Огэ по географии 02 регион. Демоверсии гиа по географии

Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

с помощью преобразовать его до простейшего;
решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя , преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:

`\frac {sin^2 x}{cos^2 x}+\frac{sin x cos x}{cos^2 x} — \frac{2 cos^2 x}{cos^2 x}=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt {a^2+b^2}`:

`\frac a{sqrt {a^2+b^2}} sin x +` `\frac b{sqrt {a^2+b^2}} cos x =` `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}`.

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a{sqrt {a^2+b^2}}=cos \varphi`, ` \frac b{sqrt {a^2+b^2}} =sin \varphi`, `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}=C`, тогда:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt {3^2+4^2}`, получим:

`\frac {3 sin x} {sqrt {3^2+4^2}}+` `\frac{4 cos x}{sqrt {3^2+4^2}}=` `\frac 2{sqrt {3^2+4^2}}`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `\frac {sin x}{1+cos x}=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {(1-cos x)(1+cos x)}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {1-cos^2 x}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}-` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}=0`

`\frac {sin x-sin^2 x}{1+cos x}=0`

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

Подготовка к профильному уровню единого государственного экзамена по математике. Полезные материалы по тригонометрии, большие теоретические видеолекции, видеоразборы задач и подборка заданий прошлых лет.

Полезные материалы

Подборки видео и онлайн-курсы

Тригонометрические формулы

Геометрическая иллюстрация тригонометрических формул

Арк-функции. Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения

Необходимая теория для решения задач.
а) Решите уравнение $7\cos^2 x - \cos x - 8 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -\dfrac{3\pi}{2} \right]$.
а) Решите уравнение $\dfrac{6}{\cos^2 x} - \dfrac{7}{\cos x} + 1 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -3\pi; -\pi \right]$.
Решите уравнение $\sin\sqrt{16 - x^2} = \dfrac12$.
а) Решите уравнение $2\cos 2x - 12\cos x + 7 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]$.
а) Решите уравнение $\dfrac{5}{\mathrm{tg}^2 x} - \dfrac{19}{\sin x} + 17 = 0$.
Решите уравнение $\dfrac{2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x}{\sqrt{\mathrm{ctg}x}} = 0$.
Решите уравнение $\dfrac{\mathrm{tg}^3x - \mathrm{tg}x}{\sqrt{-\sin x}} = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac{5\pi}{2}; -\pi \right)$.
а) Решите уравнение $\cos 2x = \sin\left(\dfrac{3\pi}{2} - x\right)$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ \dfrac{3\pi}{2}; \dfrac{5\pi}{2} \right]$.
а) Решите уравнение $2\sin^2\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) = \sqrt3\cos x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$.

Видеоразборы задач

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \sqrt{3}; \sqrt{20} \right]$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{9\pi}{2}; -3\pi \right]$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\sqrt{3}; \sqrt{30} \right]$.

а) Решите уравнение $\cos 2x = 1 - \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac{5\pi}{2}; -\pi \right)$.

а) Решите уравнение $\cos^2 (\pi - x) - \sin \left(x + \dfrac{3\pi}{2} \right) = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi \right]$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\log_5 2; \log_5 20 \right]$.

а) Решите уравнение $8 \sin^2 x + 2\sqrt{3} \cos \left(\dfrac{3\pi}{2} - x\right) = 9$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[- \dfrac{5\pi}{2}; -\pi \right]$.

а) Решите уравнение $2\log_3^2 (2 \cos x) - 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]$.

а) Решите уравнение $\left(\dfrac{1}{49} \right)^{\sin x} = 7^{2 \sin 2x}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\dfrac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$.

а) Решите уравнение $\sin x + \left(\cos \dfrac{x}{2} - \sin \dfrac{x}{2}\right)\left(\cos \dfrac{x}{2} + \sin \dfrac{x}{2}\right) = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]$.

Подборка заданий прошлых лет

а) Решите уравнение $\dfrac{\sin x}{\sin^2\dfrac{x}{2}} = 4\cos^2\dfrac{x}{2}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{9\pi}{2}; -3\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Досрочная волна)
а) Решите уравнение $\sqrt{x^3 - 4x^2 - 10x + 29} = 3 - x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\sqrt{3}; \sqrt{30} \right]$. (ЕГЭ-2018. Досрочная волна, резервный день)
а) Решите уравнение $2 \sin^2 x + \sqrt2 \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos x $.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
а) Решите уравнение $\sqrt6 \sin^2 x + \cos x = 2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6} \right)$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 3\pi; \dfrac{9\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
а) Решите уравнение $\sin x + 2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6} \right) = \sqrt3 \sin 2x + 1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
а) Решите уравнение $\cos^2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4} \right)$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
а) Решите уравнение $2 \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3} \right) - \sqrt{3} \sin x = \sin 2x + \sqrt3$.
а) Решите уравнение $2\sqrt3 \sin\left(x + \dfrac{\pi}{3} \right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi; \dfrac{7\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
а) Решите уравнение $2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6} \right) - \cos x = \sqrt3\sin 2x - 1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{5\pi}{2}; 4\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
а) Решите уравнение $\sqrt2\sin\left(\dfrac{\pi}{4} + x \right) + \cos 2x = \sin x - 1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{7\pi}{2}; 5\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
а) Решите уравнение $\sqrt2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{4} \right) + \sqrt2\cos x = \sin 2x - 1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{5\pi}{2}; -\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
а) Решите уравнение $2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{3} \right) + \cos 2x = \sqrt3\cos x + 1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi; -\dfrac{3\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
а) Решите уравнение $2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) + \cos 2x = \sqrt2\cos x + 1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день)
а) Решите уравнение $2\cos x - \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день)
а) Решите уравнение $2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{9\pi}{2}; -3\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день)
а) Решите уравнение $2\sqrt2\sin \left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) + 2\cos^2 x = 2 + \sqrt6 \cos x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi; -\dfrac{3\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день)
а) Решите уравнение $x - 3\sqrt{x - 1} + 1 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \sqrt{3}; \sqrt{20} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день)
а) Решите уравнение $2x \cos x - 8\cos x + x - 4 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{\pi}{2};\ \pi \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
а) Решите уравнение $\log_3 (x^2 - 2x) = 1$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \log_2 0{,}2;\ \log_2 5 \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
а) Решите уравнение $\log_3 (x^2 - 24x) = 4$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \log_2 0{,}1;\ 12\sqrt{5} \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
а) Решите уравнение $0{,}4^{\sin x} + 2{,}5^{\sin x} = 2$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна)
а) Решите уравнение $\log_8 \left(7\sqrt{3} \sin x - \cos 2x - 10\right) = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна)
а) Решите уравнение $\log_4 \left(2^{2x} - \sqrt{3} \cos x - 6\sin^2 x\right) = x$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна)
а) Решите уравнение $2\log_2^2 \left(\sin x\right) - 5 \log_2 \left(\sin x\right) - 3 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ - 3\pi;\ - \dfrac{3\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна)
а) Решите уравнение $81^{\cos x} - 12\cdot 9^{\cos x} + 27 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ - 4\pi;\ - \dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна)
а) Решите уравнение $8^x - 9 \cdot 2^{x + 1} + 2^{5 - x} = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \log_5 2;\ \log_5 20 \right]$. (ЕГЭ-2017, досрочная волна)
а) Решите уравнение $2\log^2_9 x - 3 \log_9 x + 1 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \sqrt{10};\ \sqrt{99} \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна, резервный день)
а) Решите уравнение $6\log^2_8 x - 5 \log_8 x + 1 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2;\ 2{,}5 \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна, резервный день)
а) Решите уравнение $\sin 2x = 2\sin x + \sin \left(x + \dfrac{3\pi}{2} \right) + 1$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна, резервный день)
а) Решите уравнение $2\cos^2 x + 1 = 2\sqrt{2} \cos \left(\dfrac{3\pi}{2} - x \right)$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна)
а) Решите уравнение $2\log^2_2 (2\cos x) - 9 \log_2 (2\cos x) + 4 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна)
а) Решите уравнение $8^x - 7 \cdot 4^x - 2^{x + 4} + 112 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$. (ЕГЭ-2016, досрочная волна)
а) Решите уравнение $\cos 2x + \cos^2 \left(\dfrac{3\pi}{2} - x \right) = 0,25$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2016, досрочная волна)
а) Решите уравнение $\dfrac{13\sin^2 x - 5\sin x}{13\cos x + 12} = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi;\ -\dfrac{3\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2016, досрочная волна)
а) Решите уравнение $\dfrac{\sin2x}{\sin\left(\dfrac{7\pi}{2} - x \right)} = \sqrt{2}$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left$. (ЕГЭ-2015, основная волна)
а) Решите уравнение $4 \sin^2 x = \mathrm{tg} x$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ - \pi;\ 0\right]$. (ЕГЭ-2015, основная волна)
а) Решите уравнение $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi;\ \dfrac{5\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2015, основная волна)
а) Решите уравнение $\cos 2x - 5\sqrt{2}\cos x - 5 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi;\ -\dfrac{3\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2015, основная волна)
а) Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt{2} \sin x = 2\cos x + \sqrt{2}$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi;\ \dfrac{5\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2015, досрочная волна)
а) Решите уравнение $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2015, досрочная волна)
а) Решите уравнение $\mathrm{tg}^2 x + (1 + \sqrt{3}) \mathrm{tg} x + \sqrt{3} = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{5\pi}{2}; \ 4\pi\right]$. (ЕГЭ-2014, основная волна)
а) Решите уравнение $2\sqrt{3} \cos^2\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) - \sin 2x = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2}; \ 3\pi\right]$. (ЕГЭ-2014, основная волна)
а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{2} \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi; \ -\dfrac{3\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2014, основная волна)
а) Решите уравнение $-\sqrt{2} \sin\left(-\dfrac{5\pi}{2} + x\right) \cdot \sin x = \cos x$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{9\pi}{2}; \ 6\pi\right]$. (ЕГЭ-2014, досрочная волна)
а) Решите уравнение $\sin 2x = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right)$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; \ -\dfrac{5\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2013, основная волна)
а) Решите уравнение $6 \sin^2 x + 5\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) - 2 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -5\pi; \ - \dfrac{7\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2012, вторая волна)

ОГЭ 2017. География. Типовые тестовые задания. Барабанов В.В.

М.: 2017. - 112 с.

Пособие содержит 10 вариантов типовых тестовых заданий Основного государственного экзамена 2017 года. Автор заданий - ученый и методист, принимающий непосредственное участие в разработке контрольных измерительных материалов ОГЭ. Назначение пособия - отработка практических навыков учащихся при подготовке к Основному государственному экзамену (ОГЭ) в 9 классе по географии 2017 года. В сборнике изложен подробный разбор и решение всех заданий одного из вариантов, помимо этого даны ответы на все варианты тестов. Приведена инструкция по проверке и оценке работ учащихся. Сборник предназначен для учителей и методистов, готовящих учащихся к Основному государственному экзамену, а также для самоподготовки и самоконтроля учащихся 9 классов основной школы.

Формат: pdf

Размер: 6,7 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 4
Вариант 1 5
Вариант 2 14
Вариант 3 23
Вариант 4 33
Вариант 5 42
Вариант 6 52
Вариант 7 62
Варианте 71
Вариант 9 80
Вариант с разбором заданий 90
Ответы 104
Вариант 1 104
Вариант 2 104
Вариант 3 105
Вариант 4 106
Вариант 5 107
Вариант 6: 108
Вариант 7 109
Варианте 110
Вариант 9 110

Данное пособие предназначено для того, чтобы дать представление о структуре работы ОГЭ по географии, познакомить с разными типами заданий, которые могут встретиться на экзамене, потренироваться в их выполнении. На все задания даны ответы.
На выполнение экзаменационной работы по географии отводится 2 часа (120 минут). Экзаменационная работа ОГЭ по географии состоит из 30 заданий разного уровня сложности.
В каждый вариант экзаменационной работы включаются задания, проверяющие содержание всех основных разделов курсов школьной географии 5-9 классов, при этом наибольшее количество вопросов базируется на материале курса «География России».
Прежде чем приступать к решению заданий типовых вариантов, рекомендуется повторить изученный ранее материал.
В экзаменационной работе много заданий требующих применения знаний: проверяющих умения анализировать географическую информацию, соотносить знания и умения из различных курсов школьной географии с жизненным опытом, применять полученные в школе географические знания и умения в ситуациях, близких к реальным, жизненным. Поэтому при подготовке к экзамену не следует ограничиваться повторением материала, изложенного в учебниках. При подготовке к экзамену нельзя не уделить часть времени повторению географической номенклатуры - положения на карте важнейших географических объектов.
При выполнении тренировочных заданий обязательно пользуйтесь картами школьных атласов, чтобы хорошо представлять, какие карты в них имеются, и при выполнении каких типов заданий они могут быть использованы.
На экзамене при выполнении работы разрешается использовать географические атласы для 7, 8 и 9 классов, линейки и непрограммируемые калькуляторы.

Спецификация
контрольных измерительных материалов
для проведения в 2017 году основного государственного экзамена
по ГЕОГРАФИИ

1. Назначение КИМ для ОГЭ – оценить уровень общеобразовательной подготовки по географии выпускников IX классов общеобразовательных организаций в целях государственной итоговой аттестации выпускников. Результаты экзамена могут быть использованы при приеме обучающихся в профильные классы средней школы.

ОГЭ проводится в соответствии с Федеральным законом Российской Федерации от 29.12.2012 № 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации».

2. Документы, определяющие содержание КИМ

3. Подходы к отбору содержания, разработке структуры КИМ

В каждый вариант КИМ 2017 г. включены задания, проверяющие уровень знания содержания всех основных разделов курса географии за основную школу и выполнение основных требований к уровню подготовки выпускников.

4. Связь экзаменационной модели ОГЭ с КИМ ЕГЭ

Значительная часть заданий КИМ для ОГЭ по типу аналогичны заданиям, использующимся в экзаменационной работе ЕГЭ.

В отличие от ЕГЭ, в КИМ для ОГЭ большее внимание уделяется достижению обучающимися требований, направленных на практическое применение географических знаний и умений. Также важной для ОГЭ является проверка сформированности умения извлекать и анализировать данные из различных источников географической информации (карты атласов, статистические материалы, диаграммы, тексты СМИ).

5. Характеристика структуры и содержания КИМ

Экзаменационная работа состоит из 30 заданий. Задания проверяют знания, составляющие основу географической грамотности обучающихся, а также способность применить знания и умения в контекстах, соответствующих основным разделам курса школьной географии.

Работа содержит 27 заданий с записью краткого ответа, из них: 17 заданий с ответом в виде одной цифры, 3 задания с ответом в виде слова или словосочетания, 7 заданий с ответом в виде числа или последовательности цифр; 3 задания с развернутым ответом, в которых требуется записать полный и обоснованный ответ на поставленный вопрос.

6. Распределение заданий КИМ по содержанию, проверяемым умениям и способам деятельности.

Государственная итоговая аттестация для выпускников девятых классов в настоящее время является добровольной, всегда можно отказаться и сдавать привычные традиционные экзамены.

Чем же привлекательнее тогда форма ОГЭ (ГИА) для выпускников 9 класса 2019 года? Проведение непосредственно аттестации в данной новой форме позволяет получить независимую оценку подготовки школьников. Все задания ОГЭ (ГИА) представлены в виде специальной формы, включающей в себя вопросы с выбором ответа на них. Проводится прямая аналогия с ЕГЭ. При этом можно давать как краткие, так и развернутые ответы. Наш сайт сайт поможет вам отлично подготовиться и оценить реально свои шансы. Помимо этого, тесты ГИА и ОГЭ онлайн с проверкой ответов помогают вам определиться с дальнейшим выбором профильного класса старшей школы. Вы сами сможете легко оценить свои знания по выбранному предмету. Для этого наш проект предлагает вам различные тесты по ряду дисциплин. Наш сайт, посвященный подготовке к сдаче ГИА 2019 года 9 класс онлайн , в полной мере поможет вам подготовиться к первому серьезному и ответственному испытанию в жизни.

Все материалы нашего сайта представлены в простой, доступной для понимания форме. Будь вы круглый отличник в своем классе или обычный среднестатистический ученик - всё теперь в ваших руках. Не лишним вам будет посетить наши . Здесь вы найдете ответы на все интересующие вас вопросы. Будьте подготовленным к непростому испытанию ОГЭ, ГИА и результат превзойдет все ваши ожидания.