Atrisiniet vienādojuma moduli 11 10 x 1. Kā atrisināt vienādojumu ar moduli

Viena no grūtākajām tēmām studentiem ir vienādojumu risināšana, kas satur mainīgo zem moduļa zīmes. Vispirms apskatīsim, ar ko tas ir saistīts? Kāpēc, piemēram, lielākā daļa bērnu noklikšķina uz kvadrātvienādojumiem, piemēram, riekstiem, bet ar tik tālu sarežģītu jēdzienu kā modulis ir tik daudz problēmu?

Manuprāt, visas šīs grūtības ir saistītas ar skaidri formulētu noteikumu neesamību vienādojumu risināšanai ar moduli. Tātad, atrisinot kvadrātvienādojumu, students droši zina, ka vispirms jāpielieto diskriminējošā formula un pēc tam kvadrātiskā vienādojuma sakņu formula. Un ko tad, ja modulis tiksies vienādojumā? Mēs centīsimies skaidri aprakstīt nepieciešamo rīcības plānu gadījumā, kad vienādojumā zem moduļa zīmes ir nezināms. Katrā gadījumā mēs sniedzam dažus piemērus.

Bet vispirms atcerēsimies moduļa definīcija. Tātad, skaitļa modulis a  pats šis numurs tiek saukts, ja a  nenegatīvs un -aja numurs a  mazāks par nulli. To var uzrakstīt šādi:

| a | \u003d a, ja a ≥ 0 un | a | \u003d -a, ja a< 0

Runājot par moduļa ģeometrisko nozīmi, jāatceras, ka katrs reālais skaitlis atbilst noteiktam skaitļa ass punktam - tā līdz koordinēt Tātad skaitļa absolūto vērtību sauc par attālumu no šī punkta līdz ciparu ass sākumam. Attālumu vienmēr norāda ar pozitīvu skaitli. Tādējādi jebkura negatīva skaitļa modulis ir pozitīvs skaitlis. Starp citu, pat šajā posmā daudzi studenti sāk sajaukt. Modulī var būt jebkurš skaitlis, bet moduļa lietošanas rezultāts vienmēr ir pozitīvs skaitlis.

Tagad mēs pārejam tieši pie vienādojumu risināšanas.

1.   Apsveriet formu | x | vienādojumu \u003d c, kur c ir reāls skaitlis. Šo vienādojumu var atrisināt, izmantojot moduļa definīciju.

Visus reālos skaitļus mēs sadalām trīs grupās: tie, kas ir lielāki par nulli, tie, kas ir mazāki par nulli, un trešā grupa ir cipars 0. Risinājumu uzraksta shēmas veidā:

(± c, ja c\u003e 0

Ja | x | \u003d c, tad x \u003d (0, ja c \u003d 0

(bez saknēm, ja ar< 0

1) | x | \u003d 5, jo 5\u003e 0, tad x \u003d ± 5;

2) | x | \u003d -5, jo -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | \u003d 0, tad x \u003d 0.

2. Formas vienādojums | f (x) | \u003d b, kur b\u003e 0. Lai atrisinātu šo vienādojumu, jums ir jāatsakās no moduļa. Mēs to darām šādi: f (x) \u003d b vai f (x) \u003d -b. Tagad ir nepieciešams atsevišķi atrisināt katru iegūto vienādojumu. Ja sākotnējā vienādojumā b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | \u003d 4, jo 4\u003e 0, tad

x + 2 \u003d 4 vai x + 2 \u003d -4

2) | x 2 - 5 | \u003d 11, jo 11\u003e 0, pēc tam

x 2 - 5 \u003d 11 vai x 2 - 5 \u003d -11

x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6

x \u003d ± 4 nav sakņu

3) | x 2 - 5x | \u003d -8, jo -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3.   Formas vienādojums | f (x) | \u003d g (x). Moduļa izpratnē šādam vienādojumam būs risinājumi, ja tā labā puse ir lielāka vai vienāda ar nulli, t.i. g (x) ≥ 0. Tad mums būs:

f (x) \u003d g (x)vai   f (x) \u003d -g (x).

1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. Šim vienādojumam būs saknes, ja 5x - 10 ≥ 0. Tieši no tā sākas šādu vienādojumu risināšana.

1. O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0

2. Risinājums:

2x - 1 \u003d 5x - 10 vai 2x - 1 \u003d - (5x - 10)

3. Apvienot O.D.Z. un risinājumu, mēs iegūstam:

Sakne x \u003d 11/7 neatbilst O.D.Z., tā ir mazāka par 2, un x \u003d 3 atbilst šim nosacījumam.

Atbilde: x \u003d 3

2) | x - 1 | \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Atrisināsim doto nevienādību ar intervālu metodi:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. Risinājums:

x - 1 \u003d 1 - x 2 vai x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0

x \u003d -2 vai x \u003d 1 x \u003d 0 vai x \u003d 1

3. Apvieno lēmumu un O.D.Z .:

Piemērotas ir tikai saknes x \u003d 1 un x \u003d 0.

Atbilde: x \u003d 0, x \u003d 1.

4. Formas vienādojums | f (x) | \u003d | g (x) |. Šāds vienādojums ir ekvivalents šādiem diviem vienādojumiem: f (x) \u003d g (x) vai f (x) \u003d -g (x).

1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. Šis vienādojums ir ekvivalents šādiem diviem:

x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 vai x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5

x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0

x \u003d 3 vai x \u003d 4 x \u003d 2 vai x \u003d 1

Atbilde: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.

5. Vienādojumi, kas atrisināti ar aizstāšanas metodi (mainīga aizstāšana). Šo risināšanas metodi ir visvieglāk izskaidrot ar konkrētu piemēru. Tātad, dod kvadrātvienādojumu ar moduli:

x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Pēc moduļa rekvizīta x 2 \u003d | x | Tāpēc vienādojumu var pārrakstīt šādi:

| x | 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Mēs veicam nomaiņu | x | \u003d t ≥ 0, tad mums būs:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Atrisinot šo vienādojumu, iegūstam, ka t \u003d 1 vai t \u003d 5. Atgriezīsimies pie aizstāšanas:

| x | \u003d 1 vai | x | \u003d 5

x \u003d ± 1 x \u003d ± 5

Atbilde: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.

Apsveriet citu piemēru:

x 2 + | x | - 2 \u003d 0. Pēc moduļa rekvizīta x 2 \u003d | x | 2

| x | 2 + | x | - 2 \u003d 0. Mēs izgatavojam nomaiņu | x | \u003d t ≥ 0, tad:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Atrisinot šo vienādojumu, iegūstam t \u003d -2 vai t \u003d 1. Atgriezīsimies pie aizstāšanas:

| x | \u003d -2 vai | x | \u003d 1

Nav sakņu x \u003d ± 1

Atbilde: x \u003d -1, x \u003d 1.

6. Cits vienādojumu veids ir vienādojums ar “kompleksu” moduli. Pie šādiem vienādojumiem pieder vienādojumi, kuros ir “moduļi modulī”. Šāda veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot moduļa īpašības.

1) | 3 - | x || \u003d 4. Mēs darbosimies tāpat kā otrā tipa vienādojumos. Jo 4\u003e 0, tad iegūstam divus vienādojumus:

3 - | x | \u003d 4 vai 3 - | x | \u003d -4.

Tagad mēs izsaka moduli x katrā vienādojumā, tad | x | \u003d -1 vai | x | \u003d 7.

Mēs atrisinām katru iegūto vienādojumu. Pirmajā vienādojumā nav saknes, jo -1< 0, а во втором x = ±7.

Atbilde ir x \u003d -7, x \u003d 7.

2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. Mēs atrisinām šo vienādojumu tādā pašā veidā:

3 + | x + 1 | \u003d 5 vai 3 + | x + 1 | \u003d -5

| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8

x + 1 \u003d 2 vai x + 1 \u003d -2. Nav sakņu.

Atbilde: x \u003d -3, x \u003d 1.

Ir arī universāla metode vienādojumu risināšanai ar moduli. Šī ir intervāla metode. Bet mēs to apsvērsim nākotnē.

vietne ar pilnīgu vai daļēju materiāla kopēšanu ir nepieciešama saite uz avotu.

Vienādojumu un nevienādību risināšana ar moduli  bieži rada grūtības. Tomēr, ja jūs labi saprotat, ko skaitļa modulisun kā pareizi pakļaut izteicienus, kas satur moduļa zīmi, tad klātbūtne vienādojumā izteiksme zem moduļa zīmes, vairs nav šķērslis tā risinājumam.

Mazliet teorijas. Katram skaitlim ir divas īpašības: skaitļa absolūtā vērtība un tā zīme.

Piemēram, skaitlim +5 vai tikai 5 ir zīme “+” un absolūtā vērtība ir 5.

Skaitlim -5 ir "-" zīme, un absolūtā vērtība ir 5.

Skaitļu 5 un -5 absolūtās vērtības ir 5.

X absolūto vērtību sauc par skaitļa moduli, un to apzīmē ar | x |.

Kā mēs redzam, skaitļa modulis ir vienāds ar pašu skaitli, ja šis skaitlis ir lielāks vai vienāds ar nulli, un šim skaitlim ar pretēju zīmi, ja šis skaitlis ir negatīvs.

Tas pats attiecas uz visiem izteicieniem, kas ir zem moduļa zīmes.

Moduļa paplašināšanas noteikums izskatās šādi:

| f (x) | \u003d f (x), ja f (x) ≥ 0, un

| f (x) | \u003d - f (x), ja f (x)< 0

Piemēram, | x-3 | \u003d x-3, ja x-3≥0 un | x-3 | \u003d - (x-3) \u003d 3-x, ja x-3<0.

Lai atrisinātu vienādojumu, kas satur izteiksmi zem moduļa zīmes, vispirms jums tas jādara izvērsiet moduli saskaņā ar moduļa atklāšanas noteikumu.

Tad tiek pārveidots mūsu vienādojums vai nevienlīdzība divos dažādos vienādojumos, kas pastāv ar diviem atšķirīgiem skaitliskiem intervāliem.

Viens vienādojums pastāv skaitliskā intervālā, kurā izteiksme zem moduļa zīmes nav negatīva.

Un otrais vienādojums pastāv uz spraugas, uz kuras izteiksme zem moduļa zīmes ir negatīva.

Apsveriet vienkāršu piemēru.

Atrisiniet vienādojumu:

| x-3 | \u003d -x 2 + 4x-3

1. Mēs atklāsim moduli.

| x-3 | \u003d x-3, ja x-3≥0, t.i. ja x≥3

| x-3 | \u003d - (x-3) \u003d 3-x, ja x-3<0, т.е. если х<3

2. Mums bija divas skaitliskās atstarpes: x≥3 un x<3.

Apsveriet, kādos vienādojumos sākotnējais vienādojums tiek konvertēts katrā intervālā:

A) Kad x≥3 | x-3 | \u003d x-3, un mūsu urānam ir šāda forma:

Uzmanību! Šis vienādojums pastāv tikai ar intervālu x≥3!

Mēs atvērsim iekavas un sniegsim līdzīgus nosacījumus:

un atrisiniet šo vienādojumu.

Šim vienādojumam ir saknes:

x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3

Uzmanību! tā kā vienādojums x-3 \u003d -x 2 + 4x-3 pastāv tikai intervālā x≥3, mēs esam ieinteresēti tikai tajās saknēs, kuras pieder šim intervālam. Tikai x 2 \u003d 3 atbilst šim nosacījumam.

B) x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Uzmanību! Šis vienādojums pastāv tikai intervālā x<3!

Mēs atvērsim iekavas un sniegsim līdzīgus nosacījumus. Mēs iegūstam vienādojumu:

x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3

Uzmanību! jo vienādojums 3-x \u003d -x 2 + 4x-3 pastāv tikai intervālā x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Tātad: no pirmās spraugas mēs ņemam tikai sakni x \u003d 3, no otrās - sakni x \u003d 2.

Starp moduļu piemēri  bieži vien ir vienādojumi, kur jums jāatrod moduļa saknes modulī, t.i., formas vienādojums
  || a * x-b | -c | \u003d k * x + m.
  Ja k \u003d 0, tas ir, labā puse ir nemainīga (m), tad ir vieglāk meklēt risinājumu vienādojumi ar moduļiem grafiski.  Zemāk ir aprakstīta metodika dubultā moduļa paplašinājumi  par parastās prakses piemēriem. Labi izjauciet algoritmu vienādojumu aprēķināšanai ar moduļiem, lai nebūtu problēmu ar vadību, testiem un vienkārši būtu jāzina.

1. piemērs Atrodiet vienādojuma moduli modulī | 3 | x | -5 | \u003d -2x-2.
Risinājums: Vienmēr sāciet atklāt vienādojumus no iekšējā moduļa
| x | \u003d 0 <->   x \u003d 0.
  Pie x \u003d 0 vienādojums ar moduli tiek dalīts ar 2.
  Pie x< 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
  | -3x-5 | \u003d -2x-2.
Ja x\u003e 0 vai vienāds, atklāj iegūto moduli
| 3x-5 | \u003d -2x-2.
Atrisiniet vienādojumu  negatīvajiem mainīgajiem (x< 0) . Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

No pirmā vienādojuma mēs iegūstam, ka risinājumam nevajadzētu pārsniegt (-1), t.i.

  Šis ierobežojums pilnībā pieder pie jomas, kuru mēs risinām. Mēs nododam mainīgos lielumus un konstantes dažādās vienlīdzības pusēs pirmajā un otrajā sistēmā

  un atrodiet risinājumu


  Abas vērtības pieder pie plaisas, kas tiek ņemta vērā, tas ir, tās ir saknes.
  Apsveriet vienādojumu ar moduļiem ar pozitīviem mainīgajiem
| 3x-5 | \u003d -2x-2.
  Atverot moduli, iegūstam divas vienādojumu sistēmas

  No pirmā vienādojuma, kas ir kopīgs divām sistēmām, iegūstam pazīstamo stāvokli

  kas krustojumā ar komplektu, uz kuru mēs meklējam risinājumu, dod tukšu komplektu (krustošanās punktu nav). Tātad moduļa vienīgās saknes ir vērtības
x \u003d -3; x \u003d -1,4.

2. piemērs Atrisiniet vienādojumu ar moduli || x-1 | -2 | \u003d 3x-4.
Risinājums: sāksim ar iekšējā moduļa atklāšanu
| x-1 | \u003d 0 <=>   x \u003d 1.
  Apakšmoduļa funkcija maina pieteikšanās vienību. Zemākās vērtībās tas ir negatīvs, lielās vērtībās - pozitīvs. Saskaņā ar to, atklājot iekšējo moduli, mēs iegūstam divus vienādojumus ar moduli
x | - (x-1) -2 | \u003d 3x-4;
  x\u003e \u003d 1 -\u003e | x-1-2 | \u003d 3x-4.
  Noteikti pārbaudiet vienādojuma labo pusi ar moduli, tam jābūt lielākam par nulli.
3x-4\u003e \u003d 0 -\u003e x\u003e \u003d 4/3.
  Tas nozīmē, ka pirmais no vienādojumiem nav jāatrisina, jo tas ir izrakstīts x< 1, что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
| x-3 | \u003d 3x-4 ->
  x-3 \u003d 3x-4  vai x-3 \u003d 4-3x;
  4-3 \u003d 3x-x vai x + 3x \u003d 4 + 3;
  2x \u003d 1 vai 4x \u003d 7;
  x \u003d 1/2 vai x \u003d 7/4.
  Mēs ieguvām divas vērtības, no kurām pirmo mēs noraidām, jo \u200b\u200btā nepieder vēlamajam intervālam. Visbeidzot, vienādojumam ir viens risinājums x \u003d 7/4.

3. piemērs Atrisiniet vienādojumu ar moduli || 2x-5 | -1 | \u003d x + 3.
Risinājums: Atklājiet iekšējo moduli
  | 2x-5 | \u003d 0 <=>   x \u003d 5/2 \u003d 2,5.
  Punkts x \u003d 2,5 dala skaitlisko asi divos intervālos. Attiecīgi apakšmoduļa funkcija  maina zīmi, kad iet cauri 2.5. Izrakstīsim nosacījuma nosacījumu vienādojuma labajā pusē ar moduli.
  x + 3\u003e \u003d 0   -\u003e x\u003e \u003d - 3.
  Tātad risinājums var būt vērtības, kas nav mazākas par (-3). Mēs atklāsim moduli par iekšējā moduļa negatīvo vērtību
  | - (2x-5) -1 | \u003d x + 3;
  | -2x + 4 | \u003d x + 3.
  Šis modulis parādīs arī 2 vienādojumus
-2x + 4 \u003d x + 3 vai 2x-4 \u003d x + 3;
  2x + x \u003d 4-3 vai 2x-x \u003d 3 + 4;
  3x \u003d 1; x \u003d 1/3 vai x \u003d 7.
  Vērtība x \u003d 7 tiek noraidīta, jo mēs meklējām risinājumu intervālā [-3; 2,5]. Tagad atveriet iekšējo moduli x\u003e 2.5. Mēs iegūstam vienādojumu ar vienu moduli
| 2x-5-1 | \u003d x + 3;
  | 2x-6 | \u003d x + 3.
  Paplašinot moduli, iegūstam šādus lineāros vienādojumus
-2x + 6 \u003d x + 3 vai 2x-6 \u003d x + 3;
  2x + x \u003d 6-3 vai 2x-x \u003d 3 + 6;
  3x \u003d 3; x \u003d 1 vai x \u003d 9.
  Pirmā vērtība x \u003d 1 neatbilst nosacījumam x\u003e 2,5. Tātad šajā intervālā mums ir viena vienādojuma sakne ar moduli x \u003d 9, un no tiem ir tikai divi (x \u003d 1/3). Aizvietojot, mēs varam pārbaudīt aprēķinu pareizību.
Atbilde: x \u003d 1/3; x \u003d 9.

4. piemērs Atrodiet divkāršā moduļa risinājumus || 3x-1 | -5 | \u003d 2x-3.
Risinājums: Mēs atklājam vienādojuma iekšējo moduli
| 3x-1 | \u003d 0 <=>   x \u003d 1/3.
  Punkts x \u003d 2,5 dala skaitlisko asi divos intervālos, bet dotais vienādojums - divos gadījumos. Mēs pierakstām risinājuma nosacījumu, pamatojoties uz vienādojuma veidu labajā pusē
2x-3\u003e \u003d 0 -\u003e x\u003e \u003d 3/2 \u003d 1,5.
  No tā izriet, ka mūs interesē vērtības\u003e \u003d 1,5. Tādā veidā modulārie vienādojumi  apsveriet ar diviem intervāliem
,
  | - (3x-1) -5 | \u003d 2x-3;
  | -3x-4 | \u003d 2x-3.
Iegūtais modulis atklāšanas laikā tiek sadalīts 2 vienādojumos
-3x-4 \u003d 2x-3 vai 3x + 4 \u003d 2x-3;
  2x + 3x \u003d -4 + 3 vai 3x-2x \u003d -3-4;
  5x \u003d -1; x \u003d -1 / 5 vai x \u003d -7.
  Abas vērtības neietilpst spraugā, tas ir, tie nav vienādojuma ar moduļiem risinājumi. Tālāk mēs atvērsim moduli x\u003e 2.5. Mēs iegūstam šādu vienādojumu
  | 3x-1-5 | \u003d 2x-3;
  | 3x-6 | \u003d 2x-3.
  Atverot moduli, iegūstam 2 lineārus vienādojumus
3x-6 \u003d 2x-3 vai - (3x-6) \u003d 2x-3;
  3x-2x \u003d -3 + 6  vai 2x + 3x \u003d 6 + 3;
  x \u003d 3 vai 5x \u003d 9; x \u003d 9/5 \u003d 1,8.
  Otrā atrastā vērtība neatbilst nosacījumam x\u003e 2,5, mēs to noraidām.
  Visbeidzot, mums ir viena vienādojuma sakne ar moduļiem x \u003d 3.
  Mēs pārbaudām
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
  Vienādojuma sakne ar moduli ir aprēķināta pareizi.
Atbilde: x \u003d 1/3; x \u003d 9.