Odvod funkcije. Podrobna teorija s primeri

Zelo enostavno zapomniti.

No, ne gremo daleč, takoj razmislimo o inverzni funkciji. Katera funkcija je inverzna eksponentni funkciji? Logaritem:

V našem primeru je osnova številka:

Takšen logaritem (to je logaritem z osnovo) imenujemo »naravni«, zanj pa uporabljamo poseben zapis: namesto tega pišemo.

Čemu je enako? Seveda, .

Izpeljanka naravnega logaritma je tudi zelo preprosta:

Primeri:

1. Poiščite odvod funkcije.
2. Kaj je odvod funkcije?

odgovori: Eksponentni in naravni logaritem sta edinstveno enostavni funkciji z vidika izpeljave. Eksponentne in logaritemske funkcije s katero koli drugo osnovo bodo imele drugačen odvod, ki ga bomo analizirali kasneje, ko bomo preučili pravila diferenciacije.

Pravila razlikovanja

Pravila česa? Spet nov mandat, spet?!...

Diferenciacija je postopek iskanja izpeljanke.

To je vse. Kako drugače lahko poimenujete ta proces z eno besedo? Ni izpeljanka... Matematiki imenujejo diferencial enak prirastek funkcije pri. Ta izraz izhaja iz latinskega differentia - razlika. Tukaj.

Pri izpeljavi vseh teh pravil bomo uporabili dve funkciji, na primer in. Potrebovali bomo tudi formule za njihove prirastke:

Skupaj je 5 pravil.

Konstanta je vzeta iz predznaka izpeljanke.

Če - neko konstantno število (konstanta), potem.

Očitno to pravilo deluje tudi za razliko: .

Dokažimo. Naj bo ali preprosteje.

Primeri.

Poiščite odvode funkcij:

1. na točki;
2. na točki;
3. na točki;
4. na točki.

rešitve:

1. (odvod je v vseh točkah enak, saj je linearna funkcija, se spomnite?);

Izpeljanka izdelka

Tukaj je vse podobno: predstavimo novo funkcijo in poiščimo njen prirastek:

Izpeljanka:

Primeri:

1. Poiščite odvode funkcij in;
2. Poiščite odvod funkcije v točki.

rešitve:

Odvod eksponentne funkcije

Zdaj je vaše znanje dovolj, da se naučite poiskati odvod poljubne eksponentne funkcije in ne samo eksponentov (ste že pozabili, kaj je to?).

Torej, kje je kakšna številka.

Odvod funkcije že poznamo, zato poskusimo reducirati našo funkcijo na novo osnovo:

Za to bomo uporabili preprosto pravilo: . Nato:

No, uspelo je. Zdaj poskusite najti izpeljanko in ne pozabite, da je ta funkcija kompleksna.

Se je zgodilo?

Evo, preverite sami:

Izkazalo se je, da je formula zelo podobna izpeljanki eksponenta: kot je bila, ostaja enaka, pojavil se je le faktor, ki je le številka, ne pa spremenljivka.

Primeri:
Poiščite odvode funkcij:

odgovori:

To je le številka, ki je brez kalkulatorja ni mogoče izračunati, torej je ni mogoče zapisati v enostavnejši obliki. Zato ga v odgovoru pustimo v tej obliki.

Upoštevajte, da je tukaj količnik dveh funkcij, zato uporabimo ustrezno pravilo diferenciacije:

V tem primeru produkt dveh funkcij:

Odvod logaritemske funkcije

Tukaj je podobno: odvod naravnega logaritma že poznate:

Torej, če želite najti poljuben logaritem z drugačno osnovo, na primer:

Ta logaritem moramo zmanjšati na osnovo. Kako spremenite osnovo logaritma? Upam, da se spomnite te formule:

Samo zdaj bomo namesto tega zapisali:

Imenovalec je preprosto konstanta (konstantno število, brez spremenljivke). Izpeljanko dobimo zelo preprosto:

Izvodov eksponentnih in logaritemskih funkcij skoraj nikoli ne najdemo v enotnem državnem izpitu, vendar jih ne bo odveč poznati.

Odvod kompleksne funkcije.

Kaj je "kompleksna funkcija"? Ne, to ni logaritem in ni arktangens. Te funkcije so lahko težko razumljive (čeprav se vam zdi logaritem težak, preberite temo "Logaritmi" in vse bo v redu), vendar z matematičnega vidika beseda "kompleksno" ne pomeni "težko".

Predstavljajte si majhen tekoči trak: dve osebi sedita in delata nekaj dejanj z nekaterimi predmeti. Prvi na primer zavije čokoladno tablico v ovoj, drugi pa jo zaveže s pentljo. Rezultat je sestavljen predmet: čokoladna ploščica, ovita in zavezana s trakom. Če želite pojesti čokoladico, morate narediti obratne korake v obratnem vrstnem redu.

Ustvarimo podoben matematični cevovod: najprej bomo našli kosinus števila in nato kvadrirali dobljeno število. Torej, dobimo številko (čokolado), jaz poiščem njen kosinus (ovitek), nato pa ti kvadriraš, kar sem jaz dobil (zavežeš s trakom). Kaj se je zgodilo? funkcija. To je primer kompleksne funkcije: ko za iskanje njene vrednosti izvedemo prvo dejanje neposredno s spremenljivko in nato drugo dejanje s tistim, kar je rezultat prvega.

Z drugimi besedami, kompleksna funkcija je funkcija, katere argument je druga funkcija: .

Za naš primer,.

Z lahkoto lahko naredimo iste korake v obratnem vrstnem redu: najprej ga kvadrirate, jaz pa nato poiščem kosinus dobljenega števila: . Zlahka je uganiti, da bo rezultat skoraj vedno drugačen. Pomembna značilnost kompleksnih funkcij: ko se spremeni vrstni red dejanj, se spremeni funkcija.

Drugi primer: (isto). .

Poklicano bo dejanje, ki ga izvedemo nazadnje "zunanjo" funkcijo, in prvo izvedeno dejanje - temu primerno "notranja" funkcija(to so neformalna imena, uporabljam jih samo za razlago snovi v preprostem jeziku).

Poskusite sami ugotoviti, katera funkcija je zunanja in katera notranja:

odgovori: Ločevanje notranjih in zunanjih funkcij je zelo podobno spreminjanju spremenljivk: na primer v funkciji

1. Katero dejanje bomo najprej izvedli? Najprej izračunajmo sinus, šele nato ga kubiramo. To pomeni, da gre za notranjo funkcijo, vendar zunanjo.
   In prvotna funkcija je njihova sestava: .
2. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
3. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
4. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
5. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .

Spremenimo spremenljivke in dobimo funkcijo.

No, zdaj bomo izluščili našo čokoladico in poiskali izpeljanko. Postopek je vedno obraten: najprej iščemo odvod zunanje funkcije, nato rezultat pomnožimo z odvodom notranje funkcije. Glede na originalni primer je videti takole:

Še en primer:

Torej, končno oblikujmo uradno pravilo:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

Zdi se preprosto, kajne?

Preverimo s primeri:

rešitve:

1) Notranji: ;

Zunanji: ;

2) Notranji: ;

(Samo ne poskušajte ga zdaj odrezati! Nič ne pride izpod kosinusa, se spomnite?)

3) Notranji: ;

Zunanji: ;

Takoj je jasno, da gre za trinivojsko kompleksno funkcijo: navsezadnje je to že sama po sebi kompleksna funkcija in iz nje izluščimo tudi koren, torej izvedemo tretje dejanje (damo čokolado v ovoj in s trakom v aktovki). Vendar ni razloga za strah: to funkcijo bomo še vedno "odpakirali" v istem vrstnem redu kot običajno: od konca.

To pomeni, da najprej diferenciramo koren, nato kosinus in šele nato izraz v oklepaju. In potem vse pomnožimo.

V takih primerih je priročno oštevilčiti dejanja. Se pravi, predstavljajmo si, kaj vemo. V kakšnem vrstnem redu bomo izvajali dejanja za izračun vrednosti tega izraza? Poglejmo primer:

Kasneje ko se izvede dejanje, bolj "zunanja" bo ustrezna funkcija. Zaporedje dejanj je enako kot prej:

Tu je gnezdenje običajno 4-nivojsko. Določimo potek ukrepanja.

1. Radikalno izražanje. .

2. Koren. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Vse skupaj:

IZPELJAVKA. NA KRATKO O GLAVNEM

Odvod funkcije- razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta za neskončno majhen prirastek argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta je vzeta iz izpeljanke:

Izpeljanka vsote:

Izpeljanka izdelka:

Izpeljanka količnika:

Odvod kompleksne funkcije:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

1. Definiramo “notranjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
2. Definiramo “zunanjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
3. Rezultate prve in druge točke pomnožimo.

Pri izpeljavi prve formule tabele bomo izhajali iz definicije odvodne funkcije v točki. Vzemimo kam x– poljubno realno število, tj. x– poljubno število iz domene definicije funkcije. Zapišimo mejo razmerja prirastka funkcije in prirastka argumenta pri :

Opozoriti je treba, da pod mejnim znakom dobimo izraz, ki ni negotovost ničle, deljene z ničlo, saj števec ne vsebuje neskončno majhne vrednosti, ampak natančno nič. Z drugimi besedami, prirastek konstantne funkcije je vedno enak nič.

torej odvod konstantne funkcijeje enak nič v celotnem področju definicije.

Odvod potenčne funkcije.

Formula za odvod potenčne funkcije ima obliko , kjer je eksponent str– poljubno realno število.

Najprej dokažimo formulo za naravni eksponent, to je za p = 1, 2, 3, …

Uporabili bomo definicijo derivata. Zapišimo mejo razmerja med prirastkom potenčne funkcije in prirastkom argumenta:

Za poenostavitev izraza v števcu se obrnemo na Newtonovo binomsko formulo:

torej

To dokazuje formulo za odvod potenčne funkcije za naravni eksponent.

Odvod eksponentne funkcije.

Predstavljamo izpeljavo formule za izpeljavo na podlagi definicije:

Prišli smo do negotovosti. Da ga razširimo, uvedemo novo spremenljivko in pri . Potem. Pri zadnjem prehodu smo uporabili formulo za prehod na novo logaritemsko osnovo.

Nadomestimo v prvotno mejo:

Če se spomnimo druge izjemne meje, pridemo do formule za odvod eksponentne funkcije:

Odvod logaritemske funkcije.

Dokažimo formulo za odvod logaritemske funkcije za vse x iz domene definicije in vse veljavne vrednosti baze a logaritem Po definiciji derivata imamo:

Kot ste opazili, so bile med dokazom transformacije izvedene z uporabo lastnosti logaritma. Enakopravnost je res zaradi druge izjemne meje.

Odvodi trigonometričnih funkcij.

Za izpeljavo formul za odvode trigonometričnih funkcij se bomo morali spomniti nekaterih trigonometričnih formul, pa tudi prve izjemne limite.

Po definiciji odvoda za sinusno funkcijo imamo .

Uporabimo formulo razlike sinusov:

Obrnemo se še na prvo izjemno mejo:

Torej odvod funkcije greh x Tukaj je cos x.

Formula za odvod kosinusa se dokaže na povsem enak način.

Zato je odvod funkcije cos x Tukaj je – greh x.

Izpeljali bomo formule za tabelo odvodov za tangens in kotangens z uporabo preverjenih pravil diferenciacije (odvod ulomka).

Odvodi hiperboličnih funkcij.

Pravila diferenciacije in formula za odvod eksponentne funkcije iz tabele odvodov nam omogočajo izpeljavo formul za odvode hiperboličnega sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa.

Odvod inverzne funkcije.

Da ne bi prišlo do zmede med predstavitvijo, označimo v indeksu argument funkcije, s katero se izvaja diferenciacija, to je odvod funkcije f(x) Avtor: x.

Zdaj pa oblikujmo pravilo za iskanje odvoda inverzne funkcije.

Naj funkcije y = f(x) in x = g(y) medsebojno inverzni, definirani na intervalih oz. Če v neki točki obstaja končna ničelna odvodnja funkcije f(x), potem je v točki končni odvod inverzne funkcije g(y), in . V drugi objavi .

To pravilo je mogoče preoblikovati za katero koli x iz intervala , potem dobimo .

Preverimo veljavnost teh formul.

Poiščimo inverzno funkcijo za naravni logaritem (Tukaj l je funkcija in x- prepir). Po rešitvi te enačbe za x, dobimo (tukaj x je funkcija in l– njen argument). to je in medsebojno inverzne funkcije.

Iz tabele izpeljank vidimo, da in .

Prepričajmo se, da nas formule za iskanje odvodov inverzne funkcije vodijo do enakih rezultatov:

Kot lahko vidite, smo dobili enake rezultate kot v tabeli derivatov.

Zdaj imamo znanje za dokazovanje formul za odvode inverznih trigonometričnih funkcij.

Začnimo z odvodom arkusina.

. Nato z uporabo formule za odvod inverzne funkcije dobimo

Vse kar ostane je, da izvedemo preobrazbe.

Ker je območje arkusina interval , To (glej poglavje o osnovnih elementarnih funkcijah, njihovih lastnostih in grafih). Zato ga ne upoštevamo.

torej . Domena definicije arksinusnega odvoda je interval (-1; 1) .

Za ark kosinus je vse narejeno na popolnoma enak način:

Poiščimo odvod arktangensa.

Za inverzno funkcijo je .

Izrazimo arktangens z arkozinom, da poenostavimo dobljeni izraz.

Pustiti arctgx = z, Potem

torej

Odvod ark kotangensa najdemo na podoben način:

Izpeljava formule za odvod potenčne funkcije (x na potenco a). Upoštevani so izpeljanke iz korenin x. Formula za odvod potenčne funkcije višjega reda. Primeri računanja derivatov.

Vsebina

Poglej tudi: Potenčna funkcija in koreni, formule in graf
Grafi funkcij moči

Osnovne formule

Odvod x na potenco a je enak a krat x na potenco minus ena:
(1) .

Odvod n-tega korena iz x na m-to potenco je:
(2) .

Izpeljava formule za odvod potenčne funkcije

Primer x > 0

Razmislite o potenčni funkciji spremenljivke x z eksponentom a:
(3) .
Tu je a poljubno realno število. Najprej razmislimo o primeru.

Za iskanje odvoda funkcije (3) uporabimo lastnosti potenčne funkcije in jo pretvorimo v naslednjo obliko:
.

Zdaj najdemo izpeljanko z:
;
.
Tukaj.

Formula (1) je dokazana.

Izpeljava formule za odvod korena stopnje n iz x na stopnjo m

Zdaj razmislite o funkciji, ki je koren naslednje oblike:
(4) .

Da bi našli izpeljanko, transformiramo koren v potenčno funkcijo:
.
Če primerjamo s formulo (3), vidimo, da
.
Potem
.

S formulo (1) najdemo odvod:
(1) ;
;
(2) .

V praksi ni treba zapomniti formule (2). Veliko bolj priročno je najprej preoblikovati korene v potenčne funkcije in nato poiskati njihove odvode s formulo (1) (glej primere na koncu strani).

Primer x = 0

Če je , potem je potenčna funkcija definirana za vrednost spremenljivke x = 0 . Poiščimo odvod funkcije (3) pri x = 0 . Za to uporabimo definicijo derivata:
.

Zamenjajmo x = 0 :
.
V tem primeru z odvodom mislimo na desno mejo, za katero .

Tako smo ugotovili:
.
Iz tega je jasno, da za , .
Ob , .
Ob , .
Ta rezultat dobimo tudi iz formule (1):
(1) .
Zato velja formula (1) tudi za x = 0 .

Primer x< 0

Ponovno razmislite o funkciji (3):
(3) .
Za določene vrednosti konstante a je definirana tudi za negativne vrednosti spremenljivke x. Naj bo namreč a racionalno število. Potem ga lahko predstavimo kot nezmanjšani ulomek:
,
kjer sta m in n celi števili, ki nimata skupnega delitelja.

Če je n liho, potem je funkcija moči definirana tudi za negativne vrednosti spremenljivke x. Na primer, ko je n = 3 in m = 1 imamo kubični koren iz x:
.
Definiran je tudi za negativne vrednosti spremenljivke x.

Poiščimo odvod potenčne funkcije (3) za in za racionalne vrednosti konstante a, za katero je definirana. Če želite to narediti, predstavimo x v naslednji obliki:
.
potem,
.
Odvod najdemo tako, da postavimo konstanto izven predznaka odvoda in uporabimo pravilo za razlikovanje kompleksne funkcije:

.
Tukaj. Ampak
.
Od takrat
.
Potem
.
To pomeni, da formula (1) velja tudi za:
(1) .

Izpeljanke višjega reda

Zdaj pa poiščimo odvode višjega reda potenčne funkcije
(3) .
Izpeljanko prvega reda smo že našli:
.

Če vzamemo konstanto a zunaj predznaka odvoda, najdemo odvod drugega reda:
.
Podobno najdemo izpeljanke tretjega in četrtega reda:
;

.

Iz tega je razvidno, da derivat poljubnega n-tega reda ima naslednjo obliko:
.

obvestilo, to če je a naravno število, potem je n-ti derivat konstanten:
.
Potem so vsi naslednji derivati ​​enaki nič:
,
ob .

Primeri računanja derivatov

Primer

Poiščite odvod funkcije:
.

Pretvorimo korene v potence:
;
.
Potem ima izvirna funkcija obliko:
.

Iskanje derivatov potenc:
;
.
Odvod konstante je nič:
.

S tem videom začenjam dolgo serijo lekcij o derivatih. Ta lekcija je sestavljena iz več delov.

Najprej vam bom povedal, kaj so odpeljanke in kako jih izračunati, vendar ne v prefinjenem akademskem jeziku, ampak tako, kot ga razumem sam in kot razlagam svojim študentom. Drugič, obravnavali bomo najenostavnejše pravilo za reševanje nalog, v katerih bomo iskali odvode vsot, odvode diferenc in odvode potenčne funkcije.

Pogledali si bomo bolj zapletene kombinirane primere, iz katerih boste predvsem izvedeli, da je mogoče podobne probleme, ki vključujejo korene in celo ulomke, rešiti s formulo za odvod potenčne funkcije. Poleg tega bo seveda veliko problemov in primerov rešitev različnih stopenj zahtevnosti.

Na splošno sem sprva nameraval posneti kratek 5-minutni video, vendar lahko vidite, kako se je izkazalo. Torej dovolj besedil – pojdimo k poslu.

Kaj je izpeljanka?

Torej, začnimo od daleč. Pred mnogimi leti, ko so bila drevesa bolj zelena in je bilo življenje bolj zabavno, so matematiki razmišljali o tem: razmislite o preprosti funkciji, ki jo definira njen graf, poimenujte jo $y=f\left(x \right)$. Seveda graf ne obstaja sam po sebi, zato morate poleg osi $y$ narisati $x$ osi. Zdaj pa izberimo katero koli točko na tem grafu, popolnoma katero koli. Poimenujmo absciso $((x)_(1))$, ordinata bo, kot lahko ugibate, $f\levo(((x)_(1)) \desno)$.

Poglejmo še eno točko na istem grafu. Ni pomembno katerega, glavno je, da se razlikuje od originalnega. Ponovno ima absciso, recimo ji $((x)_(2))$, in tudi ordinato - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Imamo torej dve točki: imata različne abscise in s tem različne vrednosti funkcij, čeprav slednje ni potrebno. Toda tisto, kar je res pomembno, je, da iz tečaja planimetrije vemo: skozi dve točki lahko narišete ravno črto in poleg tega samo eno. Torej ga izpeljemo.

Zdaj pa narišimo ravno črto skozi prvo od njih, vzporedno z osjo abscise. Dobimo pravokotni trikotnik. Imenujmo ga $ABC$, pravi kot $C$. Ta trikotnik ima eno zelo zanimivo lastnost: dejstvo je, da je kot $\alpha $ dejansko enak kotu, pod katerim se premica $AB$ seka z nadaljevanjem abscisne osi. Presodite sami:

1. premica $AC$ je konstrukcijsko vzporedna z osjo $Ox$,
2. premica $AB$ seka $AC$ pod $\alpha $,
3. torej $AB$ seka $Ox$ pod istim $\alpha $.

Kaj lahko rečemo o $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Nič posebnega, le da je v trikotniku $ABC$ razmerje med krakom $BC$ in krakom $AC$ enako tangensu prav tega kota. Torej zapišimo:

Seveda je $AC$ v tem primeru enostavno izračunati:

Enako za $BC$:

Z drugimi besedami, lahko zapišemo naslednje:

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \right))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Zdaj, ko smo vse to odpravili, se vrnimo k našemu grafikonu in poglejmo novo točko $B$. Izbrišimo stare vrednosti in vzemimo $B$ nekje bližje $((x)_(1))$. Ponovno označimo njegovo absciso z $((x)_(2))$, ordinato pa z $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Ponovno poglejmo naš mali trikotnik $ABC$ in $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ znotraj njega. Povsem očitno je, da bo to popolnoma drug kot, drugačen bo tudi tangent, ker sta se dolžini odsekov $AC$ in $BC$ bistveno spremenili, formula za tangens kota pa se ni spremenila prav nič - to je še vedno razmerje med spremembo funkcije in spremembo argumenta.

Nazadnje še naprej premikamo $B$ bližje prvotni točki $A$, posledično bo trikotnik postal še manjši, premica, ki vsebuje segment $AB$, pa bo vse bolj podobna tangenti na graf funkcijo.

Posledično, če nadaljujemo z zbliževanjem točk skupaj, tj. zmanjševanjem razdalje na nič, se bo premica $AB$ v dani točki res spremenila v tangento grafa in $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ se bo transformiral iz elementa pravilnega trikotnika v kot med tangento na graf in pozitivno smerjo osi $Ox$.

In tukaj gladko preidemo na definicijo $f$, in sicer je odvod funkcije v točki $((x)_(1))$ tangens kota $\alpha $ med tangento na graf v točki $((x)_( 1))$ in pozitivni smeri osi $Ox$:

\[(f)"\levo(((x)_(1)) \desno)=\imeoperatorja(tg)\besedilo( )\!\!\alfa\!\!\besedilo( )\]

Če se vrnemo k našemu grafu, je treba opozoriti, da je lahko katera koli točka na grafu izbrana kot $((x)_(1))$. Na primer, z enakim uspehom bi lahko odstranili potezo na točki, prikazani na sliki.

Recimo kotu med tangento in pozitivno smerjo osi $\beta$. V skladu s tem bo $f$ v $((x)_(2))$ enako tangensu tega kota $\beta $.

\[(f)"\levo(((x)_(2)) \desno)=tg\besedilo( )\!\!\beta\!\!\besedilo( )\]

Vsaka točka na grafu bo imela svojo tangento in s tem lastno vrednost funkcije. V vsakem od teh primerov je treba poleg točke, v kateri iščemo odvod razlike ali vsote ali odvod potenčne funkcije, vzeti še eno točko, ki je oddaljena od nje, in nato usmeriti ta točka na prvotnega in seveda ugotoviti, kako bo v procesu Takšno gibanje spremenilo tangento kota naklona.

Odvod potenčne funkcije

Žal nam takšna definicija nikakor ne ustreza. Vse te formule, slike, koti nam ne dajo niti najmanjše ideje o tem, kako izračunati pravi odvod v resničnih problemih. Zato se malo oddaljimo od formalne definicije in razmislimo o učinkovitejših formulah in tehnikah, s katerimi lahko že rešite resnične težave.

Začnimo z najpreprostejšimi konstrukcijami, in sicer funkcijami oblike $y=((x)^(n))$, tj. močnostne funkcije. V tem primeru lahko zapišemo naslednje: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Z drugimi besedami, stopnja, ki je bila v eksponentu, je prikazana v sprednjem množitelju, in sam eksponent se zmanjša za enoto. Na primer:

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

Tu je še ena možnost:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\levo(x \desno))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

S temi preprostimi pravili poskusimo odstraniti pridih naslednjih primerov:

Torej dobimo:

\[((\levo(((x)^(6)) \desno))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Zdaj pa rešimo drugi izraz:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Seveda so bile to zelo preproste naloge. Vendar so resnični problemi bolj zapleteni in niso omejeni le na stopnje delovanja.

Torej, pravilo št. 1 - če je funkcija predstavljena v obliki drugih dveh, potem je derivat te vsote enak vsoti derivatov:

\[((\levo(f+g \desno))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

Podobno je odvod razlike dveh funkcij enak razliki odvodov:

\[((\left(f-g \desno))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\levo(((x)^(2))+x \desno))^(\prime ))=((\levo(((x)^(2)) \desno))^(\ praštevilo ))+((\levo(x \desno))^(\prime ))=2x+1\]

Poleg tega obstaja še eno pomembno pravilo: če je pred nekim $f$ konstanta $c$, s katero se ta funkcija pomnoži, potem se $f$ te celotne konstrukcije izračuna na naslednji način:

\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\levo(3((x)^(3)) \desno))^(\prime ))=3((\levo(((x)^(3)) \desno))^(\ praštevilo ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Za konec še eno zelo pomembno pravilo: v nalogah je pogosto ločen izraz, ki sploh ne vsebuje $x$. To lahko na primer opazimo v naših izrazih danes. Odvod konstante, torej števila, ki ni v ničemer odvisen od $x$, je vedno enak nič, pri čemer sploh ni pomembno, čemu je enaka konstanta $c$:

\[((\levo(c \desno))^(\prime ))=0\]

Primer rešitve:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Ponovno ključne točke:

1. Odvod vsote dveh funkcij je vedno enak vsoti odvodov: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. Iz podobnih razlogov je odvod razlike dveh funkcij enak razliki dveh odvodov: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. Če ima funkcija konstanten faktor, potem lahko to konstanto vzamemo kot izpeljanko: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
4. Če je celotna funkcija konstanta, potem je njen derivat vedno enak nič: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Poglejmo, kako vse skupaj deluje na resničnih primerih. Torej:

Zapišemo:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \desno))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \desno))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\levo(((x)^(2)) \desno))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\konec(poravnaj)\]

V tem primeru vidimo tako odvod vsote kot odvod razlike. Skupaj je izpeljanka enaka $5((x)^(4))-6x$.

Preidimo na drugo funkcijo:

Zapišimo rešitev:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left((((x)) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Tukaj smo našli odgovor.

Preidimo na tretjo funkcijo - resnejša je:

\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \desno)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \desno))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \desno))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Našli smo odgovor.

Preidimo na zadnji izraz - najbolj zapleten in najdaljši:

Torej upoštevamo:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\levo(6((x)^(7)) \desno))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \desno))^(\prime )) +((\levo(4x \desno))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

A rešitev se tu ne konča, saj od nas zahtevajo, da ne samo odstranimo potezo, temveč izračunamo njeno vrednost na določeni točki, zato v izraz namesto $x$ vstavimo −1:

\[(y)"\levo(-1 \desno)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Pojdimo dlje in preidimo na še bolj zapletene in zanimive primere. Dejstvo je, da formula za reševanje potenčne odvodnice $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ ima še širši obseg, kot se običajno verjame. Z njegovo pomočjo lahko rešujete primere z ulomki, koreni itd. To bomo storili zdaj.

Za začetek še enkrat zapišimo formulo, ki nam bo pomagala najti odvod potenčne funkcije:

In zdaj pozor: doslej smo kot $n$ obravnavali samo naravna števila, nič pa nam ne preprečuje, da bi upoštevali tudi ulomke in celo negativna števila. Na primer, lahko zapišemo naslednje:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \desno))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\konec(poravnaj)\]

Nič zapletenega, zato poglejmo, kako nam bo ta formula pomagala pri reševanju bolj zapletenih problemov. Torej, primer:

Zapišimo rešitev:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ levo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \desno))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(align)\]

Vrnimo se k našemu primeru in zapišimo:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

To je tako težka odločitev.

Pojdimo k drugemu primeru - izraza sta samo dva, a vsak od njiju vsebuje tako klasično diplomo kot korenine.

Zdaj se bomo naučili najti odvod potenčne funkcije, ki poleg tega vsebuje koren:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \desno))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7 ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Oba člena sta izračunana, ostane nam le še, da zapišemo končni odgovor:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Našli smo odgovor.

Odvod ulomka skozi potenčno funkcijo

Toda možnosti formule za reševanje odvoda potenčne funkcije se tu ne končajo. Dejstvo je, da z njegovo pomočjo lahko izračunate ne samo primere s koreninami, ampak tudi z ulomki. Ravno to je tista redka priložnost, ki močno poenostavi reševanje tovrstnih primerov, a je pogosto spregledajo ne le učenci, ampak tudi učitelji.

Torej, zdaj bomo poskušali združiti dve formuli hkrati. Po eni strani klasična izpeljanka potenčne funkcije

\[((\left(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Po drugi strani pa vemo, da lahko izraz v obliki $\frac(1)(((x)^(n)))$ predstavimo kot $((x)^(-n))$. torej

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \desno))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \desno)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Tako se tudi odvodi enostavnih ulomkov, kjer je števec konstanta in imenovalec stopinja, izračunajo po klasični formuli. Poglejmo, kako to deluje v praksi.

Torej, prva funkcija:

\[((\levo(\frac(1)(((x)^(2))) \desno))^(\prime ))=((\levo(((x)^(-2)) \ desno))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Prvi primer je rešen, pojdimo k drugemu:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \desno))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \desno))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \desno) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \desno) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \desno))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \desno)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ levo(3((x)^(4)) \desno))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ konec (poravnaj)\]...

Zdaj zberemo vse te izraze v eno samo formulo:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Prejeli smo odgovor.

Preden nadaljujem, pa bi vas rad opozoril na obliko pisanja samih izvirnih izrazov: v prvem izrazu smo zapisali $f\left(x \right)=...$, v drugem: $y =...$ Veliko študentov se izgubi, ko vidijo različne oblike posnetkov. Kakšna je razlika med $f\left(x \right)$ in $y$? Nič zares. Gre le za različne vnose z enakim pomenom. Samo, ko rečemo $f\left(x \desno)$, govorimo najprej o funkciji, ko govorimo o $y$, pa največkrat mislimo na graf funkcije. V nasprotnem primeru gre za isto stvar, tj. derivat v obeh primerih velja za enak.

Kompleksni problemi z izvedenimi finančnimi instrumenti

Na koncu bi rad razmislil o nekaj kompleksnih kombiniranih problemih, ki uporabljajo vse, kar smo obravnavali danes. Vsebujejo korene, ulomke in vsote. Vendar bodo ti primeri zapleteni samo v današnji video vadnici, saj vas bodo resnično zapletene izpeljanke čakale naprej.

Torej, zadnji del današnje video lekcije, sestavljen iz dveh združenih nalog. Začnimo s prvim od njih:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \desno))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\levo(\frac(1)(((x)^(3))) \desno))^(\prime ))=((\ levo(((x)^(-3)) \desno))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Odvod funkcije je enak:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Prvi primer je rešen. Razmislimo o drugi težavi:

V drugem primeru postopamo podobno:

\[((\levo(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \desno))^(\prime ))+((\levo(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \desno))^ (\prime ))\]

Izračunajmo vsak člen posebej:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \desno))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \desno)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ levo(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \desno))^(\prime ))=((\levo(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \desno)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \desno)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Vsi pogoji so izračunani. Zdaj se vrnemo k prvotni formuli in seštejemo vse tri člene. Dobimo, da bo končni odgovor tak:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

In to je vse. To je bila naša prva lekcija. V naslednjih lekcijah si bomo ogledali bolj zapletene konstrukcije in tudi ugotovili, zakaj so izpeljanke sploh potrebne.

Dokaz in izpeljava formul za odvod eksponente (e na x potenco) in eksponentne funkcije (a na x potenco). Primeri izračunavanja odvodov e^2x, e^3x in e^nx. Formule za odvode višjih redov.

Vsebina

Poglej tudi: Eksponentna funkcija - lastnosti, formule, graf
Eksponent, e na potenco x - lastnosti, formule, graf

Osnovne formule

Odvod eksponenta je enak eksponentu samemu (odvod e na potenco x je enak e na potenco x):
(1) (e x )′ = e x.

Odvod eksponentne funkcije z osnovo a je enak sami funkciji, pomnoženi z naravnim logaritmom a:
(2) .

Eksponent je eksponentna funkcija, katere osnova je enaka številu e, kar je naslednja meja:
.
Tu je lahko naravno število ali realno število. Nato izpeljemo formulo (1) za odvod eksponente.

Izpeljava formule eksponentnega odvoda

Upoštevajte eksponent, e na potenco x:
y = e x.
Ta funkcija je definirana za vse. Poiščimo njen odvod glede na spremenljivko x. Po definiciji je izpeljanka naslednja meja:
(3) .

Transformirajmo ta izraz, da ga zmanjšamo na znane matematične lastnosti in pravila. Za to potrebujemo naslednja dejstva:
A) Lastnost eksponenta:
(4) ;
B) Lastnost logaritma:
(5) ;
IN) Zveznost logaritma in lastnost limitov za zvezno funkcijo:
(6) .
Tukaj je funkcija, ki ima limit in ta limit je pozitiven.
G) Pomen druge izjemne meje:
(7) .

Uporabimo ta dejstva za našo mejo (3). Uporabljamo lastnost (4):
;
.

Naredimo zamenjavo. Potem ; .
Zaradi kontinuitete eksponente,
.
Torej, ko ,. Kot rezultat dobimo:
.

Naredimo zamenjavo. Potem. Ob , . In imamo:
.

Uporabimo lastnost logaritma (5):
. Potem
.

Uporabimo lastnost (6). Ker obstaja pozitivna meja in je logaritem zvezen, potem:
.
Tu smo uporabili tudi drugo izjemno mejo (7). Potem
.

Tako smo dobili formulo (1) za odvod eksponente.

Izpeljava formule za odvod eksponentne funkcije

Sedaj izpeljemo formulo (2) za odvod eksponentne funkcije z bazo stopnje a. Verjamemo, da in. Nato eksponentna funkcija
(8)
Določeno za vse.

Transformirajmo formulo (8). Za to bomo uporabili lastnosti eksponentne funkcije in logaritma.
;
.
Tako smo formulo (8) pretvorili v naslednjo obliko:
.

Odvodi višjega reda e na potenco x

Zdaj pa poiščimo derivate višjih stopenj. Najprej poglejmo eksponent:
(14) .
(1) .

Vidimo, da je odvod funkcije (14) enak sami funkciji (14). Z razlikovanjem (1) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:
;
.

To kaže, da je tudi odvod n-tega reda enak izvirni funkciji:
.

Odvodi eksponentne funkcije višjega reda

Zdaj razmislite o eksponentni funkciji z osnovo stopnje a:
.
Našli smo njegovo izpeljanko prvega reda:
(15) .

Z razlikovanjem (15) dobimo izpeljanke drugega in tretjega reda:
;
.

Vidimo, da vsaka diferenciacija vodi do množenja prvotne funkcije z . Zato ima odvod n-tega reda naslednjo obliko:
.

Poglej tudi: