Dați conceptul de unghi între linii drepte. Unghiul dintre liniile drepte

Fie doi vectori nenuli și să fie dați pe un plan sau într-un spațiu tridimensional. Să amânăm dintr-un punct arbitrar O vectori și . Atunci următoarea definiție este valabilă.

Definiţie.

Unghiul dintre vectori iar unghiul dintre raze se numește O.A.Şi O.B..

Unghiul dintre vectori și va fi notat ca .

Unghiul dintre vectori poate lua valori de la 0 la sau, care este același lucru, de la la.

Când vectorii sunt ambii co-direcționați, când vectorii sunt direcționați opus.

Definiţie.

Se numesc vectori perpendicular, dacă unghiul dintre ele este egal cu (radiani).

Dacă cel puțin unul dintre vectori este zero, atunci unghiul nu este definit.

Găsirea unghiului dintre vectori, exemple și soluții.

Cosinusul unghiului dintre vectorii și , și deci unghiul în sine, în cazul general poate fi găsit fie folosind produsul scalar al vectorilor, fie folosind teorema cosinusului pentru un triunghi construit pe vectorii și .

Să ne uităm la aceste cazuri.

Prin definiție produs punctual există vectori. Dacă vectorii și sunt diferite de zero, atunci putem împărți ambele părți ale ultimei egalități la produsul lungimilor vectorilor și , și obținem formula pentru aflarea cosinusului unghiului dintre vectorii nenuli: . Această formulă poate fi utilizată dacă sunt cunoscute lungimile vectorilor și produsul lor scalar.

Exemplu.

Calculați cosinusul unghiului dintre vectorii și și găsiți, de asemenea, unghiul însuși dacă lungimile vectorilor și sunt egale 3 Şi 6 respectiv, iar produsul lor scalar este egal cu -9 .

Soluţie.

Enunțul problemei conține toate cantitățile necesare pentru aplicarea formulei. Se calculează cosinusul unghiului dintre vectori și: .

Acum găsim unghiul dintre vectori: .

Răspuns:

Există probleme în care vectorii sunt specificați prin coordonate într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan sau în spațiu. În aceste cazuri, pentru a găsi cosinusul unghiului dintre vectori, puteți folosi aceeași formulă, dar sub formă de coordonate. Să o luăm.

Lungimea unui vector este rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale, produsul scalar al vectorilor este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare. Prin urmare, formula pentru calcularea cosinusului unghiului dintre vectori pe plan are forma , iar pentru vectorii din spațiul tridimensional - .

Exemplu.

Aflați unghiul dintre vectorii dați într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

Soluţie.

Puteți utiliza imediat formula:

Sau puteți folosi formula pentru a găsi cosinusul unghiului dintre vectori, după ce au calculat în prealabil lungimile vectorilor și produsul scalar peste coordonate:

Răspuns:

Problema se reduce la cazul anterior când sunt date coordonatele a trei puncte (de exemplu O, ÎNŞi CU) într-un sistem de coordonate dreptunghiular și trebuie să găsiți un unghi (de exemplu, ).

Într-adevăr, unghiul este egal cu unghiul dintre vectori și . Coordonatele acestor vectori sunt calculate ca diferența dintre coordonatele corespunzătoare ale punctelor de capăt și de început ale vectorului.

Exemplu.

Pe un plan, coordonatele a trei puncte sunt date în sistemul de coordonate carteziene. Aflați cosinusul unghiului dintre vectorii și .

Soluţie.

Să determinăm coordonatele vectorilor și coordonatele punctelor date:

Acum să folosim formula pentru a găsi cosinusul unghiului dintre vectori pe un plan în coordonate:

Răspuns:

Unghiul dintre vectori și poate fi calculat și prin teorema cosinusului. Dacă amânăm de la punct O vectori și , apoi prin teorema cosinusului într-un triunghi OAV putem scrie, ceea ce este echivalent cu egalitatea, din care găsim cosinusul unghiului dintre vectori. Pentru a aplica formula rezultată, avem nevoie doar de lungimile vectorilor și , care pot fi găsite cu ușurință din coordonatele vectorilor și . Cu toate acestea, această metodă practic nu este utilizată, deoarece cosinusul unghiului dintre vectori este mai ușor de găsit folosind formula.

Calculul proiecției ortogonale (proiecție proprie):

Proiecția vectorului pe axa l este egală cu produsul dintre modulul vectorial și cosinusul unghiului φ dintre vector și axă, i.e. pr cosφ.

Doc: Dacă φ=< , то пр l =+ = *cos φ.

Dacă φ> (φ≤ ), atunci pr l =- =- * cos( -φ) = cosφ (vezi Fig.10)

Dacă φ= , atunci pr l = 0 = cos φ.

Consecinţă: Proiecția unui vector pe o axă este pozitivă (negativă) dacă vectorul formează un unghi ascuțit (obtuz) cu axa și este egală cu zero dacă acest unghi este drept.

Consecinţă: Proiecțiile vectorilor egali pe aceeași axă sunt egale între ele.

Calculul proiecției ortogonale a sumei vectorilor (proprietatea proiecției):

Proiecția sumei mai multor vectori pe aceeași axă este egală cu suma proiecțiilor lor pe această axă.

Doc: Fie, de exemplu, = + + . Avem pr l =+ =+ + - , i.e. pr l ( + + ) = pr l + pr l + pr l (vezi Fig.11)

OREZ. 11

Calculul produsului dintre un vector și un număr:

Când un vector este înmulțit cu un număr λ, proiecția lui pe axă este, de asemenea, înmulțită cu acest număr, adică. pr l (λ* )= λ* pr l .

Demonstrație: Pentru λ > 0 avem pr l (λ* )= *cos φ = λ* φ = λ*pr l

Când λl (λ* )= *cos( -φ)=- * (-cosφ) = * cosφ= λ *pr l .

Proprietatea este valabilă și când

Astfel, operațiile liniare pe vectori conduc la operații liniare corespunzătoare asupra proiecțiilor acestor vectori.

Constă din două raze diferite care emană dintr-un punct. Razele sunt numite laturile U., iar începutul lor comun este vârful U. Fie [ VA),[Soare) - laturile colțului, IN - vârful său este un plan definit de laturile U. Figura împarte planul în două figuri i==l, 2, numit și U. sau unghi plat, numit. regiunea interioară a U plat.
Cele două colțuri sunt numite egale (sau congruente) dacă pot fi aliniate astfel încât laturile și vârfurile lor corespunzătoare să coincidă. Din orice rază dintr-un plan, într-o direcție dată de la acesta, o singură axă egală cu axa dată poate fi trasată Comparația axei se realizează în două moduri. Dacă fasciculul este considerat ca o pereche de raze cu o origine comună, atunci pentru a clarifica întrebarea care dintre cele două fascicule este mai mare, este necesar să combinați vârfurile fasciculului și o pereche de laturi ale acestora într-un singur plan (vezi Fig. 1). Dacă a doua latură a unui U. se dovedește a fi situată în interiorul altui U., atunci ei spun că primul U. este mai mic decât al doilea. Al doilea mod de comparare a U. se bazează pe compararea fiecărui U. cu un anumit număr. U. egal va corespunde acelorași grade sau (vezi mai jos), U mai mare. - număr mai mare, la mai puțin - mai puțin.

Două U. sunat. adiacente dacă au un vârf comun și o latură, iar celelalte două laturi formează o linie dreaptă (vezi Fig. 2). În general se numesc U. având un vârf comun și o latură comună. adiacent. U. numit verticală dacă laturile uneia sunt prelungiri dincolo de vârful laturilor celeilalte U. sunt egale între ele. U., ale căror laturi formează o linie dreaptă, numită. extins. Jumătate din U. extins numit. drept U. Direct U. poate fi definit în mod echivalent diferit: U. egal cu cel alăturat al acestuia, numit. direct. Interiorul unui plan plat, care nu îl depășește pe cel desfășurat, este o regiune convexă pe plan. Unitatea de măsură a U. este considerată a 90-a fracțiune a U. directă, numită. grad.

Se folosește și așa-numita măsură U Valoarea numerică a măsurării radianilor U este egală cu lungimea arcului tăiat de laturile U din cercul unității. Un radian este atribuit U-ului corespunzător arcului, care este egal cu raza acestuia. U. expandat este egal cu radiani.
Când două drepte situate în același plan se intersectează cu o a treia dreaptă, se formează următoarele linii (vezi Fig. 3): 1 și 5, 2 și 6, 4 și 8, 3 și 7 - așa-numitele. adecvat; 2 și 5, 3 și 8 - interioare unilaterale; 1 și 6, 4 și 7 - exterior unilateral; 3 și 5, 2 și 8 - interior situat transversal; 1 și 7, 4 și 6 - culcate în cruce pe exterior.

În practică În probleme, este recomandabil să se ia în considerare rotația ca măsură de rotație a unui fascicul fix în jurul originii sale la o poziție dată. În funcție de sensul de rotație al semnalelor în acest caz, pot fi luate în considerare atât cele pozitive, cât și cele negative. Astfel, U. în acest sens poate avea orice valoare. Rotația unei raze este considerată în teoria trigonometrică. funcții: pentru orice valoare a argumentului (U.), puteți determina valorile trigonometrice. funcții. Conceptul de geometrie în geometrie. sistemul, care se bazează pe axiomatica punct-vector, este fundamental diferit de definițiile lui U. ca figură - în această axiomatică, U. este înțeles ca o anumită metrică. o cantitate legată de doi vectori folosind operația de multiplicare a vectorului scalar. Și anume, fiecare pereche de vectori a și b definește un anumit unghi - un număr asociat vectorilor prin formulă

Unde ( a, b) - produsul scalar al vectorilor.
Conceptul de U. ca figură plată și ca o anumită valoare numerică este utilizat în diverse geometrice. probleme în care U. este determinată în mod special. Astfel, prin forma dintre curbele care se intersectează care au anumite tangente în punctul de intersecție, înțelegem forma formată de aceste tangente.
Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan este considerat unghiul format de linie dreaptă și proiecția ei dreptunghiulară pe plan; se măsoară în intervalul de la 0

Enciclopedie matematică. - M.: Enciclopedia Sovietică.

I. M. Vinogradov.:

1977-1985.

Sinonime Vedeți ce este „ANGLE” în ​​alte dicționare: jar

- unghi / jug / ... Dicționar morfem-ortografic soț. fractură, îndoire, genunchi, cot, proeminență sau cută (depresiune) pe o parte. Unghiul liniar, oricare două linii opuse și intervalul acestora; unghi plan sau în planuri, întâlnirea a două planuri sau pereți; colțul este gros, trup, întâlnit într-unul...

Dicţionar Dahl.… … Unghi, aproximativ un unghi, pe (în) un unghi și (mat.) într-un unghi, m 1. Parte dintr-un plan între două drepte care emană dintr-un punct (mat.). Partea de sus a colțului. Laturile colțului. Măsurarea unui unghi în grade. Unghi drept. (90°). Unghi ascuțit. (mai puțin de 90°).

Unghi obtuz Dicționarul explicativ al lui Ushakov COLŢ

- (1) unghiul de atac între direcția fluxului de aer care curge pe aripa aeronavei și coarda secțiunii aripii. Valoarea forței de ridicare depinde de acest unghi. Unghiul la care forța de ridicare este maximă se numește unghi critic de atac. tu...... Marea Enciclopedie Politehnică, format din două raze (laturile unui unghi) care ies dintr-un punct (vârful unui unghi). Orice unghi cu un vârf în centrul unui anumit cerc (unghi central) definește un arc AB pe cerc, delimitat de puncte... ... Dicţionar enciclopedic mare

Capul colțului, de după colț, colțul de urs, colțul neterminat, în toate colțurile... Dicționar de sinonime și expresii rusești asemănătoare ca înțeles. sub. ed. N. Abramova, M.: Dicționare rusești, 1999. apex unghi, punct colț; rulment, adapost, devianta, directie,... ... Dicţionar de sinonime

colţ- unghi, tijă. unghi; propoziție despre cărbune, în (pe) colț și în vorbirea matematicienilor în cărbune; pl. colțuri, tijă. colțuri În prepozițional și combinatii stabile: după colț și permis după colț (du-te, întoarce etc.), din colț în colț (deplasare, poziție etc.), colț... ... Dicționar de dificultăți de pronunție și stres în limba rusă modernă

UNGHI, colț, pe la colț, pe (în) colț, soț. 1. (în colț.). În geometrie: figură plată, format din două raze (în 3 valori) emanate dintr-un punct. Partea de sus a colțului. Direct y. (90°). acut u. (mai puțin de 90°). prost tu. (mai mult de 90°). Extern si intern...... Dicționarul explicativ al lui Ozhegov

colţ- ANGLE, angle, m Un sfert din pariu, atunci când este anunțat, marginea cărții este pliată. ◘ As și regina de pică cu colț // Ucis. A.I. Polezhaev. O zi la Moscova, 1832. ◘ După cină, împrăștie chervoneți pe masă, amestecă cărțile; pariorii își sparg punțile... ... Terminologia și jargonul cardurilor din secolul al XIX-lea

Acest material este dedicat unui astfel de concept precum unghiul dintre două linii care se intersectează. În primul paragraf vom explica ce este și o vom arăta în ilustrații. Apoi ne vom uita la modul în care puteți găsi sinusul, cosinusul acestui unghi și unghiul în sine (vom lua în considerare separat cazurile cu un plan și spațiu tridimensional), vom da formulele necesare și vom arăta cu exemple cum sunt exact acestea folosit în practică.

Pentru a înțelege care este unghiul format atunci când două drepte se intersectează, trebuie să ne amintim însăși definiția unghiului, perpendicularității și punctului de intersecție.

Definiția 1

Numim două drepte care se intersectează dacă au un punct comun. Acest punct se numește punctul de intersecție a două drepte.

Fiecare linie dreaptă este împărțită de un punct de intersecție în raze. Ambele linii drepte formează 4 unghiuri, dintre care două sunt verticale și două sunt adiacente. Dacă știm măsura unuia dintre ele, atunci le putem determina pe cele rămase.

Să presupunem că știm că unul dintre unghiuri este egal cu α. În acest caz, unghiul care este vertical în raport cu acesta va fi, de asemenea, egal cu α. Pentru a găsi unghiurile rămase, trebuie să calculăm diferența 180 ° - α. Dacă α este egal cu 90 de grade, atunci toate unghiurile vor fi unghiuri drepte. Liniile care se intersectează în unghi drept sunt numite perpendiculare (un articol separat este dedicat conceptului de perpendicularitate).

Aruncă o privire la poză:

Să trecem la formularea definiției principale.

Definiția 2

Unghiul format din două drepte care se intersectează este măsura celui mai mic dintre cele 4 unghiuri care formează aceste două drepte.

Din definiție trebuie trasă o concluzie importantă: dimensiunea unghiului în acest caz va fi exprimată de oricare număr realîn intervalul (0, 90). Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci unghiul dintre ele va fi în orice caz egal cu 90 de grade.

Capacitatea de a găsi măsura unghiului dintre două drepte care se intersectează este utilă pentru rezolvarea multor probleme practice. Metoda de rezolvare poate fi aleasă din mai multe opțiuni.

Pentru început, putem lua metode geometrice. Dacă știm ceva despre unghiurile suplimentare, atunci le putem raporta la unghiul de care avem nevoie folosind proprietățile figurilor egale sau similare. De exemplu, dacă cunoaștem laturile unui triunghi și trebuie să calculăm unghiul dintre liniile pe care sunt situate aceste laturi, atunci teorema cosinusului este potrivită pentru soluția noastră. Dacă avem condiția triunghi dreptunghic, atunci pentru calcule vom avea nevoie și de cunoștințe despre sinus, cosinus și tangenta unui unghi.

Metoda coordonatelor este, de asemenea, foarte convenabilă pentru rezolvarea problemelor de acest tip. Să explicăm cum să-l folosim corect.

Avem un sistem de coordonate dreptunghiular (cartezian) O x y, în care sunt date două drepte. Să le notăm cu literele a și b. Liniile drepte pot fi descrise folosind unele ecuații. Liniile originale au un punct de intersecție M. Cum se determină unghiul necesar (să-l notăm α) între aceste drepte?

Să începem prin a formula principiul de bază al găsirii unui unghi în condiții date.

Știm că conceptul de linie dreaptă este strâns legat de concepte precum un vector de direcție și un vector normal. Dacă avem o ecuație a unei anumite drepte, putem lua din ea coordonatele acestor vectori. Putem face acest lucru pentru două linii care se intersectează simultan.

Unghiul subtins de două drepte care se intersectează poate fi găsit folosind:

• unghiul dintre vectorii de direcție;
• unghiul dintre vectorii normali;
• unghiul dintre vectorul normal al unei linii și vectorul direcție al celeilalte.

Acum să ne uităm la fiecare metodă separat.

1. Să presupunem că avem o dreaptă a cu un vector de direcție a → = (a x, a y) și o dreaptă b cu un vector de direcție b → (b x, b y). Acum să reprezentăm doi vectori a → și b → din punctul de intersecție. După aceasta vom vedea că fiecare va fi situat pe propria linie dreaptă. Atunci avem patru opțiuni pentru ei poziție relativă. Vezi ilustrația:

Dacă unghiul dintre doi vectori nu este obtuz, atunci va fi unghiul de care avem nevoie între liniile care se intersectează a și b. Dacă este obtuz, atunci unghiul dorit va fi egal cu unghiul adiacent unghiului a →, b → ^. Astfel, α = a → , b → ^ dacă a → , b → ^ ≤ 90 ° , și α = 180 ° - a → , b → ^ dacă a → , b → ^ > 90 ° .

Pe baza faptului că cosinusurile unghiurilor egale sunt egale, putem rescrie egalitățile rezultate astfel: cos α = cos a →, b → ^, dacă a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, dacă a →, b → ^ > 90 °.

În al doilea caz s-au folosit formule de reducere. Astfel,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Să scriem ultima formulă în cuvinte:

Definiția 3

Cosinusul unghiului format din două drepte care se intersectează va fi egal cu modulul cosinusului unghiului dintre vectorii săi de direcție.

Forma generală a formulei pentru cosinusul unghiului dintre doi vectori a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) arată astfel:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Din aceasta putem deriva formula pentru cosinusul unghiului dintre două drepte date:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Apoi unghiul în sine poate fi găsit folosind următoarea formulă:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Aici a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) sunt vectorii de direcție ai dreptelor date.

Să dăm un exemplu de rezolvare a problemei.

Exemplul 1

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan, sunt date două drepte care se intersectează a și b. Ele pot fi descrise prin ecuațiile parametrice x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R și x 5 = y - 6 - 3. Calculați unghiul dintre aceste drepte.

Soluţie

Avem o ecuație parametrică în starea noastră, ceea ce înseamnă că pentru această linie putem nota imediat coordonatele vectorului său de direcție. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm valorile coeficienților pentru parametru, adică. dreapta x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R va avea un vector de direcție a → = (4, 1).

A doua linie dreaptă este descrisă folosind ecuație canonică x 5 = y - 6 - 3 . Aici putem lua coordonatele de la numitori. Astfel, această dreaptă are un vector de direcție b → = (5 , - 3) .

Apoi, trecem direct la găsirea unghiului. Pentru a face acest lucru, pur și simplu înlocuiți coordonatele existente ale celor doi vectori în formula de mai sus α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Obținem următoarele:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Răspuns: Aceste linii drepte formează un unghi de 45 de grade.

Putem rezolva o problemă similară găsind unghiul dintre vectorii normali. Dacă avem o dreaptă a cu un vector normal n a → = (n a x , n a y) și o dreaptă b cu un vector normal n b → = (n b x , n b y), atunci unghiul dintre ele va fi egal cu unghiul dintre n a → și n b → sau unghiul care va fi adiacent lui n a →, n b → ^. Această metodă este prezentată în imagine:

Formulele pentru calcularea cosinusului unghiului dintre liniile care se intersectează și acest unghi în sine folosind coordonatele vectorilor normali arată astfel:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n de y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n de y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n de y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Aici n a → și n b → denotă vectorii normali ai două drepte date.

Exemplul 2

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, două linii drepte sunt specificate folosind ecuațiile 3 x + 5 y - 30 = 0 și x + 4 y - 17 = 0. Găsiți sinusul și cosinusul unghiului dintre ele și mărimea acestui unghi în sine.

Soluţie

Liniile originale sunt specificate folosind ecuații normale linie dreaptă de forma A x + B y + C = 0. Notăm vectorul normal ca n → = (A, B). Să găsim coordonatele primului vector normal pentru o linie și să le scriem: n a → = (3, 5) . Pentru a doua linie x + 4 y - 17 = 0, vectorul normal va avea coordonatele n b → = (1, 4). Acum să adăugăm valorile obținute la formulă și să calculăm totalul:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Dacă cunoaștem cosinusul unui unghi, atunci putem calcula sinusul acestuia folosind identitatea trigonometrică de bază. Deoarece unghiul α format din drepte nu este obtuz, atunci sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

În acest caz, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Răspuns: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Să analizăm ultimul caz - găsirea unghiului dintre drepte dacă cunoaștem coordonatele vectorului de direcție al unei drepte și vectorul normal al celeilalte.

Să presupunem că dreapta a are un vector de direcție a → = (a x , a y) , iar dreapta b are un vector normal n b → = (n b x , n b y) . Trebuie să setăm acești vectori deoparte de punctul de intersecție și să luăm în considerare toate opțiunile pentru pozițiile lor relative. Vezi in poza:

Dacă unghiul dintre vectorii dați nu este mai mare de 90 de grade, se dovedește că va completa unghiul dintre a și b la un unghi drept.

a → , n b → ^ = 90 ° - α dacă a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Dacă este mai mică de 90 de grade, atunci obținem următoarele:

a → , n b → ^ > 90 ° , apoi a → , n b → ^ = 90 ° + α

Folosind regula egalității cosinusurilor de unghiuri egale, scriem:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pentru a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pentru a → , n b → ^ > 90 ° .

Astfel,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Să formulăm o concluzie.

Definiția 4

Pentru a găsi sinusul unghiului dintre două drepte care se intersectează pe un plan, trebuie să calculați modulul cosinusului unghiului dintre vectorul de direcție al primei linii și vectorul normal al celei de-a doua.

Să notăm formulele necesare. Aflarea sinusului unui unghi:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Găsirea unghiului în sine:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Aici a → este vectorul de direcție al primei linii, iar n b → este vectorul normal al celei de-a doua.

Exemplul 3

Două drepte care se intersectează sunt date de ecuațiile x - 5 = y - 6 3 și x + 4 y - 17 = 0. Aflați unghiul de intersecție.

Soluţie

Luăm coordonatele ghidului și ale vectorului normal din ecuațiile date. Rezultă a → = (- 5, 3) și n → b = (1, 4). Luăm formula α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 și calculăm:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Vă rugăm să rețineți că am luat ecuațiile din problema anterioară și am obținut exact același rezultat, dar într-un mod diferit.

Răspuns:α = a r c sin 7 2 34

Să prezentăm o altă modalitate de a găsi unghiul dorit folosind coeficienții unghiulari ai liniilor drepte date.

Avem o linie a, care este definită într-un sistem de coordonate dreptunghiular folosind ecuația y = k 1 x + b 1, și o linie b, definită ca y = k 2 x + b 2. Acestea sunt ecuații ale dreptelor cu pante. Pentru a găsi unghiul de intersecție, folosim formula:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, unde k 1 și k 2 sunt coeficienții de unghi linii drepte date. Pentru a obține această înregistrare s-au folosit formule pentru determinarea unghiului prin coordonatele vectorilor normali.

Exemplul 4

Există două drepte care se intersectează într-un plan, date de ecuațiile y = - 3 5 x + 6 și y = - 1 4 x + 17 4. Calculați valoarea unghiului de intersecție.

Soluţie

Coeficienții unghiulari ai dreptelor noastre sunt egali cu k 1 = - 3 5 și k 2 = - 1 4. Să le adăugăm la formula α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 și să calculăm:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Răspuns:α = a r c cos 23 2 34

În concluziile acestui paragraf, trebuie menționat că formulele date aici pentru găsirea unghiului nu trebuie să fie învățate pe de rost. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți coordonatele ghidajelor și/sau ale vectorilor normali ai liniilor date și să le puteți determina prin diferite tipuri ecuații. Dar este mai bine să vă amintiți sau să scrieți formulele pentru calcularea cosinusului unui unghi.

Cum se calculează unghiul dintre liniile care se intersectează în spațiu

Calculul unui astfel de unghi poate fi redus la calcularea coordonatelor vectorilor de direcție și determinarea mărimii unghiului format de acești vectori. Pentru astfel de exemple se folosește același raționament pe care l-am dat mai înainte.

Să presupunem că avem un sistem de coordonate dreptunghiular situat în spațiul tridimensional. Conține două drepte a și b cu un punct de intersecție M. Pentru a calcula coordonatele vectorilor de direcție, trebuie să cunoaștem ecuațiile acestor drepte. Să notăm vectorii de direcție a → = (a x , a y , a z) și b → = (b x , b y , b z) . Pentru a calcula cosinusul unghiului dintre ele, folosim formula:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Pentru a găsi unghiul în sine, avem nevoie de această formulă:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Exemplul 5

Avem o linie definită în spațiul tridimensional folosind ecuația x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Se știe că se intersectează cu axa O z. Calculați unghiul de interceptare și cosinusul acelui unghi.

Soluţie

Să notăm unghiul care trebuie calculat cu litera α. Să notăm coordonatele vectorului direcție pentru prima dreaptă – a → = (1, - 3, - 2) . Pentru aplicarea axei putem lua vector de coordonate k → = (0, 0, 1) ca ghid. Am primit datele necesare și le putem adăuga la formula dorită:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Ca rezultat, am constatat că unghiul de care avem nevoie va fi egal cu a r c cos 1 2 = 45 °.

Răspuns: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Definiţie

Se numește o figură geometrică formată din toate punctele planului cuprinse între două raze care emană dintr-un punct unghi plat.

Definiţie

Unghiul dintre doi intersectându-se Drept este valoarea celui mai mic unghi plan la intersecția acestor drepte. Dacă două drepte sunt paralele, atunci unghiul dintre ele este considerat zero.

Unghiul dintre două drepte care se intersectează (dacă unghiurile plane sunt măsurate în radiani) poate lua valori de la zero la $\dfrac(\pi)(2)$.

Definiţie

Unghiul dintre două drepte care se intersectează se numeste cantitate egal cu unghiulîntre două drepte care se intersectează paralele cu cele care se intersectează. Unghiul dintre liniile $a$ și $b$ este notat cu $\angle (a, b)$.

Corectitudinea definiției introduse rezultă din următoarea teoremă.

Teorema unghiurilor plane cu laturile paralele

Mărimile a două unghiuri plane convexe cu laturile paralele și, respectiv, direcționate identic sunt egale.

Dovada

Dacă unghiurile sunt drepte, atunci ambele sunt egale cu $\pi$. Dacă nu sunt desfășurate, atunci trasăm segmentele egale $ON=O_1ON_1$ și $OM=O_1M_1$ pe laturile corespunzătoare ale unghiurilor $\angle AOB$ și $\angle A_1O_1B_1$.

Patrulaterul $O_1N_1NO$ este un paralelogram, deoarece este laturi opuse$ON$ și $O_1N_1$ sunt egale și paralele. La fel, patrulaterul $O_1M_1MO$ ​​​​este un paralelogram. Prin urmare, $NN_1 = OO_1 = MM_1$ și $NN_1 \parallel OO_1 \parallel MM_1$, prin urmare, $NN_1=MM_1$ și $NN_1 \parallel MM_1$ prin tranzitivitate. Patrulaterul $N_1M_1MN$ este un paralelogram, deoarece laturile sale opuse sunt egale și paralele. Aceasta înseamnă că segmentele $NM$ și $N_1M_1$ sunt egale. Triunghiurile $ONM$ și $O_1N_1M_1$ sunt egale conform celui de-al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor, ceea ce înseamnă că unghiurile corespunzătoare $\angle NOM$ și $\angle N_1O_1M_1$ sunt egale.