Решение задач C4 из ЕГЭ по математике (начало).

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник , а многоугольник - описанным около этой окружности. На рисунке 231 четырёхугольник EFMN описан около окружности с центром О, а четырёхугольник DKMN не является описанным около этой окружности, так как сторона DK не касается окружности.

Рис. 231

На рисунке 232 треугольник АВС описан около окружности с центром О.

Рис. 232

Докажем теорему об окружности, вписанной в треугольник.

Теорема

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведём из точки О перпендикуляры OK, OL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (см. рис. 232). Так как точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то OK = OL = ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L, М, так как они перпендикулярны к радиусам OK, OL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность.

В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудалён от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Замечание 2

Обратимся к рисунку 232. Мы видим, что треугольник АВС составлен из трёх треугольников: ABO, ВСО и САО. Если в каждом из этих треугольников принять за основание сторону треугольника АВС, то высотой окажется радиус r окружности, вписанной в треугольник АВС. Поэтому площадь S треугольника АВС выражается формулой

Таким образом,

Замечание 3

В отличие от треугольника не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность .

Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т. е. прямоугольник, не являющийся квадратом. Ясно, что в такой прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трёх его сторон (рис. 233, а), но нельзя «поместить» окружность так, чтобы она касалась всех четырёх его сторон, т. е. нельзя вписать окружность. Если же в четырёхугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

Рис. 233

Это свойство легко установить, используя рисунок 233, б, на котором одними и теми же буквами обозначены равные отрезки касательных. В самом деле, АВ + CD = а + b + с + d, ВС + AD-a + b + c + d, поэтому АВ + CD = ВС + AD. Оказывается, верно и обратное утверждение:

Описанная окружность

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник - вписанным в эту окружность. На рисунке 234 четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром О, а четырёхугольник AECD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Рис. 234

Треугольник АВС на рисунке 235 является вписанным в окружность с центром О.

Рис. 235

Докажем теорему об окружности, описанной около треугольника.

Теорема

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведём отрезки ОА, ОВ и ОС (рис. 235). Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то О А = ОВ = ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность .

В самом деле, допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудалён от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Замечание 2

В отличие от треугольника около четырёхугольника не всегда можно описать окружность .

Например, нельзя описать окружность около ромба, не являющегося квадратом (объясните почему). Если же около четырёхугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

Это свойство легко установить, если обратиться к рисунку 236 и воспользоваться теоремой о вписанном угле. В самом деле,

откуда следует

Рис. 236

Оказывается, верно и обратное:

Задачи

689. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 12: 5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.

691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

692. В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС и СА в точках Р, Q и R. Найдите АР, РВ, BQ, QC, СВ, RA, если АВ = 10 см, ВС = 12 см, СА = 5 см.

693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса г. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, r = 4см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.

694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза треугольника равна с, а сумма катетов равна m.

695. Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырёхугольника.

696. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм - ромб.

697. Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

698. Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырёхугольника.

699. Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 10 см, а его площадь - 12 см 2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырёхугольник.

700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый из них впишите окружность.

702. В окружность вписан треугольник АВС так, что АВ - диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) BC = 134°; б) АС = 70°.

703. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если ВС= 102°.

704. Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. а) Докажите, что точка О - середина гипотенузы. б) Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен d, а один из острых углов треугольника равен α.

705. Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если: а) АС = 8 см, ВС = 6 см; б) АС = 18 см, ∠B = 30°.

706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 10 см.

707. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой равнобедренной трапеции.

709. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм - прямоугольник.

710. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для каждого из них постройте описанную окружность.

Времени до экзамена остается все меньше, пробные ЕГЭ проводятся все чаще, нервы у школьников и их учителей натягиваются все сильнее. В преддверии открытия сезона «интенсивной подготовки» к выпускным и вступительным экзаменам предлагаю вам потренироваться в решении задач C4 из пособия , разработанного МИОО для подготовки школьников к ЕГЭ по математике. Задачи приведены с решениями, однако, полезно было бы решить их сперва самостоятельно.

Вариант 3. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что AB = 6 и BC = 4. Найдите AC .

Решение:

Из теоремы синусов для треугольника ABC имеем:

Из основного тригонометрического тождества находим, что:

Тогда по теореме косинусов для треугольника ABC имеем для обоих случаев:

Ответ: √35 ± √15.

Вариант 5. В треугольнике ABC проведены высоты BM и CN , O - центр вписанной окружности. Известно, что BC = 24 , MN = 12. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BOC .

Решение:

Два возможных случая: ∠A — острый и ∠A — тупой

Возможны два случая:

1) Пусть ∠A — острый (левый рисунок). Докажем, что треугольники AMN и ABC подобны. Действительно, точки B , N , M и C лежат на окружности с диаметром BC , следовательно, ∠NMB = ∠NCB , из прямоугольных треугольников BAM и BNC :
∠AMN = 90 0 — ∠NMB, ∠B = 90 0 — ∠NCB , из чего, очевидно, следует вывод, что ∠AMN = ∠B , кроме того ∠A — общий для обоих треугольников, следовательно, они подобны по двум углам.

Из прямоугольного треугольника AMB : cos∠A = AM /AB ANC : cos∠A = AN /AC. Эти же отношения являются, очевидно, соотношениями сторон в подобных треугольниках AMN и ABC , из чего следует, что cos∠A = NM /BC = 1/2, а значит ∠A = 60 0 , Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 0 , ∠B + ∠C = 120 0 . Центр вписанной в треугольник окружности лежит, как известно, в точке пересечения его биссектрис. Из этого делаем вывод, что:
∠OBC+ ∠OCB = 1/2 · (∠B + ∠C) = 60 0 , а значит ∠BOC = 120 0 . По теореме синусов для треугольника BOC имеем: BC /sin∠BOC = 2R , где R R = 8√3.

2) Пусть теперь ∠A — тупой (правый рисунок). Из прямоугольного треугольника ABM находим, что cos∠BAM = AM /AB , из прямоугольного треугольника CAN находим, что cos∠CAN = AN /AC . ∠BAM = ∠CAN , так как они вертикальные, значит AM /AB = AN /AC = cos∠BAM = cos∠BAС , так как два последних угла смежные. Значит треугольники ABC и ANM подобны по углу и двум пропорциональным сторонам. Коэффициент подобия равен cos∠BAС = MN /BC = -1/2, а сам угол ∠BAС = 120 0 .

Дальнейшие рассуждения аналогичны. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 0 , ∠B + ∠C = 60 0 . Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис, поэтому:
∠OBC + ∠OCB = 1/2 · (∠B + ∠C) = 30 0 , а значит ∠BOC = 150 0 . По теореме синусов для треугольника BOC имеем: BC /sin∠BOC = 2R , где R — искомый радиус описанной около треугольника окружности. Отсюда: R = 24.

Ответ: 8√3 или 24.

Вариант 8. Периметр равнобедренной трапеции равен 52. Известно, что в эту трапецию можно вписать окружность, причем боковая сторона делится точкой касания в отношении 4: 9. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.

Решение:

Рисунок к решению задачи C4 с трапецией

По теореме об отрезках касательных KB = BP = PC = CQ = 4x , QD = DL = LA = AK = 9x , тогда периметр трапеции равен 4 · (9x + 4x ) = 52, откуда x = 1. Отсюда вычисляем боковые стороны AB = CD = 13 и основания BC = 8, AD = 18. Тогда AH = (AD — BC )/2 = 5. Из прямоугольного треугольника BHA по теореме Пифагора находим высоту трапеции BH = 12, sin∠A = sin∠D = 12/13. Площадь трапеции тогда равна S = (BC + AD ) · BH /2 = 156.

В зависимости от того, о какой прямой говорится в условии задачи, возможны два случая:

1) Пусть данная прямая проходит через вершину, содержащую меньшее основание трапеции (на рисунке прямая BM ). Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе, то есть ∠ABM = ∠MBC , ∠MBC = ∠AMB (как накрест лежащие при параллельных прямых BC , AD и секущей BM ), значит ∠ABM = ∠AMB и треугольник ABM — равнобедренный, AM = AB = 13. Тогда площадь треугольника ABM = 0.5 · AB · AM · sin∠A = 0.5 · 13 · 13 · 12/13 = 78, а искомое отношение равно 78/156 = 1/2.

2) Пусть теперь прямая, о которой говорится в условии, проходит через вершину, содержащую меньшее основание трапеции (на рисунке прямая AN ). Выполним дополнительное построение: продлим основание BC и прямую AN до пересечения в точке Y . Аналогично доказываем, что треугольник ABY — равнобедренный, AB = BY = 13, CY = BY — BC = 5. Треугольники CNY и AND подобны по двум углам (∠AND = ∠CNY как вертикальные, ∠CYA = ∠YAD как накрест лежащие при параллельных прямых BC , AD и секущей AY ), значит DN : NC = AD : CY = 18: 5, значит DN = 18/23 CD = 18/23 AB = 234/23. Тогда площадь треугольника ADN = 0.5 · AD · DN · sin∠D = 0.5 · 18 · 234/23 · 12/13 = 1944/23, а искомое отношение равно 162/299.

Ответ: 1/2 или 162/299.

Сергей Валерьевич

Разделы: Математика

На итоговых уроках по геометрии времени на то, чтобы прорешать задачи по всему курсу в целом практически не остается. А в КИМы ЕГЭ традиционно включаются задачи, решение которых требует знаний планиметрии по теме «Вписанные и описанные окружности». Поэтому предложенный материал поможет не только вспомнить данную тему, но и систематизировать ранее полученные знания по решению планиметрических задач на вписанные и описанные окружности, а также подготовиться к решению подобных задач в ЕГЭ. При этом предполагается, что ученик хотя бы на минимальном уровне владеет всем курсом школьной геометрии (планиметрии).

Первым и важнейшим этапом решения геометрической задачи является построение чертежа. Нельзя научиться решать достаточно содержательные задачи, не выработав прочных навыков по изготовлению «хороших» чертежей, не выработав привычки (даже рефлекса) – не начинать решать задачу, пока не сделан «большой и красивый» чертеж. В качестве основного метода решения геометрических задач выдвигается алгебраический метод с составлением последующего алгоритма. Ставя во главу угла алгебраический метод, необходимо предостеречь от чрезмерного увлечения алгеброй и счетом, не забывать о том, что речь идет все же о геометрических задачах, а поэтому, работая над задачей, следует искать геометрические особенности, учиться смотреть и видеть геометрию. Выделив два слагаемых, определяющих умение решать геометрические задачи, – чертеж плюс метод, добавим сюда третье – владение определенными теоремами и опорными задачами, известными геометрическими фактами.

I. Необходимые теоремы и опорные задачи для окружности, вписанной в треугольник и четырехугольник, и окружности, описанной около треугольника и четырехугольника. (Приложение 1 )

II. Решение задач по готовым чертежам (удобно воспользоваться кодоскопом).

При этом ученики устно объясняют ход решения задач, формулируют теоремы и опорные задачи, применяемые при решении задач по готовым чертежам.

Готовый чертеж	Дано Найти	Решение Ответ
	AB = BC	Отрезки касательных равны: BM = BK = 5 AB = BC = 12 MC = CN = 7, AC = 14, AK = AN = 7, PABC = 12 + 12 + 14 = 38 Ответ: P ABC = 38
	AB = 6, АО =	Отрезки касательных равны: АВ = ВС 1) , 2) АВ = ВС, , т.к. ВО – биссектриса 3) АВС – равносторонний, PABC = 6 3 = 18 Ответ: P ABC = 18
	AD – диаметр окружности, АВ = 3, ВД = 4 1. Доказать: NM AD 2. R = ?	1. Т.к. AD – диаметр, то DB AN и AC DN, т.е. AC и DB – высоты АND, тогда NK – высота, т.к. они пересекаются в одной точке. Значит NM AD. 2. AD = = 5, R = Ответ: R = 2,5
	R = ?	AC – диаметр окружности и гипотенуза прямоугольного АВС, R = = 1,5 Ответ: R = 1,5
	AB = 24, ОК = 5	О – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам . BKO – прямоугольный, ВК = AK = 12, КО = 5, ВО = = 13 = R Ответ: R = 13

III. Решение задач.

1. Найти периметр прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности 2 см, а гипотенуза 13 см.

Пусть AM = AN = x, тогда AC = x + 2, CB = 2 + 13 – x = 15 – x (x + 2) 2 + (15 – x) 2 = 169 x 2 – 13x + 30 = 0 x 1 = 10, x 2 = 3; AC = 6, CB = 12; P = 30 см Ответ: P = 30 см.

2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности 3 см, О – центр вписанной окружности, , . Найти площадь треугольника.

АО – биссектриса, AKO – прямоугольный, sin = sin 30 о = , АО = 6, AN = AK = = 3, AC = 3 + 3, tg 60 о = , CB = S ABC = = Ответ: S = см2.

3. Периметр треугольника 84. Точка касания вписанной окружности делит одну из сторон на отрезки 12 и 14. Найти радиус вписанной окружности и площадь АВС, если ОВ = 18, О – центр вписанной окружности.

4. В равнобедренном треугольнике расстояние от центра вписанной окружности до вершины не равного угла 5 см. Большая сторона 10 см. Найти радиус вписанной окружности.

OB = 5, , OM = OB . = , BH = 5 + r, AH = 2r, AHB – прямоугольный, 4r 2 = 100 – (5 + r) 2 , r 2 + 2r – 15 = 0, r 1 = – 5, r 2 = 3 Ответ: r = 3 см.

5. Основание равнобедренного треугольника, вписанного в окружность радиуса 5 см, равно 6 см. Найти периметр треугольника.

AHO – прямоугольный: OH = 4, BH = 4 + 5 =9, AB = BC = = P = Ответ: P = см.

6. Периметр треугольника АВС равен 72 см. AB = BC, AB:AC = 13:10. Найти радиус описанной около треугольника окружности.

AB + BC + AC = 72, , AC = 20, AB = BC = = 26, BH = = 24 BN = NA = 13, , R = Ответ: R = см.

7. Основание тупоугольного равнобедренного треугольника равно 24 см, а радиус описанной окружности 13 см. Найти боковую сторону треугольника.

8. Окружность, диаметром которой служит АС треугольника АВС, проходит через точку пересечения медиан этого треугольника. Найти отношение длины стороны АС к длине проведенной к ней медианы.

AO = OC = R = OM, BM = 2R, BO = 3R, Ответ: .

9. Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.

S ABCD = Т.к. окружность вписанная, то AB + CD = AD + BC = 20 h = 2r = 8, , S ABCD = 10 8 = 80 Ответ: 80.

10. Дан ромб ABCD. Окружность, описанная около треугольника ABD, пересекает большую диагональ ромба AC в точке E. Найдите CE, если AB = , BD = 16.

IV. Задачи для самостоятельного решения.

1. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 см, а радиус описанной окружности равен 5 см. Найдите больший катет треугольника.

Ответ: (6; 8).

2. Около равнобедренного треугольника с основанием АС и углом при основании 75о описана окружность с центром О. Найдите ее радиус, если площадь треугольника ВОС равна 16.

Ответ: (8).

3. Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник АВС, если высота BH равна 12 и известно, что , .

Ответ: (4).

4. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: (25).

5. В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность. Параллельно его основанию АС проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках D и E. Найдите радиус окружности, если DE = 8, AC = 18.

Ответ: (6).

6. Около треугольника ABC описана окружность. Медиана треугольника AM продлена до пересечения с окружностью в точке K. Найдите сторону AC, если AM= 18, MK = 8, BK = 10.

Ответ: (15).

7. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.

Ответ: (12).

8. Угол В треугольника АВС равен 60 о, радиус окружности, описанной около АВС, равен 2. Найти радиус окружности, проходящей через точки А и С и центр окружности, вписанной в АВС.

Ответ: (2).

9. Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найти отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

Ответ: (11: 7).

10. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности его катетов. Найти отношение большего катета к меньшему.

, . Найдите гипотенузу и радиус окружности, описанной около треугольника.