории чисел в Кембридже объявил о своем великом достижении.

Это, конечно, была сенсация. Никто не ожидал такой прыти от малоизвестного математика. Тут же появилась пресса. Всех терзал жгучий интерес. Стройные формулы, как штрихи прекрасной картины, предстали перед любопытными взорами собравшихся. Настоящие математики, они ведь такие - смотрят на всякие уравнения и видят в них не цифры, константы и переменные, а слышат музыку, подобно Моцарту, смотрящему на нотный стан. Точно так же, как мы, читая книгу, смотрим на буквы, но вроде бы как их и не замечаем, а сразу воспринимаем смысл текста.

Презентация доказательства, казалось, прошла успешно - ошибок в нем не нашли - никто не услышал ни одной фальшивой ноты (хотя большинство математиков просто уставилось на него, как первоклассники на интеграл и ничего не поняли). Все решили, что произошло-таки масштабное событие: доказана гипотеза Таниямы, а следовательно и Великая теорема Ферма. Но примерно через два месяца, за несколько дней до того, как рукопись доказательства Уайлса должна была пойти в тираж, в ней было обнаружено несоответствие (Кац, коллега Уайлса, заметил, что один фрагмент рассуждений опирался на "систему Эйлера", но то, что соорудил Уайлс, такой системой не являлось), хотя в целом приемы Уайлса были признаны интересными, изящными и новаторскими.

Уайлс проанализировал ситуацию и решил, что проиграл. Можно себе представить, как он всем своим существом прочувствовал, что значит "от великого до смешного один шаг". "Хотел войти в Историю, а вместо этого вошел в состав команды клоунов и комедиантов - самонадеянных фермистов" - примерно такие мысли изматывали его в тот тягостный период жизни. Для него, серьезного ученого-математика, это была трагедия, и он забросил свое доказательство в долгий ящик.

Но вот через год с небольшим, в сентябре 1994 года, во время размышления над тем узким местом доказательства вместе со своим коллегой Тейлором из Оксфорда, последнего неожиданно осенила мысль, что "систему Эйлера" можно поменять на теорию Ивасава (раздел теории чисел). Тогда они попробовали воспользоваться теорией Ивасава, обойдясь без "системы Эйлера", и у них всё сошлось. Исправленный вариант доказательства был отдан на проверку и через год было объявлено, что в нем всё абсолютно четко, без единой ошибки. Летом 1995 года в одном из первенствующих математических журналов - "Анналы математики" - было опубликовано полное доказательство гипотезы Таниямы (следовательно, Великой (Большой) теоремы Ферма), которое заняло весь номер - свыше ста листов. Доказательство так сложно, что понять его целиком могли всего лишь несколько десятков человек во всем мире.

Таким образом, в конце ХХ века весь мир признал, что на 360 году своей жизни Великая теорема Ферма, которая на самом деле всё это время являлась гипотезой, стала-таки доказанной теоремой. Эндрю Уайлс доказал Великую (Большую) теорему Ферма и вошел в Историю.

Подумаешь, доказали какую-то теорему...

Счастье первооткрывателя всегда достается кому-то одному - это именно он последним ударом молота раскалывает твердый орешек знания. Но нельзя игнорировать множество предыдущих ударов, которые не одно столетие формировали трещину в Великой теореме: Эйлера и Гаусса (королей математики своих времен), Эвариста Галуа (успевшего за свою короткую 21-летнюю жизнь основать теории групп и полей, работы которого были признаны гениальными лишь после его смерти), Анри Пуанкаре (учредителя не только причудливых модулярных форм, но и конвенционализма - философского течения), Давида Гилберта (одного из сильнейших математиков ХХ века), Ютаку Танияму, Горо Шимуру, Морделла, Фальтингса, Эрнста Куммера, Барри Мазура, Герхарда Фрея, Кена Риббета, Ричарда Тейлора и других настоящих ученых (не побоюсь этих слов).

Доказательство Великой теоремы Ферма можно поставить в один ряд с такими достижениями ХХ века, как изобретение компьютера, ядерной бомбы и полет в космос. Хоть о нем и не так широко известно, потому что оно не вторгается в зону наших сиюминутных интересов, как например, телевизор или электрическая лампочка, но оно явилось вспышкой сверхновой звезды, которая, как и все непреложные истины, всегда будет светить человечеству.

Вы можете сказать: "подумаешь, доказали какую-то теорему, кому это надо? ". Справедливый вопрос. Тут в точности сгодится ответ Давида Гилберта. Когда на вопрос: "какая задача сейчас для науки наиболее важна?", он ответил: "поймать муху на обратной стороне Луны", его резонно спросили: "а кому это надо? ", он ответил так: "Это никому не надо. Но подумайте над тем, сколько важных сложнейших задач надо решить, чтобы это осуществить". Подумайте, сколько задач за 360 лет смогло решить человечество, прежде, чем доказать теорему Ферма. В поисках ее доказательства была открыта чуть ли не половина современной математики. Надо также учесть, что математика - авангард науки (и, кстати, единственная из наук, которая строится без единой ошибки), и любые научные достижения и изобретения начинаются именно здесь. Как заметил Леонардо да Винчи, "наукой можно признать лишь то учение, которое подтверждается математически".

* * *

А теперь давайте вернемся в начало нашей истории, вспомним запись Пьера Ферма на полях учебника Диофанта и еще раз зададимся вопросом: действительно ли Ферма доказал свою теорему? Этого мы, конечно, не можем знать наверняка, и как в любом деле тут возникают разные версии:

Версия 1: Ферма доказал свою теорему. (На вопрос: "имел ли Ферма точно такое же доказательство своей теоремы?", Эндрю Уайлс заметил: "Ферма не мог располагать таким доказательством. Это доказательство ХХ века". Мы с вами понимаем, что в XVII веке математика, конечно же, была не та, что в конце ХХ века - в ту эпоху д, Артаньяна, царица наук еще не обладала теми открытиями (модулярные формы, теоремы Таниямы, Фрея и др.), которые только и позволили доказать Великую теорему Ферма. Конечно, можно предположить: чем черт не шутит - а вдруг Ферма догадался иным путем? Эта версия хоть и вероятна, но по оценкам большинства математиков, практически невозможна);
Версия 2: Пьеру Ферма показалось, что он доказал свою теорему, но в его доказательстве были ошибки. (То есть, сам Ферма был также и первым фермистом);
Версия 3: Ферма свою теорему не доказал, а на полях просто соврал.

Если верна одна из двух последних версий, что наиболее вероятно, то тогда можно сделать простой вывод: великие люди, они хоть и великие, но тоже могут ошибаться или иногда не прочь приврать (в основном этот вывод будет полезен для тех, кто склонен безраздельно доверять своим кумирам и прочим властителям дум). Поэтому, читая произведения авторитетных сынов человечества или слушая их пафосные выступления, вы имеете полное право сомневаться в их утверждениях. (Прошу заметить, что сомневаться - не значит отвергать ).

Переиздание материалов статьи возможно только с обязательными ссылками на сайт (в интернете - гиперссылка) и на автора

Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая послед­ней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестя­щим французским математиком Пьером Ферма, очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образова­нием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.

Почему она так знаменита? Сейчас узнаем...



Мало ли доказанных, недоказанных и пока не доказанных теорем? Тут все дело в том, что Великая теорема Ферма являет собой самый большой контраст между простотой формулировки и сложностью доказательства. Великая теорема Ферма – задача невероятно трудная, и тем не менее ее формулировку может понять каждый с 5-ю классами средней школы, а вот доказательство – даже далеко не всякий математик-профессионал. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто, но оставалась нерешенной так долго. 2. В чем же она состоит?

Начнем с пифагоровых штанов Формулировка действительно проста – на первый взгляд. Как известно нам с детства, «пифагоровы штаны на все стороны равны». Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно, – теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.

В V веке до н.э. Пифагор основал пифагорейское братство. Пифагорейцы, помимо прочего, изучали целочисленные тройки, удовлетворяющие равенству x²+y²=z². Они доказали, что пифагоровых троек бесконечно много, и получили общие формулы для их нахождения. Наверное, они пробовали искать тройки и более высоких степеней. Убедившись, что это не получается, пифагорейцы оставили бесполезные попытки. Члены братства были больше философами и эстетами, чем математиками.


То есть легко подобрать множество чисел, которые прекрасно удовлетворяют равенству x²+y²=z²

Начиная с 3, 4, 5 – действительно, младшекласснику понятно, что 9+16=25.

Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Замечательно.

Ну и так далее. А если взять похожее уравнение x³+y³=z³ ? Может, тоже есть такие числа?




И так далее (рис.1).

Так вот, оказывается, что их НЕТ. Вот тут начинается подвох. Простота – кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение.

Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? легко: бац – а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен. А как доказать отсутствие?

Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно.

В наглядном виде это можно показать так: если взять два квадратика подходящих размеров и разобрать на единичные квадратики, то из этой кучки единичных квадратиков получается третий квадратик (рис. 2):


А проделаем то же с третьим измерением (рис. 3) – не получается. Не хватает кубиков, или остаются лишние:





А вот математик XVII века француз Пьер де Ферма с увлечением исследовал общее уравнение x n +y n =z n . И, наконец, сделал вывод: при n>2 целочисленных решений не существует. Доказательство Ферма безвозвратно утеряно. Рукописи горят! Осталось лишь его замечание в «Арифметике» Диофанта: «Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его».

Вообще-то, теорема без доказательства называется гипотезой. Но за Ферма закрепилась слава, что он никогда не ошибается. Даже если он не оставлял доказательства какого-нибудь утверждения, впоследствии оно подтверждалось. К тому же, Ферма доказал свой тезис для n=4. Так гипотеза французского математика вошла в историю как Великая теорема Ферма.

После Ферма над поиском доказательства работали такие ве­ликие умы, как Леонард Эйлер (в 1770 году им было предложено решение для n = 3),

Адриен Лежандр и Иоганн Дирихле (эти ученые в 1825 году совместно нашли доказательство для n = 5), Габриель Ламе (нашедший доказательство для n = 7) и многие другие. К середине 80-х годов прошлого века стало понятно, что ученый мир находится на пути к окончательному решению Великой теоремы Ферма, однако только в 1993 году математики увидели и поверили, что трехвековая эпопея по поиску доказа­тельства последней теоремы Ферма практически закончилась.

Легко показывается, что теорему Ферма достаточно доказать только для простых n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При составных n доказательство остаётся в силе. Но и простых чисел бесконечно много…

В 1825 году, применив метод Софи Жермен, женщины-математика, Дирихле и Лежандр независимо друг от друга доказали теорему для n=5. В 1839 году тем же методом француз Габриель Ламе показал истинность теоремы для n=7. Постепенно теорему доказали почти для всех n, меньших ста.


Наконец, немецкий математик Эрнст Куммер в блестящем исследовании показал, что методами математики XIX века теорему в общем виде доказать нельзя. Премия Французской Академии Наук, учреждённая в 1847 году за доказательство теоремы Ферма, осталась невручённой.

В 1907 году богатый немецкий промышленник Пауль Вольфскель из-за неразделённой любви решил свести счёты с жизнью. Как истинный немец он назначил дату и время самоубийства: ровно в полночь. В последний день он составил завещание и написал письма друзьям и родственникам. Дела закончились раньше полночи. Надо сказать, что Пауль интересовался математикой. От нечего делать он пошёл в библиотеку и принялся читать знаменитую статью Куммера. Неожиданно ему показалось, что Куммер в ходе рассуждений совершил ошибку. Вольфскель стал с карандашом в руках разбирать это место статьи. Полночь миновала, наступило утро. Пробел в доказательстве был восполнен. Да и сам повод для самоубийства теперь выглядел совершенно нелепым. Пауль разорвал прощальные письма и переписал завещание.

Вскоре он умер естественной смертью. Наследники были изрядно удивлены: 100 000 марок (более 1 000 000 нынешних фунтов стерлингов) передавались на счёт Королевского научного общества Гёттингена, которое в том же году объявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля. 100 000 марок полагались доказавшему теорему Ферма. За опровержение теоремы не полагалось ни пфеннига…

Большинство профессиональных математиков считали поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадёжным делом и решительно отказывались тратить время на такое бесполезное занятие. Зато любители порезвились на славу. Через несколько недель после объявления на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств». Профессор Э. М. Ландау, в обязанность которого входил разбор присланных доказательств, раздал своим студентам карточки:


Уважаемый(ая) . . . . . . . .

Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. ... в строке... . Из-за неё всё доказательство утрачивает силу.
Профессор Э. М. Ландау











В 1963 году Пауль Коэн, опираясь на выводы Гёделя, доказал неразрешимость одной из двадцати трех проблем Гильберта — гипотезы континуума. А что, если Великая теорема Ферма тоже неразрешима?! Но истинных фанатиков Великой теоремы это ничуть не разочаровало. Появление компьютеров неожиданно дало математикам новый метод доказательства. После Второй мировой войны группы программистов и математиков доказали Великую теорему Ферма при всех значениях n до 500, затем до 1 000, а позже до 10 000.

В 80-е годы Сэмюэль Вагстафф поднял предел до 25 000, а в 90-ых математики заявили, что Великая теорема Ферма верна при всех значениях n до 4 миллионов. Но если от бесконечности отнять даже триллион триллионов, она не станет меньше. Математиков не убеждает статистика. Доказать Великую теорему значило доказать её для ВСЕХ n, уходящих в бесконечность.




В 1954 году два молодых японских друга-математика занялись исследованием модулярных форм. Эти формы порождают ряды чисел, каждая - свой ряд. Случайно Танияма сравнил эти ряды с рядами, порождаемыми эллиптическими уравнениями. Они совпадали! Но модулярные формы – геометрические объекты, а эллиптические уравнения – алгебраические. Между столь разными объектами никогда не находили связи.

Тем не менее, друзья после тщательной проверки выдвинули гипотезу: у каждого эллиптического уравнения существует двойник – модулярная форма, и наоборот. Именно эта гипотеза стала фундаментом целого направления в математике, но до тех пор, пока гипотеза Таниямы–Симуры не была доказана, всё здание могло рухнуть в любой момент.

В 1984 году Герхард Фрей показал, что решение уравнения Ферма, если оно существует, можно включить в некоторое эллиптическое уравнение. Двумя годами позже профессор Кен Рибет доказал, что это гипотетическое уравнение не может иметь двойника в модулярном мире. Отныне Великая теорема Ферма была нерасторжимо связана с гипотезой Таниямы–Симуры. Доказав, что любая эллиптическая кривая модулярна, мы делаем вывод, что эллиптического уравнения с решением уравнения Ферма не существует, и Великая теорема Ферма была бы тотчас же доказана. Но в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы–Симуры не удавалось, и надежд на успех оставалось всё меньше.

В 1963 году, когда ему было всего десять лет, Эндрю Уайлс уже был очарован математикой. Когда он узнал о Великой теореме, то понял, что не сможет отступиться от неё. Школьником, студентом, аспирантом он готовил себя к этой задаче.

Узнав о выводах Кена Рибета, Уайлс с головой ушёл в доказательство гипотезы Таниямы–Симуры. Он решил работать в полной изоляции и секретности. «Я понимал, что всё, что имеет какое-то отношение к Великой теореме Ферма, вызывает слишком большой интерес… Слишком много зрителей заведомо мешают достижению цели». Семь лет упорной работы принесли плоды, Уайлс наконец завершил доказательство гипотезы Таниямы–Симуры.

В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс представил миру свое доказательство Великой теоремы Ферма (Уайльс прочитал свой сенсационный доклад на конференции в Институте сэра Исаака Ньютона в Кембридже.) , работа над которым продолжалась более семи лет.







Пока в печати продолжалась шумиха, началась серьёзная работа по проверке доказательства. Каждый фрагмент доказательства должен быть тщательно изучен прежде, чем доказательство может быть признано строгим и точным. Уайлс провёл беспокойное лето в ожидании отзывов рецензентов, надеясь, что ему удастся получить их одобрение. В конце августа эксперты нашли недостаточно обоснованное суждение.

Оказалось, что данное решение содержит грубую ошибку, хотя в целом и верно. Уайлс не сдался, призвал на помощь известного специалиста в теории чисел Ричарда Тейлора, и уже в 1994 году они опубликовали исправлен­ное и дополненное доказательство теоремы. Самое удивительное, что эта работа заняла целых 130 (!) полос в математическом журнале «Annals of Mathematics». Но и на этом история не закончилась — последняя точка была поставлена только в следующем, 1995 году, когда в свет вышел окончательный и «идеальный», с математи­ческой точки зрения, вариант доказательства.

«…через полминуты после начала праздничного обеда по случаю её дня рождения, я подарил Наде рукопись полного доказательства» (Эндрю Уальс). Я ещё не говорил, что математики странные люди?






На этот раз никаких сомнений в доказательстве не было. Две статьи были подвергнуты самому тщательному анализу и в мае 1995 года были опубликованы в журнале «Annals of Mathematics».

С того момента прошло немало времени, однако в обществе до сих пор бытует мнение о неразрешимости Великой теоремы Фер­ма. Но даже те, кто знает о найденном доказательстве, продолжают работу в этом направлении — мало кого устраивает, что Великая теорема требует решения в 130 страниц!

Поэтому сейчас силы очень многих математиков (в основном это любители, а не профессио­нальные ученые) брошены на поиски простого и лаконичного до­казательства, однако этот путь, скорее всего, не приведет никуда...