Y x 1 2 x 2 pētījumi. MANAS lietpratīgās ceļojuma piezīmes

Ja uzdevumam ir nepieciešams pilnībā izpētīt funkciju f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 ar tā grafika uzbūvi, tad mēs šo principu detalizēti apsvērsim.

Lai atrisinātu šāda veida problēmu, jāizmanto galveno pamatfunkciju īpašības un grafiki. Pētījuma algoritms ietver darbības:

Darbības jomas atrašana

Tā kā pētījums tiek veikts funkcijas definēšanas jomā, jāsāk no šī soļa.

1. piemērs

Dotajā piemērā tiek pieņemts, ka tiek atrastas saucēja nulles, lai izslēgtu tās no ODZ.

4 x 2 - 1 \u003d 0 x \u003d ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; + ∞

Tā rezultātā jūs varat iegūt saknes, logaritmus utt. Tad ODV vienmērīgas pakāpes g (x) 4 pakāpes saknei var meklēt pēc nevienādības g (x) ≥ 0, logaritmam log a g (x) ar nevienādību g (x)\u003e 0.

ODZ robežu izpēte un vertikālo asimptotu atrašana

Uz funkcijas robežām ir vertikāli asimptoti, kad vienpusējās robežas šādos punktos ir bezgalīgas.

2. piemērs

Piemēram, ņemiet vērā robežpunktus, kas vienādi ar x \u003d ± 1 2.

Tad ir jāizpēta funkcija, lai atrastu vienpusēju robežu. Tad mēs iegūstam, ka: lim x → - 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) - 0 \u003d + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) \u003d lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 \u003d \u003d lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) (+ 0) \u003d - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 0) 2 \u003d - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 ( + 0) 2 \u003d + ∞

Tādējādi var redzēt, ka vienpusējās robežas ir bezgalīgas, kas nozīmē, ka taisnes x \u003d ± 1 2 ir grafika vertikālās asimptotes.

Funkcijas pārbaude un pāra vai nepāra paritāte

Kad nosacījums y (- x) \u003d y (x) ir izpildīts, funkcija tiek uzskatīta par vienmērīgu. Tas liek domāt, ka grafiks atrodas simetriski attiecībā pret O y. Kad nosacījums y (- x) \u003d - y (x) ir izpildīts, funkcija tiek uzskatīta par nepāra. Tas nozīmē, ka simetrija ir attiecībā pret izcelsmi. Ja vismaz viena nevienlīdzība nav apmierināta, mēs iegūstam vispārēju funkciju.

Vienādība y (- x) \u003d y (x) norāda, ka funkcija ir vienmērīga. Konstruējot, jāņem vērā, ka attiecībā uz O y būs simetrija.

Lai atrisinātu nevienlīdzību, tiek izmantoti pieauguma un samazināšanās intervāli ar nosacījumiem f "(x) ≥ 0 un f" (x) ≤ 0.

1. definīcija

Stacionārie punkti- tie ir punkti, kas atvasinājumu pārvērš par nulli.

Kritiskie punkti - tie ir iekšējie punkti no domēna, kur funkcijas atvasinājums ir nulle vai nepastāv.

Pieņemot lēmumu, jāņem vērā šādas piezīmes:

• ar pieejamiem formas f "(x)\u003e 0 nevienādību pieauguma un samazināšanās intervāliem, kritiskie punkti risinājumā nav iekļauti;
• punkti, kuros funkcija ir definēta bez galīga atvasinājuma, jāiekļauj pieauguma un samazināšanās intervālos (piemēram, y \u003d x 3, kur punkts x \u003d 0 padara funkciju noteiktu, atvasinājumam šajā punktā ir bezgalības vērtība, y "\u003d 1 3 x 2 3, y "(0) \u003d 1 0 \u003d ∞, x \u003d 0 ir iekļauts pieaugošajā intervālā);
• lai izvairītos no strīdiem, ieteicams izmantot Izglītības ministrijas ieteikto matemātisko literatūru.

Kritisko punktu iekļaušana pieauguma un samazināšanās intervālos, ja tie atbilst funkcijas jomai.

2. definīcija

Priekš funkcijas palielināšanas un samazināšanas intervālu noteikšanai ir jāatrod:

• atvasinājums;
• kritiskie punkti;
• sadalīt definīcijas apgabalu, izmantojot kritiskos punktus, intervālos;
• noteikt atvasinājuma zīmi katrā no intervāliem, kur + ir pieaugums un - ir samazinājums.

3. piemērs

Atrodiet atvasinājumu domēnā f "(x) \u003d x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 ...

Lēmums

Lai atrisinātu, jums ir nepieciešams:

• atrodiet stacionārus punktus, šim piemēram ir x \u003d 0;
• atrodiet saucēja nulles, piemērā vērtība nulle pie x \u003d ± 1 2.

Mēs pakļaujam skaitliskās ass punktus, lai katrā intervālā noteiktu atvasinājumu. Lai to izdarītu, ir pietiekami ņemt jebkuru punktu no intervāla un veikt aprēķinu. Ja rezultāts ir pozitīvs, grafikā uzzīmējam +, kas nozīmē funkcijas pieaugumu, un - nozīmē tā samazināšanos.

Piemēram, f "(- 1) \u003d - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, kas nozīmē, ka pirmajam intervālam kreisajā pusē ir + zīme. Apsveriet skaitļa līnijā.

Atbilde:

• funkcija palielinās intervālā - ∞; - 1 2 un (- 1 2; 0];
• ir intervāla samazinājums [0; 1 2) un 1 2; + ∞.

Diagrammā, izmantojot + un -, tiek attēlota funkcijas pozitivitāte un negativitāte, un bultiņas - samazinās un palielinās.

Funkcijas galējie punkti ir punkti, kur funkcija ir definēta un caur kuru atvasinājums maina zīmi.

4. piemērs

Ja aplūkosim piemēru, kur x \u003d 0, tad funkcijas vērtība tajā ir vienāda ar f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Kad atvasinājuma zīme mainās no + uz - un iet caur punktu x \u003d 0, tad punkts ar koordinātām (0; 0) tiek uzskatīts par maksimālo punktu. Kad zīme mainās no - uz +, mēs iegūstam minimālo punktu.

Izliekumu un ieliekumu nosaka, risinot formas "" (x) ≥ 0 un f "" (x) ≤ 0 - nevienādības. Retāk nosaukums tiek izmantots izliekums uz leju, nevis ieliekums, un izliekums uz augšu, nevis izliekums.

3. definīcija

Priekš nosakot ieliekuma un izliekuma intervālus tas ir nepieciešams:

• atrodiet otro atvasinājumu;
• atrod otrās atvasinātās funkcijas nulles;
• sadaliet definīcijas apgabalu pēc parādītajiem punktiem intervālos;
• noteikt plaisas pazīmi.

5. piemērs

Atrodiet otro atvasinājumu no domēna.

Lēmums

f "" (x) \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "\u003d \u003d (- 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2 - 1) 4 \u003d 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Mēs atrodam skaitītāja un saucēja nulles, kur mūsu piemērā ir tas, ka saucēja nulles x \u003d ± 1 2

Tagad jums jāpiezīmē punkti uz skaitliskās ass un no katra intervāla jānosaka otrā atvasinājuma zīme. Mēs to saprotam

Atbilde:

• funkcija ir izliekta no intervāla - 1 2; 12;
• funkcija ir ieliekta no intervāliem - ∞; - 1 2 un 1 2; + ∞.

4. definīcija

Liekuma punkts Ir formas x 0 punkts; f (x 0). Kad tai ir funkcijas grafika pieskare, tad, kad tā iet caur x 0, funkcija maina savu zīmi pretējā.

Citiem vārdiem sakot, tas ir punkts, caur kuru otrais atvasinājums iziet un maina zīmi, un pašos punktos ir vienāds ar nulli vai nepastāv. Visi punkti tiek uzskatīti par funkcijas domēnu.

Piemērā bija redzams, ka nav locījuma punktu, jo otrais atvasinājums maina zīmi, ejot caur punktiem x \u003d ± 1 2. Savukārt tie nav iekļauti definīcijas darbības jomā.

Horizontālu un slīpu asimptotu atrašana

Definējot funkciju bezgalībā, jums jāmeklē horizontāli un slīpi asimptoti.

5. definīcija

Slīpi asimptotiir attēlotas, izmantojot taisnas līnijas, kas noteiktas ar vienādojumu y \u003d k x + b, kur k \u003d lim x → ∞ f (x) x un b \u003d lim x → ∞ f (x) - k x.

Ja k \u003d 0 un b nav vienādi ar bezgalību, mēs atklājam, ka slīpa asimptote kļūst horizontāli.

Citiem vārdiem sakot, asimptoti ir līnijas, kurām funkcijas grafiks tuvojas bezgalībā. Tas palīdz ātri uzzīmēt funkciju.

Ja nav asimptotu, bet funkcija ir definēta abos bezgalībās, ir jāaprēķina funkcijas robeža pie šīm bezgalībām, lai saprastu, kā funkcijas grafiks rīkosies.

6. piemērs

Piemēram, apsveriet to

k \u003d lim x → ∞ f (x) x \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x \u003d 0 b \u003d lim x → ∞ (f (x) - kx) \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 \u003d 1 4 ⇒ y \u003d 1 4

ir horizontālais asimptots. Pēc funkcijas pārbaudes jūs varat sākt to veidot.

Funkcijas vērtības aprēķināšana starppunktos

Lai uzzīmēšana būtu visprecīzākā, starppunktos ieteicams atrast vairākas funkcijas vērtības.

7. piemērs

No mūsu aplūkotā piemēra ir jāatrod funkcijas vērtības punktos x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Tā kā funkcija ir vienmērīga, mēs iegūstam, ka vērtības sakrīt ar vērtībām šajos punktos, tas ir, mēs iegūstam x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Pierakstīsim un atrisināsim:

F (- 2) \u003d f (2) \u003d 2 2 4 2 2 - 1 \u003d 4 15 ≈ 0,27 f (- 1) - f (1) \u003d 1 2 4 1 2 - 1 \u003d 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 \u003d f 3 4 \u003d 3 4 2 4 3 4 2 - 1 \u003d 9 20 \u003d 0,45 f - 1 4 \u003d f 1 4 \u003d 1 4 2 4 1 4 2 - 1 \u003d - 1 12 ≈ - 0,08

Lai noteiktu funkcijas maksimumus un minimumus, locījuma punktus, starppunktus, nepieciešams uzzīmēt asimptotus. Ērtai apzīmēšanai tiek fiksēti pieauguma, samazināšanās, izliekuma, ieliekuma intervāli. Apsveriet zemāk redzamo attēlu.

Caur atzīmētajiem punktiem ir nepieciešams uzzīmēt grafika līnijas, kas ļaus jums tuvoties asimptotiem, sekojot bultiņām.

Tas noslēdz pilnīgu funkcijas izpēti. Ir gadījumi, kad tiek konstruētas dažas pamatfunkcijas, kurām tiek piemērotas ģeometriskās transformācijas.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter

Jau kādu laiku TheBat iebūvētā SSL sertifikātu datu bāze (nez kāpēc) pārstāj darboties pareizi.

Pārbaudot ziņas, tiek parādīta kļūda:

Nezināms CA sertifikāts
Serveris sesijā neuzrādīja saknes sertifikātu, un atbilstošais saknes sertifikāts netika atrasts adrešu grāmatā.
Šī saikne nevar būt slepena. Jūs esat laipni gaidīti
sazinieties ar sava servera administratoru.

Un ir atbilžu izvēle - JĀ / NĒ. Un tāpēc katru reizi, kad noņemat pastu.

Lēmums

Šajā gadījumā jums TheBat jāaizstāj S / MIME un TLS ieviešanas standarts ar Microsoft CryptoAPI!

Tā kā man bija jāapvieno visi faili vienā, vispirms visus doc failus konvertēju vienā pdf failā (izmantojot programmu Acrobat), un pēc tam tos pārveidoju uz fb2, izmantojot tiešsaistes pārveidotāju. Jūs varat arī konvertēt failus atsevišķi. Formāti var būt pilnīgi jebkurš (avots) un doc, un jpg, un pat zip arhīvs!

Vietnes nosaukums atbilst būtībai :) Online Photoshop.

Atjaunināt 2015. gada maiju

Es atradu vēl vienu lielisku vietni! Vēl ērtāk un funkcionālāk, lai izveidotu pilnīgi patvaļīgu kolāžu! Šī vietne ir http://www.fotor.com/en/collage/. Izmantojiet to savai veselībai. Un es pats to izmantošu.

Manā dzīvē nācies saskarties ar elektriskās plīts remontu. Esmu jau daudz izdarījis, daudz iemācījies, bet kaut kā ar flīzēm man bija maz sakara. Bija nepieciešams nomainīt kontaktus uz vadības ierīcēm un degļiem. Radās jautājums - kā noteikt degļa diametru uz elektriskās plīts?

Atbilde bija vienkārša. Jums nekas nav jāmēra, jūs varat viegli noteikt nepieciešamo izmēru.

Mazākais deglisir 145 milimetri (14,5 centimetri)

Vidēja plīts ir 180 milimetri (18 centimetri).

Un visbeidzot, visvairāk liels deglis ir 225 milimetri (22,5 centimetri).

Tas ir pietiekami, lai noteiktu izmēru ar aci un saprastu, kāds diametrs jums nepieciešams deglis. Kad to nezināju, es planēju ar šīm dimensijām, nezināju, kā izmērīt, kurā malā orientēties utt. Tagad esmu gudrs :) Ceru, ka arī tev palīdzēju!

Dzīvē es saskāros ar šādu uzdevumu. Es domāju, ka es neesmu vienīgais.

Kā pārbaudīt funkciju un to uzzīmēt?

Šķiet, ka es sāku saprast pasaules proletariāta vadītāja, 55 sējumos apkopoto darbu autora, dvēselisko, dvēselisko seju. Lēnais ceļš sākās ar elementāru informāciju par funkcijas un grafiki, un tagad darbs pie darbietilpīgas tēmas beidzas ar likumsakarīgu rezultātu - rakstu par pilnu funkciju izpēti... Ilgi gaidītais uzdevums tiek formulēts šādi:

Izpētiet funkciju ar diferenciālrēķina metodēm un, pamatojoties uz pētījuma rezultātiem, izveidojiet tās grafiku

Vai īsumā: pārbaudiet funkciju un uzzīmējiet diagrammu.

Kāpēc pētījumi? Vienkāršos gadījumos mums nebūs grūti tikt galā ar pamatfunkcijām, uzzīmējiet grafiku, kas iegūts, izmantojot elementāras ģeometriskas transformācijas utt. Tomēr sarežģītāku funkciju īpašības un grafiskais attēlojums nebūt nav acīmredzams, tāpēc ir nepieciešams viss pētījums.

Galvenie risinājuma soļi ir apkopoti atsauces materiālā Funkciju izpētes shēma, tas ir jūsu ceļvedis sadaļā. Manekeniem ir nepieciešams pakāpenisks tēmas skaidrojums, daži lasītāji nezina, ar ko sākt un kā organizēt pētījumu, un pieredzējušiem studentiem var būt interesanti tikai daži punkti. Bet kāds jūs esat, dārgais apmeklētāj, piedāvātais kopsavilkums ar norādēm uz dažādām nodarbībām pēc iespējas īsākā laikā orientēs un virzīs jūs interesējošajā virzienā. Robotiem līst asaras \u003d) Rokasgrāmata ir izkārtota pdf faila formā un ieņem pelnīto vietu lapā Matemātiskās formulas un tabulas.

Es mēdzu sadalīt funkcijas izpēti 5-6 punktos:

6) Papildu punkti un grafiks atbilstoši pētījumu rezultātiem.

Uz pēdējās darbības rēķina es domāju, ka visi visu saprot - tas būs ļoti aizvainojoši, ja dažu sekunžu laikā tas tiks izsvītrots un uzdevums tiks atgriezts pārskatīšanai. Pareiza un precīza zīmēšana ir galvenais lēmuma rezultāts! Tas, visticamāk, "nosegs" analītiskās neuzmanības, savukārt nepareizs un / vai paviršs grafiks radīs problēmas pat ar perfektu pētījumu.

Jāatzīmē, ka citos avotos izpētes punktu skaits, to ieviešanas secība un noformējuma stils var ievērojami atšķirties no manis piedāvātās shēmas, taču vairumā gadījumu ar to pilnīgi pietiek. Vienkāršākā problēmas versija sastāv tikai no 2-3 posmiem un ir formulēta apmēram šādi: "izmeklējiet funkciju, izmantojot atvasinājumu, un izveidojiet grafiku" vai "pārbaudiet funkciju, izmantojot 1. un 2. atvasinājumu, izveidojiet grafiku".

Protams, ja jūsu rokasgrāmatā tiek detalizēti analizēts cits algoritms vai jūsu skolotājs stingri pieprasa, lai jūs ievērotu viņa lekcijas, jums būs jāpielāgo daži risinājumi. Tikpat viegli, kā dakšiņu nomainīt ar karoti ar motorzāģi.

Pārbaudīsim funkciju pāra / nepāra paritātei:

Pēc tam seko veidnes abonēšanas atcelšana:
tāpēc šī funkcija nav pat vai nepāra.

Tā kā funkcija ir ieslēgta nepārtraukti, nav vertikālu asimptotu.

Arī slīpu asimptotu nav.

Piezīme : atgādināt, ka augstāks izaugsmes kārtībanekā tāpēc galīgā robeža ir tieši “ pluss bezgalība ".

Noskaidrosim, kā funkcija darbojas bezgalībā:

Citiem vārdiem sakot, ja mēs ejam pa labi, tad diagramma iet bezgalīgi tālu uz augšu, ja pa kreisi - bezgalīgi tālu uz leju. Jā, vienā ierakstā ir arī divi ierobežojumi. Ja jums ir grūtības ar zīmju atšifrēšanu, lūdzu, apmeklējiet nodarbību par bezgalīgi mazas funkcijas.

Tātad funkcija nav ierobežots no augšas un nav ierobežots no apakšas... Ņemot vērā, ka mums nav pārtraukuma punktu, kļūst skaidrs un funkciju diapazons: - arī jebkurš reāls skaitlis.

NODERĪGA TEHNISKĀ PALĪDZĪBA

Katrs uzdevuma posms sniedz jaunu informāciju par funkciju grafiku, tāpēc risinājuma laikā ir ērti izmantot sava veida izkārtojumu. Uz melnraksta uzzīmēsim Dekarta koordinātu sistēmu. Kas jau ir droši zināms? Pirmkārt, grafikā nav asimptotu, tāpēc nav nepieciešams vilkt taisnas līnijas. Otrkārt, mēs zinām, kā funkcija darbojas bezgalībā. Saskaņā ar analīzi mēs izdarīsim pirmo tuvinājumu:

Ņemiet vērā, ka sakarā ar nepārtrauktība grafiks vismaz vienu reizi šķērso asi. Vai varbūt ir vairāki krustošanās punkti?

3) Konstantes funkcijas un intervālu nulles.

Vispirms atrodam grafika un ordinātu ass krustošanās punktu. Tas ir vienkārši. Funkcijas vērtība ir jāaprēķina, ja:

Pusotrs virs jūras līmeņa.

Lai atrastu krustošanās punktus ar asi (funkcijas nulles), jums jāatrisina vienādojums, un tad mūs gaida nepatīkams pārsteigums:

Beigās slēpjas brīvs biedrs, kas ievērojami sarežģī uzdevumu.

Šādam vienādojumam ir vismaz viena reāla sakne, un visbiežāk šī sakne ir iracionāla. Sliktākajā pasakā mūs gaida trīs cūkas. Vienādojums ir atrisināms, izmantojot t.s. kardano formulasbet papīra izšķiešana ir salīdzināma ar gandrīz visu pētījumu. Šajā ziņā ir prātīgāk mutiski vai pēc melnraksta mēģināt atrast vismaz vienu vesels sakne. Pārbaudīsim, vai skaitļi nav:
- neder;
- tur ir!

Šeit paveicās. Neveiksmes gadījumā jūs varat arī pārbaudīt, un, ja šie skaitļi nederēja, tad izredzes uz izdevīgu vienādojuma risinājumu, es baidos, ir ļoti mazas. Tad labāk ir pilnībā izlaist izpētes punktu - varbūt kaut kas kļūs skaidrāks pēdējā posmā, kad izlauzīsies papildu punkti. Un, ja sakne (saknes) ir nepārprotami "slikta", tad labāk klusēt par zīmju pastāvības intervāliem un rūpīgāk izdarīt zīmējumu.

Tomēr mums ir skaista sakne, tāpēc mēs sadalām polinomu bez atlikuma:

Algoritms polinoma dalīšanai ar polinomu ir detalizēts nodarbības pirmajā piemērā Izaicinošās robežas.

Tā rezultātā sākotnējā vienādojuma kreisā puse sadalās darbā:

Un tagad nedaudz par veselīgu dzīvesveidu. Es noteikti to saprotu kvadrātvienādojumi ir jāatrisina katru dienu, bet šodien mēs izdarīsim izņēmumu: vienādojumu ir divas derīgas saknes.

Atlieciet atrastās vērtības uz ciparu līnijas un intervāla metode definē funkcijas pazīmes:


og Tādējādi pa intervāliem grafiks atrodas
zem abscisu ass un ar intervālu - virs šīs ass.

Atzinumi ļauj mums detalizēt mūsu izkārtojumu, un diagrammas otrais tuvinājums izskatās šādi:

Ņemiet vērā, ka funkcijai intervālā jābūt vismaz vienam maksimumam un intervālā vismaz vienam minimumam. Bet cik reizes, kur un kad grafiks "cilposies", mēs vēl nezinām. Starp citu, funkcijai var būt bezgalīgi daudz ekstrēma.

4) Funkcijas palielināšana, samazināšanās un ekstrēma.

Atradīsim kritiskos punktus:

Šim vienādojumam ir divas reālas saknes. Mēs tos noliekam malā uz skaitļu līnijas un nosakām atvasinājuma pazīmes:


Līdz ar to funkcija palielinās par un samazinās par.
Vienā brīdī funkcija sasniedz maksimumu: .
Vienā brīdī funkcija sasniedz minimumu: .

Konstatētie fakti iespiež mūsu veidni diezgan stingrā sistēmā:

Lieki piebilst, ka diferenciālais aprēķins ir spēcīga lieta. Beidzot sapratīsim diagrammas formu:

5) Izliekums, ieliekums un locījuma punkti.

Atradīsim otrā atvasinājuma kritiskos punktus:

Definēsim zīmes:


Funkciju grafiks ir izliekts ieslēgts un ieliekts. Aprēķināsim locījuma punkta ordinātu:

Gandrīz viss noskaidrojās.

6) Atliek atrast papildu punktus, kas palīdzēs precīzāk izveidot diagrammu un veikt pašpārbaudi. Šajā gadījumā to ir maz, taču mēs neatstāsim novārtā:

Izpildīsim zīmējumu:

Liekuma punkts ir atzīmēts zaļā krāsā, papildu punkti ir atzīmēti ar krustiem. Kubikfunkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret tā locījuma punktu, kas vienmēr ir tieši vidū starp maksimālo un minimālo.

Uzdevuma izpildes laikā es atvedu trīs hipotētiskus starpzīmējumus. Praksē ir pietiekami uzzīmēt koordinātu sistēmu, atzīmēt atrastos punktus un pēc katra pētījuma punkta garīgi izdomāt, kā varētu izskatīties funkciju grafiks. Studentiem ar labu sagatavotības līmeni nebūs grūti veikt šādu analīzi tikai ar galvu, neiesaistot melnrakstu.

Lai iegūtu neatkarīgu risinājumu:

2. piemērs

Izpētiet funkciju un uzzīmējiet diagrammu.

Šeit viss ir ātrāks un jautrāks, aptuvens piemērs finišēšanai stundas beigās.

Daudzus noslēpumus atklāj frakcionāli racionālo funkciju izpēte:

3. piemērs

Izmantojot diferenciālrēķina metodes, izpētiet funkciju un izveidojiet tās grafiku, pamatojoties uz pētījuma rezultātiem.

Lēmums: pētījuma pirmais posms nav atšķirams ar neko ievērības cienīgu, izņemot robu definīcijas jomā:

1) Funkcija ir definēta un nepārtraukta visā skaitļu rindā, izņemot punktu, domēns: .

, tad šī funkcija nav pat vai nepāra.

Acīmredzot funkcija nav periodiska.

Funkcijas grafiks attēlo divas vienlaidus zarus, kas atrodas kreisajā un labajā puslīmenī - tas varbūt ir vissvarīgākais 1. punkta secinājums.

2) Asimptoti, funkcijas uzvedība bezgalībā.

a) Izmantojot vienpusējas robežas, mēs izmeklējam funkcijas uzvedību aizdomīga punkta tuvumā, kur vertikālajai asimptotei skaidri jābūt:

Patiešām, funkcijas iztur bezgalīgs pārtraukums punktā
un taisnā līnija (ass) ir vertikālais asimptots grafika.

b) Pārbaudiet, vai ir slīpi asimptoti:

Jā, taisnā ir slīpa asimptote grafika, ja.

Nav jēgas analizēt robežas, jo jau tagad ir skaidrs, ka funkcija atrodas apskāvienā ar slīpu asimptotu nav ierobežots no augšas un nav ierobežots no apakšas.

Otrais pētījumu punkts sniedza daudz svarīgas informācijas par funkciju. Veiksim aptuvenu skici:

1. secinājums attiecas uz nemainības intervāliem. Uz "mīnus bezgalības" funkcijas grafiks unikāli atrodas zem abscesa ass, bet uz "plus bezgalība" - virs šīs ass. Turklāt vienpusējās robežas mums teica, ka funkcija pa kreisi un pa labi no punkta ir arī lielāka par nulli. Ņemiet vērā, ka kreisajā pusplaknē grafikam vismaz vienreiz jāšķērso abscisē. Labajā pusplaknē var nebūt nevienas funkcijas nulles.

Secinājums Nr. 2 ir tāds, ka funkcija palielinās par punktu un pa kreisi no tā (virzoties “no apakšas uz augšu”). Pa labi no šī punkta funkcija samazinās (iet “no augšas uz leju”). Diagrammas labajā zarā jābūt vismaz vienam minimumam. Kreisajā pusē galējības netiek garantētas.

Secinājums Nr. 3 sniedz ticamu informāciju par grafika ieliekumu punkta tuvumā. Mēs vēl neko nevaram teikt par izliekumu / izliekumu bezgalībā, jo līniju var nospiest uz tās asimptotu gan augšpusē, gan apakšā. Kopumā šobrīd ir analītisks veids, kā uzzināt, bet grafika forma "bez maksas" kļūs skaidra vēlākos posmos.

Kāpēc tik daudz vārdu? Lai kontrolētu nākamos izpētes punktus un izvairītos no kļūdām! Turpmākiem aprēķiniem nevajadzētu būt pretrunā ar izdarītajiem secinājumiem.

3) Grafika un koordinātu asu krustošanās punkti, funkcijas nemainīgās zīmes intervāli.

Funkcijas grafiks nesakrusto asi.

Izmantojot intervālu metodi, mēs definējam zīmes:

, ja;
, ja .

Rindkopas rezultāti pilnībā atbilst secinājumam Nr. 1. Pēc katra soļa apskatiet melnrakstu, domājiet par pētījumu un pabeidziet zīmēt funkciju grafiku.

Apskatāmajā piemērā skaitītājs tiek sadalīts termiņā pēc termiņa ar saucēju, kas ir ļoti izdevīgi diferencēšanai:

Patiesībā tas jau ir izdarīts, atrodot asimptotus.

- kritiskais punkts.

Definēsim zīmes:

palielinās par un samazinās par

Vienā brīdī funkcija sasniedz minimumu: .

Nebija arī neatbilstību 2. secinājumam, un, visticamāk, mēs esam uz pareizā ceļa.

Tas nozīmē, ka funkcijas grafiks ir ieliekts visā domēnā.

Izcili - un nekas nav jāzīmē.

Liekuma punktu nav.

Ieliekums atbilst secinājumam Nr. 3, turklāt tas norāda, ka bezgalībā (gan tur, gan tur) funkcijas grafiks atrodas virs tā slīpa asimptote.

6) Apzinīgi piespraudiet uzdevumu ar papildu punktiem. Šeit jums ir jāstrādā diezgan smagi, jo no pētījuma mēs zinām tikai divus punktus.

Un attēls, kuru, iespējams, daudzi ir iesnieguši jau sen:

Uzdevuma izpildes laikā jums rūpīgi jāuzrauga, lai starp pētījuma posmiem nebūtu pretrunu, bet dažreiz situācija ir ārkārtas situācijā vai pat izmisīgi strupceļā. Šeit analītiķis “neder” - un viss. Šajā gadījumā es iesaku ārkārtas tehniku: mēs atrodam pēc iespējas vairāk grafikam piederošo punktu (cik pacietības pietiks), un atzīmējam tos koordinātu plaknē. Vairumā gadījumu atrasto vērtību grafiskā analīze jums pateiks, kur ir patiesība un kur ir nepatiesa. Turklāt diagrammu var iepriekš izveidot, izmantojot kādu programmu, piemēram, tajā pašā Excel (protams, tam nepieciešamas prasmes).

4. piemērs

Izmantojot diferenciālrēķina metodes, izpētiet funkciju un izveidojiet tās grafiku.

Šis ir piemērs pašdarinātam risinājumam. Tajā paškontroli pastiprina funkcijas paritāte - grafiks ir simetrisks attiecībā pret asi, un, ja jūsu pētījumā kaut kas ir pretrunā ar šo faktu, meklējiet kļūdu.

Pāra vai nepāra funkciju var izpētīt tikai pie un pēc tam izmantot diagrammas simetriju. Šis risinājums ir optimāls, taču, manuprāt, tas izskatās ļoti neparasts. Personīgi es uzskatu visu ciparu asi, bet joprojām atrodu papildu punktus tikai labajā pusē:

5. piemērs

Veiciet pilnīgu funkcijas izpēti un izveidojiet tās grafiku.

Lēmums: strauji steidzās:

1) Funkcija ir definēta un nepārtraukta visā skaitļu rindā:

Tas nozīmē, ka šī funkcija ir nepāra, tās grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.

Acīmredzot funkcija nav periodiska.

2) Asimptoti, funkcijas uzvedība bezgalībā.

Tā kā funkcija ir ieslēgta nepārtraukti, nav vertikālu asimptotu

Funkcijai, kas satur eksponentu, parasti atsevišķi "plus" un "mīnus bezgalība" izpēte, bet mūsu dzīvi atvieglo grafika simetrija - vai nu kreisajā un labajā pusē ir asimptote, vai arī tā nav. Tāpēc abas bezgalīgās robežas var formalizēt ar vienu ierakstu. Risināšanas gaitā mēs izmantojam lopitala likums:

Taisnā līnija (ass) ir diagrammas horizontālā asimptote pie.

Ievērojiet, kā es asprātīgi izvairījos no pilnīga slīpa asimptota atrašanas algoritma: robeža ir diezgan likumīga un izskaidro funkcijas uzvedību bezgalībā, un horizontālā asimptote tika atrasta “it kā vienlaikus”.

No nepārtrauktības un horizontālas asimptotes esamības izriet, ka funkcija ierobežots no augšas un ierobežots no apakšas.

3) Grafika krustošanās punkti ar koordinātu asīm, nemainības intervāli.

Šeit mēs arī saīsinām risinājumu:
Grafiks iet caur izcelsmi.

Nav citu krustošanās punktu ar koordinātu asīm. Turklāt zīmes pastāvības intervāli ir acīmredzami, un asi var izlaist:, kas nozīmē, ka funkcijas zīme ir atkarīga tikai no "x":
, ja;
, ja.

4) Funkcijas palielināšana, samazināšana, ekstrēmi.


- kritiskie punkti.

Punkti ir simetriski attiecībā pret nulli, kā vajadzētu būt.

Definēsim atvasinājuma zīmes:


Funkcija palielinās ar intervālu un samazinās ar intervālu

Vienā brīdī funkcija sasniedz maksimumu: .

Īpašuma dēļ (nepāra funkcija) minimumu var izlaist:

Tā kā funkcija intervālā samazinās, grafiks acīmredzami atrodas "mīnus bezgalībā" zem tā asimptots. Intervālā funkcija arī samazinās, bet šeit ir tieši otrādi - pēc maksimālā punkta iziešanas līnija tuvojas asij no augšas.

No iepriekš minētā izriet arī tas, ka funkcijas grafiks ir izliekts pie "mīnus bezgalības" un ieliekts pie "plus bezgalības".

Pēc šī pētījuma punkta tika uzzīmēts arī funkcijas vērtību diapazons:

Ja kāds punkts ir pārprasts, es vēlreiz aicinu jūs piezīmju grāmatiņā uzzīmēt koordinātu asis un, ar zīmuli rokā, vēlreiz analizēt katru uzdevuma secinājumu.

5) izliekums, ieliekums, grafa izliece.

- kritiskie punkti.

Punktu simetrija ir saglabāta, un, visticamāk, mēs nemaldāmies.

Definēsim zīmes:


Funkciju grafiks ir izliekts un ieliekta .

Apstiprinājās izliekums / ieliekums ekstremālos intervālos.

Visos kritiskajos punktos grafikā ir liecības. Atrodiet locījumu punktu ordinātes, vienlaikus atkal samazinot aprēķinu skaitu, izmantojot funkcijas dīvainību:

Rehebņiks Kuzņecovs.
III diagrammas

7. uzdevums. Veiciet pilnīgu funkcijas izpēti un izveidojiet tās grafiku.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp Pirms sākat lejupielādēt opcijas, mēģiniet atrisināt problēmu saskaņā ar 3. opcijai sniegto piemēru. Dažas no opcijām ir arhivētas .rar formātā

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7.3 Veikt pilnīgu funkcijas izpēti un uzzīmēt tās grafiku

Lēmums.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 1) Darbības joma: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp vai & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp, t.i., & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.
.
Tādējādi: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2) Nav krustojumu ar Ox asi. Patiešām, vienādojumam & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp nav risinājumu.
Ar Oy asi nav krustojumu, jo & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3) Funkcija ne pāra, ne nepāra. Par ordinātu nav simetrijas. Nav arī simetrijas par izcelsmi. Kā
.
Mēs redzam, ka & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp un & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 4) Funkcija domēnā ir nepārtraukta
.

; .

; .
Tāpēc punkts & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp ir otrā veida pārtraukuma punkts (bezgalīgs pārtraukums).

5) Vertikālie asimptoti: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Atrodiet slīpi asimptotu & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp. Šeit

;
.
Tāpēc mums ir horizontāls asimptots: y \u003d 0... Slīpu asimptotu nav.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 6) Atrodiet pirmo atvasinājumu. Pirmais atvasinājums:
.
Un tāpēc
.
Atrodiet stacionārus punktus, kur atvasinājums ir nulle, tas ir
.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7) Atrodiet otro atvasinājumu. Otrais atvasinājums:
.
Un par to ir viegli pārliecināties, kopš