Množice Elementi teorije množic. Set Operations
Ne spomnim se, kdaj sem prvič spoznal topologijo, vendar me je ta veda takoj zanimala. Čajnik se spremeni v krof, krogla se obrne navzven. Mnogi so slišali za to. Toda tisti, ki se želijo v to temo poglobiti na resnejši ravni, imajo pogosto težave. To še posebej velja za obvladovanje osnovnih pojmov, ki so sami po sebi zelo abstraktni. Poleg tega se zdi, da mnogi viri namerno poskušajo zmesti bralca. Recimo, da ruski wiki daje zelo nejasno formulacijo, kaj počne topologija. Piše, da je to veda, ki preučuje topološki prostori. V članku o topoloških prostorih lahko bralec spozna, da so topološki prostori prostori, opremljeni s topologija. Takšne razlage v slogu Lemovih sepulekov pravzaprav ne razjasnijo bistva teme. V nadaljevanju bom poskušal predstaviti glavne osnovne koncepte v bolj jasni obliki. Moja opomba ne bo vključevala obračanja čajnikov in žemljic, vendar bodo narejeni prvi koraki, ki vam bodo sčasoma omogočili, da se naučite te čarovnije.
Ker pa nisem matematik, ampak 100% humanist, je čisto možno, da je spodaj napisano laž! No, ali vsaj del tega.
To opombo sem najprej napisal kot začetek serije člankov o topologiji za svoje prijatelje iz humanistike, vendar je nihče od njih ni začel brati. Odločil sem se, da popravljeno in razširjeno različico objavim na Habru. Zdelo se mi je, da obstaja določeno zanimanje za to temo in tovrstnih člankov še ni bilo. Že vnaprej hvala za vse komentarje o napakah in netočnostih. Opozarjam vas, da uporabljam veliko slik.
Začnimo s kratkim pregledom teorije množic. Mislim, da je večina bralcev seznanjena, a kljub temu vas bom spomnil na osnove.
Torej velja, da množica nima definicije in da intuitivno razumemo, kaj je. Cantor je rekel: "Z "množico" mislimo kombinacijo v določeno celoto M določenih jasno razločljivih predmetov m našega razmišljanja ali našega razmišljanja (ki jih bomo imenovali "elementi" množice M).« Seveda je to le alegoričen opis in ne matematična definicija.
Teorija množic je znana (oprostite besedni igri) po številnih presenetljivih paradoksih. Na primer. Povezuje se tudi s krizo matematike v začetku 20. stoletja.
Teorija množic obstaja v več različicah, kot sta ZFC ali NBG in druge. Različica teorije je teorija tipov, ki je za programerje precej pomembna. Končno, nekateri matematiki predlagajo uporabo teorije kategorij, o kateri je bilo veliko napisanega na Habréju, namesto teorije množic kot temelja matematike. Teorija tipov in teorija množic opisujeta matematične objekte kot »od znotraj«, medtem ko teorije kategorij ne zanima njihova notranja struktura, temveč le njihovo medsebojno delovanje, tj. daje njihove "zunanje" značilnosti.
Za nas so pomembni samo osnovni temelji teorije množic.
Množice so lahko končne.
Neskončne so. Na primer niz celih števil, ki je označen s črko ℤ (ali samo Z, če na tipkovnici nimate zavitih črk).
Končno je tu še prazen niz. Popolnoma enako je v celotnem vesolju. Za to dejstvo obstaja preprost dokaz, vendar ga tukaj ne bom predstavil.
Če je množica neskončna, se zgodi števen. Števne množice so tiste množice, katerih elemente lahko oštevilčimo z naravnimi števili. Sama množica naravnih števil je, kot ste uganili, tudi števna. Tukaj je opisano, kako številčite cela števila.
Racionalna števila so težja, vendar jih je mogoče tudi oštevilčiti. Ta metoda se imenuje diagonalni proces in izgleda kot na spodnji sliki.
Po racionalnih številih se premikamo cik-cak, začenši od 1. Hkrati vsakemu dobljenemu številu pripišemo sodo število. Negativna racionalna števila se štejejo na enak način, le števila so liha, začenši s 3. Ničla tradicionalno prejme prvo število. Tako je jasno, da je mogoče vsa racionalna števila oštevilčiti. Vse številke, kot je 4,87592692976340586068 ali 1,00000000000001, ali -9092 ali celo 42, dobijo svojo številko v tej tabeli. Vendar tu ne padejo vse številke. Na primer, √2 ne bo prejel številke. To je nekoč zelo razburilo Grke. Pravijo, da se je tip, ki je odkril iracionalna števila, utopil.
Posplošitev koncepta velikosti za množice je moč. Kardinalnost končnih množic je enaka številu njihovih elementov. Kardinalnost neskončnih množic je označena s hebrejsko črko alef z indeksom. Najmanjša neskončna moč je moč ℵ 0 . Enaka je kardinalite štetnih množic. Kot vidimo je torej toliko naravnih števil, kolikor je celih ali racionalnih števil. Čudno, a resnično. Naslednja je moč kontinuum. Označujemo ga z malo gotsko črko c. To je na primer moč niza realnih števil ℝ. Obstaja hipoteza, da je moč kontinuuma enaka moči ℵ 1. To pomeni, da je to naslednja potenca za potenco preštevnih množic in da ni vmesne potence med preštevnimi množicami in kontinuumom.
Na nizih lahko izvajate različne operacije in pridobivate nove nize.
1. Kompleti se lahko kombinirajo.
3. Lahko iščete presečišče množic.
Pravzaprav je to vse, kar morate vedeti o nizih za namene te opombe. Zdaj lahko nadaljujemo s samo topologijo.
Topologija je veda, ki preučuje množice z določeno strukturo. To strukturo imenujemo tudi topologija.
Imejmo neko neprazno množico S.
Naj ima ta množica določeno strukturo, ki jo opisuje množica, ki jo bomo imenovali T. T je množica podmnožic množice S, tako da:
1. S sam in ∅ pripadata T.
2. Vsaka unija poljubnih družin elementov T pripada T.
3. Presečišče poljubnih dokončno družina elementov T pripada T.
Če so te tri točke izpolnjene, je naša struktura topologija T na množici S. Elemente množice T imenujemo odprto množice na S v topologiji T. Komplement odprtih množic je zaprto množice. Pomembno je vedeti, da samo zato, ker je niz odprt, ne pomeni, da ni zaprt, in obratno. Poleg tega lahko v dani množici glede na določeno topologijo obstajajo podmnožice, ki niso niti odprte niti zaprte.
Dajmo primer. Imejmo niz treh barvnih trikotnikov.
Najenostavnejša topologija na njej se imenuje antidiskretna topologija. Tukaj je.
To topologijo imenujemo tudi topologija zlepljene pike. Sestavljen je iz same množice in prazne množice. To dejansko zadošča aksiomom topologije.
Na enem nizu lahko definirate več topologij. Tukaj je še ena zelo primitivna topologija, ki se zgodi. Imenuje se diskretno. To je topologija, ki je sestavljena iz vseh podmnožic dane množice.
In tukaj je še ena topologija. Postavljen je na niz 7 raznobarvnih zvezd S, ki sem jih označil s črkami. Prepričajte se, da je to topologija. O tem nisem prepričan, morda sem spregledal kakšno zvezo ali križišče. Na tej sliki naj bo sama množica S, prazna množica, presečišča in unije vseh ostalih elementov topologije pa naj bodo tudi na sliki.
Par iz topologije in množice, na kateri je definirana, se imenuje topološki prostor.
Če je v množici veliko točk (da ne omenjamo dejstva, da jih je lahko neskončno veliko), je lahko naštevanje vseh odprtih množic problematično. Na primer, za diskretno topologijo na nizu treh elementov morate narediti seznam 8 nizov. In za niz 4 elementov bo diskretna topologija že številka 16, za 5 - 32, za 6 -64 itd. Da ne bi naštevali vseh odprtih množic, se uporablja nekakšen stenografski zapis - izpišejo se tisti elementi, katerih unije lahko dajo vse odprte množice. Se imenuje osnova topologija. Na primer, za diskretno topologijo prostora treh trikotnikov bodo to trije trikotniki ločeno, ker lahko z njihovo kombinacijo dobite vse druge odprte množice v tej topologiji. Baza naj bi ustvarila topologijo. Množice, katerih elementi tvorijo bazo, imenujemo predbaza.
Spodaj je primer osnove za diskretno topologijo na nizu petih zvezd. Kot lahko vidite, je v tem primeru baza sestavljena le iz petih elementov, medtem ko je v topologiji kar 32 podmnožic. Strinjam se, uporaba baze za opis topologije je veliko bolj priročna.
Čemu so odprti kompleti? V nekem smislu dajejo idejo o "bližini" med točkami in razliki med njimi. Če točke pripadajo dvema različnima odprtima množicama ali če je ena točka v odprti množici, ki ne vsebuje druge, potem sta topološko različni. V antidiskretni topologiji so vse točke v tem smislu nerazločljive; zdi se, da so se zlepile skupaj. Nasprotno, v diskretni topologiji Vse točke so različne.
S konceptom odprte množice je neločljivo povezan koncept soseska. Nekateri avtorji ne definirajo topologije v smislu odprtih množic, ampak v smislu sosesk. Okolica točke p je množica, ki vsebuje odprto kroglo s središčem v tej točki. Spodnja slika na primer prikazuje soseske in nesoseske točk. Množica S 1 je okolica točke p, množica S 2 pa ni.
Povezavo med odprto množico in oktestnostjo lahko formuliramo na naslednji način. Odprta množica je množica, katere vsak element ima neko sosesko, ki leži v dani množici. Ali, nasprotno, lahko rečemo, da je množica odprta, če je soseska katere koli svoje točke.
To so vsi najosnovnejši koncepti topologije. Od tu naprej še ni jasno, kako obrniti krogle navzven. Morda mi bo v prihodnosti uspelo priti do tovrstnih tem (če se bom sam domislil).
UPD. Zaradi nenatančnosti mojega govora je prišlo do zmede glede kardinalnosti množic. Svoje besedilo sem nekoliko popravil in tukaj želim podati pojasnilo. Cantor je pri ustvarjanju svoje teorije množic uvedel koncept moči, ki je omogočil primerjavo neskončnih množic. Cantor je ugotovil, da so kardinalnosti preštevnih množic (na primer racionalnih števil) in kontinuuma (na primer realnih števil) različne. Predpostavil je, da je moč kontinuuma naslednja za močjo preštevnih množic, tj. enako aleph-ena. Cantor je poskušal dokazati to hipotezo, vendar brez uspeha. Kasneje je postalo jasno, da te hipoteze ni mogoče ne ovreči ne dokazati.
Pojem množice je začetni pojem, ki ni strogo definiran. Naj tukaj predstavimo definicijo množice (natančneje, razlago ideje množice), ki pripada G. Cantorju: »Z raznolikostjo ali množico na splošno mislim na vsa številna, ki jih lahko pojmujemo kot eno, to je taka zbirka določenih elementov, ki jih je mogoče z enim zakonom povezati v eno celoto."
Množice bomo praviloma označevali z velikimi črkami latinične abecede, njihove elemente pa z malimi, čeprav bomo včasih morali odstopati od tega dogovora, saj so lahko elementi neke množice druge množice. Dejstvo, da element a pripada množici, je zapisano v obliki .
V matematiki imamo opravka z najrazličnejšimi množicami. Za elemente teh nizov uporabljamo dve glavni vrsti zapisov: konstante in spremenljivke.
Posamezna konstanta (ali samo konstanta) z obsegom označuje fiksni element množice. To so na primer oznake (zapisi v določenem številskem sistemu) realnih števil: . Za dve konstanti in z razponom vrednosti bomo zapisali , kar pomeni sovpadanje elementov množice, ki jo označujeta.
Posamezna spremenljivka (ali preprosto spremenljivka) z obsegom vrednosti označuje poljuben, ne vnaprej določen element niza. V tem primeru pravijo, da spremenljivka teče skozi množico ali spremenljivka zavzame poljubne vrednosti na množici. Vrednost spremenljivke lahko popravite tako, da napišete , kjer je konstanta z enakim obsegom vrednosti kot . V tem primeru pravijo, da je bila spremenljivka zamenjana z določeno vrednostjo, ali je bila namesto nje opravljena zamenjava, ali pa je spremenljivka prevzela vrednost.
Enakost spremenljivk razumemo takole: kadar spremenljivka zavzame poljubno vrednost, zavzame spremenljivka enako vrednost in obratno. Tako imajo enake spremenljivke »sinhrono« vedno enake vrednosti.
Običajno se konstante in spremenljivke, katerih obseg vrednosti je določen numerični niz, in sicer eden od nizov in , imenujejo naravne, cele (ali cele), racionalne, realne in kompleksne konstante oziroma spremenljivke. Pri predmetu diskretne matematike bomo uporabljali različne konstante in spremenljivke, katerih obseg ni vedno numerični niz.
Za skrajšanje zapisa bomo uporabili logično simboliko, ki nam omogoča, da trditve zapišemo na kratko, kot formule. Pojem izjave ni opredeljen. Označeno je le, da je katera koli trditev lahko resnična ali napačna (seveda ne hkrati!).
Logične operacije (povezave) na množicah
Za oblikovanje novih stavkov iz obstoječih stavkov se uporabljajo naslednje logične operacije (ali logični povezovalci).
1. Disjunkcija: izjava (beri: "ali") je resnična, če in samo če je vsaj ena od trditev in resnična.
2. Veznik: izjava (beri: »in«) je resnična, če in samo če sta obe izjavi in resnični.
3. Negacija: izjava (beri: "ne") je resnična, če in samo če je napačna.
4. Implikacija: izjava (beri: »če, potem« ali »implicira«) je resnična, če in samo če je katera koli izjava resnična ali sta obe izjavi napačni.
5. Ekvivalentnost (ali enakovrednost): izjava (beri: "če in samo če") je resnična, če in samo če sta obe izjavi hkrati resnični ali hkrati napačni. Vsaki dve trditvi in taka, ki je resnična, se imenujeta logično enakovredna ali enakovredna.
Pri pisanju stavkov z uporabo logičnih operacij predpostavljamo, da je vrstni red, v katerem se izvajajo vse operacije, določen s postavitvijo oklepajev. Zaradi poenostavitve zapisa so oklepaji pogosto izpuščeni, medtem ko je sprejet določen vrstni red operacij ("prioritetna konvencija").
Operacija negiranja se vedno izvede prva in zato ni v oklepajih. Druga je operacija konjunkcije, nato disjunkcije in končno implikacije in ekvivalence. Izjava je na primer napisana takole: . Ta izjava je disjunkcija dveh izjav: prva je negacija , druga pa . Nasprotno pa je izjava negacija disjunkcije izjav in .
Na primer, izjava po postavitvi oklepajev v skladu s prioritetami bo dobila obliko
Naredimo nekaj komentarjev o zgoraj predstavljenih logičnih veznikih. Smiselna razlaga disjunkcije, konjunkcije in negacije ne zahteva posebnih razlag. Implikacija je po definiciji resnična, kadar je izjava resnična (ne glede na resnico) ali pa sta obe napačni. Torej, če je implikacija resnična, potem, če je resnična, resnica velja, nasprotno pa morda ne drži, tj. če je napačna, je izjava lahko resnična ali napačna. To motivira branje implikacije v obliki "če, potem". Prav tako ni težko razumeti, da je izjava enakovredna izjavi in se tako smiselno »če, potem« identificira z »ne ali«.
Enakovrednost ni nič drugega kot »dvostranska implikacija«, tj. enakovreden To pomeni, da iz resnice sledi resnica in obratno, iz resnice sledi resnica.
Primer 1.1. Za določitev resničnosti ali napačnosti kompleksne izjave glede na resničnost ali lažnost izjav, ki so v njej vključene, se uporabljajo tabele resnic.
Prva dva stolpca tabele beležita vse možne nize vrednosti, ki jih lahko sprejmejo izjave in . Resničnost trditve je označena s črko »I« ali številko 1, lažnost pa s črko »L« ali številko 0. Preostale stolpce izpolnimo od leve proti desni. Torej za vsak niz vrednosti najdemo ustrezne pomene izjav.
Najenostavnejša oblika so resničnostne tabele logičnih operacij (Tabela 1.1-1.5).
Razmislite o kompleksni izjavi. Za udobje izračunov izjavo označimo z , izjavo z , izvirno izjavo pa zapišemo v obliki . Tabela resničnosti te izjave je sestavljena iz stolpcev in (tabela 1.6).
Predikati in kvantifikatorji
Kompleksne izjave ne tvorijo samo z logičnimi vezniki, temveč tudi s pomočjo predikatov in kvantifikatorjev.
Predikat je stavek, ki vsebuje eno ali več posameznih spremenljivk. Na primer, "obstaja sodo število" ali "je študent na Moskovski državni tehnični univerzi Bauman, ki je vstopil leta 1999." V prvem predikatu je celoštevilska spremenljivka, v drugem je spremenljivka, ki poteka skozi množico "človeških posameznikov". Primer predikata, ki vsebuje več posameznih spremenljivk, je: "ima sina", "in študira v isti skupini", "je razdeljen na", "manj" itd. Predikate bomo zapisali v obliki , ob predpostavki, da so vse spremenljivke, vključene v danem predikatu, navedene v oklepaju.
Zamenjava namesto vsake spremenljivke, vključene v predikat, z določeno vrednostjo, tj. fiksiranje vrednosti , kjer so nekatere konstante z ustreznim obsegom vrednosti, dobimo izjavo, ki ne vsebuje spremenljivk. Na primer, "2 je sodo število", "Isaac Newton je študent Moskovske državne tehnične univerze Bauman, ki je vstopil leta 1999", "Ivanov je Petrov sin", "5 je deljivo s 7" itd. Glede na to, ali je tako dobljena izjava resnična ali napačna, pravimo, da je predikat na množici vrednosti spremenljivk izpolnjen ali ne. Predikat, ki je izpolnjen na katerem koli naboru vrednosti spremenljivk, ki so vanj vključene, se imenuje identično resničen, predikat, ki ni izpolnjen na katerem koli naboru vrednosti spremenljivk, vključenih vanj, pa se imenuje identično napačen.
Izjavo iz predikata je mogoče dobiti ne samo z zamenjavo vrednosti njegovih spremenljivk, temveč tudi s kvantifikatorji. Uvedena sta dva kvantifikatorja - eksistenca in univerzalnost, označena z oz.
Trditev (»za vsak element, ki pripada množici, je resničen« ali, na kratko, »za vse je resničen«) je po definiciji resnična, če in samo če predikat velja za vsako vrednost spremenljivke.
Trditev ("obstaja ali bo najden element množice, ki je resničen", tudi "za nekatere je resničen") je po definiciji resnična, če in samo če je predikat izpolnjen na nekaterih vrednostih spremenljivka.
Povezovanje predikatov spremenljivk s kvantifikatorji
Ko je izjava oblikovana iz predikata z uporabo kvantifikatorja, pravimo, da je spremenljivka predikata povezana s kvantifikatorjem. Spremenljivke v predikatih, ki vsebujejo več spremenljivk, so vezane na podoben način. Na splošno se uporabljajo izjave v obliki
kjer je vsako črko z indeksom mogoče nadomestiti s katerim koli kvantifikatorjem ali .
Na primer, izjava se glasi takole: "za vsakogar obstaja nekaj, kar je res." Če so nizi, ki potekajo skozi predikatne spremenljivke, fiksni (implicirani »privzeto«), so kvantifikatorji zapisani v skrajšani obliki: ali .
Upoštevajte, da je veliko matematičnih izrekov mogoče zapisati v obliki, podobni trditvam s pravkar podanimi kvantifikatorji, na primer: »za vse in za vsakogar velja: če je funkcija diferencibilna v točki, potem je funkcija zvezna v točki .”
Metode za določanje množic
Ko smo razpravljali o značilnostih uporabe logične simbolike, se vrnimo k obravnavi sklopov.
Dve množici veljata za enaki, če je kateri koli element množice element množice in obratno. Iz zgornje definicije enakih množic sledi, da je množica popolnoma določena s svojimi elementi.
Oglejmo si načine za definiranje specifičnih nizov. Za končno množico, katere število elementov je razmeroma majhno, lahko uporabimo metodo neposrednega naštevanja elementov. Elementi končne množice so navedeni v zavitih oklepajih v poljubnem fiksnem vrstnem redu. Poudarjamo, da ker je množica v celoti definirana s svojimi elementi, pri definiranju končne množice ni pomemben vrstni red, v katerem so navedeni njeni elementi. Zato zapisi itd. vsi nastavijo isti niz. Poleg tega se v zapisu množic včasih uporabljajo ponovitve elementov. Predpostavili bomo, da vnos definira isto množico kot vnos.
Na splošno se za končno množico uporablja zapisna oblika. Praviloma se izogibamo ponavljanju elementov. Potem je končna množica, definirana z zapisom, sestavljena iz elementov. Imenuje se tudi n-elementna množica.
Vendar pa je metoda definiranja množice z neposrednim naštevanjem njenih elementov uporabna v zelo ozkem obsegu končnih množic. Najpogostejši način podajanja določenih množic je podajanje določene lastnosti, ki jo morajo imeti vsi elementi opisane množice in samo oni.
Ta ideja se izvaja na naslednji način. Naj spremenljivka teče čez določeno množico, imenovano univerzalna množica. Predpostavljamo, da so obravnavane le tiste množice, katerih elementi so tudi elementi množice. V takem primeru lahko lastnost, ki jo imajo izključno elementi dane množice, izrazimo s predikatom, ki velja, če in samo če spremenljivka prevzame poljubno vrednost iz množice. Z drugimi besedami, res je, če in samo če je posamezna konstanta nadomeščena.
Predikat se v tem primeru imenuje karakteristični predikat množice, lastnost, izražena s tem predikatom, pa karakteristična lastnost ali kolektivizirajoča lastnost.
Množica, definirana s karakterističnim predikatom, je zapisana v naslednji obliki:
Na primer, to pomeni, da "obstaja množica, sestavljena iz vseh elementov, tako da je vsak od njih sodo naravno število."
Izraz »kolektivizirajoča lastnina« je motiviran z dejstvom, da ta lastnina omogoča zbiranje različnih elementov v eno celoto. Tako lastnost, ki definira množico (glej spodaj), dobesedno tvori določeno »kolektivno«:
Če se vrnemo k Cantorjevi definiciji množice, potem je značilen predikat množice zakon, po katerem je množica elementov združena v eno samo celoto. Predikat, ki definira kolektivizirajočo lastnost, je lahko enako napačen. Tako definirana množica ne bo imela niti enega elementa. Imenuje se prazna množica in jo označimo z .
Nasprotno pa identično resničen značilni predikat definira univerzalno množico.
Bodimo pozorni na to, da vsak predikat ne izraža neke kolektivizirajoče lastnosti.
Opomba 1.1. Konkretno vsebino koncepta univerzalne množice določa specifični kontekst, v katerem uporabljamo teoretične ideje množic. Na primer, če se ukvarjamo le z različnimi številskimi množicami, potem se lahko množica vseh realnih števil pojavi kot univerzalna. Vsaka veja matematike se ukvarja z relativno omejenim naborom množic. Zato je priročno verjeti, da so elementi vsake od teh množic tudi elementi neke »obsegajoče« univerzalne množice. Ko določimo univerzalni niz, s tem določimo obseg vrednosti vseh spremenljivk in konstant, ki se pojavljajo v našem matematičnem razmišljanju. V tem primeru je prav mogoče, da v kvantifikatorjih ne navedemo množice, ki teče skozi spremenljivko, ki jo povezuje kvantifikator. V naslednji predstavitvi se bomo srečali z različnimi primeri konkretnih univerzalnih množic.
Definicija 1.Mnogi je zbirka nekaterih predmetov, združenih v eno celoto glede na nekatere značilnosti.
Predmeti, ki sestavljajo množico, se imenujejo njeni elementi.
Označeno z velikimi črkami latinske abecede: A, B, …, X, Y, ..., njihovi elementi pa so označeni z ustreznimi velikimi črkami: a, b, …, x, y.
Opredelitev 1.1. Pokličemo množico, ki ne vsebuje niti enega elementa prazno in je označen s simbolom Ø.
Niz je mogoče določiti z naštevanjem in opisom.
Primer:; 
.
Opredelitev 1.2. Mnogi A imenujemo podmnožica B, če je vsak element množice A je element nabora B. Simbolično je to označeno na naslednji način: AB (A vsebovana v B).
Opredelitev 1.3. Dva kompleta A in B se imenujejo enaka, če so sestavljeni iz istih elementov: ( A =B).
Operacije na množicah.
Opredelitev 1.4. Unija ali vsota množic A in B je množica, sestavljena iz elementov, od katerih vsak pripada vsaj eni od teh množic.
Unijo množic označujemo z AB(oz A +B). Na kratko lahko napišemo AB = .
AB= A +B
če B.A., To A +B=A
Opredelitev 1.5. Presek ali produkt množic A in B je množica, sestavljena iz elementov, od katerih vsak pripada množici A in mnogi B istočasno. Presek množic je označen z AB(oz A· B). Na kratko lahko zapišemo:
AB = 
.
AB =A · B
če B A, To A · B=B
Opredelitev 1.6. Set razlike A in B je množica, katere vsak element je element množice A
in ni element množice B. Nastavljena razlika je označena z A\B. A-prednost A\B
=
.
A\B = A–B
Množice, katerih elementi so števila, imenujemo številčno.
Primeri nizov številk so:
n
=
- množica naravnih števil.
Z= - množica celih števil.
Q=
- niz racionalnih števil.
R– množica realnih števil.
Kup R vsebuje racionalna in iracionalna števila. Vsako racionalno število je izraženo bodisi kot končni decimalni ulomek bodisi kot neskončni periodični ulomek. Torej, ;… so racionalna števila.
Iracionalno število je izraženo kot neskončni neperiodični decimalni ulomek. Torej, = 1,41421356...; = 3,14159265.... je iracionalno število.
K– niz kompleksnih števil (v obliki Z=a+ bi)
RK
Opredelitev 1.7.Ɛ ‒ okolica točke x 0 imenujemo simetrični interval ( x 0 – Ɛ; x 0 + Ɛ), ki vsebuje točko x 0 .
Še posebej, če je interval ( x 0 –Ɛ; x 0 +Ɛ), potem neenakost x 0 –Ɛ<x<x 0 +Ɛ ali, kar je enako, │ x– x 0 │<Ɛ. Narediti slednje pomeni zadeti bistvo x v Ɛ – okolica točke x 0 .
Primer 1:
(2 – 0,1; 2 + 0,1) ali (1,9; 2,1) – Ɛ– soseska.
│x– 2│< 0,1
–0,1<x – 2<0,1
2 –0,1<x< 2 + 0,1
1,9<x< 2,1
Primer 2:
A– niz delilnikov 24;
B– niz deliteljev 18.
Po izobrazbi sem teoretični fizik, vendar imam dobro matematično ozadje. V magistrskem programu je bil eden od predmetov filozofija, treba je bilo izbrati temo in o njej oddati referat. Ker je bila večina možnosti obravnavana že večkrat, sem se odločil izbrati nekaj bolj eksotičnega. Ne delam se, da sem nov, le uspelo mi je nabrati vso/skoraj vso razpoložljivo literaturo na to temo. Filozofi in matematiki lahko mečejo vame kamenje, hvaležen bom le za konstruktivno kritiko.P.S. Zelo »suh jezik«, a po univerzitetnem kurikulumu precej berljiv. Večinoma so bile definicije paradoksov vzete iz Wikipedije (poenostavljena formulacija in že pripravljena oznaka TeX).
Uvod
Sama teorija množic in njeni paradoksi so se pojavili ne tako dolgo nazaj, pred nekaj več kot sto leti. Vendar je bila v tem obdobju prehojena dolga pot; teorija množic je tako ali drugače dejansko postala osnova večine vej matematike. Njeni paradoksi, povezani s Cantorjevo neskončnostjo, so bili uspešno pojasnjeni v dobesedno pol stoletja.Začeti bi morali z definicijo.
Kaj je komplet? Vprašanje je precej preprosto, odgovor je precej intuitiven. Množica je določena množica elementov, ki jih predstavlja en sam predmet. Cantor v svojem delu Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre podaja definicijo: z »množico« mislimo na povezavo v določeno celoto M določenih jasno razločljivih predmetov m našega razmišljanja ali mišljenja (ki jih bomo imenovali »elementi« množice M). Kot vidimo, se bistvo ni spremenilo, razlika je le v tistem delu, ki je odvisen od svetovnega nazora determinatorja. Zgodovina teorije množic, tako v logiki kot v matematiki, je zelo protislovna. Pravzaprav ga je začel Cantor v 19. stoletju, nato pa so delo nadaljevali Russell in drugi.
Paradoksi (logika in teorija množic) - (grško - nepričakovano) - formalna logična protislovja, ki se pojavijo v smiselni teoriji množic in formalni logiki ob ohranjanju logične pravilnosti sklepanja. Paradoksi nastanejo, ko se dve medsebojno izključujoči (protislovni) trditvi izkažeta za enako dokazljivi. Paradoksi se lahko pojavijo tako znotraj znanstvene teorije kot v običajnem sklepanju (na primer Russellova parafraza njegovega paradoksa o množici vseh normalnih množic: »Vaški brivec brije vse tiste in samo tiste prebivalce svoje vasi, ki se ne obrijejo sami. Moral bi on obrije? sebe?"). Ker formalno logično protislovje uniči sklepanje kot sredstvo za odkrivanje in dokazovanje resnice (v teoriji, v kateri se pojavi paradoks, je dokazljiv vsak stavek, tako resničen kot neresničen), se pojavi naloga identificirati vire takih protislovij in najti načine, kako jih odpraviti. Problem filozofskega razumevanja specifičnih rešitev paradoksov je eden od pomembnih metodoloških problemov formalne logike in logičnih osnov matematike.
Namen tega dela je preučevanje paradoksov teorije množic kot dedičev starodavnih antinomij in povsem logičnih posledic prehoda na novo raven abstrakcije - neskončnost. Naloga je razmisliti o glavnih paradoksih in njihovi filozofski razlagi.
Osnovni paradoksi teorije množic
Brivec brije samo tiste ljudi, ki se sami ne brijejo. Ali se sam brije?
Nadaljujemo s kratkim izletom v zgodovino.Nekateri logični paradoksi so znani že od antičnih časov, vendar jih zaradi dejstva, da je bila matematična teorija omejena na aritmetiko in geometrijo, ni bilo mogoče povezati s teorijo množic. V 19. stoletju so se razmere radikalno spremenile: Cantor je v svojih delih dosegel novo raven abstrakcije. Uvedel je koncept neskončnosti, s čimer je ustvaril novo vejo matematike in s tem omogočil primerjavo različnih neskončnosti z uporabo koncepta "moči množice". Vendar je pri tem povzročila številne paradokse. Čisto prva je ti Paradoks Burali-Forti. V matematični literaturi obstajajo različne formulacije, ki temeljijo na različni terminologiji in domnevnem nizu znanih izrekov. Tukaj je ena od formalnih definicij.
Dokaže se lahko, da če je x poljubna množica rednih števil, potem je množica vsot redna številka, ki je večja ali enaka vsakemu od elementov x. Predpostavimo zdaj, da je to množica vseh zaporednih števil. Potem je zaporedno število večje ali enako kateremu koli številu v . Toda potem in je zaporedna številka, in je že strogo večja, in zato ni enaka nobeni številki v . Toda to je v nasprotju s pogojem, po katerem - niz vseh zaporednih številk.
Bistvo paradoksa je v tem, da se z nastankom množice vseh vrstilnih števil oblikuje nov ordinalni tip, ki ga še ni bilo med »vsemi« transfinitnimi vrstilnimi števili, ki so obstajala pred nastankom množice vseh vrstilnih števil. Ta paradoks je odkril sam Cantor, neodvisno ga je odkril in objavil italijanski matematik Burali-Forti, napake slednjega je popravil Russell, nakar je formulacija dobila končno obliko.
Med vsemi poskusi, da bi se tovrstnim paradoksom izognili in jih do neke mere poskušali razložiti, si zasluži največjo pozornost ideja že omenjenega Russlla. Predlagal je, da se iz matematike in logike izključijo implicitni stavki, v katerih je definicija elementa množice odvisna od slednjega, kar povzroča paradokse. Pravilo se glasi takole: "nobena množica C ne more vsebovati elementov m, ki so definirani samo v smislu množice C, kot tudi elementov n, ki to množico predpostavljajo v svoji definiciji." Takšna omejitev definicije množice nam omogoča, da se izognemo paradoksom, hkrati pa bistveno zoži obseg njene uporabe v matematiki. Poleg tega to ni dovolj za razlago njihove narave in razlogov za njihov nastanek, zakoreninjenih v dihotomiji mišljenja in jezika, v značilnostih formalne logike. Do neke mere lahko to omejitev izsledimo v analogiji s tem, kar so poznejši kognitivni psihologi in lingvisti začeli imenovati »kategorizacija na osnovni ravni«: definicija je zmanjšana na koncept, ki ga je najlažje razumeti in preučevati.
Predpostavimo, da množica vseh množic obstaja. V tem primeru velja , kar pomeni, da je vsaka množica t podmnožica V. Vendar iz tega sledi, da moč katere koli množice ne presega moči V. Toda na podlagi aksioma množice vseh podmnožice, za V, kot za vsako množico, obstaja množica vseh podmnožic , in po Cantorjevem izreku, ki je v nasprotju s prejšnjo trditvijo. Posledično V ne more obstajati, kar je v nasprotju z »naivno« hipotezo, da vsak skladenjsko pravilen logični pogoj definira množico, to je, da je za vsako formulo A, ki ne vsebuje y, prosta. Izjemen dokaz odsotnosti takih protislovij, ki temelji na aksiomatizirani Zermelo-Fraenklovi teoriji množic, je podal Potter.
Oba zgornja paradoksa sta z logičnega vidika identična »Lažnivcu« ali »Britcu«: izražena sodba ni naslovljena le na nekaj objektivnega v odnosu do njega, ampak tudi na samega sebe. Vendar pa morate biti pozorni ne le na logično plat, temveč tudi na koncept neskončnosti, ki je tukaj prisoten. Literatura se sklicuje na delo Poincaréja, v katerem piše: »zaradi vere v obstoj dejanske neskončnosti … so te nepredikativne definicije potrebne.«
Na splošno so glavne točke:
- v teh paradoksih je kršeno pravilo jasnega ločevanja »sfer« predikata in subjekta; stopnja zmede je blizu zamenjavi enega pojma z drugim;
- Običajno se v logiki predpostavlja, da subjekt in predikat v procesu sklepanja ohranita svoj obseg in vsebino, vendar se v tem primeru zgodi
prehod iz ene kategorije v drugo, kar ima za posledico nedoslednost; - prisotnost besede "vse" je smiselna za končno število elementov, toda v primeru neskončnega števila elementov je mogoče imeti enega, ki
za opredelitev samega sebe bo potrebna definicija množice; - kršeni so osnovni logični zakoni:
- zakon identitete je kršen, ko se razkrije neistovetnost subjekta in predikata;
- zakon protislovja – ko sta izpeljani dve nasprotujoči si sodbi z isto pravico;
- zakon izključenega tretjega - ko je treba to tretje priznati in ne izključiti, saj ne prvega ne drugega ni mogoče priznati brez drugega, ker se izkažejo za enako legitimne.
Naj bo K množica vseh množic, ki ne vsebujejo same sebe kot element. Ali K vsebuje samega sebe kot element? Če da, potem po definiciji K ne bi smel biti element K - protislovje. Če ne, potem bi po definiciji K moral biti element K - spet protislovje. Ta trditev je logično izpeljana iz Cantorjevega paradoksa, ki prikazuje njun odnos. Vendar pa se filozofsko bistvo manifestira bolj jasno, saj se "samogibanje" pojmov zgodi tik "pred našimi očmi".
Paradoks Tristrama Shandyja:
V Sternovem Življenju in mnenju Tristrama Shandyja, gospoda, junak odkrije, da je potreboval celo leto, da je povedal dogodke prvega dne svojega življenja, in še eno leto, da je opisal drugi dan. V zvezi s tem se junak pritožuje, da se bo gradivo njegove biografije kopičilo hitreje, kot ga bo lahko obdelal, in ga nikoli ne bo mogel dokončati. »Zdaj trdim,« temu ugovarja Russell, »da če bi živel večno in mu delo ne bi postalo breme, tudi če bi bilo njegovo življenje še naprej tako polno dogodkov kot na začetku, potem nobeden od delov njegovega življenjepisa ne bi ostal nenapisan.«
Shandy bi namreč lahko opisal dogodke n-tega dne v n-tem letu in tako bi bil vsak dan zajet v njegovi avtobiografiji.
Z drugimi besedami, če bi življenje trajalo večno, bi imelo toliko let kot dni.
Russell potegne analogijo med tem romanom ter Zenonom in njegovo želvo. Po njegovem mnenju je rešitev v tem, da je celota enakovredna svojemu delu v neskončnosti. Tisti. Le »aksiom zdrave pameti« vodi v protislovje. Vendar je rešitev problema na področju čiste matematike. Očitno obstajata dva niza - leta in dnevi, med elementi katerih se vzpostavi korespondenca ena proti ena - bijekcija. Potem, glede na neskončno življenje glavnega junaka, obstajata dva neskončna niza enake moči, kar, če moč obravnavamo kot posplošitev koncepta števila elementov v nizu, razreši paradoks.
Paradoks (teorem) Banach-Tarskega ali paradoks podvojitve kroglice- izrek v teoriji množic, ki pravi, da je tridimenzionalna krogla enakovredna dvema svojima kopijama.
Dve podmnožici evklidskega prostora se imenujeta enako sestavljeni, če je mogoče enega razdeliti na končno število delov, jih premakniti, drugega pa sestaviti iz njih.
Natančneje, dve množici A in B sta enako sestavljeni, če ju je mogoče predstaviti kot končno unijo disjunktnih podmnožic, tako da je za vsak i podmnožica skladna.
Če uporabimo izbirni izrek, potem definicija zveni takole:
Aksiom izbire pomeni, da obstaja razdelitev površine enotne krogle na končno število delov, ki jih je mogoče s transformacijami tridimenzionalnega evklidskega prostora, ki ne spremenijo oblike teh komponent, sestaviti v dve krogli. polmera enote.
Glede na zahtevo, da so ti deli merljivi, ta izjava očitno ni izvedljiva. Slavni fizik Richard Feynman je v svoji biografiji povedal, kako mu je nekoč uspelo zmagati v sporu o tem, da je pomarančo razdelil na končno število delov in jo ponovno sestavil.
Na določenih točkah se ta paradoks uporablja za zavrnitev aksioma izbire, vendar je težava v tem, da tisto, kar imamo za elementarno geometrijo, ni pomembno. Tiste koncepte, ki jih imamo za intuitivne, je treba razširiti na raven lastnosti transcendentalnih funkcij.
Da bi dodatno oslabili zaupanje tistih, ki menijo, da je aksiom izbire napačen, je vredno omeniti izrek Mazurkiewicza in Sierpinskega, ki pravi, da obstaja neprazna podmnožica E evklidske ravnine, ki ima dve disjunktni podmnožici, ki jih je mogoče razdeliti na končno število delov, tako da jih je mogoče prevesti z izometrijami v pokritje množice E.
V tem primeru dokaz ne zahteva uporabe aksioma izbire.
Nadaljnje konstrukcije, ki temeljijo na aksiomu gotovosti, nudijo rešitev za paradoks Banach-Tarski, vendar niso tako zanimive.
- Richardov paradoks: poimenovati morate "najmanjše število, ki ni imenovano v tej knjigi." Protislovje je v tem, da je po eni strani to mogoče storiti, saj je v tej knjigi navedeno najmanjše število. Na njegovi podlagi lahko poimenujemo najmanjše brez imena. Tu pa nastopi težava: kontinuum je neštet, med kateri koli dve števili lahko vstaviš neskončno število vmesnih števil. Po drugi strani pa, če bi lahko to številko poimenovali, bi samodejno prešla iz razreda tistih, ki v knjigi niso omenjeni, v razred omenjenih.
- Grelling-Nilssonov paradoks: besede ali znaki lahko označujejo katero koli lastnost in jo hkrati imajo ali ne. Najbolj trivialna formulacija zveni takole: ali je beseda "heterološka" (kar pomeni "neuporabna zase"), heterološka?.. Zelo podobna Russellovemu paradoksu zaradi prisotnosti dialektičnega protislovja: dvojnost oblike in vsebine je kršena. Pri besedah, ki imajo visoko stopnjo abstrakcije, je nemogoče ugotoviti, ali so te besede heterologne.
- Skolemov paradoks: z uporabo Gödelovega izreka o popolnosti in Löwenheim-Skolemovega izreka ugotovimo, da aksiomatska teorija množic ostane resnična, tudi če je za njeno razlago predpostavljena (na voljo) samo štetna zbirka množic. Istočasno
aksiomatska teorija vključuje že omenjeni Cantorjev izrek, ki nas pripelje do neštetih neskončnih množic.
Reševanje paradoksov
Ustvarjanje teorije množic je povzročilo tisto, kar velja za tretjo krizo matematike, ki še ni za vse zadovoljivo razrešena.Zgodovinsko gledano je bil prvi pristop teoretičen. Temeljil je na uporabi dejanske neskončnosti, ko je veljalo, da je vsako neskončno zaporedje dokončano v neskončnosti. Ideja je bila, da se morate v teoriji množic pogosto ukvarjati z množicami, ki so lahko deli drugih, večjih množic. Uspešna dejanja v tem primeru so bila možna samo v enem primeru: dani nizi (končni in neskončni) so bili dokončani. Določen uspeh je bil očiten: aksiomatska teorija množic Zermelo-Fraenkel, celotna matematična šola Nicolasa Bourbakija, ki obstaja že več kot pol stoletja in še vedno povzroča veliko kritik.
Logicizem je bil poskus reduciranja vse znane matematike na izraze aritmetike in nato reduciranja izrazov aritmetike na koncepte matematične logike. Frege se je tega natančno lotil, vendar je bil po koncu dela na delu prisiljen opozoriti na svojo nedoslednost, potem ko je Russell opozoril na protislovja v teoriji. Isti Russell, kot smo že omenili, je poskušal odpraviti uporabo nepredikativnih definicij s pomočjo "teorije tipov". Vendar so se njegovi koncepti množice in neskončnosti ter aksiom reducibilnosti izkazali za nelogične. Glavna težava je bila v tem, da niso bile upoštevane kvalitativne razlike med formalno in matematično logiko, pa tudi prisotnost nepotrebnih konceptov, vključno s tistimi intuitivne narave.
Posledično teorija logicizma ni mogla odpraviti dialektičnih protislovij paradoksov, povezanih z neskončnostjo. Obstajala so le načela in metode, ki so omogočale, da se znebimo vsaj nepredikativnih definicij. Po njegovem mnenju je bil Russell Cantorjev dedič
Ob koncu 19. - začetku 20. stoletja. Širjenje formalističnega pogleda na matematiko je bilo povezano z razvojem aksiomatske metode in programa za utemeljitev matematike, ki ga je predstavil D. Hilbert. Na pomembnost tega dejstva pove dejstvo, da je bil prvi problem od triindvajsetih, ki jih je zastavil matematični skupnosti, problem neskončnosti. Formalizacija je bila nujna za dokazovanje doslednosti klasične matematike, "medtem ko je iz nje izključena vsa metafizika." Glede na sredstva in metode, ki jih je Hilbert uporabljal, se je njegov cilj izkazal za načeloma nemogočega, vendar je njegov program močno vplival na ves kasnejši razvoj temeljev matematike. Hilbert se je s tem problemom ukvarjal precej dolgo, sprva je zgradil aksiomatiko geometrije. Ker je bila rešitev problema precej uspešna, se je odločil uporabiti aksiomatsko metodo v teoriji naravnih števil. V zvezi s tem je zapisal: "Zasledujem pomemben cilj: jaz bi se rad znebil vprašanj o upravičenosti matematike kot take, tako da bi vsako matematično izjavo spremenil v strogo izvedljivo formulo." Načrtovano je bilo, da se znebimo neskončnosti tako, da jo zmanjšamo na določeno končno število operacij. Da bi to naredil, se je obrnil na fiziko z njenim atomizmom, da bi pokazal nedoslednost neskončnih količin. Pravzaprav je Hilbert postavil vprašanje odnosa med teorijo in objektivno realnostjo.
Bolj ali manj popolno predstavo o končnih metodah daje Hilbertov študent J. Herbran. Pod končnim sklepanjem razume sklepanje, ki izpolnjuje naslednje pogoje: logični paradoksi - vedno se obravnava samo končno in določeno število objektov in funkcij;
Funkcije imajo natančno definicijo in ta definicija nam omogoča, da izračunamo njihovo vrednost;
Nikoli ne trdimo: "Ta predmet obstaja," razen če vemo, kako ga zgraditi;
Množica vseh objektov X katere koli neskončne zbirke ni nikoli upoštevana;
Če je znano, da je neko sklepanje ali izrek resničen za vse te X, potem to pomeni, da je to splošno sklepanje mogoče ponoviti za vsak posamezen X, to splošno sklepanje samo pa je treba obravnavati le kot vzorec za izvedbo takega specifičnega sklepanja. "
Vendar pa je Gödel ob svoji zadnji objavi na tem področju že prejel svoje rezultate, v bistvu je znova odkril in potrdil prisotnost dialektike v procesu spoznavanja. V bistvu je nadaljnji razvoj matematike pokazal nedoslednost Hilbertovega programa.
Kaj točno je Gödel dokazal? Identificirati je mogoče tri glavne rezultate:
1. Gödel je pokazal nezmožnost matematičnega dokaza konsistentnosti katerega koli sistema, ki je dovolj velik, da bi vključeval vso aritmetiko, dokaza, ki ne bi uporabljal nobenih drugih pravil sklepanja kot tistih v samem danem sistemu. Takšen dokaz, ki uporablja močnejše pravilo sklepanja, je lahko koristen. Toda če so ta pravila sklepanja močnejša od logičnih sredstev aritmetičnega računa, potem ne bo zaupanja v doslednost predpostavk, uporabljenih v dokazu. V vsakem primeru, če uporabljene metode niso finitistične, se bo Hilbertov program izkazal za neizvedljivega. Gödel natančno pokaže nedoslednost izračunov, da bi našel finitističen dokaz doslednosti aritmetike.
2. Gödel je izpostavil temeljne omejitve zmožnosti aksiomatske metode: sistem Principia Mathematica je, tako kot kateri koli drug sistem, s pomočjo katerega se konstruira aritmetika, v bistvu nepopoln, tj. za vsak konsistenten sistem aritmetičnih aksiomov obstaja prava aritmetika. stavkov, ki niso izpeljani iz aksiomov tega sistema.
3. Gödelov izrek kaže, da nobena razširitev aritmetičnega sistema ne more narediti popolnega, in tudi če ga napolnimo z neskončnim številom aksiomov, bodo v novem sistemu vedno resnični položaji, ki jih ni mogoče izpeljati s pomočjo tega sistem. Aksiomatski pristop k aritmetiki naravnih števil ne more pokriti celotnega področja pravih aritmetičnih sodb in tisto, kar razumemo pod procesom matematičnega dokaza, ni reducirano na uporabo aksiomatske metode. Po Gödelovem izreku je postalo nesmiselno pričakovati, da bi koncept prepričljivega matematičnega dokaza lahko podali enkrat za vselej določene oblike.
Zadnji v tej seriji poskusov razlage teorije množic je bil intuicizem.
V svoji evoluciji je šel skozi več stopenj - napol intuicionizem, dejanski intuicionizem, ultraintuicionizem. Na različnih stopnjah so se matematiki ukvarjali z različnimi problemi, vendar je eden glavnih problemov matematike problem neskončnosti. Matematični koncepti neskončnosti in kontinuitete so bili predmet filozofske analize že od svojega nastanka (ideje atomistov, aporije Zenona iz Eleje, infinitezimalne metode v antiki, infinitezimalni računi v sodobnem času itd.). Največ polemik je povzročila uporaba različnih vrst neskončnosti (potencialne, dejanske) kot matematičnih objektov in njihova interpretacija. Vse te težave je po našem mnenju povzročil globlji problem - vloga subjekta v znanstvenem spoznanju. Dejstvo je, da krizno stanje v matematiki generira epistemološka negotovost sorazmerja med svetom objekta (neskončnost) in svetom subjekta. Matematik kot subjekt ima možnost izbire spoznavnih sredstev – bodisi potencialne bodisi dejanske neskončnosti. Uporaba potencialne neskončnosti kot postajanja mu daje možnost, da izvede, konstruira neskončno število konstrukcij, ki se lahko zgradijo na končnih, ne da bi imeli končni korak, ne da bi dokončali konstrukcijo, le to je mogoče. Uporaba dejanske neskončnosti mu daje možnost delati z neskončnostjo kot že uresničljivo, dokončano v svoji konstrukciji, kot dejansko dano hkrati.
Na stopnji polintuicionizma problem neskončnosti še ni bil samostojen, ampak je bil prepleten s problemom konstruiranja matematičnih objektov in metod za njegovo utemeljitev. Polintuicizem A. Poincaréja in predstavnikov pariške šole teorije funkcij Baera, Lebesguea in Borela je bil usmerjen proti sprejemanju aksioma svobodne izbire, s pomočjo katerega je dokazan Zermelov izrek, ki izjavil, da je mogoče katero koli množico popolnoma urediti, vendar brez navedbe teoretične metode za določanje elementov katere koli podmnožice želenih množic. Ni načina za konstruiranje matematičnega objekta in tudi ne obstaja sam matematični objekt. Matematiki so verjeli, da lahko prisotnost ali odsotnost teoretične metode za konstrukcijo zaporedja raziskovalnih predmetov služi kot osnova za utemeljitev ali ovržbo tega aksioma. V ruski različici se je polintuicionistični koncept v filozofskih osnovah matematike razvil v smeri učinkovitostizem, ki ga je razvil N.N. Luzin. Učinkovitost je nasprotje glavnim abstrakcijam Cantorjeve doktrine neskončne množice - dejanskost, izbira, transfinitna indukcija itd.
Za učinkovitostizem so epistemološko bolj dragocene abstrakcije abstrakcije potencialne izvedljivosti kot abstrakcije dejanske neskončnosti. Zahvaljujoč temu postane mogoče uvesti koncept transfinitnih ordinalov (neskončnih rednih števil), ki temeljijo na učinkovitem konceptu rasti funkcij. Epistemološka instalacija učinkovitostizma za prikaz kontinuiranega (kontinuuma) je temeljila na diskretnih sredinah (aritmetiki) in deskriptivni teoriji množic (funkcij), ki jo je ustvaril N. N. Luzin. Intuicionizem Nizozemca L. E. Ya Brouwerja, G. Weila, A. Heytinga vidi prosto razvijajoče se zaporedje različnih vrst kot tradicionalni predmet proučevanja. Na tej stopnji, pri reševanju samih matematičnih problemov, vključno s prestrukturiranjem vse matematike na novi osnovi, so intuicionisti postavili filozofsko vprašanje o vlogi matematika kot subjekta spoznavanja. Kakšna je njegova pozicija, kjer je bolj svoboden in aktiven pri izbiri sredstev spoznanja? Intuicionisti so bili prvi (in na stopnji pol-intuicionizma), ki so kritizirali koncept dejanske neskončnosti, Cantorjevo teorijo množic, saj so v njej videli poseg v sposobnost subjekta, da vpliva na proces znanstvenega iskanja rešitve konstruktivnega problema. . V primeru uporabe potencialne neskončnosti se subjekt ne vara, saj je zanj ideja potencialne neskončnosti intuitivno veliko jasnejša od ideje dejanske neskončnosti. Za intuicionista se šteje, da predmet obstaja, če je dano neposredno matematiku ali je znana metoda njegove konstrukcije ali konstrukcije. V vsakem primeru lahko subjekt začne postopek dokončanja številnih elementov svojega sklopa. Nezgrajen objekt za intuicioniste ne obstaja. Hkrati bo subjekt, ki dela z dejansko neskončnostjo, prikrajšan za to priložnost in bo občutil dvojno ranljivost sprejetega položaja:
1) te neskončne konstrukcije ni mogoče nikoli uresničiti;
2) odloči se operirati z dejansko neskončnostjo kot končnim objektom in v tem primeru izgubi svojo specifičnost pojma neskončnosti. Intuicionizem namenoma omejuje zmožnosti matematika z dejstvom, da lahko konstruira matematične objekte izključno s sredstvi, ki so, čeprav pridobljena s pomočjo abstraktnih konceptov, učinkovita, prepričljiva, dokazljiva, funkcionalno konstruktivna in so praktično in sama po sebi intuitivno jasna kot konstrukcije. , konstrukcije, katerih zanesljivost v praksi ni nobenega dvoma. Intuicionizem, ki temelji na konceptu potencialne neskončnosti in konstruktivnih raziskovalnih metodah, se ukvarja z matematiko postajanja, teorija množic se nanaša na matematiko bivanja.
Za intuicionista Brouwerja, kot predstavnika matematičnega empirizma, je logika drugotnega pomena, kritizira jo in zakon izključene sredine.
V svojih nekoliko mističnih delih sicer ne zanika prisotnosti neskončnosti, vendar ne dopušča njene aktualizacije, temveč le potencializacijo. Glavna stvar zanj je interpretacija in utemeljitev praktično uporabljenih logičnih sredstev in matematičnega sklepanja. Omejitev, ki so jo sprejeli intuicionisti, presega negotovost uporabe koncepta neskončnosti v matematiki in izraža željo po premagovanju krize v temelju matematike.
Ultraintuicionizem (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov itd.) Je zadnja stopnja razvoja intuicionizma, na kateri se njegove glavne ideje posodobijo, bistveno dopolnijo in preoblikujejo, ne da bi spremenili njegovo bistvo, ampak premagali pomanjkljivosti in okrepili pozitivne vidike, ki jih vodi merila matematična strogost. Slabost pristopa intuicionistov je bilo njihovo ozko razumevanje vloge intuicije kot edinega vira utemeljitve pravilnosti in učinkovitosti matematičnih metod. Z "intuitivno jasnostjo" kot merilom resnice v matematiki so intuicionisti metodološko osiromašili zmožnosti matematika kot subjekta spoznanja, zmanjšali njegovo dejavnost le na miselne operacije, ki temeljijo na intuiciji, in niso vključili prakse v proces matematičnega spoznavanja. Ultra-intuicionistični program za temelje matematike je prednostna naloga Rusije. Zato so domači matematiki, ki so premagali omejitve intuicionizma, sprejeli učinkovito metodologijo materialistične dialektike, ki priznava človeško prakso kot vir oblikovanja tako matematičnih konceptov kot matematičnih metod (sklepanja, konstrukcije). Ultraintuicionisti so rešili problem obstoja matematičnih objektov, pri čemer se niso opirali več na nedoločljiv subjektivni koncept intuicije, temveč na matematično prakso in specifičen mehanizem za konstruiranje matematičnega objekta - algoritem, izražen z izračunljivo, rekurzivno funkcijo.
Ultraintuicionizem povečuje prednosti intuicionizma, ki sestojijo iz možnosti naročanja in posploševanja metod za reševanje konstruktivnih problemov, ki jih uporabljajo matematiki katere koli smeri. Zato je intuicionizem zadnje stopnje (ultraintuicionizem) blizu konstruktivizmu v matematiki. Z epistemološkega vidika so glavne ideje in načela ultraintuicionizma naslednje: kritika klasične aksiomatike logike; uporaba in pomembna okrepitev (po izrecnih navodilih A. A. Markova) vloge abstrakcije identifikacije (miselna abstrakcija od različnih lastnosti predmetov in hkratna identifikacija skupnih lastnosti predmetov) kot načina konstruiranja in konstruktivnega razumevanja abstraktnih konceptov. in matematične presoje; dokaz konsistentnosti konsistentnih teorij. S formalnega vidika je uporaba identifikacijske abstrakcije utemeljena z njenimi tremi lastnostmi (aksiomi) enakosti - refleksivnostjo, tranzitivnostjo in simetričnostjo.
Za rešitev glavnega protislovja v matematiki glede problema neskončnosti, ki je povzročil krizo njenih temeljev, na stopnji ultra-intuicionizma v delih A.N. Kolmogorov je predlagal izhod iz krize z reševanjem problema razmerja med klasično in intuicionistično logiko, klasično in intuicionistično matematiko. Brouwerjev intuicionizem je na splošno zanikal logiko, a ker noben matematik ne more brez logike, se je v intuicionizmu še vedno ohranila praksa logičnega sklepanja, dovoljena so bila nekatera načela klasične logike, ki so imela za osnovo aksiomatiko. S.K. Kleene in R. Wesley celo ugotavljata, da je intuicionistično matematiko mogoče opisati v obliki nekega računa, račun pa je način organiziranja matematičnega znanja na podlagi logike, formalizacije in njegove oblike - algoritmizacije. Novo različico odnosa med logiko in matematiko v okviru intuicionističnih zahtev po intuitivni jasnosti sodb, zlasti tistih, ki so vključevale zanikanje, A.N. Kolmogorov je predlagal naslednje: predstavil je intuicionistično logiko, tesno povezano z intuicionistično matematiko, v obliki aksiomatskega implikativnega minimalnega računa propozicij in predikatov. Tako je znanstvenik predstavil nov model matematičnega znanja, pri čemer je presegel omejitve intuicionizma v priznavanju le intuicije kot sredstva spoznanja in omejitve logicizma, ki absolutizira možnosti logike v matematiki. To stališče je omogočilo v matematični obliki prikazati sintezo intuitivnega in logičnega kot temelja fleksibilne racionalnosti in njene konstruktivne učinkovitosti.
Sklepi. Tako nam epistemološki vidik matematičnega znanja omogoča, da ocenimo revolucionarne spremembe na stopnji krize temeljev matematike na prelomu 19. in 20. stoletja. z novih pozicij v razumevanju procesa spoznavanja, narave in vloge subjekta v njem. Epistemološki subjekt tradicionalne teorije vednosti, ki ustreza obdobju prevlade teoretičnega pristopa v matematiki, je abstrakten, nepopoln, »delen« subjekt, predstavljen v subjekt-objektnih odnosih, ločen od realnosti z abstrakcijami, logiko. , formalizem, racionalno, teoretično spoznava svoj predmet in razume kot ogledalo, ki natančno odseva in kopira realnost. V bistvu je bil subjekt izključen iz kognicije kot realnega procesa in rezultata interakcije z objektom. Vstop intuicionizma v areno boja med filozofskimi trendi v matematiki je privedel do novega razumevanja matematika kot subjekta znanja - človeka, ki ve, katerega filozofsko abstrakcijo je treba zgraditi tako rekoč na novo. Matematik se je pojavil kot empirični subjekt, razumljen kot celovita realna oseba, vključno z vsemi tistimi lastnostmi, ki so bile v epistemološkem subjektu abstrahirane - empirična konkretnost, variabilnost, zgodovinskost; je aktiven in spoznavajoč v resničnem znanju, kreativen, intuitiven, inventiven subjekt. Filozofija intuicionistične matematike je postala osnova, temelj sodobne epistemološke paradigme, zgrajene na konceptu prožne racionalnosti, v kateri je človek sestavni (integralni) subjekt kognicije, ki ima nove kognitivne lastnosti, metode, postopke; sintetizira svojo abstraktno-gnoseološko in logično-metodološko naravo in obliko ter je hkrati deležna eksistencialno-antropološkega in »zgodovinsko-metafizičnega« razumevanja.
Pomembna točka je tudi intuicija pri spoznavanju in še posebej pri oblikovanju matematičnih pojmov. Spet je boj s filozofijo, poskusi izključitve zakona izključene sredine, ki nima pomena v matematiki in vanjo prihaja iz filozofije. Vendar pa pretirano poudarjanje intuicije in pomanjkanje jasnih matematičnih utemeljitev nista omogočila prenosa matematike na trdne temelje.
Po nastanku strogega koncepta algoritma v tridesetih letih 20. stoletja pa je matematični konstruktivizem prevzel štafeto od intuicionizma, katerega predstavniki so pomembno prispevali k sodobni teoriji izračunljivosti. Poleg tega so v sedemdesetih in osemdesetih letih 20. stoletja odkrili pomembne povezave med nekaterimi idejami intuicionistov (tudi tistimi, ki so se prej zdele absurdne) in matematično teorijo topojev. Matematika, ki jo najdemo v nekaterih toposih, je zelo podobna tisti, ki so jo poskušali ustvariti intuicionisti.
Posledično lahko trdimo: večina zgornjih paradoksov preprosto ne obstaja v teoriji množic s samolastnino. Ali je takšen pristop dokončen, je sporno vprašanje; nadaljnje delo na tem področju bo pokazalo.
Zaključek
Dialektično-materialistična analiza kaže, da so paradoksi posledica dihotomije jezika in mišljenja, izraz globokih dialektičnih (Gödelov izrek je omogočil manifestiranje dialektike v procesu spoznavanja) in epistemoloških težav, povezanih s konceptoma subjekta in predmetnega področja. v formalni logiki, množica (razred) v logiki in teoriji množic, z uporabo principa abstrakcije, ki nam omogoča uvajanje novih (abstraktnih) objektov (neskončnost), z metodami za definiranje abstraktnih objektov v znanosti itd. Zato univerzalni način odpraviti vseh paradoksov ni mogoče dati.Ali je tretja kriza matematike mimo (ker je bila v vzročno-posledični zvezi s paradoksi; zdaj so paradoksi njen sestavni del) - tu so mnenja različna, čeprav so bili formalno znani paradoksi do leta 1907 odpravljeni. Vendar pa zdaj v matematiki obstajajo druge okoliščine, ki jih je mogoče šteti bodisi za krizo bodisi za napoved krize (na primer pomanjkanje stroge utemeljitve za integral poti).
Kar zadeva paradokse, je zelo pomembno vlogo v matematiki odigral znani paradoks lažnivca, pa tudi cela vrsta paradoksov v tako imenovani naivni (prejšnji aksiomatski) teoriji množic, ki je povzročila krizo temeljev (enega od ti paradoksi so imeli usodno vlogo v življenju G. Fregeja). Toda morda eden najbolj podcenjenih pojavov v sodobni matematiki, ki ga lahko imenujemo paradoksalen in kritičen, je rešitev Paula Cohena za prvi Hilbertov problem iz leta 1963. Natančneje, ne dejstvo same odločitve, ampak narava te odločitve.
Literatura
- Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481--512, 1895.
- I.N. Burova. Paradoksi teorije množic in dialektike. Znanost, 1976.
- M.D. Potter. Teorija množic in njena filozofija: kritični uvod. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
- Žukov N.I. Filozofske osnove matematike. Mn.: Universitetskoe, 1990.
- Feynman R.F., S. Iljin. Seveda se šalite, gospod Feynman!: dogodivščine neverjetnega človeka, ki jih je povedal R. Laytonu. Kolibri, 2008.
- O. M. Miževič. Dva načina za premagovanje paradoksov v teoriji množic G. Cantorja. Logične in filozofske študije, (3):279--299, 2005.
- S. I. Masalova. FILOZOFIJA INTUICIONISTIČNE MATEMATIKE. Bilten DSTU, (4), 2006.
- Čečulin V.L. Teorija množic s samopripadnostjo (temelji in nekatere aplikacije). Perm. država univ. – Perm, 2012.
- S. N. Tronin. Kratki zapiski predavanj o disciplini "Filozofija matematike". Kazan, 2012.
- Grishin V.N., Bochvar D.A. Raziskovanje teorije množic in neklasične logike. Znanost, 1976.
- Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: ta neskončni venec. Bakhrakh-M, 2001.
- Kabakov F.A., Mendelson E. Uvod v matematično logiko. Založba "Science", 1976.
- DA. Bočvar. K vprašanju paradoksov matematične logike in teorije množic. Matematična zbirka, 57(3):369--384, 1944.
I. Osnovni pojmi in aksiomi teorije množic
V tisočih letih svojega obstoja se je matematika razvila od najpreprostejših idej o številih in številkah do oblikovanja številnih novih konceptov in metod. Postal je močno sredstvo za preučevanje narave in prilagodljivo orodje za prakso. 20. stoletje je v matematiko prineslo nove ideje in teorije, njen obseg uporabe pa se je razširil. Matematika zavzema posebno mesto v sistemu znanosti - ne moremo je uvrstiti niti med humanistične niti med naravoslovne vede. Predstavila pa je osnovne pojme, ki se v njih uporabljajo. Tak koncept je koncept "množice", ki se je prvič pojavil v matematiki in je trenutno pogost v znanosti.
Prva skica teorije množic pripada Bernardu Bolzanu (Paradoksi neskončnega, 1850). V tem delu so obravnavane poljubne (numerične) množice in za njihovo primerjavo je opredeljen koncept korespondence ena proti ena.
Konec 19. stoletja je Georg Cantor, nemški matematik in utemeljitelj teorije množic, podal intuitivno definicijo pojma "množica" takole: "Več je veliko stvari, zamišljenih kot ena sama celota". Ta definicija množice je zahtevala uvod trije znaki.
najprej od njih mora predstavljati množico kot nekaj »enotnega«, tj. biti predstavnik same množice. Kot tak simbol je običajno uporabiti katero koli veliko črko katere koli abecede: na primer za označevanje nizov z velikimi črkami latinske abecede A, B, ..., X ali katere koli druge po dogovoru.
drugič simbol mora predstavljati "mnogo", to pomeni, da mora biti obravnavan kot element niza. Običajno se uporabljajo male črke iste abecede kot ta simbol: a, b, ..., z.
Tretjič simbol mora enolično povezovati element z množico. Ustrezni simbol je znak, ki izhaja iz prve črke grške besede (biti). Zapis določa relacijo: x je element X. Da x ni element X, pišemo .
Omeniti velja, da takšna definicija pojma množice vodi do številnih notranjih protislovij teorije - tako imenovanih paradoksov.
Na primer, razmislite o Russellovem paradoksu. frizerka
(element x), ki živijo v določeni vasi, ki se ne brijejo (naj bo X množica vseh tistih in samo tistih prebivalcev določene vasi, ki se ne brijejo). Ali se frizer brije sam? To je ali? Na vprašanje je nemogoče odgovoriti, saj na primer predpostavimo, da , takoj pridemo do protislovja: , in obratno.
Pri šolskem tečaju matematike učenci obravnavajo pojem množice kot nedoločljiv pojem, ki ga razumemo kot množico predmetov realnosti okoli nas, pojmovanih kot eno samo celoto. In vsak predmet te zbirke se imenuje element tega sklopa.
Trenutno obstaja več aksiomatskih sistemov teorije množic:
Zermelov sistem aksiomov. Temu sistemu aksiomov je pogosto dodan aksiom izbire in se imenuje Zermelo-Fraenkel sistem z aksiomom izbire (ZFC).
Aksiomi teorije NBG. Ta sistem aksiomov, ki ga je predlagal von Neumann, so kasneje revidirali in poenostavili Robinson, Bernays in Gödel.
Sistem Zermelo (Z-sistem) je sestavljen iz 7 aksiomov. Opišimo te aksiome v okviru, v katerem se uporabljajo pri šolskem tečaju matematike.
Aksiom prostornine (Z1).Če vsi elementi množice A pripadajo množici B in tudi vsi elementi množice B pripadajo množici A, potem je A = B.
Za razlago tega aksioma moramo uporabiti izraz "podmnožica": Če je vsak element množice A element množice Z, potem pravimo, da je A podnabor Z in napiši. Simbol se imenuje "on". Če ni izključena možnost situacije, ko je Z = A, potem, da bi osredotočili pozornost na to, pišejo.
Ko smo uvedli izraz "podmnožica", formuliramo aksiom 1 v simbolni obliki: .
Parni aksiom (Z2). Za poljubna a in b obstaja množica, katere edini elementi so (a,b).
Ta aksiom se uporablja za razlago kartezičnega produkta množic, kjer je začetni koncept "urejen par". Spodaj naročen par razumeti kombinacijo dveh elementov, od katerih vsak zaseda določeno mesto v zapisu. Urejeni par je označen takole: (a,b).
Aksiom vsote (Z3). Za poljubni množici A in B obstaja edinstvena množica C, katere elementi so vsi elementi množice A in vsi elementi množice B in ki ne vsebuje več drugih elementov.
V simbolni obliki lahko aksiom Z3 zapišemo takole: . Na podlagi tega aksioma in izrekov, ki izhajajo iz njega, so navedene lastnosti množičnih operacij, katerih opis bo podan v odstavku 3. Aksioma Z1 in Z2 nam omogočata, da uvedemo koncept operacije združevanja, preseka, seštevanja, razlika nizov.
Aksiom stopnje (Z4). Za vsako množico X obstaja množica vseh njenih podmnožic P(X).
Aksiom neskončnosti (Z6). Obstaja vsaj ena neskončna množica – naravni niz števil.
Aksiom izbire (Z7). Za vsako družino nepraznih množic obstaja funkcija, ki vsako množico v družini poveže z enim od elementov te množice. Funkcija se imenuje izbirna funkcija za dano družino.
Opozoriti velja na pomen ustreznih aksiomov, saj so množice in odnosi med njimi predmet proučevanja katere koli matematične discipline.
Naj izpostavimo še eno pomembno odkritje v teoriji množic - prikaz relacij med podmnožicami, za vizualno predstavitev. Eden prvih, ki je to metodo uporabil, je bil izjemen nemški matematik in filozof Gottfried Wilhelm Leibniz. Nato je to metodo dokaj temeljito razvil Leonhard Euler. Za Eulerjem je isto metodo razvil češki matematik Bernard Bolzano. Samo za razliko od Eulerja ni risal krožnih, ampak pravokotnih diagramov. Metodo Eulerjevega kroga je uporabljal tudi nemški matematik Ernest Schroeder. Največji razcvet pa so grafične metode dosegle v spisih angleškega logika Johna Venna. V čast Vennu se ustrezne risbe namesto Eulerjevih krogov včasih imenujejo Vennovi diagrami, v nekaterih knjigah pa tudi Euler-Vennovi diagrami. Euler-Vennovi diagrami se ne uporabljajo le v matematiki in logiki, ampak tudi v upravljanju in drugih uporabnih področjih.
II. Odnosi med množicami in načini njihove specifikacije
Z nizi torej razumemo zbirko kakršnih koli predmetov, ki so zasnovani kot ena celota. Kompleti so lahko sestavljeni iz predmetov zelo različnih narav. Njihovi elementi so lahko črke, atomi, števila, enačbe, točke, koti itd. To pojasnjuje izjemno širino teorije množic in njeno uporabo na najrazličnejših področjih znanja (matematika, fizika, ekonomija, jezikoslovje itd.).
Menijo, da je množica določena s svojimi elementi, to pomeni, da je množica dana, če je za kateri koli predmet mogoče reči, ali pripada tej množici ali ne pripada. Obstajata dva načina za definiranje nizov.
- naštevanje elementov.
Na primer, če je množica A sestavljena iz elementov a, b, c, potem zapišite: A = (a, b, c).
Vsakega niza ni mogoče definirati z oštevilčenjem elementov. Množice, katerih vse elemente je mogoče našteti, imenujemo končne. Množice, katerih elementov ni mogoče našteti, imenujemo neskončne. Ni jih mogoče določiti z uporabo oštevilčenja elementov. Izjema so neskončne množice, v katerih je jasen vrstni red nastajanja vsakega naslednjega elementa na podlagi prejšnjega. Na primer, množica naravnih števil je neskončna množica. Znano pa je, da je vsako naslednje število v njem, začenši z drugim, za 1 večje od prejšnjega. Zato ga lahko nastavite takole: N = (1, 2, 3, 4, ...).
- Nabor je mogoče določiti z uporabo navedba značilne lastnosti.
Značilna lastnost dane množice je lastnost, ki jo imajo vsi elementi te množice in je nima noben element, ki ji ne pripada. Označujemo z: A = (x|...), kjer je za navpično črto zapisana karakteristična lastnost elementov dane množice.
Na primer, B=(1,2,3). Zlahka opazimo, da je vsak element množice B naravno število, manjše od 4. Prav ta lastnost elementov množice B je zanjo značilna. V tem primeru pišejo: in se glasi: »Množica B je sestavljena iz takšnih elementov x, da x pripada množici naravnih števil in je x manjši od štiri« ali pa je množica B sestavljena iz naravnih števil, manjših od 4. Množica B lahko definiramo na drug način: ali itd.
Poleg tega, če element ne upošteva značilne lastnosti množice, potem ne pripada tej množici. Obstajajo nizi, ki jih je mogoče določiti samo z določitvijo značilne lastnosti, na primer .
Pri šolskem tečaju matematike so še posebej pomembni številski nizi, tj. množica, katere elementi so števila. Za poimenovanje številskih množic v matematiki se uporablja poseben zapis:
N = (1, 2, 3, 4, …) - množica naravnih števil;
Z = (…,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) - množica celih števil (vsebuje vsa naravna števila in njihova nasprotna števila);
Q = (x | x=p/q, kjer je p∈Z, q∈N) - množica racionalnih števil (sestavljena iz števil, ki jih lahko predstavimo kot navaden ulomek);
J je množica iracionalnih števil (množica, sestavljena iz neskončnih decimalnih neperiodičnih ulomkov, na primer: 1,23456342 …; in itd.)
R = (-∞; +∞) - množica realnih števil.
L. Euler je množico vseh realnih števil upodobil s krogi. (slika 1)
Omeniti velja, da je mogoče vse poljubne številske nize določiti z uporabo številskega intervala. (slika 2)
Vrste numeričnih intervalov
Niz C, o katerem smo razpravljali zgoraj, je numerični niz in ga je mogoče označiti z uporabo numeričnega intervala (slika 3)
Slika 3 - Številčni razpon
Naj navedemo še eno pomembno pravilo za podajanje številskih množic: Končne številske množice so upodobljene na številski premici kot posamezne točke.
V matematiki moramo včasih obravnavati množice, ki vsebujejo le en element, in celo množice, ki nimajo niti enega elementa. Pokličemo množico, ki ne vsebuje niti enega elementa prazno. Označujemo ga z znakom ∅. Na primer, podan je niz A=(x|x∈N∧-2
Omeniti velja, da ko govorimo o dveh ali več nizih, med njimi lahko obstaja nikakršno razmerje ali pa tudi ne. Če so množice v kateremkoli odnosu, potem govorimo o odnosu enakost ali odnos vključevanje.
Set A vklopi v množico B, če vsak element množice A pripada množici B. To relacijo označimo takole: A⊂B. Ali na drug način rečejo, da je množica A podmnožica množice B.
Množici A in B se imenujeta enaka, če in samo če vsak element množice A pripada množici B in hkrati vsak element množice B pripada množici A. To relacijo označimo takole: A = B
Na primer:
1) A=(a,b,c,d) in B=(b,d), te množice so v inkluzijski relaciji B⊂A, ker Vsak element množice B pripada množici A.
2) M=(x|x∈R∧x<6}=(-∞;6) и K{x|x∈R∧x≤8}=(-∞;8], эти множества находятся в отношении включения M⊂K, т.к. каждый элемент множества M принадлежит множеству K (Рис. 4)
Slika 4 - Številčni razpon
3) A=(x|x∈N∧x:2)=(2,4,6,8,10,...) in B=(x|x∈N∧x:3)=(3,6 ,9,12,...), ti dve množici nista v nobeni relaciji A⊄B, ker ima množica A element 2, ki ne pripada množici B
in B⊄A, ker v množici B je element 3, ki ne pripada množici A.
Posledično ti nizi niso v nobenem razmerju.
III. Operacije in lastnosti operacij na množicah
Def.1. S prečkanjem množici A in B je operacija, katere rezultat je množica, sestavljena iz tistih in samo tistih elementov, ki pripadajo A in B hkrati.
A∩B=(x|x∈A∧x∈B)
Def.2.Združenje množici A in B je operacija, katere rezultat je množica, sestavljena iz tistih in samo tistih elementov, ki pripadajo množici A ali množici B (tj. vsaj eni od teh množic).
A∪B=(x|x∈A∨x∈B)
Def.3. Z razliko množici A in B je operacija, katere rezultat je množica, sestavljena iz tistih in samo tistih elementov, ki pripadajo A in ne pripadajo B hkrati.
A\B =(x∈A∧x∉B)
Def.4. Z dodajanjem množice A k univerzalni množici Imenuje se množica, katere vsak element pripada univerzalnemu in ne pripada A.
Nastavite izraze
Iz množic, simbolov operacij na njih in morda oklepajev je mogoče sestaviti izraze. Na primer A∩B\C.
Treba je poznati vrstni red operacij v takih izrazih in jih znati brati.
Vrstni red operacij
če ni oklepajev, se najprej izvede dodatek k univerzalni množici enostavne množice, nato presečišče in unija (med seboj sta enaka) in nazadnje razlika;
če izraz vsebuje oklepaje, najprej izvedite operacije v oklepajih v vrstnem redu, navedenem v odstavku 1), nato pa vse operacije zunaj oklepajev.
Na primer, a) A∩B\C; b) A∩(B\C); c) A∩(B\C)" .
Branje izraza se začne z rezultatom zadnje operacije. Na primer, izraz a) se glasi takole: razlika dveh množic, od katerih je prva presečišče množic A in B, druga pa množica C.
Eulerjevi krogi
Operacije na množicah in razmerja med njimi lahko prikažemo z Eulerjevimi krogi. To so posebne risbe, na katerih so navadne množice upodobljene kot krogi, univerzalne množice pa kot pravokotnik
Naloga. Nariši množico (A∪B)"∩C z uporabo Eulerjevih krožnic.
rešitev. Uredimo vrstni red operacij v tem izrazu: (A∪B)"∩C. Osenčimo rezultate operacij glede na vrstni red njihovega izvajanja
Lastnosti množičnih operacij(slika 5)
Lastnosti I - 8 in 1 0 - 8 0 so med seboj povezane s tako imenovanim principom dvojnosti:
če v katerem koli od dveh stolpcev lastnosti spremenimo predznake ∩→∪, ∪→∩, ∅→U, U→∅, potem dobimo drug stolpec lastnosti.
IV. Razdelitev nabora v razrede
Šteje se, da je množica X razdeljena na po parih nepovezane podmnožice ali razrede, če so izpolnjeni naslednji pogoji:
1) presečišče poljubnih dveh podmnožic je prazno;
2) unija vseh podmnožic sovpada z množico X.
Razdelitev množice v razrede imenujemo klasifikacija.
V. Kartezični produkt množic
Kartezični produkt množic A in B je množica parov, od katerih prva komponenta vsake pripada množici A, druga pa množici B. Kartezični produkt množic A in B označimo z A x B. Torej, A × B = ((x,y)|x ∈A˄y∈B). Operacija iskanja kartezičnega produkta množic A in B se imenuje kartezično množenje teh množic. Če sta A in B množici števil, potem bodo elementi kartezičnega produkta teh množic urejeni pari števil.
VI. Pravila vsote in zmnožka
Označimo število elementov končne množice A s simbolom n(A). Če se množici A in B ne sekata, potem je n(AUB)= n(A) +n(B). Če se množici A in B sekata, potem je n(A U B) = n (A) + n (B) - n (A ∩ B).
Število elementov kartezičnega produkta množic A in B izračunamo po formuli n (A X B) = n (A). n (B).
Pravilo za štetje števila elementov unije disjunktnih končnih množic v kombinatoriki imenujemo pravilo vsote; če lahko element x izberemo na k načinov, element y pa na m načinov in nobena od metod za izbiro element x sovpada z metodo za izbiro elementa y, potem lahko izbiro "x ali y" realiziramo na k + m načinov.
Pravilo za štetje števila elementov kartezičnega produkta končnih množic v kombinatoriki imenujemo produktno pravilo: če lahko element x izberemo na k načinov, element y pa na m načinov, potem je par (x,y) možno izbirati v km načinih.
VII. Seznam uporabljenih virov
Aseev G.G. Abramov O.M., Sitnikov D.E. Diskretna matematika: Učbenik. - Rostov n/a: “Phoenix”, Kharkov: “Torsing”, 2003, -144 str.
Vilenkin N. Ya. Algebra. Učbenik za IX.-X. razred srednjih šol z matematično smerjo, 1968
Vilenkin N.Y. Zgodbe o množicah. M.: Založba "Science". - 1965. - 128s
Eulerjevi diagrami - Venn.URL: http://studopedia.net/1_5573_diagrammi-eylera-venna.html
Kireenko S.G., Grinshpon I.E. Elementi teorije množic (učbenik). - Tomsk, 2003. - 42 str.
Kuratovsky K., Mostovsky A. Teorija množic. - M.: Mir, 1970, - 416 str.
